Matemática Abierta · MA-ART-0011 · MA-FE-02

Cotes: del círculo al logaritmo

Sigue el punto z(θ)=cos θ+i sin θ mientras recorre el círculo. A la derecha aparecen dos objetos distintos: la continuación del logaritmo a lo largo del camino, iθ, y el valor principal, Log z=i Arg(z).

Lectura local: cerca de θ = 0, log(cos θ+i sin θ)=iθ. Una vuelta completa devuelve el punto del círculo a 1, pero la continuación del logaritmo ha avanzado 2πi.

Plano de z: el mismo círculo puede recorrerse varias veces

Punto z sobre el círculo unitarioEl punto recorre el círculo unitario al variar theta.

Plano del logaritmo: continuación y valor principal

Valores imaginarios del logaritmoSe comparan i theta y el logaritmo principal del mismo punto.
z = cos θ + i sin θcontinuación: iθvalor principal: Log zángulo θ
Punto del círculoz = 1
Continuación a lo largo del caminolog₍camino₎ z = 0
Valor principalLog z = 0
Número de vueltas completas0

La igualdad histórica atribuida a Cotes se muestra aquí en notación moderna. La figura no identifica globalmente una rama continua y univaluada del logaritmo sobre todo el círculo: precisamente muestra por qué esa identificación falla después de rodear el origen.