Matemática Abierta · MA-ART-0011 · MA-FE-05

Muchos giros pequeños

Dividimos el ángulo total θ en N pasos. El giro exacto de cada paso vive sobre el círculo; la aproximación 1+iθ/N vive sobre la tangente en 1. Al repetir N veces ambos procesos se ve qué es igualdad exacta, qué es aproximación y dónde aparece el límite exponencial.

Exacto: [cos(θ/N)+i sin(θ/N)]N = cos θ+i sin θ.   Asintótico: cos(θ/N)+i sin(θ/N) = 1+iθ/N+O(N−2).

01 · Un paso: arco exacto frente a tangente

Comparación de un giro exacto y su aproximación tangente Se muestran z sub N sobre el círculo unitario y w sub N igual a uno más i theta sobre N sobre la tangente.

02 · N pasos: igualdad exacta y convergencia

Productos acumulados exactos y aproximados La trayectoria exacta permanece en el círculo y la aproximada converge hacia ella al crecer N.
exacto: zNk aproximado: wNk extremo exacto eiθ paso angular θ/N
Paso angularθ/N = π/16
Error de un paso|wₙ−zₙ| = 0
Error tras N pasos|wₙᴺ−eⁱθ| = 0

La curva rosa no se normaliza al círculo: conserva el crecimiento radial real de (1+iθ/N)k. Por eso, para N finito y θ≠0, la aproximación no es una rotación exacta. Lo que afirmamos es convergencia cuando N crece.