Una serie se divide en dos

Cada término de la serie de e^iθ es real o puramente imaginario según la paridad del exponente. Separa los términos sin cambiar su orden interno y observa cómo las dos subseries construyen las sumas parciales de cos θ e i sin θ.

Serie original: Σ (iθ)ⁿ/n!   →   pares: Σ (−1)^kθ^2k/(2k)!   +   impares: i Σ (−1)^kθ^2k+1/(2k+1)!

El control m no modifica la función exponencial: sólo decide cuántos términos de su serie mostramos. Cuando m aumenta, la suma parcial converge a e^iθ; simultáneamente, sus partes real e imaginaria convergen a cos θ y sin θ.