Matemática Abierta · MA-APP-0001
Laboratorio interactivo de la desigualdad triangular
Mueve el punto intermedio, compara los dos recorridos y reconstruye la demostración.
Distancia directa frente a recorrido quebrado
Arrastra B o modifica sus coordenadas. A y C permanecen fijos en cada configuración; puedes cambiarlos con los casos preparados.
━━ Distancia directa AC ┄┄ Recorrido A–B–C
Distancia directa: 5
Recorrido pasando por B: 7
Exceso del recorrido: 2
d(A,C) ≤ d(A,B) + d(B,C)
Desigualdad estricta: el recorrido mide 7 y la distancia directa, 5.
Las cifras del dibujo son aproximaciones numéricas. Los casos preparados se certifican por sus coordenadas; arrastrar puntos no constituye una demostración universal.
Valor absoluto: desplazamiento y longitud recorrida
Los signos expresan dirección; el valor absoluto mide magnitud. Cambia x e y e investiga cuándo se cancelan.
━━ Magnitud directa ┄┄ Dos desplazamientos
|x+y|: 5
|x|+|y|: 5
Exceso: 0
|x+y| ≤ |x| + |y|
Igualdad: no hay cancelación.
Pregunta: ¿cómo cambia el exceso al invertir el signo de un sumando sin cambiar su magnitud? Criterio exacto para los números introducidos: |x+y|=|x|+|y| si, y sólo si, xy≥0. Consulta la prueba escalar en el artículo.
De la imagen a una demostración general
Los ejemplos sugieren la desigualdad. Ahora razonaremos para puntos arbitrarios A, B y C del plano, sin utilizar medidas redondeadas.
Paso 0 de 7
Preparación
Consideraremos puntos arbitrarios. Selecciona «Siguiente» para reconstruir la prueba.
La demostración emplea Cauchy–Schwarz, probado en el artículo.
Ver la demostración completa de Cauchy–Schwarz y la triangular euclidiana. Para una métrica abstracta, la propiedad triangular se exige como axioma: esta prueba euclidiana no demuestra todos los casos.
Preguntas frecuentes (FAQ)
Abre cada pregunta para consultar la respuesta. Puedes volver a los casos preparados y comprobar los ejemplos.
1. ¿Qué afirma exactamente la desigualdad triangular?
Que la distancia directa entre A y C nunca supera la suma de las distancias de A a B y de B a C: d(A,C) ≤ d(A,B) + d(B,C). En la recta, la misma idea se expresa como |x+y| ≤ |x| + |y|. Es una cota superior, no una fórmula que siempre dé igualdad.
2. ¿Por qué el recorrido pasando por B no puede ser más corto?
En el plano euclidiano, los desplazamientos u = B − A y v = C − B satisfacen u + v = C − A. Al desarrollar la norma de su suma y aplicar Cauchy–Schwarz se demuestra que la longitud directa no excede la suma de las dos longitudes. Consulta la demostración general.
3. ¿Cuándo hay igualdad entre la distancia directa y el recorrido?
En este plano euclidiano, exactamente cuando B pertenece al segmento cerrado que va de A a C, incluidos los extremos B = A y B = C. Entonces no hay retroceso ni desvío. Selecciona «Igualdad interior» o «Punto intermedio en el extremo» para observarlo.
4. ¿Basta con que A, B y C estén alineados?
No. También importa el orden: B debe estar entre A y C. Por ejemplo, si A = (0,0), B = (7,0) y C = (5,0), la distancia directa es 5, pero pasar por B exige recorrer 7 + 2 = 9. Selecciona «Alineados, pero desviados» para contrastarlo.
5. ¿Qué ocurre si algunos puntos coinciden?
Si B = A o B = C, uno de los tramos tiene longitud cero y hay igualdad. Si A = C pero B es distinto, la distancia directa es cero y el recorrido es 2d(A,B), positivo: la desigualdad es estricta. Si coinciden los tres, ambos lados son cero.
6. En la recta real, ¿cuándo se cumple |x+y| = |x| + |y|?
Exactamente cuando xy ≥ 0: los desplazamientos tienen el mismo signo o alguno es cero. Si tienen signos opuestos y ambos son distintos de cero, parte del movimiento se cancela y la desigualdad es estricta. Consulta el criterio y su prueba.
7. ¿Mover puntos y comprobar muchos ejemplos constituye una demostración?
No. Los ejemplos ayudan a formular conjeturas y a refutar afirmaciones falsas, como «estar alineados basta para la igualdad». Para probar la desigualdad en todas las configuraciones euclidianas, utiliza la pestaña «Demostración»: trabaja con puntos arbitrarios y justifica cada paso mediante propiedades matemáticas.
8. ¿Es válida también para otras distancias?
Sí, para toda función que sea una métrica: la desigualdad triangular forma parte de sus axiomas. En el caso de la distancia euclidiana se demuestra a partir de propiedades del producto escalar; para una norma abstracta se exige como axioma. No se puede suponer que una función cualquiera llamada «distancia» la satisfaga sin verificarlo. Consulta la distinción entre teorema y axioma.
9. ¿Qué es la desigualdad triangular inversa?
Es otra estimación: ||x| − |y|| ≤ |x − y|. Dice que la diferencia entre dos magnitudes no puede superar la magnitud de la diferencia entre sus argumentos. No se obtiene invirtiendo simplemente el signo de la desigualdad triangular. Consulta su demostración.
10. ¿Para qué sirve al estudiar límites y aproximaciones?
Permite dividir un error difícil de calcular en dos errores que sí podemos controlar: d(A,C) ≤ d(A,B) + d(B,C). Si cada error parcial es pequeño, su suma acota el error total. Esta estrategia aparece en las demostraciones de límites, continuidad y convergencia. Consulta las aplicaciones al análisis.