Continuidad de una función en un punto
La noción de límite estudia qué ocurre con \(f(x)\) cuando \(x\) se aproxima a un punto. La continuidad añade una condición decisiva: el comportamiento cercano debe concordar con el valor que la función toma exactamente en ese punto.
Intuición
Una función es continua en \(a\) cuando pequeños cambios de la entrada alrededor de \(a\) producen pequeños cambios de la salida alrededor de \(f(a)\).
La referencia ya no es un número \(L\) desconocido, sino el propio valor
\[ f(a). \]
Por eso la continuidad combina dos informaciones que en el estudio de límites estaban separadas:
- qué ocurre cerca de \(a\);
- qué ocurre en \(a\).
La continuidad sólo se pregunta en puntos del dominio
Sea
\[ f:D\to\mathbb R. \]
Para preguntar si \(f\) es continua en \(a\) necesitamos primero que
\[ a\in D, \]
porque la expresión \(f(a)\) debe estar definida.
Esta diferencia con los límites es fundamental: en MA-CON-0011 el punto \(a\) podía quedar fuera del dominio, siempre que hubiera puntos del dominio arbitrariamente cerca de él.
Primer control
Si \(a\notin D\), \(f\) no tiene un valor \(f(a)\) y no hablamos de continuidad de \(f\) en \(a\) como punto de su dominio.
Sí puede tener sentido estudiar
\[ \lim_{x\to a}f(x), \]
y ese límite puede permitir construir una extensión continua.
Definición épsilon-delta
Continuidad en un punto
Sea
\[ f:D\to\mathbb R \]
y sea \(a\in D\).
Decimos que \(f\) es continua en \(a\) si para todo \(\varepsilon>0\) existe un \(\delta>0\) tal que, para todo \(x\in D\),
\[ |x-a|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-f(a)|<\varepsilon. \]
En símbolos,
\[ \boxed{ \forall\varepsilon>0\;\exists\delta>0\;\forall x\in D: |x-a|<\delta \Longrightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon. } \]
La definición debe leerse en el orden de sus cuantificadores:
- se fija una tolerancia \(\varepsilon>0\) en la salida;
- debemos encontrar una tolerancia \(\delta>0\) en la entrada;
- esa misma \(\delta\) debe funcionar para todo punto \(x\) del dominio suficientemente cercano a \(a\).
Por qué aquí no aparece \(0<|x-a|\)
En la definición de límite escribíamos
\[ 0<|x-a|<\delta \]
porque el valor de la función en \(a\) no debía influir en el límite.
En continuidad escribimos simplemente
\[ |x-a|<\delta. \]
Esto incluye \(x=a\), pero allí la desigualdad de salida es automática:
\[ |f(a)-f(a)|=0<\varepsilon. \]
Interpretación mediante intervalos
Las condiciones
\[ |x-a|<\delta \]
y
\[ |f(x)-f(a)|<\varepsilon \]
equivalen respectivamente a
\[ a-\delta<x<a+\delta \]
y
\[ f(a)-\varepsilon<f(x)<f(a)+\varepsilon. \]
Así, para cada intervalo vertical alrededor de \(f(a)\) podemos encontrar un intervalo horizontal alrededor de \(a\) cuya parte perteneciente al dominio es enviada completamente dentro del intervalo vertical.
Continuidad relativa al dominio
No se exige que toda la recta alrededor de \(a\) pertenezca al dominio. Sólo se controlan los puntos
\[ x\in D. \]
Esta precisión será esencial en extremos y puntos aislados.
Relación fundamental entre continuidad y límite
Cuando \(a\) es punto de acumulación de \(D\), podemos comparar directamente la definición de continuidad con la definición de límite.
Teorema — criterio mediante el límite
Sea
\[ f:D\to\mathbb R, \]
sea \(a\in D\) y supongamos que \(a\) es punto de acumulación de \(D\).
Entonces
\[ \boxed{ f\text{ es continua en }a \iff \lim_{x\to a}f(x)=f(a). } \]
Demostración: continuidad implica límite
Si \(f\) es continua en \(a\), dado \(\varepsilon>0\) existe \(\delta>0\) tal que
\[ |x-a|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-f(a)|<\varepsilon \]
para todo \(x\in D\).
En particular, la implicación vale cuando además \(x\ne a\), es decir, cuando
\[ 0<|x-a|<\delta. \]
Por definición,
\[ \lim_{x\to a}f(x)=f(a). \]
Demostración: límite igual al valor implica continuidad
Supongamos
\[ \lim_{x\to a}f(x)=f(a). \]
Dado \(\varepsilon>0\), existe \(\delta>0\) tal que
\[ 0<|x-a|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-f(a)|<\varepsilon. \]
Si \(x\in D\) satisface \(|x-a|<\delta\), entonces o bien \(x\ne a\) y aplicamos la condición del límite, o bien \(x=a\) y
\[ |f(a)-f(a)|=0<\varepsilon. \]
Por tanto \(f\) es continua en \(a\).
Las tres condiciones prácticas
Cuando \(a\) es punto de acumulación del dominio:
\[ \boxed{ \text{continuidad en }a \iff \begin{cases} f(a)\text{ está definido},\\ \lim_{x\to a}f(x)\text{ existe},\\ \lim_{x\to a}f(x)=f(a). \end{cases} } \]
La hipótesis de acumulación importa
Si \(a\) es un punto aislado de \(D\), la continuidad sigue teniendo sentido, pero el límite ordinario de MA-CON-0011 no está definido allí, porque no existen puntos de \(D\) distintos de \(a\) arbitrariamente cerca.
Puntos aislados: continuidad automática
Sea \(a\in D\) un punto aislado, es decir, existe \(r>0\) tal que
\[ D\cap(a-r,a+r)=\{a\}. \]
Proposición — continuidad en puntos aislados
Toda función
\[ f:D\to\mathbb R \]
es continua en cada punto aislado \(a\in D\).
Demostración
Sea \(\varepsilon>0\). Elegimos un \(r>0\) que aísle a \(a\) y tomamos
\[ \delta=r. \]
Si \(x\in D\) y \(|x-a|<\delta\), necesariamente \(x=a\). Luego
\[ |f(x)-f(a)|=0<\varepsilon. \]
La continuidad es una propiedad relativa al dominio. En un punto aislado no hay otros puntos suficientemente cercanos que puedan violar la condición.
Ejemplo épsilon-delta: una función lineal
Sea
\[ f(x)=3x-2. \]
Para cualquier \(a\in\mathbb R\),
\[ |f(x)-f(a)| =|3x-2-(3a-2)| =3|x-a|. \]
Dado \(\varepsilon>0\), elegimos
\[ \boxed{\delta=\frac{\varepsilon}{3}}. \]
Entonces
\[ |x-a|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-f(a)|<3\delta=\varepsilon. \]
Así \(f\) es continua en todo \(a\in\mathbb R\).
Continuidad en extremos del dominio
Consideremos
\[ r:[0,\infty)\to\mathbb R, \qquad r(x)=\sqrt{x}. \]
En \(0\) sólo hay puntos del dominio por la derecha. Sin embargo, la definición de continuidad cuantifica únicamente sobre \(x\in[0,\infty)\).
Como
\[ r(0)=0, \]
sea \(\varepsilon>0\) y elijamos
\[ \delta=\varepsilon^2. \]
Si \(x\in[0,\infty)\) y \(|x|<\delta\), entonces
\[ 0\le x<\varepsilon^2, \]
y por tanto
\[ |r(x)-r(0)|=\sqrt{x}<\varepsilon. \]
Luego
\[ \boxed{\sqrt{x}\text{ es continua en }0\text{ en su dominio }[0,\infty).} \]
Esto concuerda con MA-CON-0012: cuando localmente el dominio sólo se aproxima por un lado, sólo ese lado interviene.
Qué puede fallar
El límite existe pero no coincide con el valor
Definamos
\[ f(x)= \begin{cases} \dfrac{x^2-1}{x-1}, & x\ne1,\\ 5, & x=1. \end{cases} \]
Para \(x\ne1\),
\[ \frac{x^2-1}{x-1}=x+1, \]
así que
\[ \lim_{x\to1}f(x)=2, \qquad f(1)=5. \]
Por tanto \(f\) no es continua en \(1\).
El límite no existe
Sea
\[ g(x)= \begin{cases} -1, & x<0,\\ 0, & x=0,\\ 1, & x>0. \end{cases} \]
Entonces
\[ \lim_{x\to0^-}g(x)=-1, \qquad \lim_{x\to0^+}g(x)=1. \]
El límite bilateral no existe, de modo que ningún valor elegido para \(g(0)\) puede hacer continua la función en \(0\).
Discontinuidad removible y extensión continua
Supongamos que una función está definida cerca de \(a\) excepto quizá en \(a\), y que
\[ \lim_{x\to a}f(x)=L. \]
Si definimos una nueva función \(F\) manteniendo los valores de \(f\) fuera de \(a\) y asignando
\[ F(a)=L, \]
entonces
\[ \lim_{x\to a}F(x)=L=F(a), \]
y \(F\) es continua en \(a\).
Extensión continua
Cuando existe un límite finito y el único obstáculo es que el valor en el punto falta o no coincide con el límite, el defecto puede repararse asignando precisamente el valor límite. Este fenómeno se denomina habitualmente discontinuidad removible.
Por ejemplo,
\[ \frac{x^2-1}{x-1},\qquad x\ne1, \]
admite una extensión continua en \(1\) definiendo el nuevo valor como \(2\).
Continuidad y operaciones algebraicas
Las leyes de MA-CON-0013 producen leyes de continuidad, pero debemos respetar la distinción entre puntos de acumulación y puntos aislados.
Teorema — estabilidad algebraica de la continuidad
Sean \(f,g:D\to\mathbb R\) continuas en \(a\in D\). Entonces también son continuas en \(a\):
\[ f+g, \qquad f-g, \qquad cf \]
para todo \(c\in\mathbb R\),
\[ fg, \]
y
\[ f^n \]
para todo entero \(n\ge1\).
Si además
\[ g(a)\ne0, \]
entonces
\[ \frac{f}{g} \]
es continua en \(a\).
Justificación
Hay dos casos.
Caso 1: \(a\) es punto aislado de \(D\). Todas las funciones definidas sobre \(D\) son continuas en \(a\), por la proposición anterior. En particular, las combinaciones algebraicas que estén definidas en \(a\) también lo son.
Caso 2: \(a\) es punto de acumulación de \(D\). Por continuidad,
\[ \lim_{x\to a}f(x)=f(a), \qquad \lim_{x\to a}g(x)=g(a). \]
Las leyes algebraicas de los límites dan, por ejemplo,
\[ \lim_{x\to a}(f+g)(x) =f(a)+g(a) =(f+g)(a), \]
y análogamente para resta, multiplicación escalar, producto y potencias.
Si \(g(a)\ne0\), entonces
\[ \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} =\frac{f(a)}{g(a)} =\left(\frac fg\right)(a), \]
por lo que el cociente es continuo en \(a\).
Consecuencias
- Todo polinomio es continuo en \(\mathbb R\).
- Toda función racional \(p/q\) es continua en cada punto de su dominio, es decir, donde \(q(a)\ne0\).
Así, para polinomios y funciones racionales en puntos de su dominio, la sustitución directa es una consecuencia de la continuidad, no una regla independiente.
Continuidad del valor absoluto
La desigualdad triangular inversa establece
\[ \big||x|-|a|\big|\le|x-a|. \]
Dado \(\varepsilon>0\), tomamos \(\delta=\varepsilon\). Si \(|x-a|<\delta\), entonces
\[ \big||x|-|a|\big|<\varepsilon. \]
Por tanto,
\[ x\mapsto|x| \]
es continua en todo \(\mathbb R\).
Composición de funciones continuas
La composición introducida en MA-CON-0008 preserva continuidad sin necesidad de separar puntos aislados y de acumulación.
Teorema — continuidad de una composición
Sean
\[ f:D\to E, \qquad g:E\to\mathbb R. \]
Si \(f\) es continua en \(a\in D\) y \(g\) es continua en \(f(a)\in E\), entonces
\[ \boxed{g\circ f\text{ es continua en }a.} \]
Demostración
Sea \(\varepsilon>0\).
Como \(g\) es continua en \(f(a)\), existe \(\eta>0\) tal que, para todo \(y\in E\),
\[ |y-f(a)|<\eta \quad\Longrightarrow\quad |g(y)-g(f(a))|<\varepsilon. \]
Como \(f\) es continua en \(a\), existe \(\delta>0\) tal que, para todo \(x\in D\),
\[ |x-a|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-f(a)|<\eta. \]
Por tanto,
\[ |x-a|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |g(f(x))-g(f(a))|<\varepsilon. \]
Como
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x)), \]
esto demuestra la continuidad de \(g\circ f\) en \(a\).
La tolerancia viaja hacia atrás
En la composición aparece el patrón
\[ \varepsilon \xleftarrow{\;g\;} \eta \xleftarrow{\;f\;} \delta. \]
Primero determinamos qué precisión necesita la entrada de \(g\); después usamos la continuidad de \(f\) para obtenerla.
Las funciones continuas pueden pasar a través del límite
Si
\[ \lim_{x\to a}f(x)=L \]
y \(g\) es continua en \(L\), entonces, siempre que la composición esté definida en los puntos relevantes,
\[ \boxed{ \lim_{x\to a}g(f(x))=g(L). } \]
La prueba utiliza el mismo esquema \(\varepsilon\to\eta\to\delta\).
La sustitución directa no es la definición de límite
Es una consecuencia de teoremas de continuidad. Si la función exterior no es continua en el valor relevante, o si la expresión queda fuera de su dominio, la sustitución formal puede ser inválida.
La continuidad preserva localmente el signo estricto
Supongamos que \(f\) es continua en \(a\) y
\[ f(a)>0. \]
Tomemos
\[ \varepsilon=\frac{f(a)}{2}. \]
Existe \(\delta>0\) tal que
\[ |x-a|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-f(a)|<\frac{f(a)}{2}. \]
Entonces
\[ f(x)>\frac{f(a)}{2}>0. \]
Análogamente, si \(f(a)<0\), entonces \(f(x)<0\) cerca de \(a\).
En particular,
\[ f(a)\ne0 \]
implica que \(f(x)\) permanece distinto de cero en algún entorno relativo de \(a\).
Continuidad en un conjunto
Continuidad en un conjunto
Sea
\[ f:D\to\mathbb R. \]
Decimos que \(f\) es continua en \(D\) si es continua en cada punto \(a\in D\).
Esto incluye extremos y puntos aislados utilizando siempre la geometría real del dominio.
Errores frecuentes
1. Olvidar que \(a\) debe pertenecer al dominio
Para continuidad necesitamos \(f(a)\).
2. Pensar que basta con que el límite exista
En un punto de acumulación también necesitamos
\[ \lim_{x\to a}f(x)=f(a). \]
3. Exigir puntos del dominio a ambos lados
La continuidad es relativa al dominio: en un extremo puede intervenir un solo lado.
4. Aplicar el criterio del límite en un punto aislado
La continuidad allí se verifica directamente; el límite de MA-CON-0011 requiere acumulación.
5. Usar la ley del cociente con denominador nulo en el punto
Para concluir continuidad de \(f/g\) en \(a\) necesitamos \(g(a)\ne0\).
Resumen estructural
La definición fundamental es
\[ \boxed{ \forall\varepsilon>0\;\exists\delta>0: |x-a|<\delta \Longrightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon \quad(x\in D). } \]
Si \(a\) es punto de acumulación de \(D\),
\[ \boxed{ f\text{ continua en }a \iff \lim_{x\to a}f(x)=f(a). } \]
Si \(a\) es aislado, toda función definida en \(a\) es continua allí.
Además:
- los extremos se tratan relativamente al dominio;
- una discontinuidad removible puede repararse asignando el valor límite;
- las operaciones algebraicas preservan continuidad cuando están definidas;
- los polinomios son continuos en \(\mathbb R\) y las funciones racionales en su dominio;
- el valor absoluto es continuo;
- la composición de funciones continuas es continua;
- una función continua exterior puede pasar a través de un límite;
- un valor no nulo de una función continua conserva localmente su signo.
La continuidad convierte así el lenguaje local de límites en una propiedad estructural de las funciones y prepara el estudio de resultados globales sobre intervalos y, posteriormente, la derivación.