Conceptos

Conceptos

Esta es una subsección de Teoría.

Reúne páginas autocontenidas dedicadas a ideas matemáticas concretas: definiciones, propiedades, demostraciones, ejemplos y conexiones que sirven de base para cursos, problemas y libros de Matemática Abierta.

Publicados

• Desigualdades cuadráticas por factorización — Cómo resolver desigualdades cuadráticas factorizables mediante el signo de sus factores lineales. (MA-CON-0001)
• Valor absoluto y desigualdades básicas — Interpretar el valor absoluto como distancia y resolver desigualdades básicas asociadas. (MA-CON-0002)
• Dominio de funciones reales con radicales — Cómo determinar el dominio real de expresiones con raíces pares, combinar restricciones y tratar radicales anidados. (MA-CON-0003)
• Intervalos e intersección de conjuntos reales — Representar subconjuntos de la recta real mediante intervalos y combinar restricciones con intersección y unión. (MA-CON-0004)
• Propiedades del orden en ℝ y manipulación de desigualdades — Reglas para transformar desigualdades reales controlando signos, sentido del orden y equivalencia. (MA-CON-0005)
• Operaciones con conjuntos reales: unión, intersección, complemento y diferencia — Combinar subconjuntos de la recta real y traducir entre operaciones conjuntistas y conectores lógicos. (MA-CON-0006)
• Funciones reales: dominio, codominio, imagen y preimagen — Definir funciones con precisión y distinguir dominio, codominio, imagen y preimagen. (MA-CON-0007)
• Composición de funciones e identidad — Encadenar funciones, controlar el dominio de la composición y entender identidad y asociatividad. (MA-CON-0008)
• Inyectividad, sobreyectividad y biyectividad — Clasificar funciones según unicidad de antecedentes y cobertura del codominio. (MA-CON-0009)
• Funciones inversas — Entender cuándo una función puede invertirse y cómo la biyectividad, las fibras y la composición determinan su inversa. (MA-CON-0010)
• Límite de una función en un punto — Formalizar la aproximación de una función mediante la definición épsilon-delta y distinguir el límite del valor de la función. (MA-CON-0011)
• Límites laterales y criterio para el límite bilateral — Separar la aproximación por izquierda y derecha y determinar cuándo ambos lados producen un mismo límite. (MA-CON-0012)
• Leyes algebraicas de los límites — Combinar límites mediante operaciones algebraicas y justificar rigurosamente suma, producto, cociente, potencias y aplicaciones a polinomios y funciones racionales. (MA-CON-0013)
• Continuidad de una función en un punto — Formalizar la continuidad relativa al dominio, relacionarla con el límite y estudiar operaciones, composición, puntos aislados, extremos y extensiones continuas. (MA-CON-0014)
• Teorema del sándwich y comparación de límites — Usar el orden y las desigualdades locales para comparar límites y forzar límites mediante el teorema del sándwich. (MA-CON-0015)
• Supremo, ínfimo y completitud de ℝ — Distinguir cotas, máximos, mínimos, supremos e ínfimos y usar la completitud de los reales como fundamento de argumentos globales de análisis. (MA-CON-0016)
• Teorema del valor intermedio y teorema de Bolzano — Combinar continuidad y completitud para demostrar rigurosamente la existencia de valores intermedios y raíces mediante una construcción con supremo. (MA-CON-0017)
• Compacidad en ℝ y teorema de Weierstrass — Introducir compacidad mediante recubrimientos abiertos, demostrar Heine–Borel en la recta real y deducir que las funciones continuas sobre compactos alcanzan máximo y mínimo. (MA-CON-0018)
• Continuidad uniforme y teorema de Heine–Cantor — Distinguir continuidad puntual de control uniforme y usar la compacidad para demostrar que toda función continua sobre un compacto es uniformemente continua. (MA-CON-0019)
• Axiomas de cuerpo y consecuencias algebraicas básicas — Separar axiomas de consecuencias y deducir la aritmética estructural de neutros, inversos, cancelación, producto nulo, división y ecuaciones lineales. (MA-CON-0020)

Mapa de relaciones

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Concepto	Prerrequisitos	Relacionado con	Problemas que lo usan
Desigualdades cuadráticas por factorización (MA-CON-0001)	—	MA-CON-0002, MA-CON-0003, MA-CON-0004, MA-CON-0005	Dominio de una función radical cuadrática (MA-PRB-0001); Dominio de un radical anidado (MA-PRB-0002)
Valor absoluto y desigualdades básicas (MA-CON-0002)	—	MA-CON-0001, MA-CON-0003, MA-CON-0004, MA-CON-0005, MA-CON-0006, MA-CON-0011	Dominio de una función radical cuadrática (MA-PRB-0001)
Dominio de funciones reales con radicales (MA-CON-0003)	—	MA-CON-0001, MA-CON-0002, MA-CON-0004, MA-CON-0005, MA-CON-0006, MA-CON-0007, MA-CON-0008, MA-CON-0011, MA-PRB-0001	Dominio de un radical anidado (MA-PRB-0002)
Intervalos e intersección de conjuntos reales (MA-CON-0004)	—	MA-CON-0001, MA-CON-0002, MA-CON-0003, MA-CON-0005, MA-CON-0006, MA-CON-0007, MA-CON-0008, MA-CON-0011, MA-CON-0012, MA-CON-0018, MA-PRB-0001, MA-PRB-0002	Dominio de una función radical cuadrática (MA-PRB-0001); Dominio de un radical anidado (MA-PRB-0002)
Propiedades del orden en ℝ y manipulación de desigualdades (MA-CON-0005)	—	MA-CON-0001, MA-CON-0002, MA-CON-0003, MA-CON-0004, MA-CON-0006, MA-CON-0011, MA-CON-0012, MA-CON-0013, MA-CON-0015, MA-CON-0016, MA-CON-0017, MA-CON-0018, MA-PRB-0001, MA-PRB-0002, MA-CON-0020	Dominio de una función radical cuadrática (MA-PRB-0001); Dominio de un radical anidado (MA-PRB-0002)
Operaciones con conjuntos reales: unión, intersección, complemento y diferencia (MA-CON-0006)	MA-CON-0004	MA-CON-0002, MA-CON-0003, MA-CON-0005, MA-CON-0007, MA-CON-0008, MA-CON-0009, MA-CON-0010, MA-CON-0016, MA-CON-0018, MA-PRB-0001, MA-PRB-0002	Dominio de una función radical cuadrática (MA-PRB-0001); Dominio de un radical anidado (MA-PRB-0002)
Funciones reales: dominio, codominio, imagen y preimagen (MA-CON-0007)	MA-CON-0004, MA-CON-0006	MA-CON-0003, MA-CON-0008, MA-CON-0009, MA-CON-0010, MA-CON-0011, MA-CON-0012, MA-CON-0014, MA-CON-0018, MA-PRB-0001, MA-PRB-0002	Dominio de una función radical cuadrática (MA-PRB-0001); Dominio de un radical anidado (MA-PRB-0002)
Composición de funciones e identidad (MA-CON-0008)	MA-CON-0007	MA-CON-0003, MA-CON-0004, MA-CON-0006, MA-CON-0009, MA-CON-0010, MA-CON-0014, MA-CON-0019	—
Inyectividad, sobreyectividad y biyectividad (MA-CON-0009)	MA-CON-0007, MA-CON-0008	MA-CON-0006, MA-CON-0010	—
Funciones inversas (MA-CON-0010)	MA-CON-0007, MA-CON-0008, MA-CON-0009	MA-CON-0006, MA-CON-0011	—
Límite de una función en un punto (MA-CON-0011)	MA-CON-0002, MA-CON-0004, MA-CON-0005, MA-CON-0007	MA-CON-0003, MA-CON-0010, MA-CON-0012, MA-CON-0013, MA-CON-0014, MA-CON-0015	—
Límites laterales y criterio para el límite bilateral (MA-CON-0012)	MA-CON-0011	MA-CON-0004, MA-CON-0005, MA-CON-0007, MA-CON-0013, MA-CON-0014, MA-CON-0015	—
Leyes algebraicas de los límites (MA-CON-0013)	MA-CON-0011	MA-CON-0005, MA-CON-0012, MA-CON-0014, MA-CON-0015	—
Continuidad de una función en un punto (MA-CON-0014)	MA-CON-0008, MA-CON-0011, MA-CON-0013	MA-CON-0007, MA-CON-0012, MA-CON-0015, MA-CON-0016, MA-CON-0017, MA-CON-0018, MA-CON-0019	—
Teorema del sándwich y comparación de límites (MA-CON-0015)	MA-CON-0005, MA-CON-0011	MA-CON-0012, MA-CON-0013, MA-CON-0014, MA-CON-0016, MA-CON-0017	—
Supremo, ínfimo y completitud de ℝ (MA-CON-0016)	MA-CON-0005, MA-CON-0006	MA-CON-0014, MA-CON-0015, MA-CON-0017, MA-CON-0018, MA-CON-0019, MA-CON-0020	—
Teorema del valor intermedio y teorema de Bolzano (MA-CON-0017)	MA-CON-0005, MA-CON-0014, MA-CON-0016	MA-CON-0015, MA-CON-0018, MA-CON-0019	—
Compacidad en ℝ y teorema de Weierstrass (MA-CON-0018)	MA-CON-0004, MA-CON-0006, MA-CON-0014, MA-CON-0016	MA-CON-0017, MA-CON-0019	—
Continuidad uniforme y teorema de Heine–Cantor (MA-CON-0019)	MA-CON-0008, MA-CON-0014, MA-CON-0018	MA-CON-0016, MA-CON-0017	—
Axiomas de cuerpo y consecuencias algebraicas básicas (MA-CON-0020)	MA-BCH-0001	MA-CON-0005, MA-CON-0016, MA-PRB-0005	Producto nulo y cancelación en un cuerpo (MA-PRB-0006)