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Conceptos

Páginas autocontenidas para estudiar una idea matemática con precisión: definición, estructura, ejemplos, demostraciones y conexiones con el resto de Matemática Abierta.

20conceptos publicados

4núcleos temáticos

1mapa de relaciones

Fundamentos Funciones Límites Análisis real Ruta de estudio Mapa de relaciones

Fundamentos algebraicos y orden

Lenguaje elemental para trabajar con desigualdades, conjuntos, intervalos, orden y la estructura algebraica de los números reales.

FundamentosMA-CON-0020

Axiomas de cuerpo y consecuencias algebraicas básicas

De los axiomas a neutros, inversos, cancelación, producto nulo, división y ecuaciones lineales.

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OrdenMA-CON-0005

Propiedades del orden en ℝ

Reglas para transformar desigualdades controlando signos, sentido del orden y equivalencia.

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OrdenMA-CON-0002

Valor absoluto y desigualdades básicas

Valor absoluto como distancia y resolución de las desigualdades básicas asociadas.

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ÁlgebraMA-CON-0001

Desigualdades cuadráticas por factorización

Resolución mediante factorización y análisis del signo de factores lineales.

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ConjuntosMA-CON-0004

Intervalos e intersección de conjuntos reales

Representación de subconjuntos de ℝ y combinación de restricciones con intersección y unión.

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ConjuntosMA-CON-0006

Operaciones con conjuntos reales

Unión, intersección, complemento, diferencia y su lectura mediante conectores lógicos.

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Funciones

De la definición precisa de función a composición, tipos de correspondencia, inversas y restricciones de dominio.

FuncionesMA-CON-0007

Dominio, codominio, imagen y preimagen

Los cuatro objetos que fijan el lenguaje básico de las funciones reales.

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DominioMA-CON-0003

Dominio de funciones reales con radicales

Restricciones de raíces pares, combinaciones de condiciones y radicales anidados.

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FuncionesMA-CON-0008

Composición de funciones e identidad

Encadenamiento, dominio de la composición, identidad y asociatividad.

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FuncionesMA-CON-0009

Inyectividad, sobreyectividad y biyectividad

Clasificación mediante unicidad de antecedentes y cobertura del codominio.

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FuncionesMA-CON-0010

Funciones inversas

Cuándo una función admite inversa y cómo intervienen biyectividad, fibras y composición.

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Límites

La aproximación local de una función, desde la definición ε–δ hasta las leyes algebraicas y los criterios de comparación.

LímitesMA-CON-0011

Límite de una función en un punto

Definición épsilon-delta y distinción entre límite y valor de la función.

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LímitesMA-CON-0012

Límites laterales y límite bilateral

Aproximación por izquierda y derecha y criterio de coincidencia de ambos límites.

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LímitesMA-CON-0013

Leyes algebraicas de los límites

Suma, producto, cociente, potencias y aplicaciones a polinomios y funciones racionales.

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LímitesMA-CON-0015

Teorema del sándwich y comparación

Orden y desigualdades locales para comparar y forzar límites.

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Continuidad y análisis real

Continuidad, completitud y compacidad como piezas estructurales de los teoremas de existencia del análisis.

ContinuidadMA-CON-0014

Continuidad de una función en un punto

Continuidad relativa al dominio, operaciones, composición, extremos y extensiones continuas.

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CompletitudMA-CON-0016

Supremo, ínfimo y completitud de ℝ

Cotas, máximos, mínimos, supremos e ínfimos y el papel fundacional de la completitud.

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ExistenciaMA-CON-0017

Valor intermedio y teorema de Bolzano

Continuidad y completitud combinadas para demostrar existencia de valores y raíces.

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CompacidadMA-CON-0018

Compacidad en ℝ y teorema de Weierstrass

Recubrimientos abiertos, Heine–Borel y existencia de máximos y mínimos.

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ContinuidadMA-CON-0019

Continuidad uniforme y Heine–Cantor

Del control puntual al uniforme y el papel de la compacidad en ese paso.

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Lectura complementaria: ¿Cuándo deja una integral de ser un área? — de la interpretación geométrica a la integración abstracta (MA-ART-0017).

Una ruta posible

El índice puede consultarse libremente. Esta secuencia mantiene visibles las dependencias principales para una primera lectura continua.

1Estructura y orden

Cuerpo → orden → valor absoluto → intervalos y conjuntos.

2Funciones

Definición → composición → biyectividad → inversa.

3Límites

Definición ε–δ → laterales → leyes → comparación.

4Análisis real

Continuidad → completitud → existencia → compacidad → uniformidad.

Mapa de relaciones

Prerrequisitos, contenidos relacionados y problemas asociados para los veinte conceptos publicados.

Abrir mapa completo de relaciones

Concepto	Prerrequisitos	Relacionado con	Problemas que lo usan
Desigualdades cuadráticas por factorización (MA-CON-0001)	—	MA-CON-0002, MA-CON-0003, MA-CON-0004, MA-CON-0005	Dominio de una función radical cuadrática (MA-PRB-0001); Dominio de un radical anidado (MA-PRB-0002)
Valor absoluto y desigualdades básicas (MA-CON-0002)	—	MA-CON-0001, MA-CON-0003, MA-CON-0004, MA-CON-0005, MA-CON-0006, MA-CON-0011	Dominio de una función radical cuadrática (MA-PRB-0001)
Dominio de funciones reales con radicales (MA-CON-0003)	—	MA-CON-0001, MA-CON-0002, MA-CON-0004, MA-CON-0005, MA-CON-0006, MA-CON-0007, MA-CON-0008, MA-CON-0011, MA-PRB-0001	Dominio de un radical anidado (MA-PRB-0002)
Intervalos e intersección de conjuntos reales (MA-CON-0004)	—	MA-CON-0001, MA-CON-0002, MA-CON-0003, MA-CON-0005, MA-CON-0006, MA-CON-0007, MA-CON-0008, MA-CON-0011, MA-CON-0012, MA-CON-0018, MA-PRB-0001, MA-PRB-0002	Dominio de una función radical cuadrática (MA-PRB-0001); Dominio de un radical anidado (MA-PRB-0002)
Propiedades del orden en ℝ y manipulación de desigualdades (MA-CON-0005)	—	MA-CON-0001, MA-CON-0002, MA-CON-0003, MA-CON-0004, MA-CON-0006, MA-CON-0011, MA-CON-0012, MA-CON-0013, MA-CON-0015, MA-CON-0016, MA-CON-0017, MA-CON-0018, MA-PRB-0001, MA-PRB-0002, MA-CON-0020	Dominio de una función radical cuadrática (MA-PRB-0001); Dominio de un radical anidado (MA-PRB-0002)
Operaciones con conjuntos reales: unión, intersección, complemento y diferencia (MA-CON-0006)	MA-CON-0004	MA-CON-0002, MA-CON-0003, MA-CON-0005, MA-CON-0007, MA-CON-0008, MA-CON-0009, MA-CON-0010, MA-CON-0016, MA-CON-0018, MA-PRB-0001, MA-PRB-0002	Dominio de una función radical cuadrática (MA-PRB-0001); Dominio de un radical anidado (MA-PRB-0002)
Funciones reales: dominio, codominio, imagen y preimagen (MA-CON-0007)	MA-CON-0004, MA-CON-0006	MA-CON-0003, MA-CON-0008, MA-CON-0009, MA-CON-0010, MA-CON-0011, MA-CON-0012, MA-CON-0014, MA-CON-0018, MA-PRB-0001, MA-PRB-0002	Dominio de una función radical cuadrática (MA-PRB-0001); Dominio de un radical anidado (MA-PRB-0002)
Composición de funciones e identidad (MA-CON-0008)	MA-CON-0007	MA-CON-0003, MA-CON-0004, MA-CON-0006, MA-CON-0009, MA-CON-0010, MA-CON-0014, MA-CON-0019	—
Inyectividad, sobreyectividad y biyectividad (MA-CON-0009)	MA-CON-0007, MA-CON-0008	MA-CON-0006, MA-CON-0010	—
Funciones inversas (MA-CON-0010)	MA-CON-0007, MA-CON-0008, MA-CON-0009	MA-CON-0006, MA-CON-0011	—
Límite de una función en un punto (MA-CON-0011)	MA-CON-0002, MA-CON-0004, MA-CON-0005, MA-CON-0007	MA-CON-0003, MA-CON-0010, MA-CON-0012, MA-CON-0013, MA-CON-0014, MA-CON-0015	—
Límites laterales y criterio para el límite bilateral (MA-CON-0012)	MA-CON-0011	MA-CON-0004, MA-CON-0005, MA-CON-0007, MA-CON-0013, MA-CON-0014, MA-CON-0015	—
Leyes algebraicas de los límites (MA-CON-0013)	MA-CON-0011	MA-CON-0005, MA-CON-0012, MA-CON-0014, MA-CON-0015	—
Continuidad de una función en un punto (MA-CON-0014)	MA-CON-0008, MA-CON-0011, MA-CON-0013	MA-CON-0007, MA-CON-0012, MA-CON-0015, MA-CON-0016, MA-CON-0017, MA-CON-0018, MA-CON-0019	—
Teorema del sándwich y comparación de límites (MA-CON-0015)	MA-CON-0005, MA-CON-0011	MA-CON-0012, MA-CON-0013, MA-CON-0014, MA-CON-0016, MA-CON-0017	—
Supremo, ínfimo y completitud de ℝ (MA-CON-0016)	MA-CON-0005, MA-CON-0006	MA-CON-0014, MA-CON-0015, MA-CON-0017, MA-CON-0018, MA-CON-0019, MA-CON-0020	—
Teorema del valor intermedio y teorema de Bolzano (MA-CON-0017)	MA-CON-0005, MA-CON-0014, MA-CON-0016	MA-CON-0015, MA-CON-0018, MA-CON-0019	—
Compacidad en ℝ y teorema de Weierstrass (MA-CON-0018)	MA-CON-0004, MA-CON-0006, MA-CON-0014, MA-CON-0016	MA-CON-0017, MA-CON-0019	—
Continuidad uniforme y teorema de Heine–Cantor (MA-CON-0019)	MA-CON-0008, MA-CON-0014, MA-CON-0018	MA-CON-0016, MA-CON-0017	—
Axiomas de cuerpo y consecuencias algebraicas básicas (MA-CON-0020)	MA-BCH-0001	MA-CON-0005, MA-CON-0016, MA-PRB-0005	Producto nulo y cancelación en un cuerpo (MA-PRB-0006)