Resultados y teoremas

Índice transversal de resultados matemáticos que merece la pena localizar y reutilizar independientemente del capítulo o concepto donde se demuestran.

Fundamentos de la demostración

Principio de contraposición — una implicación y su contrapositiva son lógicamente equivalentes.
Principio de inducción matemática — caso base más transmisión de \(P(n)\) a \(P(n+1)\).

Construcción y completitud de los números reales

Aproximación ε al supremo (MA-CON-0016) — si \(s=\sup A\), los elementos de \(A\) se acercan arbitrariamente a \(s\) desde abajo: para todo \(\varepsilon>0\) existe \(x\in A\) con \(s-\varepsilon<x\le s\).
Criterio del supremo (MA-CON-0016) — una cota superior \(s\) es el supremo exactamente cuando para todo \(\varepsilon>0\) algún elemento de \(A\) queda por encima de \(s-\varepsilon\).
Aproximación ε al ínfimo (MA-CON-0016) — si \(i=\inf A\), para todo \(\varepsilon>0\) existe \(x\in A\) con \(i\le x<i+\varepsilon\); la propiedad recíproca caracteriza al ínfimo entre las cotas inferiores.
Propiedad arquimediana (MA-CON-0016) — los números naturales no están acotados superiormente en \(\mathbb R\).
La propiedad arquimediana: de Eudoxo a Arquímedes y al análisis moderno (MA-ART-0014) — definición moderna, formulaciones equivalentes, ejemplos, infinitesimales y genealogía Eudoxo–Euclides–Arquímedes.
Unicidad del supremo y del ínfimo (MA-CON-0016) — cuando existen, el supremo y el ínfimo de un conjunto son únicos.
Monotonía del supremo (MA-CON-0016) — si \(A\subseteq B\), entonces \(\sup A\le\sup B\) siempre que ambos supremos existan.
Monotonía del ínfimo (MA-CON-0016) — si \(A\subseteq B\), entonces \(\inf B\le\inf A\) siempre que ambos ínfimos existan.

Estructura algebraica de los cuerpos

Unicidad de neutros e inversos (MA-CON-0020) — los elementos neutros y los inversos determinados por los axiomas son únicos.
Absorción del cero y reglas de signos (MA-CON-0020) — de los axiomas se deducen \(0a=0\), \((-1)a=-a\) y las reglas de signos.
Leyes de cancelación (MA-CON-0020) — la cancelación multiplicativa requiere que el factor cancelado sea no nulo.
Propiedad del producto nulo (MA-CON-0020) — en un cuerpo, \(ab=0\) si y solo si \(a=0\) o \(b=0\).

Números complejos y trigonometría

El teorema de De Moivre: potencias, rotaciones y raíces complejas (MA-ART-0012) — demostración elemental, interpretación geométrica, potencias y raíces complejas, raíces de la unidad e identidades de ángulo múltiple.

Desigualdades y estimaciones

La desigualdad triangular: demostraciones, variantes y su papel en el análisis (MA-ART-0003) — demostraciones en cuerpos ordenados, \(\mathbb C\), espacios euclidianos y \(\ell^p\); desigualdad inversa, casos de igualdad, normas, métricas y aplicaciones a límites y convergencia.
Laboratorio interactivo de la desigualdad triangular (MA-APP-0001) — mover tres puntos, explorar desplazamientos en la recta y reconstruir una prueba euclidiana; la experimentación visual no sustituye la demostración.
La desigualdad de Cauchy–Schwarz: de una suma de cuadrados a los espacios con producto interno (MA-ART-0004) — demostraciones por inducción, sumas de cuadrados, normalización e identidad de Lagrange; igualdad, producto interno y extensiones al análisis.
Laboratorio interactivo de Cauchy–Schwarz (MA-APP-0002) — explora el cuadrado del defecto, el parámetro de Labbé y la interpretación geométrica sin sustituir la demostración.

Sumas finitas y cálculo discreto

Identidad de sumación para productos consecutivos (MA-ART-0001) — fórmula cerrada para \(\sum_{i=0}^{n}\prod_{j=1}^{m}(i+j)\), con demostraciones por inducción y por diferencias finitas/telescopaje.

Límites y continuidad

Unicidad del límite (MA-CON-0011) — si un límite finito existe, su valor es único.
Criterio bilateral mediante límites laterales (MA-CON-0012) — cuando hay acumulación por ambos lados, el límite bilateral existe exactamente cuando los dos límites laterales existen y coinciden.
Ley de la suma de límites (MA-CON-0013) — el límite de una suma es la suma de los límites cuando ambos existen.
Ley del producto de límites (MA-CON-0013) — el límite de un producto es el producto de los límites cuando ambos existen.
Ley del cociente de límites (MA-CON-0013) — el límite de un cociente es el cociente de los límites cuando el límite del denominador es no nulo.
Criterio de continuidad mediante el límite (MA-CON-0014) — en un punto de acumulación del dominio, continuidad en \(a\) equivale a \(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\).
Continuidad de una composición (MA-CON-0014) — la composición de funciones continuas es continua en los puntos donde la composición está definida.
Teorema del sándwich (MA-CON-0015) — si una función queda acotada entre otras dos con el mismo límite, su límite coincide con el de ambas.
Teorema del valor intermedio (MA-CON-0017) — una función continua en un intervalo alcanza todos los valores comprendidos entre los valores de sus extremos.
Teorema de Bolzano (MA-CON-0017) — si una función continua cambia de signo entre los extremos de un intervalo, posee al menos una raíz en su interior.

Compacidad y control global

Teorema de Heine–Borel en ℝ (MA-CON-0018) — un subconjunto de \(\mathbb R\) es compacto si y sólo si es cerrado y acotado.
Imagen continua de un compacto (MA-CON-0018) — la imagen de un conjunto compacto mediante una función continua vuelve a ser compacta.
Teorema de Weierstrass (MA-CON-0018) — una función continua sobre un compacto no vacío alcanza un máximo y un mínimo.
Teorema de Heine–Cantor (MA-CON-0019) — toda función continua sobre un conjunto compacto es uniformemente continua.

Los resultados se mantienen en su contexto pedagógico original, pero este índice permite encontrarlos desde problemas, cursos, libros y mapas conceptuales.