Desigualdades cuadráticas por factorización
Una ecuación como
\[ (x-a)(x-b)=0 \]
se resuelve buscando cuándo alguno de los factores es cero. En una desigualdad, en cambio, necesitamos saber cuándo el producto es positivo, negativo o nulo.
La idea central es sencilla: el signo de un producto depende del signo de cada factor.
En esta página estudiaremos primero el caso de dos raíces reales distintas y después veremos qué cambia cuando ambas raíces coinciden.
Regla fundamental
Sean \(a,b\in\mathbb{R}\) con \(a<b\). Entonces
\[ (x-a)(x-b)\le 0 \quad\Longleftrightarrow\quad a\le x\le b. \]
Es decir, un producto de dos factores lineales con raíces \(a<b\) es no positivo entre las raíces, incluyéndolas.
Análogamente,
\[ (x-a)(x-b)\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\le a\;\text{o}\;x\ge b. \]
Fuera del intervalo entre las raíces, los dos factores tienen el mismo signo y su producto es no negativo.
Para desigualdades estrictas, los puntos donde el producto vale cero quedan excluidos:
\[ (x-a)(x-b)<0 \quad\Longleftrightarrow\quad a<x<b, \]
y
\[ (x-a)(x-b)>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x<a\;\text{o}\;x>b. \]
Por qué funciona
Las raíces \(a\) y \(b\) dividen la recta real en tres regiones:
\[ (-\infty,a),\qquad (a,b),\qquad (b,\infty). \]
Analicemos el signo de cada factor.
Si \(x<a\)
Como \(x<a<b\),
\[ x-a<0 \qquad\text{y}\qquad x-b<0. \]
Por tanto,
\[ (x-a)(x-b)>0. \]
Si \(a<x<b\)
Ahora
\[ x-a>0 \qquad\text{y}\qquad x-b<0, \]
de modo que
\[ (x-a)(x-b)<0. \]
Si \(x>b\)
Entonces
\[ x-a>0 \qquad\text{y}\qquad x-b>0, \]
por lo que
\[ (x-a)(x-b)>0. \]
Finalmente, en \(x=a\) o \(x=b\) uno de los factores es cero, así que el producto también es cero.
El patrón completo es, por tanto,
| Región | \(x-a\) | \(x-b\) | Producto |
|---|---|---|---|
| \(x<a\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) |
| \(x=a\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) |
| \(a<x<b\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) |
| \(x=b\) | \(+\) | \(0\) | \(0\) |
| \(x>b\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
Ejemplo
Resolvamos
\[ x^2-x-6\le 0. \]
Primero factorizamos:
\[ x^2-x-6=(x-3)(x+2). \]
La desigualdad queda
\[ (x-3)(x+2)\le 0. \]
Las raíces son
\[ -2<3. \]
Aplicando la regla fundamental,
\[ -2\le x\le 3. \]
Por tanto, el conjunto solución es
\[ \boxed{[-2,3]}. \]
Si la desigualdad hubiera sido estricta,
\[ x^2-x-6<0, \]
los extremos no pertenecerían al conjunto solución y obtendríamos
\[ \boxed{(-2,3)}. \]
Cuando aparece un signo negativo delante
Hay que prestar especial atención a expresiones como
\[ -(x-a)(x-b)\ge 0. \]
Multiplicar ambos miembros de una desigualdad por \(-1\) invierte el sentido de la desigualdad. Así,
\[ -(x-a)(x-b)\ge 0 \]
equivale a
\[ (x-a)(x-b)\le 0. \]
Este cambio de sentido es una fuente frecuente de errores.
Por ejemplo,
\[ -x^2+5x-6\ge 0 \]
se factoriza como
\[ -(x-2)(x-3)\ge 0. \]
Al multiplicar por \(-1\) obtenemos
\[ (x-2)(x-3)\le 0, \]
y por tanto
\[ \boxed{2\le x\le 3}. \]
Forma general con dos raíces distintas
Si una expresión cuadrática puede escribirse como
\[ A(x-r_1)(x-r_2), \]
con \(A\ne0\) y \(r_1<r_2\), entonces su signo depende de dos cosas:
- el signo de \((x-r_1)(x-r_2)\);
- el signo del coeficiente \(A\).
Si \(A>0\), la expresión es positiva fuera de las raíces, negativa entre ellas y cero en \(r_1\) y \(r_2\). Si \(A<0\), los signos positivo y negativo se invierten, mientras que las raíces siguen siendo puntos donde la expresión vale cero.
Caso de raíz doble
La condición \(r_1<r_2\) es importante. Si las dos raíces coinciden, la expresión tiene la forma
\[ A(x-r)^2. \]
Como
\[ (x-r)^2\ge 0 \]
para todo \(x\in\mathbb{R}\), el factor cuadrado no cambia de signo al atravesar \(r\).
Si \(A>0\), entonces
\[ A(x-r)^2\ge 0 \]
para todo \(x\), con igualdad únicamente en \(x=r\). En particular,
\[ A(x-r)^2\le0 \quad\Longleftrightarrow\quad x=r. \]
Si \(A<0\), el patrón se invierte:
\[ A(x-r)^2\le0 \]
para todo \(x\), con igualdad únicamente en \(x=r\).
Por eso no debemos aplicar mecánicamente la regla «negativo entre las raíces» cuando las dos raíces son iguales: en ese caso no existe un intervalo abierto entre raíces distintas.
¿Y si no hay raíces reales?
El método de esta página parte de una factorización en factores lineales reales. Si una cuadrática no tiene raíces reales, no puede escribirse en la forma
\[ A(x-r_1)(x-r_2) \]
con \(r_1,r_2\in\mathbb{R}\).
En ese caso hace falta otro análisis —por ejemplo, mediante el discriminante, la forma de vértice o propiedades de la parábola—. Por tanto, la regla de los dos factores lineales no debe aplicarse fuera de su hipótesis de factorización real.
Procedimiento práctico
Para una desigualdad cuadrática factorizable sobre los reales:
- lleva todos los términos a un mismo miembro;
- factoriza la expresión;
- identifica y ordena las raíces reales;
- determina el signo de los factores en los intervalos separados por esas raíces;
- controla el signo del coeficiente que multiplica a los factores;
- incluye las raíces si la desigualdad usa \(\le\) o \(\ge\), y exclúyelas si usa \(<\) o \(>\).
La idea esencial puede resumirse así:
\[ \boxed{\text{factorizar}\;\longrightarrow\;\text{ordenar raíces}\;\longrightarrow\;\text{analizar signos}}. \]
Esta secuencia permite resolver muchas desigualdades cuadráticas sin expandir nuevamente el polinomio: una vez obtenida la factorización, basta con controlar los signos y los puntos donde la expresión se anula.