Leyes algebraicas de los límites
Una vez definida rigurosamente la noción de límite, el siguiente paso es entender cómo se comporta frente a las operaciones algebraicas habituales.
Si sabemos que
\[ \lim_{x\to a}f(x)=L \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to a}g(x)=M, \]
queremos justificar afirmaciones como
\[ \lim_{x\to a}(f(x)+g(x))=L+M \]
o
\[ \lim_{x\to a}(f(x)g(x))=LM. \]
Estas fórmulas son familiares, pero en análisis no se aceptan como simples reglas de manipulación simbólica: se deducen de la definición épsilon-delta.
Intuición
Si \(f(x)\) está cerca de \(L\) y \(g(x)\) está cerca de \(M\), entonces:
- \(f(x)+g(x)\) debe estar cerca de \(L+M\);
- \(f(x)g(x)\) debe estar cerca de \(LM\);
- si \(M\ne0\), entonces \(g(x)\) permanece lejos de \(0\) cuando \(x\) está suficientemente cerca de \(a\), y por ello \(f(x)/g(x)\) debe estar cerca de \(L/M\).
La dificultad matemática consiste en convertir estas intuiciones en controles cuantitativos precisos.
Marco común
En esta página trabajaremos principalmente con dos funciones
\[ f,g:D\to\mathbb R, \]
definidas sobre un mismo conjunto
\[ D\subseteq\mathbb R, \]
y con \(a\) punto de acumulación de \(D\).
Supondremos que
\[ \lim_{x\to a}f(x)=L, \qquad \lim_{x\to a}g(x)=M. \]
Trabajar sobre un dominio común evita una dificultad secundaria: si dos funciones están definidas sobre dominios distintos, la suma, el producto o el cociente sólo están definidos donde ambos dominios se intersectan.
Las leyes que probaremos se aplican igualmente a límites laterales, siempre que el punto sea de acumulación por el lado correspondiente.
Primeras leyes: constantes e identidad
Antes de combinar funciones conviene fijar dos límites básicos.
Límite de una función constante
Para cualquier \(c\in\mathbb R\),
\[ \boxed{ \lim_{x\to a}c=c. } \]
La demostración es inmediata. Para todo \(x\),
\[ |c-c|=0. \]
Por tanto, dado cualquier \(\varepsilon>0\), cualquier elección de \(\delta>0\) satisface
\[ 0<|x-a|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |c-c|<\varepsilon. \]
Límite de la función identidad
Si \(a\) es punto de acumulación de \(D\), entonces
\[ \boxed{ \lim_{x\to a}x=a. } \]
En efecto,
\[ |x-a|<\delta. \]
Dado \(\varepsilon>0\), basta elegir
\[ \delta=\varepsilon. \]
Multiplicación por una constante
Sea \(c\in\mathbb R\).
Entonces
\[ \boxed{ \lim_{x\to a}cf(x)=cL. } \]
Si \(c=0\), la afirmación es inmediata.
Si \(c\ne0\), dado \(\varepsilon>0\), como
\[ \lim_{x\to a}f(x)=L, \]
podemos exigir
\[ |f(x)-L|<\frac{\varepsilon}{|c|}. \]
Entonces
\[ |cf(x)-cL| =|c|\,|f(x)-L| <\varepsilon. \]
Ley de la suma
Teorema — suma de límites
Si
\[ \lim_{x\to a}f(x)=L \]
y
\[ \lim_{x\to a}g(x)=M, \]
entonces
\[ \boxed{ \lim_{x\to a}(f(x)+g(x))=L+M. } \]
Demostración
Sea \(\varepsilon>0\).
Como
\[ \lim_{x\to a}f(x)=L, \]
existe \(\delta_f>0\) tal que
\[ 0<|x-a|<\delta_f \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<\frac{\varepsilon}{2}. \]
Del mismo modo, existe \(\delta_g>0\) tal que
\[ 0<|x-a|<\delta_g \quad\Longrightarrow\quad |g(x)-M|<\frac{\varepsilon}{2}. \]
Elegimos
\[ \delta=\min\{\delta_f,\delta_g\}. \]
Si
\[ 0<|x-a|<\delta, \]
entonces ambas estimaciones son válidas y, por la desigualdad triangular,
\[ \begin{aligned} |(f(x)+g(x))-(L+M)| &=|(f(x)-L)+(g(x)-M)|\\ &\le |f(x)-L|+|g(x)-M|\\ &<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}\\ &=\varepsilon. \end{aligned} \]
Por tanto,
\[ \lim_{x\to a}(f(x)+g(x))=L+M. \]
Una técnica que aparecerá repetidamente
Cuando necesitamos satisfacer simultáneamente varias condiciones locales, obtenemos varios radios
\[ \delta_1,\delta_2,\ldots \]
y tomamos
\[ \boxed{ \delta=\min\{\delta_1,\delta_2,\ldots\}. } \]
Así garantizamos que todas las condiciones sean válidas al mismo tiempo.
Ley de la resta
Como
\[ f(x)-g(x)=f(x)+(-1)g(x), \]
las leyes anteriores implican inmediatamente
\[ \boxed{ \lim_{x\to a}(f(x)-g(x))=L-M. } \]
Un lema fundamental: una función con límite finito está localmente acotada
La suma se controla directamente mediante la desigualdad triangular. El producto requiere una idea adicional.
Lema — acotación local
Si
\[ \lim_{x\to a}f(x)=L, \]
entonces existe un \(r>0\) y un número \(K>0\) tales que
\[ 0<|x-a|<r \quad\Longrightarrow\quad |f(x)|\le K. \]
Demostración
Tomemos, por ejemplo,
\[ \varepsilon=1. \]
Por la definición de límite existe \(r>0\) tal que
\[ 0<|x-a|<r \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<1. \]
Entonces
\[ |f(x)| \le |f(x)-L|+|L| <1+|L|. \]
Podemos tomar
\[ K=|L|+1. \]
Qué significa el lema
La existencia de un límite real impide que la función se vuelva arbitrariamente grande en un entorno perforado suficientemente pequeño del punto.
No estamos afirmando que \(f\) sea globalmente acotada, sino sólo que lo es localmente cerca de \(a\).
Ley del producto
Teorema — producto de límites
Si
\[ \lim_{x\to a}f(x)=L \]
y
\[ \lim_{x\to a}g(x)=M, \]
entonces
\[ \boxed{ \lim_{x\to a}f(x)g(x)=LM. } \]
Demostración
Queremos controlar
\[ |f(x)g(x)-LM|. \]
Añadimos y restamos \(f(x)M\):
\[ \begin{aligned} f(x)g(x)-LM &=f(x)g(x)-f(x)M+f(x)M-LM\\ &=f(x)(g(x)-M)+M(f(x)-L). \end{aligned} \]
Por tanto,
\[ |f(x)g(x)-LM| \le |f(x)|\,|g(x)-M| +|M|\,|f(x)-L|. \]
Por el lema de acotación local, existe \(r>0\) tal que
\[ 0<|x-a|<r \quad\Longrightarrow\quad |f(x)|\le |L|+1. \]
Definamos
\[ A=|L|+1. \]
Dado \(\varepsilon>0\), podemos elegir \(\delta_1>0\) de modo que
\[ 0<|x-a|<\delta_1 \quad\Longrightarrow\quad |g(x)-M|<\frac{\varepsilon}{2A}. \]
También elegimos \(\delta_2>0\) tal que
\[ 0<|x-a|<\delta_2 \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<\frac{\varepsilon}{2(|M|+1)}. \]
Finalmente tomamos
\[ \delta=\min\{r,\delta_1,\delta_2\}. \]
Entonces
\[ \begin{aligned} |f(x)g(x)-LM| &\le |f(x)|\,|g(x)-M|+|M|\,|f(x)-L|\\ &< A\frac{\varepsilon}{2A} +|M|\frac{\varepsilon}{2(|M|+1)}\\ &<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}\\ &=\varepsilon. \end{aligned} \]
Así queda demostrada la ley del producto.
Potencias naturales
Aplicando repetidamente la ley del producto obtenemos, para todo entero \(n\ge1\),
\[ \boxed{ \lim_{x\to a}(f(x))^n=L^n. } \]
Por ejemplo,
\[ \lim_{x\to a}(f(x))^3 = \left(\lim_{x\to a}f(x)\right)^3. \]
Para \(n=0\), cuando la expresión considerada es la función constante \(1\), el resultado se reduce a
\[ \lim_{x\to a}1=1. \]
Separación local de cero
Antes de tratar cocientes necesitamos demostrar que una función cuyo límite es distinto de cero no puede anularse arbitrariamente cerca del punto.
Lema — separación de cero
Si
\[ \lim_{x\to a}g(x)=M \]
y
\[ M\ne0, \]
entonces existe \(r>0\) tal que
\[ 0<|x-a|<r \quad\Longrightarrow\quad |g(x)|>\frac{|M|}{2}>0. \]
Demostración
Tomamos
\[ \varepsilon=\frac{|M|}{2}. \]
Existe \(r>0\) tal que
\[ 0<|x-a|<r \quad\Longrightarrow\quad |g(x)-M|<\frac{|M|}{2}. \]
Por la desigualdad triangular inversa,
\[ |g(x)| \ge |M|-|g(x)-M| > |M|-\frac{|M|}{2} = \frac{|M|}{2}. \]
En particular,
\[ g(x)\ne0 \]
para todo \(x\) suficientemente cercano a \(a\), salvo eventualmente el propio punto \(a\).
Consecuencia conceptual
La condición \(M\ne0\) en la ley del cociente no es un detalle formal. Es lo que garantiza que el denominador deja de acercarse peligrosamente a cero en un entorno perforado suficientemente pequeño.
Límite del recíproco
Si
\[ \lim_{x\to a}g(x)=M \qquad\text{con}\qquad M\ne0, \]
entonces
\[ \boxed{ \lim_{x\to a}\frac{1}{g(x)}=\frac{1}{M}. } \]
Demostración
Por el lema anterior, para \(x\) suficientemente cercano a \(a\),
\[ |g(x)|>\frac{|M|}{2}. \]
Entonces
\[ \begin{aligned} \left| \frac1{g(x)}-\frac1M \right| &= \frac{|M-g(x)|}{|g(x)|\,|M|}\\ &< \frac{2}{|M|^2}|g(x)-M|. \end{aligned} \]
Dado \(\varepsilon>0\), basta exigir simultáneamente
\[ |g(x)-M|<\frac{|M|}{2} \]
y
\[ |g(x)-M|<\frac{\varepsilon |M|^2}{2}. \]
La definición de límite permite obtener un \(\delta>0\) que satisfaga ambas condiciones tomando el mínimo de los radios correspondientes.
Entonces
\[ \left| \frac1{g(x)}-\frac1M \right|<\varepsilon. \]
Ley del cociente
Teorema — cociente de límites
Si
\[ \lim_{x\to a}f(x)=L, \qquad \lim_{x\to a}g(x)=M, \]
con
\[ M\ne0, \]
entonces, donde el cociente está definido,
\[ \boxed{ \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}. } \]
La demostración se obtiene escribiendo
\[ \frac{f(x)}{g(x)} = f(x)\frac1{g(x)} \]
y aplicando la ley del producto junto con el límite del recíproco.
Resumen de las leyes algebraicas
Si
\[ \lim_{x\to a}f(x)=L \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to a}g(x)=M, \]
entonces:
\[ \boxed{ \lim_{x\to a}(f+g)=L+M } \]
\[ \boxed{ \lim_{x\to a}(f-g)=L-M } \]
\[ \boxed{ \lim_{x\to a}(cf)=cL } \]
\[ \boxed{ \lim_{x\to a}(fg)=LM } \]
\[ \boxed{ \lim_{x\to a}f^n=L^n, \qquad n\in\mathbb N,\ n\ge1 } \]
y, si \(M\ne0\),
\[ \boxed{ \lim_{x\to a}\frac{f}{g}=\frac{L}{M}. } \]
Las leyes no son equivalencias en sentido inverso
Que exista el límite de una suma o de un producto no implica que existan necesariamente los límites de cada término o factor.
Por ejemplo, para
\[ s(x)=\frac{|x|}{x}, \qquad x\ne0, \]
el límite bilateral de \(s(x)\) en \(0\) no existe, pero
\[ s(x)^2=1 \]
para todo \(x\ne0\), de modo que
\[ \lim_{x\to0}s(x)^2=1. \]
La ley del producto dice qué ocurre si ya conocemos los límites de los factores; no proporciona el recíproco lógico.
Aplicación: límites de polinomios
Sea
\[ p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n. \]
Como
\[ \lim_{x\to a}x=a, \]
las leyes de potencias, multiplicación por constantes y suma permiten concluir
\[ \boxed{ \lim_{x\to a}p(x)=p(a). } \]
Ejemplo
Calculemos
\[ \lim_{x\to2}(2x^3-5x+4). \]
Por las leyes algebraicas,
\[ \begin{aligned} \lim_{x\to2}(2x^3-5x+4) &=2\left(\lim_{x\to2}x\right)^3 -5\left(\lim_{x\to2}x\right)+4\\ &=2(2)^3-5(2)+4\\ &=16-10+4\\ &=10. \end{aligned} \]
Por tanto,
\[ \boxed{ \lim_{x\to2}(2x^3-5x+4)=10. } \]
Aplicación: límites de funciones racionales
Sean \(p\) y \(q\) polinomios y consideremos
\[ r(x)=\frac{p(x)}{q(x)}. \]
Si
\[ q(a)\ne0, \]
entonces
\[ \boxed{ \lim_{x\to a}\frac{p(x)}{q(x)} = \frac{p(a)}{q(a)}. } \]
Ejemplo
Consideremos
\[ \lim_{x\to1} \frac{x^2+3x-1}{2x+5}. \]
El denominador en \(x=1\) vale
\[ 2(1)+5=7\ne0. \]
Por tanto,
\[ \begin{aligned} \lim_{x\to1} \frac{x^2+3x-1}{2x+5} &= \frac{1^2+3(1)-1}{2(1)+5}\\ &=\frac{3}{7}. \end{aligned} \]
Así,
\[ \boxed{ \lim_{x\to1} \frac{x^2+3x-1}{2x+5} = \frac37. } \]
Cuando el denominador tiende a cero
La condición
\[ M\ne0 \]
en la ley del cociente es indispensable para aplicar el teorema.
Pero su fracaso no permite concluir automáticamente que el límite del cociente no exista.
Consideremos
\[ \frac{x^2-1}{x-1}. \]
Cuando \(x\to1\),
\[ x-1\to0, \]
por lo que la ley del cociente no puede usarse directamente.
Sin embargo, para \(x\ne1\),
\[ \frac{x^2-1}{x-1} =x+1. \]
Por el principio de localidad desarrollado en MA-CON-0011, ambas expresiones tienen el mismo comportamiento límite en \(1\). Entonces
\[ \boxed{ \lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=2. } \]
No confundir “el teorema no se aplica” con “el límite no existe”
Si el límite del denominador es \(0\), la ley del cociente no proporciona una conclusión.
A partir de ahí puede ocurrir que:
- el límite exista después de una simplificación;
- el límite no exista;
- aparezca un comportamiento no acotado;
- sea necesario usar otra técnica.
La imposibilidad de aplicar una ley no es por sí sola un resultado sobre el límite.
Las mismas leyes para límites laterales
Supongamos que \(a\) es punto de acumulación del dominio por la derecha y que
\[ \lim_{x\to a^+}f(x)=L, \qquad \lim_{x\to a^+}g(x)=M. \]
Todas las demostraciones anteriores permanecen válidas reemplazando la condición
\[ 0<|x-a|<\delta \]
por
\[ 0<x-a<\delta. \]
Por tanto, por ejemplo,
\[ \lim_{x\to a^+}(f(x)+g(x))=L+M \]
y, si \(M\ne0\),
\[ \lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}. \]
Lo mismo ocurre para límites por la izquierda.
Esto permite combinar las leyes algebraicas con el criterio bilateral de MA-CON-0012.
Qué hemos ganado
Hasta ahora, la definición épsilon-delta permitía estudiar cada límite desde cero.
Las leyes algebraicas cambian la escala del trabajo:
\[ \text{límites básicos} \longrightarrow \text{operaciones algebraicas} \longrightarrow \text{familias completas de funciones}. \]
A partir de
\[ \lim_{x\to a}x=a \]
y del límite de las constantes obtenemos inmediatamente todos los límites de polinomios y, cuando el denominador no se anula en el punto límite, todos los límites de funciones racionales.
Control conceptual
Antes de aplicar una ley de límites conviene comprobar:
- que existen los límites de las piezas que queremos combinar;
- que las funciones están definidas en un dominio común suficientemente cerca del punto;
- que, para un cociente, el límite del denominador es distinto de cero;
- que no estamos usando la conclusión de una ley como si también fuera una condición necesaria.
Conexión con continuidad
Las identidades
\[ \lim_{x\to a}p(x)=p(a) \]
para polinomios y
\[ \lim_{x\to a}\frac{p(x)}{q(x)} = \frac{p(a)}{q(a)} \]
cuando \(q(a)\ne0\) anticipan una noción fundamental.
Diremos más adelante que una función es continua en \(a\) cuando
\[ \lim_{x\to a}f(x)=f(a). \]
Las leyes algebraicas mostrarán entonces que la continuidad también se conserva bajo suma, resta, producto y cociente con denominador no nulo.
Síntesis
Las leyes algebraicas permiten pasar de límites conocidos a nuevos límites sin reconstruir cada demostración desde la definición.
El núcleo es:
\[ \boxed{ \begin{aligned} \lim(f+g)&=L+M,\\ \lim(f-g)&=L-M,\\ \lim(cf)&=cL,\\ \lim(fg)&=LM,\\ \lim(f^n)&=L^n,\\ \lim\frac{f}{g}&=\frac{L}{M}\quad(M\ne0). \end{aligned} } \]
Pero detrás de estas fórmulas hay tres ideas analíticas que conviene conservar:
- combinar varios controles tomando el mínimo de sus radios \(\delta\);
- usar la existencia de un límite para obtener acotación local;
- usar un límite no nulo para obtener separación local de cero.
Esas ideas reaparecerán en demostraciones posteriores de continuidad y análisis real.