Supremo, ínfimo y completitud de ℝ
Hasta ahora hemos usado el orden de los números reales para resolver desigualdades y comparar límites. Ahora aparece una propiedad más profunda: ciertos conjuntos pueden tener un borde extremo aunque ese borde no pertenezca al conjunto.
La herramienta que formaliza esa idea es el supremo —y, de manera dual, el ínfimo—. La afirmación de que esos extremos existen bajo hipótesis adecuadas es una de las propiedades estructurales que distinguen a \(\mathbb R\).
Intuición
Un máximo es un elemento del conjunto.
Un supremo, en cambio, es la menor barrera superior posible. Puede pertenecer al conjunto o quedar justo en su frontera.
Por ejemplo,
\[ A=(0,1) \]
no tiene máximo, pero sí tiene
\[ \sup A=1. \]
El número \(1\) no está en \(A\), pero ninguna cota superior puede colocarse por debajo de él.
Cotas superiores e inferiores
Sea
\[ A\subseteq\mathbb R. \]
Cota superior
Un número \(M\in\mathbb R\) es una cota superior de \(A\) si
\[ x\le M \]
para todo \(x\in A\).
Decimos que \(A\) está acotado superiormente si posee al menos una cota superior.
De manera dual:
Cota inferior
Un número \(m\in\mathbb R\) es una cota inferior de \(A\) si
\[ m\le x \]
para todo \(x\in A\).
Decimos que \(A\) está acotado inferiormente si posee al menos una cota inferior.
Si ambas propiedades se cumplen, decimos simplemente que \(A\) está acotado.
Ejemplo
Para
\[ A=(0,1), \]
son cotas superiores, entre muchas otras,
\[ 1,\ 2,\ 10, \]
y son cotas inferiores
\[ 0,\ -1,\ -100. \]
Lo importante es que una cota no tiene por qué ser única.
No confundir cota con elemento del conjunto
Una cota superior \(M\) sólo debe satisfacer
\[ x\le M\qquad(x\in A). \]
No se exige que
\[ M\in A. \]
Máximo y mínimo
Máximo
Un número \(M\) es el máximo de \(A\) si
\[ M\in A \]
y
\[ x\le M \]
para todo \(x\in A\).
Escribimos
\[ M=\max A. \]
Análogamente, \(m=\min A\) si
\[ m\in A \]
y
\[ m\le x \]
para todo \(x\in A\).
Por tanto, máximo y mínimo son extremos alcanzados por el conjunto.
Dos conjuntos casi iguales
Consideremos
\[ A=(0,1) \]
y
\[ B=[0,1]. \]
Ambos tienen las mismas barreras extremas:
\[ 0\qquad\text{y}\qquad1. \]
Pero sólo \(B\) las contiene. Así,
\[ \min B=0, \qquad \max B=1, \]
mientras que \(A\) no tiene ni mínimo ni máximo.
Supremo: la menor cota superior
Supremo
Sea \(A\subseteq\mathbb R\) no vacío y acotado superiormente.
Un número \(s\in\mathbb R\) es el supremo de \(A\) si:
- \(s\) es una cota superior de \(A\);
- \(s\) es menor o igual que cualquier otra cota superior de \(A\).
Es decir,
\[ x\le s\quad\text{para todo }x\in A, \]
y si \(M\) es cualquier cota superior de \(A\), entonces
\[ s\le M. \]
Escribimos
\[ \boxed{s=\sup A.} \]
La palabra clave es menor: entre todas las cotas superiores, el supremo es la más baja.
Ejemplo
Para
\[ A=(0,1), \]
el número \(1\) es cota superior. Además, ningún número menor que \(1\) puede ser cota superior, porque si \(M<1\) existen elementos de \((0,1)\) mayores que \(M\).
Por tanto,
\[ \boxed{\sup(0,1)=1.} \]
Ínfimo: la mayor cota inferior
Ínfimo
Sea \(A\subseteq\mathbb R\) no vacío y acotado inferiormente.
Un número \(i\in\mathbb R\) es el ínfimo de \(A\) si:
- \(i\) es una cota inferior de \(A\);
- toda cota inferior \(m\) de \(A\) satisface
\[ m\le i. \]
Escribimos
\[ \boxed{i=\inf A.} \]
Así, el ínfimo es la mayor cota inferior.
Para el intervalo abierto,
\[ \boxed{\inf(0,1)=0.} \]
Nuevamente, \(0\) no pertenece al conjunto.
Unicidad del supremo y del ínfimo
El artículo definido en “el supremo” está justificado: no puede haber dos.
Proposición — unicidad
Si un conjunto tiene supremo, éste es único. Lo mismo vale para el ínfimo.
Demostración para el supremo
Supongamos que \(s\) y \(t\) son ambos supremos de \(A\).
Como \(t\) es una cota superior y \(s\) es la menor cota superior,
\[ s\le t. \]
Pero, simétricamente, como \(s\) es una cota superior y \(t\) es la menor,
\[ t\le s. \]
Por antisimetría del orden,
\[ \boxed{s=t.} \]
La prueba para el ínfimo es análoga.
Relación entre máximo y supremo
Si \(A\) tiene máximo \(M\), entonces \(M\) es una cota superior perteneciente al propio conjunto.
Además, toda cota superior \(U\) debe satisfacer
\[ M\le U, \]
porque \(M\in A\).
Por tanto,
\[ \boxed{\max A=\sup A} \]
siempre que el máximo exista.
La recíproca requiere pertenencia:
\[ \boxed{ \sup A\in A \quad\Longrightarrow\quad \max A=\sup A. } \]
Así obtenemos una caracterización muy útil:
\[ \boxed{ A\text{ tiene máximo} \iff \sup A\text{ existe y pertenece a }A. } \]
Análogamente,
\[ \boxed{ A\text{ tiene mínimo} \iff \inf A\text{ existe y pertenece a }A. } \]
Supremo no significa máximo
Para
\[ A=\left\{1-\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}, \]
tenemos
\[ \sup A=1, \]
pero \(1\notin A\). Por tanto \(A\) no tiene máximo.
La propiedad de completitud de \(\mathbb R\)
Hasta aquí sólo hemos definido qué significaría ser el supremo. Falta una pregunta mucho más importante:
si un conjunto no vacío está acotado superiormente, ¿el supremo existe siempre?
En los números reales, sí.
Axioma de completitud — propiedad del supremo
Todo subconjunto no vacío de \(\mathbb R\) que esté acotado superiormente posee un supremo en \(\mathbb R\).
En símbolos:
\[ \boxed{ A\subseteq\mathbb R, \quad A\ne\varnothing, \quad A\text{ acotado superiormente} \Longrightarrow \exists\,\sup A\in\mathbb R. } \]
Esta propiedad no es una mera regla de cálculo: es una propiedad estructural de los números reales.
Qué expresa la completitud
El orden de \(\mathbb R\) no tiene “huecos” del tipo que impediría la existencia de una frontera real para un conjunto no vacío y acotado.
Por eso el supremo puede existir aunque ningún elemento del conjunto alcance esa frontera.
La propiedad del ínfimo se deduce de la del supremo
No necesitamos postular separadamente la existencia del ínfimo.
Para un conjunto \(A\), definamos
\[ -A=\{-x:x\in A\}. \]
Si \(A\) está acotado inferiormente, entonces \(-A\) está acotado superiormente.
Por completitud, existe
\[ \sup(-A). \]
Entonces
\[ \boxed{ \inf A=-\sup(-A). } \]
Por tanto:
Propiedad del ínfimo
Todo subconjunto no vacío de \(\mathbb R\) que esté acotado inferiormente posee un ínfimo en \(\mathbb R\).
Por qué las hipótesis son necesarias
La completitud exige dos condiciones: no vacío y acotado superiormente.
El conjunto vacío
Para
\[ A=\varnothing, \]
todo real satisface por vacuidad la condición de ser cota superior: no hay ningún \(x\in\varnothing\) que pueda violar \(x\le M\).
Pero no existe una menor cota superior real, porque \(\mathbb R\) no tiene un menor elemento.
Por eso la hipótesis
\[ A\ne\varnothing \]
es esencial.
Un conjunto no acotado
El conjunto
\[ \mathbb R \]
no está acotado superiormente. Por tanto no posee supremo en \(\mathbb R\).
Convención de este texto
Trabajamos aquí sólo dentro de \(\mathbb R\). No estamos usando los símbolos \(+\infty\) y \(-\infty\) como valores de supremo o ínfimo.
Caracterización épsilon del supremo
La propiedad más importante para el análisis no es sólo que \(s\) sea una cota superior, sino que los elementos de \(A\) puedan acercarse a \(s\) tanto como queramos desde abajo.
Teorema — aproximación al supremo
Sea \(A\subseteq\mathbb R\) no vacío y acotado superiormente, y sea
\[ s=\sup A. \]
Entonces, para todo \(\varepsilon>0\), existe \(x\in A\) tal que
\[ \boxed{s-\varepsilon<x\le s.} \]
Demostración
Sea \(\varepsilon>0\).
Como \(s\) es cota superior,
\[ x\le s \]
para todo \(x\in A\).
Supongamos ahora que no existe ningún \(x\in A\) con
\[ s-\varepsilon<x. \]
Entonces todos los elementos de \(A\) satisfarían
\[ x\le s-\varepsilon. \]
Por tanto, \(s-\varepsilon\) sería una cota superior de \(A\).
Pero
\[ s-\varepsilon<s, \]
lo que contradice que \(s\) sea la menor cota superior.
Así debe existir \(x\in A\) con
\[ \boxed{s-\varepsilon<x\le s.} \]
Lectura geométrica
Aunque \(s\) no pertenezca a \(A\), ningún intervalo
\[ (s-\varepsilon,s] \]
puede quedar vacío de elementos de \(A\).
El conjunto se aproxima arbitrariamente a su supremo desde abajo.
La caracterización también funciona al revés
La propiedad anterior no es sólo una consecuencia: caracteriza al supremo.
Criterio del supremo
Un número \(s\) es el supremo de \(A\) si y sólo si:
- \(s\) es cota superior de \(A\);
- para todo \(\varepsilon>0\) existe \(x\in A\) con
\[ s-\varepsilon<x. \]
Demostración de la vuelta
Supongamos que se cumplen 1 y 2.
Si existiera una cota superior \(M<s\), tomaríamos
\[ \varepsilon=s-M>0. \]
Por 2 existiría \(x\in A\) tal que
\[ s-\varepsilon<x. \]
Pero
\[ s-\varepsilon=M, \]
así que
\[ M<x, \]
contradiciendo que \(M\) sea cota superior.
Por tanto ninguna cota superior es menor que \(s\), y
\[ \boxed{s=\sup A.} \]
Caracterización épsilon del ínfimo
Dualizando el argumento anterior obtenemos:
si
\[ i=\inf A, \]
entonces para todo \(\varepsilon>0\) existe \(x\in A\) tal que
\[ \boxed{i\le x<i+\varepsilon.} \]
Y, recíprocamente, una cota inferior \(i\) con esta propiedad es necesariamente el ínfimo.
Monotonía del supremo
El supremo respeta la inclusión de conjuntos.
Proposición — monotonía
Sean \(A,B\subseteq\mathbb R\) no vacíos y acotados superiormente. Si
\[ A\subseteq B, \]
entonces
\[ \boxed{\sup A\le\sup B.} \]
Demostración
Como
\[ \sup B \]
es cota superior de \(B\), también es cota superior de todo subconjunto \(A\subseteq B\).
Pero \(\sup A\) es la menor cota superior de \(A\).
Por tanto,
\[ \boxed{\sup A\le\sup B.} \]
Análogamente, si ambos ínfimos existen,
\[ A\subseteq B \quad\Longrightarrow\quad \inf B\le\inf A. \]
La completitud permite construir números
Consideremos
\[ A=\{x\in\mathbb R:x\ge0,\ x^2<2\}. \]
El conjunto no es vacío porque
\[ 1\in A, \]
y está acotado superiormente; por ejemplo, \(2\) es una cota superior.
Por completitud existe
\[ s=\sup A. \]
Podemos demostrar que
\[ \boxed{s^2=2.} \]
No puede ocurrir \(s^2<2\)
Supongamos
\[ s^2<2 \]
y definamos
\[ d=2-s^2>0. \]
Elegimos \(h>0\) tal que
\[ h<1 \qquad\text{y}\qquad h<\frac{d}{2s+1}. \]
Entonces
\[ (s+h)^2 =s^2+2sh+h^2 <s^2+h(2s+1) <2. \]
Así,
\[ s+h\in A, \]
pero \(s+h>s\), contradiciendo que \(s\) sea una cota superior.
No puede ocurrir \(s^2>2\)
Supongamos ahora
\[ s^2>2 \]
y sea
\[ d=s^2-2>0. \]
Elegimos \(h>0\) con
\[ h<s \qquad\text{y}\qquad h<\frac{d}{2s}. \]
Entonces
\[ (s-h)^2 =s^2-2sh+h^2 >s^2-2sh >2. \]
Si algún \(x\in A\) satisficiera
\[ x\ge s-h, \]
como \(x\ge0\) tendríamos
\[ x^2\ge(s-h)^2>2, \]
contradicción.
Por tanto todo \(x\in A\) satisface
\[ x<s-h. \]
Esto convierte a \(s-h\) en una cota superior menor que \(s\), contradiciendo la definición de supremo.
Las dos alternativas son imposibles. Luego
\[ \boxed{s^2=2.} \]
Este argumento muestra cómo la completitud puede garantizar la existencia de un número definido por una condición de orden. En este caso, el supremo construido es precisamente \(\sqrt2\).
Los racionales \(\mathbb Q\) no poseen la propiedad de completitud. El conjunto racional
\[ \{q\in\mathbb Q:q\ge0,\ q^2<2\} \]
está acotado superiormente dentro de \(\mathbb Q\), pero no tiene supremo racional. Éste es uno de los “huecos” que \(\mathbb R\) completa.
Consecuencia: la propiedad arquimediana
La completitud también impide que los números naturales queden encerrados bajo una cota real.
Teorema — propiedad arquimediana
El conjunto \(\mathbb N\) no está acotado superiormente en \(\mathbb R\).
Demostración
Supongamos lo contrario. Entonces, por completitud, existiría
\[ s=\sup\mathbb N. \]
El número \(s-1\) no puede ser una cota superior de \(\mathbb N\), pues sería menor que el supremo.
Por tanto existe \(n\in\mathbb N\) tal que
\[ n>s-1. \]
Sumando \(1\),
\[ n+1>s. \]
Pero
\[ n+1\in\mathbb N, \]
lo que contradice que \(s\) sea cota superior de \(\mathbb N\).
Luego \(\mathbb N\) no está acotado superiormente.
Forma operativa
Para todo número real \(M\) existe \(n\in\mathbb N\) tal que
\[ \boxed{n>M.} \]
En particular, para todo \(\varepsilon>0\) existe \(n\in\mathbb N\) tal que
\[ \boxed{\frac1n<\varepsilon.} \]
Esta última forma aparecerá repetidamente en análisis.
Qué aporta la completitud al análisis
Hasta MA-CON-0015, nuestras herramientas eran principalmente locales:
- control épsilon-delta;
- leyes algebraicas;
- comparación;
- teorema del sándwich;
- continuidad en un punto.
La completitud añade una herramienta de otra naturaleza. Permite tomar un conjunto definido por una propiedad y localizar una frontera extrema aunque esa frontera no esté dada de antemano.
Ese mecanismo será decisivo para demostrar resultados globales sobre funciones continuas.
Patrón de uso del supremo en una demostración
- construir un conjunto \(A\) de puntos que satisfacen cierta propiedad;
- demostrar que \(A\) es no vacío;
- demostrar que \(A\) está acotado superiormente;
- definir
\[ c=\sup A; \]
- usar la propiedad de aproximación
\[ c-\varepsilon<x\le c \]
para obtener puntos de \(A\) arbitrariamente próximos a \(c\); 6. combinar esa aproximación con continuidad, orden u otra hipótesis para demostrar una propiedad en \(c\).
Este esquema es una de las rutas clásicas para demostrar el teorema del valor intermedio.
Errores frecuentes
1. Suponer que el supremo pertenece al conjunto
No es cierto en general:
\[ \sup(0,1)=1, \qquad 1\notin(0,1). \]
2. Confundir “una cota superior” con “el supremo”
Para \((0,1)\), el número \(10\) es una cota superior, pero
\[ 10\ne\sup(0,1). \]
El supremo debe ser la menor de todas las cotas superiores.
3. Invocar completitud sin comprobar las hipótesis
Antes de escribir
\[ s=\sup A, \]
hay que justificar, cuando la existencia no sea ya conocida, que
\[ A\ne\varnothing \]
y que \(A\) está acotado superiormente.
4. Pensar que “no tener máximo” significa “no tener supremo”
Un conjunto puede carecer de máximo y, sin embargo, tener un supremo perfectamente definido.
Resumen estructural
Podemos condensar este concepto en la cadena
\[ \boxed{ \text{cotas} \longrightarrow \text{supremo/ínfimo} \longrightarrow \text{completitud de }\mathbb R \longrightarrow \text{aproximación a la frontera} \longrightarrow \text{teoremas globales de análisis}. } \]
Y conviene conservar tres distinciones:
\[ \boxed{ \text{máximo}\in A, \qquad \sup A\text{ puede no pertenecer a }A, \qquad \text{completitud garantiza existencia bajo cotación.} } \]
Relaciones
- Prerrequisitos:
MA-CON-0005,MA-CON-0006. - Contenidos relacionados:
MA-CON-0014,MA-CON-0015. - Problemas que usan este concepto: —.