Teorema del sándwich y comparación de límites
Las leyes algebraicas permiten calcular muchos límites combinando otros límites conocidos. Pero no todos los problemas de límites se resuelven mediante álgebra.
A veces lo decisivo no es una identidad, sino una desigualdad.
Si una función queda atrapada entre otras dos funciones cuyo comportamiento conocemos, el orden puede obligar a que su límite sea único.
Intuición
Imaginemos tres funciones que, cerca de un punto \(a\), satisfacen
\[ f(x)\le g(x)\le h(x). \]
Si tanto \(f(x)\) como \(h(x)\) se aproximan al mismo número \(L\), entonces \(g(x)\) no tiene espacio para aproximarse a otro valor:
\[ \boxed{g(x)\to L.} \]
Ésta es la idea del teorema del sándwich.
El orden sólo tiene que valer cerca del punto
En problemas de límites no necesitamos que una desigualdad sea válida en todo el dominio.
Basta con que sea válida eventualmente cerca de \(a\).
Desigualdad local cerca de un punto
Sean
\[ f,g:D\to\mathbb R, \]
y sea \(a\) punto de acumulación de \(D\).
Diremos que
\[ f(x)\le g(x) \]
cerca de \(a\) si existe \(r>0\) tal que, para todo \(x\in D\),
\[ 0<|x-a|<r \quad\Longrightarrow\quad f(x)\le g(x). \]
El valor en \(x=a\) no interviene. Esto es coherente con la definición de límite de MA-CON-0011.
Una desigualdad local puede fallar lejos de \(a\) y seguir siendo suficiente para estudiar el límite en \(a\).
Teorema de comparación de límites
El primer resultado fundamental dice que una desigualdad local se conserva al pasar al límite.
Teorema — comparación de límites
Sean
\[ f,g:D\to\mathbb R, \]
y sea \(a\) punto de acumulación de \(D\).
Supongamos que, cerca de \(a\),
\[ f(x)\le g(x), \]
y que existen los límites finitos
\[ \lim_{x\to a}f(x)=L, \qquad \lim_{x\to a}g(x)=M. \]
Entonces
\[ \boxed{L\le M.} \]
Demostración
Procederemos por contradicción.
Supongamos que
\[ L>M. \]
Definimos
\[ \varepsilon=\frac{L-M}{3}>0. \]
Como
\[ \lim_{x\to a}f(x)=L, \]
existe \(\delta_1>0\) tal que
\[ 0<|x-a|<\delta_1 \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<\varepsilon. \]
Por tanto,
\[ f(x)>L-\varepsilon. \]
Análogamente, como
\[ \lim_{x\to a}g(x)=M, \]
existe \(\delta_2>0\) tal que
\[ 0<|x-a|<\delta_2 \quad\Longrightarrow\quad |g(x)-M|<\varepsilon, \]
y entonces
\[ g(x)<M+\varepsilon. \]
Además, la desigualdad \(f(x)\le g(x)\) vale en algún entorno perforado de radio \(r>0\).
Tomamos
\[ \delta=\min\{\delta_1,\delta_2,r\}. \]
Para todo \(x\in D\) con
\[ 0<|x-a|<\delta, \]
tenemos simultáneamente
\[ f(x)>L-\varepsilon, \qquad g(x)<M+\varepsilon, \qquad f(x)\le g(x). \]
Pero
\[ L-\varepsilon =L-\frac{L-M}{3} =\frac{2L+M}{3}, \]
mientras que
\[ M+\varepsilon =M+\frac{L-M}{3} =\frac{L+2M}{3}. \]
Como \(L>M\),
\[ L-\varepsilon>M+\varepsilon. \]
Luego
\[ f(x)>L-\varepsilon>M+\varepsilon>g(x), \]
lo que contradice
\[ f(x)\le g(x). \]
Por tanto,
\[ \boxed{L\le M.} \]
Consecuencias inmediatas del teorema de comparación
Positividad eventual
Si
\[ f(x)\ge0 \]
cerca de \(a\) y
\[ \lim_{x\to a}f(x)=L, \]
entonces
\[ \boxed{L\ge0.} \]
Esto se obtiene comparando la función constante \(0\) con \(f\).
Cotas constantes
Si cerca de \(a\)
\[ f(x)\le C \]
y
\[ \lim_{x\to a}f(x)=L, \]
entonces
\[ L\le C. \]
Del mismo modo, si
\[ f(x)\ge C, \]
entonces
\[ L\ge C. \]
Una advertencia: la desigualdad estricta puede desaparecer
El teorema preserva
\[ \le, \]
pero una desigualdad estricta antes del límite no tiene por qué permanecer estricta después.
Por ejemplo, para \(x\ne0\),
\[ 0<x^2, \]
pero
\[ \lim_{x\to0}0=0 \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to0}x^2=0. \]
Por tanto,
\[ 0<x^2 \]
cerca de \(0\) no implica que los límites satisfagan
\[ 0<0. \]
Error frecuente
De
\[ f(x)<g(x) \]
cerca de \(a\) y la existencia de ambos límites sólo podemos concluir en general
\[ \lim f\le\lim g, \]
no necesariamente una desigualdad estricta.
Teorema del sándwich
Ahora llegamos al resultado central.
Teorema — sándwich
Sean
\[ f,g,h:D\to\mathbb R, \]
y sea \(a\) punto de acumulación de \(D\).
Supongamos que, cerca de \(a\),
\[ f(x)\le g(x)\le h(x), \]
y que
\[ \lim_{x\to a}f(x)=L, \qquad \lim_{x\to a}h(x)=L. \]
Entonces
\[ \boxed{ \lim_{x\to a}g(x)=L. } \]
La función intermedia no necesita tener un límite conocido de antemano. El teorema demuestra precisamente que ese límite existe y debe ser \(L\).
Demostración épsilon-delta del teorema del sándwich
Sea
\[ \varepsilon>0. \]
Como
\[ \lim_{x\to a}f(x)=L, \]
existe \(\delta_1>0\) tal que
\[ 0<|x-a|<\delta_1 \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<\varepsilon. \]
Esto implica
\[ L-\varepsilon<f(x)<L+\varepsilon. \]
Como
\[ \lim_{x\to a}h(x)=L, \]
existe \(\delta_2>0\) tal que
\[ 0<|x-a|<\delta_2 \quad\Longrightarrow\quad |h(x)-L|<\varepsilon, \]
y por tanto
\[ L-\varepsilon<h(x)<L+\varepsilon. \]
Además, existe \(r>0\) tal que
\[ 0<|x-a|<r \quad\Longrightarrow\quad f(x)\le g(x)\le h(x). \]
Tomamos
\[ \delta=\min\{\delta_1,\delta_2,r\}. \]
Entonces, si \(x\in D\) y
\[ 0<|x-a|<\delta, \]
tenemos
\[ L-\varepsilon<f(x)\le g(x)\le h(x)<L+\varepsilon. \]
De aquí se sigue
\[ L-\varepsilon<g(x)<L+\varepsilon, \]
es decir,
\[ |g(x)-L|<\varepsilon. \]
Por definición,
\[ \boxed{ \lim_{x\to a}g(x)=L. } \]
Estructura del argumento
El teorema funciona porque las dos funciones exteriores producen el mismo intervalo vertical
\[ (L-\varepsilon,L+\varepsilon), \]
y el orden obliga a que la función intermedia permanezca dentro de ese intervalo.
Forma con valor absoluto
Una de las versiones más útiles del teorema aparece cuando podemos controlar directamente una distancia.
Corolario — forma de valor absoluto
Supongamos que cerca de \(a\)
\[ |g(x)-L|\le h(x), \]
con
\[ h(x)\ge0 \]
y
\[ \lim_{x\to a}h(x)=0. \]
Entonces
\[ \boxed{ \lim_{x\to a}g(x)=L. } \]
En efecto,
\[ |g(x)-L|\le h(x) \]
equivale a
\[ -h(x)\le g(x)-L\le h(x). \]
Como
\[ \lim_{x\to a}(-h(x))=0 \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to a}h(x)=0, \]
el teorema del sándwich da
\[ \lim_{x\to a}(g(x)-L)=0, \]
y por tanto
\[ \lim_{x\to a}g(x)=L. \]
Caso especial: controlar una función por otra que tiende a cero
Si cerca de \(a\)
\[ |g(x)|\le h(x), \]
con
\[ h(x)\to0, \]
entonces
\[ \boxed{g(x)\to0.} \]
Ésta es probablemente la forma operativa más frecuente del teorema.
Ejemplo: una oscilación atrapada
Consideremos, para \(x\ne0\),
\[ g(x)=x^2\sin\left(\frac1x\right). \]
La función
\[ \sin\left(\frac1x\right) \]
oscila indefinidamente cuando \(x\to0\), de modo que no tiene un comportamiento límite simple por sí sola.
Sin embargo,
\[ -1\le\sin\left(\frac1x\right)\le1. \]
Como \(x^2\ge0\), al multiplicar obtenemos
\[ -x^2 \le x^2\sin\left(\frac1x\right) \le x^2. \]
Por MA-CON-0013,
\[ \lim_{x\to0}(-x^2)=0 \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to0}x^2=0. \]
Por el teorema del sándwich,
\[ \boxed{ \lim_{x\to0}x^2\sin\left(\frac1x\right)=0. } \]
También podemos verlo mediante valor absoluto:
\[ \left|x^2\sin\left(\frac1x\right)\right| \le x^2, \]
y \(x^2\to0\).
La oscilación no desaparece, pero su amplitud queda comprimida por \(x^2\), que tiende a cero.
El valor en el punto sigue sin importar para el límite
Definamos
\[ F(x)= \begin{cases} x^2\sin(1/x), & x\ne0,\\ 7, & x=0. \end{cases} \]
El mismo argumento demuestra
\[ \lim_{x\to0}F(x)=0, \]
porque el valor \(F(0)=7\) no interviene en el límite.
Pero
\[ F(0)=7\ne0. \]
Por MA-CON-0014, \(F\) no es continua en \(0\).
Este ejemplo muestra con claridad la diferencia entre:
- controlar un límite mediante el teorema del sándwich;
- exigir además que el límite coincida con el valor puntual para obtener continuidad.
Ejemplo de comparación sin sándwich
Supongamos que una función \(f\) satisface, cerca de \(2\),
\[ f(x)\ge3 \]
y que existe
\[ \lim_{x\to2}f(x)=L. \]
El teorema de comparación da inmediatamente
\[ \boxed{L\ge3.} \]
No necesitamos conocer una fórmula para \(f\).
El orden por sí solo restringe los valores posibles del límite.
Qué ocurre si las funciones exteriores tienen límites distintos
Si
\[ f(x)\le g(x)\le h(x), \]
pero
\[ \lim_{x\to a}f(x)=L_1, \qquad \lim_{x\to a}h(x)=L_2, \]
con
\[ L_1<L_2, \]
no podemos concluir un valor único para el límite de \(g\).
A lo sumo, si sabemos además que el límite de \(g\) existe, el teorema de comparación obliga a que
\[ L_1\le\lim_{x\to a}g(x)\le L_2. \]
Pero el sándwich necesita que las dos funciones exteriores converjan al mismo valor.
Condición decisiva
No basta con encerrar a \(g\) entre dos funciones convergentes. Para deducir automáticamente el límite de \(g\), ambas cotas deben converger al mismo número.
No necesitamos desigualdades en el punto \(a\)
Supongamos que
\[ f(x)\le g(x)\le h(x) \]
para todo \(x\) suficientemente cercano a \(a\) con \(x\ne a\).
Los valores
\[ f(a),\qquad g(a),\qquad h(a) \]
pueden incluso no estar definidos.
El teorema sigue siendo aplicable porque el límite estudia un entorno perforado.
Esta observación es especialmente útil para funciones con huecos o expresiones que no están definidas exactamente en el punto de estudio.
Versiones laterales
Los mismos argumentos funcionan para límites laterales.
Si, por ejemplo, para \(x<a\) suficientemente cercano a \(a\),
\[ f(x)\le g(x)\le h(x), \]
y
\[ \lim_{x\to a^-}f(x)=L, \qquad \lim_{x\to a^-}h(x)=L, \]
entonces
\[ \boxed{ \lim_{x\to a^-}g(x)=L. } \]
Análogamente por la derecha.
Esto enlaza directamente con MA-CON-0012.
Comparación y continuidad
Supongamos ahora que \(f\) y \(g\) son continuas en un punto de acumulación \(a\) y que
\[ f(x)\le g(x) \]
cerca de \(a\).
Por continuidad,
\[ \lim_{x\to a}f(x)=f(a), \qquad \lim_{x\to a}g(x)=g(a). \]
El teorema de comparación implica
\[ \boxed{f(a)\le g(a).} \]
Así, la continuidad permite transferir una desigualdad local hasta el propio valor en el punto.
Estrategia práctica para usar el teorema del sándwich
Cuando aparezca una función difícil de controlar directamente, conviene seguir este esquema:
- Identificar la parte problemática. Suele ser una oscilación, un valor absoluto o un factor acotado.
- Buscar una cota inferior y una superior.
- Verificar que las desigualdades valen suficientemente cerca del punto. No necesitan valer globalmente.
- Calcular los límites de las dos cotas.
- Comprobar que ambos límites coinciden.
- Aplicar el teorema del sándwich.
En muchos ejemplos la forma más rápida es encontrar una estimación
\[ |g(x)-L|\le h(x) \]
con
\[ h(x)\to0. \]
Esto reduce el problema a controlar una sola función no negativa.
Errores frecuentes
Intentar aplicar el sándwich cuando las cotas tienen límites distintos
De
\[ f\le g\le h \]
y
\[ f\to1, \qquad h\to3 \]
no se deduce que \(g\) tenga límite.
Exigir la desigualdad en todo el dominio
Sólo necesitamos que sea válida localmente cerca del punto.
Usar desigualdad estricta para concluir límites estrictamente ordenados
Como vimos,
\[ f<g \]
puede producir límites iguales.
Olvidar el dominio común
Si las funciones tienen dominios distintos, las comparaciones deben formularse sobre los puntos donde todas estén definidas. Para evitar esta dificultad secundaria, en esta página hemos trabajado con un dominio común \(D\).
Confundir sándwich con sustitución directa
El teorema no depende del valor de las funciones en \(a\). Es una herramienta de límites, no una regla de evaluación puntual.
Resumen
El orden introduce una segunda vía fundamental para estudiar límites, complementaria a las leyes algebraicas.
Si
\[ f(x)\le g(x) \]
cerca de \(a\) y ambos límites existen, entonces
\[ \boxed{ \lim_{x\to a}f(x) \le \lim_{x\to a}g(x). } \]
Y si
\[ f(x)\le g(x)\le h(x), \]
con
\[ f(x)\to L, \qquad h(x)\to L, \]
entonces
\[ \boxed{g(x)\to L.} \]
Una forma especialmente útil es
\[ |g(x)-L|\le h(x), \qquad h(x)\to0, \]
que fuerza
\[ \boxed{g(x)\to L.} \]
Con estas herramientas ya contamos con dos mecanismos básicos para construir nuevos límites:
\[ \text{álgebra} \qquad\text{y}\qquad \text{orden}. \]
Ambos reaparecerán de manera sistemática en continuidad, derivación y análisis real.