Teorema del valor intermedio y teorema de Bolzano
En MA-CON-0014 definimos la continuidad como una propiedad local: cerca de un punto \(c\), los valores \(f(x)\) permanecen cerca de \(f(c)\). En MA-CON-0016 introdujimos una propiedad estructural de los números reales: todo conjunto no vacío y acotado superiormente posee un supremo.
Ahora ambas ideas se combinan para obtener un resultado global.
Si una función continua parte de un valor situado por debajo de cierto nivel \(y\) y termina por encima de ese nivel, entonces no puede evitarlo durante el recorrido.
Intuición
Una función continua definida en todo el intervalo \([a,b]\) no puede pasar de
\[ f(a)<y \]
a
\[ f(b)>y \]
sin tomar en algún punto el valor exacto \(y\).
La continuidad impide un salto local. La completitud de \(\mathbb R\) permite construir rigurosamente el punto donde se produce el cruce.
El teorema de Bolzano: un cambio de signo obliga a una raíz
La versión más conocida del principio se refiere al nivel \(y=0\).
Teorema de Bolzano
Sea
\[ f:[a,b]\to\mathbb R \]
continua en \([a,b]\), con \(a<b\).
Si
\[ f(a)f(b)<0, \]
entonces existe al menos un
\[ c\in(a,b) \]
tal que
\[ \boxed{f(c)=0.} \]
La hipótesis
\[ f(a)f(b)<0 \]
significa que \(f(a)\) y \(f(b)\) tienen signos opuestos. Por tanto, el número \(0\) está estrictamente entre ambos valores.
Bolzano será una consecuencia inmediata de un resultado más general.
El teorema del valor intermedio
Teorema del valor intermedio
Sea
\[ f:[a,b]\to\mathbb R \]
continua en \([a,b]\), con \(a<b\).
Si un número \(y\in\mathbb R\) está entre \(f(a)\) y \(f(b)\), es decir,
\[ \min\{f(a),f(b)\}\le y\le\max\{f(a),f(b)\}, \]
entonces existe
\[ c\in[a,b] \]
tal que
\[ \boxed{f(c)=y.} \]
El teorema afirma que la función alcanza todos los niveles intermedios entre los valores de sus extremos.
Si, por ejemplo,
\[ f(a)=2, \qquad f(b)=7, \]
entonces una función continua en \([a,b]\) debe tomar los valores
\[ 3,\quad 4.5,\quad 6, \]
y cualquier otro real comprendido entre \(2\) y \(7\).
“Entre” no supone que la función sea creciente
El teorema no exige monotonía. La función puede subir, bajar y oscilar muchas veces.
Sólo afirma que si sus valores en los extremos dejan un nivel \(y\) entre ambos, la continuidad obliga a que ese nivel sea alcanzado al menos una vez.
Bolzano es un caso particular
Supongamos
\[ f(a)f(b)<0. \]
Entonces uno de los valores \(f(a)\) y \(f(b)\) es negativo y el otro positivo. Por tanto,
\[ 0 \]
está estrictamente entre ellos.
Aplicando el teorema del valor intermedio con
\[ y=0, \]
obtenemos un punto \(c\in[a,b]\) tal que
\[ f(c)=0. \]
Como el producto \(f(a)f(b)\) es estrictamente negativo, ninguno de los extremos es una raíz. En consecuencia,
\[ \boxed{c\in(a,b).} \]
Así, el teorema de Bolzano es exactamente el caso \(y=0\) del teorema del valor intermedio cuando los valores extremos tienen signos opuestos.
Demostración rigurosa del teorema del valor intermedio
La demostración mostrará de manera explícita dónde entra la completitud de \(\mathbb R\).
Primero resolvemos el caso
\[ f(a)<y<f(b). \]
Después trataremos el orden invertido.
Paso 0. Los casos en que \(y\) coincide con un extremo
Si
\[ y=f(a), \]
podemos tomar simplemente
\[ c=a. \]
Si
\[ y=f(b), \]
podemos tomar
\[ c=b. \]
Por tanto, la parte realmente interesante de la prueba ocurre cuando \(y\) está estrictamente entre los dos valores extremos.
Paso 1. Suponemos \(f(a)<y<f(b)\)
Fijemos entonces
\[ \boxed{f(a)<y<f(b).} \]
Queremos encontrar un punto donde la función alcance exactamente el nivel \(y\).
En vez de intentar adivinar ese punto, construiremos un conjunto de puntos donde la función todavía está por debajo —o exactamente sobre— ese nivel.
Definimos
\[ \boxed{ A=\{x\in[a,b]:f(x)\le y\}. } \]
Qué representa \(A\)
El conjunto \(A\) reúne todos los puntos del intervalo en los que la gráfica se encuentra a altura menor o igual que \(y\).
Buscaremos la frontera derecha de ese conjunto.
Esa frontera será
\[ c=\sup A. \]
Paso 2. \(A\) no es vacío y está acotado superiormente
Como
\[ f(a)<y, \]
tenemos en particular
\[ f(a)\le y. \]
Por tanto,
\[ a\in A, \]
y así
\[ A\ne\varnothing. \]
Además,
\[ A\subseteq[a,b]. \]
Luego todo \(x\in A\) satisface
\[ x\le b, \]
de modo que \(b\) es una cota superior de \(A\).
Tenemos exactamente las dos hipótesis necesarias para aplicar la propiedad del supremo de MA-CON-0016:
\[ A\ne\varnothing \]
y
\[ A\text{ está acotado superiormente}. \]
Por completitud de \(\mathbb R\), existe entonces
\[ \boxed{c=\sup A.} \]
Este es el punto decisivo en que la estructura de los números reales entra en la demostración.
Paso 3. El punto \(c\) está dentro del intervalo
Sabemos inicialmente que
\[ a\le c\le b. \]
Pero en el caso estricto que estamos estudiando podemos demostrar algo mejor:
\[ \boxed{a<c<b.} \]
Por qué \(c>a\)
Como
\[ f(a)<y, \]
definimos
\[ \varepsilon_a=\frac{y-f(a)}2>0. \]
La continuidad de \(f\) en \(a\) proporciona un \(\delta_a>0\) tal que, para \(x\in[a,b]\),
\[ |x-a|<\delta_a \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-f(a)|<\varepsilon_a. \]
Tomemos
\[ \eta_a= \min\left\{\frac{\delta_a}{2},\frac{b-a}{2}\right\}>0 \]
y definamos
\[ x_a=a+\eta_a. \]
Entonces
\[ a<x_a<b \]
y
\[ |x_a-a|<\delta_a. \]
Por continuidad,
\[ f(x_a)<f(a)+\varepsilon_a =\frac{f(a)+y}{2} <y. \]
Por tanto,
\[ x_a\in A. \]
Como \(c\) es una cota superior de \(A\),
\[ c\ge x_a>a. \]
Luego
\[ \boxed{c>a.} \]
Por qué \(c<b\)
Como
\[ f(b)>y, \]
definimos
\[ \varepsilon_b=\frac{f(b)-y}{2}>0. \]
Por continuidad en \(b\), existe \(\delta_b>0\) tal que, para \(x\in[a,b]\),
\[ |x-b|<\delta_b \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-f(b)|<\varepsilon_b. \]
Tomemos
\[ \eta_b= \min\left\{\frac{\delta_b}{2},\frac{b-a}{2}\right\}>0 \]
y definamos
\[ u=b-\eta_b. \]
Si
\[ x\in[u,b], \]
entonces
\[ |x-b|\le\eta_b<\delta_b, \]
y por tanto
\[ f(x)>f(b)-\varepsilon_b =\frac{f(b)+y}{2} >y. \]
Ningún punto de \([u,b]\) pertenece entonces a \(A\). En consecuencia, todo punto de \(A\) satisface
\[ x<u, \]
de modo que \(u\) es una cota superior de \(A\).
Como \(c\) es la menor cota superior,
\[ c\le u<b. \]
Luego
\[ \boxed{c<b.} \]
Hemos probado que
\[ \boxed{a<c<b.} \]
Esto nos permitirá movernos ligeramente a izquierda y derecha de \(c\) sin abandonar \([a,b]\).
Paso 4. No puede ocurrir que \(f(c)<y\)
Supongamos, buscando una contradicción, que
\[ f(c)<y. \]
Definimos
\[ \varepsilon=\frac{y-f(c)}2>0. \]
Como \(f\) es continua en \(c\), existe \(\delta>0\) tal que
\[ |x-c|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-f(c)|<\varepsilon \]
para \(x\in[a,b]\).
Como \(c<b\), podemos elegir
\[ \eta= \min\left\{\frac\delta2,\frac{b-c}{2}\right\}>0 \]
y tomar
\[ x=c+\eta. \]
Entonces
\[ x>c, \qquad x\in[a,b], \qquad |x-c|<\delta. \]
Por continuidad,
\[ f(x)<f(c)+\varepsilon =\frac{f(c)+y}{2} <y. \]
Por tanto,
\[ x\in A. \]
Pero esto es imposible: \(c\) es una cota superior de \(A\), y acabamos de encontrar
\[ x\in A \quad\text{con}\quad x>c. \]
La contradicción demuestra que
\[ \boxed{f(c)\ge y.} \]
Paso 5. No puede ocurrir que \(f(c)>y\)
Supongamos ahora
\[ f(c)>y. \]
Definimos
\[ \varepsilon=\frac{f(c)-y}{2}>0. \]
Por continuidad en \(c\), existe \(\delta>0\) tal que
\[ |x-c|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-f(c)|<\varepsilon. \]
Como \(c>a\), fijemos
\[ \eta= \min\left\{\frac\delta2,\frac{c-a}{2}\right\}>0. \]
Ahora utilizamos la caracterización épsilon del supremo demostrada en MA-CON-0016.
Como
\[ c=\sup A, \]
existe un punto \(x\in A\) tal que
\[ c-\eta<x\le c. \]
En particular,
\[ |x-c|<\eta<\delta. \]
La continuidad implica entonces
\[ f(x)>f(c)-\varepsilon =\frac{f(c)+y}{2} >y. \]
Pero \(x\in A\), y por definición de \(A\) eso exige
\[ f(x)\le y. \]
Obtenemos una contradicción.
Por tanto,
\[ \boxed{f(c)\le y.} \]
Paso 6. Conclusión del primer caso
Hemos demostrado simultáneamente
\[ f(c)\ge y \]
y
\[ f(c)\le y. \]
Por antisimetría del orden en \(\mathbb R\),
\[ \boxed{f(c)=y.} \]
Éste es precisamente el punto cuya existencia queríamos demostrar.
Dónde se usó cada ingrediente
- El orden permitió definir el conjunto \(A\) mediante la condición \(f(x)\le y\) y comparar cotas.
- La completitud aseguró que \(c=\sup A\) existe en \(\mathbb R\).
- La caracterización épsilon del supremo produjo puntos de \(A\) arbitrariamente cercanos a \(c\) desde la izquierda.
- La continuidad trasladó la cercanía en la variable a cercanía entre valores de la función.
- La condición de que el dominio sea todo el intervalo \([a,b]\) permitió movernos entre los extremos sin encontrar huecos en la variable.
Paso 7. El caso invertido \(f(b)<y<f(a)\)
Queda tratar el segundo orden posible:
\[ f(b)<y<f(a). \]
Podríamos repetir toda la demostración utilizando el conjunto
\[ \{x\in[a,b]:f(x)\ge y\}. \]
Pero hay una reducción más limpia.
Definamos
\[ g(x)=-f(x). \]
Como \(f\) es continua, \(g\) también es continua. Además,
\[ f(b)<y<f(a) \]
equivale a
\[ -f(a)<-y<-f(b), \]
es decir,
\[ g(a)<-y<g(b). \]
El primer caso, ya demostrado, aplicado a \(g\) garantiza un \(c\in[a,b]\) tal que
\[ g(c)=-y. \]
Como \(g(c)=-f(c)\),
\[ -f(c)=-y, \]
y por tanto
\[ \boxed{f(c)=y.} \]
Con esto quedan cubiertos ambos órdenes posibles y los casos de igualdad en los extremos. El teorema del valor intermedio está demostrado.
El patrón de demostración detrás del teorema
La prueba anterior es importante no sólo por el resultado. Introduce un método reutilizable del análisis real.
Construcción mediante un supremo
Cuando queremos demostrar la existencia de un punto crítico \(c\):
definimos un conjunto \(A\) formado por puntos que satisfacen una propiedad parcial;
demostramos que \(A\) es no vacío;
demostramos que \(A\) está acotado;
usamos completitud para definir
\[ c=\sup A; \]
aproximamos \(c\) mediante elementos de \(A\);
usamos continuidad, orden u otra propiedad local para demostrar que la frontera \(c\) satisface exactamente la condición buscada.
En el teorema del valor intermedio, la propiedad parcial fue
\[ f(x)\le y. \]
Este patrón convierte una pregunta de existencia en una construcción rigurosa: el punto no se adivina ni se obtiene mediante una fórmula, sino como frontera de un conjunto.
Ejemplo: existencia de una raíz sin resolver la ecuación
Consideremos
\[ f(x)=x^5+x-1. \]
Al ser un polinomio, \(f\) es continua en \(\mathbb R\). En los extremos del intervalo \([0,1]\),
\[ f(0)=-1<0 \]
y
\[ f(1)=1>0. \]
Por el teorema de Bolzano existe al menos un
\[ c\in(0,1) \]
tal que
\[ \boxed{c^5+c-1=0.} \]
No hemos necesitado despejar \(c\).
Podemos incluso localizar mejor una raíz evaluando en dos puntos:
\[ f\left(\frac34\right) = \frac{243}{1024}+\frac34-1 = -\frac{13}{1024}<0, \]
mientras que
\[ f\left(\frac45\right) = \frac{1024}{3125}+\frac45-1 = \frac{399}{3125}>0. \]
Aplicando Bolzano otra vez,
\[ \boxed{ \exists c\in\left(\frac34,\frac45\right) \text{ tal que } c^5+c-1=0. } \]
Existencia antes que cálculo exacto
El teorema responde a la pregunta
¿hay una solución?
sin exigir primero una fórmula que produzca esa solución.
Esta separación entre existencia y cálculo explícito es una idea central del análisis.
El teorema no dice dónde está exactamente \(c\)
La conclusión
\[ \exists c\in[a,b]:f(c)=y \]
no proporciona por sí sola una expresión cerrada para \(c\).
El punto puede localizarse posteriormente mediante argumentos adicionales o procedimientos numéricos, pero eso pertenece a otra pregunta.
El teorema tampoco garantiza unicidad
El teorema del valor intermedio y Bolzano son teoremas de existencia, no de unicidad.
Por ejemplo,
\[ p(x)=x^3-x \]
es continua en \([-2,2]\) y satisface
\[ p(-2)=-6<0, \qquad p(2)=6>0. \]
Bolzano garantiza al menos una raíz en \((-2,2)\).
De hecho,
\[ p(x)=x(x-1)(x+1), \]
de modo que existen tres:
\[ -1,\quad0,\quad1. \]
Error frecuente
De
\[ f(a)f(b)<0 \]
no se concluye que exista una única raíz.
La conclusión correcta es:
\[ \boxed{\text{existe al menos una raíz en }(a,b).} \]
Sin continuidad el resultado puede fallar
Consideremos la función
\[ f(x)= \begin{cases} -1,&x<0,\\ 1,&x\ge0, \end{cases} \]
definida en \([-1,1]\).
Tenemos
\[ f(-1)=-1, \qquad f(1)=1. \]
El valor
\[ y=0 \]
está entre los valores de los extremos.
Sin embargo,
\[ f(x)\ne0 \]
para todo \(x\in[-1,1]\).
La función salta directamente de \(-1\) a \(1\) en \(0\).
La continuidad no es decorativa
El cambio de signo de los extremos, por sí solo, no garantiza una raíz.
Lo que impide saltar sobre el nivel intermedio es la continuidad.
Por qué importa que el dominio sea un intervalo completo
La continuidad siempre es relativa al dominio, como vimos en MA-CON-0014.
Si eliminamos puntos intermedios del dominio, una función puede ser continua en todos los puntos de su dominio y aun así no alcanzar valores intermedios entre dos extremos.
Por ejemplo, sea
\[ D=[-1,0)\cup(0,1] \]
y definamos
\[ h(x)= \begin{cases} -1,&x<0,\\ 1,&x>0. \end{cases} \]
La función es localmente constante —y por tanto continua— en cada punto de \(D\). Además,
\[ h(-1)=-1, \qquad h(1)=1. \]
Pero no existe \(x\in D\) con
\[ h(x)=0. \]
El problema es que el dominio no contiene todos los puntos entre \(-1\) y \(1\).
En el teorema del valor intermedio, la hipótesis
\[ f:[a,b]\to\mathbb R \]
garantiza precisamente que no haya huecos de este tipo en la variable real.
La completitud de \(\mathbb R\) no es accidental
La demostración utilizó la existencia de
\[ c=\sup A. \]
Esa existencia depende de la completitud de los reales.
La diferencia se ve con claridad si intentamos trabajar sólo con números racionales.
Consideremos
\[ D=\mathbb Q\cap[0,2] \]
y la función
\[ f:D\to\mathbb Q, \qquad f(x)=x^2-2. \]
Esta función es continua respecto de la métrica usual restringida a \(\mathbb Q\). Además,
\[ f(0)=-2<0, \qquad f(2)=2>0. \]
Pero no existe ningún número racional \(c\) tal que
\[ c^2-2=0, \]
porque
\[ \sqrt2\notin\mathbb Q. \]
Qué revela el ejemplo racional
Este ejemplo no contradice el teorema real: su dominio no es el intervalo real \([0,2]\), sino su parte racional.
Lo que muestra es que, al pasar de \(\mathbb R\) a \(\mathbb Q\), desaparece justamente el punto frontera que la completitud real garantiza.
La relación con MA-CON-0016 es por tanto estructural, no meramente técnica.
Relación con el orden y la comparación
En MA-CON-0005 aprendimos a manipular desigualdades preservando correctamente el orden. En MA-CON-0015 usamos desigualdades para comparar funciones y forzar límites mediante el teorema del sándwich.
Aquí el orden cumple una función distinta: permite separar los puntos según
\[ f(x)\le y \]
y
\[ f(x)>y, \]
construir una frontera mediante el supremo y demostrar que la continuidad obliga a que esa frontera corresponda exactamente al nivel \(y\).
Podemos resumir la arquitectura lógica así:
\[ \boxed{ \text{orden} +\text{completitud de }\mathbb R +\text{continuidad} \Longrightarrow \text{valor intermedio}. } \]
Y para \(y=0\):
\[ \boxed{ \text{continuidad} +\text{cambio de signo} \Longrightarrow \text{existencia de una raíz}. } \]
Control de interpretación
Antes de aplicar el teorema del valor intermedio conviene verificar cuatro puntos:
- la función está definida en todo el intervalo \([a,b]\);
- la función es continua en \([a,b]\);
- el nivel \(y\) está realmente entre \(f(a)\) y \(f(b)\);
- la conclusión buscada es de existencia, salvo que dispongamos de hipótesis adicionales que permitan demostrar unicidad.
Para Bolzano, el tercer control se sustituye por
\[ f(a)f(b)<0. \]
Lectura final
El teorema del valor intermedio no es una regla gráfica informal.
Su demostración se apoya en una cadena rigurosa:
\[ A=\{x:f(x)\le y\} \longrightarrow c=\sup A \longrightarrow \text{aproximación a }c \longrightarrow \text{continuidad} \longrightarrow f(c)=y. \]
Así, la completitud de \(\mathbb R\) se convierte en un teorema concreto sobre el comportamiento de las funciones continuas.