Conjuntos y álgebra de conjuntos
Los capítulos anteriores construyeron un lenguaje para formular afirmaciones. Aprendimos a combinar proposiciones, transformar fórmulas equivalentes, trabajar con predicados y controlar cuantificadores. Ahora utilizaremos ese lenguaje para estudiar uno de los objetos más ubicuos de la matemática: los conjuntos.
Un conjunto permite agrupar objetos y hablar de ellos como una sola entidad matemática. Pero su importancia no está sólo en servir como recipiente. La relación de pertenencia y las operaciones entre conjuntos convierten el lenguaje lógico de C4–C6 en un lenguaje algebraico nuevo. La conjunción reaparecerá como intersección; la disyunción, como unión; la negación, como complemento; la implicación, como inclusión.
La pregunta rectora será:
¿Cómo describimos colecciones matemáticas con precisión y cómo transformamos expresiones de conjuntos mediante leyes que pueden leerse elemento a elemento?
No construiremos una teoría axiomática de conjuntos. Trabajaremos con el lenguaje de conjuntos que necesita la matemática universitaria elemental, manteniendo clara la frontera entre uso operativo y fundamentos.
7.1. ¿Qué es un conjunto en este libro?
Escribiremos conjuntos con letras como \(A,B,C\) y sus elementos con símbolos como \(a,b,x\). La expresión
\(x\in A\)
se lee «\(x\) pertenece a \(A\)». Su negación,
\(x\notin A\),
significa que \(x\) no es elemento de \(A\).
En este capítulo trataremos un conjunto como un objeto matemático determinado por cuáles objetos pertenecen a él. Esta formulación es deliberadamente operativa: no intentaremos definir la palabra conjunto en términos de algo todavía más básico ni desarrollaremos axiomas fundacionales completos.
Los elementos pueden ser objetos muy distintos
Un conjunto puede contener números:
\(A=\{1,4,9\}\).
Puede contener símbolos:
\(B=\{\alpha,\beta,\gamma\}\).
Y también puede contener otros conjuntos:
\(C=\{\varnothing,\{1\},\{1,2\}\}\).
Por eso conviene evitar una intuición puramente física de «caja». La pertenencia es una relación matemática, y la naturaleza de los elementos depende del contexto.
Pertenecer no es estar contenido como subconjunto
Si \(A=\{1,2,3\}\), entonces \(2\in A\). En cambio, \(\{2\}\subseteq A\). Las dos afirmaciones están relacionadas, pero no dicen lo mismo: una habla del número \(2\) como elemento; la otra, del conjunto unitario \(\{2\}\) como subconjunto.
Esta diferencia será una de las disciplinas notacionales centrales del capítulo.
7.2. Describir un conjunto: extensión y comprensión
Un conjunto finito pequeño puede describirse por extensión, enumerando sus elementos:
\(A=\{2,4,6,8\}\).
El orden no importa y las repeticiones tampoco. Por tanto,
\(\{2,4,6,8\}=\{8,6,4,2\}=\{2,2,4,6,8,8\}\).
Estas escrituras determinan el mismo conjunto porque contienen exactamente los mismos elementos.
Otra posibilidad es describir el conjunto mediante una propiedad:
\[ A=\{n\in\mathbb N: 2\mid n\text{ y }2\le n\le8\}. \]
Aquí reutilizamos C6. La parte \(n\in\mathbb N\) fija el dominio y la condición posterior selecciona cuáles elementos pertenecen al conjunto.
Comprensión restringida
La notación
\[ \{x\in D:P(x)\} \]
significa «los elementos \(x\) del dominio \(D\) que satisfacen \(P\)». En este libro utilizaremos sistemáticamente una base o dominio previamente reconocido. No necesitaremos una regla irrestricta que permita formar «el conjunto de todos los objetos que cumplen cualquier propiedad imaginable».
Una descripción puede ocultar el mismo conjunto
El conjunto
\(\{x\in\mathbb Z:x^2=1\}\)
es simplemente \(\{-1,1\}\).
Reconocer que dos descripciones distintas producen los mismos elementos será el punto de partida de la igualdad extensional.
7.3. Igualdad extensional
Dos conjuntos son iguales cuando tienen exactamente los mismos elementos. Operativamente:
\[ A=B\quad\Longleftrightarrow\quad\forall x\,(x\in A\Leftrightarrow x\in B). \]
Este principio se llama extensionalidad.
No importa cómo se hayan descrito los conjuntos. Por ejemplo,
\[ \{-1,1\}=\{x\in\mathbb Z:x^2=1\}. \]
La igualdad no se decide por semejanza visual de las expresiones, sino por coincidencia de pertenencia.
Para demostrar que dos conjuntos son distintos
Basta encontrar un elemento que pertenezca a uno y no al otro. Ese elemento funciona como un testigo de desigualdad.
Si \(A=\{1,2,3\}\) y \(B=\{1,2,4\}\), el elemento \(3\) muestra que \(A\ne B\) porque \(3\in A\) y \(3\notin B\).
Esta idea es el análogo conjuntista del contraejemplo lógico.
7.4. El conjunto vacío y los conjuntos unitarios
El conjunto vacío, denotado por \(\varnothing\), es el conjunto que no contiene elementos.
No debemos confundirlo con \(\{\varnothing\}\). El primero no tiene elementos; el segundo tiene exactamente uno: el conjunto vacío.
También debemos distinguir:
- \(a\), un objeto;
- \(\{a\}\), el conjunto cuyo único elemento es \(a\);
- \(\{\{a\}\}\), el conjunto cuyo único elemento es el conjunto \(\{a\}\).
La cantidad de llaves importa porque cambia el tipo de objeto del que estamos hablando.
El vacío puede aparecer como elemento
Si
\(A=\{\varnothing,1\}\),
entonces \(\varnothing\in A\).
Pero también \(\varnothing\subseteq A\), por una razón completamente distinta: el vacío es subconjunto de todo conjunto. Una misma escritura puede participar en relaciones diferentes; debemos mirar el símbolo relacional.
Nota pedagógica — Leer las llaves desde afuera
Para listar los elementos, empieza por las llaves exteriores. El conjunto \(E=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\) tiene dos elementos: el vacío y el conjunto cuyo único elemento es el vacío. No tiene tres elementos por contar también lo que está dentro del segundo. La pertenencia no atraviesa automáticamente varios niveles de llaves.
| Afirmación sobre \(E\) | Valor | Justificación |
|---|---|---|
| \(\varnothing\in E\) | V | Es uno de los dos elementos enumerados |
| \(\{\varnothing\}\in E\) | V | Es el otro elemento enumerado |
| \(\{\{\varnothing\}\}\in E\) | F | No es ninguno de los dos elementos de \(E\) |
| \(\{\{\varnothing\}\}\subseteq E\) | V | Su único elemento, \(\{\varnothing\}\), pertenece a \(E\) |
Control resuelto. ¿Son iguales \(\varnothing\), \(\{\varnothing\}\) y \(\{\{\varnothing\}\}\)? No. El primero tiene cero elementos y los otros dos tienen uno. Para distinguir estos últimos, la cantidad de elementos no basta: \(\varnothing\) pertenece al segundo y no al tercero, cuyo único elemento es \(\{\varnothing\}\). La regla de inclusión pide examinar los elementos del conjunto situado a la izquierda; la regla de pertenencia pregunta si ese conjunto entero aparece como un elemento a la derecha. Por eso en la tabla la misma expresión puede ser un subconjunto sin ser un elemento.
7.5. Subconjuntos e inclusión
Decimos que \(A\) es subconjunto de \(B\), y escribimos \(A\subseteq B\), cuando todo elemento de \(A\) pertenece también a \(B\):
\[ A\subseteq B\quad\Longleftrightarrow\quad\forall x\,(x\in A\Rightarrow x\in B). \]
La inclusión es, por tanto, una afirmación universal construida a partir de una implicación.
Propiedades inmediatas
Todo conjunto es subconjunto de sí mismo:
\(A\subseteq A\).
Si \(A\subseteq B\) y \(B\subseteq C\), entonces \(A\subseteq C\).
Y el conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto:
\(\varnothing\subseteq A\).
La última afirmación puede resultar extraña hasta recordar su forma lógica. Para que \(\varnothing\subseteq A\) fuese falsa tendría que existir un \(x\in\varnothing\) que no perteneciera a \(A\). Pero no existe ningún \(x\in\varnothing\).
Subconjunto propio
Cuando \(A\subseteq B\) y \(A\ne B\), diremos que \(A\) es un subconjunto propio de \(B\). Evitaremos depender de convenciones tipográficas variables para \(\subset\) y escribiremos las dos condiciones cuando sea importante.
7.6. Igualdad por doble inclusión
La extensionalidad proporciona un criterio extremadamente útil:
\[ A=B\quad\Longleftrightarrow\quad A\subseteq B\text{ y }B\subseteq A. \]
Este criterio se llama doble inclusión.
Para demostrar \(A=B\) podemos proceder así:
- tomar un elemento arbitrario \(x\in A\) y demostrar que \(x\in B\);
- tomar un elemento arbitrario \(x\in B\) y demostrar que \(x\in A\).
Ejemplo
Sea
\(A=\{x\in\mathbb R:x^2=1\}\)
y
\(B=\{-1,1\}\).
Si \(x\in A\), entonces \(x^2=1\), de modo que \((x-1)(x+1)=0\) y por tanto \(x=1\) o \(x=-1\): así \(x\in B\).
Recíprocamente, si \(x\in B\), entonces \(x=1\) o \(x=-1\), y en ambos casos \(x^2=1\). Por tanto \(x\in A\).
La conclusión es \(A=B\).
El patrón de doble inclusión aparecerá muchas veces en matemática posterior.
7.7. El conjunto potencia
Dado un conjunto \(A\), su conjunto potencia es el conjunto de todos los subconjuntos de \(A\):
\[ \mathcal P(A)=\{B:B\subseteq A\}. \]
Si \(A=\{a,b\}\), entonces
\[ \mathcal P(A)=\{\varnothing,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}. \]
Aquí conviene distinguir con extremo cuidado:
- \(a\in A\);
- \(\{a\}\subseteq A\);
- \(\{a\}\in\mathcal P(A)\).
Las dos últimas afirmaciones son equivalentes por definición del conjunto potencia.
Cuántos subconjuntos hay
Si \(A\) tiene \(n\) elementos, cada elemento puede ser incluido o no incluido en un subconjunto. En el caso finito, esto produce \(2^n\) subconjuntos:
\[ |\mathcal P(A)|=2^{|A|}. \]
No desarrollaremos todavía una teoría de cardinalidad; sólo utilizaremos este hecho para conjuntos finitos.
7.8. Unión e intersección
La unión de \(A\) y \(B\) contiene los elementos que pertenecen a por lo menos uno de ellos:
\[ x\in A\cup B\quad\Longleftrightarrow\quad(x\in A)\lor(x\in B). \]
La intersección contiene los elementos que pertenecen a ambos:
\[ x\in A\cap B\quad\Longleftrightarrow\quad(x\in A)\land(x\in B). \]
Este paralelismo no es decorativo. Permite transportar equivalencias lógicas de C5 al álgebra de conjuntos.
Ejemplo finito
Si \(A=\{1,2,3,4\}\) y \(B=\{3,4,5\}\), entonces
\(A\cup B=\{1,2,3,4,5\}\)
y
\(A\cap B=\{3,4\}\).
No contamos dos veces los elementos comunes porque un conjunto registra pertenencia, no multiplicidad.
7.9. Diferencia y complemento
La diferencia \(A\setminus B\) contiene los elementos de \(A\) que no pertenecen a \(B\):
\[ A\setminus B=\{x:x\in A\land x\notin B\}. \]
A diferencia de unión e intersección, la diferencia no es conmutativa en general:
\(A\setminus B\) y \(B\setminus A\)
pueden ser completamente distintos.
Complemento
Para hablar del complemento de \(A\) debemos haber fijado un universo \(U\). Entonces
\[ A^c=U\setminus A. \]
El mismo conjunto \(A\) puede tener complementos diferentes bajo universos distintos.
Por ejemplo, si \(A=\{1,2\}\), su complemento en \(U=\{1,2,3\}\) es \(\{3\}\); en \(V=\{1,2,3,4\}\) es \(\{3,4\}\).
El complemento es la traducción conjuntista de la negación respecto de un dominio fijado.
7.10. Diferencia simétrica
La diferencia simétrica de \(A\) y \(B\) contiene los elementos que pertenecen exactamente a uno de los dos conjuntos:
\[ A\triangle B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A). \]
También puede escribirse
\[ A\triangle B=(A\cup B)\setminus(A\cap B). \]
La primera forma destaca las dos regiones exclusivas; la segunda muestra que retiramos de la unión la parte común.
Lectura lógica
Si \(P\) significa \(x\in A\) y \(Q\) significa \(x\in B\), entonces
\(x\in A\triangle B\)
corresponde a «\(P\) o \(Q\), pero no ambos». La diferencia simétrica es una versión conjuntista de la disyunción exclusiva.
7.11. Leyes del álgebra de conjuntos
Fijemos un universo \(U\). Las operaciones de unión, intersección y complemento satisfacen leyes que recuerdan exactamente al álgebra proposicional.
Identidad y dominación
\(A\cup\varnothing=A\), \(A\cap U=A\),
\(A\cup U=U\), \(A\cap\varnothing=\varnothing\).
Idempotencia
\(A\cup A=A\), \(A\cap A=A\).
Complemento
\(A\cup A^c=U\), \(A\cap A^c=\varnothing\), \((A^c)^c=A\).
Conmutatividad y asociatividad
\(A\cup B=B\cup A\), \(A\cap B=B\cap A\),
\((A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)\),
\((A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C)\).
Distributividad
\[ A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C), \]
\[ A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C). \]
Absorción
\(A\cup(A\cap B)=A\),
\(A\cap(A\cup B)=A\).
De Morgan
\[ (A\cup B)^c=A^c\cap B^c, \]
\[ (A\cap B)^c=A^c\cup B^c. \]
Estas leyes no forman una lista arbitraria. Todas pueden leerse elemento a elemento como equivalencias lógicas.
7.12. De la lógica a los conjuntos
Fijemos un universo \(U\) y conjuntos \(A,B\subseteq U\). Para cada \(x\in U\), escribamos \(P(x)\) para la afirmación \(x\in A\) y \(Q(x)\) para la afirmación \(x\in B\).
Las operaciones de conjuntos se leen mediante condiciones de pertenencia:
| Condición para un elemento \(x\in U\) | Pertenencia correspondiente |
|---|---|
| \(P(x)\) | \(x\in A\) |
| \(P(x)\lor Q(x)\) | \(x\in A\cup B\) |
| \(P(x)\land Q(x)\) | \(x\in A\cap B\) |
| \(\neg P(x)\) | \(x\in A^c\) |
La inclusión y la igualdad requieren que una condición se cumpla para todos los elementos del universo:
| Condición universal | Relación entre conjuntos |
|---|---|
| \(\forall x\in U\,[P(x)\Rightarrow Q(x)]\) | \(A\subseteq B\) |
| \(\forall x\in U\,[P(x)\Leftrightarrow Q(x)]\) | \(A=B\) |
Por ejemplo, la ley lógica de De Morgan
\[ \neg(P(x)\lor Q(x))\equiv(\neg P(x))\land(\neg Q(x)) \]
muestra, para cada \(x\in U\), que \(x\in(A\cup B)^c\) si y sólo si \(x\in A^c\cap B^c\). Por extensionalidad,
\[ (A\cup B)^c=A^c\cap B^c. \]
Un elemento no decide una inclusión
Tomemos \(U=\{1,2\}\), \(A=\{1\}\) y \(B=\varnothing\). En \(x=2\), la implicación \(x\in A\Rightarrow x\in B\) es verdadera porque su antecedente es falso. Sin embargo, \(A\nsubseteq B\): el elemento \(1\) pertenece a \(A\) y no a \(B\). Una implicación verdadera en una entrada no demuestra la condición universal.
Control de comprensión. Si sabemos que \(x\in A\Leftrightarrow x\in B\) para un solo elemento, ¿podemos concluir que \(A=B\)? Escriba la condición que sí permite concluirlo.
Solución. No. Con los conjuntos anteriores y \(x=2\), ambas pertenencias son falsas y el bicondicional es verdadero, aunque \(A\ne B\). La condición suficiente y necesaria es \(\forall x\in U\,(x\in A\Leftrightarrow x\in B)\). Al cumplirse para todo elemento, cada conjunto queda incluido en el otro.
El puente funciona elemento a elemento
No estamos afirmando que un conjunto sea literalmente una proposición. La condición «\(x\) pertenece al conjunto resultante» tiene una estructura lógica; cuando pasamos a una relación entre conjuntos, cuantificamos sobre los elementos. Esta distinción explica cómo reutilizar el álgebra de proposiciones sin confundir una comprobación puntual con una afirmación universal.
7.13. Probar identidades de conjuntos
Hay al menos tres métodos útiles.
1. Transformación algebraica
Podemos aplicar leyes ya establecidas, igual que en C5 transformábamos fórmulas lógicas.
2. Pertenencia elemento a elemento
Para probar \(X=Y\), tomamos un elemento arbitrario \(x\) y mostramos
\(x\in X\Leftrightarrow x\in Y\).
La equivalencia puede desarrollarse usando lógica proposicional.
3. Doble inclusión
Podemos demostrar \(X\subseteq Y\) y \(Y\subseteq X\) por separado.
¿Y los diagramas de Venn?
Un diagrama puede ser excelente para visualizar una identidad o descubrir un contraejemplo en una configuración simple. Pero cuando la tarea exige una prueba general, el argumento debe poder expresarse simbólicamente o elemento a elemento.
Refutar una identidad
Si una supuesta identidad afirma \(X=Y\), basta elegir conjuntos concretos y encontrar un elemento que pertenezca a un lado y no al otro.
Nota pedagógica — Del dibujo a una prueba que cubra todos los casos
Un dibujo particular puede ayudar a reconocer una región y a proponer una igualdad. Para demostrarla, hay que justificar la coincidencia para un elemento arbitrario. Si una región aparece vacía en el dibujo, no podemos usar ese hecho sin una hipótesis que lo garantice. Tampoco basta comprobar un punto de cada región dibujada cuando no se ha explicado qué condición define la región.
Control resuelto. Un dibujo en el que \(A\) y \(B\) no se cortan sugiere \(A\triangle B=A\cup B\). ¿Vale siempre? Con \(A=B=\{u\}\), el lado izquierdo es vacío y el derecho contiene \(u\): la igualdad general es falsa. La condición exacta es \(A\cap B=\varnothing\). Si la intersección es vacía, cada elemento de la unión pertenece exactamente a uno de los conjuntos y está en la diferencia simétrica; la inclusión inversa vale por definición. Recíprocamente, si ambas expresiones son iguales y hubiese un elemento de \(A\cap B\), estaría en la unión y no en la diferencia simétrica, contradicción. La prueba permite usar el dibujo inicial bajo su hipótesis precisa.
Para escoger método, lee la forma del objetivo. Una igualdad entre expresiones de pertenencia suele admitir una cadena de equivalencias; una inclusión pide una implicación para un elemento arbitrario; una descripción de todas las soluciones exige necesidad y suficiencia. En una doble inclusión podemos seguir rutas diferentes en cada dirección. En una cadena de equivalencias, cada paso debe ser reversible: una implicación aislada no alcanza para concluir igualdad.
7.14. Producto cartesiano y pares ordenados
Un par ordenado \((a,b)\) registra dos componentes en orden. En general,
\((a,b)\ne(b,a)\)
cuando \(a\ne b\).
El producto cartesiano de \(A\) y \(B\) es
\[ A\times B=\{(a,b):a\in A,\ b\in B\}. \]
Si \(A=\{1,2\}\) y \(B=\{u,v\}\), entonces
\[ A\times B=\{(1,u),(1,v),(2,u),(2,v)\}. \]
Mientras
\[ B\times A=\{(u,1),(u,2),(v,1),(v,2)\}. \]
En general no son iguales.
Producto con el vacío
No existe ningún par cuyo primer elemento esté en \(\varnothing\). Por eso
\(\varnothing\times A=\varnothing\)
y, del mismo modo,
\(A\times\varnothing=\varnothing\).
Tamaño en el caso finito
Si \(A\) tiene \(m\) elementos y \(B\) tiene \(n\), entonces \(A\times B\) tiene \(mn\) pares.
El producto cartesiano será el punto de partida de C8, donde estudiaremos relaciones. Aquí nos detenemos antes de esa definición.
7.15. Errores estructurales frecuentes
Error 1: confundir \(\in\) con \(\subseteq\)
Si \(A=\{1,2\}\), entonces \(1\in A\) y \(\{1\}\subseteq A\). Intercambiar los símbolos cambia el tipo de afirmación.
Error 2: confundir \(\varnothing\) con \(\{\varnothing\}\)
El primero tiene cero elementos; el segundo, uno.
Error 3: hablar de \(A^c\) sin universo
El complemento depende del universo de referencia.
Error 4: suponer que la diferencia es conmutativa
En general \(A\setminus B\ne B\setminus A\).
Error 5: inferir igualdad desde una sola inclusión
\(A\subseteq B\) no implica \(A=B\). Falta controlar la inclusión inversa.
Error 6: tratar operaciones de conjuntos como aritmética
No existen reglas de «cancelación» automáticas como
\(A\cup C=B\cup C\Rightarrow A=B\).
Por ejemplo, si \(C=U\), ambos lados son \(U\) para cualesquiera \(A,B\).
Error 7: olvidar el orden del producto cartesiano
\(A\times B\) no suele coincidir con \(B\times A\).
Error 8: convertir un dibujo en demostración
La visualización ayuda, pero la prueba debe controlar la definición para todos los elementos pertinentes.
7.16. Protocolo de lectura conjuntista
Antes de transformar una expresión de conjuntos, preguntar:
- ¿Cuál es el universo o dominio?
- ¿Qué símbolos representan elementos y cuáles conjuntos?
- ¿Aparece pertenencia \(\in\) o inclusión \(\subseteq\)?
- ¿Cómo está definido cada conjunto?
- ¿Qué operación aparece: unión, intersección, diferencia, complemento o producto?
- ¿Qué condición lógica significa pertenecer al resultado?
- Si hay complemento, está fijado el universo?
- ¿La igualdad puede traducirse a una equivalencia sobre un elemento arbitrario?
- ¿Conviene transformar algebraicamente o usar doble inclusión?
- Si aparece un producto cartesiano, estoy respetando el orden de las coordenadas?
La meta del capítulo puede resumirse así:
El álgebra de conjuntos es la lógica de pertenencia escrita como operaciones entre colecciones.
Ejercicios
Todos los ejercicios se integran al capítulo con ID editorial único. Salvo las excepciones marcadas como inspiradas por el benchmark UChile, son originales para Álgebra para matemáticos.
A. Pertenencia y descripción
1. Sea \(A=\{2,4,6,8\}\). Decide cuáles son verdaderas: \(4\in A\), \(5\in A\), \(\{4\}\in A\), \(\{4\}\subseteq A\).
2. Escribe por extensión el conjunto \(\{n\in\mathbb Z:-2\le n\le2\}\).
3. Describe por comprensión el conjunto \(\{1,4,9,16,25\}\) usando números naturales.
4. Explica por qué \(\{1,2,2,3\}=\{3,2,1\}\).
5. Determina el conjunto \(A=\{x\in\mathbb Z:x^2<5\}\).
6. Sean \(A=\{x\in\mathbb R:x^2=4\}\) y \(B=\{-2,2\}\). Justifica que describen el mismo conjunto.
B. Vacío, unitarios y notación
7. ¿Cuántos elementos tienen \(\varnothing\), \(\{\varnothing\}\) y \(\{\{\varnothing\}\}\)?
8. Decide si \(\varnothing\in\{\varnothing,1\}\) y si \(\varnothing\subseteq\{\varnothing,1\}\).
9. Sea \(A=\{\varnothing,\{1\},1\}\). Decide si \(1\in A\), \(\{1\}\in A\), \(\{1\}\subseteq A\) y \(\varnothing\in A\).
10. Encuentra un conjunto \(A\) tal que \(\varnothing\in A\) pero \(\{\varnothing\}\notin A\).
11. Encuentra un conjunto \(A\) tal que \(\{\varnothing\}\subseteq A\) pero \(\{\varnothing\}\notin A\).
12. Explica por qué no existe ningún \(x\) tal que \(x\in\varnothing\). ¿Qué implicación tiene esto para una afirmación de la forma “si \(x\in\varnothing\), entonces \(P(x)\)”?
C. Subconjuntos e igualdad
13. Sea \(A=\{1,2\}\) y \(B=\{1,2,3\}\). Decide \(A\subseteq B\), \(B\subseteq A\), \(A\in B\) y \(2\subseteq B\).
14. Demuestra que \(\varnothing\subseteq A\) para todo conjunto \(A\).
15. Demuestra que la inclusión es transitiva: si \(A\subseteq B\) y \(B\subseteq C\), entonces \(A\subseteq C\).
16. Sea \(A=\{1,2,3\}\) y \(B=\{3,2,1\}\). Justifica \(A=B\) sin apelar a que “se ven iguales”.
17. Sean \(A=\{x\in\mathbb Z:-1\le x\le2\}\) y \(B=\{-1,0,1,2\}\). Prueba \(A=B\) por doble inclusión.
18. Da un contraejemplo a la afirmación: “si \(A\subseteq B\), entonces \(A=B\)”.
19. Supón \(A\subseteq B\) y \(B\subseteq A\). Explica por qué no es necesario conocer una lista de los elementos para concluir \(A=B\).
20. Sean \(A,B,C\) conjuntos. Si \(A\subseteq B\) y \(A\subseteq C\), ¿se sigue \(A\subseteq B\cap C\)? Demuéstralo o da contraejemplo.
D. Conjunto potencia
21. Calcula \(\mathcal P(\{a,b\})\).
22. Lista todos los elementos de \(\mathcal P(\{1,2,3\})\).
23. Sea \(A=\{1,2\}\). Decide: \(1\in\mathcal P(A)\), \(\{1\}\in\mathcal P(A)\), \(A\in\mathcal P(A)\) y \(\varnothing\in\mathcal P(A)\).
24. Demuestra que \(\mathcal P(A\cap B)=\mathcal P(A)\cap\mathcal P(B)\).
25. ¿Es siempre cierto que \(\mathcal P(A\cup B)=\mathcal P(A)\cup\mathcal P(B)\)? Si no, produce un contraejemplo.
26. Un conjunto finito \(A\) tiene \(32\) subconjuntos. ¿Cuántos elementos tiene \(A\)? Justifica.
E. Unión e intersección
27. Sean \(A=\{1,2,3,4\}\) y \(B=\{3,4,5\}\). Calcula \(A\cup B\) y \(A\cap B\).
28. Sean \(A=\{x\in\mathbb Z:x\ge0\}\) y \(B=\{x\in\mathbb Z:x\le2\}\). Describe \(A\cap B\) por extensión.
29. Con los conjuntos del ejercicio anterior, describe \(A\cup B\) y decide si coincide con \(\mathbb Z\).
30. Demuestra \(A\cap B\subseteq A\subseteq A\cup B\).
31. Prueba \(A\cup\varnothing=A\) por extensionalidad.
32. Prueba \(A\cap A=A\) por extensionalidad.
33. Si \(A\subseteq B\), demuestra \(A\cup B=B\) y \(A\cap B=A\).
34. ¿Es verdadera la recíproca: si \(A\cap B=A\), entonces \(A\subseteq B\)? Justifica.
F. Diferencia y complemento
35. Sean \(A=\{1,2,3,4\}\) y \(B=\{3,4,5\}\). Calcula \(A\setminus B\) y \(B\setminus A\).
36. Sea \(U=\{1,2,3,4,5\}\) y \(A=\{1,3,5\}\). Calcula \(A^c\).
37. Usa \(A=\{1,2\}\) y dos universos distintos para mostrar que el complemento depende del universo.
38. Demuestra \(A\setminus B=A\cap B^c\) respecto de un universo que contenga a \(A\) y \(B\).
39. Prueba \((A^c)^c=A\).
40. Prueba la ley de De Morgan \((A\cup B)^c=A^c\cap B^c\).
41. ¿Es cierto que \(A\setminus(B\cup C)=(A\setminus B)\cap(A\setminus C)\)? Demuéstralo.
42. Da un contraejemplo a \(A\setminus(B\setminus C)=(A\setminus B)\setminus C\).
G. Diferencia simétrica
43. Sean \(A=\{1,2,3\}\) y \(B=\{3,4\}\). Calcula \(A\triangle B\).
44. Demuestra \(A\triangle B=(A\cup B)\setminus(A\cap B)\).
45. Prueba que \(A\triangle B=B\triangle A\).
46. Determina todas las condiciones bajo las cuales \(A\triangle B=\varnothing\).
H. Leyes y transformaciones
47. Simplifica \(A\cap(A\cup B)\).
48. Simplifica \((A\cup B)\cap(A\cup B^c)\).
49. Simplifica \((A\cap B)\cup(A\cap B^c)\).
50. Demuestra \(A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)\) usando el diccionario lógico.
51. Prueba \(A\cap(B\setminus C)=(A\cap B)\setminus C\).
52. Prueba \(A\triangle B=(A\cup B)\cap(A^c\cup B^c)\).
53. Transforma \((A\cup B)^c\cup(A\cap B^c)\) hasta una forma sin complementos de uniones.
54. Caracteriza cuándo \(\mathcal P(A)\cup\mathcal P(B)=\mathcal P(A\cup B)\).
I. Demostraciones por elementos y doble inclusión
55. Demuestra por doble inclusión \(A\setminus(B\cup C)=(A\setminus B)\cap(A\setminus C)\).
56. Demuestra por elementos \((A\cap B)\setminus C=A\cap(B\setminus C)\).
57. Demuestra que \(A\triangle B=(A\cup B)\setminus(A\cap B)\) por doble inclusión.
58. Supón \(A\cap B\subseteq C\). Demuestra \(A\cap C^c\subseteq B^c\).
59. Refuta con un contraejemplo la identidad \(A\cup(B\setminus C)=(A\cup B)\setminus C\).
60. Demuestra \(A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)\) de dos maneras: por una ley algebraica y por pertenencia.
J. Producto cartesiano
61. Sean \(A=\{1,2\}\) y \(B=\{a,b,c\}\). Escribe \(A\times B\).
62. Con los conjuntos del ejercicio anterior, escribe \(B\times A\) y explica por qué no es igual a \(A\times B\).
63. Demuestra \(A\times\varnothing=\varnothing\).
64. Demuestra \((A\cup B)\times C=(A\times C)\cup(B\times C)\).
65. Caracteriza cuándo \(A\times B=B\times A\).
66. Si \(|A|=4\) y \(|B|=7\), calcula \(|A\times B|\). Explica el principio.
K. Diagnóstico y transferencia
67. Un estudiante escribe: “como \(1\in A\), entonces \(1\subseteq A\)”. Diagnostica y repara.
68. Un estudiante calcula el complemento de \(A=\{1,2\}\) como “todos los números salvo \(1\) y \(2\)”. Explica qué información falta.
69. Un estudiante demuestra \(A=B\) mostrando únicamente \(A\subseteq B\). ¿Qué falta? Da un ejemplo que muestre por qué.
70. Explica por qué un diagrama de Venn puede sugerir \((A\cup B)^c=A^c\cap B^c\), pero una prueba por pertenencia es conceptualmente más general.
71. Determina si la afirmación \(A\cup C=B\cup C\Rightarrow A=B\) es verdadera. Si es falsa, produce un contraejemplo y explica por qué falla la “cancelación”.
72. Síntesis: explica en 8–12 líneas por qué las leyes de conjuntos pueden entenderse como una segunda realización del álgebra lógica de C5. Incluye pertenencia, unión, intersección, complemento, inclusión y extensionalidad.
L. Problemas tipo prueba
Los siguientes problemas están diseñados para evaluación escrita. Se espera una demostración completa, no sólo el resultado final.
73. Demuestra, para conjuntos arbitrarios \(A\) y \(B\), que
\[ \mathcal P(A)\cap\mathcal P(B)=\mathcal P(A\cap B). \]
Deduce además que
\[ \mathcal P(A)\subseteq\mathcal P(B)\quad\Longleftrightarrow\quad A\subseteq B. \]
74. Caracteriza exactamente cuándo se cumple
\[ \mathcal P(A)\cup\mathcal P(B)=\mathcal P(A\cup B). \]
Demuestra que la igualdad vale si y sólo si \(A\subseteq B\) o \(B\subseteq A\).
75. Usando \(A\triangle B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)\), demuestra que la diferencia simétrica es asociativa:
\[ (A\triangle B)\triangle C=A\triangle(B\triangle C). \]
Tu demostración debe explicar por qué un elemento pertenece a cualquiera de los dos lados exactamente cuando pertenece a un número impar de los conjuntos \(A,B,C\).
76. Sea \(U\) un universo fijo y sean \(A,B\subseteq U\). Estudia la ecuación de conjuntos
\[ X\cap A=B. \]
- Determina una condición necesaria y suficiente sobre \(A\) y \(B\) para que exista al menos una solución \(X\subseteq U\).
- Bajo esa condición, describe todas las soluciones.
- Demuestra que tu descripción es completa.
77. Sea \(U\) un universo fijo y sean \(A,B\subseteq U\). Estudia la ecuación
\[ X\cup A=B. \]
- Determina una condición necesaria y suficiente para que exista solución.
- Caracteriza todas las soluciones mediante inclusiones.
- Da una parametrización de todas las soluciones usando un subconjunto arbitrario de \(A\).
78. Sean \(A,B,C,D\) conjuntos. Demuestra que
\[ A\times B\subseteq C\times D \]
si y sólo si se cumple al menos una de las siguientes condiciones:
- \(A=\varnothing\);
- \(B=\varnothing\);
- \(A\subseteq C\) y \(B\subseteq D\).
Tu prueba debe justificar por qué la no vacuidad es indispensable para deducir las dos inclusiones coordenada a coordenada.
79. Supón que
\[ A\cup C=B\cup C \]
y
\[ A\cap C=B\cap C. \]
Demuestra que \(A=B\). Luego muestra, mediante contraejemplos, que ninguna de las dos hipótesis por separado basta para concluir la igualdad.
80. Para \(A,B\subseteq U\), demuestra que las siguientes cinco afirmaciones son equivalentes:
- \(A\subseteq B\);
- \(A\cap B=A\);
- \(A\cup B=B\);
- \(A\setminus B=\varnothing\);
- \(\mathcal P(A)\subseteq\mathcal P(B)\).
Organiza la demostración de manera eficiente, indicando una cadena de implicaciones suficiente para establecer la equivalencia de las cinco condiciones.
M. Comprobación, traducción y construcción de conjuntos
81. Sean \(U=\{a,b,c,d\}\) y \(E=\{a,b,c\}\). Construye \(A,B\subseteq U\) tales que \(x\in A\Rightarrow x\in B\) sea verdadera para todo \(x\in E\), pero \(A\nsubseteq B\). Haz que algún elemento examinado pertenezca realmente a \(A\). Identifica el contraejemplo y la cuantificación que falta.
82. Supón \(A,B\subseteq U\) y que se sabe \(\forall x\in E\,(x\in A\Rightarrow x\in B)\), con \(E\subseteq U\). Demuestra que esto equivale a \(A\cap E\subseteq B\). Determina una condición adicional sobre \(A\) y \(E\) que garantice \(A\subseteq B\) y explica por qué la hipótesis \(E\ne\varnothing\) sola no basta.
83. Sean \(A,B,E\subseteq U\). Demuestra que \(\forall x\in E\,(x\in A\Leftrightarrow x\in B)\) equivale a \(A\triangle B\subseteq U\setminus E\). Construye un caso con \(E\) no vacío donde se cumpla esta condición pero \(A\ne B\). ¿Qué dato adicional permite concluir igualdad?
84. Para un entero \(M\ge0\), toma \(U=\{0,1,2,\ldots\}\) y \(E=\{0,1,\ldots,M\}\). Construye \(A,B\subseteq U\) que coincidan en todos los elementos de \(E\) pero no sean iguales. Explica por qué incrementar el número finito de comprobaciones no convierte este procedimiento en una prueba general de igualdad.
85. Fija \(U\) y \(A,B\subseteq U\). Sea \(S=\{x\in U:x\in A\Rightarrow x\in B\}\). Describe \(S\) mediante operaciones de conjuntos y determina cuándo \(S=U\). Explica por qué pertenecer a \(S\) no significa necesariamente pertenecer a \(B\).
86. Sean \(A,B,C\subseteq U\). Traduce a operaciones de conjuntos \(T=\{x\in U:(x\in A\Rightarrow x\in B)\land(x\in B\Rightarrow x\in C)\}\). Caracteriza \(T=U\) y justifica qué inclusión se deduce entre \(A\) y \(C\). ¿La inclusión deducida basta por sí sola para tener \(T=U\)?
87. Sean \(A,B\subseteq U\subseteq V\). Define \(S_U=\{x\in U:x\notin A\land x\notin B\}\) y \(S_V=\{x\in V:x\notin A\land x\notin B\}\). Describe ambos conjuntos sin usar un complemento ambiguo. Demuestra \(S_V=S_U\cup(V\setminus U)\) y determina cuándo son iguales.
88. Fija \(A,B\subseteq U\) y define el conjunto de acuerdo \(H=\{x\in U:x\in A\Leftrightarrow x\in B\}\). Exprésalo como unión de dos intersecciones y como complemento de una diferencia simétrica. Describe \(U\setminus H\) y explica la condición \(H=U\).
89. Para \(A,B\subseteq U\), determina todas las soluciones \(X\subseteq U\) de \(X\setminus A=B\). Da una condición necesaria y suficiente de existencia, una parametrización completa y la condición exacta de unicidad.
90. Sean \(A,B\subseteq U\). Resuelve \(X\triangle A=B\) entre los subconjuntos de \(U\). Demuestra existencia y unicidad mediante pertenencia, e indica qué decisión sobre \(x\in X\) queda impuesta por saber si \(x\) pertenece a \(A\) y a \(B\).
91. Sean \(A,B,C\subseteq U\). Determina las condiciones de existencia y todas las soluciones simultáneas de \(X\cap A=B\) y \(X\cup A=C\). Explica si quedan elementos de \(X\) cuya pertenencia pueda elegirse libremente.
92. Sean \(A,D,B,C\subseteq U\). Resuelve simultáneamente \(X\cap A=B\) y \(X\cap D=C\). Obtén condiciones necesarias y suficientes y una parametrización de todas las soluciones. Explica cómo se comprueba la compatibilidad en \(A\cap D\).
93. Decide si \((A\cup B)\setminus(A\cap C)=(A\setminus C)\cup(B\setminus A)\) para conjuntos arbitrarios. Escoge un método de prueba o construye un contraejemplo, y explica cómo el método controla los elementos que pertenecen a ambos \(A\) y \(B\).
94. Demuestra o refuta \((A\triangle B)\cap C=(A\cap C)\triangle(B\cap C)\). Escoge el método y explica qué papel cumple un elemento que esté fuera de \(C\).
95. Describe \(\mathcal P(A)\setminus\mathcal P(B)\) mediante una condición sobre un subconjunto \(Y\) de \(A\) y la región \(A\setminus B\). Prueba que tu descripción es exacta y deduce cuándo la diferencia de conjuntos potencia está vacía. Escoge un método apropiado para estos elementos, que son conjuntos.
96. Sean \(A,B,C,D\) conjuntos arbitrarios. Demuestra o refuta \((A\times B)\setminus(C\times D)=((A\setminus C)\times B)\cup((A\cap C)\times(B\setminus D))\). Elige un método y verifica si requiere que alguno de los conjuntos sea no vacío.
Soluciones
A. Pertenencia y descripción
1
Son verdaderas \(4\in A\) y \(\{4\}\subseteq A\). Son falsas \(5\in A\) y \(\{4\}\in A\). El número \(4\) es un elemento de \(A\); el conjunto \(\{4\}\) no aparece como elemento, pero todos sus elementos —sólo \(4\)— pertenecen a \(A\).
2
El conjunto es \(\{-2,-1,0,1,2\}\).
3
Una descripción posible es \(\{n^2:n\in\mathbb N,\ 1\le n\le5\}\). Otra es \(\{m\in\mathbb N: m=n^2\text{ para algún }n\in\{1,2,3,4,5\}\}\).
4
Ambas escrituras contienen exactamente los elementos \(1,2,3\). En un conjunto, el orden de enumeración y la repetición no alteran la pertenencia. Por extensionalidad, los conjuntos son iguales.
5
Los enteros cuyos cuadrados son menores que \(5\) son \(-2,-1,0,1,2\), pues sus cuadrados son \(4,1,0,1,4\). Por tanto \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\).
6
Si \(x\in A\), entonces \(x^2=4\), de modo que \((x-2)(x+2)=0\) y \(x=2\) o \(x=-2\); así \(x\in B\). Recíprocamente, si \(x\in B\), entonces \(x=2\) o \(x=-2\), y en ambos casos \(x^2=4\). Luego \(A=B\).
B. Vacío, unitarios y notación
7
\(\varnothing\) tiene \(0\) elementos. \(\{\varnothing\}\) tiene \(1\) elemento, a saber \(\varnothing\). \(\{\{\varnothing\}\}\) también tiene \(1\) elemento, pero ese elemento es \(\{\varnothing\}\).
8
Ambas son verdaderas, pero por razones distintas. La primera es verdadera porque \(\varnothing\) aparece como elemento. La segunda es verdadera porque el conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto.
9
Las cuatro afirmaciones son verdaderas. \(1\) y \(\{1\}\) aparecen como elementos; como \(1\in A\), el conjunto unitario \(\{1\}\) es subconjunto de \(A\); y \(\varnothing\) también aparece como elemento.
10
Por ejemplo \(A=\{\varnothing\}\). Entonces \(\varnothing\in A\), mientras \(\{\varnothing\}\) no es uno de sus elementos: el único elemento de \(A\) es \(\varnothing\).
11
Por ejemplo \(A=\{\varnothing,1\}\). Como \(\varnothing\in A\), se tiene \(\{\varnothing\}\subseteq A\). Pero \(\{\varnothing\}\) no es elemento de \(A\); los elementos son \(\varnothing\) y \(1\).
12
Por definición, \(\varnothing\) no tiene elementos. Por tanto no hay ningún caso que satisfaga el antecedente \(x\in\varnothing\). En una afirmación universal \(\forall x\,(x\in\varnothing\Rightarrow P(x))\), el antecedente es falso para todo \(x\), de modo que la implicación resulta verdadera para cada caso. Ésta es la razón lógica de \(\varnothing\subseteq A\) para todo \(A\).
C. Subconjuntos e igualdad
13
\(A\subseteq B\) es verdadera. \(B\subseteq A\) es falsa porque \(3\in B\) y \(3\notin A\). \(A\in B\) es falsa: los elementos de \(B\) son números, no el conjunto \(A\). La escritura \(2\subseteq B\) no es apropiada en este contexto porque \(2\) no se está tratando como un conjunto.
14
Por definición, necesitaríamos verificar que todo \(x\in\varnothing\) pertenece a \(A\). Pero no existe ningún \(x\in\varnothing\). Por tanto no hay contraejemplo a la implicación \(x\in\varnothing\Rightarrow x\in A\), y se concluye \(\varnothing\subseteq A\).
15
Sea \(x\in A\). Como \(A\subseteq B\), se sigue \(x\in B\). Como \(B\subseteq C\), se sigue \(x\in C\). Por tanto todo elemento de \(A\) pertenece a \(C\), es decir, \(A\subseteq C\).
16
Cada elemento de \(A\) es uno de \(1,2,3\) y pertenece a \(B\), así que \(A\subseteq B\). Recíprocamente, cada elemento de \(B\) es uno de \(1,2,3\) y pertenece a \(A\), así que \(B\subseteq A\). Por doble inclusión, \(A=B\).
17
Si \(x\in A\), entonces \(x\) es un entero entre \(-1\) y \(2\), de modo que necesariamente \(x\in\{-1,0,1,2\}=B\). Recíprocamente, cada elemento de \(B\) es entero y satisface \(-1\le x\le2\), por lo que pertenece a \(A\). Por doble inclusión, \(A=B\).
18
Toma \(A=\{1\}\) y \(B=\{1,2\}\). Se cumple \(A\subseteq B\), pero \(2\in B\) y \(2\notin A\), así que \(A\ne B\).
19
Las dos inclusiones dicen exactamente que todo elemento de \(A\) está en \(B\) y todo elemento de \(B\) está en \(A\). Por extensionalidad, ambos conjuntos tienen los mismos elementos, independientemente de cómo estén descritos. Por tanto \(A=B\).
20
Sí. Sea \(x\in A\). De \(A\subseteq B\) obtenemos \(x\in B\), y de \(A\subseteq C\), \(x\in C\). Por definición de intersección, \(x\in B\cap C\). Luego \(A\subseteq B\cap C\).
D. Conjunto potencia
21
Los subconjuntos son \(\varnothing\), \(\{a\}\), \(\{b\}\) y \(\{a,b\}\). Por tanto \(\mathcal P(\{a,b\})=\{\varnothing,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}\).
22
Hay \(2^3=8\) subconjuntos: \(\varnothing\), \(\{1\}\), \(\{2\}\), \(\{3\}\), \(\{1,2\}\), \(\{1,3\}\), \(\{2,3\}\) y \(\{1,2,3\}\).
23
\(1\in\mathcal P(A)\) es falsa porque los elementos de \(\mathcal P(A)\) son subconjuntos de \(A\), y en este contexto \(1\) no es uno de ellos. Las otras tres son verdaderas: \(\{1\}\subseteq A\), \(A\subseteq A\) y \(\varnothing\subseteq A\).
24
Sea \(X\) un conjunto. \(X\in\mathcal P(A\cap B)\) equivale a \(X\subseteq A\cap B\). Esto ocurre exactamente cuando \(X\subseteq A\) y \(X\subseteq B\). A su vez, eso equivale a \(X\in\mathcal P(A)\) y \(X\in\mathcal P(B)\), es decir, \(X\in\mathcal P(A)\cap\mathcal P(B)\). Por extensionalidad, los conjuntos son iguales.
25
No. Toma \(A=\{1\}\) y \(B=\{2\}\). Entonces \(\{1,2\}\in\mathcal P(A\cup B)\), pero \(\{1,2\}\notin\mathcal P(A)\) y \(\{1,2\}\notin\mathcal P(B)\). Por tanto no pertenece a \(\mathcal P(A)\cup\mathcal P(B)\).
26
Si \(|A|=n\), entonces \(|\mathcal P(A)|=2^n\). Como \(32=2^5\), se sigue \(n=5\). Por tanto \(A\) tiene \(5\) elementos.
E. Unión e intersección
27
\(A\cup B=\{1,2,3,4,5\}\) y \(A\cap B=\{3,4\}\).
28
Un entero pertenece a ambos conjuntos exactamente cuando \(0\le x\le2\). Por tanto \(A\cap B=\{0,1,2\}\).
29
Todo entero satisface al menos una de las condiciones \(x\ge0\) o \(x\le2\); de hecho, ambas cubren conjuntamente a todos los enteros. Por tanto \(A\cup B=\mathbb Z\).
30
Si \(x\in A\cap B\), entonces por definición \(x\in A\), de modo que \(A\cap B\subseteq A\). Si \(x\in A\), entonces la disyunción \(x\in A\) o \(x\in B\) es verdadera, así \(x\in A\cup B\). Por tanto \(A\subseteq A\cup B\).
31
Para cualquier \(x\), \(x\in A\cup\varnothing\) equivale a \((x\in A)\lor(x\in\varnothing)\). La segunda proposición es siempre falsa, así que la condición equivale a \(x\in A\). Por extensionalidad, \(A\cup\varnothing=A\).
32
Para cualquier \(x\), \(x\in A\cap A\) equivale a \((x\in A)\land(x\in A)\), que es lógicamente equivalente a \(x\in A\). Luego \(A\cap A=A\).
33
Para la unión, todo elemento de \(B\) pertenece a \(A\cup B\), y si \(x\in A\cup B\), entonces \(x\in A\) o \(x\in B\); en el primer caso \(A\subseteq B\) da \(x\in B\), y en el segundo ya lo sabemos. Así \(A\cup B=B\). Para la intersección, \(A\cap B\subseteq A\) siempre, y si \(x\in A\), la hipótesis da \(x\in B\), por lo que \(x\in A\cap B\). Entonces \(A\cap B=A\).
34
Sí. Si \(x\in A\), entonces como \(A=A\cap B\), se tiene \(x\in A\cap B\). Por definición de intersección, \(x\in B\). Por tanto \(A\subseteq B\).
F. Diferencia y complemento
35
\(A\setminus B=\{1,2\}\) y \(B\setminus A=\{5\}\). Esto muestra que la diferencia no es conmutativa.
36
Respecto de \(U\), \(A^c=U\setminus A=\{2,4\}\).
37
Con \(U=\{1,2,3\}\), \(A^c=\{3\}\). Con \(V=\{1,2,3,4\}\), \(A^c=\{3,4\}\). El símbolo \(A^c\) sólo queda determinado cuando el universo está fijado.
38
Para cualquier \(x\), \(x\in A\setminus B\) equivale a \(x\in A\) y \(x\notin B\). Respecto del universo fijado, \(x\notin B\) equivale a \(x\in B^c\). Por tanto la condición equivale a \(x\in A\cap B^c\). Por extensionalidad, \(A\setminus B=A\cap B^c\).
39
Para cualquier \(x\in U\), \(x\in(A^c)^c\) equivale a \(x\notin A^c\), que equivale a no ser cierto que \(x\notin A\), es decir, \(x\in A\). Por extensionalidad, \((A^c)^c=A\).
40
Para \(x\in U\), \(x\in(A\cup B)^c\) equivale a \(x\notin A\cup B\). Esto equivale a negar \([(x\in A)\lor(x\in B)]\), que por De Morgan es \((x\notin A)\land(x\notin B)\). Eso equivale a \(x\in A^c\cap B^c\). Por extensionalidad, los conjuntos son iguales.
41
Sí. Usando diferencia como intersección con complemento y De Morgan: \(A\setminus(B\cup C)=A\cap(B\cup C)^c=A\cap(B^c\cap C^c)=(A\cap B^c)\cap(A\cap C^c)=(A\setminus B)\cap(A\setminus C)\).
42
Toma \(A=\{1\}\), \(B=\{1\}\) y \(C=\{1\}\). Entonces \(B\setminus C=\varnothing\), así que \(A\setminus(B\setminus C)=A=\{1\}\). En cambio \(A\setminus B=\varnothing\), y luego \((A\setminus B)\setminus C=\varnothing\). Los lados son distintos.
G. Diferencia simétrica
43
\(A\setminus B=\{1,2\}\) y \(B\setminus A=\{4\}\). Por tanto \(A\triangle B=\{1,2,4\}\).
44
Un elemento pertenece a \(A\triangle B\) exactamente cuando pertenece a uno de \(A,B\) pero no a ambos. Esto equivale a pertenecer a \(A\cup B\) y no pertenecer a \(A\cap B\). Por definición, esa condición es pertenecer a \((A\cup B)\setminus(A\cap B)\).
45
Por definición, \(A\triangle B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)\). Al intercambiar \(A\) y \(B\) obtenemos los mismos dos conjuntos unidos en orden inverso. Como la unión es conmutativa, \(A\triangle B=B\triangle A\).
46
\(A\triangle B=\varnothing\) exactamente cuando no existe ningún elemento que pertenezca a uno de los conjuntos sin pertenecer al otro. Eso significa \(A\subseteq B\) y \(B\subseteq A\). Por doble inclusión, equivale a \(A=B\).
H. Leyes y transformaciones
47
Por la ley de absorción, \(A\cap(A\cup B)=A\). Elemento a elemento: si \(x\in A\), entonces ciertamente \(x\in A\cup B\); exigir ambas condiciones no añade nada a \(x\in A\).
48
Por distributividad, \((A\cup B)\cap(A\cup B^c)=A\cup(B\cap B^c)=A\cup\varnothing=A\).
49
Factorizando \(A\) mediante distributividad: \((A\cap B)\cup(A\cap B^c)=A\cap(B\cup B^c)=A\cap U=A\).
50
Para un elemento \(x\), la pertenencia al lado izquierdo corresponde a \(P\lor(Q\land R)\), donde \(P:x\in A\), \(Q:x\in B\), \(R:x\in C\). La distributividad lógica da \((P\lor Q)\land(P\lor R)\), que corresponde a \(x\in(A\cup B)\cap(A\cup C)\). Como la equivalencia vale para todo \(x\), los conjuntos son iguales.
51
Usamos \(B\setminus C=B\cap C^c\): \(A\cap(B\setminus C)=A\cap(B\cap C^c)=(A\cap B)\cap C^c=(A\cap B)\setminus C\).
52
Partimos de \((A\cup B)\setminus(A\cap B)\). Esto es \((A\cup B)\cap(A\cap B)^c\). Por De Morgan, \((A\cap B)^c=A^c\cup B^c\). Por tanto \(A\triangle B=(A\cup B)\cap(A^c\cup B^c)\).
53
Por De Morgan, \((A\cup B)^c=A^c\cap B^c\). Entonces la expresión es \((A^c\cap B^c)\cup(A\cap B^c)\). Factorizando \(B^c\): \(B^c\cap(A^c\cup A)=B^c\cap U=B^c\).
54
Siempre \(\mathcal P(A)\cup\mathcal P(B)\subseteq\mathcal P(A\cup B)\). Para la igualdad, supongamos primero \(A\subseteq B\). Entonces \(A\cup B=B\) y \(\mathcal P(A)\subseteq\mathcal P(B)\), de modo que ambos lados son \(\mathcal P(B)\). Lo mismo si \(B\subseteq A\).
Recíprocamente, supongamos la igualdad y que ni \(A\subseteq B\) ni \(B\subseteq A\). Entonces existen \(a\in A\setminus B\) y \(b\in B\setminus A\). El conjunto \(\{a,b\}\) es subconjunto de \(A\cup B\), así que pertenece a \(\mathcal P(A\cup B)\); pero no es subconjunto de \(A\) ni de \(B\), por lo que no pertenece a \(\mathcal P(A)\cup\mathcal P(B)\), contradicción. Por tanto debe cumplirse \(A\subseteq B\) o \(B\subseteq A\).
I. Demostraciones por elementos y doble inclusión
55
Primera inclusión: si \(x\in A\setminus(B\cup C)\), entonces \(x\in A\), \(x\notin B\) y \(x\notin C\). Por tanto \(x\in A\setminus B\) y \(x\in A\setminus C\), así que pertenece a la intersección.
Segunda inclusión: si \(x\in(A\setminus B)\cap(A\setminus C)\), entonces \(x\in A\), \(x\notin B\) y \(x\notin C\). Luego \(x\notin B\cup C\), de modo que \(x\in A\setminus(B\cup C)\).
56
Para cualquier \(x\), \(x\in(A\cap B)\setminus C\) equivale a \(x\in A\), \(x\in B\) y \(x\notin C\). La misma condición equivale a \(x\in A\) y \(x\in B\setminus C\), es decir, \(x\in A\cap(B\setminus C)\). Por extensionalidad, hay igualdad.
57
Si \(x\in A\triangle B\), pertenece exactamente a uno de \(A,B\); por ello está en \(A\cup B\) y no en \(A\cap B\), de modo que pertenece al lado derecho. Recíprocamente, si \(x\in(A\cup B)\setminus(A\cap B)\), pertenece a por lo menos uno de \(A,B\) pero no a ambos; entonces pertenece exactamente a uno, por lo que \(x\in A\triangle B\).
58
Sea \(x\in A\cap C^c\). Entonces \(x\in A\) y \(x\notin C\). Si \(x\in B\), tendríamos \(x\in A\cap B\), y la hipótesis implicaría \(x\in C\), contradicción. Por tanto \(x\notin B\), es decir, \(x\in B^c\). Luego \(A\cap C^c\subseteq B^c\).
59
Toma \(A=\{1\}\), \(B=\varnothing\) y \(C=\{1\}\). El lado izquierdo es \(\{1\}\cup\varnothing=\{1\}\). El lado derecho es \((\{1\}\cup\varnothing)\setminus\{1\}=\varnothing\). Por tanto la identidad es falsa.
60
Método algebraico: es exactamente la distributividad de \(\cap\) respecto de \(\cup\).
Método por pertenencia: \(x\in A\cap(B\cup C)\) equivale a \(x\in A\) y \((x\in B\) o \(x\in C)\). Por distributividad lógica, esto equivale a \((x\in A\) y \(x\in B)\) o \((x\in A\) y \(x\in C)\), que equivale a \(x\in(A\cap B)\cup(A\cap C)\).
J. Producto cartesiano
61
\(A\times B=\{(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)\}\).
62
\(B\times A=\{(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)\}\). Los pares tienen las coordenadas en orden inverso. Por ejemplo \((1,a)\in A\times B\) pero \((1,a)\notin B\times A\).
63
Si existiera \((a,b)\in A\times\varnothing\), entonces \(b\in\varnothing\), lo cual es imposible. Por tanto el producto no contiene pares y es el conjunto vacío.
64
Un par \((x,y)\) pertenece a \((A\cup B)\times C\) exactamente cuando \(x\in A\cup B\) y \(y\in C\), es decir, cuando \((x\in A\) o \(x\in B)\) y \(y\in C\). Esto equivale a \([(x\in A\land y\in C)\lor(x\in B\land y\in C)]\), que significa \((x,y)\in(A\times C)\cup(B\times C)\).
65
Si \(A=\varnothing\) o \(B=\varnothing\), ambos productos son vacíos y son iguales. Supongamos ahora \(A\) y \(B\) no vacíos y \(A\times B=B\times A\). Elige \(a_0\in A\) y \(b_0\in B\). Para cualquier \(a\in A\), \((a,b_0)\in A\times B=B\times A\), luego \(a\in B\). Así \(A\subseteq B\). Simétricamente \(B\subseteq A\), por lo que \(A=B\). Recíprocamente, si \(A=B\), los productos son iguales. Por tanto la igualdad ocurre exactamente cuando \(A=B\) o al menos uno de los conjuntos es vacío.
66
Hay \(4\) opciones para la primera coordenada y, para cada una, \(7\) opciones para la segunda. Por tanto \(|A\times B|=4\cdot7=28\).
K. Diagnóstico y transferencia
67
El error es confundir pertenencia con inclusión. Si \(1\) es un número, la afirmación correcta es \(1\in A\). Si se quiere hablar de inclusión, puede escribirse \(\{1\}\subseteq A\), que sí se sigue de \(1\in A\).
68
Falta especificar el universo. Si el universo es \(\mathbb Z\), el complemento son los enteros distintos de \(1,2\); si es \(\{1,2,3\}\), el complemento es \(\{3\}\). Sin universo, \(A^c\) no queda determinado.
69
Falta demostrar \(B\subseteq A\). Por ejemplo \(A=\{1\}\) y \(B=\{1,2\}\) satisfacen \(A\subseteq B\) pero no son iguales. La igualdad requiere doble inclusión.
70
El diagrama representa regiones y puede hacer visible la coincidencia para una configuración gráfica. La prueba por pertenencia parte de un elemento arbitrario y usa sólo definiciones y lógica: \(x\notin A\cup B\) equivale a \(x\notin A\) y \(x\notin B\). Esa equivalencia establece la identidad sin depender de una figura particular y hace explícita la razón lógica.
71
Es falsa. Toma \(C=\{1,2\}\), \(A=\{1\}\) y \(B=\{2\}\). Entonces \(A\cup C=C=B\cup C\), pero \(A\ne B\). La unión puede ocultar diferencias entre \(A\) y \(B\) porque los elementos discrepantes ya están contenidos en \(C\); no existe una ley general de cancelación para \(\cup\).
72
Respuesta modelo: Para estudiar una expresión de conjuntos podemos fijar un elemento arbitrario \(x\) y traducir cada afirmación de pertenencia a una proposición. La condición \(x\in A\cup B\) corresponde a \((x\in A)\lor(x\in B)\); la intersección corresponde a conjunción y el complemento a negación respecto de un universo. La inclusión \(A\subseteq B\) expresa que para todo \(x\), \(x\in A\) implica \(x\in B\). La extensionalidad dice que \(A=B\) cuando para todo \(x\) son equivalentes las proposiciones \(x\in A\) y \(x\in B\). Por eso conmutatividad, distributividad, absorción y De Morgan reaparecen en el álgebra de conjuntos: son las mismas formas lógicas aplicadas a predicados de pertenencia. Los conjuntos no son proposiciones, pero su pertenencia está gobernada por la misma estructura lógica.
L. Problemas tipo prueba
73
Sea \(X\) un conjunto. Entonces
\[ \begin{aligned} X\in\mathcal P(A)\cap\mathcal P(B) &\Longleftrightarrow X\subseteq A\land X\subseteq B\\ &\Longleftrightarrow X\subseteq A\cap B\\ &\Longleftrightarrow X\in\mathcal P(A\cap B). \end{aligned} \]
Por extensionalidad,
\[ \mathcal P(A)\cap\mathcal P(B)=\mathcal P(A\cap B). \]
Si \(A\subseteq B\) y \(X\in\mathcal P(A)\), entonces \(X\subseteq A\subseteq B\), de modo que \(X\in\mathcal P(B)\). Así \(\mathcal P(A)\subseteq\mathcal P(B)\).
Recíprocamente, si \(\mathcal P(A)\subseteq\mathcal P(B)\), entonces \(A\in\mathcal P(A)\), por lo que \(A\in\mathcal P(B)\). Esto significa \(A\subseteq B\).
74
Si \(A\subseteq B\), entonces \(\mathcal P(A)\subseteq\mathcal P(B)\) y \(A\cup B=B\). Por tanto
\[ \mathcal P(A)\cup\mathcal P(B)=\mathcal P(B)=\mathcal P(A\cup B). \]
El caso \(B\subseteq A\) es simétrico.
Para la recíproca, supongamos
\[ \mathcal P(A)\cup\mathcal P(B)=\mathcal P(A\cup B) \]
y que ninguna inclusión vale. Entonces existen
\[ a\in A\setminus B,\qquad b\in B\setminus A. \]
Como \(\{a,b\}\subseteq A\cup B\), tenemos \(\{a,b\}\in\mathcal P(A\cup B)\). Pero \(\{a,b\}\not\subseteq A\) porque \(b\notin A\), y \(\{a,b\}\not\subseteq B\) porque \(a\notin B\). Por tanto \(\{a,b\}\) no pertenece a \(\mathcal P(A)\cup\mathcal P(B)\), contradicción.
Luego la igualdad vale exactamente cuando \(A\subseteq B\) o \(B\subseteq A\).
75
La condición \(x\in A\triangle B\) significa que \(x\) pertenece a exactamente uno de \(A\) y \(B\).
Por tanto \(x\in(A\triangle B)\triangle C\) si y sólo si:
- \(x\) pertenece a exactamente uno de \(A,B\) y no pertenece a \(C\), o
- \(x\) pertenece a \(C\) y no pertenece a exactamente uno de \(A,B\).
Eso ocurre exactamente cuando \(x\) pertenece a uno o a tres de los conjuntos \(A,B,C\), es decir, a un número impar de ellos.
El mismo criterio describe \(x\in A\triangle(B\triangle C)\). Luego, para todo \(x\),
\[ x\in(A\triangle B)\triangle C \Longleftrightarrow x\in A\triangle(B\triangle C), \]
y por extensionalidad la diferencia simétrica es asociativa.
76
Si \(X\cap A=B\), entonces necesariamente \(B\subseteq A\).
Recíprocamente, si \(B\subseteq A\), existe solución; por ejemplo \(X=B\), pues \(B\cap A=B\).
Bajo la condición \(B\subseteq A\), todas las soluciones son
\[ X=B\cup C,\qquad C\subseteq A^c. \]
En efecto,
\[ (B\cup C)\cap A=(B\cap A)\cup(C\cap A)=B. \]
Para demostrar que no falta ninguna, sea \(X\) una solución cualquiera. Entonces
\[ X=(X\cap A)\cup(X\cap A^c)=B\cup(X\cap A^c). \]
Tomando \(C=X\cap A^c\) obtenemos exactamente la forma descrita.
77
Si \(X\cup A=B\), entonces \(A\subseteq B\). Esta condición también es suficiente: si \(A\subseteq B\), tomar \(X=B\) produce una solución.
Supongamos ahora \(A\subseteq B\). De \(X\cup A=B\) se deduce \(X\subseteq B\). Además, todo elemento de \(B\setminus A\) debe pertenecer a \(X\), porque no puede venir de \(A\). Por tanto
\[ B\setminus A\subseteq X\subseteq B. \]
Estas inclusiones también son suficientes: si se cumplen, entonces \(X\cup A\subseteq B\); y si \(b\in B\), o \(b\in A\), o \(b\in B\setminus A\subseteq X\), así que \(B\subseteq X\cup A\).
Equivalentemente, todas las soluciones son
\[ X=(B\setminus A)\cup C,\qquad C\subseteq A. \]
78
Si \(A=\varnothing\) o \(B=\varnothing\), entonces \(A\times B=\varnothing\), de modo que la inclusión en \(C\times D\) es automática.
Supongamos ahora \(A\ne\varnothing\), \(B\ne\varnothing\) y
\[ A\times B\subseteq C\times D. \]
Elige \(b_0\in B\). Para cualquier \(a\in A\), \((a,b_0)\in A\times B\), luego \((a,b_0)\in C\times D\). Por tanto \(a\in C\), y así \(A\subseteq C\).
Elige ahora \(a_0\in A\). Para cualquier \(b\in B\), \((a_0,b)\in A\times B\subseteq C\times D\), de donde \(b\in D\). Luego \(B\subseteq D\).
Recíprocamente, si \(A\subseteq C\) y \(B\subseteq D\), todo par de \(A\times B\) pertenece a \(C\times D\).
La no vacuidad es esencial: si \(B=\varnothing\), entonces \(A\times B=\varnothing\) cualquiera sea \(A\), por lo que la inclusión del producto no permite concluir nada sobre \(A\subseteq C\).
79
Sea \(x\) arbitrario.
Si \(x\in C\), entonces
\[ x\in A \Longleftrightarrow x\in A\cap C \Longleftrightarrow x\in B\cap C \Longleftrightarrow x\in B. \]
Si \(x\notin C\), la igualdad \(A\cup C=B\cup C\) da
\[ x\in A \Longleftrightarrow x\in A\cup C \Longleftrightarrow x\in B\cup C \Longleftrightarrow x\in B. \]
Luego \(A=B\) por extensionalidad.
Cada hipótesis por separado es insuficiente:
- toma \(A=\{1\}\), \(B=\{2\}\) y \(C=\{1,2\}\). Entonces \(A\cup C=B\cup C\), pero \(A\ne B\);
- toma \(A=\{1\}\), \(B=\{2\}\) y \(C=\varnothing\). Entonces \(A\cap C=B\cap C\), pero \(A\ne B\).
80
Basta establecer una cadena cíclica entre las primeras cuatro condiciones y conectar una de ellas con la quinta.
\((1)\Rightarrow(2)\). Si \(A\subseteq B\), entonces los elementos comunes a \(A\) y \(B\) son exactamente los de \(A\), de modo que \(A\cap B=A\).
\((2)\Rightarrow(3)\). Si \(A\cap B=A\), entonces \(A\subseteq B\). Por tanto \(A\cup B=B\).
\((3)\Rightarrow(4)\). Si \(A\cup B=B\), todo elemento de \(A\) pertenece a \(B\), así que \(A\setminus B=\varnothing\).
\((4)\Rightarrow(1)\). Si \(A\setminus B=\varnothing\) y \(x\in A\), entonces \(x\notin B\) produciría \(x\in A\setminus B\), contradicción. Luego \(x\in B\), y por tanto \(A\subseteq B\).
Finalmente, por el ejercicio 73,
\[ A\subseteq B \Longleftrightarrow \mathcal P(A)\subseteq\mathcal P(B). \]
Así las cinco condiciones son equivalentes.
M. Comprobación, traducción y construcción de conjuntos
81
Toma \(A=\{a,d\}\) y \(B=\{a\}\). En \(a\) las dos pertenencias son verdaderas; en \(b,c\) el antecedente es falso. Así todas las comprobaciones en \(E\) son verdaderas y no se deben únicamente a antecedentes falsos. Sin embargo \(d\in A\) y \(d\notin B\), por lo que \(A\nsubseteq B\). Falta exigir \(\forall x\in U\,(x\in A\Rightarrow x\in B)\): cuantificar sólo sobre \(E\) deja sin revisar \(d\).
82
Si \(x\in A\cap E\), entonces está en \(E\) y en \(A\), de modo que la condición universal da \(x\in B\). A la inversa, si \(A\cap E\subseteq B\) y \(x\in E\) satisface \(x\in A\), pertenece a \(A\cap E\) y por ello a \(B\). Una condición adicional suficiente es \(A\subseteq E\): todo elemento de \(A\) queda entonces examinado y \(A\cap E=A\). La no vacuidad de \(E\) sola no basta: con \(U=\{a,b\}\), \(E=\{a\}\), \(A=\{b\}\) y \(B=\varnothing\), el universal sobre \(E\) es verdadero, pero \(b\) refuta la inclusión global. Tampoco se afirma que \(A\subseteq E\) sea necesaria para cada caso particular: una inclusión podría resultar verdadera por otros datos.
83
El bicondicional sobre \(E\) dice que ningún elemento de \(E\) pertenece exactamente a uno de \(A,B\). Por tanto ningún elemento de \(A\triangle B\) está en \(E\); como ambos conjuntos están en \(U\), se obtiene \(A\triangle B\subseteq U\setminus E\). Recíprocamente, esa inclusión impide discrepancias de pertenencia dentro de \(E\), de modo que allí vale el bicondicional. Con \(U=\{a,b\}\), \(E=\{a\}\), \(A=\{a,b\}\) y \(B=\{a\}\), hay acuerdo en \(a\) y discrepancia en \(b\). Si se conoce además el bicondicional para todos los elementos de \(U\setminus E\), queda cubierto todo \(U\) y la extensionalidad da \(A=B\). También basta saber \(A\triangle B\subseteq E\): junto con la inclusión inicial obliga a que no haya discrepancias.
84
Toma \(A=U\) y \(B=E\). Cada \(x\in E\) pertenece a ambos, pero \(M+1\in A\) y \(M+1\notin B\). Así la coincidencia en todo el segmento examinado no implica igualdad. Para cualquier nuevo límite finito \(L\), la misma construcción \(A=U\), \(B=\{0,1,\ldots,L\}\) deja la discrepancia \(L+1\). Esto demuestra que la regla «acuerdo en un segmento finito implica igualdad» es inválida, no que ninguna igualdad entre conjuntos infinitos pueda probarse: un argumento universal que use sus definiciones sí puede cubrir todos los elementos.
85
Para \(x\in U\), la implicación equivale a \(x\notin A\lor x\in B\). Por ello \(S=A^c\cup B\), con complemento en \(U\). Se tiene \(S=U\) exactamente cuando la implicación vale para todo \(x\in U\), es decir, cuando \(A\subseteq B\). También podemos ver que \(U\setminus S=A\setminus B\): la única región que la implicación excluye es la de sus contraejemplos. Si \(x\notin A\) y \(x\notin B\), la implicación es verdadera y \(x\in S\), aunque no esté en \(B\). Por ejemplo, con \(U=\{a\}\) y \(A=B=\varnothing\), \(S=U\).
86
Cada implicación se traduce como en 85. Así \(T=(A^c\cup B)\cap(B^c\cup C)\). La igualdad \(T=U\) equivale a que ambas implicaciones sean verdaderas para todo elemento, esto es, \(A\subseteq B\) y \(B\subseteq C\). Si \(x\in A\), la primera inclusión lo lleva a \(B\) y la segunda a \(C\), por lo que \(A\subseteq C\). La recíproca es falsa: con \(U=\{a\}\), \(A=C=\varnothing\) y \(B=\{a\}\), se tiene \(A\subseteq C\) pero \(B\nsubseteq C\); para \(x=a\) falla la segunda implicación y \(T=\varnothing\).
87
Por las definiciones, \(S_U=U\setminus(A\cup B)\) y \(S_V=V\setminus(A\cup B)\). Un elemento de \(S_V\) que esté en \(U\) pertenece a \(S_U\). Si no está en \(U\), pertenece a \(V\setminus U\) y automáticamente no está en \(A\) ni en \(B\), porque éstos son subconjuntos de \(U\). Recíprocamente, todo elemento de cualquiera de esas dos regiones está en \(V\) y fuera de \(A\cup B\). Por doble inclusión, \(S_V=S_U\cup(V\setminus U)\). Las regiones son disjuntas, de modo que la igualdad \(S_V=S_U\) ocurre exactamente cuando \(V\setminus U=\varnothing\), es decir, \(V=U\). Mantener la propiedad y cambiar el dominio puede cambiar el conjunto definido.
88
Un bicondicional es verdadero cuando ambas pertenencias son verdaderas o ambas falsas. Por ello \(H=(A\cap B)\cup(A^c\cap B^c)\), con complementos relativos a \(U\). Sus elementos son precisamente los que no pertenecen exactamente a uno de \(A,B\), así que \(H=U\setminus(A\triangle B)\). En consecuencia \(U\setminus H=A\triangle B\): allí se encuentran todos los testigos de desacuerdo. La condición \(H=U\) equivale a que no exista tal testigo y, por extensionalidad, a \(A=B\). El acuerdo incluye también los elementos que no pertenecen a ninguno de los dos conjuntos.
89
Si hay solución, \(B=X\setminus A\) no contiene elementos de \(A\): es necesario \(A\cap B=\varnothing\). Si se cumple, todas las soluciones son \(X=B\cup C\), donde \(C\subseteq A\). En efecto, \((B\cup C)\setminus A=B\), porque \(B\) está fuera de \(A\) y \(C\) dentro. A la inversa, cualquier solución se descompone como \(X=(X\setminus A)\cup(X\cap A)=B\cup(X\cap A)\), y \(X\cap A\subseteq A\). La descripción es exhaustiva. Bajo la condición de existencia hay solución única exactamente cuando \(A=\varnothing\): entonces sólo cabe \(C=\varnothing\) y \(X=B\). Si \(A\) no es vacío, toma \(a\in A\); \(B\) y \(B\cup\{a\}\) son soluciones distintas, pues \(a\notin B\).
90
Si \(x\notin A\), su pertenencia a \(X\triangle A\) coincide con su pertenencia a \(X\), así que la ecuación obliga a \(x\in X\Leftrightarrow x\in B\). Si \(x\in A\), pertenecer a \(X\triangle A\) equivale a no pertenecer a \(X\), y la ecuación obliga a \(x\in X\Leftrightarrow x\notin B\). En ambos casos, \(x\) debe pertenecer a \(X\) exactamente cuando pertenece a uno de \(A,B\) y no al otro. Por tanto la única posibilidad es \(X=A\triangle B\). Esta elección está en \(U\) y, por las mismas dos comprobaciones, satisface la ecuación para todos los elementos. Existe siempre una solución y es única; la ecuación determina cada decisión de pertenencia.
91
La primera igualdad obliga a \(B\subseteq A\); la segunda, a \(A\subseteq C\). Son necesarias las condiciones \(B\subseteq A\subseteq C\). Bajo ellas toma \(X=B\cup(C\setminus A)\). Su intersección con \(A\) es \(B\), y su unión con \(A\) es \(C\), pues \(B\subseteq A\) y \(A\subseteq C\). Toda solución coincide con \(B\) dentro de \(A\). Fuera de \(A\), la unión impone que contenga exactamente los elementos de \(C\setminus A\). Formalmente, \(X\setminus A=(X\cup A)\setminus A=C\setminus A\) y \(X=(X\cap A)\cup(X\setminus A)\). Luego toda solución es la descrita: es única. No queda una región libre; una igualdad fija la parte interior y la otra fija la exterior.
92
Son necesarias \(B\subseteq A\) y \(C\subseteq D\). Además, en la región compartida, \((X\cap A)\cap D=(X\cap D)\cap A\), así que se necesita \(B\cap D=C\cap A\). Estas tres condiciones son suficientes. Bajo ellas, todas las soluciones son \(X=B\cup C\cup T\), con \(T\subseteq U\setminus(A\cup D)\). Su intersección con \(A\) es \(B\cup(C\cap A)=B\cup(B\cap D)=B\); con \(D\) es \((B\cap D)\cup C=(C\cap A)\cup C=C\). El término \(T\) no afecta ninguna intersección. Para la exhaustividad, toda solución cumple \(X\cap(A\cup D)=(X\cap A)\cup(X\cap D)=B\cup C\), de modo que \(X=(B\cup C)\cup[X\setminus(A\cup D)]\). La compatibilidad evita que un mismo elemento de la zona compartida deba estar simultáneamente dentro y fuera de \(X\).
93
La identidad es verdadera. Conviene separar los casos de pertenencia a \(A\). Si \(x\) está en el lado izquierdo y en \(A\), no puede estar en \(C\), pues se excluiría por \(A\cap C\); entonces \(x\in A\setminus C\). Si está en el lado izquierdo y fuera de \(A\), la unión obliga a \(x\in B\), así que \(x\in B\setminus A\). Esto prueba una inclusión. A la inversa, si \(x\in A\setminus C\), está en la unión y fuera de \(A\cap C\); si \(x\in B\setminus A\), también está en la unión y fuera de esa intersección. Por doble inclusión hay igualdad. Los elementos comunes a \(A\) y \(B\) caen en el primer caso: se conservan exactamente cuando no están en \(C\).
94
Es verdadera. Una cadena de pertenencia permite usar directamente «exactamente uno». Si \(x\notin C\), no está en el lado izquierdo ni en \(A\cap C\) ni en \(B\cap C\), por lo que tampoco está en el derecho. Si \(x\in C\), pertenecer a \(A\cap C\) equivale a pertenecer a \(A\), y lo mismo para \(B\). Así pertenece exactamente a una de las dos intersecciones si y sólo si pertenece exactamente a uno de \(A,B\), que es la condición del lado izquierdo dentro de \(C\). La equivalencia vale para todo \(x\) y la extensionalidad demuestra la igualdad. La división de casos evita suponer tácitamente que todos los elementos del universo están en \(C\).
95
La descripción es \(\{Y\in\mathcal P(A):Y\cap(A\setminus B)\ne\varnothing\}\). Si \(Y\) está en la diferencia original, es subconjunto de \(A\) pero no de \(B\); existe entonces \(y\in Y\) con \(y\notin B\). Como \(y\in A\), se tiene \(y\in Y\cap(A\setminus B)\), que no es vacío. Recíprocamente, un elemento de esa intersección está en \(Y\) y fuera de \(B\), por lo que \(Y\nsubseteq B\); dado que \(Y\subseteq A\), está en la diferencia de conjuntos potencia. La diferencia está vacía exactamente cuando \(A\subseteq B\). Si hay inclusión, todos los subconjuntos de \(A\) lo son de \(B\). Si no, toma \(a\in A\setminus B\); el unitario \(\{a\}\) pertenece a la diferencia. El método por elementos sigue siendo válido, pero aquí el elemento arbitrario del conjunto potencia es un conjunto \(Y\) y el testigo de su no inclusión es un objeto \(y\) dentro de él.
96
La igualdad es verdadera. Usamos doble inclusión con un par arbitrario \((a,b)\). Si está en el lado izquierdo, \(a\in A\) y \(b\in B\), pero no se cumplen conjuntamente \(a\in C\) y \(b\in D\). Si \(a\notin C\), está en \((A\setminus C)\times B\). Si \(a\in C\), necesariamente \(b\notin D\), y está en \((A\cap C)\times(B\setminus D)\). Recíprocamente, un par del primer producto está en \(A\times B\) y fuera de \(C\times D\) porque su primera coordenada no está en \(C\); un par del segundo está en \(A\times B\) y fuera de \(C\times D\) porque su segunda coordenada no está en \(D\). Así se obtienen ambas inclusiones. No se eligió un elemento de un conjunto sin tener ya un par que garantizara su pertenencia: el argumento cubre conjuntos vacíos, y ambos lados carecen de pares cuando \(A\) o \(B\) está vacío.