El álgebra como lenguaje de relaciones y estructuras

Primer capítulo del Tomo I de Álgebra para matemáticos: del cálculo concreto al pensamiento algebraico mediante objetos, operaciones, relaciones, patrones, representaciones, invariantes y generalización.

Fecha de última modificación

9 de octubre de 2026

1.1. Una operación puede convertirse en objeto de estudio

Hay una diferencia entre hacer una cuenta y estudiar una cuenta.

Si calculamos \(27+15\), obtenemos \(42\). Si calculamos \(15+27\), obtenemos también \(42\). Hasta aquí no hay nada sorprendente. Sin embargo, en cuanto comparamos ambos cálculos aparece otra pregunta:

¿Qué cambio hicimos y qué permaneció sin cambiar?

Cambiamos el orden de los números. El resultado permaneció.

Probemos ahora con una resta: \(27-15=12\), pero \(15-27=-12\). El mismo cambio —intercambiar los dos números— ya no conserva el resultado.

La diferencia importante no está en que una cuenta sea más difícil que otra. Está en que hemos dejado de preguntar únicamente cuál es el resultado. Ahora preguntamos cómo se comporta una operación cuando modificamos sus entradas.

Ese desplazamiento es uno de los comienzos del pensamiento algebraico.

En la aritmética elemental, una expresión como \(27+15\) suele aparecer como una tarea que debe terminar en un número. En álgebra, la expresión puede convertirse también en un objeto que comparamos con otras expresiones. Podemos preguntar qué transformaciones modifican su valor, cuáles no lo modifican y qué regularidades se repiten en muchos casos.

Esto no significa que el cálculo deje de importar. Significa que el cálculo adquiere una segunda función: además de producir respuestas, puede producir evidencia sobre una pauta más general.

Un primer cambio de mirada

Consideremos los pares

\(9+14\) y \(14+9\);
\(6\cdot 11\) y \(11\cdot 6\);
\(18-5\) y \(5-18\);
\(20/4\) y \(4/20\).

Podemos calcular todos los resultados. Pero la pregunta algebraicamente interesante es otra: ¿qué operaciones parecen conservar el resultado cuando intercambiamos los términos y cuáles no?

Todavía no necesitamos poner un nombre técnico a esa propiedad. El objetivo es aprender a detectarla.

En capítulos posteriores estudiaremos de manera sistemática las leyes que justifican este tipo de observaciones. Aquí sólo queremos adquirir el hábito de mirar una operación como algo que tiene comportamiento.

1.2. De muchos casos a una sola pregunta

Supongamos que observamos

\(4+7=7+4\), \(12+5=5+12\) y \(103+8=8+103\).

Podemos continuar con cientos de ejemplos. En algún momento, sin embargo, seguir calculando deja de ser la mejor forma de expresar lo que estamos observando.

La notación algebraica permite formular de una vez la pregunta:

Si \(a\) y \(b\) son números del contexto que estamos estudiando, ¿se cumple siempre \(a+b=b+a\)?

Aquí las letras no aparecen necesariamente como incógnitas que debamos descubrir. Sirven para mantener abiertos muchos casos posibles.

Éste es uno de los cambios más importantes entre una lectura escolar estrecha del álgebra y una lectura matemática más amplia. Una letra puede representar:

un valor que queremos determinar;
un valor arbitrario;
un parámetro que controla una familia de objetos;
una entrada que puede variar.

Precisaremos esas funciones en el capítulo siguiente. Por ahora basta entender que el simbolismo permite comprimir una familia de situaciones.

Caso, regularidad y conjetura

Observemos ahora los números

\(2\), \(6\), \(12\), \(20\), \(30\).

Podemos reconocerlos como

\(1\cdot2\), \(2\cdot3\), \(3\cdot4\), \(4\cdot5\), \(5\cdot6\).

Todos son pares. La regularidad sugiere una afirmación:

El producto de dos enteros consecutivos es siempre par.

La afirmación general puede escribirse usando \(n\) y \(n+1\):

Para todo entero \(n\), el producto \(n(n+1)\) es par.

Todavía no hemos demostrado nada. Hemos realizado otra operación intelectual: pasar de casos a una conjetura.

Ese paso es valioso, pero debe mantenerse separado de la demostración. Los ejemplos pueden sugerir una afirmación. No pueden, por sí solos, garantizar que la afirmación continúe siendo verdadera en todos los casos.

1.3. Objetos, operaciones y relaciones

Para leer álgebra con precisión necesitamos distinguir papeles diferentes dentro de una escritura matemática.

Tomemos

\(3x+5=17\).

En una sola línea aparecen varias cosas.

Objetos

Trabajamos con objetos matemáticos: números, símbolos, expresiones y, más adelante, polinomios, matrices, funciones y estructuras enteras.

En \(3x+5=17\), los números \(3\), \(5\) y \(17\) son objetos. También podemos tratar \(x\) como un símbolo que ocupa un papel matemático, y la expresión completa \(3x+5\) como un objeto compuesto.

Operaciones

Una operación combina o transforma objetos.

En \(3x+5\), aparecen primero una multiplicación —\(3x\)— y luego una suma.

En otros contextos tendremos operaciones muy diferentes: sumar matrices, componer funciones, multiplicar polinomios o combinar simetrías.

Relaciones

Una relación vincula objetos mediante una afirmación.

En \(3x+5=17\), el signo \(=\) afirma que las dos expresiones situadas a sus lados tienen el mismo valor en las condiciones pertinentes.

En \(x<4\), la relación es de orden.

En \(3\mid 12\), que se lee «\(3\) divide a \(12\)», la relación es de divisibilidad.

La distinción es fundamental: \(3x+5\) es una expresión; \(3x+5=17\) afirma una relación entre esa expresión y \(17\).

Por qué importa distinguirlos

Cuando alguien manipula símbolos sin identificar primero qué está leyendo, aparecen errores típicos: tratar una expresión como si fuera una ecuación, confundir una operación con una relación o transformar una afirmación sin preguntar si la nueva afirmación conserva el mismo significado.

El hábito que queremos formar es el contrario:

Antes de transformar una escritura, identificar qué objetos aparecen, qué operaciones se realizan y qué relación se está afirmando.

1.4. Una expresión no es una afirmación

Comparemos tres escrituras:

\(2x-1\);
\(2x-1=7\);
\(2x-1>7\).

La primera es una expresión. Presenta un objeto algebraico construido mediante operaciones.

La segunda afirma una igualdad.

La tercera afirma una desigualdad.

La diferencia parece pequeña en la página, pero es conceptual. Una expresión como \(2x-1\) no es, por sí sola, verdadera ni falsa. No está diciendo que algo ocurra. En cambio, \(2x-1=7\) sí afirma algo, y esa afirmación puede ser verdadera para ciertos valores de \(x\) y falsa para otros.

Ésta es una razón por la que aprender matemáticas no consiste sólo en reconocer símbolos. Hay que reconocer qué función cumple la escritura completa.

Cálculo, expresión y condición

También conviene distinguir entre:

una expresión: \(x^2+3x\);
un cálculo particular: si \(x=2\), entonces \(x^2+3x=10\);
una condición: \(x^2+3x=10\);
una comparación: \(x^2+3x>10\).

Más adelante estudiaremos formalmente proposiciones, variables, predicados y cuantificadores. En este capítulo no necesitamos todavía ese aparato. Sí necesitamos, desde ahora, una disciplina de lectura: no manipular antes de saber qué tipo de cosa tenemos delante.

1.5. Patrones: descubrir no es demostrar

Los patrones son una de las fuentes más fecundas de preguntas matemáticas.

Consideremos:

\(1=1^2\);
\(1+3=2^2\);
\(1+3+5=3^2\);
\(1+3+5+7=4^2\).

La regularidad sugiere que la suma de los primeros números impares produce cuadrados perfectos.

Podemos proponer:

La suma de los primeros \(n\) números impares es \(n^2\).

La palabra importante es proponer.

Hasta este punto hemos observado cuatro casos. Tal vez podamos observar cuarenta o cuatro mil. Cada nuevo caso favorable aumenta la evidencia, pero la afirmación habla de todos los valores posibles de \(n\) dentro del contexto. La distancia entre «muchos casos» y «todos los casos» no se elimina acumulando ejemplos.

Este contraste introduce una idea esencial de la matemática universitaria: una pauta puede originar una conjetura, pero una conjetura necesita un argumento general si queremos establecerla como verdadera.

El papel de un contraejemplo

Para refutar una afirmación universal, la situación es diferente.

Supongamos que alguien afirma:

Para todo entero \(n\ge 0\), el número \(n^2+n+41\) es primo.

Los primeros valores pueden resultar muy convincentes. Pero basta encontrar un solo valor para el cual la expresión no sea prima.

Si tomamos \(n=41\),

\[ 41^2+41+41=41(41+2)=41\cdot43. \]

La afirmación universal queda refutada.

Hay aquí una asimetría que utilizaremos durante toda la formación matemática:

muchos ejemplos favorables pueden sugerir una afirmación universal;
un ejemplo desfavorable basta para destruirla;
para establecerla, necesitamos un argumento que cubra todos los casos pertinentes.

Todavía no estudiaremos cómo construir ese argumento. Pero desde el primer capítulo debemos aprender a distinguir evidencia, conjetura, contraejemplo y demostración.

1.6. Qué queremos decir aquí por “estructura”

La palabra estructura será central en toda esta obra, pero sería un error tratarla desde el comienzo como si tuviera una definición elemental única y autosuficiente.

En la matemática moderna, y especialmente en álgebra, el enfoque estructural surgió cuando se volvió productivo estudiar no sólo objetos particulares, sino también la organización de sus relaciones y operaciones.

Por eso utilizaremos, por ahora, una noción de trabajo:

Mirar estructuralmente significa dejar de atender sólo a los valores concretos y comenzar a preguntar qué objetos intervienen, qué operaciones y relaciones los organizan, qué propiedades se repiten y qué aspectos permanecen cuando cambian los ejemplos.

Esto no es todavía una definición formal de estructura matemática. Es una guía para aprender a mirar.

Dos contextos diferentes

Pensemos en dos situaciones:

números enteros con la suma;
movimientos que llevan un cuadrado exactamente sobre sí mismo.

En el primer caso los objetos son números. En el segundo son movimientos geométricos. Parecen mundos distintos.

Sin embargo, en ambos podemos preguntar:

¿cómo combinamos dos objetos?
¿hay una operación que no cambie nada?
¿podemos deshacer una operación?
¿importa el orden en que combinamos?
¿qué relaciones se conservan?

Más adelante estas preguntas conducirán a la teoría de grupos. Ahora no necesitamos esa definición. Lo importante es ver cómo dos familias de objetos radicalmente diferentes pueden empezar a compararse por su organización y no por su apariencia.

Los ejemplos concretos cumplen aquí una función de puente: permiten reconocer primero un comportamiento familiar y, sólo después, aislar los rasgos que pueden compararse entre contextos muy distintos.

1.7. Transformar y preguntar qué permanece

Una de las preguntas más poderosas de toda la matemática es:

¿Qué permanece cuando algo cambia?

Tomemos \(8+13\). Si intercambiamos los sumandos, obtenemos \(13+8\). La forma visible cambia, pero el valor no.

Tomemos ahora el entero \(6\). Si lo reemplazamos por su cuadrado, pasamos a \(36\). Cambia el número, pero la propiedad de ser par permanece.

En ambos ejemplos hemos aplicado alguna transformación y observado una propiedad preservada.

Invariante: una palabra que exige contexto

Llamaremos invariante, de manera todavía informal, a una cantidad o propiedad que permanece sin cambio bajo una transformación o familia de transformaciones especificada.

La última frase es crucial. No tiene sentido decir simplemente «esto es un invariante» sin explicar respecto de qué cambio.

Por ejemplo:

el valor de una suma permanece cuando intercambiamos sus sumandos;
la paridad de un entero par permanece al elevarlo al cuadrado;
la longitud de un segmento permanece bajo ciertos movimientos rígidos del plano.

Más adelante encontraremos invariantes mucho más profundos: dimensión, grado, orden, rango, clases de isomorfismo y otros. La pregunta elemental «¿qué cambia y qué permanece?» es la semilla de ese lenguaje.

Conservar una propiedad no significa conservarlo todo

Comparemos dos cambios sobre el mismo par de números. Empezamos con \(4\) y \(9\). En el primero intercambiamos las entradas; en el segundo aumentamos la primera en \(1\) y disminuimos la segunda en \(1\).

Situación	Entradas, en orden	Suma	Producto
Inicial	\(4,9\)	\(13\)	\(36\)
Intercambiar	\(9,4\)	\(13\)	\(36\)
Transferir una unidad	\(5,8\)	\(13\)	\(40\)

En estos casos la suma no distingue los dos cambios, pero el producto sí. Por eso decir «la transformación conserva el resultado» es insuficiente si no hemos indicado el resultado de qué operación. Tampoco debemos confundir «las entradas siguen siendo las mismas, en otro orden» con «la suma sigue siendo la misma». El segundo cambio conserva la suma del ejemplo aunque modifica ambas entradas.

Podemos proponer la pregunta general: ¿aumentar una entrada y disminuir la otra en la misma cantidad conserva siempre la suma? La tabla sugiere esa pauta. La justificación mediante las leyes de las operaciones se estudiará en C3; aquí debemos separar la observación comprobada de la afirmación pendiente.

Control. Parte de \(2,5\). Compara intercambiar las entradas con aumentar la primera en \(2\) y disminuir la segunda en \(2\). ¿Qué distingue la suma y qué distingue el producto? ¿Qué puedes concluir sobre todos los pares a partir de este control?

Solución. El par inicial tiene suma \(7\) y producto \(10\). El intercambio produce \(5,2\), con suma \(7\) y producto \(10\). El otro cambio produce \(4,3\), con suma \(7\) y producto \(12\). La suma no distingue estas situaciones; el producto distingue el segundo cambio del intercambio. Hemos verificado este par, no todos los pares. Para reconocer qué estamos comparando, retoma §1.3, operaciones y relaciones; para precisar la fuerza de los datos, retoma §1.5, evidencia y conjetura.

1.8. Una idea, varias representaciones

Una misma relación matemática puede presentarse de formas distintas.

Consideremos la regla:

A cada número le asignamos su doble aumentado en uno.

Podemos escribirla verbalmente, como acabamos de hacer.

Podemos representarla simbólicamente mediante \(2x+1\).

Podemos construir una tabla:

\(x\)	\(2x+1\)
\(0\)	\(1\)
\(1\)	\(3\)
\(2\)	\(5\)
\(3\)	\(7\)
\(4\)	\(9\)

Cada representación destaca algo distinto.

La frase verbal hace visible el procedimiento.

La expresión \(2x+1\) concentra la regla.

La tabla hace visible cómo varían algunos valores y permite reconocer rápidamente una regularidad.

No hay una representación universalmente superior. Una habilidad matemática importante consiste en cambiar de representación cuando el cambio permite ver una propiedad que antes estaba oculta.

Representar no es decorar

Un diagrama, una tabla o una fórmula sólo son útiles si revelan información.

En esta colección no utilizaremos representaciones visuales como adorno. Las usaremos cuando permitan:

detectar una pauta;
comparar casos;
distinguir dependencias;
hacer visible una transformación;
reconocer una estructura.

Lo que una tabla finita permite reconstruir

Supongamos que sólo se nos entregan estos datos:

Entrada	Salida
\(0\)	\(2\)
\(1\)	\(4\)
\(2\)	\(6\)

La regla «duplica la entrada y suma \(2\)» reproduce la tabla. Pero también lo hace esta otra regla, definida para todas las entradas enteras: «para \(0,1,2\), duplica y suma \(2\); para cualquier otro entero, duplica y suma \(3\)». En la entrada \(3\), la primera da \(8\) y la segunda \(9\). Las reglas son distintas aunque la tabla disponible no las distingue.

No se trata de decidir cuál parece más natural. Si el único dato es la tabla, ambas son compatibles. Si además se nos dice que la regla siempre consiste en duplicar y sumar una cantidad fija, hemos recibido una restricción nueva. Las condiciones del problema pueden descartar candidatos; la apariencia de los primeros valores no reemplaza esas condiciones.

Control. Se agrega a la tabla la fila \(3\mapsto8\). ¿Esto selecciona una de las dos reglas anteriores? ¿Prueba que no pueda existir ninguna otra regla compatible con las cuatro filas?

Solución. Descarta la segunda regla y conserva la primera entre esos dos candidatos. No establece unicidad entre todas las reglas posibles. Por ejemplo, «duplica y suma \(2\), excepto en la entrada \(4\), donde entrega \(100\)» coincide en las cuatro filas y difiere en otra entrada. La comprobación adicional discrimina los candidatos comparados, pero no agota los que no fueron considerados. Si falta esta distinción, retoma §1.2, casos y conjetura, y §1.5, alcance de una comprobación finita. Después escribe por separado las filas observadas y la regla que estás proponiendo.

1.9. Generalizar exige controlar el dominio de la afirmación

Consideremos la observación:

\(2^2-2=2\), \(3^2-3=6\), \(4^2-4=12\), \(5^2-5=20\).

Todos los resultados son pares.

Podemos conjeturar que \(n^2-n\) es par para todo entero \(n\).

La conjetura es correcta, pero conviene observar algo importante: la frase «para todo entero \(n\)» forma parte de la afirmación. Si cambiamos el dominio, podemos cambiar el problema.

Por ejemplo, si \(n\) pudiera ser cualquier número real, decir que \(n^2-n\) es «par» dejaría de tener el mismo sentido, porque la paridad es una propiedad de enteros.

Esto anticipa una regla general de lectura matemática:

Una afirmación no está completamente determinada sólo por su fórmula; también importan las condiciones bajo las cuales se interpreta.

Más adelante esas condiciones aparecerán mediante dominios, hipótesis y cuantificadores. Por ahora debemos aprender a buscarlas incluso cuando están escritas en lenguaje ordinario.

Una pregunta disciplinada

Cuando una pauta parece general, conviene preguntar:

¿sobre qué objetos estamos hablando?
¿qué casos hemos comprobado?
¿qué afirmación exacta queremos proponer?
¿podemos encontrar un caso que la destruya?
si no encontramos uno, ¿qué tipo de razón necesitaríamos para justificarla?

Generalizar matemáticamente no es adivinar una fórmula vistosa. Es formular con precisión una afirmación cuyo alcance conocemos.

1.10. Leer algebraicamente

Podemos reunir lo aprendido en una rutina de lectura.

Ante una expresión, igualdad, fórmula o problema, conviene preguntar:

¿Cuáles son los objetos?
¿Qué operaciones aparecen?
¿Qué relaciones se afirman?
¿Qué condiciones restringen los objetos?
¿Estamos mirando un caso particular o una familia de casos?
¿Qué cambia cuando modificamos el ejemplo?
¿Qué permanece?
¿Qué patrón parece repetirse?
¿Qué afirmación general sugiere?
¿Qué evidencia tenemos?
¿Qué contraejemplo podríamos buscar?
¿Qué faltaría justificar para convertir la conjetura en conocimiento matemático?

No todas las preguntas serán útiles en cada problema. La rutina sirve para instalar un hábito: leer antes de operar y decidir antes de transformar.

Éste es uno de los cambios centrales de la transición a la matemática universitaria. Cada vez habrá menos instrucciones del tipo «aplica esta fórmula» y más situaciones en las que debamos reconocer por nosotros mismos qué información es relevante y qué estructura organiza el problema.

1.11. Síntesis

El álgebra no comienza cuando aparecen letras. Comienza cuando una situación particular se convierte en objeto de comparación y generalización.

En este capítulo hemos aprendido a distinguir varios movimientos intelectuales:

calcular
↓
comparar
↓
describir objetos, operaciones y relaciones
↓
detectar regularidades
↓
formular una conjetura
↓
buscar contraejemplos
↓
preguntar qué permanece
↓
preguntar qué debe justificarse

Todavía no hemos formalizado las leyes de las operaciones, la lógica ni la demostración. Eso es deliberado.

El capítulo siguiente examinará con mayor precisión expresiones, variables, igualdad e identidad. Después estudiaremos qué propiedades autorizan las transformaciones algebraicas. Sólo entonces comenzaremos a sistematizar el lenguaje lógico y las técnicas de demostración.

Por ahora basta con que haya cambiado la pregunta.

Ya no preguntamos solamente:

¿cuánto da?

También preguntamos:

¿qué clase de objeto estoy mirando?, ¿qué operación actúa?, ¿qué relación se afirma?, ¿qué patrón se repite?, ¿qué permanece y qué tendría que demostrar?

Ejercicios

Los ejercicios están ordenados por función matemática. No todos piden calcular; varios exigen explicar, comparar o decidir qué puede concluirse.

A. Leer antes de transformar

1. En \(5x-3\), identifica los objetos visibles y las operaciones. Explica por qué no aparece todavía una relación.

2. Compara \(5x-3\) con \(5x-3=12\). ¿Qué elemento nuevo aparece en la segunda escritura y qué cambia en su significado?

3. Clasifica cada escritura como expresión o afirmación de una relación: \(a^2+b^2\), \(a^2+b^2=c^2\), \(m<n\), \(4\mid 28\), \(3(y+1)\).

4. En \(2(a+b)=2a+2b\), identifica las operaciones y la relación principal. Sin justificar todavía la igualdad en general, explica qué afirma la escritura.

5. Explica la diferencia entre \(x+4\) y \(x+4=0\) sin resolver ninguna ecuación.

6. Un estudiante dice que «\(7\mid 35\) es una división». Explica con precisión por qué esa lectura es incorrecta.

B. Casos, patrones y generalidad

7. Calcula \(1\cdot2\), \(2\cdot3\), \(3\cdot4\), \(4\cdot5\), \(5\cdot6\) y formula una conjetura sobre la paridad del producto de dos enteros consecutivos.

8. Examina \(n^2-n\) para \(n=1,2,3,4,5,6\). Formula una conjetura precisa e indica cuál es el dominio sobre el que la propones.

9. Observa \(1\), \(1+3\), \(1+3+5\), \(1+3+5+7\) y \(1+3+5+7+9\). Formula una conjetura que describa los resultados.

10. Calcula \((-1)^n\) para \(n=0,1,2,3,4,5,6\). Describe el patrón en palabras y luego mediante una regla que distinga dos casos.

11. Busca seis valores iniciales de \(2^n\) y describe dos regularidades diferentes que observes. Distingue claramente «regularidad observada» de «afirmación demostrada».

12. Construye cinco ejemplos numéricos que sugieran una regla general propia. Escribe por separado: los casos, la regularidad observada y la conjetura.

C. Contraejemplos y límites de la evidencia

13. Refuta: «para todos los números reales \(a,b\), se cumple \(a-b=b-a\)».

14. Refuta: «si \(a^2=b^2\), entonces \(a=b\)» para números reales.

15. Refuta: «la suma de dos enteros impares es impar».

16. Un estudiante comprueba veinte valores de \(n\) y observa que una fórmula produce siempre un número primo. Explica por qué eso no basta para demostrar que la fórmula produce primos para todo \(n\).

17. Considera \(n^2+n+41\). Comprueba algunos valores iniciales y encuentra un valor que destruya la afirmación «siempre es primo».

18. Inventa una afirmación universal falsa sobre enteros que resulte plausible al mirar al menos tres casos iniciales. Luego encuentra un contraejemplo.

D. Comparar comportamientos

19. Compara \(14+9\) con \(9+14\), y \(14-9\) con \(9-14\). Describe el cambio aplicado y lo que ocurre con el resultado en cada operación.

20. Compara \(3\cdot 8\) con \(8\cdot 3\), y \(3/8\) con \(8/3\). Formula una pregunta general sugerida por el contraste.

21. Considera los pares \(2+7=9\), \(5+4=9\) y \(12+(-3)=9\). ¿Qué cambia entre los ejemplos y qué permanece?

22. Considera \(4^2\), \(6^2\), \(10^2\) y \(14^2\). ¿Qué propiedad de las bases permanece en los cuadrados? Formula la observación sin intentar demostrarla.

23. Da un ejemplo de una transformación de una expresión que preserve su valor en los casos que pruebes y otro ejemplo de una transformación que no lo preserve.

24. Explica, con un ejemplo propio, qué significa estudiar «el comportamiento de una operación» en lugar de limitarse a efectuarla.

E. Representaciones

25. Traduce al lenguaje simbólico: «tres veces un número, menos cinco».

26. Explica la diferencia entre «tres veces un número, menos cinco» y «tres veces la diferencia entre un número y cinco». Escribe ambas expresiones.

27. Representa «la suma de dos enteros consecutivos» usando una sola letra.

28. Construye una tabla de cinco valores para la regla \(3x+2\). ¿Qué información se hace más visible en la tabla que en la expresión aislada?

29. Una tabla contiene los pares \((0,1)\), \((1,3)\), \((2,5)\), \((3,7)\), \((4,9)\). Propón una expresión sencilla que reproduzca esos valores. Explica por qué cinco pares compatibles no demuestran que esa expresión sea la única regla posible.

30. Da un ejemplo de una idea matemática elemental que puedas expresar verbalmente, mediante símbolos y mediante una tabla. Explica qué revela mejor cada representación.

F. Pensamiento estructural y síntesis

31. Explica por qué «enteros con suma» y «movimientos de un cuadrado que lo llevan sobre sí mismo» podrían ser comparables desde un punto de vista estructural, aunque sus objetos sean completamente distintos. No uses todavía vocabulario de teoría de grupos.

32. Considera el paso de \(8+13\) a \(13+8\). Identifica la transformación y una cantidad que permanece. Explica por qué la palabra «invariante» requiere mencionar la transformación considerada.

33. Considera el paso de un entero par \(n\) a su cuadrado \(n^2\). ¿Qué propiedad parece preservarse? ¿Qué tendría que hacerse más adelante para convertir la observación en una afirmación demostrada?

34. Analiza la escritura \(a(b+c)=ab+ac\) mediante la rutina de lectura algebraica: objetos, operaciones, relación, familia de casos, posible regularidad y cuestión de justificación.

35. Un estudiante afirma: «como \(2^2+1=5\), \(4^2+1=17\) y \(6^2+1=37\), entonces \(n^2+1\) es primo para todo entero par \(n\)». Evalúa el razonamiento y encuentra un contraejemplo.

36. Escribe un párrafo matemático breve que responda: ¿qué diferencia hay entre resolver un cálculo y reconocer una estructura? Tu respuesta debe mencionar al menos objetos, operaciones o relaciones, y generalidad.

G. Reglas distintas para los mismos datos

37. Una tabla para entradas enteras contiene \(0\mapsto2\), \(1\mapsto5\) y \(2\mapsto8\). Escribe dos reglas completas que reproduzcan esas filas y den salidas distintas en \(3\). Calcula ambas salidas. Explica qué dato nuevo permitiría distinguir tus dos candidatos y qué no demostraría todavía ese dato.

38. El costo de un servicio para \(1,2,3\) usos es, respectivamente, \(7,10,13\). Propón dos reglas para cualquier cantidad entera no negativa de usos que coincidan con esos datos y difieran cuando no hay usos. Añade una condición verbal que haga elegir una de ellas. Distingue el costo observado de la condición que tú agregaste.

39. Se estudia una operación con dos entradas enteras. Sólo se conoce la tabla de las entradas \(0\) y \(1\): al combinar \(0,0\) sale \(0\); \(0,1\) y \(1,0\) dan \(1\); \(1,1\) da \(2\). Propón dos operaciones completas compatibles, una que siempre sea la suma ordinaria y otra que falle en conservar el resultado al intercambiar alguna pareja de entradas. Comprueba tu pareja y explica el límite de la tabla.

H. Objetos, operaciones y relaciones en nuevos contextos

40. Ana tiene \(7\) fichas y Beto \(5\). Ana entrega dos fichas a Beto sin perder ninguna. Identifica objetos, operación y una relación numérica que se conserve. Compara esta entrega con intercambiar los nombres de los dueños en el registro inicial. Explica por qué tener el mismo total no significa que todos los datos sean iguales.

41. Trabajamos con las letras \(a,b\) y con la operación de escribir una detrás de otra, conservando el orden. Completa los cuatro resultados posibles para dos entradas de una letra. Identifica una propiedad que todos esos resultados compartan y una relación que distinga \(ab\) de \(ba\). Compara lo observado con intercambiar dos sumandos numéricos, sin usar teoría de grupos.

42. Un reloj tiene posiciones \(0,1,\ldots,11\); después de \(11\) se vuelve a \(0\). Desde la posición \(10\) se avanza cuatro posiciones. Describe el recorrido y compara la posición final con la suma entera \(10+4\). Identifica objetos, operación y relación en ambos contextos. ¿Un caso donde ambos resultados coincidan mostraría que las dos operaciones son siempre iguales?

I. Conjeturas y casos frontera

43. Al calcular \(x^2\) para \(x=1,2,3\), se obtiene un valor mayor o igual que \(x\). Formula la conjetura que extendería esa observación a todos los reales y refútala con una entrada entre \(0\) y \(1\). Comprueba también \(0\) y \(-1\). Propón un dominio más estrecho sobre el cual convendría investigar la pauta, sin presentar tus comprobaciones como demostración.

44. Los casos \(8/2<8\), \(12/3<12\) y \(20/5<20\) sugieren «dividir un número positivo por cualquier número positivo siempre lo disminuye». Evalúa los casos frontera con divisor \(1\), \(1/2\) y \(0\). Decide cuáles son contraejemplos admisibles y formula una nueva pregunta cuyo rango respete lo observado.

45. Tres cuadrados tienen lados \(1,2,3\). Calcula sus perímetros y áreas, y formula una conjetura que extienda a todos los rectángulos positivos la comparación que sugieren. Busca un contraejemplo usando un rectángulo de lados \(1,9\) y otro de lados \(4,4\). Explica qué restricción de los ejemplos iniciales se perdió al generalizar.

J. Elegir una representación y reconocer sus límites

46. Se resumen tres salidas escribiéndolas ordenadas: \(0,1,4\). Se pierde qué entrada produjo cada una. Construye dos tablas sobre las mismas entradas \(0,1,2\) que tengan ese mismo resumen, pero asignen salidas distintas a la entrada \(0\). Para responder «¿qué entrada dio \(4\)?», elige entre el resumen y una tabla completa. Explica la información perdida.

47. Una persona camina en una recta. En el recorrido A va directamente de \(0\) a \(3\) y después directamente de \(3\) a \(0\), sin desvíos. En B permanece en \(0\). Ambos se resumen con «posición final: \(0\)». Elige una representación que permita responder cuánto se recorrió y cuál permita responder dónde terminó. Calcula las distancias y explica por qué el resumen final no basta para ambas preguntas.

48. Dos procedimientos de rebaja de un precio positivo son: A, quitar \(2\) unidades; B, quitar la quinta parte del precio. Para un precio de \(10\), ambos dan \(8\). Escribe cada regla en palabras y con símbolos; elige un segundo precio que las distinga y organiza ambos casos en una tabla. Identifica los objetos, operaciones y relaciones. Explica qué concluirías si sólo estuvieran permitidos estos dos procedimientos, y qué no concluirías sin esa restricción.

Soluciones

Las soluciones respetan deliberadamente los prerrequisitos del Capítulo 1. Cuando una afirmación requiere teoría posterior, se explica qué puede concluirse ahora y qué deberá justificarse más adelante.

A. Leer antes de transformar

1

En \(5x-3\) aparecen los símbolos \(5\), \(x\) y \(3\), y también las expresiones \(5x\) y \(5x-3\). Las operaciones son multiplicación y resta. No aparece una relación porque la escritura no compara \(5x-3\) con otro objeto mediante \(=\), \(<\), \(\mid\) u otro signo relacional.

Idea transferible: una expresión puede contener varias operaciones sin afirmar todavía que dos objetos estén relacionados.

2

En \(5x-3=12\) aparece la relación de igualdad. La expresión \(5x-3\) deja de estar aislada: ahora se afirma que, bajo las condiciones pertinentes, tiene el mismo valor que \(12\).

No hemos resuelto la ecuación; sólo hemos identificado qué tipo de escritura es.

3

\(a^2+b^2\): expresión.
\(a^2+b^2=c^2\): afirmación de igualdad.
\(m<n\): afirmación de orden.
\(4\mid28\): afirmación de divisibilidad.
\(3(y+1)\): expresión.

La presencia de operaciones no convierte automáticamente una escritura en una afirmación.

4

Aparecen suma y multiplicación. La relación principal es igualdad. La escritura afirma que las expresiones \(2(a+b)\) y \(2a+2b\) tienen el mismo valor para los objetos y condiciones bajo los cuales se interprete la igualdad.

En este capítulo no necesitamos justificar todavía por qué esa igualdad es general; su justificación sistemática llegará al estudiar las leyes de las operaciones.

5

\(x+4\) es una expresión: no afirma nada por sí sola. \(x+4=0\) es una afirmación de igualdad que impone una condición sobre los valores que pueda tomar \(x\).

6

El símbolo \(\mid\) no indica que se esté realizando la operación \(35/7\). La escritura \(7\mid35\) afirma una relación: que \(35\) es múltiplo de \(7\), o equivalentemente, que existe un entero que multiplicado por \(7\) produce \(35\).

B. Casos, patrones y generalidad

7

Los productos son \(2,6,12,20,30\), todos pares.

Conjetura: para todo entero \(n\), el producto \(n(n+1)\) es par.

Los cálculos proporcionan evidencia. La afirmación general todavía necesitaría una justificación válida para cualquier entero.

8

Los valores son \(0,2,6,12,20,30\). Todos son pares.

Una conjetura precisa es: para todo entero \(n\), \(n^2-n\) es par.

El dominio importa: la palabra «par» tiene sentido aquí porque estamos hablando de enteros.

9

Los resultados son \(1,4,9,16,25\), es decir, \(1^2,2^2,3^2,4^2,5^2\).

Conjetura: la suma de los primeros \(n\) enteros impares positivos es \(n^2\).

10

Los valores son \(1,-1,1,-1,1,-1,1\).

Regla: - si \(n\) es par, \((-1)^n=1\); - si \(n\) es impar, \((-1)^n=-1\).

Todavía no hemos probado la regla para todos los enteros no negativos; la hemos formulado a partir del patrón y del significado de potencia.

11

Por ejemplo, para \(n=1,\dots,6\) se obtiene \(2,4,8,16,32,64\).

Dos regularidades: 1. todos los valores son pares; 2. la última cifra sigue \(2,4,8,6,2,4,\dots\).

Ambas son observaciones. Para convertirlas en teoremas habría que justificar que continúan para todos los exponentes del dominio.

12

Respuesta abierta. Un ejemplo válido:

Casos: \(1^2+1=2\), \(2^2+2=6\), \(3^2+3=12\), \(4^2+4=20\), \(5^2+5=30\).

Regularidad: todos los resultados son pares.

Conjetura: para todo entero \(n\), \(n^2+n\) es par.

Lo esencial es separar los datos observados de la afirmación general.

C. Contraejemplos y límites de la evidencia

13

Toma \(a=5\) y \(b=2\). Entonces \(a-b=3\), mientras que \(b-a=-3\). Como la afirmación decía «para todos», un solo caso que falle basta para refutarla.

14

Toma \(a=1\) y \(b=-1\). Se cumple \(a^2=b^2=1\), pero \(a\ne b\). La afirmación es falsa.

15

Toma dos impares, por ejemplo \(3\) y \(5\). Su suma es \(8\), que es par. Por tanto, la afirmación universal es falsa.

16

Veinte comprobaciones cubren sólo veinte casos. Si la afirmación pretende valer para todos los valores posibles de \(n\), todavía podría existir un contraejemplo fuera de los casos examinados.

La ausencia de contraejemplos en una búsqueda finita no constituye una demostración universal.

17

Para varios valores pequeños aparecen números primos. Sin embargo, para \(n=41\):

\[ 41^2+41+41=41\cdot43, \]

que es compuesto. Por lo tanto, «siempre es primo» es falso.

18

Respuesta abierta. Ejemplo:

Afirmación: «\(n^2+n+1\) es primo para todo entero positivo \(n\)».

Casos: - \(n=1\): \(3\), primo; - \(n=2\): \(7\), primo; - \(n=3\): \(13\), primo.

Contraejemplo: - \(n=4\): \(21=3\cdot7\), no primo.

El ejercicio muestra que una pauta muy convincente en los primeros casos puede fallar inmediatamente después.

D. Comparar comportamientos

19

\(14+9=23\) y \(9+14=23\): al intercambiar los términos, el resultado se conserva.

\(14-9=5\) y \(9-14=-5\): al aplicar el mismo tipo de cambio —intercambiar los términos— el resultado no se conserva.

La comparación muestra que operaciones diferentes pueden responder de manera diferente a una misma transformación de sus entradas.

20

\(3\cdot8=24\) y \(8\cdot3=24\), mientras que \(3/8\ne8/3\).

Pregunta general sugerida: ¿para qué operaciones el intercambio de los dos argumentos conserva el resultado?

En el capítulo 3 esta pregunta se convertirá en una propiedad formal.

21

Cambian los sumandos: \((2,7)\), \((5,4)\) y \((12,-3)\). Permanece el resultado de la suma: \(9\).

Una misma relación final puede realizarse mediante objetos concretos diferentes.

22

Las bases \(4,6,10,14\) son pares, y sus cuadrados \(16,36,100,196\) también lo son.

Observación: al elevar al cuadrado un entero par, parece preservarse la paridad par.

Los ejemplos no son todavía una demostración general.

23

Respuesta abierta.

Ejemplo que preserva valor: transformar \(7+12\) en \(12+7\); ambos valen \(19\).

Ejemplo que no preserva valor: transformar \(7-12\) en \(12-7\); se pasa de \(-5\) a \(5\).

Lo importante es especificar la transformación y comparar una propiedad antes y después.

24

Respuesta modelo: estudiar el comportamiento de una operación significa observar qué ocurre cuando variamos sus entradas o las transformamos, y buscar propiedades que se repiten. Por ejemplo, sumar \(a+b\) y luego intercambiar a \(b+a\) permite preguntar si el resultado depende del orden, en vez de limitarse a calcular un caso particular.

E. Representaciones

25

«Tres veces un número, menos cinco» puede representarse como \(3x-5\).

26

«Tres veces un número, menos cinco» se representa como \(3x-5\).

«Tres veces la diferencia entre un número y cinco» se representa como \(3(x-5)\).

No son iguales en general. La primera resta \(5\) después de triplicar; la segunda resta primero y triplica después toda la diferencia.

27

Si el primer entero es \(n\), el siguiente es \(n+1\). La suma es \(n+(n+1)\).

No necesitamos simplificar todavía; la expresión ya representa la relación verbal.

28

Una tabla posible:

\(x\)	\(3x+2\)
\(0\)	\(2\)
\(1\)	\(5\)
\(2\)	\(8\)
\(3\)	\(11\)
\(4\)	\(14\)

La tabla hace visible, por ejemplo, que al aumentar \(x\) en \(1\), los valores mostrados aumentan en \(3\). La expresión simbólica comprime la regla para cualquier entrada.

29

Una regla sencilla es \(2x+1\).

Sin embargo, cinco pares no determinan de manera única una regla posible: pueden construirse otras expresiones que coincidan en esos cinco valores y difieran después. Por tanto, los datos apoyan la regla propuesta, pero no prueban su unicidad.

30

Respuesta abierta. Ejemplo:

Verbal: «a cada entero le asignamos su cuadrado».

Simbólico: \(x^2\).

Tabla: \((0,0),(1,1),(2,4),(3,9)\).

La frase verbal explica la acción, la fórmula la condensa y la tabla muestra casos concretos y crecimiento.

F. Pensamiento estructural y síntesis

31

Los objetos son distintos: en un caso son enteros y en otro movimientos geométricos. Sin embargo, en ambos contextos puede existir una manera de combinar dos objetos, puede haber una operación que no cambie nada y puede tener sentido preguntar si una operación puede deshacerse.

La comparación es estructural porque se centra en la organización y el comportamiento, no en la naturaleza material de los objetos.

32

La transformación es intercambiar los dos sumandos. La cantidad que permanece es el valor de la suma, \(21\).

Decir «\(21\) es un invariante» sin más sería incompleto. Es invariante respecto de esa transformación concreta en este ejemplo: intercambiar los sumandos.

33

Si \(n\) es par, los ejemplos sugieren que \(n^2\) también es par. Para convertirlo en una afirmación demostrada habría que dar una razón que funcione para cualquier entero par, no sólo para los valores comprobados.

Más adelante podremos expresar un entero par en una forma general y usarla en una demostración.

34

En \(a(b+c)=ab+ac\):

objetos: \(a,b,c\) y las expresiones construidas con ellos;
operaciones: suma y multiplicación;
relación: igualdad;
familia de casos: los valores permitidos de \(a,b,c\);
regularidad sugerida: multiplicar una suma por \(a\) parece producir el mismo resultado que multiplicar cada término por \(a\) y sumar;
cuestión pendiente: justificar por qué la igualdad vale en todos los casos del dominio.

En este capítulo la lectura es suficiente; la ley que justifica la transformación se estudiará sistemáticamente después.

35

Los tres casos apoyan una conjetura, pero no una conclusión universal.

Un contraejemplo es \(n=8\):

\(8^2+1=65=5\cdot13\),

que no es primo. Por tanto, la afirmación es falsa.

El error del estudiante no fue calcular mal; fue atribuir a unos pocos ejemplos una fuerza lógica que no tienen.

36

Respuesta modelo:

Resolver un cálculo consiste en obtener información sobre un caso concreto, por ejemplo hallar el valor de \(17+8\). Reconocer una estructura exige mirar más allá del resultado y preguntar qué objetos intervienen, qué operaciones o relaciones los conectan y qué propiedades continúan siendo válidas al cambiar los ejemplos. El cálculo puede aportar evidencia, pero el pensamiento estructural busca una organización que explique una familia de casos.

G. Reglas distintas para los mismos datos

37

Una regla es «multiplica por \(3\) y suma \(2\)», es decir, \(3x+2\). Otra es «si la entrada es \(0,1\) o \(2\), multiplica por \(3\) y suma \(2\); para cualquier otra entrada entera, multiplica por \(3\) y suma \(3\)». Ambas están especificadas para todas las entradas enteras y dan respectivamente \(2,5,8\) en las filas entregadas.

En \(3\), la primera da \(11\) y la segunda \(12\). Conocer la salida real en esa entrada distinguiría esos dos candidatos: \(11\) apoyaría al primero y descartaría al segundo; \(12\) haría lo contrario. Una salida distinta descartaría ambos. Ninguno de esos resultados probaría por sí solo que no existan otros candidatos compatibles con todos los datos observados. El ejercicio pide reglas distintas, no sólo dos maneras de escribir la misma regla.

38

Primera regla: cobrar \(4\) de cargo fijo y \(3\) por cada uso, incluso cuando hay cero usos; su expresión es \(4+3n\). Segunda: cobrar \(0\) cuando no hay usos y, cuando hay al menos uno, cobrar \(4+3n\). En \(1,2,3\), ambas dan \(7,10,13\); en \(0\), dan \(4\) y \(0\).

La condición «el cargo fijo se cobra incluso si no se utiliza el servicio» selecciona la primera. La condición «sin usos no se cobra nada» selecciona la segunda. La tabla no afirma ninguna de estas condiciones: sólo informa tres costos. No se debe presentar una condición añadida como si fuera una conclusión de esas filas. Las dos reglas respetan la interpretación de \(n\) como cantidad entera no negativa, sin inventar usos negativos.

39

La primera operación suma siempre las dos entradas. La segunda también las suma, excepto cuando la primera es \(2\) y la segunda \(3\): en ese caso entrega \(0\). Esta excepción define un resultado único para cada pareja y no afecta ninguna de las cuatro entradas conocidas, por lo que ambas operaciones reproducen la tabla.

En la segunda operación, combinar \(2,3\) da \(0\), mientras combinar \(3,2\) da la suma ordinaria \(5\). El intercambio cambia el resultado. En la primera, ambas sumas valen \(5\). La tabla inicial sólo compara parejas cuyas entradas son \(0\) o \(1\); su simetría visible no establece cómo se comporta la operación fuera de esas entradas. No estamos demostrando una ley general de operaciones: estamos construyendo dos posibilidades que los datos finitos no distinguen.

H. Objetos, operaciones y relaciones en nuevos contextos

40

Los objetos son las cantidades asignadas a cada persona y las fichas que se trasladan. La operación de entrega cambia el registro \(\text{Ana}:7,\text{Beto}:5\) a \(\text{Ana}:5,\text{Beto}:7\). La relación «las dos cantidades suman \(12\)» permanece, pues \(7+5=12\) y \(5+7=12\).

Intercambiar los nombres en el registro inicial produce las mismas cantidades finales asociadas a los nombres, pero es un cambio de descripción: por sí mismo no afirma que se hayan trasladado fichas. La entrega sí describe una acción física. El total coincide antes y después, pero la cantidad de Ana cambia, la de Beto cambia y los procedimientos descritos difieren. Un registro de cantidades puede representar el estado final sin conservar la historia que llevó a él.

41

Los cuatro resultados son:

Primera entrada	Segunda entrada	Resultado
\(a\)	\(a\)	\(aa\)
\(a\)	\(b\)	\(ab\)
\(b\)	\(a\)	\(ba\)
\(b\)	\(b\)	\(bb\)

Todos tienen dos letras. \(ab\) y \(ba\) tienen incluso las mismas letras y el mismo número de cada una, pero no son la misma escritura ordenada: la primera empieza por \(a\) y la segunda por \(b\). Los objetos son letras o cadenas, la operación es escribir en orden y la relación de igualdad compara las escrituras completas. En \(2+5\) y \(5+2\), el intercambio conserva el resultado numérico \(7\); en estas cadenas, conservar la longitud no equivale a conservar el resultado. La propiedad elegida y la clase de objetos importan.

42

El recorrido es \(10\to11\to0\to1\to2\), así que la posición final es \(2\). En los enteros, \(10+4=14\). El reloj trabaja con doce posiciones y la operación consiste en avanzar por el recorrido circular; la suma ordinaria trabaja con enteros. El número \(14\) es un entero admisible, pero no una de las etiquetas del reloj.

La relación «posición final igual a \(2\)» describe el reloj; «suma igual a \(14\)» describe la cuenta entera. No se puede reemplazar una por otra ignorando los objetos del contexto. Desde \(3\), avanzar cuatro posiciones termina en \(7\), que también es \(3+4\); ese caso coincidente no hace idénticas las operaciones. El ejemplo desde \(10\) ya muestra una diferencia. No hace falta teoría de congruencias para leer el recorrido dado.

I. Conjeturas y casos frontera

43

La conjetura sería: «para todo real \(x\), \(x^2\ge x\)». Con \(x=1/2\) resulta \(x^2=1/4<1/2\), así que es falsa. En \(0\) hay igualdad y en \(-1\) se obtiene \(1\ge-1\). Estos casos favorables no anulan el contraejemplo: una afirmación universal debe cubrir también la entrada \(1/2\).

Un dominio más estrecho que se puede investigar es el de los enteros positivos; otra propuesta es estudiar los reales mayores o iguales que \(1\). En este punto se han propuesto nuevas afirmaciones, no demostrado que todos sus casos funcionen. La diferencia decisiva es que el primer dominio probado contenía sólo unos pocos enteros, mientras la conjetura incluía entradas fraccionarias.

44

La afirmación se refuta con \(8/1=8\): la entrada y el divisor son positivos, pero el resultado no es estrictamente menor. También \(8/(1/2)=16>8\) la refuta, mostrando que el resultado incluso puede aumentar. Con divisor \(0\), la división no tiene valor y, además, ese divisor no es positivo; no es un contraejemplo admisible a la afirmación tal como fue escrita.

Una nueva pregunta es: «¿dividir un número positivo por un divisor mayor que \(1\) siempre produce un número menor?». Es más precisa que la primera y compatible con los tres casos iniciales. Su justificación general mediante orden y operaciones queda pendiente. No basta cambiar “positivo” por “distinto de cero”, porque eso introduciría además divisores negativos que no hemos estudiado en la comparación.

45

Los cuadrados tienen perímetros \(4,8,12\) y áreas \(1,4,9\). Sugieren: «entre rectángulos de lados positivos, el de mayor perímetro siempre tiene mayor área».

El rectángulo de lados \(1,9\) tiene perímetro \(2(1+9)=20\) y área \(9\). El de lados \(4,4\) tiene perímetro \(16\) y área \(16\). El primero tiene mayor perímetro y menor área, así que refuta la conjetura; ambos tienen lados positivos y son entradas admisibles.

En los ejemplos iniciales los dos lados de cada figura eran iguales. Al extender a todos los rectángulos se retiró esa restricción y apareció la posibilidad de una figura alargada. Se puede volver a investigar la comparación sólo entre cuadrados, pero tres cálculos no reemplazan la justificación general de esa versión.

J. Elegir una representación y reconocer sus límites

46

Dos tablas posibles son:

Entrada	Tabla A	Tabla B
\(0\)	\(0\)	\(4\)
\(1\)	\(1\)	\(1\)
\(2\)	\(4\)	\(0\)

Ambas tienen las salidas \(0,1,4\) si se las ordena y se omiten las entradas. Pero en A la entrada \(0\) da \(0\), y en B da \(4\). La salida \(4\) procede de \(2\) en A y de \(0\) en B. Para identificar la entrada hace falta la tabla que conserve las asociaciones, u otra representación que las indique.

El resumen conserva cuáles salidas aparecen en estos datos y cuántas veces, pero pierde el vínculo entre entrada y salida. No es sólo una tabla corta: incluso para las tres entradas observadas se ha eliminado información necesaria.

47

La posición final es \(0\) en los dos casos, así que ese resumen responde dónde terminó. Para calcular lo recorrido necesitamos conservar los tramos, por ejemplo con la lista ordenada A: \(0\to3\to0\) y B: permanecer en \(0\), junto con la información de que los tramos son directos y sin desvíos.

En A se recorren \(3\) unidades de ida y \(3\) de vuelta: total \(6\). En B se recorren \(0\). El regreso al mismo lugar no significa ausencia de movimiento. La representación final conserva la posición, pero no el recorrido ni su longitud. La condición “sin desvíos” importa: conocer sólo los extremos de un tramo no excluiría viajes adicionales de ida y vuelta. Tampoco estos datos informan cuánto tiempo tomó cada recorrido.

48

Con precio \(p\), A se escribe \(p-2\) y B se escribe \(p-p/5\). Las frases indican respectivamente una cantidad fija y una cantidad que depende del precio. Para distinguirlas elegimos \(p=20\):

Precio inicial	A: quitar \(2\)	B: quitar la quinta parte
\(10\)	\(8\)	\(8\)
\(20\)	\(18\)	\(16\)

Los objetos son precios y cantidades retiradas; las operaciones son resta y, en B, división para calcular la quinta parte. La relación comparada es igualdad entre los precios finales. En \(10\) coincide el resultado, pero los procedimientos no son el mismo; en \(20\) se distinguen.

Si se sabe que el procedimiento real debe ser A o B, una salida \(18\) para precio \(20\) selecciona A, y una salida \(16\) selecciona B. Una salida diferente descartaría ambos candidatos. Sin esa restricción, dos filas no garantizan una regla única para otros precios. La tabla facilita comparar esos casos; las frases y expresiones conservan el procedimiento completo declarado. Para precios menores que \(2\), A daría un resultado negativo: si el contexto lo prohíbe, haría falta restringir su aplicación, aunque los dos precios usados aquí son admisibles.

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Reutilización

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