Topos desde cero — 1.7 Repaso acumulativo del capítulo 1
1.7 Repaso acumulativo del capítulo 1
Esta unidad cierra el Capítulo 1 — Proposiciones y razonamiento deductivo de Topos desde cero (MA-BCH-0002). No introduce nociones nuevas: recupera e intercala los contenidos de §§1.1–1.6 para comprobar que pueden utilizarse sin que el enunciado anuncie de antemano qué técnica corresponde.
Al terminar este repaso, el lector podrá:
- recuperar sin apoyo inmediato las nociones centrales del lenguaje proposicional;
- elegir una estrategia adecuada sin que el enunciado anuncie de antemano qué técnica utilizar;
- combinar análisis sintáctico, valuaciones, equivalencias y reglas de inferencia;
- traducir con precisión entre lenguaje natural y fórmulas proposicionales;
- distinguir validez de verdad material de las premisas y de la conclusión;
- detectar errores típicos en implicaciones, bicondicionales y argumentos;
- justificar cada transformación o inferencia mediante una regla ya introducida.
Las secciones anteriores aislaron las piezas del lenguaje proposicional. Pero una demostración real rara vez anuncia:
«Ahora debes usar una tabla de verdad»,
ni:
«Ahora debes aplicar modus tollens».
El objetivo de este repaso es retirar esas señales. Los problemas mezclan contenidos de §§1.1–1.6 y obligan a decidir qué información es relevante y qué herramienta conviene usar.
Cómo usar este repaso
Antes de leer una solución, intenta cada problema durante al menos 3–5 minutos.
No es necesario resolverlos en orden. Si un problema se atasca, marca exactamente el punto donde aparece la dificultad:
- sintaxis;
- semántica;
- traducción;
- equivalencia;
- inferencia.
Las etiquetas Recuperación, Consolidación, Diagnóstico y Síntesis indican la función pedagógica del ejercicio, pero no revelan la técnica necesaria para resolverlo.
1.7.1 Problemas acumulativos
[Recuperación] Clasifica cada expresión como proposición, pregunta, instrucción o expresión abierta. Cuando sea una proposición, indica su valor de verdad si puede decidirse inmediatamente.
\(14=2\cdot 7\);
«¿Es 19 primo?»;
«Escribe un número impar»;
\(n+5=12\);
«21 es divisible por 3».
[Recuperación] Para la fórmula
\[ \varphi=\neg\bigl(P\lor(Q\land\neg R)\bigr), \]
determina:
la conectiva principal;
el alcance de cada negación;
todas sus subfórmulas;
si está bien formada, justificándolo mediante las reglas de formación.
[Consolidación] Sea la valuación
\[ \nu:\qquad P=V,\qquad Q=F,\qquad R=V. \]
Evalúa de adentro hacia afuera
\[ \neg\bigl((P\land Q)\lor(\neg Q\land R)\bigr). \]
Indica qué parte de tu trabajo es sintáctica y cuál es semántica.
[Consolidación] Construye la tabla de verdad de
\[ (P\lor Q)\land\neg(P\land Q). \]
Clasifica la fórmula como tautología, contradicción o contingencia y describe verbalmente qué situación expresa.
[Consolidación] Decide si
\[ \neg(P\land Q) \]
y
\[ \neg P\land\neg Q \]
son lógicamente equivalentes. No respondas por memoria: justifica mediante una tabla de verdad o mediante leyes de equivalencia ya disponibles.
[Recuperación] Sea
\[ P:\quad\text{«el entero es divisible por 4»}, \]
\[ Q:\quad\text{«el entero es par»}. \]
Traduce simbólicamente:
si el entero es divisible por 4, entonces es par;
el entero es par solo si es divisible por 4;
ser divisible por 4 es condición suficiente para ser par;
ser par es condición necesaria para ser divisible por 4;
el entero es divisible por 4 si y solo si es par.
Compara cuidadosamente las fórmulas obtenidas.
[Consolidación] Para
\[ P\to Q, \]
escribe:
la recíproca;
la inversa;
la contrapositiva.
Luego determina cuáles son lógicamente equivalentes al condicional original y cuáles son equivalentes entre sí.
[Consolidación] Simplifica
\[ \neg(P\to Q) \]
hasta una fórmula que utilice únicamente \(\neg\) y \(\land\).
Explica qué combinación de valores de \(P\) y \(Q\) hace falsa a la implicación original.
[Diagnóstico] Un estudiante razona:
Si estudio, apruebo.
Aprobé.
Por tanto, estudié.simboliza el argumento;
identifica el error;
produce una valuación que refute la forma argumental;
explica por qué la posible verdad de las tres frases en una situación concreta no vuelve válida la forma.
[Diagnóstico] Analiza:
Si el servidor está apagado, la pantalla está negra.
El servidor no está apagado.
Por tanto, la pantalla no está negra.Determina si el argumento es válido. Si no lo es, exhibe una asignación refutadora.
[Consolidación] Considera las premisas
\[ P\to Q,\qquad Q\to R,\qquad \neg R. \]
Determina qué puede concluirse acerca de \(P\) y justifica cada paso.
[Consolidación] Considera
\[ P\lor Q,\qquad \neg P,\qquad Q\to R. \]
Determina una conclusión no trivial y presenta una cadena completa de inferencias.
[Diagnóstico] Un estudiante afirma
\[ P\leftrightarrow Q\equiv P\to Q. \]
Encuentra una valuación que muestre el error y explica conceptualmente qué información adicional contiene el bicondicional.
[Consolidación] Decide si el siguiente argumento es válido:
\[ P\to(Q\lor R),\qquad \neg Q,\qquad \neg R,\qquad \therefore\neg P. \]
Puedes razonar mediante equivalencias, reglas de inferencia o una tabla de verdad, pero debes hacer explícita tu justificación.
[Síntesis] Sean
\[ P:\quad\text{«la figura es un cuadrado»}, \]
\[ Q:\quad\text{«la figura es un rectángulo»}, \]
\[ R:\quad\text{«la figura tiene cuatro lados»}. \]
Se dan las premisas
\[ P\to Q,\qquad Q\to R,\qquad \neg R. \]
traduce las premisas al lenguaje natural;
determina qué conclusiones pueden obtenerse sobre \(Q\) y \(P\);
identifica las reglas utilizadas;
explica por qué no fue necesario conocer si existen realmente cuadrados o rectángulos.
[Síntesis] Estudia las fórmulas
\[ A=(P\to Q)\land(Q\to P), \]
\[ B=P\leftrightarrow Q. \]
construye una tabla suficiente para comparar \(A\) y \(B\);
decide si \(A\equiv B\);
explica en palabras por qué el resultado era razonable antes de hacer la tabla.
[Síntesis] Considera el argumento
\[ P\lor Q,\qquad P\to R,\qquad Q\to R,\qquad \therefore R. \]
determina si es válido;
si lo es, justifícalo sin construir la tabla completa;
verifica después la validez mediante la imposibilidad de una asignación refutadora.
[Síntesis] Diseña tú mismo un argumento de tres premisas y una conclusión que cumpla simultáneamente:
utiliza al menos una implicación y una disyunción;
es válido;
una de sus premisas puede ser falsa en alguna valuación;
su validez puede justificarse mediante una cadena de reglas de inferencia.
Después simbolízalo, demuestra su validez y explica por qué «válido» no significa «todas sus premisas son verdaderas».
Soluciones completas
1
- \(14=2\cdot7\) es una proposición verdadera.
- «¿Es 19 primo?» es una pregunta, no una proposición.
- «Escribe un número impar» es una instrucción.
- \(n+5=12\) es una expresión abierta mientras \(n\) no esté fijado.
- «21 es divisible por 3» es una proposición verdadera.
La clasificación lógica debe realizarse antes de preguntar por verdad o falsedad.
2
Tenemos
\[ \varphi=\neg\bigl(P\lor(Q\land\neg R)\bigr). \]
La última operación aplicada es la negación exterior. Por tanto,
\[ \boxed{\text{conectiva principal de }\varphi=\neg.} \]
La negación interior
\[ \neg R \]
tiene alcance \(R\).
La negación exterior tiene alcance
\[ P\lor(Q\land\neg R). \]
Las subfórmulas son
\[ P,\qquad Q,\qquad R, \]
\[ \neg R, \]
\[ Q\land\neg R, \]
\[ P\lor(Q\land\neg R), \]
y
\[ \neg\bigl(P\lor(Q\land\neg R)\bigr). \]
La fórmula está bien formada porque
\[ R\Longrightarrow\neg R, \]
\[ Q,\neg R\Longrightarrow Q\land\neg R, \]
\[ P,Q\land\neg R\Longrightarrow P\lor(Q\land\neg R), \]
y finalmente
\[ P\lor(Q\land\neg R)\Longrightarrow\neg\bigl(P\lor(Q\land\neg R)\bigr). \]
3
Bajo
\[ P=V,\qquad Q=F,\qquad R=V, \]
calculamos primero
\[ P\land Q=V\land F=F. \]
Después,
\[ \neg Q=V, \]
y
\[ \neg Q\land R=V\land V=V. \]
Así,
\[ (P\land Q)\lor(\neg Q\land R)=F\lor V=V. \]
Finalmente,
\[ \neg\bigl((P\land Q)\lor(\neg Q\land R)\bigr)=F. \]
Identificar las subfórmulas y el orden de evaluación es trabajo sintáctico. Sustituir valores y aplicar las tablas de las conectivas es trabajo semántico.
4
Construimos:
| \(P\) | \(Q\) | \(P\lor Q\) | \(P\land Q\) | \((P\lor Q)\land\neg(P\land Q)\) |
|---|---|---|---|---|
| V | V | V | V | F |
| V | F | V | F | V |
| F | V | V | F | V |
| F | F | F | F | F |
La fórmula es verdadera en algunas valuaciones y falsa en otras. Por tanto, es contingente.
Verbalmente expresa que exactamente una de las dos proposiciones es verdadera: al menos una es verdadera, pero no ambas simultáneamente.
5
Por De Morgan,
\[ \neg(P\land Q)\equiv\neg P\lor\neg Q. \]
La fórmula propuesta
\[ \neg P\land\neg Q \]
es más fuerte. Basta tomar
\[ P=V,\qquad Q=F. \]
Entonces
\[ P\land Q=F \]
y
\[ \neg(P\land Q)=V. \]
Pero
\[ \neg P\land\neg Q=F\land V=F. \]
Por tanto,
\[ \boxed{\neg(P\land Q)\not\equiv\neg P\land\neg Q.} \]
6
Con
\[ P:\quad\text{divisible por 4},\qquad Q:\quad\text{par}, \]
tenemos:
«Si es divisible por 4, entonces es par»:
\[ P\to Q. \]
«Es par solo si es divisible por 4»:
\[ Q\to P. \]
«Ser divisible por 4 es condición suficiente para ser par»:
\[ P\to Q. \]
«Ser par es condición necesaria para ser divisible por 4»:
\[ P\to Q. \]
«Es divisible por 4 si y solo si es par»:
\[ P\leftrightarrow Q. \]
Los incisos 1, 3 y 4 expresan el mismo condicional. El inciso 2 expresa su recíproca. El inciso 5 exige ambas direcciones.
7
Para
\[ P\to Q, \]
tenemos:
- recíproca: \(Q\to P\);
- inversa: \(\neg P\to\neg Q\);
- contrapositiva: \(\neg Q\to\neg P\).
La equivalencia fundamental es
\[ P\to Q\equiv\neg Q\to\neg P. \]
Además,
\[ Q\to P\equiv\neg P\to\neg Q. \]
Por tanto, el condicional original es equivalente a su contrapositiva; la recíproca es equivalente a la inversa.
8
Sabemos
\[ P\to Q\equiv\neg P\lor Q. \]
Negando,
\[ \neg(P\to Q)\equiv\neg(\neg P\lor Q). \]
Por De Morgan,
\[ \neg(\neg P\lor Q)\equiv\neg\neg P\land\neg Q. \]
Por doble negación,
\[ \boxed{\neg(P\to Q)\equiv P\land\neg Q.} \]
Así, la implicación \(P\to Q\) es falsa exactamente cuando
\[ P=V,\qquad Q=F. \]
9
Sea
\[ P:\quad\text{«estudio»},\qquad Q:\quad\text{«apruebo»}. \]
La forma es
\[ P\to Q,\qquad Q,\qquad \therefore P. \]
Esta es la falacia de afirmar el consecuente.
Una asignación refutadora es
\[ P=F,\qquad Q=V. \]
Entonces
\[ P\to Q=V,\qquad Q=V, \]
pero
\[ P=F. \]
Así las premisas pueden ser verdaderas y la conclusión falsa.
Incluso si, en una situación concreta, alguien estudió y aprobó, eso solo haría verdaderas las oraciones particulares. La validez exige que ninguna valuación haga verdaderas todas las premisas y falsa la conclusión.
10
Sea
\[ P:\quad\text{«el servidor está apagado»},\qquad Q:\quad\text{«la pantalla está negra»}. \]
La forma es
\[ P\to Q,\qquad \neg P,\qquad \therefore\neg Q. \]
Es la falacia de negar el antecedente.
Tomemos
\[ P=F,\qquad Q=V. \]
Entonces
\[ P\to Q=V,\qquad \neg P=V, \]
pero
\[ \neg Q=F. \]
Por tanto, el argumento es inválido.
11
Tenemos
\[ P\to Q,\qquad Q\to R,\qquad \neg R. \]
De
\[ Q\to R \]
y
\[ \neg R \]
obtenemos por modus tollens
\[ \neg Q. \]
Después, de
\[ P\to Q \]
y
\[ \neg Q \]
obtenemos nuevamente por modus tollens
\[ \boxed{\neg P.} \]
También podríamos encadenar primero
\[ P\to Q,\qquad Q\to R \]
para obtener
\[ P\to R, \]
y usar después \(\neg R\).
12
De
\[ P\lor Q \]
y
\[ \neg P \]
obtenemos por silogismo disyuntivo
\[ Q. \]
De
\[ Q \]
y
\[ Q\to R \]
obtenemos por modus ponens
\[ R. \]
La cadena completa es
\[ P\lor Q,\ \neg P\Longrightarrow Q\Longrightarrow R. \]
13
El bicondicional
\[ P\leftrightarrow Q \]
exige que \(P\) y \(Q\) tengan el mismo valor de verdad.
Tomemos
\[ P=F,\qquad Q=V. \]
Entonces
\[ P\to Q=V, \]
porque el antecedente es falso. Pero
\[ P\leftrightarrow Q=F, \]
porque los valores son distintos.
Por tanto,
\[ \boxed{P\leftrightarrow Q\not\equiv P\to Q.} \]
Conceptualmente, \(P\leftrightarrow Q\) contiene las dos direcciones
\[ P\to Q \]
y
\[ Q\to P. \]
14
Las premisas son
\[ P\to(Q\lor R),\qquad \neg Q,\qquad \neg R. \]
Por De Morgan,
\[ \neg Q\land\neg R\equiv\neg(Q\lor R). \]
Así, de las dos últimas premisas obtenemos
\[ \neg(Q\lor R). \]
Ahora aplicamos modus tollens a
\[ P\to(Q\lor R) \]
y
\[ \neg(Q\lor R). \]
Concluimos
\[ \boxed{\neg P.} \]
Por tanto, el argumento es válido.
15
Las premisas significan:
- \(P\to Q\): si la figura es un cuadrado, entonces es un rectángulo;
- \(Q\to R\): si la figura es un rectángulo, entonces tiene cuatro lados;
- \(\neg R\): la figura no tiene cuatro lados.
De
\[ Q\to R \]
y
\[ \neg R \]
obtenemos
\[ \neg Q \]
por modus tollens.
Después, de
\[ P\to Q \]
y
\[ \neg Q \]
obtenemos
\[ \neg P. \]
Así,
\[ \boxed{\neg Q\qquad\text{y}\qquad\neg P.} \]
No necesitamos saber si existen realmente cuadrados o rectángulos porque la validez depende de la forma lógica del argumento, no de la materia de las proposiciones.
16
Construimos:
| \(P\) | \(Q\) | \(P\to Q\) | \(Q\to P\) | \(A=(P\to Q)\land(Q\to P)\) |
|---|---|---|---|---|
| V | V | V | V | V |
| V | F | F | V | F |
| F | V | V | F | F |
| F | F | V | V | V |
El bicondicional
\[ B=P\leftrightarrow Q \]
también es verdadero exactamente cuando \(P\) y \(Q\) tienen el mismo valor:
| \(P\) | \(Q\) | \(B\) |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | V |
Por tanto,
\[ \boxed{(P\to Q)\land(Q\to P)\equiv P\leftrightarrow Q.} \]
Era razonable esperar el resultado porque «\(P\) si y solo si \(Q\)» afirma precisamente las dos direcciones condicionales.
17
Tenemos
\[ P\lor Q,\qquad P\to R,\qquad Q\to R. \]
La disyunción nos dice que ocurre al menos uno de los dos casos.
Si ocurre \(P\), entonces \(R\) por \(P\to R\).
Si ocurre \(Q\), entonces \(R\) por \(Q\to R\).
En cualquiera de los casos,
\[ \boxed{R.} \]
Para verificar que no existe una asignación refutadora, supongamos que las tres premisas son verdaderas y
\[ R=F. \]
De
\[ P\to R=V \]
y \(R=F\) se sigue
\[ P=F. \]
De
\[ Q\to R=V \]
y \(R=F\) se sigue
\[ Q=F. \]
Pero entonces
\[ P\lor Q=F, \]
contradiciendo la primera premisa.
Por tanto no existe asignación refutadora y el argumento es válido.
18
Hay muchas respuestas posibles. Una primera propuesta podría ser
\[ P\lor Q, \]
\[ P\to R, \]
\[ \neg P, \]
\[ \therefore R. \]
De
\[ P\lor Q \]
y
\[ \neg P \]
obtenemos \(Q\). Sin embargo, todavía no tenemos una premisa que permita llegar a \(R\). Así que esta primera propuesta no satisface lo pedido. El diagnóstico forma parte del ejercicio.
Podemos corregirla usando
\[ P\lor Q, \]
\[ \neg P, \]
\[ Q\to R, \]
\[ \therefore R. \]
Ahora
\[ P\lor Q,\ \neg P\Longrightarrow Q \]
por silogismo disyuntivo, y
\[ Q,\ Q\to R\Longrightarrow R \]
por modus ponens.
Así, el argumento es válido.
Una premisa puede ser falsa bajo alguna valuación; por ejemplo, \(\neg P\) es falsa cuando \(P=V\). Esto no afecta la validez.
«Válido» significa únicamente:
no existe una valuación en la que todas las premisas sean verdaderas y la conclusión sea falsa.
Después de resolver el repaso, conviene poder reconstruir sin mirar el texto la cadena
\[ \boxed{ \text{proposición} \longrightarrow \text{fórmula bien formada} \longrightarrow \text{valuación} \longrightarrow \text{tabla de verdad} \longrightarrow \text{equivalencia} \longrightarrow \text{implicación} \longrightarrow \text{bicondicional} \longrightarrow \text{validez} } \]
Y conviene mantener separadas tres preguntas:
- ¿Está bien formada? — sintaxis.
- ¿Qué valor recibe? — semántica.
- ¿La conclusión se sigue de las premisas? — validez.
Esta sección no introduce ninguna noción nueva. Su función es recuperar e intercalar contenidos de §§1.1–1.6:
- proposiciones y expresiones abiertas;
- fórmulas bien formadas, subfórmulas, alcance y conectiva principal;
- valuaciones y tablas de verdad;
- equivalencia lógica;
- negación, conjunción, disyunción, implicación y bicondicional;
- recíproca, inversa y contrapositiva;
- condiciones necesarias y suficientes;
- premisas, conclusión, validez y asignaciones refutadoras;
- modus ponens, modus tollens, silogismo disyuntivo y silogismo hipotético;
- falacias de afirmar el consecuente y negar el antecedente.
No se han introducido cuantificadores ni teoría formal de predicados. El capítulo 2 puede comenzar ahora con una recuperación acumulativa reciente del lenguaje proposicional completo.
Siguiente capítulo: Capítulo 2 — Cuantificadores y estructura lógica.