Tratado moderno de Álgebra — Capítulo 1: Operaciones binarias y estructuras elementales
Capítulo 1 — Operaciones binarias y estructuras elementales
Coordenada deductiva: TALG-0004
1.0. Propósito y posición deductiva
El álgebra comienza a adquirir una forma estructural cuando dejamos de estudiar únicamente objetos aislados y fijamos, junto con un conjunto, una regla que combina elementos de ese conjunto. Antes de hablar de grupos, anillos o cuerpos debemos precisar qué significa que una operación sea realmente interna, qué datos forman una estructura con una operación y qué clase de ley expresa la asociatividad.
La infraestructura conjuntista necesaria ya está disponible mediante la interfaz fundacional publicada en el Capítulo 0 — Interfaz fundacional para Álgebra: productos cartesianos, funciones, notación funcional, identidad y composición. No se importa todavía ninguna estructura algebraica.
La cadena de este capítulo es:
\[ \text{operación binaria} \longrightarrow \text{notación infija} \longrightarrow \text{magma} \longrightarrow \text{asociatividad}. \]
El paso siguiente, ya en la Parte II, será combinar magma y asociatividad para definir semigrupo.
1.1. Operaciones binarias
Una expresión como \(a+b\) o \(xy\) sugiere una regla que recibe dos entradas y devuelve una salida. Para que esa regla sea una operación sobre un conjunto \(A\), no basta con que acepte pares de elementos de \(A\): el resultado debe volver a pertenecer a \(A\). En nuestro formalismo, esta condición de cierre queda incorporada en el propio codominio de la función.
Definición 1.1.1 — Operación binaria sobre un conjunto
Coordenada: TALG-DEF-00001
Sea \(A\) un conjunto. Una operación binaria —o operación interna binaria— sobre \(A\) es una función
\[ \star:A\times A\to A. \]
Así, a cada par ordenado \(\langle a,b\rangle\in A\times A\) le asigna un único elemento de \(A\).
La palabra interna señala precisamente que el codominio vuelve a ser \(A\). Una función \(A\times A\to B\) con \(B\) distinto de \(A\) puede ser una operación de dos argumentos en un sentido más amplio, pero no será denominada aquí operación interna sobre \(A\).
Observación de cierre. No añadiremos como axioma separado la afirmación «\(a\star b\in A\)». Cuando \(\star:A\times A\to A\) ya ha sido declarada como función, esa pertenencia forma parte de su tipado.
La definición no exige que \(A\) sea no vacío. La no vacuidad aparecerá cuando definamos las primeras estructuras algebraicas.
Notación 1.1.2 — Escritura infija
Coordenada: TALG-NOT-00001
Sea \(\star:A\times A\to A\) una operación binaria y sean \(a,b\in A\). Escribiremos
\[ a\star b \]
como abreviatura de
\[ \star\bigl(\langle a,b\rangle\bigr). \]
La notación infija no introduce una operación nueva: sólo cambia la forma de escribir la evaluación de la función \(\star\).
Cuando una estructura concreta utilice símbolos como \(+\), \(\cdot\) o \(\circ\), cada símbolo deberá estar fijado por el contexto o por una definición previa; no se atribuirán automáticamente propiedades algebraicas a la grafía elegida.
1.2. La estructura mínima: magma
Una operación aislada es una función. Para estudiar algebraicamente esa operación debemos recordar simultáneamente sobre qué conjunto actúa y cuál es la operación escogida. El primer objeto estructural del tratado será, por tanto, un par formado por esos dos datos.
Definición 1.2.1 — Magma
Coordenada: TALG-DEF-00002
Un magma es un par ordenado
\[ \mathcal M=\langle A,\star\rangle \]
tal que:
- \(A\) es un conjunto no vacío;
- \(\star:A\times A\to A\) es una operación binaria sobre \(A\).
Llamaremos a \(A\) el conjunto subyacente de \(\mathcal M\) y a \(\star\) su operación estructural.
Esta definición no impone todavía asociatividad, conmutatividad, existencia de neutro, inversos ni ninguna otra ley. Un magma registra solamente un conjunto no vacío equipado con una operación interna binaria.
Convención. En este tratado los magmas son no vacíos. Esta decisión evita que las estructuras posteriores basadas en magmas adquieran propiedades universales por vacuidad sobre \(\varnothing\).
1.3. Una primera ley algebraica: asociatividad
Las expresiones obtenidas al aplicar dos veces una operación binaria pueden agruparse de dos maneras. Para \(a,b,c\in A\) aparecen, en general, dos elementos de \(A\):
\[ (a\star b)\star c \qquad\text{y}\qquad a\star(b\star c). \]
Nada en la definición de operación binaria obliga a que coincidan. La asociatividad es precisamente la ley que afirma esa coincidencia para todas las ternas.
Definición 1.3.1 — Operación asociativa
Coordenada: TALG-DEF-00003
Sea \(\star:A\times A\to A\) una operación binaria. Decimos que \(\star\) es asociativa si
\[ \forall a,b,c\in A, \qquad (a\star b)\star c = a\star(b\star c). \]
La asociatividad es una propiedad de la operación \(\star\) sobre el conjunto \(A\); no es una propiedad del conjunto considerado aisladamente.
Tampoco debe confundirse con conmutatividad. La asociatividad compara formas de agrupar tres factores manteniendo su orden; la conmutatividad, cuando se defina, comparará expresiones obtenidas al intercambiar elementos.
1.4. Lectura estructural
Ya disponemos de tres niveles que conviene mantener separados:
- el conjunto \(A\);
- una función \(\star:A\times A\to A\);
- el magma \(\langle A,\star\rangle\) formado por ambos datos.
Y disponemos además de una propiedad que una operación puede satisfacer o no: la asociatividad.
Esta separación será constante en todo el tratado. Una estructura no se confunde con su conjunto subyacente, y una ley algebraica no se considera disponible por el mero hecho de haber elegido un símbolo familiar para la operación.
El siguiente paso consiste en imponer asociatividad a un magma. Esa combinación produce la primera estructura algebraica con una ley propiamente dicha: el semigrupo.
Cierre deductivo
Este capítulo fija la primera infraestructura algebraica propia del tratado:
\[ \boxed{ \text{operación binaria} \longrightarrow \text{magma} \longrightarrow \text{asociatividad} } \]
La construcción utiliza únicamente ZF y lógica clásica; no utiliza el axioma de elección. Las nociones de dominio, codominio, producto cartesiano y función proceden de la interfaz fundacional ya cerrada, por lo que no se introduce ninguna dependencia circular.
Siguiente nodo deductivo: TALG-DEF-00004 — semigrupo.