Tratado moderno de Álgebra — Capítulo 4: Inversos y grupos
Capítulo 4 — Inversos y grupos
Coordenada deductiva: TALG-0007
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4.0. Propósito y posición deductiva
Un monoide dispone de una operación asociativa y de un neutro único. El paso hacia los grupos consiste en estudiar cuándo un elemento puede deshacerse, por la izquierda y por la derecha, mediante otro elemento del mismo monoide.
La secuencia será:
\[ \text{inversos laterales} \longrightarrow \text{coincidencia izquierda-derecha} \longrightarrow \text{unicidad del inverso} \longrightarrow \text{grupo}. \]
Aquí aparece una diferencia deductiva importante respecto del capítulo anterior. La unicidad del neutro no requería asociatividad; en cambio, la coincidencia entre inversos laterales sí la utiliza esencialmente. Por ello la teoría de inversos se formula sobre monoides y no sobre magmas arbitrarios.
4.1. Inversos laterales y bilaterales
Definición 4.1.1 — Inverso izquierdo, derecho y bilateral
Coordenada: TALG-DEF-00007
Dependencias deductivas: TALG-DEF-00006 — monoide; TALG-NOT-00002 — notación del neutro.
Sea
\[ \mathcal M=\langle M,\star\rangle \]
un monoide, sea \(e=e_{\mathcal M}\) su neutro y sea \(a\in M\).
Un elemento \(b\in M\) es un inverso izquierdo de \(a\) si
\[ b\star a=e. \]
Un elemento \(c\in M\) es un inverso derecho de \(a\) si
\[ a\star c=e. \]
Un elemento \(u\in M\) es un inverso —o inverso bilateral— de \(a\) si es simultáneamente inverso izquierdo e inverso derecho; es decir,
\[ u\star a=e \qquad\text{y}\qquad a\star u=e. \]
La noción es relativa al monoide activo: depende de la operación y de su neutro.
Proposición 4.1.2 — Coincidencia lateral y unicidad del inverso
Coordenada: TALG-PRO-00002
Dependencias deductivas: TALG-DEF-00006 — monoide; TALG-DEF-00007 — inversos laterales y bilateral; TALG-NOT-00002 — neutro del monoide.
Sea \(\mathcal M=\langle M,\star\rangle\) un monoide, sea \(a\in M\), sea \(\ell\) un inverso izquierdo de \(a\) y sea \(r\) un inverso derecho de \(a\). Entonces
\[ \ell=r. \]
En particular, cada elemento de un monoide posee a lo sumo un inverso bilateral.
Demostración
Coordenada de prueba: TALG-PRF-00002
Hipótesis.
\[ \ell\star a=e, \qquad a\star r=e. \]
Objetivo. Probar \(\ell=r\).
Usando que \(e\) es neutro derecho de \(\ell\),
\[ \ell=\ell\star e. \]
Como \(a\star r=e\),
\[ \ell\star e = \ell\star(a\star r). \]
Por la asociatividad disponible en el monoide,
\[ \ell\star(a\star r) = (\ell\star a)\star r. \]
Como \(\ell\star a=e\),
\[ (\ell\star a)\star r = e\star r. \]
Finalmente, como \(e\) es neutro izquierdo de \(r\),
\[ e\star r=r. \]
Por tanto,
\[ \ell=r. \]
Si \(u\) y \(v\) son dos inversos bilaterales de \(a\), entonces \(u\) es inverso izquierdo y \(v\) es inverso derecho; por lo anterior, \(u=v\). \(\square\)
Nota deductiva. La asociatividad se utiliza exactamente en el paso \[ \ell\star(a\star r)=(\ell\star a)\star r. \] Este es el punto que distingue la prueba de unicidad del inverso de la prueba de unicidad del neutro.
4.2. Grupos
Definición 4.2.1 — Grupo
Coordenada: TALG-DEF-00008
Dependencias deductivas: TALG-DEF-00006 — monoide; TALG-DEF-00007 — inverso; TALG-PRO-00002 — unicidad del inverso.
Un grupo es un monoide
\[ \mathcal G=\langle G,\star\rangle \]
tal que todo elemento de \(G\) posee un inverso bilateral. Esto es,
\[ \forall a\in G\;\exists b\in G \quad \bigl( b\star a=e_{\mathcal G} \;\land\; a\star b=e_{\mathcal G} \bigr). \]
Equivalentemente, un grupo consiste en un conjunto no vacío \(G\) con una operación binaria \(\star:G\times G\to G\) tal que:
- \(\star\) es asociativa;
- existe un elemento neutro bilateral;
- todo \(a\in G\) posee un inverso bilateral.
Por TALG-PRO-00001, el neutro es único, y por TALG-PRO-00002, el inverso de cada elemento es único.
La estructura continúa registrándose como el par \(\langle G,\star\rangle\); neutro e inversos son datos recuperables de manera única a partir de las propiedades de la operación.
Notación 4.2.2 — Inverso de un elemento de grupo
Coordenada: TALG-NOT-00003
Dependencias deductivas: TALG-DEF-00008 — grupo; TALG-PRO-00002 — unicidad del inverso.
Sea \(\mathcal G=\langle G,\star\rangle\) un grupo y sea \(a\in G\). Denotaremos por
\[ a^{-1} \]
el único inverso de \(a\).
Por definición y unicidad,
\[ a^{-1}\star a=e_{\mathcal G} \qquad\text{y}\qquad a\star a^{-1}=e_{\mathcal G}. \]
La notación \(a^{-1}\) queda reservada a contextos donde la existencia y unicidad del inverso ya estén garantizadas.
4.3. Frontera con la conmutatividad
Nada en la definición de grupo exige que
\[ a\star b=b\star a. \]
La conmutatividad es una ley adicional de la operación y debe definirse antes de introducir los grupos abelianos. Por ello el siguiente nodo definicional será la conmutatividad de una operación binaria.
El siguiente resultado reservado es:
TALG-DEF-00009 — operación conmutativa.
Cierre deductivo
- Fundamento: ZF + lógica clásica.
- Axioma de elección: no utilizado.
- Inversos laterales y bilateral:
TALG-DEF-00007. - Coincidencia lateral y unicidad:
TALG-PRO-00002, con pruebaTALG-PRF-00002. - Grupo:
TALG-DEF-00008. - Notación del inverso:
TALG-NOT-00003. - Dependencia estructural externa al capítulo:
TALG-DEF-00006— monoide. - Conmutatividad: no supuesta.
- Circularidad: ninguna.
- Siguiente nodo:
TALG-DEF-00009— operación conmutativa.
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