Tratado moderno de Álgebra — Capítulo 4: Inversos y grupos
4.0. Propósito y posición deductiva
Un monoide dispone de una operación asociativa y de un neutro único. El paso hacia los grupos consiste en estudiar cuándo un elemento puede deshacerse, por la izquierda y por la derecha, mediante otro elemento del mismo monoide.
La secuencia será:
\[ \text{inversos laterales} \longrightarrow \text{coincidencia izquierda-derecha} \longrightarrow \text{unicidad del inverso} \longrightarrow \text{grupo}. \]
A diferencia de la unicidad del neutro, la coincidencia de inversos laterales sí requiere asociatividad. Por ello la teoría de inversos se formula aquí sobre monoides, no sobre magmas arbitrarios.
4.1. Inversos laterales y bilaterales
Definición 4.1.1 — Inverso izquierdo, derecho y bilateral
Sea
\[ \mathcal M=\langle M,\star\rangle \]
un monoide, sea \(e=e_{\mathcal M}\) su neutro y sea \(a\in M\).
Un elemento \(b\in M\) es un inverso izquierdo de \(a\) si
\[ b\star a=e. \]
Un elemento \(c\in M\) es un inverso derecho de \(a\) si
\[ a\star c=e. \]
Un elemento \(u\in M\) es un inverso —o inverso bilateral— de \(a\) si es simultáneamente inverso izquierdo e inverso derecho; es decir,
\[ u\star a=e \qquad\text{y}\qquad a\star u=e. \]
La noción es relativa al monoide activo: depende de la operación y de su neutro.
Proposición 4.1.2 — Coincidencia lateral y unicidad del inverso
Sea \(\mathcal M=\langle M,\star\rangle\) un monoide, sea \(a\in M\), sea \(\ell\) un inverso izquierdo de \(a\) y sea \(r\) un inverso derecho de \(a\). Entonces
\[ \ell=r. \]
En particular, cada elemento de un monoide posee a lo sumo un inverso bilateral.
Demostración
Hipótesis.
\[ \ell\star a=e, \qquad a\star r=e. \]
Objetivo. Probar \(\ell=r\).
Usando que \(e\) es neutro derecho de \(\ell\),
\[ \ell=\ell\star e. \]
Como \(a\star r=e\),
\[ \ell\star e = \ell\star(a\star r). \]
Por asociatividad del monoide,
\[ \ell\star(a\star r) = (\ell\star a)\star r. \]
Como \(\ell\star a=e\),
\[ (\ell\star a)\star r = e\star r. \]
Finalmente, como \(e\) es neutro izquierdo de \(r\),
\[ e\star r=r. \]
Por tanto,
\[ \ell=r. \]
Si \(u\) y \(v\) son dos inversos bilaterales de \(a\), entonces \(u\) es inverso izquierdo y \(v\) es inverso derecho; por lo anterior, \(u=v\). \(\square\)
Nota deductiva. La asociatividad se utiliza exactamente en el paso \[ \ell\star(a\star r)=(\ell\star a)\star r. \] Sin esa ley, la coincidencia de inversos laterales no queda justificada por este argumento.
4.2. Grupos
Definición 4.2.1 — Grupo
Un grupo es un monoide
\[ \mathcal G=\langle G,\star\rangle \]
tal que todo elemento de \(G\) posee un inverso bilateral. Esto es,
\[ \forall a\in G\;\exists b\in G \quad \bigl( b\star a=e_{\mathcal G} \;\land\; a\star b=e_{\mathcal G} \bigr). \]
Equivalentemente, un grupo consiste en un conjunto no vacío \(G\) con una operación binaria \(\star:G\times G\to G\) tal que:
- \(\star\) es asociativa;
- existe un elemento neutro bilateral;
- todo \(a\in G\) posee un inverso bilateral.
Por la Proposición 3.1.2, el neutro es único, y por la Proposición 4.1.2, el inverso de cada elemento es único.
La estructura continúa registrándose como el par \(\langle G,\star\rangle\); neutro e inversos son datos recuperables de manera única a partir de las propiedades de la operación.
Notación 4.2.2 — Inverso de un elemento de grupo
Sea \(\mathcal G=\langle G,\star\rangle\) un grupo y sea \(a\in G\). Denotaremos por
\[ a^{-1} \]
el único inverso de \(a\).
Por definición y unicidad,
\[ a^{-1}\star a=e_{\mathcal G} \qquad\text{y}\qquad a\star a^{-1}=e_{\mathcal G}. \]
La notación \(a^{-1}\) queda reservada a contextos donde la existencia y unicidad del inverso ya estén garantizadas.
4.3. Frontera con la conmutatividad
Nada en la definición de grupo exige que
\[ a\star b=b\star a. \]
La conmutatividad es una ley adicional de la operación y debe definirse antes de introducir los grupos abelianos. Por ello el siguiente nodo definicional no será todavía «grupo abeliano», sino la conmutatividad de una operación binaria.
← Capítulo 3 — Elementos neutros y monoides · Capítulo 5 — Conmutatividad y grupos abelianos →