Tratado moderno de Álgebra — Capítulo 8: Isomorfismos
8.0. Propósito
Un homomorfismo expresa compatibilidad entre operaciones. Un isomorfismo añade la exigencia de que esa compatibilidad sea reversible: la función subyacente debe ser biyectiva y su inversa debe recuperar la estructura sin pérdida.
La biyectividad y la función inversa ya están disponibles mediante TALG-IMP-00002. En este capítulo se combinarán con la teoría de homomorfismos de Capítulo 7.
La política sigue siendo separar las dos capas:
- capa conjuntista: función, biyectividad, inversa funcional;
- capa algebraica: preservación de la operación y, cuando corresponda, del neutro.
8.1. Isomorfismos de magmas
Definición 8.1.1 — Isomorfismo de magmas
Sean \[ \mathcal M=\langle A,\star\rangle, \qquad \mathcal N=\langle B,\diamond\rangle \] magmas. Una función \[ f:A\to B \] es un isomorfismo de magmas si:
- \(f\) es un homomorfismo de magmas;
- \(f\) es biyectiva.
La primera condición pertenece a la estructura algebraica; la segunda, a la función subyacente.
Proposición 8.1.2 — La inversa de un isomorfismo de magmas es un isomorfismo
Sean \[ \mathcal M=\langle A,\star\rangle, \qquad \mathcal N=\langle B,\diamond\rangle \] magmas y sea \[ f:A\to B \] un isomorfismo. Entonces la función inversa \[ f^{-1}:B\to A \] es un isomorfismo de \(\mathcal N\) en \(\mathcal M\).
Demostración
Como \(f\) es biyectiva, TALG-IMP-00002 autoriza la función inversa \(f^{-1}:B\to A\) y proporciona \[
f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_A,
\qquad
f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_B.
\]
Sean \(u,v\in B\) y pongamos \[ x:=f^{-1}(u), \qquad y:=f^{-1}(v). \] Entonces \(f(x)=u\) y \(f(y)=v\). Como \(f\) es homomorfismo, \[ f(x\star y)=f(x)\diamond f(y)=u\diamond v. \]
Aplicamos la función \(f^{-1}:B\to A\) a ambos miembros de la igualdad \[ f(x\star y)=u\diamond v. \] Por compatibilidad de la igualdad con la aplicación de una función, \[ f^{-1}(f(x\star y)) = f^{-1}(u\diamond v). \] Como \[ f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_A, \] el miembro izquierdo se reduce a \[ f^{-1}(f(x\star y)) = x\star y. \] Por tanto, \[ x\star y=f^{-1}(u\diamond v). \] Sustituyendo \(x=f^{-1}(u)\) e \(y=f^{-1}(v)\), \[ f^{-1}(u\diamond v) = f^{-1}(u)\star f^{-1}(v). \] Por tanto \(f^{-1}\) es un homomorfismo de magmas.
Además, \(f\) es una inversa bilateral de \(f^{-1}\), de modo que TALG-IMP-00002 implica que \(f^{-1}\) es biyectiva. Luego \(f^{-1}\) es un isomorfismo. \(\square\)
Proposición 8.1.3 — Identidad y composición de isomorfismos de magmas
Sean \[ \mathcal M=\langle A,\star\rangle, \quad \mathcal N=\langle B,\diamond\rangle, \quad \mathcal P=\langle C,\triangle\rangle \] magmas.
- \(\operatorname{id}_A:A\to A\) es un isomorfismo de \(\mathcal M\) consigo mismo.
- Si \(f:A\to B\) es un isomorfismo de \(\mathcal M\) en \(\mathcal N\) y \(g:B\to C\) es un isomorfismo de \(\mathcal N\) en \(\mathcal P\), entonces \[ g\circ f:A\to C \] es un isomorfismo de \(\mathcal M\) en \(\mathcal P\).
Demostración
Por la Proposición 7.1.2, la identidad es un homomorfismo de magmas. Ella misma es una inversa bilateral de sí misma; por TALG-IMP-00002, es biyectiva. Luego es un isomorfismo.
Ahora sean \(f\) y \(g\) isomorfismos. Por la Proposición 7.1.2, \(g\circ f\) es homomorfismo. Por la Proposición 8.1.2, existen isomorfismos inversos \[ f^{-1}:B\to A, \qquad g^{-1}:C\to B. \] Consideremos \[ h:=f^{-1}\circ g^{-1}:C\to A. \] Verificaremos directamente, por evaluación, que \(h\) es inversa bilateral de \(g\circ f\), sin invocar ninguna ley adicional de asociatividad de la composición.
Sea \(a\in A\). Entonces \[ \begin{aligned} h((g\circ f)(a)) &=f^{-1}(g^{-1}(g(f(a))))\\ &=f^{-1}(f(a))\\ &=a. \end{aligned} \] Por tanto, \[ h\circ(g\circ f)=\operatorname{id}_A. \]
Sea ahora \(c\in C\). Entonces \[ \begin{aligned} (g\circ f)(h(c)) &=g(f(f^{-1}(g^{-1}(c))))\\ &=g(g^{-1}(c))\\ &=c. \end{aligned} \] Por tanto, \[ (g\circ f)\circ h=\operatorname{id}_C. \]
Por TALG-IMP-00002, \(g\circ f\) es biyectiva. Luego es un isomorfismo. \(\square\)
8.2. Isomorfismos de semigrupos, monoides y grupos
Definición 8.2.1 — Isomorfismo de semigrupos
Sean semigrupos \[ \mathcal S=\langle S,\star\rangle, \qquad \mathcal T=\langle T,\diamond\rangle. \] Una función \(f:S\to T\) es un isomorfismo de semigrupos si es un homomorfismo de semigrupos y es biyectiva.
Definición 8.2.2 — Isomorfismo de monoides
Sean monoides \[ \mathcal M=\langle M,\star\rangle, \qquad \mathcal N=\langle N,\diamond\rangle. \] Una función \(f:M\to N\) es un isomorfismo de monoides si es un homomorfismo de monoides y es biyectiva.
En particular, además de preservar la operación, satisface \[ f(e_{\mathcal M})=e_{\mathcal N}. \]
Definición 8.2.3 — Isomorfismo de grupos
Sean grupos \[ \mathcal G=\langle G,\star\rangle, \qquad \mathcal H=\langle H,\diamond\rangle. \] Una función \(f:G\to H\) es un isomorfismo de grupos si es un homomorfismo de grupos y es biyectiva.
No se añade una condición separada sobre neutros o inversos: por la Proposición 7.4.2 y la Proposición 7.4.3, todo homomorfismo de grupos ya los preserva.
Proposición 8.2.4 — Las inversas preservan el tipo de isomorfismo
La inversa funcional de un isomorfismo de semigrupos, monoides o grupos es, respectivamente, un isomorfismo del mismo tipo en sentido contrario.
Demostración
Para semigrupos, la Proposición 8.1.2 muestra que la inversa es un isomorfismo de los magmas subyacentes; por la Definición 7.2.1 y la Definición 8.2.1, esto basta para obtener un isomorfismo de semigrupos.
Para monoides, sea \(f:M\to N\) un isomorfismo. Por la Proposición 8.1.2, \(f^{-1}\) preserva la operación y es biyectiva. Además, \[ f(e_{\mathcal M})=e_{\mathcal N}. \] Aplicando \(f^{-1}\), \[ f^{-1}(e_{\mathcal N})=e_{\mathcal M}. \] Por tanto \(f^{-1}\) es homomorfismo de monoides y, siendo biyectiva, isomorfismo de monoides.
Para grupos, la Proposición 8.1.2 proporciona preservación de la operación y biyectividad de la inversa. Como la Definición 7.4.1 no exige condiciones adicionales, \(f^{-1}\) es un homomorfismo de grupos y por la Definición 8.2.3 un isomorfismo de grupos. \(\square\)
Proposición 8.2.5 — Identidades y composiciones preservan el tipo de isomorfismo
Dentro de cada una de las clases de semigrupos, monoides y grupos:
- la identidad de una estructura es un isomorfismo;
- la composición de dos isomorfismos composables es un isomorfismo.
Demostración
Para semigrupos y grupos, la Proposición 8.1.3 ya garantiza que la identidad y la composición son isomorfismos de los magmas subyacentes. Por las Definiciones 8.2.1 y 8.2.3, respectivamente, no se exige ninguna condición adicional distinta de las ya verificadas para obtener isomorfismos de semigrupos o de grupos.
Consideremos ahora los monoides. La Proposición 8.1.3 asegura que
\[ \operatorname{id}_M:M\to M \]
preserva la operación y es biyectiva. Además, por definición de la función identidad,
\[ \operatorname{id}_M(e_{\mathcal M})=e_{\mathcal M}. \]
Por la Definición 8.2.2, \(\operatorname{id}_M\) es, por tanto, un isomorfismo de monoides.
Sean ahora \[ f:M\to N, \qquad g:N\to P \] isomorfismos de monoides. Por la Definición 8.2.2, ambos preservan sus respectivos neutros:
\[ f(e_{\mathcal M})=e_{\mathcal N} \qquad\text{y}\qquad g(e_{\mathcal N})=e_{\mathcal P}. \]
Usando la definición de composición y estas dos igualdades,
\[ \begin{aligned} (g\circ f)(e_{\mathcal M}) &=g(f(e_{\mathcal M}))\\ &=g(e_{\mathcal N})\\ &=e_{\mathcal P}. \end{aligned} \]
La Proposición 8.1.3 proporciona además que \(g\circ f\) preserva la operación y es biyectiva. Se cumplen así las dos condiciones de la Definición 8.2.2, por lo que \(g\circ f\) es un isomorfismo de monoides. \(\square\)
8.3. Notación y relación de isomorfía
Notación 8.3.1 — Isomorfía
Cuando dos estructuras del mismo tipo estén relacionadas por al menos un isomorfismo del tipo correspondiente, escribiremos \[ \mathcal A\cong\mathcal B. \] El contexto debe determinar si se habla de magmas, semigrupos, monoides o grupos. El símbolo \(\cong\) afirma existencia de un isomorfismo; no identifica literalmente las dos estructuras.
Proposición 8.3.2 — Reflexividad, simetría y transitividad de la isomorfía
Para cada tipo fijo entre magmas, semigrupos, monoides y grupos, la relación de isomorfía es reflexiva, simétrica y transitiva.
Demostración
La reflexividad viene dada por el isomorfismo identidad. La simetría viene dada por la inversa de un isomorfismo. La transitividad viene dada por la composición. Para magmas se usan la Proposición 8.1.2 y la Proposición 8.1.3; para semigrupos, monoides y grupos se usan la Proposición 8.2.4 y la Proposición 8.2.5. \(\square\)
Corolario 8.3.3 — Todo isomorfismo de grupos es un isomorfismo de monoides
Sean grupos \(\mathcal G\) y \(\mathcal H\). Todo isomorfismo de grupos \(f:G\to H\) es, al considerar ambos grupos como monoides, un isomorfismo de monoides.
Demostración
Por el Corolario 7.4.4, \(f\) es un homomorfismo de monoides. Por hipótesis de isomorfismo de grupos, \(f\) es biyectiva. Éstas son exactamente las condiciones de la Definición 8.2.2. \(\square\)
8.4. Lectura estructural
Hasta este punto la noción de isomorfismo queda completamente separada de la igualdad literal:
\[ \mathcal A=\mathcal B \quad\Longrightarrow\quad \mathcal A\cong\mathcal B, \]
cuando la igualdad literal tiene sentido para estructuras del mismo tipo, pero en general
\[ \mathcal A\cong\mathcal B \]
sólo afirma que existe una traducción biyectiva que preserva la estructura pertinente.
El tratado no sustituirá estructuras isomorfas por estructuras iguales sin una identificación explícita. Esta distinción será crucial al construir cocientes, cuerpos de fracciones, completaciones y espacios vectoriales.
← Capítulo 7 — Homomorfismos de magmas, monoides y grupos · Capítulo 9 — Núcleo e imagen de homomorfismos de grupos →