Tratado moderno de Álgebra — Capítulo 8: Isomorfismos

Isomorfismos como homomorfismos biyectivos, con inversión, identidad, composición y relación de isomorfía para magmas, semigrupos, monoides y grupos.
Autor/a

Gustav A. Tachek

Fecha de última modificación

15 de septiembre de 2026

Capítulo 8 — Isomorfismos

Coordenada deductiva: TALG-0012

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8.0. Propósito

Un homomorfismo expresa compatibilidad entre operaciones. Un isomorfismo añade la exigencia de que esa compatibilidad sea reversible: la función subyacente debe ser biyectiva y su inversa debe recuperar la estructura sin pérdida.

La biyectividad y la función inversa ya están disponibles mediante TALG-IMP-00002. En este capítulo se combinarán con la teoría de homomorfismos de TALG-0010.

La política sigue siendo separar las dos capas:

  • capa conjuntista: función, biyectividad, inversa funcional;
  • capa algebraica: preservación de la operación y, cuando corresponda, del neutro.

8.1. Isomorfismos de magmas

Definición 8.1.1 — Isomorfismo de magmas

Coordenada: TALG-DEF-00020

Dependencias deductivas: TALG-IMP-00002 — interfaz funcional: biyectividad e inversas; TALG-DEF-00016 — homomorfismo de magmas.

Sean \[ \mathcal M=\langle A,\star\rangle, \qquad \mathcal N=\langle B,\diamond\rangle \] magmas. Una función \[ f:A\to B \] es un isomorfismo de magmas si:

  1. \(f\) es un homomorfismo de magmas;
  2. \(f\) es biyectiva.

La primera condición pertenece a la estructura algebraica; la segunda, a la función subyacente.

Proposición 8.1.2 — La inversa de un isomorfismo de magmas es un isomorfismo

Coordenada: TALG-PRO-00009

Dependencias deductivas: TALG-DEF-00020 — isomorfismo de magmas; TALG-IMP-00002 — interfaz funcional: biyectividad e inversas.

Sean \[ \mathcal M=\langle A,\star\rangle, \qquad \mathcal N=\langle B,\diamond\rangle \] magmas y sea \[ f:A\to B \] un isomorfismo. Entonces la función inversa \[ f^{-1}:B\to A \] es un isomorfismo de \(\mathcal N\) en \(\mathcal M\).

Demostración

Coordenada de prueba: TALG-PRF-00012

Como \(f\) es biyectiva, TALG-IMP-00002 autoriza la función inversa \(f^{-1}:B\to A\) y proporciona \[ f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_A, \qquad f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_B. \]

Sean \(u,v\in B\) y pongamos \[ x:=f^{-1}(u), \qquad y:=f^{-1}(v). \] Entonces \(f(x)=u\) y \(f(y)=v\). Como \(f\) es homomorfismo, \[ f(x\star y)=f(x)\diamond f(y)=u\diamond v. \] Aplicando \(f^{-1}\), \[ x\star y=f^{-1}(u\diamond v). \] Sustituyendo \(x=f^{-1}(u)\) e \(y=f^{-1}(v)\), \[ f^{-1}(u\diamond v) = f^{-1}(u)\star f^{-1}(v). \] Por tanto \(f^{-1}\) es un homomorfismo de magmas.

Además, \(f\) es una inversa bilateral de \(f^{-1}\), de modo que TALG-IMP-00002 implica que \(f^{-1}\) es biyectiva. Luego \(f^{-1}\) es un isomorfismo. \(\square\)

Proposición 8.1.3 — Identidad y composición de isomorfismos de magmas

Coordenada: TALG-PRO-00010

Dependencias deductivas: TALG-DEF-00020 — isomorfismo de magmas; TALG-PRO-00006 — identidad y composición de homomorfismos de magmas; TALG-PRO-00009 — inversa de un isomorfismo de magmas; TALG-IMP-00001 — interfaz fundacional de funciones; TALG-IMP-00002 — interfaz funcional: biyectividad e inversas.

Sean \[ \mathcal M=\langle A,\star\rangle, \quad \mathcal N=\langle B,\diamond\rangle, \quad \mathcal P=\langle C,\triangle\rangle \] magmas.

  1. \(\operatorname{id}_A:A\to A\) es un isomorfismo de \(\mathcal M\) consigo mismo.
  2. Si \(f:A\to B\) es un isomorfismo de \(\mathcal M\) en \(\mathcal N\) y \(g:B\to C\) es un isomorfismo de \(\mathcal N\) en \(\mathcal P\), entonces \[ g\circ f:A\to C \] es un isomorfismo de \(\mathcal M\) en \(\mathcal P\).

Demostración

Coordenada de prueba: TALG-PRF-00013

Por TALG-PRO-00006, la identidad es un homomorfismo de magmas. Ella misma es una inversa bilateral de sí misma; por TALG-IMP-00002, es biyectiva. Luego es un isomorfismo.

Ahora sean \(f\) y \(g\) isomorfismos. Por TALG-PRO-00006, \(g\circ f\) es homomorfismo. Por TALG-PRO-00009, existen isomorfismos inversos \[ f^{-1}:B\to A, \qquad g^{-1}:C\to B. \] Consideremos \[ h:=f^{-1}\circ g^{-1}:C\to A. \] Verificaremos directamente, por evaluación, que \(h\) es inversa bilateral de \(g\circ f\), sin invocar ninguna ley adicional de asociatividad de la composición.

Sea \(a\in A\). Entonces \[ \begin{aligned} h((g\circ f)(a)) &=f^{-1}(g^{-1}(g(f(a))))\\ &=f^{-1}(f(a))\\ &=a. \end{aligned} \] Por tanto, \[ h\circ(g\circ f)=\operatorname{id}_A. \]

Sea ahora \(c\in C\). Entonces \[ \begin{aligned} (g\circ f)(h(c)) &=g(f(f^{-1}(g^{-1}(c))))\\ &=g(g^{-1}(c))\\ &=c. \end{aligned} \] Por tanto, \[ (g\circ f)\circ h=\operatorname{id}_C. \]

Por TALG-IMP-00002, \(g\circ f\) es biyectiva. Luego es un isomorfismo. \(\square\)

8.2. Isomorfismos de semigrupos, monoides y grupos

Definición 8.2.1 — Isomorfismo de semigrupos

Coordenada: TALG-DEF-00021

Dependencias deductivas: TALG-DEF-00017 — homomorfismo de semigrupos; TALG-IMP-00002 — interfaz funcional: biyectividad e inversas.

Sean semigrupos \[ \mathcal S=\langle S,\star\rangle, \qquad \mathcal T=\langle T,\diamond\rangle. \] Una función \(f:S\to T\) es un isomorfismo de semigrupos si es un homomorfismo de semigrupos y es biyectiva.

Definición 8.2.2 — Isomorfismo de monoides

Coordenada: TALG-DEF-00022

Dependencias deductivas: TALG-DEF-00018 — homomorfismo de monoides; TALG-NOT-00002 — notación del neutro; TALG-IMP-00002 — interfaz funcional: biyectividad e inversas.

Sean monoides \[ \mathcal M=\langle M,\star\rangle, \qquad \mathcal N=\langle N,\diamond\rangle. \] Una función \(f:M\to N\) es un isomorfismo de monoides si es un homomorfismo de monoides y es biyectiva.

En particular, además de preservar la operación, satisface \[ f(e_{\mathcal M})=e_{\mathcal N}. \]

Definición 8.2.3 — Isomorfismo de grupos

Coordenada: TALG-DEF-00023

Dependencias deductivas: TALG-DEF-00019 — homomorfismo de grupos; TALG-PRO-00007 — preservación del neutro; TALG-PRO-00008 — preservación de inversos; TALG-IMP-00002 — interfaz funcional: biyectividad e inversas.

Sean grupos \[ \mathcal G=\langle G,\star\rangle, \qquad \mathcal H=\langle H,\diamond\rangle. \] Una función \(f:G\to H\) es un isomorfismo de grupos si es un homomorfismo de grupos y es biyectiva.

No se añade una condición separada sobre neutros o inversos: por TALG-PRO-00007 y TALG-PRO-00008, todo homomorfismo de grupos ya los preserva.

Proposición 8.2.4 — Las inversas preservan el tipo de isomorfismo

Coordenada: TALG-PRO-00011

Dependencias deductivas: TALG-PRO-00009 — inversa de un isomorfismo de magmas; TALG-DEF-00017 — homomorfismo de semigrupos; TALG-DEF-00018 — homomorfismo de monoides; TALG-DEF-00019 — homomorfismo de grupos; TALG-DEF-00021 — isomorfismo de semigrupos; TALG-DEF-00022 — isomorfismo de monoides; TALG-DEF-00023 — isomorfismo de grupos; TALG-NOT-00002 — notación del neutro.

La inversa funcional de un isomorfismo de semigrupos, monoides o grupos es, respectivamente, un isomorfismo del mismo tipo en sentido contrario.

Demostración

Coordenada de prueba: TALG-PRF-00014

Para semigrupos, TALG-PRO-00009 muestra que la inversa es un isomorfismo de los magmas subyacentes; por TALG-DEF-00017 y TALG-DEF-00021, esto basta para obtener un isomorfismo de semigrupos.

Para monoides, sea \(f:M\to N\) un isomorfismo. Por TALG-PRO-00009, \(f^{-1}\) preserva la operación y es biyectiva. Además, \[ f(e_{\mathcal M})=e_{\mathcal N}. \] Aplicando \(f^{-1}\), \[ f^{-1}(e_{\mathcal N})=e_{\mathcal M}. \] Por tanto \(f^{-1}\) es homomorfismo de monoides y, siendo biyectiva, isomorfismo de monoides.

Para grupos, TALG-PRO-00009 proporciona preservación de la operación y biyectividad de la inversa. Como TALG-DEF-00019 no exige condiciones adicionales, \(f^{-1}\) es un homomorfismo de grupos y por TALG-DEF-00023 un isomorfismo de grupos. \(\square\)

Proposición 8.2.5 — Identidades y composiciones preservan el tipo de isomorfismo

Coordenada: TALG-PRO-00012

Dependencias deductivas: TALG-PRO-00010 — identidad y composición de isomorfismos de magmas; TALG-DEF-00017 — homomorfismo de semigrupos; TALG-DEF-00018 — homomorfismo de monoides; TALG-DEF-00019 — homomorfismo de grupos; TALG-DEF-00021 — isomorfismo de semigrupos; TALG-DEF-00022 — isomorfismo de monoides; TALG-DEF-00023 — isomorfismo de grupos; TALG-NOT-00002 — notación del neutro.

Dentro de cada una de las clases de semigrupos, monoides y grupos:

  1. la identidad de una estructura es un isomorfismo;
  2. la composición de dos isomorfismos composables es un isomorfismo.

Demostración

Coordenada de prueba: TALG-PRF-00015

Para semigrupos y grupos, TALG-PRO-00010 ya garantiza identidad y composición como isomorfismos de los magmas subyacentes; las definiciones correspondientes no añaden condiciones funcionales nuevas.

Para monoides, la identidad preserva evidentemente el neutro. Si \[ f:M\to N, \qquad g:N\to P \] son isomorfismos de monoides, entonces \[ (g\circ f)(e_{\mathcal M}) = g(f(e_{\mathcal M})) = g(e_{\mathcal N}) = e_{\mathcal P}. \] TALG-PRO-00010 proporciona además preservación de la operación y biyectividad de la composición. Por TALG-DEF-00022, \(g\circ f\) es un isomorfismo de monoides. \(\square\)

8.3. Notación y relación de isomorfía

Notación 8.3.1 — Isomorfía

Coordenada: TALG-NOT-00005

Dependencias deductivas: TALG-DEF-00020 — isomorfismo de magmas; TALG-DEF-00021 — isomorfismo de semigrupos; TALG-DEF-00022 — isomorfismo de monoides; TALG-DEF-00023 — isomorfismo de grupos.

Cuando dos estructuras del mismo tipo estén relacionadas por al menos un isomorfismo del tipo correspondiente, escribiremos \[ \mathcal A\cong\mathcal B. \] El contexto debe determinar si se habla de magmas, semigrupos, monoides o grupos. El símbolo \(\cong\) afirma existencia de un isomorfismo; no identifica literalmente las dos estructuras.

Proposición 8.3.2 — Reflexividad, simetría y transitividad de la isomorfía

Coordenada: TALG-PRO-00013

Dependencias deductivas: TALG-NOT-00005 — notación de isomorfía; TALG-PRO-00009 — inversa de un isomorfismo de magmas; TALG-PRO-00010 — identidad y composición de isomorfismos de magmas; TALG-PRO-00011 — inversas preservan el tipo de isomorfismo; TALG-PRO-00012 — identidades y composiciones preservan el tipo.

Para cada tipo fijo entre magmas, semigrupos, monoides y grupos, la relación de isomorfía es reflexiva, simétrica y transitiva.

Demostración

Coordenada de prueba: TALG-PRF-00016

La reflexividad viene dada por el isomorfismo identidad. La simetría viene dada por la inversa de un isomorfismo. La transitividad viene dada por la composición. Para magmas se usan TALG-PRO-00009 y TALG-PRO-00010; para semigrupos, monoides y grupos se usan TALG-PRO-00011 y TALG-PRO-00012. \(\square\)

Corolario 8.3.3 — Todo isomorfismo de grupos es un isomorfismo de monoides

Coordenada: TALG-COR-00002

Dependencias deductivas: TALG-DEF-00022 — isomorfismo de monoides; TALG-DEF-00023 — isomorfismo de grupos; TALG-COR-00001 — todo homomorfismo de grupos es homomorfismo de monoides.

Sean grupos \(\mathcal G\) y \(\mathcal H\). Todo isomorfismo de grupos \(f:G\to H\) es, al considerar ambos grupos como monoides, un isomorfismo de monoides.

Demostración

Coordenada de prueba: TALG-PRF-00017

Por TALG-COR-00001, \(f\) es un homomorfismo de monoides. Por hipótesis de isomorfismo de grupos, \(f\) es biyectiva. Éstas son exactamente las condiciones de TALG-DEF-00022. \(\square\)

8.4. Lectura estructural

Hasta este punto la noción de isomorfismo queda completamente separada de la igualdad literal:

\[ \mathcal A=\mathcal B \quad\Longrightarrow\quad \mathcal A\cong\mathcal B, \]

cuando la igualdad literal tiene sentido para estructuras del mismo tipo, pero en general

\[ \mathcal A\cong\mathcal B \]

sólo afirma que existe una traducción biyectiva que preserva la estructura pertinente.

El tratado no sustituirá estructuras isomorfas por estructuras iguales sin una identificación explícita. Esta distinción será crucial al construir cocientes, cuerpos de fracciones, completaciones y espacios vectoriales.

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Reutilización

GFDL-1.3-or-later