Tratado de análisis — Capítulo 3: Los números racionales
Capítulo 3 — Los números racionales
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Parte I — Fundamentos y construcción de los reales
3.0. El problema de la división
El paso de \(\mathbb N\) a \(\mathbb Z\) resolvió una obstrucción algebraica concreta: la sustracción dejó de ser parcial porque todo entero adquirió un opuesto aditivo. El sistema obtenido sigue teniendo, sin embargo, una limitación igualmente fundamental. Si \(a,b\in\mathbb Z\) y \(a\neq0_{\mathbb Z}\), la ecuación
\[ ax=b \]
no tiene por qué poseer una solución entera.
La ecuación
\[ (1_{\mathbb Z}+1_{\mathbb Z})x=1_{\mathbb Z} \]
es el ejemplo más elemental. Queremos ampliar \(\mathbb Z\) a un sistema en el que todo elemento no nulo admita inverso multiplicativo, sin destruir la suma, el producto ni el orden ya construidos.
La idea heurística consiste en representar un cociente mediante un par
\[ (a,b), \qquad a,b\in\mathbb Z, \qquad b\neq0_{\mathbb Z}, \]
que informalmente pensaríamos como \(a/b\). Pero esa escritura todavía no tiene significado formal. Igual que en la construcción de los enteros, distintos pares deben representar el mismo número. La igualdad esperada
\[ \frac ab=\frac cd \]
se traduce, sin utilizar división, en la condición
\[ ad=bc. \]
La construcción seguirá la cadena
\[ \mathbb Z \longrightarrow \mathbb Z\times\mathbb Z_{\neq0} \longrightarrow \text{representantes fraccionarios} \longrightarrow \text{equivalencia} \longrightarrow \mathbb Q \longrightarrow +,-,\cdot,(\ )^{-1},\leq_{\mathbb Q}. \]
La notación fraccionaria \(\frac ab\) sólo se legitimará después de formar el cociente; inmediatamente después se demostrará el criterio de igualdad de clases que permite reconocer cuándo dos de esas escrituras designan el mismo racional. No se utilizará el axioma de elección.
3.1. Lemas enteros preparatorios
La construcción racional exige cancelar factores enteros no nulos y comparar desigualdades después de multiplicar por enteros positivos. Estas propiedades se siguen de la estructura obtenida en el capítulo anterior, pero todavía no han sido aisladas como resultados formales. Lo hacemos ahora.
Lema 3.1.1 — Cancelación multiplicativa en \(\mathbb Z\)
Glosario: cancelación multiplicativa
Sean \(r,x,y\in\mathbb Z\). Si \(r\neq0_{\mathbb Z}\) y
\[ rx=ry, \]
entonces \(x=y\).
Demostración.
De \(rx=ry\) obtenemos, sumando \(-(ry)\),
\[ rx-ry=0_{\mathbb Z}. \]
Por distributividad,
\[ r(x-y)=0_{\mathbb Z}. \]
Como \(\mathbb Z\) carece de divisores de cero por la Proposición 2.8.3 y \(r\neq0_{\mathbb Z}\), se sigue
\[ x-y=0_{\mathbb Z}. \]
Sumando \(y\) a ambos lados, \(x=y\). ∎
Lema 3.1.2 — Invariancia del orden entero por traslación
Para \(x,y,z\in\mathbb Z\),
\[ \boxed{ x\leq_{\mathbb Z}y \iff x+z\leq_{\mathbb Z}y+z. } \]
Demostración.
La implicación directa es la compatibilidad del orden con la suma demostrada en la Proposición 2.9.4. Recíprocamente, si
\[ x+z\leq_{\mathbb Z}y+z, \]
sumamos \(-z\) a ambos miembros mediante la misma compatibilidad:
\[ (x+z)+(-z)\leq_{\mathbb Z}(y+z)+(-z). \]
Las leyes del grupo aditivo reducen esta desigualdad a \(x\leq_{\mathbb Z}y\). ∎
Lema 3.1.3 — Escalamiento por un entero positivo
Sean \(x,y,r\in\mathbb Z\) con
\[ 0_{\mathbb Z}<_{\mathbb Z}r. \]
Entonces
\[ \boxed{ x\leq_{\mathbb Z}y \iff xr\leq_{\mathbb Z}yr. } \]
Demostración.
Como \(0_{\mathbb Z}<r\), tenemos \(0_{\mathbb Z}\leq r\). La implicación directa es la compatibilidad multiplicativa del orden establecida en la Proposición 2.9.4.
Supongamos ahora \(xr\leq yr\). Por totalidad del orden entero, demostrada en el Teorema 2.9.3, \(x\leq y\) o \(y\leq x\). Si \(x\leq y\), terminamos. Si \(y\leq x\), la compatibilidad multiplicativa da
\[ yr\leq xr. \]
La antisimetría implica \(xr=yr\). Por conmutatividad del producto entero, esta igualdad equivale a \(rx=ry\). Como \(r\neq0_{\mathbb Z}\), el Lema 3.1.1 permite cancelar el factor izquierdo \(r\) y da \(x=y\); en particular \(x\leq y\). ∎
Lema 3.1.4 — Producto de enteros positivos
Si
\[ 0_{\mathbb Z}<x \qquad\text{y}\qquad 0_{\mathbb Z}<y, \]
entonces
\[ 0_{\mathbb Z}<xy. \]
Demostración.
Primero verificamos la absorción del cero que utilizaremos en la comparación. Por distributividad,
\[ (0_{\mathbb Z}+0_{\mathbb Z})y = 0_{\mathbb Z}y+0_{\mathbb Z}y. \]
Como \(0_{\mathbb Z}+0_{\mathbb Z}=0_{\mathbb Z}\), la cancelación aditiva en el grupo entero da
\[ 0_{\mathbb Z}y=0_{\mathbb Z}. \]
De \(0\leq x\) y \(0\leq y\), la compatibilidad multiplicativa del orden aplicada a \(0\leq x\) y al factor no negativo \(y\) produce
\[ 0_{\mathbb Z}y\leq xy, \]
y por la identidad recién demostrada obtenemos \(0_{\mathbb Z}\leq xy\). Además \(x\neq0\) y \(y\neq0\), por lo que la ausencia de divisores de cero implica \(xy\neq0\). Por la definición del orden estricto asociado, \(0<xy\). ∎
Notación 3.1.5 — Enteros no nulos
Glosario: enteros no nulos
Definimos
\[ \mathbb Z_{\neq0} := \{b\in\mathbb Z:b\neq0_{\mathbb Z}\}. \]
Este conjunto existe por separación.
Definición 3.1.6 — Conjunto de representantes racionales
Glosario: conjunto de representantes racionales, representante fraccionario
Definimos
\[ \boxed{ D_{\mathbb Q} := \mathbb Z\times\mathbb Z_{\neq0}. } \]
Un elemento \((a,b)\in D_{\mathbb Q}\) se llamará representante fraccionario. El segundo componente es, por definición, no nulo.
Notación 3.1.7 — Cuadrado
Siempre que \(x\) pertenezca a un sistema numérico en el que la multiplicación ya haya sido construida, escribiremos
\[ \boxed{x^2:=x\cdot x.} \]
Esta convención introduce únicamente el cuadrado. Las potencias naturales generales se definirán más adelante, cuando su construcción sea necesaria; no se las presupone aquí.
3.2. Equivalencia y cociente racional
Definición 3.2.1 — Relación de equivalencia racional
Glosario: relación de equivalencia racional
Sobre \(D_{\mathbb Q}\) definimos
\[ \boxed{ (a,b)\sim_{\mathbb Q}(c,d) \iff ad=bc. } \]
La condición utiliza únicamente el producto entero.
Proposición 3.2.2 — \(\sim_{\mathbb Q}\) es una relación de equivalencia
La relación \(\sim_{\mathbb Q}\) es reflexiva, simétrica y transitiva sobre \(D_{\mathbb Q}\).
Demostración.
Reflexividad. Para \((a,b)\in D_{\mathbb Q}\),
\[ ab=ba \]
por conmutatividad del producto entero. Luego \((a,b)\sim_{\mathbb Q}(a,b)\).
Simetría. Si \(ad=bc\), entonces \(cb=da\) por simetría de la igualdad y conmutatividad del producto; por tanto \((c,d)\sim_{\mathbb Q}(a,b)\).
Transitividad. Supongamos
\[ (a,b)\sim_{\mathbb Q}(c,d) \qquad\text{y}\qquad (c,d)\sim_{\mathbb Q}(e,f). \]
Entonces
\[ ad=bc, \qquad cf=de. \]
Multiplicando la primera igualdad por \(f\) y la segunda por \(b\),
\[ adf=bcf \qquad\text{y}\qquad bcf=bde. \]
Por transitividad de la igualdad,
\[ adf=bde. \]
Reordenando factores,
\[ d(af)=d(be). \]
Como \((c,d)\in D_{\mathbb Q}\), tenemos \(d\neq0_{\mathbb Z}\). Por el Lema 3.1.1 — Cancelación multiplicativa en \(\mathbb Z\),
\[ af=be. \]
Por definición, \((a,b)\sim_{\mathbb Q}(e,f)\). ∎
Proposición 3.2.3 — Existencia del cociente racional
Existe el conjunto
\[ D_{\mathbb Q}/{\sim_{\mathbb Q}}. \]
Demostración.
\(D_{\mathbb Q}\) es un conjunto por la Definición 3.1.6 — Conjunto de representantes racionales, y \(\sim_{\mathbb Q}\) es una relación de equivalencia por la Proposición 3.2.2. La existencia del cociente es una instancia de la construcción general desarrollada en §0.5 — Clases de equivalencia, particiones y cocientes. ∎
Definición 3.2.4 — Conjunto de los números racionales
Glosario: número racional
Definimos
\[ \boxed{ \mathbb Q := D_{\mathbb Q}/{\sim_{\mathbb Q}}. } \]
Un número racional es un elemento de \(\mathbb Q\).
Notación 3.2.5 — Clases racionales y notación fraccionaria
Glosario: clase racional · notación fraccionaria
Para \((a,b)\in D_{\mathbb Q}\) escribiremos
\[ [(a,b)]_{\mathbb Q} \]
para su clase de equivalencia. A partir de este punto introducimos además la abreviatura
\[ \boxed{ \frac ab := [(a,b)]_{\mathbb Q}. } \]
La barra fraccionaria designa, por tanto, una clase, no el par representante. La expresión \(\frac ab\) sólo está definida cuando \(b\neq0_{\mathbb Z}\).
La forma \([a,b]\) continúa reservada para intervalos y no se utilizará para clases racionales.
Proposición 3.2.6 — Criterio de igualdad de racionales
Para \((a,b),(c,d)\in D_{\mathbb Q}\),
\[ \boxed{ \frac ab=\frac cd \iff ad=bc. } \]
Demostración.
Por el Lema 0.5.3 — Igualdad de clases, dos clases de equivalencia coinciden si y sólo si sus representantes son equivalentes. La definición de \(\sim_{\mathbb Q}\) transforma esa condición exactamente en \(ad=bc\). ∎
Nota de decidibilidad. El criterio anterior no sólo caracteriza la igualdad del cociente: para nombres fraccionarios finitos la reduce a la igualdad entera \(ad=bc\). Como la igualdad en \(\mathbb Z\) es decidible mediante representantes naturales, la igualdad en \(\mathbb Q\) es decidible sobre estos nombres. Esto no identifica la clase extensional con una codificación particular: el procedimiento opera sobre representantes finitos y su resultado es independiente del representante por la Proposición 3.2.6.
3.3. Suma, cero, opuesto y sustracción
La fórmula heurística
\[ \frac ab+\frac cd=\frac{ad+bc}{bd} \]
sólo puede convertirse en definición si \(bd\neq0\) y si el resultado no depende de los representantes elegidos. Esta sección realiza precisamente ese paso: primero trabajamos en \(D_{\mathbb Q}\) y sólo después hacemos descender las construcciones al cociente \(\mathbb Q\).
Definición 3.3.1 — Suma de representantes racionales
Definimos
\[ \sigma_{\mathbb Q}:D_{\mathbb Q}\times D_{\mathbb Q}\to D_{\mathbb Q} \]
por
\[ \boxed{ \sigma_{\mathbb Q}\bigl((a,b),(c,d)\bigr) := (ad+bc,\;bd). } \]
Como \(b,d\neq0_{\mathbb Z}\) y \(\mathbb Z\) no tiene divisores de cero, \(bd\neq0_{\mathbb Z}\); por tanto la imagen pertenece realmente a \(D_{\mathbb Q}\).
Proposición 3.3.2 — Compatibilidad de la suma con \(\sim_{\mathbb Q}\)
Si
\[ (a,b)\sim_{\mathbb Q}(a',b') \qquad\text{y}\qquad (c,d)\sim_{\mathbb Q}(c',d'), \]
entonces
\[ (ad+bc,bd) \sim_{\mathbb Q} (a'd'+b'c',b'd'). \]
Demostración.
Las hipótesis dicen
\[ ab'=ba', \qquad cd'=dc'. \]
Debemos demostrar
\[ (ad+bc)(b'd') = (bd)(a'd'+b'c'). \]
Por distributividad, asociatividad y conmutatividad en \(\mathbb Z\),
\[ \begin{aligned} (ad+bc)(b'd') &=ad\,b'd'+bc\,b'd'\\ &=(ab')dd'+bb'(cd')\\ &=(ba')dd'+bb'(dc')\\ &=bd(a'd')+bd(b'c')\\ &=bd(a'd'+b'c'). \end{aligned} \]
Ésta es exactamente la condición de equivalencia. ∎
Definición 3.3.3 — Suma en \(\mathbb Q\)
Glosario: suma racional
La composición de \(\sigma_{\mathbb Q}\) con la proyección canónica \(D_{\mathbb Q}\to\mathbb Q\) es invariante en ambos representantes por la Proposición 3.3.2. Aplicando sucesivamente a cada variable el Teorema 0.6.15 — Principio de definición sobre clases, obtenemos una única función
\[ +_{\mathbb Q}:\mathbb Q\times\mathbb Q\to\mathbb Q \]
tal que
\[ \boxed{ \frac ab+\frac cd = \frac{ad+bc}{bd}. } \]
Cuando el tipo sea inequívoco escribiremos simplemente \(x+y\).
Notación 3.3.4 — Cero racional
Glosario: cero racional
Definimos
\[ \boxed{ 0_{\mathbb Q}:=\frac{0_{\mathbb Z}}{1_{\mathbb Z}}. } \]
Definición 3.3.5 — Opuesto sobre representantes
Definimos
\[ \eta_{\mathbb Q}:D_{\mathbb Q}\to D_{\mathbb Q}, \qquad \eta_{\mathbb Q}(a,b):=(-a,b). \]
El denominador no cambia y sigue siendo no nulo.
Proposición 3.3.6 — Compatibilidad del opuesto
Si \((a,b)\sim_{\mathbb Q}(c,d)\), entonces
\[ (-a,b)\sim_{\mathbb Q}(-c,d). \]
Demostración.
La hipótesis es \(ad=bc\). Multiplicando ambos miembros por \(-1_{\mathbb Z}\), o equivalentemente usando las leyes del opuesto en el anillo \(\mathbb Z\),
\[ (-a)d=b(-c). \]
Ésta es la condición requerida. ∎
Definición 3.3.7 — Opuesto en \(\mathbb Q\)
Glosario: opuesto racional
Sea
\[ \pi_{\mathbb Q}:D_{\mathbb Q}\to\mathbb Q \]
la proyección canónica. La composición
\[ \pi_{\mathbb Q}\circ\eta_{\mathbb Q}:D_{\mathbb Q}\to\mathbb Q \]
es constante sobre clases por la Proposición 3.3.6. Aplicando el Teorema 0.6.15 — Principio de definición sobre clases a esta composición —no a \(\eta_{\mathbb Q}\) aislada— existe una única función
\[ -:\mathbb Q\to\mathbb Q \]
tal que
\[ \boxed{ -\frac ab=\frac{-a}{b}. } \]
Proposición 3.3.8 — Leyes del grupo aditivo racional
Para \(x,y,z\in\mathbb Q\):
- \((x+y)+z=x+(y+z)\);
- \(x+y=y+x\);
- \(x+0_{\mathbb Q}=x=0_{\mathbb Q}+x\);
- \(x+(-x)=0_{\mathbb Q}=(-x)+x\).
En consecuencia,
\[ \boxed{(\mathbb Q,+,0_{\mathbb Q})\text{ es un grupo abeliano}.} \]
Demostración.
Sean
\[ x=\frac ab,\qquad y=\frac cd,\qquad z=\frac ef. \]
Para la asociatividad,
\[ (x+y)+z = \frac{(ad+bc)f+(bd)e}{bdf}, \]
mientras que
\[ x+(y+z) = \frac{a(df)+b(cf+de)}{bdf}. \]
Los numeradores son iguales por distributividad, asociatividad y conmutatividad en \(\mathbb Z\):
\[ adf+bcf+bde = adf+bcf+bde. \]
La conmutatividad se obtiene de
\[ \frac ab+\frac cd = \frac{ad+bc}{bd} = \frac{cb+da}{db} = \frac cd+\frac ab. \]
Para el neutro,
\[ \frac ab+0_{\mathbb Q} = \frac{a1_{\mathbb Z}+b0_{\mathbb Z}}{b1_{\mathbb Z}} = \frac ab. \]
Finalmente,
\[ \frac ab+\left(-\frac ab\right) = \frac{ab+b(-a)}{b^2} = \frac{0_{\mathbb Z}}{b^2}. \]
Como \(b\neq0_{\mathbb Z}\), la ausencia de divisores de cero en \(\mathbb Z\) implica
\[ b^2=bb\neq0_{\mathbb Z}. \]
Además, el criterio de igualdad de racionales da
\[ \frac{0_{\mathbb Z}}{b^2} = \frac{0_{\mathbb Z}}{1_{\mathbb Z}}, \]
porque los productos cruzados son ambos \(0_{\mathbb Z}\); la absorción del cero se obtiene de las leyes de anillo ya demostradas. Por tanto obtenemos el opuesto aditivo. El otro lado se sigue de conmutatividad. ∎
Definición 3.3.9 — Sustracción racional
Glosario: sustracción racional
Para \(x,y\in\mathbb Q\) definimos
\[ \boxed{ x-y:=x+(-y). } \]
3.4. Producto y estructura de cuerpo
La multiplicación racional debe construirse con la misma cautela que la suma: primero sobre representantes y sólo después sobre clases. La fórmula esperada
\[ \frac ab\cdot\frac cd = \frac{ac}{bd} \]
sólo será una operación sobre \(\mathbb Q\) una vez comprobado que el denominador resultante sigue siendo no nulo y que el valor no depende de los representantes elegidos.
Definición 3.4.1 — Producto de representantes racionales
Definimos
\[ \mu_{\mathbb Q}:D_{\mathbb Q}\times D_{\mathbb Q}\to D_{\mathbb Q} \]
por
\[ \boxed{ \mu_{\mathbb Q}\bigl((a,b),(c,d)\bigr):=(ac,bd). } \]
El denominador \(bd\) es no nulo porque \(b\) y \(d\) son no nulos y \(\mathbb Z\) carece de divisores de cero.
Proposición 3.4.2 — Compatibilidad del producto con \(\sim_{\mathbb Q}\)
Si
\[ (a,b)\sim_{\mathbb Q}(a',b') \qquad\text{y}\qquad (c,d)\sim_{\mathbb Q}(c',d'), \]
entonces
\[ (ac,bd)\sim_{\mathbb Q}(a'c',b'd'). \]
Demostración.
De
\[ ab'=ba', \qquad cd'=dc' \]
se obtiene
\[ (ac)(b'd') = (ab')(cd') = (ba')(dc') = (bd)(a'c'). \]
Por definición de \(\sim_{\mathbb Q}\), los productos son equivalentes. ∎
Definición 3.4.3 — Multiplicación en \(\mathbb Q\)
Glosario: multiplicación racional
La composición de \(\mu_{\mathbb Q}\) con la proyección canónica \(D_{\mathbb Q}\to\mathbb Q\) es invariante en ambos representantes por la Proposición 3.4.2. Aplicando sucesivamente a cada variable el Teorema 0.6.15 — Principio de definición sobre clases, obtenemos una única función
\[ \cdot_{\mathbb Q}:\mathbb Q\times\mathbb Q\to\mathbb Q \]
satisfaciendo
\[ \boxed{ \frac ab\cdot\frac cd = \frac{ac}{bd}. } \]
Cuando el tipo sea inequívoco escribiremos simplemente \(xy\) o \(x\cdot y\).
Notación 3.4.4 — Unidad racional
Glosario: unidad racional
Definimos
\[ \boxed{ 1_{\mathbb Q}:=\frac{1_{\mathbb Z}}{1_{\mathbb Z}}. } \]
Proposición 3.4.5 — Leyes multiplicativas y distributivas
Para \(x,y,z\in\mathbb Q\):
- \((xy)z=x(yz)\);
- \(xy=yx\);
- \(1_{\mathbb Q}x=x=x1_{\mathbb Q}\);
- \(x(y+z)=xy+xz\);
- \((x+y)z=xz+yz\).
Demostración.
Sean \(x=a/b\), \(y=c/d\) y \(z=e/f\). Asociatividad, conmutatividad y unidad se siguen directamente de las correspondientes leyes enteras:
\[ \left(\frac ab\frac cd\right)\frac ef = \frac{ace}{bdf} = \frac ab\left(\frac cd\frac ef\right), \]
\[ \frac ab\frac cd = \frac{ac}{bd} = \frac{ca}{db} = \frac cd\frac ab, \]
y
\[ 1_{\mathbb Q}\frac ab = \frac ab. \]
Para la distributividad,
\[ \frac ab\left(\frac cd+\frac ef\right) = \frac ab\frac{cf+de}{df} = \frac{acf+ade}{bdf}. \]
Por otra parte,
\[ \frac{ac}{bd}+ \frac{ae}{bf} = \frac{acbf+aebd}{b^2df}. \]
Para justificar formalmente el cambio de representante, el criterio de igualdad de racionales da
\[ \frac{acf+ade}{bdf} = \frac{b(acf+ade)}{b(bdf)}, \]
porque
\[ (acf+ade)\,b(bdf) = b(acf+ade)\,(bdf) \]
por asociatividad y conmutatividad en \(\mathbb Z\). Con la notación \(b^2=bb\) y distribuyendo el numerador,
\[ \frac{b(acf+ade)}{b^2df} = \frac{abcf+abde}{b^2df}, \]
que coincide con la segunda fracción por conmutatividad de los factores enteros. La distributividad del otro lado se deduce de la conmutatividad del producto. ∎
Proposición 3.4.6 — Distinción entre cero y uno
Se tiene
\[ \boxed{0_{\mathbb Q}\neq1_{\mathbb Q}.} \]
Demostración.
Si \(0_{\mathbb Q}=1_{\mathbb Q}\), el criterio de igualdad de racionales daría
\[ 0_{\mathbb Z}\cdot1_{\mathbb Z} = 1_{\mathbb Z}\cdot1_{\mathbb Z}. \]
Por las leyes multiplicativas de \(\mathbb Z\), el miembro izquierdo es \(0_{\mathbb Z}\) y el derecho es \(1_{\mathbb Z}\). Obtendríamos, pues,
\[ 0_{\mathbb Z}=1_{\mathbb Z}, \]
contradiciendo la Proposición 2.8.2 — \(0_{\mathbb Z}\neq1_{\mathbb Z}\). ∎
3.5. Incrustación canónica de \(\mathbb Z\)
La construcción de \(\mathbb Q\) no identifica automáticamente los enteros con racionales. Antes de utilizar expresiones como «el entero \(a\) visto como racional», debemos construir una aplicación concreta de \(\mathbb Z\) en \(\mathbb Q\) y demostrar que conserva la aritmética ya establecida.
Definición 3.5.1 — Incrustación entera en los racionales
Glosario: incrustación canónica
Definimos
\[ \jmath_{\mathbb Z}^{\mathbb Q}:\mathbb Z\to\mathbb Q \]
por
\[ \boxed{ \jmath_{\mathbb Z}^{\mathbb Q}(a) := \frac{a}{1_{\mathbb Z}}. } \]
Abreviaremos \(\jmath_{\mathbb Z}^{\mathbb Q}\) a \(\jmath\) cuando el contexto determine los sistemas.
Proposición 3.5.2 — La incrustación preserva la aritmética
La función \(\jmath\) es inyectiva y, para \(a,c\in\mathbb Z\),
\[ \jmath(0_{\mathbb Z})=0_{\mathbb Q}, \qquad \jmath(1_{\mathbb Z})=1_{\mathbb Q}, \]
\[ \jmath(a+c)=\jmath(a)+\jmath(c), \]
\[ \jmath(ac)=\jmath(a)\jmath(c), \]
y
\[ \jmath(-a)=-\jmath(a). \]
Demostración.
Supongamos primero
\[ \jmath(a)=\jmath(c). \]
Entonces
\[ \frac{a}{1_{\mathbb Z}} = \frac{c}{1_{\mathbb Z}}. \]
Por el criterio de igualdad de racionales,
\[ a\,1_{\mathbb Z}=1_{\mathbb Z}\,c. \]
Las leyes de la unidad multiplicativa en \(\mathbb Z\) reducen esta igualdad a \(a=c\). Por tanto \(\jmath\) es inyectiva.
Las identidades para cero y uno son inmediatas de las definiciones:
\[ \jmath(0_{\mathbb Z}) = \frac{0_{\mathbb Z}}{1_{\mathbb Z}} = 0_{\mathbb Q}, \]
\[ \jmath(1_{\mathbb Z}) = \frac{1_{\mathbb Z}}{1_{\mathbb Z}} = 1_{\mathbb Q}. \]
Para la suma, usando la definición de suma racional,
\[ \begin{aligned} \jmath(a)+\jmath(c) &= \frac a1+\frac c1\\ &= \frac{a+c}{1}\\ &= \jmath(a+c). \end{aligned} \]
Para el producto, por la definición de multiplicación racional,
\[ \begin{aligned} \jmath(a)\jmath(c) &= \frac a1\frac c1\\ &= \frac{ac}{1}\\ &= \jmath(ac). \end{aligned} \]
Finalmente, por la definición del opuesto racional,
\[ -\jmath(a) = -\frac a1 = \frac{-a}{1} = \jmath(-a). \]
Así \(\jmath\) conserva \(0\), \(1\), suma, producto y opuesto, además de ser inyectiva. ∎
Observación 3.5.3 — No identificación conjuntista
No escribiremos todavía literalmente
\[ \mathbb Z\subseteq\mathbb Q. \]
Los sistemas \(\mathbb Z\) y \(\mathbb Q\) han sido construidos como objetos distintos. La relación estructural canónica entre ambos es, por ahora, la aplicación inyectiva
\[ \boxed{ \jmath_{\mathbb Z}^{\mathbb Q}:\mathbb Z\hookrightarrow\mathbb Q. } \]
Cuando más adelante adoptemos identificaciones convencionales, lo haremos apoyándonos en esta incrustación y no en una igualdad conjuntista silenciosa.
3.6. Inversos multiplicativos
La multiplicación racional ya posee unidad, pero todavía falta la propiedad que distingue a un cuerpo de un anillo conmutativo: todo elemento no nulo debe admitir un inverso multiplicativo. Para construirlo rigurosamente necesitamos saber primero cuándo una clase fraccionaria es cero y comprobar después que invertir numerador y denominador no depende del representante elegido.
Proposición 3.6.1 — Criterio de nulidad de una fracción
Para \((a,b)\in D_{\mathbb Q}\),
\[ \boxed{ \frac ab=0_{\mathbb Q} \iff a=0_{\mathbb Z}. } \]
Demostración.
Por el criterio de igualdad de racionales,
\[ \frac ab=\frac01 \iff a\cdot1=b\cdot0. \]
Las leyes de la unidad dan \(a\cdot1=a\). Para el otro miembro, por distributividad,
\[ b\cdot0 = b(0+0) = b0+b0, \]
y la cancelación aditiva implica \(b0=0\). Por tanto la igualdad cruzada equivale exactamente a \(a=0\). ∎
Definición 3.6.2 — Racionales no nulos
Glosario: racionales no nulos
Definimos
\[ \boxed{ \mathbb Q_{\neq0} := \{q\in\mathbb Q:q\neq0_{\mathbb Q}\}. } \]
Proposición 3.6.3 — Construcción del recíproco
Existe una única función
\[ \operatorname{inv}:\mathbb Q_{\neq0}\to\mathbb Q_{\neq0} \]
tal que, para toda representación \(q=a/b\) de un racional no nulo,
\[ \boxed{ \operatorname{inv}(q)=\frac ba. } \]
Demostración.
Sea
\[ q=\frac ab\neq0_{\mathbb Q}. \]
Por la Proposición 3.6.1, \(a\neq0_{\mathbb Z}\), de modo que \((b,a)\in D_{\mathbb Q}\) y \(b/a\) está definido. Además \(b\neq0_{\mathbb Z}\), pues \((a,b)\in D_{\mathbb Q}\); por el mismo criterio de nulidad, el racional \(b/a\) es no nulo.
Debemos comprobar que el valor no depende del representante. Si
\[ \frac ab=\frac cd, \]
entonces, por el criterio de igualdad de racionales,
\[ ad=bc. \]
Para las fracciones invertidas necesitamos
\[ bc=ad, \]
que es la misma igualdad. Por tanto
\[ \frac ba=\frac dc. \]
Podemos entonces definir el grafo
\[ G = \left\{ \langle q,r\rangle\in \mathbb Q_{\neq0}\times\mathbb Q_{\neq0}: \exists(a,b)\in D_{\mathbb Q}\; \left(q=\frac ab\land r=\frac ba\right) \right\}. \]
Este conjunto existe por separación. Lo anterior demuestra que para cada \(q\in\mathbb Q_{\neq0}\) existe un único \(r\in\mathbb Q_{\neq0}\) con \(\langle q,r\rangle\in G\). Por tanto \(G\) es el grafo de la función requerida.
Obsérvese que no hemos elegido un representante de cada clase: la definición utiliza todos los representantes posibles y la buena definición demuestra que todos producen el mismo valor. ∎
Notación 3.6.4 — Recíproco
Glosario: recíproco racional
Para \(q\in\mathbb Q_{\neq0}\) escribiremos
\[ q^{-1}:=\operatorname{inv}(q). \]
Así, si \(a\neq0\) y \(b\neq0\),
\[ \boxed{ \left(\frac ab\right)^{-1} = \frac ba. } \]
Proposición 3.6.5 — Ley del inverso multiplicativo
Para todo \(q\in\mathbb Q_{\neq0}\),
\[ \boxed{ qq^{-1}=1_{\mathbb Q}=q^{-1}q. } \]
Demostración.
Escribamos \(q=a/b\) con \(a,b\neq0\). Entonces
\[ qq^{-1} = \frac ab\frac ba = \frac{ab}{ba}. \]
Por conmutatividad de la multiplicación entera,
\[ \frac{ab}{ba} = \frac{1_{\mathbb Z}}{1_{\mathbb Z}} = 1_{\mathbb Q}, \]
pues el criterio de igualdad de racionales exige precisamente
\[ (ab)1=(ba)1. \]
La igualdad \(q^{-1}q=1_{\mathbb Q}\) se sigue de la conmutatividad del producto racional. ∎
Definición 3.6.6 — División racional
Glosario: división racional
Para \(x\in\mathbb Q\) y \(y\in\mathbb Q_{\neq0}\) definimos
\[ \boxed{ \frac{x}{y}:=xy^{-1}. } \]
La barra de fracción tiene ahora dos usos compatibles. Cuando \(a,b\in\mathbb Z\) y \(b\neq0\), la notación de clase \(a/b\) introducida en §3.2 coincide con la división entre los racionales canónicamente asociados a \(a\) y \(b\).
En efecto, por la inyectividad de la incrustación canónica,
\[ \jmath(b)\neq0_{\mathbb Q}, \]
y la construcción del recíproco da
\[ \jmath(b)^{-1} = \left(\frac b1\right)^{-1} = \frac1b. \]
Por tanto
\[ \boxed{ \frac{\jmath(a)}{\jmath(b)} = \frac a1\cdot\frac1b = \frac ab. } \]
Convención 3.6.7 — Terminología de cuerpo
Glosario: cuerpo
Llamaremos cuerpo a un anillo conmutativo \(F\) con
\[ 0_F\neq1_F \]
tal que todo elemento no nulo de \(F\) posee un inverso multiplicativo.
Teorema 3.6.8 — \(\mathbb Q\) es un cuerpo
Con las operaciones construidas,
\[ \boxed{ (\mathbb Q,+,\cdot,0_{\mathbb Q},1_{\mathbb Q}) \text{ es un cuerpo}. } \]
Demostración.
La Proposición 3.3.8 establece que \((\mathbb Q,+,0_{\mathbb Q})\) es un grupo abeliano. La Proposición 3.4.5 proporciona asociatividad y conmutatividad del producto, unidad y distributividad. La Proposición 3.4.6 demuestra
\[ 0_{\mathbb Q}\neq1_{\mathbb Q}, \]
y la Proposición 3.6.5 proporciona un inverso multiplicativo para todo racional no nulo. Son exactamente las condiciones de la Convención 3.6.7. ∎
Corolario 3.6.9 — Ausencia de divisores de cero en \(\mathbb Q\)
Si
\[ xy=0_{\mathbb Q}, \]
entonces
\[ \boxed{ x=0_{\mathbb Q} \quad\text{o}\quad y=0_{\mathbb Q}. } \]
Demostración.
Primero derivamos la absorción multiplicativa del cero a partir de las leyes ya probadas. Para todo \(u\in\mathbb Q\),
\[ u0_{\mathbb Q} = u(0_{\mathbb Q}+0_{\mathbb Q}) = u0_{\mathbb Q}+u0_{\mathbb Q}. \]
Cancelando aditivamente \(u0_{\mathbb Q}\) obtenemos
\[ u0_{\mathbb Q}=0_{\mathbb Q}. \]
Si \(x\neq0_{\mathbb Q}\), multiplicamos \(xy=0_{\mathbb Q}\) por \(x^{-1}\):
\[ y = 1_{\mathbb Q}y = x^{-1}(xy) = x^{-1}0_{\mathbb Q} = 0_{\mathbb Q}. \]
Por tanto \(x=0_{\mathbb Q}\) o \(y=0_{\mathbb Q}\). ∎
3.7. Orden racional
La fórmula de comparación
\[ \frac ab\leq\frac cd \quad\Longleftrightarrow\quad ad\leq bc \]
es correcta cuando los denominadores \(b\) y \(d\) son positivos. Sin esa hipótesis, multiplicar cruzadamente puede invertir el sentido del orden. Por eso no introduciremos el orden racional hasta demostrar que toda clase admite representantes con denominador positivo y que la comparación cruzada es independiente de tales representantes.
Lema 3.7.1 — Representante con denominador positivo
Para todo \(q\in\mathbb Q\) existen \(a\in\mathbb Z\) y \(n\in\mathbb N\) con \(n\neq0\) tales que
\[ q=\frac{a}{\iota_{\mathbb N}^{\mathbb Z}(n)} \]
y
\[ 0_{\mathbb Z}<\iota_{\mathbb N}^{\mathbb Z}(n). \]
Demostración.
Tome una representación \(q=a/b\) con \(b\neq0\). Por la forma normal con signo de los enteros, existe un único \(n\neq0\) tal que
\[ b=\iota(n) \qquad\text{o}\qquad b=-\iota(n). \]
Como \(0\leq n\) en \(\mathbb N\) y \(n\neq0\), la definición del orden estricto da \(0<n\). La incrustación natural en los enteros proporciona
\[ \iota(0)\leq_{\mathbb Z}\iota(n), \]
mientras que la inyectividad de \(\iota\) y \(n\neq0\) dan \(\iota(n)\neq\iota(0)\). Como \(\iota(0)=0_{\mathbb Z}\), concluimos
\[ 0_{\mathbb Z}<\iota(n). \]
Si \(b=\iota(n)\), ya terminamos. Si \(b=-\iota(n)\), entonces
\[ \frac ab=\frac{-a}{-b}=\frac{-a}{\iota(n)}, \]
porque \(a(-b)=b(-a)\) en el anillo conmutativo \(\mathbb Z\). Así toda clase admite una representación con denominador positivo de la forma indicada. ∎
Lema 3.7.2 — Invariancia de la comparación cruzada
Supongamos
\[ \frac ab=\frac{a'}{b'}, \qquad \frac cd=\frac{c'}{d'}, \]
con
\[ 0<b,\quad0<b',\quad0<d,\quad0<d' \]
en \(\mathbb Z\). Entonces
\[ \boxed{ ad\leq bc \iff a'd'\leq b'c'. } \]
Demostración.
Las igualdades de fracciones dan
\[ ab'=ba', \qquad cd'=dc'. \]
Supongamos \(ad\leq bc\). Como \(b'd'>0\) por el producto de enteros positivos, el escalamiento por un entero positivo permite multiplicar la desigualdad por \(b'd'\) sin alterar su sentido:
\[ ad\,b'd'\leq bc\,b'd'. \]
Usando las dos igualdades anteriores y reordenando factores,
\[ bd(a'd')\leq bd(b'c'). \]
Como \(bd>0\), aplicamos la implicación inversa del mismo lema de escalamiento y obtenemos
\[ a'd'\leq b'c'. \]
La recíproca se obtiene intercambiando los pares primados y no primados. ∎
Definición 3.7.3 — Orden racional
Glosario: orden racional
Para \(q,r\in\mathbb Q\) definimos
\[ \boxed{q\leq_{\mathbb Q}r} \]
si existen representaciones
\[ q=\frac ab, \qquad r=\frac cd, \]
con \(0<b\) y \(0<d\), tales que
\[ ad\leq_{\mathbb Z}bc. \]
El lema anterior garantiza que la condición no depende de cuáles representantes con denominador positivo se utilicen.
Proposición 3.7.4 — Criterio práctico de orden
Sean
\[ q=\frac ab, \qquad r=\frac cd \]
representaciones con \(0<b\) y \(0<d\). Entonces
\[ \boxed{ q\leq_{\mathbb Q}r \iff ad\leq_{\mathbb Z}bc. } \]
Demostración.
La implicación de derecha a izquierda es la definición. Para la recíproca, si \(q\leq_{\mathbb Q}r\), la definición proporciona alguna pareja de representantes positivos para la cual vale la desigualdad cruzada. El Lema 3.7.2 transporta esa desigualdad a las representaciones positivas dadas. ∎
Teorema 3.7.5 — El orden racional es total
La relación \(\leq_{\mathbb Q}\) es un orden total sobre \(\mathbb Q\).
Demostración.
Por el Lema 3.7.1, todo racional admite representación con denominador positivo.
Reflexividad. Si \(q=a/b\) con \(b>0\), entonces \(ab=ba\), luego \(ab\leq ba\) y \(q\leq_{\mathbb Q}q\).
Antisimetría. Sean
\[ q=\frac ab, \qquad r=\frac cd, \qquad b,d>0, \]
y supongamos \(q\leq r\) y \(r\leq q\). Por la Proposición 3.7.4,
\[ ad\leq bc \qquad\text{y}\qquad bc\leq ad. \]
La antisimetría en \(\mathbb Z\) da \(ad=bc\), y el criterio de igualdad de racionales implica \(q=r\).
Transitividad. Sean
\[ q=\frac ab,\qquad r=\frac cd,\qquad s=\frac ef \]
con \(b,d,f>0\), y supongamos \(q\leq r\) y \(r\leq s\). Entonces
\[ ad\leq bc, \qquad cf\leq de. \]
Como \(f>0\), el Lema 3.1.3 da \(adf\leq bcf\). Como \(b>0\), \(bcf\leq bde\). Por transitividad,
\[ adf\leq bde. \]
Reordenando,
\[ d(af)\leq d(be). \]
Como \(d>0\), el Lema 3.1.3 permite cancelar el factor positivo y obtenemos \(af\leq be\). Por la Proposición 3.7.4, \(q\leq s\).
Totalidad. Para representaciones positivas \(q=a/b\) y \(r=c/d\), la totalidad del orden entero aplicada a \(ad\) y \(bc\) da
\[ ad\leq bc \qquad\text{o}\qquad bc\leq ad. \]
Por la Proposición 3.7.4, esto equivale a \(q\leq r\) o \(r\leq q\). ∎
Desde ahora, \(<_{\mathbb Q}\) denota el orden estricto asociado a \(\leq_{\mathbb Q}\).
Proposición 3.7.6 — Tricotomía decidible de los racionales
Glosario: tricotomía
Para cualesquiera \(q,r\in\mathbb Q\), exactamente una de las relaciones
\[ q<_{\mathbb Q}r, \qquad q=r, \qquad r<_{\mathbb Q}q \]
se cumple. Además, la alternativa correcta es decidible a partir de representantes fraccionarios finitos.
Demostración.
Por el Lema 3.7.1, tomemos representaciones
\[ q=\frac ab, \qquad r=\frac cd, \qquad 0<b, \quad 0<d. \]
La tricotomía decidible de los enteros determina exactamente una de
\[ ad<bc, \qquad ad=bc, \qquad bc<ad. \]
Si \(ad=bc\), el criterio de igualdad racional da \(q=r\). Si \(ad<bc\), entonces \(ad\leq bc\), de modo que la Proposición 3.7.4 da \(q\leq r\); además el criterio de igualdad excluye \(q=r\), por lo que \(q<r\). El tercer caso es simétrico.
Todas las operaciones involucradas —producto entero, comparación entera y comparación cruzada— son efectivas sobre los nombres finitos construidos en los capítulos 2 y 3. ∎
Corolario 3.7.7 — Criterio estricto de comparación cruzada
Si \(b,d>0\) en \(\mathbb Z\), entonces
\[ \boxed{ \frac ab<_{\mathbb Q}\frac cd \iff ad<_{\mathbb Z}bc. } \]
Demostración.
Por definición del orden estricto,
\[ \frac ab<\frac cd \]
significa simultáneamente
\[ \frac ab\leq\frac cd \qquad\text{y}\qquad \frac ab\neq\frac cd. \]
Por la Proposición 3.7.4, la primera condición equivale a \(ad\leq bc\); por el criterio de igualdad racional, la segunda equivale a \(ad\neq bc\). Juntas son exactamente \(ad<bc\) en el orden estricto asociado de \(\mathbb Z\). La recíproca es la misma cadena de equivalencias leída de derecha a izquierda. ∎
Proposición 3.7.8 — Compatibilidad del orden con las operaciones
Para \(x,y,z\in\mathbb Q\):
- si \(x\leq y\), entonces \[ x+z\leq y+z; \]
- si \(x\leq y\) y \(0_{\mathbb Q}\leq z\), entonces \[ xz\leq yz. \]
Demostración.
Escribamos
\[ x=\frac ab,\qquad y=\frac cd,\qquad z=\frac ef \]
con \(b,d,f>0\). La hipótesis \(x\leq y\) equivale a \(ad\leq bc\).
Para la suma,
\[ x+z=\frac{af+be}{bf}, \qquad y+z=\frac{cf+de}{df}. \]
Los denominadores son positivos. Como \(f^2>0\), de \(ad\leq bc\) obtenemos
\[ adf^2\leq bcf^2. \]
Sumando \(bdef\) a ambos miembros,
\[ adf^2+bdef\leq bcf^2+bdef. \]
Esto es, tras factorizar,
\[ (af+be)(df)\leq(bf)(cf+de), \]
y por la Proposición 3.7.4 concluimos \(x+z\leq y+z\).
Supongamos además \(0_{\mathbb Q}\leq z\). Como \(0_{\mathbb Q}=0/1\) y \(f>0\), el criterio de orden da \(0\leq e\).
Para justificar \(0\leq ef\), primero observamos que la distributividad entera y la cancelación aditiva dan \(0_{\mathbb Z}f=0_{\mathbb Z}\). Entonces la compatibilidad multiplicativa del orden entero, aplicada a \(0\leq e\) y al factor no negativo \(f\), produce
\[ 0_{\mathbb Z}=0_{\mathbb Z}f\leq ef. \]
Multiplicando ahora \(ad\leq bc\) por el entero no negativo \(ef\),
\[ adef\leq bcef. \]
Pero
\[ xz=\frac{ae}{bf}, \qquad yz=\frac{ce}{df}, \]
y la desigualdad anterior es precisamente
\[ (ae)(df)\leq(bf)(ce). \]
Luego \(xz\leq yz\). ∎
Proposición 3.7.9 — La incrustación \(\mathbb Z\to\mathbb Q\) preserva y refleja el orden
Para \(a,c\in\mathbb Z\),
\[ \boxed{ a\leq_{\mathbb Z}c \iff \jmath(a)\leq_{\mathbb Q}\jmath(c). } \]
Demostración.
El entero \(1_{\mathbb Z}\) es positivo. En \(\mathbb N\) tenemos \(0<1\). Por la preservación del orden de la incrustación natural en los enteros,
\[ \iota(0)\leq_{\mathbb Z}\iota(1), \]
y por la inyectividad de \(\iota\) estos dos enteros son distintos. Como \(\iota(0)=0_{\mathbb Z}\) e \(\iota(1)=1_{\mathbb Z}\), resulta
\[ 0_{\mathbb Z}<1_{\mathbb Z}. \]
Por tanto las representaciones
\[ \jmath(a)=\frac a1, \qquad \jmath(c)=\frac c1 \]
tienen denominador positivo. La Proposición 3.7.4 da
\[ \jmath(a)\leq\jmath(c) \iff a\cdot1\leq1\cdot c \iff a\leq c. \]
∎
Lema 3.7.10 — Positividad y escalamiento estricto en \(\mathbb Q\)
En \(\mathbb Q\):
- si \(0<x\) y \(0<y\), entonces \(0<xy\);
- si \(0<x\), entonces \(0<x^{-1}\);
- si \(x<y\) y \(0<z\), entonces \(xz<yz\).
Demostración.
Para (1), de \(0\leq x\) y \(0\leq y\), la Proposición 3.7.8 da \(0\leq xy\). Si \(xy=0\), el Corolario 3.6.9 implicaría \(x=0\) o \(y=0\), contradicción. Luego \(0<xy\).
Para (2), sea \(x>0\). El inverso \(x^{-1}\) no es cero, porque \(xx^{-1}=1_{\mathbb Q}\neq0_{\mathbb Q}\). Si no fuera positivo, la tricotomía daría \(x^{-1}<0\). En particular \(x^{-1}\leq0\). Como \(0\leq x\), la compatibilidad multiplicativa aplicada a \(x^{-1}\leq0\) produce
\[ x^{-1}x\leq0_{\mathbb Q}x. \]
El miembro izquierdo es \(1_{\mathbb Q}\). Además, por distributividad y cancelación aditiva,
\[ 0_{\mathbb Q}x=0_{\mathbb Q}, \]
de modo que \(1_{\mathbb Q}\leq0_{\mathbb Q}\).
Por otra parte, como \(0<1\) en \(\mathbb N\), la preservación e inyectividad de la incrustación natural dan \(0_{\mathbb Z}<1_{\mathbb Z}\); aplicando la Proposición 3.7.9 y la definición del orden estricto obtenemos
\[ 0_{\mathbb Q}<1_{\mathbb Q}, \]
contradicción. Por tanto \(0<x^{-1}\).
Para (3), la Proposición 3.7.8 da \(xz\leq yz\). Si hubiera igualdad, entonces
\[ (y-x)z=0_{\mathbb Q}. \]
Como \(x<y\), tenemos \(y-x\neq0_{\mathbb Q}\); además \(z\neq0_{\mathbb Q}\). Esto contradice la ausencia de divisores de cero en \(\mathbb Q\). Por tanto \(xz\neq yz\), y así \(xz<yz\). ∎
3.8. Incrustación natural, densidad y propiedad arquimediana
Una vez construido el orden racional y comprobada su compatibilidad con las operaciones, podemos identificar cómo se sitúan canónicamente los naturales dentro de \(\mathbb Q\) y demostrar dos propiedades decisivas del orden racional: entre dos racionales distintos siempre hay otro racional, y todo racional queda finalmente por debajo de algún natural canónicamente incorporado.
Definición 3.8.1 — Incrustación canónica de \(\mathbb N\) en \(\mathbb Q\)
Definimos
\[ \boxed{ \nu_{\mathbb N}^{\mathbb Q} := \jmath_{\mathbb Z}^{\mathbb Q} \circ \iota_{\mathbb N}^{\mathbb Z}. } \]
Así, para \(n\in\mathbb N\),
\[ \boxed{ \nu(n)=\frac{\iota(n)}{1_{\mathbb Z}}. } \]
Corolario 3.8.2 — Propiedades de la incrustación natural
La función
\[ \nu:\mathbb N\to\mathbb Q \]
es inyectiva y preserva \(0\), \(1\), suma, producto y orden; además refleja el orden.
Demostración.
Es la composición de las incrustaciones
\[ \iota:\mathbb N\to\mathbb Z \qquad\text{y}\qquad \jmath:\mathbb Z\to\mathbb Q. \]
La primera es inyectiva y preserva \(0\), \(1\), suma, producto y orden por los resultados del Capítulo 2. La segunda es inyectiva y preserva \(0\), \(1\), suma, producto y opuestos por la Proposición 3.5.2, y preserva y refleja el orden por la Proposición 3.7.9. Por composición, \(\nu\) posee las propiedades indicadas. ∎
Teorema 3.8.3 — Densidad del orden racional
Glosario: densidad del orden racional
Si \(x,y\in\mathbb Q\) y
\[ x<_{\mathbb Q}y, \]
existe \(z\in\mathbb Q\) tal que
\[ \boxed{ x<_{\mathbb Q}z<_{\mathbb Q}y. } \]
Demostración.
Por el Lema 3.7.1, tomemos representaciones con denominador positivo
\[ x=\frac ab, \qquad y=\frac cd, \qquad b,d>0. \]
Como \(x<y\), el criterio estricto de comparación cruzada da
\[ ad<bc. \]
Definimos el mediante
\[ z:=\frac{a+c}{b+d}. \]
El denominador \(b+d\) es positivo. En efecto, de \(0<d\) obtenemos \(0\leq d\), y por compatibilidad con la suma,
\[ b=b+0\leq b+d. \]
Si hubiera igualdad \(b=b+d\), la cancelación aditiva daría \(d=0\), contradicción. Así \(b<b+d\); como \(0<b\), por transitividad
\[ 0<b+d. \]
Para comparar \(x\) con \(z\), por el criterio estricto de comparación cruzada basta demostrar
\[ a(b+d)<b(a+c). \]
Tras expandir, esta desigualdad es
\[ ab+ad<ab+bc, \]
que se sigue de \(ad<bc\) por invariancia estricta bajo traslación: la invariancia del orden entero por traslación preserva la desigualdad no estricta, y la cancelación aditiva impide que aparezca una igualdad después de sumar \(ab\) a ambos miembros.
Análogamente,
\[ (a+c)d<(b+d)c \]
equivale a
\[ ad+cd<bc+cd, \]
y nuevamente se sigue de \(ad<bc\) por el mismo argumento de traslación estricta. Los denominadores \(b\), \(d\) y \(b+d\) son positivos, de modo que el criterio estricto convierte estas dos desigualdades cruzadas en
\[ x<z<y. \]
∎
Definición 3.8.4 — Propiedad arquimediana de \(\mathbb Q\)
Glosario: propiedad arquimediana
Diremos que \(\mathbb Q\) satisface la propiedad arquimediana respecto de su copia canónica de \(\mathbb N\) si
\[ \boxed{ \forall q\in\mathbb Q\; \exists n\in\mathbb N \quad q<_{\mathbb Q}\nu(n). } \]
Teorema 3.8.5 — \(\mathbb Q\) es arquimediano
\(\mathbb Q\) satisface la propiedad arquimediana de la Definición 3.8.4.
Demostración.
Sea \(q\in\mathbb Q\). Por el Lema 3.7.1 podemos escribir
\[ q=\frac a{\iota(k)} \]
con \(k\in\mathbb N\), \(k\neq0\), y \(\iota(k)>0\).
Si \(a\leq0_{\mathbb Z}\), entonces
\[ a<\iota(k)=\iota(k)\iota(1), \]
porque \(\iota(k)>0\) y \(\iota(k)=\iota(k)\iota(1)\). Como ambos denominadores son positivos, el criterio estricto de comparación cruzada convierte esta desigualdad en
\[ q<\nu(1). \]
Supongamos ahora \(a>0\). La forma normal con signo en \(\mathbb Z\) obliga a que exista \(m\in\mathbb N\), \(m\neq0\), con
\[ a=\iota(m). \]
Tomemos
\[ n:=S(m). \]
Como \(k\neq0\), el teorema de predecesor da \(r\in\mathbb N\) con \(k=S(r)\). Por las leyes de la suma natural,
\[ k=1+r. \]
Entonces
\[ kn=(1+r)n=n+rn, \]
de modo que
\[ n\leq kn. \]
Además \(m<S(m)=n\). Por transitividad,
\[ m<kn. \]
La relación \(m<kn\) significa \(m\leq kn\) y \(m\neq kn\). La incrustación \(\iota:\mathbb N\to\mathbb Z\) preserva la desigualdad no estricta y, por su inyectividad, preserva también esta desigualdad estricta; por tanto
\[ a=\iota(m)<\iota(kn). \]
Como \(\iota\) preserva productos,
\[ \iota(kn)=\iota(k)\iota(n). \]
El denominador \(\iota(k)\) es positivo, así que el criterio estricto de comparación cruzada da
\[ q = \frac{\iota(m)}{\iota(k)} < \frac{\iota(n)}{1} = \nu(n). \]
En ambos casos se encuentra el natural requerido. ∎
3.9. Incompletitud de \(\mathbb Q\)
La densidad y la propiedad arquimediana muestran que \(\mathbb Q\) es un sistema ordenado extraordinariamente rico, pero no muestran que todo corte producido por el orden corresponda a un racional. Para exhibir una falla concreta de completitud estudiaremos el lugar que debería ocupar una raíz cuadrada positiva de \(2\).
No presupondremos la existencia de tal raíz. Primero demostraremos que ningún racional puede tener cuadrado igual a \(2\); después construiremos un subconjunto racional acotado que no posee supremo racional.
Notación 3.9.1 — El número dos en los tres sistemas
Definimos
\[ 2_{\mathbb N}:=S(1)=1+1, \]
\[ 2_{\mathbb Z}:=\iota_{\mathbb N}^{\mathbb Z}(2_{\mathbb N}), \]
y
\[ 2_{\mathbb Q}:=\jmath_{\mathbb Z}^{\mathbb Q}(2_{\mathbb Z}). \]
Mientras no se adopten convenciones explícitas de identificación, los subíndices recuerdan el sistema al que pertenece cada objeto. Cuando el tipo sea inequívoco dentro de una fórmula o argumento, podremos omitir el subíndice correspondiente; esa omisión será tipográfica y no una identificación conjuntista.
Definición 3.9.2 — Paridad natural
Glosario: paridad natural
Un natural \(n\) es par si existe \(k\in\mathbb N\) tal que
\[ n=2_{\mathbb N}k. \]
Es impar si existe \(k\in\mathbb N\) tal que
\[ n=2_{\mathbb N}k+1. \]
Lema 3.9.3 — Dicotomía de paridad
Todo \(n\in\mathbb N\) es exactamente una de estas dos cosas: par o impar.
Demostración.
Demostramos por inducción la afirmación conjunta «\(n\) es par o impar, pero no ambas cosas».
Para \(n=0\), tenemos \(0=2_{\mathbb N}\cdot0\), así que \(0\) es par. No puede ser impar: una igualdad \(0=2k+1\) expresaría \(0\) como sucesor, contradiciendo las propiedades de Peano.
Supongamos la afirmación para \(n\).
Caso 1: \(n\) es par. Escribimos \(n=2k\). Entonces \(S(n)=2k+1\), por lo que \(S(n)\) es impar. Supongamos que también fuera par: \(S(n)=2r\). No puede ser \(r=0\), porque un sucesor no es \(0\). Como todo natural no nulo es sucesor, \(r=S(t)\) para algún \(t\). Usando las leyes de la aritmética natural,
\[ 2r=2S(t)=S(2t+1). \]
De \(S(n)=S(2t+1)\) y la inyectividad del sucesor se sigue \(n=2t+1\), de modo que \(n\) sería impar, contradicción.
Caso 2: \(n\) es impar. Escribimos
\[ n=2k+1=S(2k). \]
Entonces
\[ S(n)=S(S(2k))=2S(k), \]
por lo que \(S(n)\) es par. Si también fuera impar, existiría \(r\) con \(S(n)=2r+1=S(2r)\). La inyectividad del sucesor daría \(n=2r\), haciendo par a \(n\), contradicción.
Por inducción, la dicotomía es válida para todo natural. ∎
Lema 3.9.4 — Si un cuadrado natural es par, su raíz es par
Si \(n\in\mathbb N\) y \(n^2\) es par, entonces \(n\) es par.
Demostración.
Por el Lema 3.9.3, \(n\) es par o impar. Supongamos que fuera impar:
\[ n=2k+1. \]
Entonces, expandiendo con distributividad,
\[ \begin{aligned} n^2 &=(2k+1)^2\\ &=(2k)^2+2(2k)+1\\ &=2\bigl(2k^2+2k\bigr)+1. \end{aligned} \]
Así \(n^2\) sería impar. Pero por hipótesis es par, contradiciendo la exclusión mutua del Lema 3.9.3. Por tanto \(n\) es par. ∎
Teorema 3.9.5 — No existe una raíz cuadrada racional de \(2\)
No existe \(q\in\mathbb Q\) tal que
\[ \boxed{q^2=2_{\mathbb Q}.} \]
Demostración.
Supongamos que existe \(q\) con \(q^2=2_{\mathbb Q}\). Por el Lema 3.7.1 podemos escribir
\[ q=\frac a{\iota(n)} \]
con \(n\neq0\). El numerador \(a\) no puede ser \(0_{\mathbb Z}\), pues entonces \(q^2=0_{\mathbb Q}\neq2_{\mathbb Q}\).
Por la forma normal con signo de los enteros, existe \(m\in\mathbb N\), \(m\neq0\), tal que
\[ a=\iota(m) \qquad\text{o}\qquad a=-\iota(m). \]
En ambos casos \(a^2=\iota(m^2)\). El criterio de igualdad racional aplicado a \(q^2=2_{\mathbb Q}\), junto con que \(\iota\) preserva productos y es inyectiva, da
\[ \boxed{m^2=2n^2.} \]
Probaremos por inducción fuerte sobre \(n\) la afirmación \(P(n)\):
si \(n\neq0\), no existe \(m\neq0\) tal que \(m^2=2n^2\).
Fijemos \(n\) y supongamos \(P(s)\) para todo \(s<n\). Supongamos, buscando contradicción, que existen \(n,m\neq0\) con
\[ m^2=2n^2. \]
Entonces \(m^2\) es par; por el Lema 3.9.4, \(m\) es par. Escribimos
\[ m=2r. \]
Como \(m\neq0\), también \(r\neq0\). Sustituyendo y cancelando el factor \(2\) mediante la cancelación multiplicativa en \(\mathbb Z\) después de aplicar la incrustación natural, obtenemos
\[ 2r^2=n^2. \]
Por tanto \(n^2\) es par y el Lema 3.9.4 da
\[ n=2s \]
con \(s\neq0\). Sustituyendo y cancelando nuevamente,
\[ r^2=2s^2. \]
Además \(s<n\). En efecto, como \(s\neq0\), el teorema de predecesor da \(s=S(t)\) para algún \(t\), y
\[ n=2s=s+s=s+S(t). \]
Por el Lema 1.6.11 — Incremento positivo, \(s\in n\), y el Teorema 1.6.12 — Orden estricto y pertenencia concluye \(s<n\).
La hipótesis inductiva \(P(s)\) prohíbe entonces la existencia del testigo no nulo \(r\) con \(r^2=2s^2\). Contradicción.
Por la inducción fuerte constructivamente demostrada, \(P(n)\) vale para todo \(n\). Esto contradice la pareja no nula \(m,n\) obtenida de \(q\). Por tanto no existe racional cuyo cuadrado sea \(2_{\mathbb Q}\). ∎
Lema 3.9.6 — Estricta monotonía del cuadrado en los racionales no negativos
Si
\[ 0_{\mathbb Q}\leq x<y, \]
entonces
\[ \boxed{x^2<y^2.} \]
Demostración.
De \(x<y\), la compatibilidad del orden con la suma aplicada a \(-x\) da \(0_{\mathbb Q}\leq y-x\). Si \(y-x=0_{\mathbb Q}\), sumando \(x\) se obtendría \(y=x\), contradicción. Por tanto \(0<y-x\).
Como \(0\leq x<y\), también \(0<y\) y por tanto \(0<y+x\). La positividad del producto de racionales positivos da
\[ 0<(y-x)(y+x). \]
Por las leyes del cuerpo,
\[ (y-x)(y+x)=y^2-x^2. \]
Así \(0<y^2-x^2\). En particular \(x^2\leq y^2\). Si fueran iguales, la diferencia sería \(0\), contradicción. Luego \(x^2<y^2\). ∎
Definición 3.9.7 — El conjunto racional asociado a \(x^2<2\)
Definimos
\[ \boxed{ S_2:=\left\{q\in\mathbb Q:0_{\mathbb Q}\leq q\ \text{y}\ q^2<2_{\mathbb Q}\right\}. } \]
El conjunto existe por separación.
Proposición 3.9.8 — \(S_2\) es no vacío y está acotado superiormente
El conjunto \(S_2\) contiene a \(1_{\mathbb Q}\) y \(2_{\mathbb Q}\) es una cota superior de \(S_2\).
Demostración.
Como \(0<1<2\) en \(\mathbb N\) y la incrustación natural preserva el orden,
\[ 0_{\mathbb Q}<1_{\mathbb Q}<2_{\mathbb Q}. \]
Además \(1_{\mathbb Q}^2=1_{\mathbb Q}<2_{\mathbb Q}\), por lo que \(1_{\mathbb Q}\in S_2\).
Sea ahora \(q\in S_2\). Supongamos, buscando contradicción, que \(2_{\mathbb Q}\leq q\). Tenemos \(0<2_{\mathbb Q}\) y \(0\leq q\). La compatibilidad multiplicativa del orden produce sucesivamente
\[ 2_{\mathbb Q}^2\leq2_{\mathbb Q}q\leq q^2. \]
Por otra parte, como \(1_{\mathbb Q}<2_{\mathbb Q}\) y \(2_{\mathbb Q}>0\), el escalamiento estricto por un factor positivo da
\[ 2_{\mathbb Q}=1_{\mathbb Q}2_{\mathbb Q}<2_{\mathbb Q}2_{\mathbb Q}=2_{\mathbb Q}^2. \]
Por tanto \(2_{\mathbb Q}<q^2\), contradiciendo \(q^2<2_{\mathbb Q}\). Luego \(q<2_{\mathbb Q}\), y en particular \(q\leq2_{\mathbb Q}\). Así \(2_{\mathbb Q}\) es cota superior. ∎
Teorema 3.9.9 — \(S_2\) no posee supremo racional
Glosario: incompletitud de \(\mathbb Q\)
El subconjunto \(S_2\subseteq\mathbb Q\) es no vacío y está acotado superiormente, pero no existe \(s\in\mathbb Q\) tal que
\[ \boxed{s=\sup S_2.} \]
Demostración.
La no vacuidad y acotación fueron demostradas en la Proposición 3.9.8. Supongamos que existe \(s=\sup S_2\).
Como \(1_{\mathbb Q}\in S_2\), tenemos \(1_{\mathbb Q}\leq s\). En particular \(s>0\). Por el Teorema 3.9.5,
\[ s^2\neq2_{\mathbb Q}. \]
Como \(s^2\neq2_{\mathbb Q}\) y la tricotomía racional es decidible, quedan exactamente dos casos.
Caso 1: \(s^2<2\). Definimos
\[ \delta:=2-s^2>0 \]
y
\[ h:=\frac{\delta}{2(s+1)}. \]
Como \(s\geq1\), tenemos \(s+1>0\), y el denominador \(2(s+1)\) es positivo; su recíproco es positivo, de modo que \(h>0\).
Además \(s\geq1\) y \(s\geq0\). Multiplicando \(1\leq s\) por el factor no negativo \(s\) obtenemos \(s\leq s^2\). Junto con \(1\leq s\) resulta \(1\leq s^2\), y por tanto
\[ 0<\delta=2-s^2\leq1. \]
Asimismo, \(s\geq1\) implica \(s+1>1\), de donde
\[ 1<s+1<2(s+1). \]
En consecuencia,
\[ 0<\delta\leq1<2(s+1). \]
Multiplicando por el recíproco positivo de \(2(s+1)\) obtenemos \(0<h<1\). Entonces
\[ 2s+h<2s+1<2(s+1). \]
Multiplicando por \(h>0\),
\[ h(2s+h)<2h(s+1)=\delta. \]
Por consiguiente,
\[ \begin{aligned} (s+h)^2 &=s^2+2sh+h^2\\ &=s^2+h(2s+h)\\ &<s^2+\delta\\ &=2. \end{aligned} \]
Además \(s+h>s\geq0\). Por tanto \(s+h\in S_2\), contradiciendo que \(s\) sea cota superior.
Caso 2: \(2<s^2\). Definimos
\[ \delta:=s^2-2>0 \]
y nuevamente
\[ h:=\frac{\delta}{2(s+1)}. \]
Como antes, \(h>0\). Además, como \(2>0\), \(\delta=s^2-2<s^2\). De \(s<s+1\) y \(s>0\), el escalamiento estricto da
\[ s^2<s(s+1). \]
Como \(s(s+1)>0\) y \(1<2\), otro escalamiento estricto produce
\[ s(s+1)<2s(s+1). \]
Por transitividad,
\[ \delta<2s(s+1). \]
El factor \(2(s+1)\) es positivo, y también lo es su recíproco. Multiplicando por ese recíproco obtenemos
\[ h<s. \]
Así \(s-h>0\). Ahora
\[ 2s-h<2s<2(s+1), \]
y al multiplicar por \(h>0\),
\[ h(2s-h)<2h(s+1)=\delta. \]
Por tanto
\[ \begin{aligned} (s-h)^2 &=s^2-2sh+h^2\\ &=s^2-h(2s-h)\\ &>s^2-\delta\\ &=2. \end{aligned} \]
Afirmamos que \(s-h\) es todavía una cota superior de \(S_2\). Sea \(x\in S_2\). Si \(x>s-h\), entonces \(0\leq s-h<x\), y el Lema 3.9.6 daría
\[ (s-h)^2<x^2<2, \]
contradiciendo \((s-h)^2>2\). Luego todo \(x\in S_2\) satisface \(x\leq s-h\). Así \(s-h\) es una cota superior de \(S_2\) estrictamente menor que \(s\), contradiciendo que \(s\) sea la menor cota superior.
Ambos casos son imposibles. Por tanto \(S_2\) no tiene supremo en \(\mathbb Q\). ∎
Este resultado identifica el problema que obligará a construir los números reales. El fallo de \(\mathbb Q\) no consiste en una pobreza local —entre dos racionales siempre hay otro— ni en falta de alcance arquimediano. Consiste en que ciertos subconjuntos no vacíos y acotados superiormente determinan una frontera que no pertenece al propio sistema.
3.10. Qué hemos construido
Partimos del conjunto de representantes
\[ D_{\mathbb Q} = \mathbb Z\times\mathbb Z_{\neq0} \]
y de la equivalencia
\[ (a,b)\sim_{\mathbb Q}(c,d) \iff ad=bc. \]
El cociente
\[ \boxed{ \mathbb Q = D_{\mathbb Q}/{\sim_{\mathbb Q}} } \]
admite la notación legítima
\[ \frac ab=[(a,b)]_{\mathbb Q}. \]
Las operaciones son
\[ \frac ab+\frac cd = \frac{ad+bc}{bd}, \]
\[ -\frac ab = \frac{-a}{b}, \]
\[ \frac ab\frac cd = \frac{ac}{bd}, \]
y, para \(a\neq0\),
\[ \left(\frac ab\right)^{-1} = \frac ba. \]
Se ha demostrado que \(\mathbb Q\) es un cuerpo. La incrustación
\[ \jmath_{\mathbb Z}^{\mathbb Q}(a)=\frac a1 \]
es inyectiva y preserva \(0\), \(1\), suma, producto, opuesto y orden. La composición
\[ \nu_{\mathbb N}^{\mathbb Q} = \jmath_{\mathbb Z}^{\mathbb Q} \circ \iota_{\mathbb N}^{\mathbb Z} \]
incorpora de manera canónica la aritmética natural.
El orden racional se reconoce, para denominadores positivos, mediante
\[ \frac ab\leq_{\mathbb Q}\frac cd \iff ad\leq_{\mathbb Z}bc. \]
Es un orden total compatible con las operaciones. Además:
\[ x<y \Longrightarrow \exists z\in\mathbb Q\;(x<z<y), \]
y para todo \(q\in\mathbb Q\) existe \(n\in\mathbb N\) con
\[ q<\nu(n). \]
Sin embargo, el conjunto
\[ S_2 = \{q\in\mathbb Q:0\leq q,\ q^2<2\} \]
es no vacío y acotado superiormente, pero no posee supremo en \(\mathbb Q\).
Ésta es la primera aparición formal del problema de la completitud.
3.11. Notas bibliográficas
Este capítulo no importa ningún teorema externo; todas las demostraciones son internas al desarrollo del tratado.
- Landau sirve como contraste para la extensión de \(\mathbb Z\) a \(\mathbb Q\) y para la disciplina algebraica de las fracciones.
- Tao sirve como contraste para la construcción de racionales como clases de equivalencia, para las pruebas de buena definición y para la transición hacia completitud.
- Garling orienta la continuidad estructural entre cuerpos ordenados, propiedad arquimediana y análisis real.
- Conway permanece especialmente relevante para la próxima etapa de completitud y, más adelante, para la construcción de Dedekind.
Las demostraciones y la arquitectura local son propias. No se utiliza el axioma de elección.
3.12. Hacia los números reales
Los racionales proporcionan ya un cuerpo provisto de un orden total compatible con la suma y el producto; además, su orden es denso y satisface la propiedad arquimediana. Sin embargo, el conjunto
\[ S_2=\{q\in\mathbb Q:0\leq q\ \text{y}\ q^2<2\} \]
ha mostrado una carencia decisiva: aunque es no vacío y está acotado superiormente, no posee supremo en \(\mathbb Q\).
Éste es el primer punto en que el problema de la completitud deja de ser una intuición y se convierte en una necesidad matemática concreta. Antes de construir los reales convendrá abstraer las propiedades algebraicas y de orden que ya conocemos, introducir las herramientas elementales que utilizaremos después —entre ellas valor absoluto e intervalos— y formular con precisión qué significa completar un sistema como \(\mathbb Q\).
A partir de allí el tratado seguirá dos caminos independientes:
\[ \mathbb Q \longrightarrow \begin{cases} \text{cortaduras de Dedekind},\\[2mm] \text{sucesiones de Cauchy}, \end{cases} \longrightarrow \mathbb R. \]
Las dos construcciones deberán realizarse desde sus propios datos y sólo después se demostrará, una vez formulada la caracterización estructural pertinente, que determinan la misma estructura real.
Con §3.12 queda cerrado el Capítulo 3 — Los números racionales. Hemos construido \(\mathbb Q\) como cuerpo ordenado, denso y arquimediano, y hemos aislado una falla concreta de completitud que obliga a ampliar el sistema. La publicación continúa en el Capítulo 4 — Cuerpos ordenados y el problema de la completitud, donde se abstraerá la estructura necesaria antes de construir los números reales.