Geometría plana y del espacio
Geometría plana y del espacio
Jorge Wentworth y David Eugenio Smith
Edición digital abierta en curso. Esta página reproduce de manera literal los fragmentos ya transcritos y cotejados del ejemplar físico de 1915. La ortografía, la puntuación, las grafías históricas y la notación del impreso se conservan; las fotografías del ejemplar funcionan como autoridad visual.
Sobre esta edición
Serie: Serie Matemática Wentworth y Smith
Editorial: Ginn y Compañía
Ciudades impresas: Boston · Nueva York · Chicago · Londres
Copyright impreso: 1915
Estado de la transcripción: preliminares e Introducción, pp. 1–6
La edición de Matemática Abierta parte del ejemplar físico fotografiado. El texto se transcribe literalmente: no se modernizan formas históricas, no se corrigen silenciosamente erratas y no se reconstruye texto que no sea visible.
Las ilustraciones se incorporan aisladas dentro del texto, en el punto donde cumplen una función matemática. La página pública no muestra facsímiles completos: se conserva una lectura limpia y las figuras se presentan separadas del resto de la página original.
Criterio de edición
- Se preservan literalmente palabras, ortografía, acentuación, puntuación, mayúsculas y formas históricas.
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- Los saltos de línea puramente tipográficos pueden recomponerse en párrafos; los guiones de partición se resuelven únicamente cuando son inequívocos.
Preliminares
Portada
SERIE MATEMÁTICA WENTWORTH Y SMITH
GEOMETRÍA
PLANA Y DEL ESPACIO
POR
JORGE WENTWORTH
Y
DAVID EUGENIO SMITH
GINN Y COMPAÑÍA
BOSTON · NUEVA YORK · CHICAGO · LONDRES
Página de copyright
COPYRIGHT, 1915, BY GEORGE WENTWORTH
AND DAVID EUGENE SMITH
PRINTED IN THE UNITED STATES OF AMERICA
625.11
ES PROPIEDAD
Quedan hechos el depósito y el correspondiente registro que ordena la ley para la protección de esta obra. En todos los países los autores se reservan todos los derechos, incluso el de traducción.
Prefacio
Al preparar la edición de que se ha hecho la presente traducción, nos hemos guiado por ciertos principios generales y por las conclusiones a que, tras detenido estudio de los mejores textos y métodos de enseñanza empleados en los varios países de lengua castellana, hemos llegado respecto a las necesidades de sus escuelas. Bueno será exponer sucintamente los rasgos distintivos de esta obra.
Hoy se reconoce universalmente que los estudios geométricos son de importancia tal, que deben formar parte de todo plan racional de enseñanza. No es ya la geometría ciencia que sólo estudian los eruditos ni que se enseña sólo a alumnos de inteligencia privilegiada o de excepcionales aspiraciones. Mas, por lo mismo que debe enseñarse a mayor número de alumnos y a alumnos de toda condición, es preciso exponerla de conformidad con los últimos principios de la pedagogía moderna. Ha sido nuestro propósito, que nos hemos esmerado en llevar a cabo, juntar al rigor de la lógica la sencillez que la claridad exige, y hemos dado a la página una forma especial que no sólo presenta mejor apariencia sino que pone de manifiesto al alumno los diferentes pasos que ordenadamente se van dando, sea en la demostración de un principio general, sea en la resolución de un problema.
Para que el discípulo adquiera el hábito de dar las demostraciones en toda su plenitud, se ha adoptado el plan de darlas al principio en esa forma. No hay peligro de que esto produzca la idea de que basta aprenderlas de memoria, ni es ése su objeto. El gran número de ejercicios diseminados en todo el texto sirven para poner a prueba los conocimientos é inteligencia del alumno, quien no podrá resolverlos sin haber comprendido bien los teoremas en que se fundan o las operaciones que exigen. Estos ejercicios son al principio de suma sencillez, y aumentan en dificultad de manera tan gradual, que el alumno apenas si se da cuenta de los grandes progresos que va haciendo. Se ha dado gran número de ellos, no para que se estudien todos, sino para que el maestro tenga dónde escoger los que mejor se adapten a su plan de enseñanza y a las necesidades de sus alumnos.
Las definiciones se van dando a medida que se van necesitando. La introducción contiene algunos problemas sencillos, cuyo objeto es acostumbrar al estudiante al uso de los instrumentos principales de dibujo. Hácese también uso frecuente del álgebra elemental, para hacer ver las útiles aplicaciones de esta ciencia.
El arreglo de las proposiciones está fundado en el de los textos mejores de todos los países. La experiencia de muchos años y de millares de escuelas ha demostrado sus grandes ventajas.
El traductor ha adoptado algunos términos y expresiones, como perpendicular bisectriz y bisectar (la Academia trae bisecar), que, si bien inusitados o poco usados en castellano, son de indisputable utilidad y no pueden tacharse de incorrectos. También ha seguido el sistema inglés y norteamericano de escribir las abreviaturas referentes a decimales después del número completo y no después de los enteros : 4,36 km., y no 4km, 36.
Abrigamos la esperanza de que nuestra humilde obra reciba en los países de lengua castellana la buena acogida que ha tenido en los de lengua inglesa.
JORGE WENTWORTH
DAVID EUGENIO SMITH
Tabla general de materias
GEOMETRÍA PLANA
INTRODUCCIÓN …………………………………. 1
LIBRO I. FIGURAS RECTILÍNEAS …………………… 25
TRIÁNGULOS …………………………………… 26
PARALELAS ……………………………………. 46
CUADRILÁTEROS ………………………………… 59
POLÍGONOS ……………………………………. 68
LUGARES GEOMÉTRICOS …………………………… 73
LIBRO II. EL CÍRCULO ………………………….. 93
TEOREMAS …………………………………….. 94
PROBLEMAS ……………………………………. 126
LIBRO III. PROPORCIONES Y POLÍGONOS SEMEJANTES …… 151
TEOREMAS …………………………………….. 152
PROBLEMAS ……………………………………. 182
LIBRO IV. ÁREA DE LOS POLÍGONOS ………………… 191
TEOREMAS …………………………………….. 192
PROBLEMAS ……………………………………. 214
LIBRO V. POLÍGONOS REGULARES Y CÍRCULOS …………. 227
TEOREMAS …………………………………….. 228
PROBLEMAS ……………………………………. 242
APÉNDICE …………………………………….. 261
SIMETRÍA …………………………………….. 261
MÁXIMOS Y MÍNIMOS …………………………….. 265
GEOMETRÍA DEL ESPACIO
LIBRO VI. RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO …………. 273
RECTAS Y PLANOS ……………………………….. 273
ÁNGULOS DIEDROS ……………………………….. 293
ÁNGULOS POLIEDROS ……………………………… 306
EJERCICIOS ……………………………………. 314
LIBRO VII. POLIEDROS, CILINDROS Y CONOS ………….. 317
POLIEDROS …………………………………….. 317
PRISMAS ………………………………………. 317
PARALELEPÍPEDOS ……………………………….. 325
PIRÁMIDES …………………………………….. 337
POLIEDROS REGULARES ……………………………. 350
CILINDROS …………………………………….. 353
CONOS ………………………………………… 362
EJERCICIOS ……………………………………. 375
LIBRO VIII. LA ESFERA ………………………….. 381
LA ESFERA …………………………………….. 381
SECCIONES PLANAS Y PLANOS TANGENTES ……………… 382
POLÍGONOS ESFÉRICOS ……………………………. 392
ÁREA DE LAS SUPERFICIES ESFÉRICAS ……………….. 410
VOLUMEN DE LOS SÓLIDOS ESFÉRICOS ………………… 421
EJERCICIOS ……………………………………. 424
APÉNDICE ……………………………………… 431
POLIEDROS …………………………………….. 432
SEGMENTOS ESFÉRICOS ……………………………. 444
SOFISMAS RECREATIVOS …………………………… 449
BOSQUEJO HISTÓRICO DE LA GEOMETRÍA ………………. 453
FÓRMULAS COMUNES ………………………………. 458
ÍNDICE ALFABÉTICO ……………………………… 461
Abreviaturas y símbolos
| Circumf. | circunferencia. |
| Constr. | construcción. |
| Fig. | figura. |
| Hipót. | hipótesis. |
| Ident. | identidad. |
| L.C.D.D. | lo cual debíamos demostrar. |
| N.º | número. |
| Prop. | proposición. |
| rt. | recto, rectos. |
| > | mayor que. |
| < | menor que. |
| ∥ | paralelo, paralela. |
| ⊥ | perpendicular. |
| ∠ | ángulo, el ángulo. |
| △ | triángulo, el triángulo. |
| ▱ | paralelogramo. |
| ▭ | rectángulo. |
| ⊙ | círculo. |
| ∴ | luego, de donde. |
El plural de una palabra representada por un símbolo se indica poniendo una s al símbolo : ∠s, ángulos, los ángulos ; ⊥s, perpendiculares ; ∥s, paralelos, paralelas ; △s, triángulos, los triángulos.
Geometría plana — Introducción
1. Carácter de la aritmética
En la aritmética se estudian los cálculos numéricos. Hácese a veces uso de las fórmulas ; mas el objeto de la aritmética no es tanto el establecerlas como el enseñar a ejecutar las operaciones necesarias para aplicarlas.
2. Carácter del álgebra
En el álgebra se generalizan las cuestiones de aritmética, y por lo común se expresan las reglas y teoremas por medio de fórmulas. Así, en vez de decir que el área de un rectángulo es igual al producto de la base por la altura, se establece la fórmula
\[ A = bh. \]
Aun cuando la aritmética se vale algunas veces de las ecuaciones, no lo hace tan a menudo como el álgebra, que resuelve casi todo problema por medio de ellas. En resumen, el álgebra es una extensión y generalización de la aritmética.
3. Carácter de la geometría
Vamos ahora a entrar en un ramo de las matemáticas que difiere radicalmente de la aritmética y el álgebra ; ramo que, si bien hace uso frecuente de cálculos numéricos, ecuaciones y fórmulas, tiene por objeto principal el estudio de las formas o figuras, tales como rectángulos, triángulos y círculos, de que la aritmética y el álgebra no dan más que ideas muy generales, y cuyas propiedades se enuncian en estas ciencias, pero no se demuestran. Toca a la geometría dar demostraciones de tales propiedades : así, ella demuestra rigurosamente que el cuadrado construído sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados construídos sobre los catetos.
4. Cuerpo
El bloque que aquí se representa es un cuerpo; es una porción limitada de materia. La geometría, sin embargo, no tiene nada que ver con la sustancia de que los cuerpos se componen; ella se ocupa únicamente de la forma y el tamaño de los cuerpos, tales como los representa la segunda de estas dos figuras. Considerados desde este punto de vista, los cuerpos se llaman cuerpos geométricos, o sólidos geométricos.
Figuras del n.º 4: cuerpo físico y sólido geométrico.
Por ejemplo, una varilla es un cuerpo físico: si se introduce en greda, el agujero que deja, aun cuando esté vacío, es un cuerpo o sólido geométrico.
5. Sólido geométrico
Llámase pues sólido geométrico, o sólido brevemente, un espacio limitado cualquiera. El nombre, como se dijo en el número anterior, se aplica con igual propiedad sea que este espacio esté del todo vacío, sea que esté ocupado por alguna sustancia.
6. Dimensiones
El sólido del n.º 4 tiene tres dimensiones bien definidas, a saber :
la longitud, que puede medirse de A a D;
la anchura, que puede medirse de A a B;
la profundidad o altura, que puede medirse de A a E.
Dícese en general que todo sólido tiene tres dimensiones, aunque en algunos, como en una bola (esfera) o en un sólido de la forma de una manzana, no puede con propiedad decirse que tienen longitud, anchura y profundidad. Sin embargo, de todo sólido puede cortarse o sacarse un bloque de la forma representada en el n.º 4, en que las tres dimensiones se ven con toda claridad.
7. Superficie
El sólido del n.º 4 tiene seis caras, cada una de las cuales es una superficie. Si estas caras se pulen y alisan de modo que una regla puesta sobre una de ellas toque todos sus puntos en contacto con la superficie, las caras se llaman superficies planas, o planos.
Estas superficies son los límites del sólido. Carecen de espesor, lo mismo que la sombra de un objeto. El espesor de una lámina de oro puede ser tan pequeño que no sea posible ni percibirlo ; sin embargo, la lámina es un sólido limitado por superficies y que tiene por tanto tres dimensiones. Reduciendo el espesor hasta hacerlo casi nulo nos aproximamos a lo que en geometría se entiende por superficie, esto es, a algo que carece en absoluto de espesor.
En general, dase el nombre de superficie al límite de los sólidos. Para expresar que las superficies carecen de espesor, se dice que tienen sólo dos dimensiones.
8. Línea
Vese en el sólido del n.º 4 que cada dos superficies contiguas se cortan en una línea. Así pues, se da el nombre de línea al límite de una superficie.
La línea tiene sólo una dimensión, a saber: longitud. No tiene ni espesor ni anchura.
Un hilo, por delgado que sea, tiene tres dimensiones, y es por tanto un sólido, no una línea. Si el grueso del hilo se reduce sin cesar, el hilo se aproxima más y más a lo que la geometría llama línea, si bien nunca puede llegar a ser una verdadera línea.
9. Magnitudes geométricas
Los sólidos, las superficies y las líneas se llaman magnitudes geométricas.
10. Punto
En el sólido del n.º 4, las líneas que se encuentran se encuentran en puntos. Como se ve, un punto es el límite de una línea, y carece a la vez de longitud, anchura y espesor.
Defínese también el punto diciendo que es lo que tiene posición solamente y carece de dimensiones.
El punto puede siempre concebirse o imaginarse, sea como el extremo de una línea, sea como la intersección de dos líneas. Asimismo, la intersección de dos superficies es una línea.
11. Representación del punto y de las magnitudes geométricas
El punto y las magnitudes geométricas se representan en el papel por medio de dibujos, o figuras.
Un punto se representa por una ligera marca, como indica P en esta figura.
Una línea se representa por una raya. Nómbrase por letras escritas en sus extremos, como AB.
Una superficie se representa por las líneas que la limitan, y se nombra por letras puestas en puntos convenientes de esas líneas, como se ve en ABCD.
Los sólidos se representan por las superficies que los limitan, como se ve en las figuras del n.º 4.
12. Generación de las magnitudes geométricas
Las magnitudes geométricas pueden suponerse engendradas así:
la línea por el movimiento de un punto;
la superficie por el movimiento de una línea;
el sólido por el movimiento de una superficie.
Supóngase que la superficie ABCD se mueve a la posición WXYZ, según indican las puntas de flecha. En este movimiento,
A engendra la línea AW;
AB engendra la superficie AWXB;
ABCD engendra el sólido AY.
Una línea no puede engendrar una superficie si sólo se desliza sobre sí misma, ni una superficie engendrar un sólido moviéndose de igual manera.
13. Figura geométrica
Llámase figura geométrica, o brevemente figura, todo punto, línea, superficie o sólido, o en general, toda combinación de puntos.
14. Definición y divisiones de la geometría
La geometría es la ciencia que trata de las figuras geométricas.
La geometría plana trata de las figuras planas, o sea de las figuras cuyas partes están todas en un mismo plano.
La geometría del espacio trata de las figuras que no son planas.
15. Línea recta
Llámase línea recta, o recta simplemente, toda línea tal que, si una parte cualquiera de ella se coloca de cualquier modo con sus extremos sobre otra parte cualquiera, las dos partes coinciden en todos sus puntos.
Por ejemplo, AB es una recta; porque si se toma una parte cualquiera de ella, como 1 centímetro, y se coloca de cualquier modo por sus extremos sobre otra parte, coincidirá en todos sus puntos con esa otra parte.
Con respecto a una recta, se denomina segmento una parte determinada cualquiera de esa recta.
16. Igualdad de las figuras geométricas
Dos segmentos de recta son iguales cuando pueden colocarse de tal modo que los extremos del uno coincidan con los extremos del otro.
En general, dícese que dos figuras cualesquiera son iguales cuando pueden hacerse coincidir en todos sus puntos.
17. Línea quebrada
Llámase línea quebrada la que se compone de dos o más rectas distintas.
La línea CD es una línea quebrada.
18. Figura rectilínea
Llámase figura rectilínea la que se compone de líneas rectas.
Por ejemplo, ABCD es una figura rectilínea.
19. Línea curva
Llámase línea curva, o brevemente curva, toda línea que no es recta ni tiene partes rectas.
Por ejemplo, EF es una curva.
20. Figura curvilínea
Llámase figura curvilínea la que se compone de una o más líneas curvas.
Por ejemplo, el círculo O es una figura curvilínea, cuya forma es bien conocida.
Cuando se trata de una superficie limitada por curvas, tanto la superficie misma como el conjunto de las curvas que la limitan se llaman figuras curvilíneas.
21. Ángulo
Llámase ángulo la abertura entre dos rectas que se encuentran.
Las dos rectas que se encuentran se llaman lados del ángulo, y el punto en que se encuentran, vértice del ángulo.
Un ángulo puede nombrarse por tres letras, una escrita en cada uno de los lados, y la otra en el vértice. La del vértice se nombra entre las otras dos : ángulo AOB. También se nombra un ángulo por medio de una letra puesta en el vértice: ángulo O ; o entre los lados del ángulo : ángulo m. A veces, para mayor claridad, se traza una curva entre los lados del ángulo, y sobre ella se escribe la letra, como se ve en m.
22. Tamaño o magnitud de un ángulo
La magnitud de un ángulo depende únicamente de la magnitud del movimiento necesario para llevar un lado, haciéndolo girar sobre el vértice, a la posición del otro. Este movimiento se llama rotación.
Un ángulo es mayor que otro cuando la rotación es mayor en aquél que en éste. Así, para las tres aberturas del compás aquí representado, el primer ángulo es menor que el segundo, y el segundo menor que el tercero. La longitud de los lados no afecta la magnitud de un ángulo.
23. Igualdad de los ángulos
Dos ángulos son iguales cuando el uno puede colocarse sobre el otro de manera que los vértices coincidan y los lados del uno queden sobre los del otro.
Por ejemplo, los ángulos AOB y A′O′B′ son iguales.
24. Bisector, bisectriz
El adjetivo bisector (femenino bisectriz) se aplica a todo punto, línea o plano que divide una figura en dos partes iguales. En el caso de la recta, la palabra bisectriz se emplea como sustantivo, y así se dice la bisectriz de un ángulo en vez de la línea bisectriz.
En esta figura, M, punto medio de AB, es el punto bisector de AB.
Estado de la publicación
Esta primera entrada pública incorpora todo lo transcrito y cotejado hasta la página 6 de la Introducción. La obra continuará creciendo de forma progresiva a medida que se incorporen nuevas páginas del ejemplar.