Spivak, Calculus — Capítulo 1: propiedades básicas de los números

Solucionario explicado independiente · 4.ª edición

Resoluciones originales y comentarios pedagógicos de los 25 ejercicios del capítulo 1 de Calculus (4.ª edición).

NotaSobre esta edición

Material de estudio independiente y no oficial, elaborado por Matemática Abierta. Los enunciados se formulan de manera propia; las explicaciones y demostraciones son originales. El libro de Michael Spivak y las respuestas publicadas por su editorial mantienen sus derechos. Esta página no reproduce el PDF del libro ni el solucionario oficial, ni cuenta con el aval de su editorial. Los ejercicios se identifican según la cuarta edición, capítulo 1, páginas impresas 13–20.

Las 96 unidades han pasado comprobación matemática interna; no se presenta esta comprobación como dictamen externo. La justificación de raíces y potencias reales se desarrolla en el anexo final, distinguiendo los axiomas de campo ordenado de la completitud de los reales.

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Referencia bibliográfica: Michael Spivak, Calculus, 4.ª ed., capítulo 1, pp. 13–20.

SPV4-C01-E001 — Propiedades algebraicas (incisos i–vi)

Enunciado

Demuestra cada una de las siguientes afirmaciones para números reales, atendiendo a las condiciones especificadas:

1. Si \(a\ne0\) y \(ax=a\), entonces \(x=1\).

2. \(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\).

3. La igualdad \(x^2=y^2\) implica \(x=y\) o \(x=-y\).

4. \(x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)\).

5. Para cada entero \(n\ge1\), \(x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+\cdots+xy^{n-2}+y^{n-1})\), interpretando para \(n=1\) el segundo factor como \(1\).

6. \(x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)\). Usa, si resulta útil, el apartado (iv), y extiende la idea a \(x^n+y^n\) con \(n\) impar.

Qué se trabaja

Cancelación multiplicativa, factorización, producto nulo, diferencia de potencias y suma de potencias de exponente impar. La idea unificadora es convertir expresiones en productos para aprovechar propiedades ya justificadas de las operaciones.

Pistas graduadas por inciso

(i) Pista 1. Identifica qué factor se repite a ambos lados de \(ax=a\) y qué hipótesis permite cancelarlo. Pista 2. Multiplica la igualdad por el inverso de \(a\); después comprueba qué falla cuando \(a=0\).

(ii) Pista 1. Compara el desarrollo de un producto de dos binomios con la diferencia de cuadrados. Pista 2. Distribuye \((x-y)(x+y)\) y cancela los dos términos cruzados, justificando su igualdad por conmutatividad.

(iii) Pista 1. Lleva \(x^2=y^2\) a una igualdad con cero y usa el apartado (ii). Pista 2. Del producto \((x-y)(x+y)=0\), aplica el principio del producto nulo; no dividas por un factor que pudiera anularse.

(iv) Pista 1. Multiplica \(x-y\) por el trinomio propuesto y busca términos que se compensen. Pista 2. Escribe los seis monomios de la distribución antes de agruparlos: solo deben sobrevivir \(x^3\) y \(-y^3\).

(v) Pista 1. Denomina \(S_n\) a la suma de \(n\) términos e inspecciona la diferencia \(xS_n-yS_n\). Pista 2. Escribe ambas sumas alineadas, cancela los términos interiores y comprueba separadamente \(n=1\); no canceles el factor \(x-y\).

(vi) Pista 1. Relaciona una suma de potencias impares con una diferencia de potencias de una variable opuesta. Pista 2. Sustituye \(y\) por \(-y\) en (iv), y después en (v) para \(n\) impar; verifica el signo del último término.

Solución desarrollada

(i) Cancelación. Si \(a\ne0\) y \(ax=a\), existe \(a^{-1}\) con \(a^{-1}a=1\). Multiplicando ambos lados por \(a^{-1}\) y usando asociatividad,

\[ x=a^{-1}(ax)=a^{-1}a=1. \]

La condición \(a\ne0\) no es ornamental: si \(a=0\), la igualdad \(ax=a\) se cumple para cualquier \(x\) y no permite deducir \(x=1\).

(ii) Diferencia de cuadrados. La distributividad y la conmutatividad producen

\[ (x-y)(x+y)=x^2+xy-yx-y^2=x^2-y^2. \]

El mecanismo es la cancelación de los términos cruzados.

(iii) Igualdad de cuadrados. Si \(x^2=y^2\), el inciso (ii) da

\[ 0=x^2-y^2=(x-y)(x+y). \]

Justifiquemos el principio del producto nulo: si \(uv=0\) y \(u\ne0\), multiplicar por \(u^{-1}\) da \(v=0\); de otro modo, ya tenemos \(u=0\). Aplicado a los factores anteriores, \(x-y=0\) o \(x+y=0\), es decir,

\[x=y\quad\text{o}\quad x=-y.\]

La disyunción no tiene por qué ser exclusiva: si \(x=y=0\), ambas posibilidades ocurren.

(iv) Diferencia de cubos. Se distribuye sin omitir términos:

\[ \begin{aligned} (x-y)(x^2+xy+y^2) &=x^3+x^2y+xy^2-x^2y-xy^2-y^3\\ &=x^3-y^3. \end{aligned} \]

(v) Diferencia de potencias. Para \(n\ge2\) entero definimos

\[S_n=x^{n-1}+x^{n-2}y+\cdots+xy^{n-2}+y^{n-1}.\]

La estrategia es una cancelación telescópica. Al expandir,

\[ \begin{aligned} xS_n&=x^n+x^{n-1}y+\cdots+xy^{n-1},\\ yS_n&=x^{n-1}y+x^{n-2}y^2+\cdots+y^n. \end{aligned} \]

Restando, todos los términos interiores coinciden y desaparecen; quedan solo \(x^n\) y \(-y^n\). Por tanto,

\[\boxed{x^n-y^n=(x-y)\bigl(x^{n-1}+x^{n-2}y+\cdots+y^{n-1}\bigr).}\]

Para \(n=1\) la identidad adopta la forma trivial \(x-y=(x-y)\cdot1\); para \(n=2\), el factor sumado es exactamente \(S_2=x+y\). Los puntos suspensivos representan los \(n\) sumandos sucesivos, sin duplicar extremos. No se requiere dividir por \(x-y\), de modo que la factorización también es válida si \(x=y\).

(vi) Suma de cubos y generalización. En (iv) reemplazamos \(y\) por \(-y\). Puesto que \((-y)^3=-y^3\),

\[ \begin{aligned} x^3+y^3 &=x^3-(-y)^3\\ &=(x+y)\bigl(x^2+x(-y)+(-y)^2\bigr)\\ &=\boxed{(x+y)(x^2-xy+y^2)}. \end{aligned} \]

Más generalmente, si \(n\ge3\) es impar, \((-y)^n=-y^n\) y el inciso (v) permite obtener

\[ \boxed{x^n+y^n=(x+y)\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k x^{n-1-k}y^k.} \]

También se cumple para \(n=1\) con factor complementario \(1\). El signo del último término es positivo porque \(n-1\) es par. En esta fórmula, \(\sum\) significa la suma finita de los \(n\) términos indicados; es una abreviatura para la sucesión alternante de sumandos, notación desarrollada en el capítulo 2.

Comentario pedagógico

La regla «si dos expresiones son iguales, se puede cancelar» exige siempre identificar la operación y comprobar que se cumplen sus condiciones. En (i) cancelamos un factor solo porque no es cero. En (iii) no dividimos por \(x-y\), pues ese factor podría anularse. En (v) no dividimos por ningún factor: la factorización funciona incluso en los casos límite. El inciso (vi) muestra cómo un resultado previo se transforma en una nueva identidad mediante sustitución, en lugar de recomenzar desde cero.

Hipótesis y casos límite

Las pruebas emplean P1–P9; la positividad P10–P12 no interviene. El producto nulo se justifica mediante inversos, y la factorización de potencias mediante telescopaje sin dividir por \(x-y\). Conviene comprobar los casos \(n=1\) y \(n=2\). La suma de potencias impares se obtiene sustituyendo \(y\) por \(-y\).

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SPV4-C01-E002 — Detectar una cancelación ilegítima

Enunciado — formulación española propia

Examina el siguiente razonamiento, que pretende obtener \(2=1\) a partir de dos números iguales \(x=y\), y explica exactamente qué paso deja de ser válido:

\[ \begin{aligned} x&=y,\\ x^2&=xy,\\ x^2-y^2&=xy-y^2,\\ (x+y)(x-y)&=y(x-y),\\ x+y&=y,\\ 2y&=y,\\ 2&=1. \end{aligned} \]

Identifica la operación no autorizada, la condición que habría que verificar y explica qué ocurre en el caso \(x=y=0\).

Pista 1

La factorización de los dos miembros es correcta. Pregunta qué se ha hecho para pasar desde la igualdad de productos a la igualdad de sus factores restantes.

Pista 2

Comprueba el valor de \(x-y\) bajo la hipótesis inicial. Escribe la regla de cancelación multiplicativa junto con la hipótesis que la hace válida.

Qué se pide y estrategia

El ejercicio no busca resolver una ecuación: pretende descubrir un error de inferencia en una prueba aparentemente algebraica. Para localizarlo, se revisa cada transformación y se identifica el primer paso que no preserva necesariamente la verdad.

Solución desarrollada

Las primeras cuatro líneas son válidas. En efecto, de \(x=y\) se sigue \(x^2=xy\) multiplicando por \(x\); restar \(y^2\) a ambos lados y factorizar empleando la distributividad y la diferencia de cuadrados también son operaciones lícitas.

El paso problemático es

\[ (x+y)(x-y)=y(x-y) \quad\Longrightarrow\quad x+y=y. \]

Para efectuar esta cancelación habría que dividir ambos miembros por \(x-y\). Pero la hipótesis establece precisamente que \(x-y=0\). En realidad, la igualdad de productos precedente dice solo

\[ (x+y)\cdot0=y\cdot0, \]

es decir, \(0=0\), cualquiera que sean los valores de \(x+y\) e \(y\). No aporta información nueva sobre ellos. La implicación exhibida no está justificada y las líneas posteriores no constituyen una demostración.

Además, la última operación, de \(2y=y\) a \(2=1\), supone dividir por \(y\). Si \(y\ne0\), esa división sería lícita aisladamente, pero la premisa \(2y=y\) ya procede del paso inválido. Si \(x=y=0\), entonces \(2y=y\) se reduce a \(0=0\) y la última división también sería por cero. Por tanto, hay un primer error inevitable y, en el caso particular \(y=0\), otro error adicional.

Resultado y comprobación

Primer error: cancelar el factor \(x-y=0\) como si fuese distinto de cero. El principio correcto es:

\[ ac=bc\ \text{y}\ c\ne0\quad\Longrightarrow\quad a=b. \]

No existe contradicción entre las propiedades de los números; la contradicción ficticia resulta de aplicar una regla fuera de su dominio de validez. Por ejemplo, \(0\cdot2=0\cdot1\) es cierto y no permite concluir \(2=1\).

Comentario pedagógico

El método más fiable para auditar una demostración es encontrar la primera inferencia injustificada, no limitarse a observar que el resultado final es absurdo. El problema ilustra la misma precaución que el ejercicio 1(i): cancelar factores requiere demostrar que no son nulos; en cambio, factorizar una diferencia de potencias no exige dividir por nada.

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SPV4-C01-E003 — Operaciones con fracciones e inversos (incisos i–vi)

Enunciado — formulación española propia

Sean \(a,b,c,d\) números reales. Demuestra las siguientes afirmaciones, respetando en cada apartado las hipótesis que permiten definir los cocientes:

(i) Si \(b\ne0\) y \(c\ne0\), entonces

\[\frac ab=\frac{ac}{bc}.\]

(ii) Si \(b\ne0\) y \(d\ne0\), entonces

\[\frac ab+\frac cd=\frac{ad+bc}{bd}.\]

(iii) Si \(a\ne0\) y \(b\ne0\), entonces el producto \(ab\) es invertible y

\[(ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}.\]

(iv) Si \(b\ne0\) y \(d\ne0\), entonces

\[\frac ab\cdot\frac cd=\frac{ac}{db}.\]

(v) Si \(b,c,d\) son distintos de cero, entonces

\[\frac{\frac ab}{\frac cd}=\frac{ad}{bc}.\]

(vi) Si \(b\ne0\) y \(d\ne0\), demuestra la equivalencia

\[\frac ab=\frac cd\quad\Longleftrightarrow\quad ad=bc.\]

Determina además todas las parejas \((a,b)\) para las que tiene sentido y se cumple \(a/b=b/a\).

Para la última pregunta es indispensable \(a,b\ne0\), pues ambos cocientes deben estar definidos.

Antes de resolver: dos herramientas de los axiomas

El cociente no es una operación nueva: para \(v\ne0\), se define \(u/v=u\,v^{-1}\). Nos bastan las propiedades de campo P1–P9 estudiadas en el capítulo.

1. Producto de no nulos. Si \(u\ne0\) y \(v\ne0\), entonces \(uv\ne0\). De lo contrario, de \(uv=0\), multiplicando por \(u^{-1}\) obtendríamos \(v=0\), contradicción. Este argumento utiliza que \(u^{-1}0=0\), consecuencia de la distributividad.
2. Unicidad del inverso. Si \(ut=1\) y \(us=1\), entonces \(t=t(us)=(tu)s=s\). Por tanto, para demostrar que un número es el inverso de \(u\), basta exhibir un factor cuyo producto con \(u\) sea \(1\) (en un campo conmutativo).

Estas observaciones se demostrarán o reutilizarán explícitamente cuando haga falta; no se supondrá ninguna regla de fracciones sin justificarla.

(i) Multiplicar numerador y denominador por el mismo factor

Pista 1. Piensa en la fracción \(a/b\) como el número que, multiplicado por \(b\), da \(a\).

Pista 2. Comprueba que tanto \(a/b\) como \((ac)/(bc)\), multiplicados por \(bc\), dan \(ac\). ¿Qué propiedad permite concluir que son iguales?

Estrategia y solución. Las hipótesis garantizan \(bc\ne0\). Por definición de división,

\[ \left(\frac ab\right)(bc) =(ab^{-1})(bc) =a(b^{-1}b)c=ac. \]

Asimismo,

\[ \left(\frac{ac}{bc}\right)(bc) =\bigl(ac(bc)^{-1}\bigr)(bc)=ac. \]

Se pueden cancelar los factores \(bc\) en la igualdad obtenida porque \(bc\ne0\). Concluimos

\[\boxed{\frac ab=\frac{ac}{bc}}.\]

Comprobación y caso límite. Si \(a=0\), ambos cocientes son \(0\). No es necesario suponer \(a\ne0\). En cambio, si \(b=0\) o \(c=0\), alguna fracción deja de estar definida y la expresión no constituye una igualdad legítima.

(ii) Suma con denominador común

Pista 1. Convierte los dos sumandos al denominador \(bd\), sin dividir por un número no comprobado.

Pista 2. Aplica (i) con \(c=d\) al primer cociente y con el factor \(b\) al segundo.

Estrategia y solución. Como \(b,d\ne0\), también \(bd\ne0\) por el lema anterior. De (i) obtenemos

\[ \frac ab=\frac{ad}{bd},\qquad \frac cd=\frac{bc}{bd}. \]

Sumamos usando la distributividad:

\[ \begin{aligned} \frac ab+\frac cd &=ad(bd)^{-1}+bc(bd)^{-1}\\ &=(ad+bc)(bd)^{-1}\\ &=\boxed{\frac{ad+bc}{bd}}. \end{aligned} \]

Comprobación. Si \(a=0\) o \(c=0\), la misma deducción funciona. La fórmula solo presupone que los denominadores originales son no nulos; jamás se requiere \(ad+bc\ne0\).

(iii) Inverso de un producto

Pista 1. Utiliza la propiedad definitoria del inverso, en lugar de asumir la regla que quieres demostrar.

Pista 2. Multiplica \(ab\) por \(a^{-1}b^{-1}\), reordena factores con P5 y P8 y aplica P7 dos veces.

Estrategia y solución. De \(a,b\ne0\) deducimos \(ab\ne0\). Por asociatividad y conmutatividad,

\[ \begin{aligned} (ab)(a^{-1}b^{-1}) &=(aa^{-1})(bb^{-1})\\ &=1\cdot1=1. \end{aligned} \]

El candidato \(a^{-1}b^{-1}\) satisface la propiedad que define al inverso de \(ab\). Por unicidad,

\[\boxed{(ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}}.\]

Comprobación. El producto de \(ab\) por el miembro derecho es \(1\). No es lícito aplicar esta identidad si \(a\) o \(b\) se anulan: ni el inverso correspondiente ni el de \(ab\) existirían.

(iv) Producto de cocientes

Pista 1. Escribe cada división como multiplicación por un inverso.

Pista 2. Agrupa numeradores y denominadores; usa (iii) para reconocer el inverso del denominador compuesto.

Estrategia y solución. Como \(b,d\ne0\), también \(db\ne0\). Entonces

\[ \begin{aligned} \frac ab\cdot\frac cd &=(ab^{-1})(cd^{-1})\\ &=(ac)(b^{-1}d^{-1})\\ &=(ac)(db)^{-1}\\ &=\boxed{\frac{ac}{db}}. \end{aligned} \]

El orden \(db\) del denominador es indiferente porque la multiplicación de números reales es conmutativa.

Comprobación. Si \(a=0\) o \(c=0\), ambos miembros valen \(0\) y siguen estando definidos. La identidad no exige numeradores no nulos.

(v) Cociente de cocientes

Pista 1. Para dividir por \(c/d\) debes comprobar primero que esa fracción no es cero.

Pista 2. Encuentra un número cuyo producto con \(c/d\) sea \(1\) y aplica el apartado (iv).

Estrategia y solución. La condición \(d\ne0\) define \(c/d\); como además \(c\ne0\), el cociente \(c/d\) tampoco es cero. En efecto, si \(cd^{-1}=0\), multiplicar por \(d\) daría \(c=0\). Por (iv),

\[\frac cd\cdot\frac dc=\frac{cd}{dc}=1.\]

En la última igualdad el denominador \(dc\) no es cero y numerador y denominador coinciden; por tanto, \(d/c\) es el inverso de \(c/d\). Aplicando la definición de división y (iv),

\[ \begin{aligned} \frac{\frac ab}{\frac cd} &=\frac ab\cdot\left(\frac cd\right)^{-1}\\ &=\frac ab\cdot\frac dc\\ &=\boxed{\frac{ad}{bc}}. \end{aligned} \]

Comprobación. \(b\ne0\) permite formar \(a/b\); \(c,d\ne0\) aseguran que el divisor \(c/d\) existe y no es cero. No hace falta \(a\ne0\): el resultado también vale cuando el dividendo es cero.

(vi) Igualdad de cocientes y condición de proporcionalidad

Pista 1. Para eliminar denominadores de una igualdad, multiplica por su producto y justifica antes que es no nulo.

Pista 2. Para resolver la pregunta adicional, aplica la primera equivalencia y factoriza una diferencia de cuadrados.

Estrategia y solución. Por hipótesis, \(bd\ne0\). Si \(a/b=c/d\), multiplicamos los dos miembros por \(bd\) y obtenemos

\[ \left(\frac ab\right)(bd) =\left(\frac cd\right)(bd) \quad\Longrightarrow\quad ad=bc. \]

Recíprocamente, si \(ad=bc\), multiplicamos por \((bd)^{-1}\) y, reordenando los factores,

\[ \begin{aligned} (ad)(bd)^{-1}&=(bc)(bd)^{-1},\\ (ab^{-1})(dd^{-1})&=(cd^{-1})(bb^{-1}),\\ \frac ab&=\frac cd. \end{aligned} \]

Así hemos probado las dos direcciones:

\[\boxed{\frac ab=\frac cd\iff ad=bc\quad(bd\ne0).}\]

Para la segunda cuestión, ambos cocientes \(a/b\) y \(b/a\) existen exactamente cuando \(a\ne0\) y \(b\ne0\). En ese dominio, la equivalencia recién demostrada dice

\[ \frac ab=\frac ba \iff a^2=b^2 \iff (a-b)(a+b)=0. \]

Por el principio del producto nulo, esto equivale a \(a=b\) o \(a=-b\). Las dos familias deben restringirse a valores no nulos:

\[ \boxed{\{(a,b):a=b\ne0\}\ \cup\ \{(a,b):a=-b,\ a\ne0\}.} \]

La primera familia produce cocientes iguales a \(1\); la segunda, cocientes iguales a \(-1\). No se admite \((a,b)=(0,0)\): allí ambos cocientes carecen de definición.

Comprobación. Si \(a=b=2\), los cocientes valen \(1\); si \(a=2,b=-2\), ambos valen \(-1\); si \(a=2,b=3\), son distintos.

Balance conceptual

Un denominador debe ser distinto de cero; un numerador puede ser cero. Las reglas de ampliación, suma, producto y división de fracciones son teoremas derivados de los axiomas del campo, no permisos para manipular expresiones indefinidas. En particular, cancelar un factor no nulo y cancelar uno que vale cero son operaciones lógicamente distintas (véase E002).

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SPV4-C01-E004 — Resolución de desigualdades (incisos i–xiv)

Enunciado — formulación española propia

Para cada desigualdad, determina todos los números reales \(x\) que la satisfacen. En los cocientes, excluye los valores que anulan denominadores; en las desigualdades estrictas, no incluyas las raíces que producen igualdad.

Inciso	Desigualdad
(i)	\(4-x<3-2x\)
(ii)	\(5-x^2<8\)
(iii)	\(5-x^2<-2\)
(iv)	\((x-1)(x-3)>0\)
(v)	\(x^2-2x+2>0\)
(vi)	\(x^2+x+1>2\)
(vii)	\(x^2-x+10>16\)
(viii)	\(x^2+x+1>0\)
(ix)	\((x-\pi)(x+5)(x-3)>0\)
(x)	\((x-\sqrt[3]{2})(x-\sqrt2)>0\)
(xi)	\(2^x<8\)
(xii)	\(x+3^x<4\)
(xiii)	\(\dfrac1x+\dfrac1{1-x}>0\)
(xiv)	\(\dfrac{x-1}{x+1}>0\)

El problema (iv) invita especialmente a determinar cuándo un producto de dos números es positivo.

Estrategia común: conservar equivalencias

Una transformación de desigualdades debe respetar el signo: sumar el mismo término conserva el sentido; multiplicar por un número positivo lo conserva; multiplicar por uno negativo lo invierte. Para productos y cocientes de signo variable es preferible estudiar signos por intervalos, sin multiplicar a ciegas por expresiones cuyo signo se desconoce. Los extremos se prueban en la expresión original, y todo denominador nulo se excluye antes de simplificar.

Herramientas utilizadas. El anexo matemático al final del capítulo construye las raíces no negativas y las potencias de exponente real a partir de la propiedad del supremo, y justifica \(3<\pi\) desde su significado geométrico usual. La completitud y la geometría euclidiana se enuncian allí expresamente como fundamentos adicionales: ninguna de ellas se deduce de P1–P12. Una vez construidas las raíces, sus comparaciones se justifican con el orden de las potencias enteras entre números no negativos.

(i) Una desigualdad lineal

Pista 1. Reúne los términos con \(x\) en un miembro. Pista 2. Suma \(2x\) a ambos miembros y resta \(4\).

Las operaciones indicadas conservan el sentido de la desigualdad:

\[4-x<3-2x\iff4+x<3\iff x<-1.\]

Solución: \(\boxed{(-\infty,-1)}\). Control: en \(x=-1\) ambos miembros valen \(5\), por lo que el extremo está excluido. Para \(x=-2\) se obtiene \(6<7\), que es verdadero.

(ii) Una desigualdad verdadera para todo real

Pista 1. Aísla \(x^2\). Pista 2. Recuerda que el cuadrado de un número real nunca es negativo.

\[5-x^2<8\iff-x^2<3\iff x^2>-3.\]

Como \(x^2\ge0>-3\) para cualquier real, solución: \(\boxed{\mathbb R}\). En particular \(x=0\) verifica \(5<8\). No debe extraerse raíz cuadrada de \(-3\) para intentar fabricar una frontera real.

(iii) Una desigualdad que excluye un intervalo central

Pista 1. Después de aislar \(x^2\), multiplica por \(-1\) invirtiendo el signo. Pista 2. \(x^2>7\) equivale a \(|x|>\sqrt7\).

\[5-x^2<-2\iff -x^2<-7\iff x^2>7.\]

Como \(|x|\ge0\), \(|x|^2=x^2\) y \((\sqrt7)^2=7\), la comparación de cuadrados no negativos justificada al comienzo da \(x^2>7\iff |x|>\sqrt7\). Ahora, por la definición de valor absoluto, esto equivale a \(x<-\sqrt7\) o \(x>\sqrt7\).

Solución: \(\boxed{(-\infty,-\sqrt7)\cup(\sqrt7,\infty)}\). Control: \(x=0\) no satisface \(5<-2\); los extremos producen igualdad y no pertenecen al conjunto.

(iv) Signo de un producto

Pista 1. Un producto de dos factores reales es positivo si ambos tienen igual signo y ninguno es cero. Pista 2. Separa la recta en \(x<1\), \(1<x<3\) y \(x>3\).

Si \(x<1\), ambos factores \(x-1\) y \(x-3\) son negativos y su producto es positivo. Para \(1<x<3\) tienen signos opuestos y el producto es negativo. Si \(x>3\), ambos son positivos. En \(x=1\) o \(x=3\) el producto es cero.

Solución: \(\boxed{(-\infty,1)\cup(3,\infty)}\). Este argumento justifica la regla empleada: se exige \(u>0,v>0\) o \(u<0,v<0\) para \(uv>0\).

(v) Completar el cuadrado

Pista 1. Reconoce \(x^2-2x+1\). Pista 2. Añade y resta \(1\) para escribir un cuadrado más una constante positiva.

\[x^2-2x+2=(x-1)^2+1\ge1>0.\]

Solución: \(\boxed{\mathbb R}\). El mínimo de la expresión es \(1\), alcanzado en \(x=1\); por tanto, no existe punto de igualdad con cero.

(vi) Una cuadrática con dos raíces

Pista 1. Lleva el \(2\) a la izquierda. Pista 2. Completa el cuadrado y estudia cuándo su valor supera \(5/4\).

\[x^2+x+1>2\iff x^2+x-1>0\iff\left(x+\frac12\right)^2>\frac54.\]

La identidad \(\left|x+\tfrac12\right|^2=(x+\tfrac12)^2\) y la comparación de cuadrados de no negativos —cuya existencia demuestra el anexo matemático— convierten esta relación en \(\left|x+\tfrac12\right|>\tfrac{\sqrt5}{2}\), por lo que

\[x<\frac{-1-\sqrt5}{2}\quad\text{o}\quad x>\frac{-1+\sqrt5}{2}.\]

Solución: \(\boxed{\left(-\infty,\frac{-1-\sqrt5}{2}\right)\cup\left(\frac{-1+\sqrt5}{2},\infty\right)}\). Control: \(x=0\) da \(1>2\), falso; las raíces producen igualdad, no desigualdad estricta.

(vii) Factorizar antes de estudiar signos

Pista 1. Tras restar \(16\), busca dos números cuyo producto sea \(-6\) y cuya suma sea \(-1\). Pista 2. Usa el criterio del apartado (iv).

\[x^2-x+10>16\iff x^2-x-6>0\iff(x-3)(x+2)>0.\]

Los dos factores son negativos si \(x<-2\) y positivos si \(x>3\); entre \(-2\) y \(3\) tienen signos opuestos.

Solución: \(\boxed{(-\infty,-2)\cup(3,\infty)}\). Control: \(x=0\) produce \(10>16\), falso; en \(-2\) y \(3\) hay igualdad.

(viii) Positividad de una cuadrática

Pista 1. Completa el cuadrado. Pista 2. Compara un cuadrado no negativo con \(3/4\).

\[x^2+x+1=\left(x+\frac12\right)^2+\frac34\ge\frac34>0.\]

Solución: \(\boxed{\mathbb R}\). El mínimo es \(3/4\), alcanzado en \(x=-1/2\). La desigualdad es estricta incluso en ese punto.

(ix) Signo de un producto de tres factores

Pista 1. Ordena las tres raíces reales: \(-5<3<\pi\). Pista 2. El signo solo puede cambiar al atravesar una de las tres raíces; examina cada intervalo.

La desigualdad es \((x-\pi)(x+5)(x-3)>0\). Como \(-5<3<\pi\), el cuadro de signos es:

Intervalo	\(x-\pi\)	\(x+5\)	\(x-3\)	Producto
\(x<-5\)	\(-\)	\(-\)	\(-\)	\(-\)
\(-5<x<3\)	\(-\)	\(+\)	\(-\)	\(+\)
\(3<x<\pi\)	\(-\)	\(+\)	\(+\)	\(-\)
\(x>\pi\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)

Solución: \(\boxed{(-5,3)\cup(\pi,\infty)}\). Los puntos \(-5\), \(3\) y \(\pi\) quedan excluidos porque el producto es cero allí. Control: \(x=0\) da \((-\pi)(5)(-3)=15\pi>0\).

(x) Dos raíces irracionales con orden distinto

Pista 1. Averigua cuál de \(\sqrt[3]2\) y \(\sqrt2\) es menor. Pista 2. Una vez ordenadas las raíces, aplica el criterio del apartado (iv).

Pongamos \(a=\sqrt[3]2\), la raíz cúbica real positiva de \(2\), cuya existencia demuestra el anexo matemático. Tenemos \(a>1\): si \(0\le a\le1\), multiplicar reiteradamente cantidades no negativas daría \(a^3\le1<2\), contradicción. Por tanto \(a^2<a^3=2\); la comparación de cuadrados no negativos —con la existencia de \(\sqrt2\) ya demostrada— da \(a<\sqrt2\). Por consiguiente,

\[1<\sqrt[3]2<\sqrt2.\]

Los factores \((x-a)\) y \((x-\sqrt2)\) son ambos negativos si \(x<a\), de signos opuestos entre \(a\) y \(\sqrt2\), y ambos positivos si \(x>\sqrt2\).

Solución: \(\boxed{(-\infty,\sqrt[3]2)\cup(\sqrt2,\infty)}\). Las dos raíces son puntos de igualdad, por lo que no se incluyen. La comparación no necesita aproximaciones decimales.

(xi) Potencia de base dos

Pista 1. Expresa \(8\) como una potencia de \(2\). Pista 2. Utiliza la propiedad de crecimiento estricto de \(x\mapsto2^x\).

\[2^x<8\iff2^x<2^3\iff x<3.\]

Solución: \(\boxed{(-\infty,3)}\). Control: \(x=3\) da igualdad; \(x=2\) da \(4<8\).

Justificación del paso esencial: el anexo matemático construye \(2^x\) para exponentes reales mediante supremos de potencias racionales y demuestra su crecimiento estricto. La conclusión utiliza completitud, no solamente P1–P12.

(xii) Suma de una función lineal y una potencia

Pista 1. Prueba el valor \(x=1\). Pista 2. Compara por separado \(x\) con \(1\) y \(3^x\) con \(3^1\) según el signo de \(x-1\).

En \(x=1\), \(x+3^x=1+3=4\). Si \(x<1\), entonces \(3^x<3\) (crecimiento estricto de la potencia de base \(3\)) y, al sumar \(x<1\) con \(3^x<3\), resulta \(x+3^x<4\). Si \(x>1\), las dos desigualdades se invierten: \(x>1\) y \(3^x>3\), luego \(x+3^x>4\). El punto \(x=1\) da igualdad y queda excluido.

Solución: \(\boxed{(-\infty,1)}\). No es necesario despejar \(3^x\) ni introducir logaritmos. Justificación del paso esencial: la construcción del anexo matemático demuestra el crecimiento estricto de \(3^x\); se aplica aquí sin recurrir a logaritmos.

(xiii) Suma de dos cocientes: dominio y signo

Pista 1. Registra primero \(x\ne0\) y \(x\ne1\). Pista 2. Combina los cocientes y observa el numerador resultante, que es constante.

En el dominio \(\mathbb R\setminus\{0,1\}\),

\[\frac1x+\frac1{1-x}=\frac{1-x+x}{x(1-x)}=\frac1{x(1-x)}.\]

Como el numerador es \(1>0\), la fracción es positiva exactamente cuando el denominador también lo es. Los factores \(x\) y \(1-x\) son ambos positivos si \(0<x<1\). No pueden ser ambos negativos, porque ello exigiría simultáneamente \(x<0\) y \(x>1\). Así,

solución: \(\boxed{(0,1)}\). Control: \(x=1/2\) da \(2+2=4>0\); \(x=0,1\) ni siquiera pertenecen al dominio. La simplificación no autoriza a añadirlos.

(xiv) Cociente de signos variables

Pista 1. Excluye \(x=-1\) antes de transformar la desigualdad. Pista 2. Un cociente es positivo cuando numerador y denominador son no nulos y tienen el mismo signo.

Estudiamos \((x-1)/(x+1)>0\). Si \(x<-1\), los dos factores son negativos y el cociente positivo. Si \(-1<x<1\), el numerador es negativo y el denominador positivo: el cociente es negativo. Si \(x>1\), ambos son positivos. En \(x=1\) el cociente vale cero y en \(x=-1\) es indefinido.

Solución: \(\boxed{(-\infty,-1)\cup(1,\infty)}\). Control: \(x=0\) produce \(-1>0\), falso. No se ha multiplicado por \(x+1\) sin conocer antes su signo.

Resumen de soluciones

Inciso	Conjunto solución
(i)	\((-\infty,-1)\)
(ii)	\(\mathbb R\)
(iii)	\((-\infty,-\sqrt7)\cup(\sqrt7,\infty)\)
(iv)	\((-\infty,1)\cup(3,\infty)\)
(v)	\(\mathbb R\)
(vi)	\(\left(-\infty,\frac{-1-\sqrt5}{2}\right)\cup\left(\frac{-1+\sqrt5}{2},\infty\right)\)
(vii)	\((-\infty,-2)\cup(3,\infty)\)
(viii)	\(\mathbb R\)
(ix)	\((-5,3)\cup(\pi,\infty)\)
(x)	\((-\infty,\sqrt[3]2)\cup(\sqrt2,\infty)\)
(xi)	\((-\infty,3)\)
(xii)	\((-\infty,1)\)
(xiii)	\((0,1)\)
(xiv)	\((-\infty,-1)\cup(1,\infty)\)

Los intervalos abiertos excluyen los puntos donde hay igualdad; también se excluyen los ceros de los denominadores. En (ii), (v) y (viii), la desigualdad es válida para todo número real. Los incisos (xi) y (xii) usan el crecimiento estricto demostrado en el anexo matemático; (ix) utiliza el significado geométrico usual de \(\pi\) explicado allí.

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SPV4-C01-E005 — Consecuencias de los axiomas de orden (incisos i–x)

Marco de la demostración

Sean \(a,b,c,d\in\mathbb R\). El capítulo define \(u<v\) cuando \(v-u\) pertenece al conjunto \(P\) de los números positivos. Usaremos P10 (tricotomía), P11 (suma de positivos) y P12 (producto de positivos), además de P1–P9 para reorganizar sumas y productos. Ya se demostró en el texto que \(1>0\). La regla \(0\le u<v\Rightarrow v>0\) se sigue de la transitividad: \(0\le u\) significa \(u=0\) o \(u>0\); en ambos casos \(v>0\).

Conviene distinguir la afirmación estricta \(u<v\) de la no estricta \(u\le v\): en esta última puede haber igualdad. Cuando multiplicamos por un factor que solo sabemos no negativo, el resultado puede pasar de estricto a igualdad si el factor es cero.

(i) Suma de dos desigualdades estrictas

Enunciado — formulación española propia. Demuestra que las hipótesis \(a<b\) y \(c<d\) implican \(a+c<b+d\).

Pista 1. Escribe las hipótesis como afirmaciones acerca de \(b-a\) y \(d-c\).

Pista 2. Expresa la diferencia entre el miembro derecho y el izquierdo como suma de esas dos cantidades.

Qué se debe probar. No basta con sumar formalmente los signos: hay que justificar que la diferencia resultante es positiva.

Demostración. De \(a<b\) y \(c<d\) obtenemos \(b-a\in P\) y \(d-c\in P\). P11 asegura que su suma pertenece a \(P\). Por asociatividad y conmutatividad,

\[ (b+d)-(a+c)=(b-a)+(d-c)>0. \]

Por la definición de orden, \(\boxed{a+c<b+d}\). La desigualdad es estricta porque ambos sumandos de la diferencia son positivos.

Control. Si se reemplazara cualquiera de las dos desigualdades por una igualdad, la conclusión aún podría ser estricta gracias a la otra; aquí no hace falta examinar esa extensión. No se presupone positividad de \(a,b,c\) ni \(d\) por separado.

(ii) Cambiar los signos invierte el orden

Enunciado — formulación española propia. Prueba que, si \(a<b\), necesariamente \(-b<-a\).

Pista 1. Para establecer \(-b<-a\), calcula la diferencia \((-a)-(-b)\).

Pista 2. Relaciónala con \(b-a\), cuya positividad se conoce.

Qué se debe probar. La propiedad no es una regla gráfica sobre símbolos: es consecuencia de que el signo de la diferencia determina el orden.

Demostración. Si \(a<b\), entonces \(b-a>0\). Pero

\[(-a)-(-b)=-a+b=b-a>0.\]

Por definición de \(<\), se sigue \(\boxed{-b<-a}\). En particular, cambiar ambos signos no conserva el sentido de la desigualdad: lo invierte.

Control. La equivalencia también vale a la inversa por el mismo cálculo. No hemos multiplicado una desigualdad por un negativo sin justificar previamente la regla.

(iii) Resta de desigualdades con sentidos opuestos

Enunciado — formulación española propia. Supón que \(a<b\) y \(c>d\). Demuestra que \(a-c<b-d\).

Pista 1. Utiliza (ii) sobre la condición \(d<c\).

Pista 2. Suma \(a<b\) y \(-c<-d\) mediante (i).

Qué se debe probar. Restar \(c\) en el primer miembro y \(d\) en el segundo exige que la desigualdad entre los términos sustraídos tenga el sentido apropiado.

Demostración. De \(c>d\) obtenemos \(d<c\). Aplicando (ii), \(-c<-d\). Junto con \(a<b\), la regla ya demostrada en (i) proporciona

\[a+(-c)<b+(-d),\]

es decir, \(\boxed{a-c<b-d}\).

Control independiente. Directamente, \((b-d)-(a-c)=(b-a)+(c-d)>0\) por P11, lo que comprueba el resultado sin reutilizar los otros incisos.

(iv) Multiplicación por un factor positivo

Enunciado — formulación española propia. Demuestra que de \(a<b\) y \(c>0\) resulta \(ac<bc\).

Pista 1. Traduce \(a<b\) a \(b-a>0\).

Pista 2. Aplica el cierre de los positivos bajo multiplicación y distribuye.

Qué se debe probar. Un factor estrictamente positivo conserva el sentido y la desigualdad estricta.

Demostración. Como \(b-a\in P\) y \(c\in P\), P12 da \((b-a)c\in P\). La distributividad permite escribir

\[bc-ac=(b-a)c>0.\]

De ahí, por definición, \(\boxed{ac<bc}\).

Control. No es lícito reemplazar \(c>0\) por \(c\ge0\) y mantener sin más el signo estricto: si \(c=0\), se tendría \(ac=bc=0\). Esta frontera será importante en (viii).

(v) Multiplicación por un factor negativo

Enunciado — formulación española propia. Demuestra que, si \(a<b\) y \(c<0\), entonces \(ac>bc\).

Pista 1. La condición \(c<0\) significa que \(-c>0\).

Pista 2. Aplica (iv) al factor \(-c\) y luego cambia de signo los dos miembros.

Qué se debe probar. La inversión del sentido surge de una aplicación de (iv) y (ii), no de una convención sin justificar.

Demostración. Por \(c<0\), el número \(-c\) es estrictamente positivo. Aplicando (iv) a \(a<b\) con ese factor,

\[a(-c)<b(-c),\qquad\text{o sea}\qquad -ac<-bc.\]

El inciso (ii) aplicado a esta última desigualdad da \(bc<ac\), equivalente a \(\boxed{ac>bc}\).

Control. El factor no puede ser cero; en ese caso los productos serían iguales. Esta prueba también evita dividir por \(c\).

(vi) Cuadrado de un número mayor que uno

Enunciado — formulación española propia. Demuestra que \(a>1\) implica \(a^2>a\).

Pista 1. Observa que \(a>1\) y \(1>0\) garantizan \(a>0\).

Pista 2. Multiplica la desigualdad \(1<a\) por el factor positivo \(a\) usando (iv).

Qué se debe probar. Al multiplicar por el propio número, debe comprobarse antes su signo.

Demostración. Del hecho establecido en el capítulo \(1>0\) y de \(a>1\), por transitividad \(a>0\). Aplicando (iv) a \(1<a\) con multiplicador \(a\),

\[1\cdot a<a\cdot a.\]

Así, \(\boxed{a^2>a}\).

Control. En la frontera \(a=1\) tenemos \(a^2=a\), no la desigualdad estricta. Nada en esta prueba autoriza la afirmación para números negativos.

(vii) Cuadrado de un número situado entre cero y uno

Enunciado — formulación española propia. Supón \(0<a<1\). Demuestra \(a^2<a\).

Pista 1. Asegúrate de que el multiplicador \(a\) es estrictamente positivo.

Pista 2. Multiplica \(a<1\) por \(a\) y simplifica.

Qué se debe probar. La posición del número con respecto a uno determina el comportamiento de su cuadrado bajo positividad.

Demostración. Puesto que \(a>0\), podemos multiplicar por \(a\) la desigualdad \(a<1\) y conservar su sentido mediante (iv):

\[a\cdot a<1\cdot a.\]

Por lo tanto, \(\boxed{a^2<a}\).

Control. Los extremos \(a=0\) y \(a=1\) producirían igualdad. La hipótesis excluye ambos, así que el resultado es estrictamente menor.

(viii) Producto de dos pares de números no negativos

Enunciado — formulación española propia. Demuestra que \(0\le a<b\) y \(0\le c<d\) implican \(ac<bd\).

Pista 1. De \(0\le a<b\) deduce \(b>0\). Distingue los casos \(c=0\) y \(c>0\) al multiplicar \(a<b\).

Pista 2. Establece \(ac\le bc\) y, por otra parte, \(bc<bd\); encadena ambas relaciones.

Qué se debe probar. La dificultad es que \(a\) y \(c\) pueden ser cero. No se debe atribuir una desigualdad estricta a la multiplicación por un factor meramente no negativo.

Demostración. Como \(0\le a<b\), se tiene \(b>0\). Demostraremos dos relaciones:

Primero, \(ac\le bc\). Si \(c=0\), ambos productos son \(0\). Si \(c>0\), (iv) da la desigualdad estricta \(ac<bc\). En ambos casos, \(ac\le bc\).

Segundo, dado que \(c<d\) y \(b>0\), (iv) con multiplicador \(b\) da \(bc<bd\). Por transitividad del orden no estricto con uno estricto,

\[ac\le bc<bd\quad\Longrightarrow\quad\boxed{ac<bd}.\]

La transitividad mixta también se verifica directamente: si \(ac=bc\), conserva \(bc<bd\); si \(ac<bc\), aplica la transitividad estricta.

Control de fronteras. Incluso si \(a=c=0\), las hipótesis fuerzan \(b,d>0\), de modo que \(ac=0<bd\). Un argumento que escribiera \(ac<bc\) cuando \(c=0\) sería incorrecto, aunque su conclusión final acertase.

(ix) El cuadrado conserva el orden de números no negativos

Enunciado — formulación española propia. Demuestra que \(0\le a<b\) implica \(a^2<b^2\), aprovechando el apartado (viii).

Pista 1. Considera dos pares idénticos de números que satisfagan las hipótesis de (viii).

Pista 2. En (viii), sustituye \(c\) por \(a\) y \(d\) por \(b\).

Qué se debe probar. Se necesita la no negatividad: no es cierta para pares arbitrarios la implicación \(a<b\Rightarrow a^2<b^2\).

Demostración. Aplicamos (viii) con \((c,d)=(a,b)\). Ambas cadenas de hipótesis son entonces \(0\le a<b\). La conclusión del apartado anterior se transforma en

\[a\cdot a<b\cdot b,\]

es decir, \(\boxed{a^2<b^2}\).

Control independiente. También se puede factorizar \(b^2-a^2=(b-a)(b+a)\). Aquí \(b-a>0\) y \(b+a\ge b>0\), así que P12 da \(b^2-a^2>0\). Sin la restricción de signo, \(a=-2<b=1\) daría \(a^2=4>b^2=1\).

(x) Recuperar el orden a partir de los cuadrados

Enunciado — formulación española propia. Supón \(a,b\ge0\) y \(a^2<b^2\). Demuestra \(a<b\), utilizando el apartado (ix) en sentido contrapuesto.

Pista 1. Si la conclusión fuera falsa, la tricotomía daría \(a=b\) o \(a>b\).

Pista 2. Descarta la igualdad de números mediante la igualdad de cuadrados, y descarta \(a>b\) usando (ix) con las letras intercambiadas.

Qué se debe probar. La operación «tomar raíces» debe justificarse como una propiedad del orden restringido al conjunto de los números no negativos.

Demostración. Supongamos, buscando una contradicción, que \(a<b\) es falso. Por tricotomía, se presenta una de estas posibilidades:

• Si \(a=b\), entonces \(a^2=b^2\), contrario a \(a^2<b^2\).
• Si \(a>b\), tenemos \(0\le b<a\). Aplicando (ix) con los papeles de \(a,b\) intercambiados se obtiene \(b^2<a^2\), que contradice \(a^2<b^2\) por la asimetría del orden.

Ambas alternativas son imposibles; por tanto, \(\boxed{a<b}\).

Control independiente. Como \(a,b\ge0\) y \(a^2<b^2\), se tiene \(b>0\) y \(a+b>0\); luego \((b-a)(b+a)=b^2-a^2>0\). Como \(b+a>0\), el principio de signos obliga a \(b-a>0\). El argumento por contradicción anterior evita introducir un lema adicional sobre signos de cocientes.

Balance de las diez demostraciones

El orden estricto se traduce en positividad de una diferencia. Los apartados (i)–(v) derivan reglas habituales de cálculo con desigualdades a partir de P10–P12; (vi)–(vii) comparan un número positivo con su cuadrado; (viii) maneja correctamente factores que pueden anularse; y (ix)–(x) prueban las dos direcciones de la monotonía estricta de \(t\mapsto t^2\) en \([0,\infty)\).

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SPV4-C01-E006 — Orden, potencias y paridad (apartados a–d)

Convenciones y propósito

En los cuatro apartados, \(x,y\in\mathbb R\) y \(n\) es un entero positivo; para el primero, \(n=1,2,3,\ldots\). Las potencias \(x^n\) se entienden como productos finitos de \(n\) factores, no como potencias de exponente real. En particular, estas demostraciones de potencias enteras son independientes de la construcción de \(2^x\) y \(3^x\) presentada en el anexo matemático.

Se usará lo demostrado en E005: el producto de dos parejas estrictamente ordenadas y no negativas conserva estrictamente el orden [E005(viii)]; multiplicar por un número positivo conserva el signo [E005(iv)]. También se emplearán la tricotomía y las identidades elementales \((-t)^n=(-1)^nt^n\) y \((t^2)^m=t^{2m}\) para enteros positivos, justificadas agrupando factores en productos finitos.

(a) Potencias de dos números no negativos

Enunciado — formulación española propia. Sean \(0\le x<y\). Demuestra que, para cada entero \(n\ge1\), se verifica

\[x^n<y^n.\]

Pista 1. Para \(n\ge2\), parte de la factorización de \(y^n-x^n\) ya demostrada en E001(v).

Pista 2. Muestra que \(y-x>0\) y que el otro factor es positivo: todos sus términos son no negativos y el primero es estrictamente positivo.

Qué se pide y estrategia. No basta elevar informalmente los dos miembros de una desigualdad. Se utilizará la factorización de diferencias de potencias de E001(v), ya disponible en el capítulo, evitando que la demostración principal dependa de la inducción, desarrollada formalmente más adelante.

Demostración. La hipótesis \(0\le x<y\) asegura \(y-x>0\) y \(y>0\). Si \(n=1\), la conclusión es exactamente \(x<y\).

Para \(n\ge2\), E001(v), con las variables intercambiadas, proporciona

\[ y^n-x^n=(y-x)\sum_{k=0}^{n-1}y^{n-1-k}x^k. \]

El primer factor es positivo. Cada sumando de la suma finita es no negativo porque \(x,y\ge0\), y el primero (el de \(k=0\)), \(y^{n-1}\), es estrictamente positivo porque \(y>0\) y \(n-1\ge1\). Una suma finita que contiene un término positivo y cuyos demás términos son no negativos es positiva. El producto es, por tanto, estrictamente positivo, esto es, \(y^n-x^n>0\). Queda demostrado

\[\boxed{0\le x<y\ \Longrightarrow\ x^n<y^n\quad\text{para todo }n\ge1.}\]

Otra vía — inducción (adelanto metodológico). En el capítulo siguiente se formaliza la inducción. Para \(n=1\) la desigualdad es la hipótesis. Si \(0\le x^n<y^n\), las parejas \((x^n,y^n)\) y \((x,y)\) cumplen E005(viii), de donde \(x^{n+1}<y^{n+1}\); la no negatividad de \(x^{n+1}\) mantiene la hipótesis inductiva. Se incluye este segundo razonamiento como conexión pedagógica, no como requisito de la demostración principal.

Comprobación de fronteras. Si \(x=0<y\), entonces \(x^n=0\) y \(y^n>0\), conforme a la prueba. La hipótesis estricta \(x<y\) es indispensable: cuando \(x=y\), las potencias son iguales. Para \(n=1\) la fórmula se verificó aparte. Cuando \(n=2\), la suma finita del caso general tiene exactamente dos términos: \(y+x\).

(b) Potencias de exponente impar en toda la recta

Enunciado — formulación española propia. Supón \(x<y\) y que \(n\ge1\) es impar. Demuestra que

\[x^n<y^n.\]

Pista 1. La parte (a) funciona si ambos números son no negativos. Si ambos son no positivos, considera \(-y<-x\).

Pista 2. Si \(x<0<y\), compara las potencias con cero. Al volver de \(-x,-y\) a \(x,y\), usa \((-t)^n=-t^n\) para \(n\) impar.

Qué se pide y estrategia. Para potencias impares la monotonía estricta debe valer también en la zona negativa; allí la aplicación inmediata de (a) a \(x,y\) sería ilícita. Separaremos el problema en tres regiones exhaustivas.

Demostración. Sea \(n\) impar, por tanto \((-t)^n=-t^n\) para todo real \(t\), porque el producto de un número impar de factores negativos cambia el signo.

Caso 1: \(0\le x<y\). La conclusión \(x^n<y^n\) es justamente (a).

Caso 2: \(x<y\le0\). Al cambiar los signos e invertir el orden obtenemos \(0\le-y<-x\). Por (a),

\[(-y)^n<(-x)^n.\]

La paridad impar transforma esta desigualdad en \(-y^n<-x^n\). Al multiplicar por \(-1\), se invierte el orden [E005(ii)] y resulta \(x^n<y^n\).

Caso 3: \(x<0<y\). Como \(-x>0\), el producto \((-x)^n\) es estrictamente positivo; la imparidad proporciona \(x^n=-(-x)^n<0\). Igualmente, \(y^n>0\). Por tanto,

\[x^n<0<y^n.\]

Los tres casos comprenden todas las posibilidades para \(x<y\); si una de las variables es cero, aparece en el caso 1 o 2. Hemos demostrado

\[\boxed{x<y,\ n\text{ impar positivo}\ \Longrightarrow\ x^n<y^n.}\]

Comprobación. El exponente \(n=1\) reproduce la hipótesis. La condición de imparidad no puede omitirse en toda la recta: \(-2<-1\), pero \((-2)^2=4>1=(-1)^2\).

(c) Igualdad de potencias impares

Enunciado — formulación española propia. Para \(n\ge1\) impar, demuestra que

\[x^n=y^n\quad\Longrightarrow\quad x=y.\]

Pista 1. Usa la tricotomía: si \(x\ne y\), necesariamente \(x<y\) o \(y<x\).

Pista 2. En cualquiera de esas dos posibilidades aplica el apartado (b), intercambiando \(x\) e \(y\) cuando corresponda.

Qué se pide y estrategia. La estricta preservación del orden por las potencias impares implica que la operación es inyectiva. La prueba evitará escribir \(x=(x^n)^{1/n}\), pues una teoría de raíces no es necesaria aquí.

Demostración. Supongamos \(x^n=y^n\). Si \(x<y\), entonces (b) implica \(x^n<y^n\), contradicción. Si \(y<x\), el mismo argumento aplicado en el orden inverso implica \(y^n<x^n\), otra contradicción. La tricotomía deja una única alternativa:

\[\boxed{x=y.}\]

Comprobación y recíproca. Si \(x=y\), evidentemente \(x^n=y^n\); por tanto, para \(n\) impar positivo, \(x^n=y^n\iff x=y\). Cuando \(n=1\), la conclusión es inmediata. La imparidad es indispensable: \((-1)^2=1^2\) aunque \(-1\ne1\).

(d) Igualdad de potencias pares

Enunciado — formulación española propia. Si \(n\ge2\) es par y \(x^n=y^n\), demuestra que

\[x=y\quad\text{o}\quad x=-y.\]

Pista 1. Escribe \(n=2m\), con \(m\ge1\), y considera los números no negativos \(u=x^2\) y \(v=y^2\).

Pista 2. La igualdad \(u^m=v^m\) y la propiedad (a) permiten descartar \(u<v\) y \(v<u\). Concluye mediante la diferencia de cuadrados de E001.

Qué se pide y estrategia. Las potencias pares no distinguen un número de su opuesto. La prueba debe descartar todas las demás posibilidades, sin presumir una regla de extracción de raíces aún no justificada.

Demostración. Como \(n\) es par y positivo, existe un entero \(m\ge1\) tal que \(n=2m\). Definimos

\[u=x^2\ge0,\qquad v=y^2\ge0.\]

La igualdad de potencias puede reescribirse, agrupando factores, como

\[u^m=x^{2m}=x^n=y^n=y^{2m}=v^m.\]

Si \(u<v\), (a), aplicado al exponente \(m\), implicaría \(u^m<v^m\), contradicción. Si \(v<u\), obtendríamos la contradicción inversa. Por tricotomía, \(u=v\), es decir, \(x^2=y^2\). Ahora E001(iii), ya demostrado mediante diferencia de cuadrados y el principio del producto nulo, concluye

\[x^2-y^2=(x-y)(x+y)=0\quad\Longrightarrow\quad\boxed{x=y\ \text{o}\ x=-y.}\]

Comprobación y recíproca. Las dos familias realmente satisfacen la igualdad: si \(x=y\), es trivial; si \(x=-y\), entonces \(x^n=(-y)^n=y^n\) al ser \(n\) par. Así, para \(n\) par positivo,

\[\boxed{x^n=y^n\iff(x=y\ \text{o}\ x=-y).}\]

El caso \(x=y=0\) pertenece simultáneamente a ambas alternativas; no son disjuntas. Para \(n=2\), la demostración toma \(m=1\) y se reduce directamente a E001(iii).

Balance conceptual

La función \(t\mapsto t^n\) es estrictamente creciente en \([0,\infty)\) para todo entero \(n\ge1\); para \(n\) impar, es estrictamente creciente e inyectiva en \(\mathbb R\). Para \(n\) par, valores iguales se obtienen exactamente de números iguales u opuestos. Estas conclusiones se derivan de la factorización de potencias y las reglas de orden.

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SPV4-C01-E007 — Comparación estricta de medias geométrica y aritmética

Enunciado — formulación española propia

Sean \(a,b\in\mathbb R\) tales que \(0<a<b\). Demuestra simultáneamente las tres desigualdades estrictas

\[ \boxed{a<\sqrt{ab}<\frac{a+b}{2}<b.} \]

Investiga también la observación que acompaña al ejercicio: para \(a,b\ge0\), sin exigir que sean distintos, se cumple la desigualdad no estricta

\[ \sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}. \]

Determina cuándo hay igualdad. Spivak remite al problema 2-22 para una generalización que no se aborda aquí.

Pista 1

Relaciona \(a\) con \(\sqrt{ab}\) comparando sus cuadrados: como \(a>0\) y \(a<b\), ¿qué puedes deducir sobre \(a^2\) y \(ab\)? Usa la propiedad sobre cuadrados de números no negativos demostrada en E005(ix)–(x).

Pista 2

Compara los cuadrados de las dos medias mediante una diferencia que pueda factorizarse:

\[ \left(\frac{a+b}{2}\right)^2-ab =\frac{(b-a)^2}{4}. \]

Establece por qué la diferencia es estrictamente positiva bajo \(a<b\) y por qué la comparación de cuadrados permite recuperar la de los números originales.

Qué se pide y estrategia

La desigualdad es una cadena de tres comparaciones. La primera y la segunda no se obtienen directamente de \(a<b\) mediante una regla genérica de extracción de raíces: deben justificarse con el orden de los cuadrados de cantidades no negativas. La tercera se reduce a una resta sencilla. Conviene identificar siempre la positividad antes de pasar de \(u^2<v^2\) a \(u<v\).

Escribimos \(g=\sqrt{ab}\) y \(m=(a+b)/2\). Como \(0<a<b\), el producto \(ab\) es positivo y la raíz \(g\), definida como la raíz no negativa, cumple \(g>0\) y \(g^2=ab\). Asimismo \(m>0\). El denominador \(2\) es positivo y distinto de cero.

Demostración de la cadena estricta

Primera comparación: \(a<g\). Multiplicar \(a<b\) por \(a>0\) [E005(iv)] da

\[ 0<a^2<ab=g^2. \]

Tanto \(a\) como \(g\) son no negativos; E005(x) permite deducir de \(a^2<g^2\) que \(a<g\). Esto demuestra el primer eslabón sin elevar arbitrariamente una desigualdad de signo desconocido.

Segunda comparación: \(g<m\). Desarrollamos los cuadrados y factorizamos:

\[ \begin{aligned} m^2-g^2 &=\frac{(a+b)^2}{4}-ab\\ &=\frac{a^2+2ab+b^2-4ab}{4}\\ &=\frac{a^2-2ab+b^2}{4}\\ &=\frac{(b-a)^2}{4}>0. \end{aligned} \]

La última desigualdad es estricta porque \(b-a>0\), su cuadrado es positivo y \(4>0\). Luego \(g^2<m^2\); como \(g,m\ge0\), E005(x) da \(g<m\).

Tercera comparación: \(m<b\). La diferencia entre el extremo derecho y la media es

\[ b-m=b-\frac{a+b}{2}=\frac{b-a}{2}>0, \]

de donde \(m<b\). Hemos probado los tres eslabones, y por transitividad

\[ \boxed{0<a<b\ \Longrightarrow\ a<\sqrt{ab}<\frac{a+b}{2}<b.} \]

La primera desigualdad también admite una lectura por productos: \((g-a)(g+a)=g^2-a^2=a(b-a)>0\) y \(g+a>0\), de modo que \(g-a>0\). La demostración principal anterior aprovecha directamente la equivalencia para cuadrados no negativos obtenida en E005.

Observación del original: extensión no estricta y condición de igualdad

Supongamos solamente \(a,b\ge0\). El producto \(ab\ge0\) y tanto \(g=\sqrt{ab}\) como \(m=(a+b)/2\) son no negativos. La identidad algebraica precedente continúa siendo válida, pero ahora da

\[ m^2-g^2=\frac{(a-b)^2}{4}\ge0. \]

Si se tuviera \(m<g\), la monotonía estricta del cuadrado en \([0,\infty)\) [E005(ix)] implicaría \(m^2<g^2\), contradicción. Por tricotomía concluimos

\[ \boxed{\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}\quad(a,b\ge0).} \]

Si \(a=b\), entonces \(g=\sqrt{a^2}=a\) por la no negatividad de \(a\), y \(m=a\): hay igualdad. Inversamente, si \(g=m\), la identidad de cuadrados fuerza \((a-b)^2=0\) y, por el principio del producto nulo, \(a=b\). Así, hay igualdad si y solo si \(a=b\). Cuando \(a\ne b\), la comparación de las dos medias es estricta, incluso si uno de los números es cero.

Comprobación, contraejemplos de hipótesis y conexión

Con \(a=1\) y \(b=4\), la cadena adopta la forma \(1<2<5/2<4\). Si \(a=b=2\), todos los números de la cadena son \(2\) y las desigualdades estrictas dejan de valer. Si \(a=0<b\), el primer paso se convertiría en \(0<0\), falso, aunque \(\sqrt{ab}<(a+b)/2\) permanece cierto. Para \(a=-1,b=4\), el producto es negativo y \(\sqrt{ab}\) no existe como número real; no se puede suprimir la condición de no negatividad de la observación. Si ambos son negativos, la comparación con su media tampoco representa la desigualdad indicada.

La identidad

\[ \left(\frac{a+b}{2}\right)^2-ab=\frac{(a-b)^2}{4} \]

explica algebraicamente la distancia entre las medias: es el cuadrado de la separación de los datos dividido por cuatro. La desigualdad no estricta es el caso de dos números de la desigualdad media aritmética–media geométrica. Spivak remite desde este ejercicio a su problema 2-22 para una generalización; esa tarea corresponde a otra ficha y no se da aquí por resuelta.

Sobre la raíz cuadrada

La raíz \(\sqrt t\) de un real \(t\ge0\) designa el número no negativo cuyo cuadrado es \(t\). La unicidad se obtiene de la comparación estricta de cuadrados no negativos. Su existencia para todo \(t\ge0\) se demuestra en el anexo matemático usando completitud, propiedad que no se deduce de los axiomas de campo ordenado.

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SPV4-C01-E008* — Reconstrucción de los axiomas de positividad desde un orden estricto

Enunciado — formulación española propia

Considera un campo con las propiedades algebraicas P1–P9, provisto de una relación estricta \(<\) que satisface las cuatro condiciones siguientes para cualesquiera números reales \(a,b,c\):

• P′10 (tricotomía). Entre \(a=b\), \(a<b\) y \(b<a\) ocurre exactamente una posibilidad.
• P′11 (transitividad). Si \(a<b\) y \(b<c\), entonces \(a<c\).
• P′12 (compatibilidad con la suma). Si \(a<b\), entonces \(a+c<b+c\).
• P′13 (compatibilidad con productos positivos). Si \(a<b\) y \(0<c\), entonces \(ac<bc\).

Define el conjunto \(P\) mediante

\[P:=\{t\in\mathbb R:0<t\}.\]

Demuestra que las cuatro propiedades propuestas permiten deducir los tres axiomas del orden expresados originalmente mediante \(P\):

• P10. Para cada \(t\), exactamente una de \(t=0\), \(t\in P\) o \(-t\in P\) es verdadera.
• P11. Si \(u,v\in P\), también \(u+v\in P\).
• P12. Si \(u,v\in P\), también \(uv\in P\).

La tarea consiste en deducir P10–P12: no se permite utilizarlos como premisas de la prueba. La definición de \(P\) parte solamente del nuevo orden.

Pista 1

Comienza comparando \(t\) con cero mediante P′10. Para convertir la condición \(t<0\) en una afirmación sobre el opuesto \(-t\), traslada la desigualdad sumando \(-t\) a ambos lados.

Pista 2

Para sumar positivos, encadena \(0<v\) con la desigualdad \(v<u+v\) obtenida al trasladar \(0<u\). Para multiplicarlos, aplica P′13 a \(0<u\) usando \(v\) como factor positivo. Comprueba por separado cómo se relaciona \(a<b\) con \(0<b-a\).

Estrategia y dependencia lógica

Las propiedades P′10–P′13 se asumen, mientras que P10–P12 son las conclusiones por demostrar. La única estructura adicional necesaria es el campo P1–P9: en particular, \(t+(-t)=0\), \(0\cdot t=0\), asociatividad y conmutatividad. El punto lógico importante es que se puede escoger como noción primaria tanto «ser positivo» como «ser menor que», siempre que se demuestre que ambas descripciones concuerdan.

Paso preliminar — Trasladar el orden en ambos sentidos

P′12 establece que \(r<s\) implica \(r+h<s+h\). Aplicando esa misma propiedad a la última desigualdad con el sumando \(-h\), se recupera \(r<s\), porque \((r+h)+(-h)=r\) y \((s+h)+(-h)=s\). Por tanto,

\[r<s\quad\Longleftrightarrow\quad r+h<s+h.\]

No se ha supuesto una regla de cancelación de desigualdades: la equivalencia resulta de dos aplicaciones justificadas de P′12 y de las leyes del campo.

En particular, tomando \(h=-a\) en un sentido y \(h=a\) en el otro, obtenemos

\[\boxed{a<b\quad\Longleftrightarrow\quad0<b-a.}\tag{1}\]

Esto demuestra que, con \(P=\{t:0<t\}\), la definición original \(a<b\iff b-a\in P\) reconstruye exactamente el mismo orden, en lugar de introducir silenciosamente una relación distinta. También,

\[\boxed{t<0\quad\Longleftrightarrow\quad0<-t.}\tag{2}\]

Demostración de P10 — Tricotomía respecto de la positividad

Apliquemos P′10 al par de números \(0,t\). Exactamente una de las tres relaciones siguientes es verdadera:

\[0=t,\qquad0<t,\qquad t<0.\]

Por definición de \(P\), \(0<t\) equivale a \(t\in P\). Por (2), \(t<0\) equivale a \(0<-t\), es decir, \(-t\in P\). Como las conversiones son equivalencias, mantienen tanto el carácter exhaustivo como la exclusividad de las tres alternativas. Así,

\[\boxed{\text{exactamente una de }t=0,\ t\in P,\ -t\in P\text{ se cumple}.}\]

La palabra «exactamente» es indispensable: no bastaría probar que al menos una de ellas ocurre. La exclusividad procede de P′10, no de una hipótesis encubierta sobre \(P\).

Demostración de P11 — La suma de dos positivos es positiva

Sean \(u,v\in P\). Por definición,

\[0<u\qquad\text{y}\qquad0<v.\]

Trasladamos la primera desigualdad mediante P′12, sumando \(v\):

\[v<u+v.\]

Esta relación y \(0<v\) permiten aplicar P′11, obteniendo \(0<u+v\). Por la definición de \(P\),

\[\boxed{u,v\in P\quad\Longrightarrow\quad u+v\in P.}\]

Aquí se necesitan dos pasos distintos: P′12 proporciona la segunda desigualdad de la cadena y P′11 permite encadenarla con la primera. El argumento no utiliza P11, que es precisamente lo que estamos probando.

Demostración de P12 — El producto de dos positivos es positivo

Sean nuevamente \(u,v\in P\), es decir, \(0<u\) y \(0<v\). Aplicamos P′13 a la desigualdad \(0<u\) con multiplicador \(c=v\). La condición exigida para utilizar P′13 se cumple porque \(0<v\). Resulta

\[0\cdot v<u\cdot v.\]

Las leyes algebraicas P1–P9 implican \(0\cdot v=0\); de ahí \(0<uv\) y, por definición de \(P\),

\[\boxed{u,v\in P\quad\Longrightarrow\quad uv\in P.}\]

No se presupone aquí que multiplicar positivos produce un positivo: esa es la afirmación deducida de P′13. El papel del cero debe hacerse visible para interpretar el miembro izquierdo del producto.

Conclusión de la tarea

Hemos reconstruido la definición del orden a partir de \(P\) y probado, solo desde P1–P9 y P′10–P′13, las tres propiedades P10–P12. Por consiguiente, los axiomas de orden formulados en términos de \(P\) pueden tratarse como teoremas si se toma la relación \(<\) y sus cuatro propiedades como punto de partida.

Comprobación adicional — La implicación inversa (no exigida)

Para precisar en qué sentido las dos formulaciones son equivalentes, podemos comprobar también el regreso. Supongamos ahora P10–P12 y definamos \(a<b\) por \(b-a\in P\):

• P′10: P10 aplicado a \(b-a\) da, de modo exclusivo, \(b-a=0\), \(b-a\in P\) o \(a-b\in P\). Estas condiciones son, respectivamente, \(a=b\), \(a<b\) o \(b<a\).
• P′11: si \(b-a\) y \(c-b\) están en \(P\), P11 implica que \((b-a)+(c-b)=c-a\) está en \(P\), y entonces \(a<c\).
• P′12: la diferencia \((b+h)-(a+h)=b-a\) no cambia al trasladar ambos términos; en consecuencia, \(a<b\) implica \(a+h<b+h\).
• P′13: si \(b-a\in P\) y \(c\in P\), P12 asegura \((b-a)c=bc-ac\in P\), por lo que \(ac<bc\).

Esta dirección inversa no forma parte de la consigna de E008*, pero permite distinguir entre «una lista implica la otra», que es lo pedido, y «ambas listas son equivalentes», que ahora queda demostrado sin usar completitud, raíces ni potencias reales.

Control de hipótesis y reflexión pedagógica

El caso \(t=0\) queda en una sola alternativa de P10; si \(t<0\), el elemento positivo es \(-t\) y no \(t\). En P11 y P12 se requieren ambos números estrictamente positivos; un factor cero no satisface la hipótesis de P′13 y su producto sería cero. La tricotomía no se obtiene de la transitividad por sí sola; por eso P′10 se emplea de manera explícita. El orden reconstruido es el mismo gracias a (1), hecho esencial para que las propiedades deducidas correspondan realmente a las originales.

La prueba ilustra cómo pueden elegirse diferentes conceptos primitivos para describir una misma estructura, siempre que se establezcan cuidadosamente las equivalencias entre las definiciones.

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SPV4-C01-E009 — Simplificación de expresiones con valor absoluto (incisos i–v)

Consigna — formulación española propia

En cada uno de los cinco apartados, transforma la expresión indicada en otra equivalente que tenga por lo menos un par de barras de valor absoluto menos, y mantén la igualdad para todos los valores reales permitidos de sus variables:

(i) \(|\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5+\sqrt7|\).

(ii) \(\bigl||a+b|-|a|-|b|\bigr|\).

(iii) \(\bigl||a+b|+|c|-|a+b+c|\bigr|\).

(iv) \(|x^2-2xy+y^2|\).

(v) \(\bigl||\sqrt2+\sqrt3|-|\sqrt5-\sqrt7|\bigr|\).

En (ii)–(iii), \(a,b,c\) son números reales cualesquiera; en (iv), \(x,y\in\mathbb R\). Todas las raíces se entienden como raíces no negativas. Basta eliminar al menos un par de barras por expresión.

Herramienta común — una prueba elemental de la desigualdad triangular

Para un real \(t\), por definición \(|t|=t\) si \(t\ge0\) y \(|t|=-t\) si \(t<0\). Por eso \(-|t|\le t\le|t|\). Dados \(u,v\in\mathbb R\), sumamos las dos dobles desigualdades:

\[ -(|u|+|v|)\le u+v\le |u|+|v|. \]

Como \(|u|+|v|\ge0\), la definición de valor absoluto implica que \(|u+v|\) no supera esa cota (se comprueba separadamente si \(u+v\ge0\) o \(u+v<0\)). Hemos demostrado, sin remitirnos a un ejercicio posterior,

\[\boxed{|u+v|\le |u|+|v|.}\tag{T}\]

La misma prueba permite tratar \(u=a+b\), \(v=c\). La desigualdad triangular se estudiará con mayor amplitud en E014; aquí solo se adelanta y demuestra la versión necesaria, evitando utilizar como premisa el resultado que justifica la simplificación.

(i) El argumento es estrictamente positivo

Enunciado particular. Reduce el número de barras en \(\left|\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5+\sqrt7\right|\).

Pista 1. Reagrupa como \((\sqrt7-\sqrt5)+(\sqrt2+\sqrt3)\).

Pista 2. Justifica \(\sqrt7>\sqrt5\) comparando sus cuadrados: son raíces no negativas y \(7>5\).

Estrategia y solución. Por E005(x), \(\sqrt7>\sqrt5\), ya que \(7>5\) y ambas raíces son no negativas. Además, \(\sqrt2>0\) y \(\sqrt3>0\). Por tanto,

\[ \sqrt2+\sqrt3-\sqrt5+\sqrt7 =(\sqrt7-\sqrt5)+(\sqrt2+\sqrt3)>0. \]

La definición de valor absoluto permite suprimir las barras exteriores:

\[\boxed{\left|\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5+\sqrt7\right|=\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5+\sqrt7.}\]

Control. No se han aproximado raíces ni se ha supuesto que un valor absoluto preserve sin más los signos negativos de sus términos: se prueba el signo de la suma completa. El argumento nunca es cero, así que el resultado vale sin excepciones.

(ii) La expresión interior nunca es positiva

Enunciado particular. Simplifica \(\left|\,|a+b|-|a|-|b|\,\right|\) para todo par \(a,b\in\mathbb R\), suprimiendo al menos un par de barras.

Pista 1. En (T), sustituye \((u,v)\) por \((a,b)\).

Pista 2. Si \(q\le0\), entonces \(|q|=-q\); aplica esto a \(q=|a+b|-|a|-|b|\).

Estrategia y solución. La desigualdad triangular ya demostrada establece

\[|a+b|\le|a|+|b|,\]

es decir, \(q=|a+b|-|a|-|b|\le0\). Por la definición de valor absoluto,

\[ \begin{aligned} \left|\,|a+b|-|a|-|b|\,\right| &=-\bigl(|a+b|-|a|-|b|\bigr)\\ &=\boxed{|a|+|b|-|a+b|}. \end{aligned} \]

Control de la igualdad y los signos. Si \(a,b\ge0\), la expresión final es \(a+b-(a+b)=0\); si \(a,b\le0\), también vale cero. Si tienen signos contrarios y ambos son no nulos, la diferencia es positiva: para \(a\ge0\ge b\), por ejemplo, resulta \(|a|+|b|-|a+b|=a-b-|a+b|=2\min(a,-b)>0\). Por simetría ocurre lo mismo para \(b\ge0\ge a\). En consecuencia, el resultado se anula exactamente cuando \(ab\ge0\) (incluidos los factores nulos). No puede reemplazarse el miembro final por cero para variables arbitrarias: \(a=2,b=-1\) da \(2\).

(iii) Aplicar la desigualdad triangular a una suma agrupada

Enunciado particular. Para cualesquiera \(a,b,c\in\mathbb R\), elimina como mínimo un par de barras en \(\left|\,|a+b|+|c|-|a+b+c|\,\right|\).

Pista 1. Escribe \(a+b+c=(a+b)+c\) y olvida temporalmente que \(a+b\) contiene dos sumandos.

Pista 2. Aplica (T) con \(u=a+b\) y \(v=c\), y determina el signo de \(|a+b|+|c|-|a+b+c|\).

Estrategia y solución. De (T) obtenemos directamente

\[|a+b+c|=|(a+b)+c|\le|a+b|+|c|.\]

El argumento de las barras exteriores es, por tanto, no negativo; su valor absoluto coincide con él:

\[ \boxed{\left|\,|a+b|+|c|-|a+b+c|\,\right| =|a+b|+|c|-|a+b+c|.} \]

Control de fronteras. Se obtiene igualdad con cero si \(a+b\) y \(c\) tienen el mismo signo, permitiendo el cero: por ejemplo \(a=2,b=-1,c=3\). No hay igualdad necesariamente si difieren los signos: \(a=2,b=1,c=-1\) produce \(3+1-2=2\). Si \(a+b=0\) o \(c=0\), el resultado también es cero. De hecho, por el criterio del apartado (ii) aplicado a \(u=a+b\), \(v=c\), la igualdad equivale a \((a+b)c\ge0\). La identidad es válida para todos los reales; no se han impuesto esas condiciones como hipótesis del problema.

(iv) Un cuadrado nunca es negativo

Enunciado particular. Encuentra una expresión sin barras equivalente a \(|x^2-2xy+y^2|\) para cualesquiera \(x,y\in\mathbb R\).

Pista 1. Reconoce el desarrollo del cuadrado de una diferencia.

Pista 2. Determina si \((x-y)^2\) puede ser negativo y aplica la definición de \(|\cdot|\).

Estrategia y solución. Por distributividad,

\[x^2-2xy+y^2=(x-y)^2\ge0.\]

Así, el valor absoluto es redundante:

\[\boxed{|x^2-2xy+y^2|=x^2-2xy+y^2=(x-y)^2.}\]

Control. Si \(x=y\), el argumento vale cero y la identidad sigue siendo válida. Si \(x\ne y\), el cuadrado es positivo. No se ha sustituido equivocadamente \(|x-y|^2\) por \(x-y\): su cuadrado coincide con \((x-y)^2\), pero el signo del número sin elevar puede ser negativo.

(v) Determinar el signo de cada nivel de barras

Enunciado particular. Simplifica \(\left|\,|\sqrt2+\sqrt3|-|\sqrt5-\sqrt7|\,\right|\) y procura eliminar todas las barras.

Pista 1. En las barras interiores, \(\sqrt2+\sqrt3>0\) y \(\sqrt5-\sqrt7<0\).

Pista 2. Para las barras exteriores, prueba \(\sqrt2+\sqrt3>\sqrt7\) comparando cuadrados de cantidades positivas: \((\sqrt2+\sqrt3)^2=5+2\sqrt6>7\).

Estrategia y solución. Como ambas raíces de la primera suma son positivas,

\[|\sqrt2+\sqrt3|=\sqrt2+\sqrt3.\]

Por \(\sqrt7>\sqrt5\), la segunda diferencia es negativa, por lo que

\[|\sqrt5-\sqrt7|=\sqrt7-\sqrt5.\]

Queda probar el signo de la diferencia de estos dos valores. Ya que \(\sqrt6>1\) (ambas cantidades son no negativas y sus cuadrados satisfacen \(6>1\)), tenemos

\[ (\sqrt2+\sqrt3)^2=5+2\sqrt6>5+2=7=(\sqrt7)^2. \]

Ambos lados originales \(\sqrt2+\sqrt3\) y \(\sqrt7\) son positivos; E005(x) implica \(\sqrt2+\sqrt3>\sqrt7\). Con mayor razón,

\[\sqrt2+\sqrt3-(\sqrt7-\sqrt5) =(\sqrt2+\sqrt3-\sqrt7)+\sqrt5>0.\]

Ahora sí podemos eliminar las barras exteriores:

\[ \boxed{\left|\,|\sqrt2+\sqrt3|-|\sqrt5-\sqrt7|\,\right| =\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5-\sqrt7.} \]

Control. La igualdad elimina los tres pares de barras. El signo de la segunda diferencia interior se invierte antes de restarla; sustituir erróneamente \(|\sqrt5-\sqrt7|\) por \(\sqrt5-\sqrt7\) cambiaría la respuesta. La comparación de cuadrados es exacta y evita depender de aproximaciones decimales.

Resultados simplificados

(i) \(\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5+\sqrt7\) (un par eliminado).

(ii) \(|a|+|b|-|a+b|\) (un par eliminado).

(iii) \(|a+b|+|c|-|a+b+c|\) (un par eliminado).

(iv) \((x-y)^2\) (un par eliminado).

(v) \(\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5-\sqrt7\) (tres pares eliminados).

En (ii) y (iii) basta demostrar el signo del argumento de las barras exteriores mediante la desigualdad triangular. En (i) y (v), las comparaciones de raíces se justifican por sus cuadrados; en (iv), el argumento es un cuadrado.

SPV4-C01-E010 — Eliminar valores absolutos mediante particiones de casos (incisos i–iv)

Consigna — formulación española propia

Para cada expresión, proporciona una fórmula que no contenga ningún signo de valor absoluto, válida para todos los números reales de sus variables. Cuando una sola fórmula polinómica no sea válida en toda la recta o en todo el plano, distingue expresamente los casos necesarios y fija qué sucede en sus fronteras.

Inciso	Expresión que se debe reescribir
(i)	\(\lvert a+b\rvert -\lvert b\rvert\), con \(a,b\in\mathbb R\).
(ii)	\(\bigl\lvert\,\lvert x\rvert -1\,\bigr\rvert\), con \(x\in\mathbb R\).
(iii)	\(\lvert x\rvert -\lvert x^2\rvert\), con \(x\in\mathbb R\).
(iv)	\(a-\bigl\lvert a-\lvert a\rvert \bigr\rvert\), con \(a\in\mathbb R\).

La consigna exige eliminar todas las barras, a diferencia del ejercicio 9. Para las barras anidadas de (ii) y (iv), se resuelven primero las interiores.

Herramienta — significado preciso de una partición por signos

Para cada número real \(t\), la definición del valor absoluto establece

\[ |t|=\begin{cases}t,&t\ge0,\\-t,&t<0.\end{cases} \]

Los dos casos son exhaustivos y disjuntos: el punto \(t=0\) pertenece al primero. Una expresión con dos argumentos distintos dentro de barras puede exigir comprobar los signos de ambos: no se puede decidir el signo de \(a+b\) conociendo solamente el de \(b\). La sustitución por casos es una identidad para cada región, no una elección arbitraria de signos.

(i) Diferencia de dos valores absolutos con parámetros independientes

Enunciado particular. Para todos \(a,b\in\mathbb R\), elimina los dos pares de barras de \(|a+b|-|b|\) dando una fórmula completa por casos.

Pista 1. Las cantidades cuyo signo importa son \(b\) y \(a+b\), no únicamente \(a\) y \(b\).

Pista 2. Cruza \(b\ge0\) o \(b<0\) con \(a+b\ge0\) o \(a+b<0\), aplica dos veces la definición y simplifica. Incluye los puntos \(b=0\) y \(a+b=0\) exactamente una vez.

Estrategia. Dividimos el plano de parámetros mediante las rectas \(b=0\) y \(a+b=0\). En cada región las dos barras se convierten en expresiones con signos determinados.

Demostración. Si \(b\ge0\), \(|b|=b\): cuando además \(a+b\ge0\), obtenemos \((a+b)-b=a\); cuando \(a+b<0\), obtenemos \(-(a+b)-b=-a-2b\). Si \(b<0\), \(|b|=-b\): cuando \(a+b\ge0\), obtenemos \((a+b)-(-b)=a+2b\); cuando \(a+b<0\), obtenemos \(-(a+b)-(-b)=-a\). En consecuencia,

\[ \boxed{ |a+b|-|b|= \begin{cases} a,&b\ge0,\ a+b\ge0,\\ -a-2b,&b\ge0,\ a+b<0,\\ a+2b,&b<0,\ a+b\ge0,\\ -a,&b<0,\ a+b<0. \end{cases}} \]

Controles de frontera y de signo. Para \(b=0\), las dos primeras ramas producen \(a\) si \(a\ge0\) y \(-a\) si \(a<0\): en ambos casos el valor es \(|a|\), como exige la expresión inicial. Cuando \(a+b=0\), la primera y la tercera ramas asignan la frontera según el signo de \(b\) y reproducen \(-|b|\). En concreto, \((a,b)=(-3,1)\) da \(|-2|-1=1=-a-2b\), y \((a,b)=(3,-1)\) da \(|2|-1=1=a+2b\). Sustituir la expresión por \(a\) en todo el plano sería incorrecto.

Observación. La desigualdad triangular demostrada en E009 da \(|a+b|\le|a|+|b|\) y, al escribir \(b=(a+b)-a\), también \(|b|\le|a+b|+|a|\). De ambas cotas se sigue \(-|a|\le|a+b|-|b|\le|a|\), esto es, \(\bigl||a+b|-|b|\bigr|\le|a|\). Es un control adicional que no sustituye la partición requerida ni introduce barras en la respuesta final.

(ii) Dos niveles de barras y cuatro tramos de la recta

Enunciado particular. Para cada real \(x\), escribe \(\bigl|\,|x|-1\,\bigr|\) sin ninguna barra y especifica todos los intervalos de validez.

Pista 1. Examina primero \(|x|\): vale \(-x\) si \(x<0\) y \(x\) si \(x\ge0\).

Pista 2. En la región negativa, el argumento exterior es \(-x-1\) y cambia de signo en \(x=-1\); en la no negativa es \(x-1\) y cambia de signo en \(x=1\).

Estrategia y demostración. Si \(x<-1\), entonces \(|x|=-x>1\), por lo que la expresión es \(-x-1\). Si \(-1\le x<0\), se tiene \(|x|=-x\le1\), de modo que el argumento de la barra exterior \(-x-1\le0\) y su valor absoluto es \(1+x\). Para \(0\le x<1\), tenemos \(|x|=x<1\), así que el valor es \(1-x\). Por último, si \(x\ge1\), \(|x|=x\ge1\) y el resultado es \(x-1\). Así,

\[ \boxed{ \bigl|\,|x|-1\,\bigr|= \begin{cases} -x-1,&x<-1,\\ 1+x,&-1\le x<0,\\ 1-x,&0\le x<1,\\ x-1,&x\ge1. \end{cases}} \]

Control. Los cuatro intervalos cubren \(\mathbb R\) sin solaparse. En \(x=-1\) se obtiene \(0\); en \(x=0\), \(1\); y en \(x=1\), \(0\), exactamente como en la fórmula inicial. En el tramo intermedio \(-1<x<0\) la expresión es \(1+x\), no \(1-x\): por ejemplo \(x=-\tfrac12\) da \(\bigl|\tfrac12-1\bigr|=\tfrac12\).

Otra lectura. La expresión cuantifica la diferencia entre la magnitud \(|x|\) y \(1\); los cambios de signo ocurren en \(-1,0,1\). Esta intuición ayuda a descubrir los cortes, pero no reemplaza las verificaciones algebraicas anteriores.

(iii) Distinguir un cuadrado de su raíz no negativa

Enunciado particular. Para todo \(x\in\mathbb R\), expresa \(|x|-|x^2|\) sin barras, indicando qué ocurre para \(x=0\).

Pista 1. No es preciso estudiar el signo de \(x^2\): siempre es no negativo.

Pista 2. Sustituye primero \(|x^2|\) por \(x^2\) y, después, divide en \(x<0\) y \(x\ge0\).

Estrategia y demostración. Por los axiomas de orden, \(x^2\ge0\), incluso cuando \(x<0\). En consecuencia, \(|x^2|=x^2\) para todos los reales; solo queda decidir el signo de \(x\). De la definición resulta

\[ \boxed{ |x|-|x^2|= \begin{cases} -x-x^2,&x<0,\\ x-x^2,&x\ge0. \end{cases}} \]

Control. En \(x=0\) se obtiene \(0\) por la segunda rama. Para \(x=-2\), la expresión original vale \(2-4=-2\), y la primera rama da \(2-4=-2\); sería falso reemplazar \(|x|\) por \(x\) para ese valor. Los ceros de la función son \(x=-1,0,1\): en la primera rama, \(-x-x^2=-x(1+x)=0\) con \(x<0\) solo cuando \(x=-1\); en la segunda, \(x-x^2=x(1-x)=0\) con \(x\ge0\) cuando \(x=0\) o \(x=1\). No se necesitan cortes adicionales en \(-1\) y \(1\) para eliminar barras: interesarían únicamente si se solicitara también clasificar el signo del resultado.

(iv) El valor absoluto de la diferencia con la propia magnitud

Enunciado particular. Para todos los reales \(a\), elimina todas las barras de \(a-\bigl|a-|a|\bigr|\) mediante una fórmula por casos.

Pista 1. Determina \(a-|a|\) según que \(a\ge0\) o \(a<0\).

Pista 2. Si \(a<0\), \(|a|=-a\), así que \(a-|a|=2a<0\) y su valor absoluto es \(-2a\). No olvides la resta exterior.

Estrategia y demostración. Si \(a\ge0\), \(|a|=a\) y el argumento de la barra exterior es \(a-a=0\). En consecuencia, \(a-\bigl|a-|a|\bigr|=a\). Si \(a<0\), \(|a|=-a\), por lo que \(a-|a|=2a<0\) y \(|a-|a||=-2a\); al restarlo del \(a\) inicial resulta \(a-(-2a)=3a\). Por tanto,

\[ \boxed{ a-\bigl|a-|a|\bigr|= \begin{cases} 3a,&a<0,\\ a,&a\ge0. \end{cases}} \]

Comprobación y segunda vía. La desigualdad \(a\le|a|\) vale siempre, de modo que \(a-|a|\le0\). Por definición, \(|a-|a||=|a|-a\), y, sin introducir casos todavía, la expresión original equivale a \(a-(|a|-a)=2a-|a|\). Una última aplicación de la definición para \(a<0\) o \(a\ge0\) reproduce las dos ramas: \(3a\) y \(a\). Para \(a=-2\) el original es \(-2-|-2-2|=-6\), y para \(a=2\) es \(2-|2-2|=2\). En \(a=0\) ambas expresiones lineales coinciden en cero y la rama asignada es la segunda.

Tabla de resultados y cierre matemático

Inciso	Fórmula sin barras	Regiones y fronteras
(i)	\(a\), \(-a-2b\), \(a+2b\), \(-a\) según los signos de \(b\) y \(a+b\).	Cuatro regiones disjuntas; \(b=0\) y \(a+b=0\) asignados expresamente.
(ii)	\(-x-1\), \(1+x\), \(1-x\), \(x-1\).	\(x<-1\); \(-1\le x<0\); \(0\le x<1\); \(x\ge1\).
(iii)	\(-x-x^2\) si \(x<0\); \(x-x^2\) si \(x\ge0\).	\(x=0\) asignado a la segunda rama.
(iv)	\(3a\) si \(a<0\); \(a\) si \(a\ge0\).	\(a=0\) asignado a la segunda rama.

Las cuatro fórmulas por casos son válidas en todo su dominio. En los cambios de signo, cada frontera está asignada exactamente a una región; las dos ramas que podrían coincidir en una frontera ofrecen el mismo valor.

SPV4-C01-E011 — Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto (incisos i–viii)

Consigna — formulación española propia

Determina todos los números reales \(x\) que satisfacen cada relación. Debes establecer tanto que cada número de tu conjunto solución verifica la relación como que ningún número exterior a él la verifica. Los signos estrictos excluyen los puntos de igualdad.

Inciso	Relación que debe resolverse
(i)	\(\lvert x-3\rvert =8\).
(ii)	\(\lvert x-3\rvert <8\).
(iii)	\(\lvert x+4\rvert <2\).
(iv)	\(\lvert x-1\rvert +\lvert x-2\rvert >1\).
(v)	\(\lvert x-1\rvert +\lvert x+1\rvert <2\).
(vi)	\(\lvert x-1\rvert +\lvert x+1\rvert <1\).
(vii)	\(\lvert x-1\rvert \,\lvert x+1\rvert =0\).
(viii)	\(\lvert x-1\rvert \,\lvert x+2\rvert =3\).

En los ocho apartados, \(x\) recorre todo \(\mathbb R\): no hay denominadores ni restricciones adicionales de dominio.

Herramientas deducidas de la definición

Para \(t\in\mathbb R\) y \(r>0\), la definición de \(|t|\) da equivalencias que se justificarán al aplicarlas:

\[ |t|=r\iff (t=r\ \text{o}\ t=-r),\qquad |t|<r\iff-r<t<r. \]

La primera procede de los dos signos posibles de \(t\); la segunda se obtiene al examinar \(t\ge0\) y \(t<0\). Una desigualdad \(|t|<r\) no tiene solución si \(r\le0\), ya que \(|t|\ge0\). De E009 disponemos de una demostración autónoma de la desigualdad triangular \(|u+v|\le|u|+|v|\). Si dos barras multiplicadas aparecen en (vii)–(viii), justificaremos directamente las reglas de producto necesarias, sin citar E012 como si ya estuviera terminado.

(i) Una igualdad con dos posibilidades

Enunciado particular. Encuentra todos los reales \(x\) para los cuales \(|x-3|=8\).

Pista 1. Pregunta qué dos números tienen magnitud \(8\).

Pista 2. Resuelve por separado \(x-3=8\) y \(x-3=-8\), y sustituye los candidatos en la igualdad inicial.

Estrategia y demostración. Si \(x-3\ge0\), entonces \(|x-3|=x-3\), y la igualdad exige \(x=11\). Si \(x-3<0\), su valor absoluto es \(3-x\), y la igualdad exige \(x=-5\). Ambos candidatos pertenecen a sus respectivos casos (\(11-3>0\) y \(-5-3<0\)). Recíprocamente,

\[|11-3|=8,\qquad|-5-3|=8.\]

Los casos \(x-3\ge0\) y \(x-3<0\) agotan toda la recta; por tanto, no hay otras soluciones:

\[\boxed{S_{\mathrm{i}}=\{-5,11\}.}\]

Control. La igualdad, a diferencia de la desigualdad estricta del apartado siguiente, incluye los dos puntos donde la magnitud alcanza exactamente \(8\). El valor intermedio \(x=3\) produce \(0\), no \(8\).

(ii) Un intervalo abierto alrededor de tres

Enunciado particular. Determina el conjunto de reales que cumplen \(|x-3|<8\).

Pista 1. Reformula la condición como una doble desigualdad para \(x-3\).

Pista 2. Suma \(3\) a los tres términos; comprueba los dos extremos en el enunciado original.

Estrategia y demostración. Para todo real \(t\), la condición \(|t|<8\) equivale a \(-8<t<8\): si \(t\ge0\), basta \(t<8\) y ya se tiene \(t>-8\); si \(t<0\), la condición \(-t<8\) equivale a \(t>-8\), y automáticamente \(t<8\). Aplicándola a \(t=x-3\) obtenemos equivalencias en ambos sentidos:

\[|x-3|<8\iff-8<x-3<8\iff-5<x<11.\]

De aquí se obtiene

\[\boxed{S_{\mathrm{ii}}=(-5,11).}\]

Control. En \(-5\) y \(11\), el miembro izquierdo vale \(8\) y la desigualdad estricta es falsa. En \(x=3\) vale \(0<8\). Todo punto interior cumple ambas comparaciones que definen el valor absoluto; ningún punto exterior lo hace.

(iii) Trasladar el centro de una desigualdad

Enunciado particular. Determina todos los reales \(x\) que satisfacen \(|x+4|<2\).

Pista 1. Sustituye temporalmente \(t=x+4\) y considera \(-2<t<2\).

Pista 2. Resta \(4\) y decide si los extremos del intervalo se incluyen.

Estrategia y demostración. Utilizando la equivalencia justificada en (ii) para el radio positivo \(2\),

\[|x+4|<2\iff-2<x+4<2\iff-6<x<-2.\]

Así,

\[\boxed{S_{\mathrm{iii}}=(-6,-2).}\]

Control. Ambos extremos producen exactamente \(2\) y quedan fuera. El centro \(x=-4\) da cero y pertenece al intervalo. El desplazamiento por \(4\) no invierte el orden, pues solo se suma o resta la misma cantidad.

(iv) Suma de magnitudes y sus dos puntos de ruptura

Enunciado particular. Resuelve para todo \(x\in\mathbb R\) la desigualdad \(|x-1|+|x-2|>1\).

Pista 1. Los argumentos de las barras cambian de signo en \(1\) y \(2\).

Pista 2. Calcula la suma en las regiones \(x<1\), \(1\le x\le2\) y \(x>2\), y compara cada fórmula con \(1\).

Estrategia y demostración. En las tres regiones, por definición de valor absoluto,

\[ |x-1|+|x-2|= \begin{cases} (1-x)+(2-x)=3-2x,&x<1,\\ (x-1)+(2-x)=1,&1\le x\le2,\\ (x-1)+(x-2)=2x-3,&x>2. \end{cases} \]

Si \(x<1\), \(3-2x>3-2=1\). Entre \(1\) y \(2\), incluidos ambos extremos, la suma es exactamente \(1\) y no satisface \(>1\). Si \(x>2\), \(2x-3>4-3=1\). Esta partición incluye todos los reales, por lo cual

\[\boxed{S_{\mathrm{iv}}=(-\infty,1)\cup(2,\infty).}\]

Control y lectura estructural. En \(x=1\) y \(x=2\) se produce igualdad; en \(x=3/2\) la suma también vale \(1\). La desigualdad triangular aplicada a \((x-1)-(x-2)=1\) da \(1\le|x-1|+|x-2|\), pero esa cota sola no identifica cuándo hay igualdad. La partición demuestra que ocurre exactamente en \([1,2]\).

(v) Desigualdad estricta por debajo de la cota mínima

Enunciado particular. Determina todos los reales que cumplen \(|x-1|+|x+1|<2\).

Pista 1. Escribe \(2=(x+1)-(x-1)\), una identidad válida para todo \(x\).

Pista 2. Aplica la desigualdad triangular a \((x+1)+(-(x-1))\) y usa \(|-t|=|t|\), consecuencia inmediata de la definición.

Estrategia y demostración. El lema triangular demostrado en E009 proporciona, sin restricción sobre \(x\),

\[ 2=|2|=|(x+1)-(x-1)| \le|x+1|+|-(x-1)| =|x+1|+|x-1|. \]

Por tanto, la expresión del enunciado es siempre mayor o igual que \(2\) y nunca estrictamente menor:

\[\boxed{S_{\mathrm{v}}=\varnothing.}\]

Control independiente por casos. Para \(x<-1\) la suma vale \(-2x>2\); para \(-1\le x\le1\) vale \((1-x)+(x+1)=2\); para \(x>1\) vale \(2x>2\). Así, la cota inferior se alcanza exactamente en \([-1,1]\), pero el signo solicitado es \(<\) y no \(\le\).

(vi) Una condición todavía más restrictiva

Enunciado particular. Resuelve \(|x-1|+|x+1|<1\) sobre toda la recta real.

Pista 1. Observa que se trata de la misma suma que en (v), con una cota superior menor.

Pista 2. Emplea la desigualdad universal \(|x-1|+|x+1|\ge2\) ya demostrada y compara \(2\) con \(1\).

Estrategia y demostración. Para cada real \(x\), el argumento de (v) prueba \(|x-1|+|x+1|\ge2>1\). Por consiguiente no existe ningún \(x\) que cumpla la relación. Alternativamente, cualquier \(x\) que satisficiera \(|x-1|+|x+1|<1\) satisfaría también la condición \(<2\) de (v), cuyo conjunto solución es vacío. Así,

\[\boxed{S_{\mathrm{vi}}=\varnothing.}\]

Control. Ni siquiera los puntos de mínima suma, todos los de \([-1,1]\), cumplen la desigualdad: allí el valor es \(2\). Que una desigualdad tenga el signo \(<\) no implica que necesariamente exista un intervalo solución.

(vii) Un producto de magnitudes igual a cero

Enunciado particular. Determina todos los reales que verifican \(|x-1|\,|x+1|=0\).

Pista 1. Utiliza el principio del producto nulo probado en E001: si un producto es cero, alguno de sus factores debe ser cero.

Pista 2. Una magnitud \(|t|\) vale cero exactamente cuando \(t=0\); aplica esto a cada factor y comprueba la recíproca.

Estrategia y demostración. El principio del producto nulo da

\[|x-1|\,|x+1|=0\iff |x-1|=0\ \text{o}\ |x+1|=0.\]

Por definición de valor absoluto, \(|t|=0\iff t=0\). Por tanto, las posibilidades son \(x-1=0\) o \(x+1=0\), es decir, \(x=1\) o \(x=-1\). Si sustituimos cualquiera de ellas, un factor se anula y el producto vale cero. Concluimos

\[\boxed{S_{\mathrm{vii}}=\{-1,1\}.}\]

Control. En \(x=0\) ambos factores valen \(1\) y el producto es \(1\), no cero. No corresponde resolver \(|x-1|=|x+1|\) ni exigir que ambos factores se anulen simultáneamente.

(viii) Un producto de magnitudes fijado en tres

Enunciado particular. Resuelve para todo número real \(x\) la ecuación \(|x-1|\,|x+2|=3\).

Pista 1. Justifica que, para cualesquiera reales \(u,v\), se cumple \(|u|\,|v|=|uv|\). Con ello la ecuación se convierte en \(|x^2+x-2|=3\).

Pista 2. Separa los casos \(x^2+x-2=3\) y \(x^2+x-2=-3\). Completa el cuadrado en cada uno; no supongas que las dos ecuaciones poseen raíces reales.

Estrategia: reducir barras, resolver y descartar ramas imposibles. La identidad \(|u|\,|v|=|uv|\) se demuestra directamente desde la definición: si algún factor es cero, ambos miembros son cero; si ambos son positivos o ambos negativos, el producto es positivo y las dos magnitudes multiplicadas son \(uv\); si tienen signos contrarios, el producto es negativo y ambas expresiones valen \(-uv\). Este argumento no depende de E012(i), ejercicio todavía no resuelto. Por distributividad,

\[|x-1|\,|x+2|=|(x-1)(x+2)|=|x^2+x-2|.\]

Por la definición de valor absoluto, una magnitud vale \(3>0\) si y solo si su argumento vale \(3\) o \(-3\). Estudiamos las dos posibilidades.

Primera rama. Si \(x^2+x-2=3\), entonces

\[ \begin{aligned} x^2+x-5&=0,\\ \left(x+\frac12\right)^2&=\frac{21}{4},\\ \left|x+\frac12\right|&=\frac{\sqrt{21}}{2},\\ x&=\frac{-1+\sqrt{21}}2\quad\text{o}\quad x=\frac{-1-\sqrt{21}}2. \end{aligned} \]

El paso de cuadrados a valores absolutos utiliza la raíz real no negativa de \(21\) y la monotonía/inversión de cuadrados sobre los no negativos [E005(ix)–(x)]. Ambos candidatos son reales distintos porque \(21>0\), y satisfacen la primera ecuación por sustitución en \(\left(x+\tfrac12\right)^2=21/4\), lo que a su vez garantiza que la magnitud original vale \(3\).

Segunda rama. Si \(x^2+x-2=-3\), obtendríamos

\[x^2+x+1=\left(x+\frac12\right)^2+\frac34=0.\]

Esto es imposible para un real: el cuadrado es no negativo, de modo que el miembro izquierdo es como mínimo \(3/4>0\). Esta rama no produce soluciones reales. Reuniendo todas las posibilidades y verificadas sus recíprocas,

\[\boxed{S_{\mathrm{viii}}=\left\{\frac{-1-\sqrt{21}}2,\ \frac{-1+\sqrt{21}}2\right\}.}\]

Comprobación de extremos y dependencia. Los puntos \(x=1\) y \(x=-2\) hacen que el producto inicial sea cero y no son soluciones de este apartado; no deben heredarse las respuestas de (vii). Al cuadrar directamente \(|x^2+x-2|=3\) se generaría una ecuación de cuarto grado innecesaria y se ocultaría que una de las dos ramas es imposible. Como en E007, la existencia de la raíz real no negativa \(\sqrt{21}\) queda fundada mediante completitud en el anexo matemático; no se atribuye a P1–P12.

Resultados, revisión de fronteras y cierre

Inciso	Conjunto solución
(i)	\(\{-5,11\}\)
(ii)	\((-5,11)\)
(iii)	\((-6,-2)\)
(iv)	\((-\infty,1)\cup(2,\infty)\)
(v)	\(\varnothing\)
(vi)	\(\varnothing\)
(vii)	\(\{-1,1\}\)
(viii)	\(\left\{(-1-\sqrt{21})/2,\,(-1+\sqrt{21})/2\right\}\)

La resolución de una ecuación exige comprobar todos los casos de signo y verificar los candidatos. En las desigualdades estrictas se excluyen los puntos de igualdad; para una suma de valores absolutos conviene buscar primero una cota inferior. En (v) y (vi), esa cota es \(2\), por lo que no existen soluciones.

SPV4-C01-E012 — Álgebra y desigualdades del valor absoluto (incisos i–vii)

Planteamiento y herramientas previas

Para cualesquiera números reales \(x,y,z\), demuestra las siete afirmaciones siguientes, respetando la hipótesis \(x\ne0\) en (ii) y \(y\ne0\) en (iii). El último inciso exige, además de probar una desigualdad, caracterizar y demostrar todos los casos de igualdad. Cada consigna particular se desarrolla autónomamente más abajo.

Recordemos la definición \(|t|=t\) cuando \(t\ge0\), e \(|t|=-t\) cuando \(t<0\). De ella se deducen sin teoría de raíces:

\[ |t|\ge0,\qquad |t|=0\iff t=0,\qquad |-t|=|t|,\qquad |t|^2=t^2. \]

También se dispone de la desigualdad triangular \(|u+v|\le|u|+|v|\), demostrada desde la definición en E009. Cuando la apliquemos, indicaremos la sustitución utilizada. No se suponen como premisas las identidades que se van a demostrar en este mismo ejercicio.

(i) Valor absoluto de un producto

Enunciado particular. Para todos \(x,y\in\mathbb R\), demuestra \(|xy|=|x|\,|y|\).

Pista 1. Comprueba que los dos miembros son no negativos, incluso si alguno de los factores es cero.

Pista 2. Eleva al cuadrado ambos miembros mediante la identidad \(|t|^2=t^2\), y recuerda la unicidad del número no negativo que tiene un cuadrado dado.

Estrategia y demostración. Por definición de magnitud y por el producto de no negativos, \(|xy|\ge0\) y \(|x||y|\ge0\). Sus cuadrados coinciden:

\[ (|x||y|)^2=|x|^2|y|^2=x^2y^2=(xy)^2=|xy|^2. \]

De la igualdad de cuadrados, E001(iii), se obtiene \(|xy|=|x||y|\) o \(|xy|=-|x||y|\). En la segunda posibilidad, la no negatividad de ambos miembros fuerza que ambos sean cero y, por tanto, también se cumple la igualdad buscada. Equivalentemente, la función cuadrado es inyectiva sobre \([0,\infty)\) por E005(ix). En cualquier caso,

\[\boxed{|xy|=|x|\,|y|.}\]

Control. Si \(x=0\) o \(y=0\), ambos miembros son cero. Si \(x=-2,y=-3\), ambos valen \(6\); si \(x=-2,y=3\), ambos valen \(6\). La igualdad no depende de escoger signos particulares y no invoca ninguna regla para cocientes.

(ii) Magnitud del inverso

Enunciado particular. Si \(x\in\mathbb R\) y \(x\ne0\), demuestra que \(\left|\frac1x\right|=\frac1{|x|}\).

Pista 1. Escribe \(1/x=x^{-1}\); justifica por qué \(|x|\) no es cero y tiene inverso.

Pista 2. Aplica (i) al producto \(xx^{-1}=1\) y utiliza la unicidad del inverso multiplicativo.

Estrategia y demostración. Como \(x\ne0\), \(x^{-1}\) existe. Además, \(|x|\ne0\), porque \(|x|=0\) implicaría \(x=0\). El apartado (i), que ya está demostrado, permite escribir

\[ |x|\,|x^{-1}|=|xx^{-1}|=|1|=1. \]

Así, \(|x^{-1}|\) es el inverso multiplicativo de \(|x|\); por unicidad del inverso,

\[\boxed{\left|\frac1x\right|=|x^{-1}|=(|x|)^{-1}=\frac1{|x|}.}\]

Control y dominio. Para \(x=-2\), ambos miembros valen \(1/2\); para \(x=2\), ocurre lo mismo. Si \(x=0\), ninguno de los cocientes está definido. No se ha aplicado la identidad del cociente de (iii), aún por demostrar, para justificar (ii).

(iii) Magnitud de un cociente

Enunciado particular. Para todo \(x\in\mathbb R\) y \(y\ne0\), prueba que \(\left|\frac xy\right|=\frac{|x|}{|y|}\).

Pista 1. Reescribe \(x/y\) como \(x\,y^{-1}\).

Pista 2. Aplica sucesivamente el resultado del producto (i) y el del inverso (ii).

Estrategia y demostración. La hipótesis \(y\ne0\) garantiza la existencia de \(y^{-1}\) y que \(|y|\ne0\). Por las identidades ya probadas,

\[ \begin{aligned} \left|\frac xy\right| &=|x\,y^{-1}|\\ &=|x|\,|y^{-1}|\\ &=|x|\,(|y|)^{-1} =\boxed{\frac{|x|}{|y|}}. \end{aligned} \]

Control. Si \(x=0\) y \(y\ne0\), ambos miembros son cero; por ejemplo, \(|-6/(-2)|=3=6/2\). No se requiere \(x\ne0\). El punto \(y=0\) se excluye antes de calcular, pues produciría cocientes indefinidos a ambos lados.

(iv) Versión de la desigualdad triangular para una resta

Enunciado particular. Para todos \(x,y\in\mathbb R\), demuestra \(|x-y|\le|x|+|y|\).

Pista 1. Considera \(x-y\) como la suma \(x+(-y)\).

Pista 2. Aplica la desigualdad triangular de E009 y después \(|-y|=|y|\).

Estrategia y demostración. La desigualdad triangular, demostrada a partir de las cotas \(-|t|\le t\le|t|\), se puede aplicar a \(u=x\) y \(v=-y\):

\[ |x-y|=|x+(-y)|\le|x|+|-y|=\boxed{|x|+|y|}. \]

La identidad \(|-y|=|y|\) se verifica directamente examinando \(y\ge0\) o \(y<0\); no es una suposición adicional. La prueba es válida para cualesquiera signos y en los casos nulos.

Control. Para \(x=2,y=-1\), la desigualdad es igualdad \(3=2+1\). Para \(x=y=2\), dice \(0\le4\). Este inciso es una variante con resta, no la afirmación más fuerte (y generalmente falsa) \(|x-y|\le|x|-|y|\).

(v) Primera desigualdad triangular inversa

Enunciado particular. Demuestra, para todos los reales \(x,y\), que \(|x|-|y|\le|x-y|\).

Pista 1. Representa \(x\) como una suma que contenga \(x-y\).

Pista 2. Aplica la desigualdad triangular a \(x=(x-y)+y\) y resta \(|y|\) en ambos miembros.

Estrategia y demostración. Por asociatividad, \(x=(x-y)+y\). Aplicando la desigualdad triangular a estos dos sumandos,

\[ |x|=|(x-y)+y|\le|x-y|+|y|. \]

Restar \(|y|\) a ambos lados conserva el sentido del orden y da

\[\boxed{|x|-|y|\le|x-y|.}\]

Se trata de una deducción directa; no estamos suponiendo de antemano la desigualdad triangular inversa que el ejercicio construye.

Control. Con \(x=1,y=3\), obtenemos \(1-3=-2\le2\). El miembro izquierdo puede ser negativo; no es legítimo introducir barras en él sin otra demostración. En \(y=0\) se obtiene igualdad \(|x|=|x|\).

(vi) Desigualdad triangular inversa completa

Enunciado particular. Prueba que \(\bigl||x|-|y|\bigr|\le|x-y|\) para todos \(x,y\in\mathbb R\), y explica por qué basta el resultado de (v).

Pista 1. Intercambia las letras \(x\) e \(y\) en (v).

Pista 2. Usa \(|y-x|=|x-y|\): así la misma cantidad acota por arriba tanto \(|x|-|y|\) como su opuesto.

Estrategia y demostración. El apartado (v) establece

\[|x|-|y|\le|x-y|.\]

Aplicado ahora con \((x,y)\) intercambiados, da

\[|y|-|x|\le|y-x|=|x-y|.\]

Si escribimos \(d=|x|-|y|\) y \(M=|x-y|\ge0\), estas dos afirmaciones son \(d\le M\) y \(-d\le M\), o equivalentemente \(-M\le d\le M\). Por la definición de magnitud, \(|d|\le M\). Por lo tanto,

\[\boxed{\bigl||x|-|y|\bigr|\le|x-y|.}\]

Control. Con \(x=1,y=3\), el miembro izquierdo es \(|1-3|=2\), igual al derecho. Con \(x=2,y=-2\), el izquierdo es cero y el derecho es \(4\). La diferencia entre (v) y (vi) es sustantiva: (vi) controla también el signo opuesto de la diferencia entre magnitudes.

(vii) Desigualdad triangular para tres sumandos y casos exactos de igualdad

Enunciado particular. Para cualquier terna de números reales \(x,y,z\), demuestra

\[|x+y+z|\le|x|+|y|+|z|,\]

y determina exactamente para qué ternas se tiene igualdad; demuestra tanto la suficiencia como la necesidad de tu condición.

Pista 1. Agrupa la suma como \((x+y)+z\) y aplica dos veces la desigualdad triangular.

Pista 2. Si dos sumandos son estrictamente de signos opuestos, su magnitud conjunta es estrictamente menor que la suma de las dos magnitudes. Contrasta esto con el caso en que los tres números son no negativos o los tres no positivos.

Estrategia y prueba de la desigualdad. Dos aplicaciones sucesivas de la desigualdad triangular dan

\[ \begin{aligned} |x+y+z|&=|(x+y)+z|\\ &\le|x+y|+|z|\\ &\le|x|+|y|+|z|. \end{aligned} \]

Queda determinar cuándo las dos comparaciones pueden ser igualdades. La respuesta es

\[ \boxed{|x+y+z|=|x|+|y|+|z| \quad\Longleftrightarrow\quad (x,y,z\ge0)\ \text{o}\ (x,y,z\le0).} \]

Aquí \(x,y,z\ge0\) abrevia las tres desigualdades \(x\ge0\), \(y\ge0\), \(z\ge0\), y análogamente para \(\le0\).

Suficiencia. Si los tres son no negativos, también lo es su suma y \(|x+y+z|=x+y+z=|x|+|y|+|z|\). Si los tres son no positivos, su suma también lo es y \(|x+y+z|=-(x+y+z)=(-x)+(-y)+(-z)=|x|+|y|+|z|\). Los ceros están permitidos en ambas condiciones.

Necesidad. Demostremos primero un hecho elemental: si \(u>0\) y \(v<0\), entonces

\[|u+v|<|u|+|v|=u-v.\]

En efecto, si \(u+v\ge0\), la izquierda es \(u+v<u-v\) porque \(v<0\). Si \(u+v<0\), la izquierda es \(-u-v<u-v\) porque \(u>0\). En ambos casos la desigualdad es estricta; también lo es cuando \(u+v=0\).

Si una terna contuviese un número estrictamente positivo y otro estrictamente negativo, podríamos llamarlos \(u,v\), y llamar \(w\) al tercero; la asociatividad y la conmutatividad permitirían escribir

\[ |x+y+z|=|(u+v)+w|\le|u+v|+|w|<|u|+|v|+|w|. \]

Por tanto, una terna que produzca igualdad no puede contener simultáneamente un positivo y un negativo. Si no hay negativos, los tres son no negativos; si no hay positivos, los tres son no positivos. Esta disyunción abarca también \((0,0,0)\) y todos los casos con dos ceros. La necesidad y la suficiencia quedan probadas.

Control de igualdad y contraejemplos. Con \((x,y,z)=(2,0,3)\) se alcanza igualdad \(5=5\); con \((-2,0,-3)\), también. Con \((2,-1,0)\), el miembro izquierdo es \(1\) y el derecho \(3\): la desigualdad es estricta. El signo de la suma total por sí solo no basta: incluso cuando \(x+y+z>0\) puede haber cancelación interna. No debe reemplazarse la condición «todos del mismo signo, admitiendo ceros» por «todos positivos» o «todos negativos», porque se perderían casos legítimos.

Síntesis

Los apartados (i)–(iii) tratan productos e inversos con sus condiciones de dominio; (iv)–(vi) establecen las desigualdades triangular e inversa; (vii) extiende la triangular a tres números y caracteriza todos los casos de igualdad.

SPV4-C01-E013 — Máximos y mínimos de dos y tres números mediante valor absoluto

Enunciado — formulación española propia

Para números reales \(x,y\), designa por \(\max(x,y)\) el mayor de ambos y por \(\min(x,y)\) el menor, admitiendo que puedan coincidir. Demuestra las identidades

\[ \boxed{\max(x,y)=\frac{x+y+|y-x|}{2},\qquad \min(x,y)=\frac{x+y-|y-x|}{2}.} \]

Obtén además una fórmula para cada una de las expresiones \(\max(x,y,z)\) y \(\min(x,y,z)\), definidas respectivamente como el mayor y el menor de los tres números. Puedes utilizar las operaciones de dos variables de manera sucesiva; por ejemplo, \(\max(x,y,z)=\max(x,\max(y,z))\). Da tanto una fórmula anidada como su expresión desarrollada exclusivamente mediante sumas, cocientes y valores absolutos. No se supone ningún orden previo entre las variables.

Pista 1 — Dos números: identifica qué decide las barras

Compara \(x\) con \(y\). Si \(x\le y\), entonces \(|y-x|=y-x\); si \(y<x\), entonces \(|y-x|=x-y\). Sustituye en las dos expresiones y reconoce cuál es el mayor y cuál el menor en cada caso. No excluyas \(x=y\).

Pista 2 — Tres números: reutiliza lo demostrado

Calcula primero el máximo \(M\) y el mínimo \(m\) de \(x\) e \(y\). Luego aplica las fórmulas ya justificadas a los pares \((M,z)\) y \((m,z)\). Al reemplazar \(M\) y \(m\) por sus expresiones, presta atención a los signos de las barras exteriores y al factor \(1/4\) final.

Estrategia y significado de la notación

Por tricotomía, dos reales son iguales o uno es menor que el otro. Si \(x\le y\), entonces \(\max(x,y)=y\) y \(\min(x,y)=x\); en la región opuesta ocurre lo contrario. En una colección de tres números, el mayor de \(x,y,z\) es el mayor entre \(\max(x,y)\) y \(z\); el menor se construye de modo análogo. Estas igualdades deben demostrarse desde las definiciones, no asumirse como identidades algebraicas sin explicación.

Los únicos denominadores utilizados son \(2\) y \(4\), ambos no nulos. No intervienen raíces cuadradas ni potencias con exponente real.

Primera demostración — Fórmula del máximo de dos números

Caso \(x\le y\). Aquí \(y-x\ge0\), de modo que \(|y-x|=y-x\). La expresión propuesta da

\[ \frac{x+y+|y-x|}{2}= \frac{x+y+y-x}{2}=y=\max(x,y). \]

Caso \(y<x\). Ahora \(y-x<0\), por lo que \(|y-x|=x-y\). En consecuencia,

\[ \frac{x+y+|y-x|}{2}= \frac{x+y+x-y}{2}=x=\max(x,y). \]

Las dos posibilidades cubren todos los pares reales y son disjuntas. Queda probada para todo \(x,y\) la identidad

\[ \boxed{\max(x,y)=\frac{x+y+|y-x|}{2}.}\tag{M2} \]

Control del empate. Cuando \(x=y=t\), \(|y-x|=0\) y la fórmula vale \((2t)/2=t\), exactamente el máximo. Para \(x=-4,y=2\) da \((-2+6)/2=2\), y si se intercambian las variables el resultado no cambia. La fórmula vale también cuando ambos números son negativos: no exige que \(\max(x,y)\) sea positivo.

Segunda demostración — Fórmula del mínimo de dos números

Caso \(x\le y\). Tenemos \(|y-x|=y-x\) y

\[ \frac{x+y-|y-x|}{2}= \frac{x+y-(y-x)}{2}=x=\min(x,y). \]

Caso \(y<x\). Tenemos \(|y-x|=x-y\) y

\[ \frac{x+y-|y-x|}{2}= \frac{x+y-(x-y)}{2}=y=\min(x,y). \]

Así, sin restricciones adicionales,

\[ \boxed{\min(x,y)=\frac{x+y-|y-x|}{2}.}\tag{m2} \]

Control del empate. Si \(x=y=t\), el mínimo vuelve a ser \(t\) y la fórmula lo da. Para \(x=-4,y=2\), el valor es \((-2-6)/2=-4\). No debe elegirse el signo positivo de la barra para el mínimo: ese signo reconstruye el máximo.

Relación de control entre ambas identidades

Al sumar y restar (M2) y (m2), obtenemos

\[ \boxed{\max(x,y)+\min(x,y)=x+y}, \qquad \boxed{\max(x,y)-\min(x,y)=|x-y|}. \]

La primera igualdad dice que escoger el mayor y el menor solo reordena la pareja; la segunda expresa su separación. Estas igualdades también constituyen una comprobación algebraica independiente de los signos elegidos. Por definición, \(\min(x,y)\le\max(x,y)\), y la segunda fórmula concuerda con \(|x-y|\ge0\).

Tercera demostración — Fórmula del máximo de tres números

Sea \(M=\max(x,y)\). Por su definición, \(M\ge x\) y \(M\ge y\), y además \(M\) es uno de los dos números. Si \(M\ge z\), el mayor de los tres es \(M\); si \(z>M\), el mayor es \(z\). Por lo tanto, en todos los casos, incluidos los empates,

\[ \max(x,y,z)=\max(M,z)=\max(\max(x,y),z). \]

Aplicamos (M2) a \((M,z)\) y después sustituimos la expresión probada para \(M\):

\[ \begin{aligned} \max(x,y,z) &=\frac{M+z+|z-M|}{2}\\ &=\frac12\left(\frac{x+y+|y-x|}{2}+z+ \left|z-\frac{x+y+|y-x|}{2}\right|\right). \end{aligned} \]

Esta es la fórmula anidada solicitada. Como \(2>0\), tenemos \(|2t|=2|t|\) por la identidad del producto demostrada en E012(i). En particular, \(2\left|z-A/2\right|=|2z-A|\) para \(A=x+y+|y-x|\). Al reducir al denominador común \(4\) resulta la expresión desarrollada

\[ \boxed{\max(x,y,z)= \frac{x+y+|y-x|+2z+|2z-x-y-|y-x||}{4}.}\tag{M3} \]

La presencia de \(z\) fuera de la primera barra no rompe la simetría matemática: aunque la escritura privilegie temporalmente al par \((x,y)\), la prueba demuestra que el resultado es siempre el mayor de los tres números, con independencia del orden en que se nombren o se agrupen.

Control de tres situaciones. Para \((x,y,z)=(-2,4,1)\), primero \(M=4\) y (M3) vale \((2+6+2+|2-2-6|)/4=16/4=4\). Si \(z=7\), \(M=4\) y el resultado es \(7\), como debe ser. Si \(x=y=z=t\), la fórmula da \((2t+2t+|2t-2t|)/4=t\), incluso si \(t<0\). Dos o tres máximos empatados no generan una rama perdida.

Cuarta demostración — Fórmula del mínimo de tres números

Sea \(m=\min(x,y)\). Por definición, \(m\le x\) y \(m\le y\), y \(m\) coincide con uno de los dos. Si \(m\le z\), es el menor de la terna; si \(z<m\), el menor es \(z\). En consecuencia,

\[ \min(x,y,z)=\min(m,z)=\min(\min(x,y),z). \]

Aplicamos (m2) al par \((m,z)\):

\[ \begin{aligned} \min(x,y,z) &=\frac{m+z-|z-m|}{2}\\ &=\frac12\left(\frac{x+y-|y-x|}{2}+z- \left|z-\frac{x+y-|y-x|}{2}\right|\right). \end{aligned} \]

Esta es la fórmula anidada para el mínimo. Utilizando \(|2t|=2|t|\) y reuniendo denominadores, obtenemos

\[ \boxed{\min(x,y,z)= \frac{x+y-|y-x|+2z-|2z-x-y+|y-x||}{4}.}\tag{m3} \]

Control de tres situaciones. Para \((-2,4,1)\), primero \(m=-2\) y el resultado de (m3) es \(-2\). Para \(z=-7\), el resultado pasa a ser \(-7\). En la diagonal \(x=y=z=t\), la fórmula vale \(t\). En particular, las barras exteriores deben tener el signo menos para obtener el mínimo, aunque el argumento interior contenga ya una barra con signo negativo.

Casos límite y extensión pedagógica

Una tentación incorrecta consiste en escoger siempre la primera variable o suponer \(x\le y\le z\): el ejercicio impone ninguna de estas condiciones. Las pruebas para dos números cubren \(x<y\), \(x=y\) y \(x>y\), y las de tres reducen toda posible ordenación a una comparación final con \(z\). Los empates \(x=y\), \(y=z\) y \(x=z\) quedan incluidos, ya que \(\max(t,t)=\min(t,t)=t\) se demostró explícitamente.

Es importante distinguir entre obtener una fórmula y exigir una escritura manifiestamente simétrica: el enunciado permite la anidación, por lo que (M3) y (m3) satisfacen la consigna sin añadir hipótesis. Su invariancia bajo permutaciones procede de la identificación demostrada con el máximo y el mínimo, no de una inspección informal de los símbolos. Como extensión, para cualquier lista finita y no vacía de reales pueden definirse máximo y mínimo repitiendo las operaciones binarias; justificar el procedimiento general requeriría una inducción o un argumento finito apropiado y no es una petición adicional de E013.

Las fórmulas binarias requieren solo el orden total y la definición de valor absoluto. Las expresiones para tres variables se obtienen aplicando sucesivamente las fórmulas binarias y usando \(|2t|=2|t|\).

SPV4-C01-E014 — La magnitud, sus cotas bilaterales y la desigualdad triangular (apartados a–c)

Enunciados — formulación española propia

Sean \(a,b\in\mathbb R\).

(a) Demuestra que cambiar el signo de un número no modifica su valor absoluto: \(|a|=|-a|\). Organiza el razonamiento partiendo de \(a\ge0\) y deduciendo después el caso \(a\le0\).

(b) Prueba, sin suponer que \(b\) sea positivo, la equivalencia

\[ \boxed{|a|\le b\quad\Longleftrightarrow\quad-b\le a\le b.} \]

Deduce particularmente que \(-|a|\le a\le|a|\) para cada \(a\).

(c) Emplea el resultado del apartado (b), y no la desigualdad triangular como premisa, para establecer una nueva demostración de

\[ \boxed{|a+b|\le|a|+|b|.} \]

En (b), la equivalencia se demuestra en ambas direcciones y después se deduce la cota bilateral.

Convención y plan

Para todo real \(t\), \(|t|=t\) si \(t\ge0\) y \(|t|=-t\) si \(t<0\). La tricotomía implica que la partición \(t\ge0\) frente a \(t<0\) cubre toda la recta; \(t=0\) pertenece a la primera región. Recordaremos que \(2>0\), de modo que dividir una desigualdad por \(2\) conserva su sentido. La cadena de pruebas será (a) → (b) → (c), aunque la prueba principal de (b) también puede ejecutarse directamente desde la definición. No se empleará la desigualdad triangular de E009 ni las consecuencias de E012 como premisas de (c).

(a) El valor absoluto es invariante bajo cambio de signo

Pista 1. Si \(a\ge0\), ¿cuál es el valor de \(|a|\) y cuál es el de \(|-a|\), sabiendo que \(-a\le0\)?

Pista 2. Para tratar \(a\le0\) sin repetir una prueba larga, considera \(t=-a\ge0\) y aplica a \(t\) la igualdad recién probada; recuerda que \(-t=a\).

Estrategia y demostración. Primero supongamos \(a\ge0\). Entonces, por definición, \(|a|=a\). El número \(-a\) es no positivo. Si \(a>0\), se tiene \(-a<0\) y por ello \(|-a|=-(-a)=a\); si \(a=0\), entonces \(|-a|=|0|=0=a\). Por tanto, \(|a|=|-a|\) cuando \(a\ge0\).

Ahora supongamos \(a\le0\). Su opuesto \(t=-a\) es no negativo, así que podemos aplicar la igualdad ya demostrada a \(t\): \(|t|=|-t|\). Como \(t=-a\) y \(-t=a\), resulta \(|-a|=|a|\). Los dos casos abarcan todos los reales, luego

\[ \boxed{|a|=|-a|\qquad(a\in\mathbb R).} \]

Comprobación y frontera. Para \(a=3\), ambas magnitudes valen \(3\); para \(a=-3\), también. En \(a=0\) ambas son \(0\), y no se produce una excepción ni una división. La prueba del caso no positivo reutiliza el caso no negativo, como sugiere la estructura de la pregunta.

(b) Caracterización de las cotas del valor absoluto

Pista 1. La definición permite reconocer \(|a|\) como el mayor de \(a\) y \(-a\). ¿Qué dos desigualdades resultan de exigir que ese mayor no supere \(b\)?

Pista 2. Transforma \(-a\le b\) en \(-b\le a\). Para la implicación recíproca, considera los signos de \(a\) y observa que las dos cotas obligan a \(b\ge0\), aun cuando no se haya supuesto.

Estrategia. Demostraremos ambas direcciones sin añadir la hipótesis \(b\ge0\). La condición \(-b\le a\le b\) significa simultáneamente \(a\le b\) y \(a\ge-b\); esta última equivale a \(-a\le b\) al cambiar de signo.

Implicación directa. Supongamos \(|a|\le b\). De la definición de valor absoluto se deducen \(a\le|a|\) y \(-a\le|a|\): si \(a\ge0\), la primera es igualdad y la segunda dice \(-a\le a\); si \(a<0\), la segunda es igualdad y la primera dice \(a\le-a\). Por transitividad,

\[ a\le|a|\le b,\qquad -a\le|a|\le b. \]

La segunda cadena, al cambiar los signos de sus extremos, da \(-b\le a\). Por tanto, \(-b\le a\le b\).

Implicación recíproca. Supongamos \(-b\le a\le b\). De \(-b\le a\) obtenemos \(-a\le b\). Así, tanto \(a\) como \(-a\) son menores o iguales que \(b\). Si \(a\ge0\), por definición \(|a|=a\le b\). Si \(a<0\), por definición \(|a|=-a\le b\). Concluimos \(|a|\le b\) en todos los casos.

Ambas implicaciones establecen la equivalencia pedida:

\[ \boxed{|a|\le b\iff-b\le a\le b\qquad(a,b\in\mathbb R).} \]

Consecuencia exigida. Tomemos \(b=|a|\). La desigualdad \(|a|\le|a|\) es verdadera por reflexividad. La implicación directa recién demostrada produce

\[ \boxed{-|a|\le a\le|a|.} \]

Control de una cota negativa. Si \(b<0\), \(|a|\le b\) es falso porque \(|a|\ge0>b\). También es falsa la doble desigualdad: de \(-b\le a\le b\) se seguiría \(-b\le b\), es decir, \(0\le2b\) y \(b\ge0\), contradicción. Por tanto, la equivalencia incluye correctamente los \(b\) negativos; no tiene un dominio oculto \(b\ge0\). Si \(b=0\), ambos lados son verdaderos exactamente cuando \(a=0\). En la frontera \(a=b>0\), la cota superior es igualdad; en \(a=-b<0\), lo es la inferior. Ningún caso de igualdad se pierde.

Lectura conceptual. La fórmula dice que una magnitud está acotada por \(b\) precisamente cuando el número está encerrado entre \(-b\) y \(b\). La equivalencia no afirma que el intervalo \([-b,b]\) esté siempre bien ordenado o sea no vacío: para \(b<0\) no existe \(a\) que satisfaga sus dos desigualdades.

(c) Otra demostración de la desigualdad triangular

Pista 1. Aplica la consecuencia de (b) a \(a\) y a \(b\) por separado: cada número está entre el opuesto de su magnitud y su magnitud.

Pista 2. Suma los extremos correspondientes y usa la implicación de derecha a izquierda del apartado (b), esta vez con el número \(a+b\) y la cota no negativa \(B=|a|+|b|\).

Estrategia y demostración. De (b), ya demostrado sin utilizar la triangular, tenemos

\[ -|a|\le a\le|a|,\qquad -|b|\le b\le|b|. \]

Sumar las desigualdades de los extremos, operación compatible con el orden, nos da

\[ -(|a|+|b|)\le a+b\le|a|+|b|. \]

Pongamos \(B=|a|+|b|\). Este número es no negativo porque cada sumando lo es; incluso si alguno o ambos valen cero, la doble desigualdad obtenida sigue siendo válida. La implicación recíproca de (b), aplicada con \(a\) reemplazado por \(a+b\) y \(b\) reemplazado por \(B\), permite concluir

\[ \boxed{|a+b|\le|a|+|b|.} \]

Comprobación y caso de igualdad. Si \(a=2\), \(b=-1\), el resultado dice \(1\le3\); si \(a=2\), \(b=3\), dice \(5=5\). Si \(a=0\) o \(b=0\), es igualdad por definición; lo mismo sucede si ambos tienen el mismo signo. Si tienen signos estrictamente opuestos, por ejemplo \(a>0>b\), entonces \(|a+b|<a-b=|a|+|b|\): cuando \(a+b\ge0\) la desigualdad estricta equivale a \(b<-b\), y cuando \(a+b<0\) equivale a \(-a<a\). Por intercambio de variables se obtiene el otro orden de signos. Como complemento, hay igualdad si y solo si \(ab\ge0\); este criterio no es una petición independiente del inciso, y no interviene en la demostración principal.

Relaciones entre las tres demostraciones

El apartado (a) utiliza la simetría del valor absoluto. En (b) se demuestra la equivalencia también para \(b<0\); en (c) se deduce la desigualdad triangular usando exclusivamente lo probado en (b), sin tomarla como premisa.

SPV4-C01-E015* — Positividad estricta de dos formas homogéneas

Enunciado — formulación española propia

Sean \(x,y\in\mathbb R\) y supongamos que no se anulan simultáneamente, esto es, \((x,y)\ne(0,0)\). Demuestra las dos desigualdades estrictas

\[ \boxed{x^2+xy+y^2>0,}\tag{Q2} \]

\[ \boxed{x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4>0.}\tag{Q4} \]

Como orientación, considera las identidades de diferencias de potencias del ejercicio 1. La hipótesis común incluye \(x=0,y\ne0\), \(y=0,x\ne0\) y \(x=y\ne0\); únicamente excluye el origen.

Estrategia común: identificar una cantidad inequívocamente positiva

En los reales, cada cuadrado es no negativo; si \(u\ne0\), entonces \(u^2>0\), y lo mismo ocurre con la cuarta potencia \(u^4=(u^2)^2\). Puesto que \((x,y)\ne(0,0)\), al menos uno de los sumandos \(x^2,y^2\) es positivo, de modo que \(x^2+y^2>0\) y \(x^4+y^4>0\). Una suma de términos no negativos que contiene al menos uno estrictamente positivo es estrictamente positiva. Demostraremos cada desigualdad con identidades algebraicas que exhiben esos términos; después contrastaremos ambos resultados por una segunda vía que utiliza precisamente E001(v), según la orientación del enunciado.

Primera desigualdad — la forma cuadrática

Pista 1. Multiplica por \(4\) y busca el cuadrado de \(2x+y\); comprueba qué parte positiva sobra.

Pista 2. Verifica la identidad \(4(x^2+xy+y^2)=(2x+y)^2+3y^2\). Si la suma fuese cero, ¿qué forzarían simultáneamente \(y^2=0\) y \((2x+y)^2=0\)?

Demostración. La distributividad da la identidad exacta

\[ \begin{aligned} 4(x^2+xy+y^2) &=4x^2+4xy+4y^2\\ &=(2x+y)^2+3y^2. \end{aligned} \]

Los dos términos de la última suma son no negativos. Si su suma fuera cero, cada término debería valer cero. En particular, \(3y^2=0\) implica \(y=0\) (pues \(3\ne0\) y el campo carece de divisores de cero); entonces \((2x+y)^2=(2x)^2=0\) implica \(2x=0\) y, como \(2\ne0\), \(x=0\). Esto contradice \((x,y)\ne(0,0)\). Por consiguiente, \((2x+y)^2+3y^2>0\). Al dividir por \(4>0\), concluimos

\[ \boxed{x^2+xy+y^2=\left(x+\frac y2\right)^2+\frac{3y^2}{4}>0.} \]

Controles de los casos límite. Si \(x=0\) y \(y\ne0\), la forma vale \(y^2>0\); si \(y=0\) y \(x\ne0\), vale \(x^2>0\). Si \(x=y=t\ne0\), vale \(3t^2>0\); si \(x=-y=t\ne0\), vale \(t^2>0\). En el único par excluido, \((0,0)\), la expresión vale \(0\), lo que muestra que la hipótesis de no anulación simultánea es necesaria para la afirmación estricta. No se divide por \(x\), \(y\) ni \(x-y\) en la prueba principal.

Segunda desigualdad — la forma de cuarto grado

Pista 1. Agrupa el polinomio de modo que aparezcan \(x^4+y^4\) y el producto \((x^2+y^2)(x+y)^2\).

Pista 2. Comprueba por expansión que el doble de la forma buscada es \((x^2+y^2)(x+y)^2+x^4+y^4\). El primer término es no negativo; explica por qué el segundo es estrictamente positivo cuando \((x,y)\ne(0,0)\), incluso si \(x+y=0\).

Demostración. Expandiendo el producto, sin suponer signo alguno de \(xy\),

\[ \begin{aligned} &(x^2+y^2)(x+y)^2+x^4+y^4\\ &\quad=(x^2+y^2)(x^2+2xy+y^2)+x^4+y^4\\ &\quad=2x^4+2x^3y+2x^2y^2+2xy^3+2y^4. \end{aligned} \]

Por tanto, para cualesquiera reales \(x,y\) se cumple la identidad

\[ \boxed{x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4 =\frac{(x^2+y^2)(x+y)^2+x^4+y^4}{2}.}\tag{1} \]

El producto \((x^2+y^2)(x+y)^2\) es no negativo. Además, de \((x,y)\ne(0,0)\) resulta \(x^4+y^4>0\): al menos una de las dos cuartas potencias es positiva. El numerador de (1) es entonces estrictamente positivo; el denominador \(2\) también lo es. Así queda demostrada la segunda afirmación,

\[ \boxed{x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4>0.} \]

De hecho, (1) proporciona la cota cuantitativa adicional

\[ x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4\ge\frac{x^4+y^4}{2}>0 \qquad ((x,y)\ne(0,0)). \]

Controles de los casos límite. Si \(x=0,y\ne0\), el polinomio es \(y^4>0\); si \(y=0,x\ne0\), es \(x^4>0\). Si \(x=y=t\ne0\), vale \(5t^4>0\). La aparente situación adversa \(x=-y=t\ne0\) anula el primer término del numerador de (1), pero deja \((x^4+y^4)/2=t^4>0\): no hay pérdida de estricta positividad por cancelación. El origen da cero y queda justamente excluido. Un argumento basado en «todos los monomios son positivos» sería incorrecto cuando \(xy<0\), porque \(x^3y\) y \(xy^3\) son entonces negativos; la identidad (1) evita ese error.

Segunda demostración independiente — explotar la pista del ejercicio 1

El ejercicio E001(v) probó, para todo entero positivo \(n\) y sin dividir por \(x-y\), la identidad

\[ x^n-y^n=(x-y)\sum_{k=0}^{n-1}x^{n-1-k}y^k. \]

Por tanto, al elegir \(n=3\) y \(n=5\) obtenemos, respectivamente,

\[ \begin{aligned} x^3-y^3&=(x-y)(x^2+xy+y^2),\\ x^5-y^5&=(x-y)(x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4). \end{aligned} \]

Si \(x\ne y\), el factor \(x-y\) es no nulo. E006(b) demostró sin utilizar E015 que \(t\mapsto t^n\) es estrictamente creciente en todos los reales cuando \(n\) es un entero positivo impar. Si \(x>y\), tanto \(x-y\) como \(x^3-y^3\) y \(x^5-y^5\) son positivos. Si \(x<y\), las tres diferencias son negativas. En ambos casos, los cocientes bien definidos

\[ \frac{x^3-y^3}{x-y}=x^2+xy+y^2, \qquad \frac{x^5-y^5}{x-y}=x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4 \]

son estrictamente positivos porque numerador y denominador tienen el mismo signo. Es solo aquí, tras comprobar \(x\ne y\), donde se divide por \(x-y\).

Si \(x=y\), la hipótesis común exige \(x=y=t\ne0\). Las dos formas se reducen respectivamente a \(3t^2\) y \(5t^4\), estrictamente positivas. Con ello queda completada una segunda demostración de ambas afirmaciones, basada en la factorización de E001(v) y la monotonía de potencias enteras impares ya establecida en E006(b). Esta vía muestra cómo la pista de la fuente conecta factorización, orden y positividad; las identidades de cuadrados de la prueba principal permiten además verificarla sin división por una diferencia variable.

Hipótesis y casos de igualdad

Ambas expresiones se anulan en el origen y son estrictamente positivas fuera de él. Los argumentos cubren también los ejes y la diagonal \(x=y\). La vía alternativa por cocientes solo divide por \(x-y\) después de comprobar que \(x\ne y\).

SPV4-C01-E016* — ¿Cuándo distribuye una potencia sobre una suma? (apartados a–d)

Enunciado — formulación española propia y completa

Sean \(x,y\in\mathbb R\). Investiga en cada apartado todas las parejas \((x,y)\) para las cuales la identidad propuesta es cierta:

(a) Demuestra ambas equivalencias

\[ (x+y)^2=x^2+y^2\quad\Longleftrightarrow\quad x=0\ \text{o}\ y=0, \]

\[ (x+y)^3=x^3+y^3\quad\Longleftrightarrow\quad x=0\ \text{o}\ y=0\ \text{o}\ x=-y. \]

(b) Utiliza la no negatividad de \((x+y)^2=x^2+2xy+y^2\) para probar que \(4x^2+6xy+4y^2\) es estrictamente positivo siempre que \((x,y)\ne(0,0)\). El par \((0,0)\) constituye la única excepción a la estricta positividad.

(c) Apoyándote expresamente en (b), determina todas las parejas que satisfacen \((x+y)^4=x^4+y^4\).

(d) Determina todas las parejas que satisfacen \((x+y)^5=x^5+y^5\). Si \(xy\ne0\), desarrolla la igualdad hasta obtener

\[ x^3+2x^2y+2xy^2+y^3=0 \]

y relaciónala con \((x+y)^3=xy(x+y)\), conforme a la orientación algebraica de la fuente.

Conjetura y alcance. Los casos estudiados sugieren una caracterización para \((x+y)^n=x^n+y^n\) cuando \(n\ge2\) es entero. Su demostración general corresponde al problema 11-63 y no se obtiene de los cuatro apartados anteriores.

Herramientas y plan

Para potencias enteras positivas solo se precisan la distributividad, el principio de producto nulo y el hecho de que un cuadrado es no negativo. E015* ya demostró que \(x^2+xy+y^2>0\) cuando \((x,y)\ne(0,0)\). Además, (b) proporcionará una segunda forma homogénea estrictamente positiva. El orden de dependencia será (a) → (b) → (c), con E015 disponible para (d). Nunca dividiremos por \(x\), \(y\) o \(x+y\) sin excluir antes su anulación. En las equivalencias demostraremos necesidad y suficiencia, y comprobaremos el origen, los ejes y la antidiagonal \(x=-y\).

(a) Cuadrados y cubos: dos caracterizaciones distintas

Primera tarea, cuadrados — enunciado particular. Caracteriza exactamente las parejas reales tales que \((x+y)^2=x^2+y^2\).

Pista 1. Expande el cuadrado de la suma, sin cancelar un término que dependa de \(x\) o \(y\).

Pista 2. La igualdad se transforma en \(2xy=0\). Como \(2\ne0\), aplica el principio del producto nulo y comprueba la implicación recíproca.

Estrategia y demostración. Por distributividad,

\[ (x+y)^2=x^2+2xy+y^2. \]

Restar \(x^2+y^2\) de ambos miembros transforma la igualdad original, en ambos sentidos, en \(2xy=0\). Como \(2\ne0\), el producto nulo proporciona \(x=0\) o \(y=0\). Recíprocamente, si cualquiera de las variables vale cero, \((x+y)^2\) y \(x^2+y^2\) son el mismo cuadrado. Por tanto,

\[ \boxed{(x+y)^2=x^2+y^2\iff xy=0\iff(x=0\ \text{o}\ y=0).}\tag{a2} \]

Segunda tarea, cubos — enunciado particular. Caracteriza exactamente las parejas reales tales que \((x+y)^3=x^3+y^3\).

Pista 1. Expande \((x+y)^3\) y agrupa los dos términos mixtos.

Pista 2. Factoriza la diferencia como \(3xy(x+y)\); aplica el principio de producto nulo a los tres factores y verifica cada familia de soluciones.

Estrategia y demostración. Las leyes distributivas, aplicadas tres veces, dan

\[ (x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3 =x^3+y^3+3xy(x+y). \]

De aquí se obtienen las equivalencias

\[ (x+y)^3=x^3+y^3 \iff 3xy(x+y)=0 \iff x=0\ \text{o}\ y=0\ \text{o}\ x+y=0. \]

El factor \(3\) es no nulo y el principio del producto nulo se aplica reiteradamente. La última condición equivale a \(x=-y\). Las tres posibilidades son suficientes: en los ejes desaparecen los términos mixtos; si \(y=-x\), ambos miembros son \(0\) porque las potencias impares de opuestos se cancelan. En consecuencia,

\[ \boxed{(x+y)^3=x^3+y^3\iff x=0\ \text{o}\ y=0\ \text{o}\ x=-y.}\tag{a3} \]

Controles conjuntos. El origen pertenece a ambas familias de ejes y a la antidiagonal; son conjuntos que pueden superponerse, lo cual no afecta a la disyunción. El par \((1,-1)\) satisface la igualdad cúbica \(0=1-1\), pero no la cuadrática \(0=1+1\): no deben confundirse las respuestas de los dos exponentes. Para \((1,1)\), \(4\ne2\) y \(8\ne2\).

(b) Una forma cuadrática estrictamente positiva

Enunciado particular. Para cualesquiera reales \(x,y\), prueba \(4x^2+6xy+4y^2>0\) siempre que no sean ambos cero, utilizando \((x+y)^2\ge0\).

Pista 1. Multiplica la identidad \((x+y)^2=x^2+2xy+y^2\ge0\) por una constante positiva y compara con la expresión buscada.

Pista 2. Comprueba que \(4x^2+6xy+4y^2=3(x+y)^2+x^2+y^2\); si toda la suma fuese cero, averigua qué exigiría \(x^2+y^2=0\).

Estrategia y demostración. Por distributividad obtenemos la identidad exacta

\[ \begin{aligned} 4x^2+6xy+4y^2 &=3(x^2+2xy+y^2)+x^2+y^2\\ &=3(x+y)^2+x^2+y^2. \end{aligned} \]

El primer sumando es no negativo, puesto que \(3>0\) y los cuadrados son no negativos. Si \((x,y)\ne(0,0)\), al menos una de las cantidades \(x^2,y^2\) es estrictamente positiva, de modo que \(x^2+y^2>0\). Por ello

\[ \boxed{4x^2+6xy+4y^2=3(x+y)^2+x^2+y^2>0 \quad\text{si }(x,y)\ne(0,0).}\tag{b} \]

Control de la excepción y de la hipótesis. Para \(x=y=0\) la expresión vale exactamente cero; es su único cero, ya que acabamos de demostrar estricta positividad fuera del origen. Sobre \(x=-y=t\ne0\), el término \(3(x+y)^2\) desaparece, pero \(x^2+y^2=2t^2>0\). En los ejes se obtiene respectivamente \(4x^2\) o \(4y^2\), positivo si la coordenada restante es no nula. No se ha alegado que los monomios \(6xy\) sean siempre no negativos: podrían ser negativos.

(c) La cuarta potencia: usar realmente el apartado (b)

Enunciado particular. Determina todos los pares reales tales que \((x+y)^4=x^4+y^4\) y justifica los dos sentidos utilizando la forma positiva probada en (b).

Pista 1. Desarrolla la cuarta potencia y factoriza los términos mixtos por \(xy\).

Pista 2. Comprueba la identidad \((x+y)^4-x^4-y^4=xy(4x^2+6xy+4y^2)\). Si \((x,y)\ne(0,0)\), el segundo factor es estrictamente positivo por (b); trata aparte el origen.

Estrategia y demostración. La expansión binomial —verificable aquí multiplicando dos veces \((x+y)^2\)— da

\[ \begin{aligned} (x+y)^4-x^4-y^4 &=4x^3y+6x^2y^2+4xy^3\\ &=xy(4x^2+6xy+4y^2). \end{aligned} \]

Supongamos que se cumple la igualdad de potencias. Si \((x,y)=(0,0)\), entonces \(xy=0\). Si \((x,y)\ne(0,0)\), (b) afirma que \(4x^2+6xy+4y^2>0\), por lo que ese factor es no nulo. El producto puede valer cero solo si \(xy=0\). Recíprocamente, si \(xy=0\), cada uno de los términos mixtos de la expansión es cero, por lo que las potencias originales son iguales. Así,

\[ \boxed{(x+y)^4=x^4+y^4\iff xy=0\iff(x=0\ \text{o}\ y=0).}\tag{c} \]

Comprobación de un caso límite. En \((1,-1)\), el miembro izquierdo vale \(0\) y el derecho \(2\): a diferencia de la potencia cúbica, la antidiagonal no nula no satisface la igualdad. El caso \((0,0)\) ya está incluido, aunque (b) no garantice allí un factor positivo. En \((2,0)\) y \((0,-2)\) los dos lados coinciden en \(16\).

(d) La quinta potencia: factorización y tratamiento de ceros

Enunciado particular. Determina todos los pares reales tales que \((x+y)^5=x^5+y^5\). Para \(xy\ne0\) deriva la ecuación cúbica orientativa de la fuente y explica por qué solo sobrevive \(x+y=0\).

Pista 1. Los términos mixtos de la expansión de la quinta potencia comparten el factor \(5xy\). Antes de dividir por él, separa los casos \(x=0\) e \(y=0\).

Pista 2. Verifica que \(x^3+2x^2y+2xy^2+y^3=(x+y)(x^2+xy+y^2)\); utiliza la estricta positividad de la segunda forma para \(xy\ne0\) probada en E015*.

Estrategia y demostración. La expansión, obtenida por multiplicación de la fórmula de la cuarta potencia por \(x+y\), conduce a

\[ \begin{aligned} (x+y)^5-x^5-y^5 &=5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4\\ &=5xy\bigl(x^3+2x^2y+2xy^2+y^3\bigr)\\ &=5xy(x+y)(x^2+xy+y^2). \end{aligned} \]

Primero, los ejes. Si \(x=0\) o \(y=0\), la diferencia es cero; esas parejas son soluciones y no hay necesidad de dividir por un factor nulo.

Después, \(xy\ne0\). En esta región, el factor \(5xy\) es no nulo. Por el principio de cancelación, la igualdad original equivale exactamente a la ecuación solicitada en la pista,

\[ x^3+2x^2y+2xy^2+y^3=0. \]

Restando \(xy(x+y)=x^2y+xy^2\) de \((x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3\), observamos que la ecuación anterior equivale también a

\[ (x+y)^3=xy(x+y), \]

que es la relación indicada en el original. Para concluir, no dividimos directamente por \(x+y\), porque esa cantidad podría ser cero y precisamente queremos conservar esa posibilidad. Factorizamos en cambio:

\[ 0=(x+y)^3-xy(x+y) =(x+y)\bigl((x+y)^2-xy\bigr) =(x+y)(x^2+xy+y^2). \]

Como \(xy\ne0\), no se anulan simultáneamente \(x\) e \(y\). E015* demuestra \(x^2+xy+y^2>0\), de modo que el segundo factor es no nulo y necesariamente \(x+y=0\), es decir, \(x=-y\). Esta condición es suficiente: para \(y=-x\), la quinta potencia del lado izquierdo es \(0\) y \(x^5+y^5=x^5+(-x)^5=0\). Por tanto,

\[ \boxed{(x+y)^5=x^5+y^5\iff x=0\ \text{o}\ y=0\ \text{o}\ x=-y.}\tag{d} \]

Controles. En \((1,-1)\), ambos miembros son cero; en \((1,1)\), el primero es \(32\) y el segundo \(2\), por lo que el razonamiento no puede admitir pares arbitrarios de igual signo. El origen pertenece a las tres familias y los puntos \((2,0)\), \((0,-2)\) satisfacen trivialmente la ecuación. La división por \(xy\) se reservó para la región \(xy\ne0\) y nunca se dividió por \(x+y\); así no se pierden soluciones.

Cuadro de resultados y generalización

Exponente	Condición necesaria y suficiente, demostrada aquí
\(2\)	\(x=0\) o \(y=0\).
\(3\)	\(x=0\) o \(y=0\) o \(x=-y\).
\(4\)	\(x=0\) o \(y=0\).
\(5\)	\(x=0\) o \(y=0\) o \(x=-y\).

Conjetura sugerida, NO demostrada aquí: para un entero \(n\ge2\), la identidad \((x+y)^n=x^n+y^n\) parece exigir \(xy=0\) si \(n\) es par, y \(xy=0\) o \(x=-y\) si \(n\) es impar. Su parte de suficiencia es inmediata mediante \(0^n=0\) y la cancelación de potencias impares en la antidiagonal; la necesidad para todo \(n\) no se sigue de haber resuelto solo cuatro exponentes. El libro remite su prueba general a 11-63; se conserva como futura conexión verificable y no como logro cerrado. Para \(n=1\), la igualdad \((x+y)^1=x+y\) se cumple para todos los reales: queda explícitamente fuera de la conjetura para \(n\ge2\).

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SPV4-C01-E017 — Encontrar mínimos mediante cuadrados completos (apartados a–c)

Enunciados — formulación española propia

En cada apartado, determina el menor valor que puede alcanzar la expresión y especifica todos los valores de sus variables en los que se alcanza. Las variables son reales y no tienen restricciones adicionales.

(a) Estudia la expresión \(2x^2-3x+4\). Utiliza la completación del cuadrado para separar un término siempre no negativo de una constante.

(b) Determina el mínimo global de \(x^2-3x+2y^2+4y+2\) para \((x,y)\in\mathbb R^2\).

(c) Determina el mínimo global de \(x^2+4xy+5y^2-4x-6y+7\) para \((x,y)\in\mathbb R^2\). Los términos mixtos obligan a identificar cuadrados adecuados antes de minimizar.

Herramienta de trabajo: una cota alcanzada es un mínimo

Para una expresión \(F\) definida en un dominio \(D\), afirmar que su valor mínimo es \(m\) significa demostrar ambas proposiciones:

1. \(F(p)\ge m\) para todo \(p\in D\).
2. Existe por lo menos un \(p_0\in D\) tal que \(F(p_0)=m\).

Si logramos escribir \(F\) como una constante más una suma de cuadrados con coeficientes positivos, obtenemos la cota inferior inmediatamente. Las condiciones de igualdad de cada cuadrado permitirán, además, decidir si el punto donde se alcanza es único. La sola obtención de una cota inferior no asegura que sea el mínimo: debemos exhibir un punto en el que exista igualdad.

(a) Un cuadrado y una constante

Pista 1. Saca factor común \(2\) de los términos cuadrático y lineal. Pregunta qué número debe sumarse a \(x^2-\tfrac32x\) para obtener el cuadrado de \(x-\tfrac34\).

Pista 2. Comprueba la identidad \(2x^2-3x+4=2(x-\tfrac34)^2+\tfrac{23}{8}\); deduce la cota de que el cuadrado es no negativo y determina cuándo desaparece.

Estrategia y demostración. A partir de la identidad \((x-h)^2=x^2-2hx+h^2\), el valor \(h=3/4\) permite reconstruir los dos primeros términos. Realizamos todos los ajustes constantes de manera explícita:

\[ \begin{aligned} 2x^2-3x+4 &=2\left(x^2-\frac32x\right)+4\\ &=2\left[\left(x-\frac34\right)^2-\frac9{16}\right]+4\\ &=2\left(x-\frac34\right)^2+\frac{23}{8}. \end{aligned} \]

Para cualquier \(x\in\mathbb R\), el cuadrado es no negativo y \(2>0\); por tanto,

\[ 2x^2-3x+4\ge\frac{23}{8}. \]

En \(x=3/4\) el cuadrado vale cero y la expresión alcanza efectivamente \(23/8\). Recíprocamente, si alcanzara ese valor en otro punto, la identidad exigiría \(2(x-3/4)^2=0\); por el principio del producto nulo, \(x=3/4\). Así,

\[ \boxed{\min_{x\in\mathbb R}(2x^2-3x+4)=\frac{23}{8}, \qquad\text{alcanzado únicamente en }x=\frac34.} \]

Control. La sustitución directa da \(2(9/16)-3(3/4)+4=9/8-18/8+32/8=23/8\). En \(x=0\) vale \(4>23/8\); no sería correcto ofrecer \(4\) por limitarse a valores enteros de \(x\). Tampoco se precisan raíces de ecuaciones cuadráticas.

(b) Dos cuadrados independientes

Pista 1. Separa los términos que dependen de \(x\) de aquellos que dependen de \(y\). Completa los cuadrados de \(x^2-3x\) y \(2y^2+4y+2\) por separado.

Pista 2. Busca una expresión de la forma \((x-\tfrac32)^2+2(y+1)^2+C\). El mínimo se alcanza solo si ambos cuadrados se anulan a la vez; comprueba que sus dos ecuaciones son compatibles.

Estrategia y demostración. Puesto que no hay término \(xy\), completamos independientemente los cuadrados de ambas variables:

\[ \begin{aligned} x^2-3x+2y^2+4y+2 &=\left(x-\frac32\right)^2-\frac94 +2(y^2+2y+1)\\ &=\left(x-\frac32\right)^2+2(y+1)^2-\frac94. \end{aligned} \]

Ambos cuadrados son no negativos y sus coeficientes son positivos. Por ello, para cualquier pareja real,

\[ x^2-3x+2y^2+4y+2\ge-\frac94. \]

Existe igualdad si \(x=3/2\) e \(y=-1\), que son condiciones simultáneamente realizables. Además, si se alcanzara la cota, tendríamos

\[ \left(x-\frac32\right)^2+2(y+1)^2=0. \]

Una suma de dos números no negativos solo puede ser cero cuando ambos lo son; en consecuencia \(x=3/2\) e \(y=-1\). Hemos demostrado la cota, su consecución y la unicidad:

\[ \boxed{\min_{(x,y)\in\mathbb R^2} (x^2-3x+2y^2+4y+2)=-\frac94, \quad\text{únicamente en }\left(\frac32,-1\right).} \]

Control. Al sustituir la pareja candidata en la fórmula original se obtiene \(9/4-9/2+2-4+2=-9/4\). No hay razón para prohibir un mínimo negativo: la no negatividad corresponde a los cuadrados restantes, no necesariamente a toda la expresión, cuya constante es negativa. Si uno de los cuadrados fuera positivo, el valor excedería estrictamente \(-9/4\).

(c) Un término mixto y una transformación triangular

Pista 1. Los tres términos homogéneos de grado dos se pueden separar como \((x+2y)^2+y^2\). Examina ahora qué desplazamiento del primer cuadrado permite producir el término \(-4x\).

Pista 2. Desarrolla \((x+2y-2)^2+(y+1)^2\) y compara el resultado con la expresión original. Añade la constante que falte y resuelve simultáneamente las ecuaciones \(x+2y-2=0\) e \(y+1=0\).

Estrategia: construir los cuadrados sin perder el término mixto. Empezamos por el bloque cuadrático:

\[ x^2+4xy+5y^2=(x+2y)^2+y^2. \]

Al formar \((x+2y-2)^2\) aparecen \(-4x\) y \(-8y\). Para recuperar el término lineal \(-6y\), completamos después un cuadrado en \(y\). El desarrollo íntegro produce la identidad

\[ \begin{aligned} &x^2+4xy+5y^2-4x-6y+7\\ &\quad=(x+2y-2)^2+(y+1)^2+2. \end{aligned} \]

En efecto, el primer cuadrado es \(x^2+4xy+4y^2-4x-8y+4\); el segundo aporta \(y^2+2y+1\) y la constante adicional \(2\) completa el término independiente \(7\).

Demostración del mínimo. Para todos los reales \(x,y\), la suma de cuadrados es no negativa. Por tanto, la identidad demuestra la cota universal

\[ x^2+4xy+5y^2-4x-6y+7\ge2. \]

Ambos cuadrados desaparecen simultáneamente si y solo si

\[ \begin{cases} x+2y-2=0,\\ y+1=0. \end{cases} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \begin{cases} x=4,\\ y=-1. \end{cases} \]

La pareja \((4,-1)\) pertenece al dominio y cumple ambas ecuaciones. Por tanto la cota se alcanza, y ninguna otra pareja puede producir igualdad:

\[ \boxed{\min_{(x,y)\in\mathbb R^2} (x^2+4xy+5y^2-4x-6y+7)=2, \quad\text{únicamente en }(4,-1).} \]

Control directo. En el punto candidato, la expresión original vale \(16-16+5-16+6+7=2\). También puede verificarse el mínimo partiendo de \(u=x+2y-2\) y \(v=y+1\): para cualesquiera \(u,v\in\mathbb R\) los cuadrados suman una cantidad no negativa, y las ecuaciones \(u=v=0\) tienen la única solución indicada. La presencia del término \(4xy\) impide minimizar los términos de \(x\) y de \(y\) independientemente, como sí se hizo en (b).

Síntesis: valor mínimo y lugar donde se alcanza

(a) Valor mínimo \(23/8\), en \(x=3/4\).

(b) Valor mínimo \(-9/4\), en \((x,y)=(3/2,-1)\).

(c) Valor mínimo \(2\), en \((x,y)=(4,-1)\).

En los tres casos se estableció una identidad exacta «expresión original = suma de cuadrados no negativos + constante», y se probó que los cuadrados se anulan simultáneamente en un único punto. Esta doble comprobación —cota universal y consecución— es la diferencia entre encontrar un candidato y demostrar que es el mínimo global.

SPV4-C01-E018 — Discriminante, positividad y mínimos de cuadráticas (apartados a–e)

Enunciados — formulación española propia

Sean \(b,c\in\mathbb R\). En los apartados que contienen otras letras, todas las variables y parámetros son reales, y las condiciones particulares se indican expresamente.

(a) Supón \(b^2-4c\ge0\). Demuestra por sustitución directa que los dos números

\[ \frac{-b+\sqrt{b^2-4c}}{2} \quad\text{y}\quad \frac{-b-\sqrt{b^2-4c}}{2} \]

satisfacen \(x^2+bx+c=0\); decide también qué ocurre si el discriminante vale cero.

(b) Supón \(b^2-4c<0\). Demuestra que la ecuación \(x^2+bx+c=0\) no posee soluciones reales y establece, de hecho, la desigualdad estricta \(x^2+bx+c>0\) para todo \(x\in\mathbb R\).

(c) Aplica el resultado de (b), atendiendo al caso en que no sea aplicable directamente, para demostrar que \(x^2+xy+y^2>0\) siempre que \((x,y)\ne(0,0)\).

(d) Determina todos los parámetros \(\alpha\in\mathbb R\) para los cuales \(x^2+\alpha xy+y^2>0\) para cada pareja real \((x,y)\ne(0,0)\). Demuestra tanto la suficiencia como la necesidad de la condición encontrada.

(e) Determina el menor valor posible de \(x^2+bx+c\) y de \(ax^2+bx+c\) cuando \(a>0\), indicando en cada caso el punto en que se alcanza y por qué es único.

Herramienta común — completar cuadrados y distinguir hipótesis

Para cualquier \(b,c,x\in\mathbb R\), la identidad algebraica

\[ x^2+bx+c=\left(x+\frac b2\right)^2+c-\frac{b^2}{4} =\left(x+\frac b2\right)^2-\frac{b^2-4c}{4} \tag{1} \]

se verifica por expansión. El cuadrado no es negativo; cuando el término constante restante es estrictamente positivo, la cuadrática es positiva para todo real. Cuando el discriminante es no negativo, se puede introducir su raíz cuadrada no negativa; la existencia de raíces reales no negativas se usa en (a), conforme a su significado usual. No necesitaremos extraer raíces en los demás apartados.

(a) Verificar las soluciones propuestas

Pista 1. Escribe \(\Delta=b^2-4c\ge0\) y \(r=\sqrt\Delta\). Calcula \(x+b/2\) para cada candidato.

Pista 2. Sustituye en (1) y usa \(r^2=\Delta\). Si \(\Delta=0\), identifica qué pasa con los signos \(+\) y \(-\).

Demostración. Fijemos \(\Delta=b^2-4c\ge0\) y sea \(r=\sqrt\Delta\ge0\), con \(r^2=\Delta\). Para cada elección de signo, definimos

\[ x_\pm=\frac{-b\pm r}{2}. \]

Estos números son reales porque \(r\) lo es y \(2\ne0\). Además,

\[ x_\pm+\frac b2=\pm\frac r2. \]

Al sustituir en la identidad (1),

\[ \begin{aligned} x_\pm^2+bx_\pm+c &=\left(\pm\frac r2\right)^2-\frac\Delta4\\ &=\frac{r^2-\Delta}{4}=0. \end{aligned} \]

Hemos comprobado directamente ambos candidatos, sin presuponer la fórmula general como teorema. También podemos demostrar que no hay otros: si \(x^2+bx+c=0\), (1) impone \((x+b/2)^2=\Delta/4=(r/2)^2\); la diferencia de cuadrados da \(x+b/2=\pm r/2\), de donde \(x=x_+\) o \(x=x_-\). En consecuencia,

\[ \boxed{\{x\in\mathbb R:x^2+bx+c=0\} =\left\{\frac{-b+\sqrt\Delta}{2},\frac{-b-\sqrt\Delta}{2}\right\} \quad(\Delta\ge0).} \]

Control del caso límite. Si \(\Delta=0\), entonces \(r=0\) y los dos signos describen una sola solución, \(x=-b/2\); no hay que contar dos raíces distintas. Si \(\Delta>0\), \(r>0\) y los candidatos difieren en \(r\), por lo cual son distintos. El caso \(b=0,c=0\) reproduce correctamente la única raíz \(x=0\).

(b) Discriminante negativo: positividad sin raíces

Pista 1. Reescribe la hipótesis como \(4c-b^2>0\).

Pista 2. Usa (1): suma un cuadrado no negativo y una constante estrictamente positiva. ¿Puede esa suma anularse?

Demostración. Puesto que \(\Delta=b^2-4c<0\), tenemos \(4c-b^2>0\). La completación de cuadrados (1) se convierte en

\[ x^2+bx+c=\left(x+\frac b2\right)^2+\frac{4c-b^2}{4}. \]

El primer término es no negativo para todo \(x\), mientras que el segundo es estrictamente positivo porque \(4>0\). Por consiguiente,

\[ \boxed{x^2+bx+c\ge\frac{4c-b^2}{4}>0 \qquad\text{para todo }x\in\mathbb R.} \]

La desigualdad estricta excluye automáticamente la posibilidad \(x^2+bx+c=0\): no existe ninguna raíz real bajo esta hipótesis. La cota inferior se alcanza en \(x=-b/2\), pero su valor sigue siendo positivo.

Control. No estamos diciendo simplemente que la raíz \(\sqrt\Delta\) esté indefinida en los reales: la identidad prueba algo más fuerte, el signo positivo de la expresión original en toda la recta. La condición \(\Delta<0\) es estricta; si \(\Delta=0\), la expresión se anula en \(x=-b/2\), como se demostró en (a).

(c) Positividad de una forma cuadrática de dos variables

Pista 1. Si \(y\ne0\), considera la expresión como un polinomio en \(x\) con coeficientes \(b=y\) y \(c=y^2\). Calcula su discriminante.

Pista 2. Para \(y=0\), la hipótesis \((x,y)\ne(0,0)\) obliga a \(x\ne0\). Trata ese caso aparte y comprueba también la identidad por cuadrados.

Demostración. Sean \(x,y\) reales no ambos nulos. Primero, si \(y\ne0\), la cuadrática en la variable \(x\) tiene \(b=y\) y \(c=y^2\). Su discriminante es

\[ \Delta=y^2-4y^2=-3y^2<0, \]

pues \(y^2>0\). El resultado de (b) proporciona \(x^2+xy+y^2>0\) para todo \(x\).

Si \(y=0\), la hipótesis común fuerza \(x\ne0\). La expresión vale entonces \(x^2>0\). Esta segunda situación no debe incluirse artificialmente en la hipótesis de (b), porque para \(y=0\) su discriminante es cero, no negativo estricto. De este modo,

\[ \boxed{x^2+xy+y^2>0\qquad\text{si }(x,y)\ne(0,0).} \]

Control algebraico independiente. La identidad

\[ x^2+xy+y^2=\left(x+\frac y2\right)^2+\frac{3y^2}{4} \]

hace visible la misma positividad: si \(y\ne0\), el segundo sumando es positivo; si \(y=0\) y \(x\ne0\), el primero es positivo. El único punto en que se anulan ambos es \((0,0)\), excluido por hipótesis. Esta comprobación coincide con la forma ya estudiada en el ejercicio 15*, sin emplearla como premisa.

(d) Caracterización exacta del parámetro

Pista 1. Considera \(x^2+\alpha xy+y^2\) como cuadrática en \(x\) para un \(y\ne0\). Su discriminante es \((\alpha^2-4)y^2\).

Pista 2. Completa el cuadrado. Para refutar un parámetro fuera del intervalo propuesto, prueba la pareja \(y=1\), \(x=-\alpha/2\); distingue el valor cero en los extremos del valor negativo fuera de ellos.

Demostración — suficiencia. Supongamos \(-2<\alpha<2\). Esto equivale a \(\alpha^2<4\), por lo que \(1-\alpha^2/4>0\). Por expansión,

\[ \boxed{x^2+\alpha xy+y^2 =\left(x+\frac{\alpha y}{2}\right)^2 +\left(1-\frac{\alpha^2}{4}\right)y^2.}\tag{2} \]

Si \(y\ne0\), el segundo sumando es estrictamente positivo y el primero no negativo; la forma es positiva, de acuerdo asimismo con (b) porque \(\Delta=(\alpha^2-4)y^2<0\). Si \(y=0\), una pareja no nula exige \(x\ne0\) y la forma se reduce a \(x^2>0\). Así la propiedad requerida se cumple para todos los pares no nulos.

Demostración — necesidad. Supongamos ahora que la forma es estrictamente positiva para toda pareja distinta del origen. En particular, lo debe ser para el par no nulo \((x,y)=(-\alpha/2,1)\). Al sustituir en (2), obtenemos

\[ 0<\left(-\frac\alpha2\right)^2 +\alpha\left(-\frac\alpha2\right)+1 =1-\frac{\alpha^2}{4}. \]

Por tanto \(\alpha^2<4\), equivalente a \(-2<\alpha<2\). La prueba excluye todos los parámetros exteriores, sin suponer que el discriminante negativo sea una condición necesaria por el solo enunciado de (b). Juntando ambos sentidos,

\[ \boxed{x^2+\alpha xy+y^2>0\text{ para todo }(x,y)\ne(0,0) \iff -2<\alpha<2.} \]

Controles de frontera. Para \(\alpha=2\), la forma es \((x+y)^2\) y se anula, por ejemplo, en \((1,-1)\). Para \(\alpha=-2\) es \((x-y)^2\) y se anula en \((1,1)\). Si \(|\alpha|>2\), el test \((-\alpha/2,1)\) produce el valor negativo \(1-\alpha^2/4<0\). En particular, no basta pedir \(|\alpha|\le2\), pues el enunciado exige positividad estricta para cada pareja no nula.

(e) Mínimos de cuadráticas mónicas y de coeficiente principal positivo

Pista 1. En el primer polinomio usa directamente (1). La constante restante es una cota inferior que se alcanza cuando \(x+b/2=0\).

Pista 2. Para el segundo, extrae el factor \(a>0\) de los términos cuadrático y lineal y completa el cuadrado. Comprueba que el mínimo se alcanza en \(x=-b/(2a)\) y conserva el signo correcto de la constante.

Primer mínimo. Sin hipótesis acerca del signo de \(b^2-4c\), la identidad (1) garantiza para todo \(x\in\mathbb R\) la cota

\[ x^2+bx+c=\left(x+\frac b2\right)^2+c-\frac{b^2}{4} \ge c-\frac{b^2}{4}. \]

La igualdad se alcanza en \(x=-b/2\), que es un número real. Si otro \(x\) alcanzara el mismo valor, el cuadrado sería cero y forzaría ese mismo punto. En consecuencia,

\[ \boxed{\min_{x\in\mathbb R}(x^2+bx+c)=c-\frac{b^2}{4}, \quad\text{únicamente en }x=-\frac b2.} \]

Segundo mínimo. Supongamos \(a>0\) y, por tanto, \(a\ne0\). Completando el cuadrado con las divisiones permitidas,

\[ \begin{aligned} ax^2+bx+c &=a\left[x^2+\frac ba x\right]+c\\ &=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+c-\frac{b^2}{4a}. \end{aligned} \]

Como \(a>0\), el primer término es no negativo y se anula exactamente para \(x=-b/(2a)\). La constante es, por consiguiente, una cota inferior alcanzada, y el punto de igualdad es único:

\[ \boxed{\min_{x\in\mathbb R}(ax^2+bx+c) =c-\frac{b^2}{4a},\quad\text{únicamente en }x=-\frac{b}{2a} \quad(a>0).} \]

Controles y límite de las hipótesis. Para \(a=1\), la segunda fórmula reproduce la primera. El mínimo puede ser negativo, nulo o positivo: su signo depende de \(4ac-b^2\), no de que el coeficiente principal sea positivo. Si \(a=0\), el polinomio es lineal o constante y no corresponde aplicar una fórmula con \(1/a\); si \(a<0\), al completar el cuadrado se obtiene una parábola no acotada inferiormente, de modo que no existe mínimo global en \(\mathbb R\). Las fórmulas anteriores requieren exactamente \(a>0\) en el segundo caso.

Síntesis matemática

La identidad de completación de cuadrados permite comprobar las raíces propuestas cuando el discriminante es no negativo; cuando es negativo, prueba positividad estricta del trinomio mónico. Para una forma homogénea en dos variables debe examinarse también el caso en que se anula la variable tratada como parámetro. Una cuadrática con coeficiente principal positivo alcanza su mínimo global en el único punto donde desaparece el cuadrado completado.

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SPV4-C01-E019 — Desigualdad de Schwarz en dos dimensiones (apartados a–d)

Enunciado — formulación española propia

Sean \(x_1,x_2,y_1,y_2\) números reales. Demuestra la desigualdad de Schwarz

\[ \boxed{x_1y_1+x_2y_2\le \sqrt{x_1^2+x_2^2}\,\sqrt{y_1^2+y_2^2}.}\tag{S} \]

Las raíces designan las raíces no negativas. Investiga cuatro tareas diferenciadas:

(a) Demuestra primero que hay igualdad si \(x_1=\lambda y_1\) y \(x_2=\lambda y_2\) para algún \(\lambda\ge0\), y también si \(y_1=y_2=0\). Cuando \((y_1,y_2)\ne(0,0)\) y no existe ningún real \(\lambda\) tal que \((x_1,x_2)=\lambda(y_1,y_2)\), considera

\[ 0<(\lambda y_1-x_1)^2+(\lambda y_2-x_2)^2 \]

para todo \(\lambda\in\mathbb R\) y completa una primera demostración de (S) mediante el ejercicio 18.

(b) Da una segunda demostración usando \(2uv\le u^2+v^2\) y las parejas de números normalizados \(x_i/\sqrt{x_1^2+x_2^2}\) e \(y_i/\sqrt{y_1^2+y_2^2}\), primero para \(i=1\) y después para \(i=2\). Distingue antes los vectores nulos, para no introducir denominadores cero.

(c) Obtén una tercera demostración verificando por expansión la identidad

\[ (x_1^2+x_2^2)(y_1^2+y_2^2) =(x_1y_1+x_2y_2)^2+(x_1y_2-x_2y_1)^2. \]

(d) Recupera, desde cada una de las tres demostraciones anteriores, la condición necesaria y suficiente de igualdad en (S): o \(y_1=y_2=0\), o existe \(\lambda\ge0\) tal que \(x_1=\lambda y_1\) y \(x_2=\lambda y_2\). No confundas esta condición con la proporcionalidad de factor negativo.

Notación y herramientas

Escribiremos, solo para abreviar las cuentas,

\[ A=x_1^2+x_2^2,\qquad C=y_1^2+y_2^2,\qquad B=x_1y_1+x_2y_2,\qquad D=x_1y_2-x_2y_1. \]

Se cumple \(A,C\ge0\), y \(A=0\) (respectivamente \(C=0\)) exactamente cuando ambos componentes correspondientes son cero. Así, (S) equivale a \(B\le\sqrt A\sqrt C\). La existencia general de las raíces no negativas es una propiedad de los reales que se utiliza aquí como en los ejercicios 7 y 18; las comparaciones algebraicas de cuadrados ya se demostraron en el ejercicio 5. La fórmula \(\sqrt A\sqrt C=\sqrt{AC}\) se justifica porque ambos miembros son no negativos y sus cuadrados son \(AC\).

(a) Primera demostración — una cuadrática de cuadrados

Pista 1. Comprueba directamente las dos situaciones indicadas de igualdad. Si \(C>0\), escribe la suma de cuadrados de la consigna como \(C\lambda^2-2B\lambda+A\) y explica qué impide que se anule cuando los dos pares no son proporcionales.

Pista 2. La ausencia de ceros de esa cuadrática con coeficiente principal positivo descarta un discriminante no negativo por el ejercicio 18(a). Deduce \(B^2<AC\) y ten presente que la conclusión requerida compara \(B\), no \(|B|\), con una cantidad no negativa. Trata también los factores proporcionales negativos.

Demostración de los casos de igualdad anunciados. Si \(C=0\), entonces \(y_1=y_2=0\) y \(B=0=\sqrt A\sqrt C\): hay igualdad para todo par \((x_1,x_2)\). Si \(x_i=\lambda y_i\) para \(i=1,2\) y \(\lambda\ge0\), se tiene \(B=\lambda C\) y \(A=\lambda^2C\); por tanto, \(\sqrt A=\lambda\sqrt C\) y \(\sqrt A\sqrt C=\lambda C=B\). Esto también incluye \(\lambda=0\) y los vectores nulos.

Caso sin proporcionalidad. Supongamos ahora \(C>0\) y que no existe ningún real \(\lambda\) con \(x_1=\lambda y_1\) y \(x_2=\lambda y_2\). Entonces, para cada \(\lambda\in\mathbb R\), por lo menos uno de los dos cuadrados siguientes es estrictamente positivo:

\[ \begin{aligned} q(\lambda) &=(\lambda y_1-x_1)^2+(\lambda y_2-x_2)^2\\ &=C\lambda^2-2B\lambda+A>0. \end{aligned} \]

Por el ejercicio 18(a), si el discriminante de esta cuadrática mónica tras dividir por \(C>0\) fuera no negativo, existiría un valor real de \(\lambda\) que la haría cero. Como eso es imposible, el discriminante ha de ser negativo:

\[ (-2B)^2-4CA<0 \quad\Longrightarrow\quad B^2<AC. \]

Esta falta de proporcionalidad obliga también a \(A>0\): el vector \(x=0\) sí sería proporcional a \(y\) con factor cero. Así \(AC>0\) y \(\sqrt A\sqrt C>0\). Si \(B>0\), la comparación estricta de cuadrados no negativos da \(B<\sqrt A\sqrt C\); si \(B\le0\), la misma desigualdad es inmediata porque el miembro derecho es positivo. En ambos casos, la desigualdad de Schwarz se cumple estrictamente.

Caso proporcional con factor negativo. Finalmente, si \(C>0\) y \(x_i=\lambda y_i\) con \(\lambda<0\), entonces \(B=\lambda C<0\), mientras que \(\sqrt A\sqrt C=|\lambda|C=-\lambda C>0\). La desigualdad vuelve a ser estricta. Por tricotomía entre estos casos, queda probada (S) para todos los números reales, con la condición de igualdad anunciada.

Control. Para \(x=(1,0)\) e \(y=(-1,0)\) hay proporcionalidad con \(\lambda=-1\), pero \(B=-1<1=\sqrt A\sqrt C\). Para \(x=(0,0)\) e \(y=(2,3)\), el factor \(\lambda=0\) da igualdad. El argumento del discriminante no se aplica cuando \(C=0\); ese caso se resolvió al comienzo.

(b) Segunda demostración — normalizar y sumar dos cuadrados

Pista 1. Obtén \(2uv\le u^2+v^2\) al desarrollar \((u-v)^2\ge0\). Si \(A=0\) o \(C=0\), prueba (S) directamente y reserva las divisiones para \(A,C>0\).

Pista 2. Aplica dos veces esa desigualdad a \(u_i=x_i/\sqrt A\) y \(v_i=y_i/\sqrt C\), suma y utiliza \(u_1^2+u_2^2=v_1^2+v_2^2=1\). Conserva la suma de cuadrados que mide la diferencia entre ambos miembros para estudiar la igualdad.

Demostración. La identidad

\[ (u-v)^2=u^2-2uv+v^2\ge0 \quad\Longrightarrow\quad 2uv\le u^2+v^2 \]

vale para todo par real, sin restricciones de signos. Si \(A=0\) o \(C=0\), uno de los pares es nulo, \(B=0=\sqrt A\sqrt C\) y (S) se verifica como igualdad. En adelante supongamos \(A,C>0\); entonces \(\sqrt A,\sqrt C\) son denominadores legítimos. Definamos

\[ u_i=\frac{x_i}{\sqrt A},\qquad v_i=\frac{y_i}{\sqrt C} \qquad(i=1,2). \]

Aplicando \(2uv\le u^2+v^2\) primero para \(i=1\) y después para \(i=2\), y sumando, obtenemos

\[ \begin{aligned} 2\frac{B}{\sqrt A\sqrt C} &=2(u_1v_1+u_2v_2)\\ &\le u_1^2+v_1^2+u_2^2+v_2^2\\ &=\frac{x_1^2+x_2^2}{A} +\frac{y_1^2+y_2^2}{C}=2. \end{aligned} \]

Multiplicamos por el número estrictamente positivo \(\sqrt A\sqrt C/2\) y concluimos \(\boxed{B\le\sqrt A\sqrt C}\).

Igualdad dentro de esta prueba. La diferencia entre las sumas es exactamente

\[ 2-2\frac{B}{\sqrt A\sqrt C} =(u_1-v_1)^2+(u_2-v_2)^2. \]

Hay igualdad si y solo si ambos cuadrados se anulan, esto es, \(x_i/\sqrt A=y_i/\sqrt C\) para \(i=1,2\). Multiplicando por \(\sqrt A>0\) se obtiene \(x_i=\lambda y_i\), con \(\lambda=\sqrt A/\sqrt C>0\). Los casos \(A=0\) y \(C=0\) se habían comprobado directamente; cuando \(A=0<C\), la proporcionalidad se expresa con \(\lambda=0\).

Control. La normalización falla como operación si \(A=0\) o \(C=0\), aunque la desigualdad misma siga siendo válida. Si los pares normalizados son opuestos, su producto escalar es \(-1\) y la desigualdad es estricta; no basta que sean proporcionales con factor negativo.

(c) Tercera demostración — identidad de Lagrange en dos dimensiones

Pista 1. Desarrolla \((x_1y_1+x_2y_2)^2\) y \((x_1y_2-x_2y_1)^2\); localiza los términos cruzados que se cancelan.

Pista 2. Deduce \(B^2\le AC\) del cuadrado no negativo \(D^2\). Compara los números no negativos \(|B|\) y \(\sqrt A\sqrt C\); recuerda que \(B\le|B|\) incluso cuando \(B<0\).

Demostración. La distributividad ofrece una identidad válida sin ninguna hipótesis de no anulación:

\[ \begin{aligned} B^2+D^2 &=(x_1y_1+x_2y_2)^2+(x_1y_2-x_2y_1)^2\\ &=x_1^2y_1^2+2x_1x_2y_1y_2+x_2^2y_2^2\\ &\quad+x_1^2y_2^2-2x_1x_2y_1y_2+x_2^2y_1^2\\ &=(x_1^2+x_2^2)(y_1^2+y_2^2)=AC. \end{aligned} \]

Como \(D^2\ge0\), \(B^2\le AC\). Ambos números \(|B|\) y \(\sqrt A\sqrt C\) son no negativos y sus cuadrados son, respectivamente, \(B^2\) y \(AC\). La comparación de cuadrados no negativos, establecida en el ejercicio 5, implica

\[ B\le|B|\le\sqrt A\sqrt C. \]

Esto demuestra otra vez (S). La identidad proporciona además la desigualdad bilateral \(|B|\le\sqrt A\sqrt C\), que es más fuerte; las condiciones de igualdad de la desigualdad solicitada, sin barras en \(B\), deben examinarse por separado.

Control. Cuando \(x=(1,0)\) e \(y=(0,1)\), \(B=0\), \(D=1\) y \(AC=1\): la desigualdad es estricta. Para \(x=(1,0)\) e \(y=(-1,0)\) se anula \(D\), pero sigue siendo estricta la desigualdad sin barras, ya que \(B=-1<1\). Por tanto, afirmar simplemente «igualdad si \(D=0\)» sería incorrecto para (S).

(d) Condición exacta de igualdad: tres deducciones

Pista 1. En (a), la ausencia de proporcionalidad produjo desigualdad estricta; una proporcionalidad con factor negativo también produjo desigualdad estricta. En (b), para pares no nulos, identifica cuándo se anulan simultáneamente los cuadrados de las diferencias normalizadas.

Pista 2. En (c), la igualdad de (S) exige dos hechos: \(B=|B|\) y \(D=0\). Si \(C>0\), elige una coordenada \(y_j\ne0\) y usa \(D=0\) para mostrar que ambos componentes de \(x\) tienen el mismo factor \(\lambda=x_j/y_j\); luego recupera su signo a partir de \(B=\lambda C\).

Primera deducción: desde (a). El caso \(y=0\) da siempre igualdad. Para \(C>0\), si \(x\) no es proporcional a \(y\), el discriminante negativo proporcionó una desigualdad estricta; si es proporcional con factor negativo, el producto escalar es negativo y la cota es positiva. Solo queda un factor \(\lambda\ge0\), para el cual la igualdad se comprobó directamente.

Segunda deducción: desde (b). Los casos de vector nulo dan igualdad; si \(C>0\) y \(A=0\), \(x=0\cdot y\). Si \(A,C>0\), la identidad final de (b) fuerza, cuando existe igualdad, \(u_1=v_1\) y \(u_2=v_2\). Por tanto \(x_i=(\sqrt A/\sqrt C)y_i\), y ese cociente es positivo. Recíprocamente, si la proporcionalidad tiene factor no negativo, la sustitución inicial de (a), o directamente las sumas de (b), da igualdad.

Tercera deducción: desde (c). Igualdad en

\[ B\le |B|\le\sqrt A\sqrt C \]

requiere simultáneamente \(B\ge0\) y \(D=0\); ambas condiciones son suficientes porque la identidad \(AC=B^2+D^2\) entonces da \(AC=B^2\) y las raíces no negativas satisfacen \(\sqrt A\sqrt C=B\). Si \(C=0\), estamos en el primer caso. Si \(C>0\), al menos una coordenada de \(y\) no es nula. Cuando \(y_1\ne0\), pongamos \(\lambda=x_1/y_1\); la ecuación \(D=x_1y_2-x_2y_1=0\) da \(x_2=\lambda y_2\). Si \(y_1=0\), necesariamente \(y_2\ne0\) y \(D=x_1y_2=0\) fuerza \(x_1=0\); tomando \(\lambda=x_2/y_2\), la misma proporcionalidad queda probada. En cualquiera de los dos casos, \(B=\lambda C\) y, dado que \(C>0\) y \(B\ge0\), se concluye \(\lambda\ge0\).

Las tres pruebas, cada una con su propio control de igualdad, establecen exactamente

\[ \boxed{B=\sqrt A\sqrt C \iff (y_1=y_2=0)\ \text{o}\ \bigl(\exists\lambda\ge0:\ x_1=\lambda y_1,\ x_2=\lambda y_2\bigr).} \]

Casos límite. Si \(y=0\), cualquier \(x\) da igualdad, aunque no pueda escribirse necesariamente como \(\lambda y\). Si \(x=0\) e \(y\ne0\), hay igualdad con \(\lambda=0\). Si \(x=-y\ne0\), los vectores son proporcionales, pero \(B=-C< C=\sqrt A\sqrt C\): el factor negativo debe excluirse. Cuando ninguno es nulo y \(x=\lambda y\) con \(\lambda>0\), hay igualdad, incluidos los casos en que alguna coordenada aislada vale cero.

Síntesis matemática

La primera vía reduce el problema a una cuadrática no negativa y el discriminante del ejercicio 18; la segunda usa dos veces una desigualdad que se obtiene de un cuadrado; la tercera exhibe exactamente la diferencia \(AC-B^2\) como un cuadrado. La información sobre igualdad requiere conservar el signo del producto escalar: dependencia lineal por sí sola, sin orientación, no caracteriza la igualdad de la desigualdad (S).

SPV4-C01-E020 — La proximidad de sumas y diferencias

Enunciado — formulación española propia

Sean \(x,x_0,y,y_0\in\mathbb R\) y sea \(\varepsilon>0\). Supongamos que ambos números variables se encuentran, respectivamente, a menos de \(\varepsilon/2\) de sus valores de referencia:

\[ |x-x_0|<\frac{\varepsilon}{2},\qquad |y-y_0|<\frac{\varepsilon}{2}. \]

Demuestra las dos conclusiones siguientes:

\[ \boxed{|(x+y)-(x_0+y_0)|<\varepsilon,} \tag{S} \]

\[ \boxed{|(x-y)-(x_0-y_0)|<\varepsilon.} \tag{D} \]

La afirmación se refiere a cualquier elección de los cuatro números reales; no presupone que \(x_0\) o \(y_0\) sean positivos, ni que las diferencias tengan el mismo signo.

Pista 1

Introduce los errores \(h=x-x_0\) y \(k=y-y_0\). Expresa el error de la suma y el de la resta mediante \(h\) y \(k\), sin estimar todavía sus signos.

Pista 2

Aplica la desigualdad triangular a \(h+k\) y a \(h+(-k)\). Recuerda \(|-k|=|k|\), y observa que dos cotas estrictas \(|h|<\varepsilon/2\) y \(|k|<\varepsilon/2\) se suman en una cota también estricta.

Estrategia y demostración

Definamos \(h=x-x_0\) y \(k=y-y_0\). Las hipótesis se convierten exactamente en

\[ |h|<\frac{\varepsilon}{2},\qquad |k|<\frac{\varepsilon}{2}. \tag{H} \]

La desigualdad triangular \(|u+v|\le|u|+|v|\) está demostrada a partir de la definición de valor absoluto en E009 y nuevamente en E014(c). No requiere que los sumandos sean positivos.

Primera conclusión: estabilidad de la suma. Por asociatividad y conmutatividad,

\[ (x+y)-(x_0+y_0)=(x-x_0)+(y-y_0)=h+k. \]

Aplicamos la desigualdad triangular y luego ambas hipótesis de (H):

\[ \begin{aligned} |(x+y)-(x_0+y_0)| &=|h+k|\\ &\le|h|+|k|\\ &<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}\\ &=\varepsilon. \end{aligned} \]

El paso estricto se justifica sumando las dos desigualdades estrictas: si \(a<c\) y \(b<d\), entonces \(a+b<c+d\), como se probó en E005(i). Esto demuestra (S).

Segunda conclusión: estabilidad de la diferencia. Reordenamos las restas sin cambiar su significado:

\[ (x-y)-(x_0-y_0)=(x-x_0)-(y-y_0)=h-k=h+(-k). \]

La misma desigualdad triangular, junto con \(|-k|=|k|\) (E014(a)), proporciona

\[ \begin{aligned} |(x-y)-(x_0-y_0)| &=|h+(-k)|\\ &\le|h|+|-k|\\ &=|h|+|k|\\ &<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}\\ &=\varepsilon. \end{aligned} \]

Esto demuestra (D). Se utilizaron las mismas hipótesis, no una condición nueva sobre los signos de \(h\) y \(k\).

Segunda lectura — cotas bilaterales

Las hipótesis equivalen a \(-\varepsilon/2<h<\varepsilon/2\) y \(-\varepsilon/2<k<\varepsilon/2\). Sumándolas resulta \(-\varepsilon<h+k<\varepsilon\). Cambiando los signos de las cotas de \(k\), también \(-\varepsilon<-k<\varepsilon\); al sumar con las de \(h\) obtenemos \(-\varepsilon<h-k<\varepsilon\). La definición del valor absoluto recupera (S) y (D). Esta comprobación es independiente de emplear la desigualdad triangular como una regla ya establecida, pero descansa en las mismas propiedades elementales del orden.

Comprobaciones y alcance exacto

• Errores de signos contrarios. Si \(h=\varepsilon/4\) y \(k=-\varepsilon/4\), la suma coincide exactamente con su referencia, pero la resta difiere de ella en \(\varepsilon/2<\varepsilon\). El signo de cada error no es una hipótesis oculta.
• Errores del mismo signo. Si \(h=k=\varepsilon/4\), la diferencia coincide con su referencia, mientras que el error de la suma es \(\varepsilon/2<\varepsilon\).
• Errores nulos y fronteras. Si \(h=0\) o \(k=0\), ambas estimaciones siguen siendo válidas. No puede sustituirse sin explicación \(|h|<\varepsilon/2\) por \(|h|\le\varepsilon/2\) y mantener una conclusión estricta: para \(h=k=\varepsilon/2\) el error de la suma alcanza exactamente \(\varepsilon\); para \(h=-k=\varepsilon/2\) lo alcanza el de la resta. Con hipótesis no estrictas se obtendrían solamente conclusiones no estrictas.

La condición \(\varepsilon>0\) da sentido a la lectura de \(\varepsilon\) como tolerancia: si \(\varepsilon\le0\), las hipótesis estrictas serían imposibles porque las magnitudes son no negativas, y la implicación formulada sería verdadera solo de manera vacía. Para la demostración sustantiva interesa precisamente \(\varepsilon>0\).

La constante \(\varepsilon/2\) reparte el presupuesto de error entre dos variables. De manera más general, si \(|x-x_0|<\delta_1\) y \(|y-y_0|<\delta_2\) con \(\delta_1,\delta_2>0\), ambos errores —el de la suma y el de la diferencia— son menores que \(\delta_1+\delta_2\). El enunciado corresponde a escoger \(\delta_1=\delta_2=\varepsilon/2\).

SPV4-C01-E021* — Control cuantitativo del error de un producto

Enunciado — formulación española propia

Sean \(x,x_0,y,y_0\in\mathbb R\) y \(\varepsilon>0\). Supón que se cumplen simultáneamente las dos condiciones

\[ |x-x_0|<\min\left\{\frac{\varepsilon}{2(|y_0|+1)},\,1\right\}, \qquad |y-y_0|<\frac{\varepsilon}{2(|x_0|+1)}. \tag{H} \]

Demuestra que los productos correspondientes están a distancia estrictamente menor que \(\varepsilon\):

\[ \boxed{|xy-x_0y_0|<\varepsilon.} \tag{P} \]

La notación del mínimo, estudiada en el ejercicio 13, significa que el primer error satisface las dos desigualdades \(|x-x_0|<\varepsilon/[2(|y_0|+1)]\) y \(|x-x_0|<1\). No se supone que los números de referencia sean no nulos o positivos. El ejercicio está marcado con estrella y no contiene incisos rotulados.

Pista 1

Introduce \(h=x-x_0\) y \(k=y-y_0\). Suma y resta un producto intermedio para obtener \(xy-x_0y_0=hy_0+xk\). Aplica la desigualdad triangular y el valor absoluto del producto.

Pista 2

La condición \(|h|<1\) permite controlar el factor variable: \(|x|\le|x_0|+|h|<|x_0|+1\). Sustituye esta cota en \(|hy_0|+|xk|\). Usa las otras dos hipótesis para que cada sumando sea estrictamente menor que \(\varepsilon/2\), incluso si \(x_0=0\) o \(y_0=0\).

Estrategia y demostración

La dificultad consiste en que la diferencia entre productos contiene un factor variable. Para estimarlo, definamos los errores \(h=x-x_0\) y \(k=y-y_0\). La identidad algebraica

\[ \begin{aligned} xy-x_0y_0 &=xy-xy_0+xy_0-x_0y_0\\ &=x(y-y_0)+y_0(x-x_0)\\ &=xk+y_0h \end{aligned} \tag{1} \]

es válida para todos los reales, sin dividir por ninguna variable. E012(i) permite multiplicar valores absolutos y E014(c) proporciona la desigualdad triangular. Por ello,

\[ |xy-x_0y_0|\le |x|\,|k|+|y_0|\,|h|. \tag{2} \]

Primer control: acotar \(x\). Por la definición del mínimo y (H), \(|h|<1\). De \(x=x_0+h\) y la desigualdad triangular resulta

\[ |x|\le |x_0|+|h|<|x_0|+1. \tag{3} \]

El número \(|x_0|+1\) es estrictamente positivo, de modo que está permitido dividir por él y multiplicar por él sin invertir desigualdades. La segunda hipótesis de (H) y (3) implican

\[ 0\le |x|\,|k| \le (|x_0|+1)|k| < (|x_0|+1)\frac{\varepsilon}{2(|x_0|+1)} =\frac{\varepsilon}{2}. \tag{4} \]

Aquí se usa una desigualdad no estricta al sustituir \(|x|\) por su cota, seguida de una desigualdad estricta procedente de la hipótesis sobre \(k\); esto cubre sin excepción \(k=0\) o \(x=0\).

Segundo control: estimar el otro término. La primera hipótesis de (H) también implica \(|h|<\varepsilon/[2(|y_0|+1)]\). Puesto que \(|y_0|\le|y_0|+1\) y ambos denominadores son positivos,

\[ 0\le |y_0|\,|h| \le (|y_0|+1)|h| < (|y_0|+1)\frac{\varepsilon}{2(|y_0|+1)} =\frac{\varepsilon}{2}. \tag{5} \]

Es importante no afirmar \(|y_0||h|<|y_0|\varepsilon/[2(|y_0|+1)]\) sin separar el caso \(y_0=0\): multiplicar una desigualdad estricta por cero no conserva la estricticidad. El encadenamiento de (5) evita ese error y cubre \(y_0=0\) directamente.

Finalmente, (2), (4) y (5), junto con la regla de suma de desigualdades estrictas demostrada en E005(i), dan

\[ \begin{aligned} |xy-x_0y_0| &\le |x|\,|k|+|y_0|\,|h|\\ &<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}\\ &=\varepsilon. \end{aligned} \]

Así queda probada (P) para cualquier elección de \(x,x_0,y,y_0\) y toda tolerancia positiva \(\varepsilon\) que satisfaga las hipótesis.

Otra descomposición y por qué no reemplaza automáticamente a la anterior

También es válida la identidad

\[ xy-x_0y_0=(x-x_0)y+x_0(y-y_0). \]

Pero estimar directamente el primer sumando exigiría una cota para \(|y|\), que las hipótesis ofrecidas no dan inmediatamente en la forma requerida. La elección de (1) aprovecha exactamente el control \(|x-x_0|<1\) para producir (3), mientras que la segunda hipótesis ya controla \(|y-y_0|\). No basta escribir «el producto de dos errores es pequeño»: la identidad exacta contiene términos lineales y sus coeficientes deben quedar acotados.

Una tercera escritura confirma algebraicamente el mecanismo:

\[ xy-x_0y_0=y_0h+x_0k+hk. \]

Agrupar \(x_0k+hk=(x_0+h)k=xk\) recupera (1), sin introducir una nueva hipótesis ni un argumento circular.

Comprobaciones y fronteras

Referencias nulas. Si \(x_0=y_0=0\), las hipótesis dicen \(|x|<\min\{\varepsilon/2,1\}\) y \(|y|<\varepsilon/2\). La demostración sigue funcionando: \(|xy|<\varepsilon/2<\varepsilon\). Si solo \(y_0=0\), el término \(y_0h\) desaparece y el primer control basta; si solo \(x_0=0\), \(|x|<1\) y \(|k|<\varepsilon/2\) controlan \(xk\) sin exigir inversos de las referencias.

Errores nulos. Cuando \(h=0\) o \(k=0\), uno de los términos de (2) desaparece. Las cotas estrictas se conservan porque \(\varepsilon/2>0\); no se fuerza una desigualdad estricta multiplicando por cero.

Función del mínimo. La primera cota reparte el presupuesto de error y la segunda, \(|h|<1\), produce la cota local \(|x|<|x_0|+1\). Si se omitiera esta última condición manteniendo fija la otra cota para \(k\), el enunciado modificado podría fallar. Por ejemplo, con \(\varepsilon=10\), \(x_0=y_0=0\), \(x=4\) e \(y=4\): se cumplen \(|x|<\varepsilon/2=5\) y \(|y|<\varepsilon/2=5\), pero \(|xy|=16>10\). La condición adicional excluye este ejemplo.

Extremos y signo estricto. En (H), un valor exactamente igual a cualquiera de las cotas está excluido; la demostración no los añade por continuidad ni por una aproximación decimal. Si \(\varepsilon\le0\), las cotas positivas de (H) no pueden verificarse simultáneamente en la interpretación del mínimo y la segunda cota es no positiva: su desigualdad estricta resulta imposible para una magnitud no negativa. En tal caso, la implicación sería vacía; la demostración sustantiva requiere \(\varepsilon>0\).

La prueba utiliza únicamente álgebra de campo, propiedades del orden y valor absoluto ya demostradas en E005, E012 y E014. No requiere límites, continuidad, existencia de raíces ni monotonía de potencias reales. ## SPV4-C01-E022* — Inversos: mantenerse lejos de cero y controlar su diferencia

Enunciado — formulación española propia

Sean \(y,y_0\in\mathbb R\), \(y_0\ne0\) y \(\varepsilon>0\). Supongamos que

\[ |y-y_0|<\min\left\{\frac{|y_0|}{2},\,\frac{\varepsilon|y_0|^2}{2}\right\}. \tag{H} \]

Demuestra ambas afirmaciones: el número \(y\) tampoco es cero y sus inversos satisfacen

\[ \boxed{y\ne0,\qquad\left|\frac1y-\frac1{y_0}\right|<\varepsilon.} \tag{C} \]

El mínimo de (H) establece dos cotas simultáneas para el mismo error: una separa \(y\) del cero y la otra fija la precisión final. No se supone que \(y_0\) sea positivo. La estrella identifica el ejercicio en la edición de referencia; no hay incisos rotulados.

Pista 1

De la desigualdad triangular aplicada a \(y_0=(y_0-y)+y\) se sigue \(|y_0|\le|y-y_0|+|y|\). Combínala con la primera cota de (H) para obtener \(|y|>|y_0|/2>0\) antes de escribir el inverso de \(y\).

Pista 2

Una vez probada la existencia de ambos inversos, expresa su diferencia como \((y_0-y)/(yy_0)\). Emplea la cota inferior de \(|y|\) para controlar el denominador; después utiliza la segunda cota de (H). Evita multiplicar una desigualdad estricta por \(|y-y_0|\) si el error puede valer cero.

Qué se debe demostrar y estrategia

La expresión \(1/y\) no tiene sentido antes de descartar \(y=0\). Por eso la demostración tiene un orden obligatorio: primero se establece una separación uniforme respecto del cero; solo entonces se aplica la identidad algebraica de los inversos y se controla la magnitud del cociente. Esta prueba utiliza exclusivamente operaciones de campo, orden y las propiedades del valor absoluto ya justificadas en E003, E012 y E014.

Primera afirmación — separación efectiva del cero

Escribamos \(d=|y-y_0|\). Como \(y_0\ne0\), tenemos \(|y_0|>0\). Por la definición del mínimo, la hipótesis (H) implica

\[ d<\frac{|y_0|}{2} \qquad\text{y}\qquad d<\frac{\varepsilon|y_0|^2}{2}. \tag{1} \]

La desigualdad triangular [E014(c)] aplicada a \(y_0=(y_0-y)+y\), junto con \(|y_0-y|=|y-y_0|\) [E014(a)], proporciona

\[ |y_0|\le |y_0-y|+|y|=d+|y|. \]

Restamos \(d\) y empleamos la primera cota de (1):

\[ \boxed{|y|\ge |y_0|-d>\frac{|y_0|}{2}>0.} \tag{2} \]

Por definición, \(|y|>0\) excluye \(y=0\). Queda establecida la primera afirmación y, además, una cota inferior cuantitativa que se reutilizará. La condición \(y_0\ne0\) era indispensable para obtener un extremo estrictamente positivo y para que \(1/y_0\) esté definido.

Segunda afirmación — estimación de la diferencia de inversos

Ya sabemos que \(y\ne0\) e \(y_0\ne0\), así que todas las fracciones siguientes están definidas. Las reglas de cocientes demostradas en E003 permiten escribir

\[ \frac1y-\frac1{y_0}= \frac{y_0-y}{yy_0}. \tag{3} \]

La identidad de valor absoluto del cociente [E012(iii)] transforma (3) en

\[ \left|\frac1y-\frac1{y_0}\right| =\frac{|y-y_0|}{|y|\,|y_0|} =\frac{d}{|y|\,|y_0|}. \tag{4} \]

Por (2) y \(|y_0|>0\), el denominador satisface \(|y|\,|y_0|>|y_0|^2/2>0\). Como \(d\ge0\), al comparar recíprocos positivos obtenemos una cota no estricta válida incluso si \(d=0\):

\[ 0\le\frac{d}{|y|\,|y_0|} \le\frac{2d}{|y_0|^2}. \tag{5} \]

Para justificar (5) sin suponer \(d>0\), observamos que los denominadores positivos satisfacen \(|y|\,|y_0|\ge|y_0|^2/2\), así que sus recíprocos cumplen \(1/(|y|\,|y_0|)\le2/|y_0|^2\). Multiplicar esta desigualdad por \(d\ge0\) preserva el orden; cuando \(d=0\) ambos lados son cero. No se divide por \(d\). La segunda cota de (1), multiplicada por el factor estrictamente positivo \(2/|y_0|^2\), da

\[ \frac{2d}{|y_0|^2}<\varepsilon. \tag{6} \]

Reuniendo (4)–(6), obtenemos la conclusión estricta:

\[ \boxed{\left|\frac1y-\frac1{y_0}\right| \le\frac{2|y-y_0|}{|y_0|^2}<\varepsilon.} \]

Por tanto, las dos conclusiones de (C) están demostradas. La primera mitad de la hipótesis garantiza que el inverso de \(y\) existe y acota su denominador; la segunda suministra el presupuesto de error necesario para la desigualdad final.

Otra lectura — el punto exacto donde interviene cada radio

Si \(d=0\), entonces \(y=y_0\ne0\) y la distancia entre los inversos es \(0<\varepsilon\), como también demuestra (5). Si \(d>0\), la estimación más precisa de (2) es \(|y|\ge|y_0|-d\); así,

\[ \left|\frac1y-\frac1{y_0}\right| \le\frac{d}{|y_0|(|y_0|-d)}. \]

El radio \(d<|y_0|/2\) sustituye el denominador variable por una cota uniforme: \(|y_0|-d>|y_0|/2\). El segundo radio exige \(2d/|y_0|^2<\varepsilon\). Se trata de dos funciones lógicas diferentes, no de dos métodos alternativos entre los que pueda escogerse uno solo.

Comprobación de hipótesis, fronteras y contraejemplos

Referencia negativa o pequeña. La prueba depende de \(|y_0|\), nunca del signo de \(y_0\). Para \(y_0=-2\) la primera cota es \(d<1\) y fuerza \(|y|>1\). Si \(|y_0|\) es muy pequeño pero positivo, la primera cota obliga a mantener \(y\) en una vecindad que no toca el cero. No se presupone un número mínimo universal para \(|y_0|\).

La primera restricción es necesaria para esta garantía. Si se conserva solamente \(d<\varepsilon|y_0|^2/2\), tomar \(y_0=1\), \(\varepsilon=4\) e \(y=0\) da \(d=1<2\), pero \(1/y\) es indefinido. Incluso imponiendo \(y\ne0\) por separado, con \(y=1/10\) se tiene \(d=9/10<2\) mientras que \(|1/y-1/y_0|=9>4\): no se obtiene tampoco la estimación pretendida.

La segunda restricción controla la precisión. Si se conserva solo \(d<|y_0|/2\), elegir \(y_0=1\), \(y=3/4\) y \(\varepsilon=1/10\) da \(d=1/4<1/2\) y ambos inversos existen, pero \(|1/y-1/y_0|=1/3>1/10\). La separación del cero no permite prescribir por sí sola una precisión arbitraria.

Extremos estrictos. Los valores \(d=|y_0|/2\) y \(d=\varepsilon|y_0|^2/2\) están excluidos por (H). No se incorporan mediante argumentos de continuidad: toda la demostración consiste en desigualdades algebraicas. Si \(\varepsilon\le0\), la segunda cota del mínimo es no positiva y ninguna magnitud \(d\ge0\) puede satisfacerla estrictamente; en esa interpretación, la implicación es vacía. Aquí se declara \(\varepsilon>0\) para tratar su contenido no vacío.

La desigualdad probada es una estimación explícita para inversos. No se utiliza como premisa la continuidad de la función recíproca, que puede estudiarse posteriormente a partir de este resultado.

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SPV4-C01-E023* — Elegir cotas explícitas para controlar un cociente

Enunciado — formulación española propia

Sean \(x,x_0,y,y_0\in\mathbb R\), con \(y_0\ne0\), y sea \(\varepsilon>0\). Encuentra dos expresiones explícitas, construidas únicamente con \(\varepsilon,x_0,y_0\), que puedan sustituir a los radios \(R_y\) y \(R_x\) en las hipótesis

\[ |y-y_0|<R_y,\qquad |x-x_0|<R_x, \]

de modo que, para todo par de números que las satisfaga, se pueda afirmar simultáneamente

\[ \boxed{y\ne0\qquad\text{y}\qquad \left|\frac{x}{y}-\frac{x_0}{y_0}\right|<\varepsilon.} \]

Una elección válida —sin pretender que los radios sean únicos ni óptimos— es

\[ \boxed{R_y=\min\left\{\frac{|y_0|}{2}, \frac{\varepsilon|y_0|^2}{4(|x_0|+1)}\right\}, \qquad R_x=\min\left\{\frac{\varepsilon|y_0|}{2(|y_0|+1)},\ 1\right\}.} \tag{R} \]

Todas las cantidades de (R) están definidas; como \(\varepsilon>0\) y \(y_0\ne0\), ambos radios son estrictamente positivos. Los radios indicados son suficientes, sin afirmar que sean máximos.

Pista 1

Escribe \(x/y\) como \(x(1/y)\). Antes de formar ese producto, aplica el ejercicio 22* con una tolerancia auxiliar \(\eta\) que permita obtener \(y\ne0\) y \(|1/y-1/y_0|<\eta\) a partir de una condición explícita sobre \(|y-y_0|\).

Pista 2

En el ejercicio 21*, sustituye la segunda variable por \(z=1/y\) y su referencia por \(z_0=1/y_0\). Para alcanzar un error de producto menor que \(\varepsilon\), toma \(\eta=\varepsilon/[2(|x_0|+1)]\) y simplifica el radio de \(x\) usando \(|z_0|=1/|y_0|\). Justifica cada denominador antes de utilizarlo.

Estrategia: encadenar dos resultados en el orden correcto

La perturbación de \(y\) se debe controlar primero: de otro modo, \(1/y\) podría no existir. Una vez establecida su existencia, el cociente pasa a ser un producto y se aplica el resultado de E021*. Las cotas de (R) reproducen exactamente las hipótesis de esos dos resultados con tolerancias apropiadas. No invocaremos como premisa la continuidad de la división, que es precisamente la conducta cuantitativa que aquí se establece.

Paso 1 — Elegir la tolerancia del inverso y asegurar su existencia

Definamos

\[ \eta:=\frac{\varepsilon}{2(|x_0|+1)}. \tag{1} \]

Como \(|x_0|+1>0\) y \(\varepsilon>0\), tenemos \(\eta>0\). La primera hipótesis y (R) proporcionan

\[ |y-y_0|<\min\left\{\frac{|y_0|}{2}, \frac{\varepsilon|y_0|^2}{4(|x_0|+1)}\right\} =\min\left\{\frac{|y_0|}{2},\frac{\eta|y_0|^2}{2}\right\}. \tag{2} \]

El ejercicio E022*, aplicado con la tolerancia \(\eta\), demuestra en este orden que

\[ \boxed{|y|>\frac{|y_0|}{2}>0,\qquad y\ne0,\qquad \left|\frac1y-\frac1{y_0}\right|<\eta.} \tag{3} \]

La primera conclusión de (3) legitima la expresión \(1/y\) en todas las líneas posteriores. El número \(1/y_0\) existe desde la hipótesis \(y_0\ne0\). No se ha supuesto que \(y_0\) sea positivo.

Paso 2 — Preparar las dos hipótesis del teorema del producto

Pongamos \(z=1/y\) y \(z_0=1/y_0\). Gracias a (3), \(z\) y \(z_0\) son números reales y

\[ |z-z_0|<\eta=\frac{\varepsilon}{2(|x_0|+1)}. \tag{4} \]

Por la identidad de valor absoluto del inverso demostrada en E012(ii),

\[ |z_0|=\left|\frac1{y_0}\right|=\frac1{|y_0|}. \]

La segunda hipótesis, junto con el radio \(R_x\) de (R), se transforma entonces en

\[ \begin{aligned} |x-x_0| &<\min\left\{\frac{\varepsilon|y_0|}{2(|y_0|+1)},1\right\}\\ &=\min\left\{\frac{\varepsilon}{2(|z_0|+1)},1\right\}. \end{aligned} \tag{5} \]

La última igualdad se comprueba sin omitir un factor: como \(|y_0|>0\),

\[ \frac{1}{|z_0|+1} =\frac{1}{\frac1{|y_0|}+1} =\frac{|y_0|}{|y_0|+1}. \]

Las relaciones (4) y (5) son justamente las dos hipótesis cuantitativas de E021* para las variables \(x,z\) y referencias \(x_0,z_0\).

Paso 3 — Aplicar el producto y concluir

El ejercicio E021*, con tolerancia \(\varepsilon\), asegura

\[ |xz-x_0z_0|<\varepsilon. \]

Ahora las identidades \(xz=x/y\) y \(x_0z_0=x_0/y_0\) son legítimas, puesto que ambos denominadores ya han sido declarados no nulos. Por consiguiente,

\[ \boxed{\left|\frac{x}{y}-\frac{x_0}{y_0}\right|<\varepsilon.} \]

Esta desigualdad, junto con \(y\ne0\) demostrado en (3), establece las dos conclusiones y verifica que los radios (R) responden a la consigna.

Comprobación algebraica alternativa — localizar los dos medios errores

La identidad de campo, válida tras (3), permite comprobar directamente la estructura de la prueba:

\[ \frac{x}{y}-\frac{x_0}{y_0} =x\left(\frac1y-\frac1{y_0}\right) +\frac1{y_0}(x-x_0). \tag{6} \]

Del radio \(R_x\le1\) se deduce \(|x|\le|x_0|+|x-x_0|<|x_0|+1\). Las desigualdades triangular y multiplicativa, (3) y (1) proporcionan

\[ \left|x\left(\frac1y-\frac1{y_0}\right)\right| <(|x_0|+1)\eta=\frac\varepsilon2. \]

Además, como \(1/y_0\ne0\) y el primer radio de (5) es positivo,

\[ \left|\frac1{y_0}(x-x_0)\right| <\frac1{|y_0|}\frac{\varepsilon|y_0|}{2(|y_0|+1)} =\frac\varepsilon{2(|y_0|+1)}<\frac\varepsilon2. \]

La suma es estrictamente menor que \(\varepsilon\). Esta segunda lectura confirma la elección de los radios sin utilizar E021* como caja negra; también muestra por qué el radio de \(x\) contiene el mínimo con \(1\).

Controles de dominio, casos frontera y alcance

Referencias nulas y negativas. Se admite \(x_0=0\): el denominador \(|x_0|+1\) continúa siendo positivo. Se admite \(y_0<0\): solo aparecen \(|y_0|\), \(|y_0|^2\) y denominadores positivos. No se admite \(y_0=0\), pues el cociente de referencia no existiría.

Perturbaciones nulas. Si \(x=x_0\) o \(y=y_0\), las estimaciones siguen valiendo; si ambos errores son cero, el error de cocientes es exactamente \(0<\varepsilon\). No se divide por ninguna perturbación ni se multiplica una desigualdad estricta por un factor que pudiera ser cero.

Desigualdades estrictas. Los valores \(|y-y_0|=R_y\) y \(|x-x_0|=R_x\) no satisfacen las hipótesis formuladas. No se asegura que la conclusión falle en esos extremos: (R) es una elección suficiente, no una caracterización de todas las perturbaciones posibles ni un cálculo de radios óptimos.

Tolerancia no positiva. El enunciado original plantea \(\varepsilon\) como parámetro de aproximación. Nuestra solución declara \(\varepsilon>0\) para ofrecer radios positivos y una hipótesis realizable. Si \(\varepsilon\le0\), el resultado \(|x/y-x_0/y_0|<\varepsilon\) no puede darse cuando está definido, y no existirían radios positivos que garanticen esa conclusión para perturbaciones que incluyan \((x,y)=(x_0,y_0)\). Las cotas presentadas aquí se destinan expresamente al caso positivo.

El resultado es una estimación algebraica local de cocientes. La teoría de límites podrá recuperarla más adelante, pero no se utiliza en esta demostración.

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SPV4-C01-E024* — La posición de los paréntesis en una suma finita (apartados a–c)

Enunciados y convención — formulación española propia

Sean \(a_1,\ldots,a_n\) números reales. Para \(1\le i\le j\) definimos la suma asociada hacia la derecha de un bloque consecutivo, \(S(i,j)\), mediante

\[ S(j,j):=a_j,\qquad S(i,j):=a_i+S(i+1,j)\quad(i<j). \tag{D} \]

Así, \(S(1,3)=a_1+(a_2+a_3)\) y \(S(1,4)=a_1+(a_2+(a_3+a_4))\). Escribiremos \(a_i+\cdots+a_j\) como abreviatura exclusiva de \(S(i,j)\) cuando \(i\le j\). La definición no presupone que se pueda desplazar libremente ningún paréntesis.

(a) Incorporar un sumando a la derecha. Para todo entero \(k\ge1\) y toda sucesión \(a_1,\ldots,a_{k+1}\) de reales, demuestra

\[ \boxed{S(1,k)+a_{k+1}=S(1,k+1).} \tag{A} \]

(b) Unir dos bloques consecutivos. Para \(n\ge k\ge1\), establece que la suma del bloque inicial y la del bloque restante coincide con \(S(1,n)\):

\[ \boxed{S(1,k)+S(k+1,n)=S(1,n)\quad\text{si }n>k.} \tag{B} \]

Si \(n=k\), el segundo bloque está vacío y la igualdad pedida se interpreta simplemente como \(S(1,n)=S(1,n)\); equivalentemente, se puede asignar valor \(0\) a una suma vacía y usar \(S(1,n)+0=S(1,n)\). Esta convención suplementaria solo resuelve el extremo \(n=k\) y no altera (D), que se definió únicamente para bloques no vacíos.

(c) Independencia de la parentización. Sea \(s(a_1,\ldots,a_k)\) cualquier expresión formada con cada uno de los términos \(a_1,\ldots,a_k\) exactamente una vez, en ese orden, utilizando exclusivamente sumas binarias y paréntesis; no se permite cambiar el orden ni introducir u omitir sumandos. Prueba, para todo \(k\ge1\), que

\[ \boxed{s(a_1,\ldots,a_k)=S(1,k).} \tag{C} \]

El objetivo es probar la independencia del agrupamiento a partir de la asociatividad binaria de la adición, y de inducción matemática sobre el número de términos. La inducción, presentada sistemáticamente en el capítulo 2 de la fuente, se explicita aquí porque el ejercicio permite anticiparla.

(a) Pistas graduadas

Pista 1. Formula como proposición inductiva (A) para todas las sucesiones de \(k+1\) reales. La universalidad de la hipótesis será necesaria al empezar la sucesión en \(a_2\) en el paso siguiente.

Pista 2. Escribe \(S(1,k+1)=a_1+S(2,k+1)\), mueve solamente los paréntesis de la suma de tres bloques y aplica la hipótesis inductiva a \(a_2,\ldots,a_{k+2}\).

Estrategia y demostración. Probemos \(P(k)\): para cualquier lista \(b_1,\ldots,b_{k+1}\) de números reales, su suma derecha de los primeros \(k\) términos, más el último, coincide con la suma derecha de todos ellos. La formulación cuantifica las listas; no se prueba únicamente para una colección fija.

Caso base \(k=1\). \(S(1,1)+a_2=a_1+a_2=S(1,2)\), por (D), sin modificar paréntesis.

Paso \(k\to k+1\). Suponemos \(P(k)\) para toda lista de \(k+1\) términos. Para \(a_1,\ldots,a_{k+2}\), la definición (D) y la asociatividad solo de tres sumandos dan

\[ \begin{aligned} S(1,k+1)+a_{k+2} &=\bigl(a_1+S(2,k+1)\bigr)+a_{k+2}\\ &=a_1+\bigl(S(2,k+1)+a_{k+2}\bigr)\\ &=a_1+S(2,k+2)\\ &=S(1,k+2). \end{aligned} \tag{1} \]

La tercera igualdad aplica \(P(k)\) al bloque de \(k+1\) términos \(a_2,\ldots,a_{k+2}\), no a la lista original; es legítima por la universalidad declarada. La última igualdad vuelve a (D). Por inducción, (A) vale para todos los \(k\ge1\).

Comprobación. Para \(k=2\) se recupera \((a_1+a_2)+a_3=a_1+(a_2+a_3)\), precisamente el axioma de asociatividad; \(k=1\) no requiere dicho axioma. El paso (1) no invoca (C): solo (D), asociatividad de tres términos e hipótesis sobre un bloque más corto.

(b) Pistas graduadas

Pista 1. Trabaja por inducción sobre el tamaño \(k\) del primer bloque, afirmando simultáneamente el resultado para todos los \(n>k\) y todas las listas de longitud \(n\).

Pista 2. Usa (a) para reemplazar \(S(1,k+1)\) por \(S(1,k)+a_{k+1}\); reagrupa los últimos dos factores y reconoce \(a_{k+1}+S(k+2,n)\) por la definición (D).

Estrategia y demostración. Para \(k\ge1\), sea \(Q(k)\) la afirmación (B) para todo \(n>k\) y cualquier lista de \(n\) reales. Manejaremos \(n=k\) por separado, como se acordó en el enunciado.

Caso base \(k=1\). Para \(n>1\), (D) afirma directamente

\[ S(1,1)+S(2,n)=a_1+S(2,n)=S(1,n). \tag{2} \]

Paso \(k\to k+1\). Supongamos \(Q(k)\) para todos los \(n>k\). Consideremos \(n>k+1\). Usando (A), asociatividad de tres bloques, (D) y finalmente \(Q(k)\), obtenemos

\[ \begin{aligned} S(1,k+1)+S(k+2,n) &=\bigl(S(1,k)+a_{k+1}\bigr)+S(k+2,n)\\ &=S(1,k)+\bigl(a_{k+1}+S(k+2,n)\bigr)\\ &=S(1,k)+S(k+1,n)\\ &=S(1,n). \end{aligned} \tag{3} \]

En el último paso, \(n>k\) permite aplicar la hipótesis. Esto demuestra \(Q(k+1)\) y cierra la inducción. Para \(n=k\), la afirmación original se reduce a la identidad trivial según la convención sobre el segundo bloque vacío. La proposición queda probada para todos los \(n\ge k\ge1\) tal como pide el ejercicio.

Comprobación. Si \(k=1\) o si \(n=k+1\), ambos bloques son no vacíos y las fórmulas permanecen definidas. Para \(n=k\), no se finge que \(S(k+1,k)\) haya quedado definido por (D); se hace explícita la convención del vacío. En (3) no se ha sustituido una suma arbitrariamente parentizada por la suma derecha: los bloques ya están definidos por (D), (a) y la hipótesis inductiva.

(c) Pistas graduadas

Pista 1. Examina la última suma binaria de cualquier parentización con al menos dos términos. Sus dos operandos necesariamente son parentizaciones de dos bloques contiguos, el primero de longitud \(\ell\) y el segundo de longitud \(k-\ell\), para algún \(1\le\ell<k\).

Pista 2. Aplica inducción fuerte sobre \(k\): presupón la conclusión para todas las longitudes menores que \(k\), no solo para \(k-1\). Sustituye ambos operandos por sumas derechas de sus bloques y utiliza (b) con \(n=k\) y primer bloque de tamaño \(\ell\).

Estrategia: el árbol binario de la expresión. Una parentización legítima puede pensarse como un árbol cuyas hojas son los sumandos en el orden dado; su raíz es la última operación de suma. La raíz divide las hojas en un prefijo y un sufijo no vacíos. Demostrar que tal corte existe no usa la propiedad que queremos probar: es una consecuencia de la propia sintaxis de una expresión formada con operaciones binarias sobre una lista ordenada. En efecto, si el operando izquierdo terminara en \(a_\ell\), el derecho debe empezar en \(a_{\ell+1}\), pues ningún término puede permutarse, repetirse ni desaparecer.

Demostración por inducción fuerte. Sea \(R(k)\): toda parentización de cualquier lista de \(k\) números reales, respetando su orden, tiene valor \(S(1,k)\).

Caso base \(k=1\). La única expresión es \(s(a_1)=a_1=S(1,1)\). También es inmediato \(k=2\), donde solo existe \(a_1+a_2=S(1,2)\).

Paso inductivo. Fijemos \(k\ge2\) y supongamos \(R(j)\) para cada entero \(1\le j<k\) y todas las listas correspondientes. Sea \(s(a_1,\ldots,a_k)\) una parentización cualquiera. Existe un índice \(\ell\) con \(1\le\ell<k\) y expresiones parentizadas \(s'\) y \(s''\) tales que

\[ s(a_1,\ldots,a_k) =s'(a_1,\ldots,a_\ell)+s''(a_{\ell+1},\ldots,a_k). \tag{4} \]

Como ambas longitudes \(\ell\) y \(k-\ell\) son estrictamente menores que \(k\), las dos aplicaciones de la hipótesis fuerte dan

\[ s'(a_1,\ldots,a_\ell)=S(1,\ell), \qquad s''(a_{\ell+1},\ldots,a_k)=S(\ell+1,k). \tag{5} \]

Al sustituir (5) en (4) y aplicar el resultado ya probado de (b), ahora con \(n=k>\ell\), concluimos

\[ \begin{aligned} s(a_1,\ldots,a_k) &=S(1,\ell)+S(\ell+1,k)\\ &=\boxed{S(1,k)}. \end{aligned} \tag{6} \]

Esto prueba \(R(k)\). Por inducción fuerte, (C) vale para todos los tamaños \(k\ge1\) y para todas las parentizaciones admisibles.

Comprobación con cuatro términos. Por (a) o (b), tanto \(((a_1+a_2)+a_3)+a_4\) como \((a_1+a_2)+(a_3+a_4)\) y \(a_1+((a_2+a_3)+a_4)\) valen \(a_1+(a_2+(a_3+a_4))\). La demostración universal no consiste en enumerar estas posibilidades: cubre cualquier división superior \(\ell\) y después todas las parentizaciones internas por inducción fuerte.

Síntesis y comentario pedagógico

• Qué significa «cualquier suma». La conclusión es independencia de paréntesis, no de orden. Permutar términos utiliza la conmutatividad y constituye una afirmación distinta; aquí no se ha usado.
• Circularidad evitada. Antes de (c), solo se emplea asociatividad de tres sumandos —axioma P1 de la adición— junto con (D), (a) e hipótesis inductivas. Nunca se invoca «asociatividad de cualquier suma finita» como teorema ya disponible.
• Inducción y variables. En (a) la hipótesis cubre cualquier lista, incluida una cola desplazada; en (b) cubre todo \(n>k\) simultáneamente; en (c) cubre todos los tamaños estrictamente menores, porque el corte no necesariamente deja un bloque de longitud \(k-1\).
• Extremos y bloques. Se comprueban \(k=1\), \(k=2\), \(n=k\) y \(n=k+1\). Ambos subárboles de (c) son no vacíos. El bloque vacío de (b) es una convención explicada, no un valor supuesto sin definición.
• Alcance. La prueba se extiende a cualquier conjunto con operación binaria asociativa, por ejemplo a productos finitos en un monoide; no depende del orden de los reales, de límites, de raíces, ni de propiedades de potencias reales. Esa extensión es un comentario, no una tarea adicional atribuida a Spivak.

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SPV4-C01-E025 — Un campo de dos elementos con \(1+1=0\)

Enunciado — formulación española propia

Considera el conjunto \(F=\{0,1\}\), cuyos dos elementos son distintos. Define en él dos operaciones, denominadas suma y producto, mediante las tablas siguientes. En cada tabla, la entrada de la fila \(a\) y la columna \(b\) es el resultado de operar \(a\) con \(b\).

\(+\)	\(0\)	\(1\)
\(0\)	\(0\)	\(1\)
\(1\)	\(1\)	\(0\)

\(\cdot\)	\(0\)	\(1\)
\(0\)	\(0\)	\(0\)
\(1\)	\(0\)	\(1\)

Comprueba, para todos los elementos de \(F\), que las operaciones cumplen las nueve propiedades algebraicas P1–P9, a pesar de que la primera tabla establece \(1+1=0\). Los símbolos \(0\) y \(1\) designan aquí elementos de \(F\): los resultados de las operaciones se determinan mediante estas tablas, no mediante las reglas de suma y producto de los números reales.

Pistas graduadas

Pista 1. Lee las identidades y las conmutatividades directamente de las filas y columnas. En particular, encuentra el opuesto aditivo de cada elemento y recuerda que el único elemento distinto de cero necesita inverso multiplicativo.

Pista 2. Para verificar asociatividad examina ternas \(a,b,c\in F\): en la suma, una terna con algún cero se reduce mediante la identidad y solo queda la terna \((1,1,1)\); en el producto, basta distinguir si aparece algún cero. Para la distributividad separa los dos posibles valores del factor \(a\).

Estrategia y solución desarrollada

Lectura preliminar de las tablas. Las dos operaciones están bien definidas y son internas: para cada pareja ordenada de elementos existe una única entrada y esta pertenece a \(F\). Sus reglas pueden resumirse, sin presuponer axiomas por demostrar, como

\[ 0+a=a+0=a,\qquad 1\cdot a=a\cdot1=a,\qquad 0\cdot a=a\cdot0=0,\qquad 1+1=0 \quad(a\in F). \]

A continuación verificaremos cada propiedad con el alcance exacto que exige: todas las parejas o ternas de elementos pertinentes.

P1. Asociatividad de la suma. Hay que demostrar \(a+(b+c)=(a+b)+c\) para \(a,b,c\in F\). Si alguna variable vale \(0\), la identidad aditiva obtenida de la tabla hace que ambos miembros sean la suma de las otras dos variables, con el mismo orden. Por ejemplo, si \(b=0\), entonces

\[ a+(0+c)=a+c=(a+0)+c. \]

El argumento es análogo cuando \(a=0\) o \(c=0\). Si ninguna variable es cero, necesariamente \(a=b=c=1\). En ese último caso,

\[ 1+(1+1)=1+0=1=0+1=(1+1)+1. \]

Se han agotado las ocho ternas posibles; por tanto, P1 se cumple.

P2. Existencia de identidad aditiva. La primera fila y la primera columna de la tabla de suma muestran que \(0+a=a+0=a\) para \(a=0\) y para \(a=1\). El elemento distinguido \(0\) actúa como neutro aditivo.

P3. Existencia de opuestos aditivos. Para \(a=0\) se cumple \(0+0=0\). Para \(a=1\) también se cumple \(1+1=0\). Como la tabla es simétrica, las igualdades valen en ambos órdenes. Por consiguiente, los opuestos son

\[ -0=0,\qquad -1=1. \]

En particular, \(1\) es su propio opuesto: esta afirmación se refiere a la operación definida en \(F\).

P4. Conmutatividad de la suma. Las entradas de la tabla de suma son simétricas respecto de la diagonal: \(0+1=1=1+0\) y los pares iguales no cambian al intercambiarse. Por tanto, \(a+b=b+a\) para todas las parejas.

P5. Asociatividad del producto. Queremos \(a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c\). Si alguna variable es \(0\), cada miembro contiene un producto con un factor cero y vale \(0\), según la tabla. Si ninguna es cero, las tres variables son \(1\) y

\[ 1\cdot(1\cdot1)=1=(1\cdot1)\cdot1. \]

Estas dos posibilidades cubren todas las ternas, así que P5 se cumple.

P6. Existencia de identidad multiplicativa distinta de cero. La fila y la columna etiquetadas \(1\) en la tabla de producto dan \(1\cdot a=a\cdot1=a\) para los dos valores de \(a\). Además, \(0\) y \(1\) son, por definición del conjunto, elementos distintos. Se cumplen simultáneamente la identidad multiplicativa y la condición \(1\ne0\).

P7. Inversos multiplicativos de los no nulos. El único elemento de \(F\) diferente de \(0\) es \(1\). La tabla da \(1\cdot1=1\) en ambos órdenes; por ello el inverso multiplicativo requerido existe y es

\[ 1^{-1}=1. \]

P7 no exige inverso multiplicativo de \(0\). De hecho, la tabla muestra que \(0\cdot a=0\) para todo \(a\in F\), de modo que ningún producto con \(0\) podría dar \(1\).

P8. Conmutatividad del producto. La segunda tabla también es simétrica: \(0\cdot1=0=1\cdot0\) y los pares con entradas iguales son inmediatos. Por tanto, \(a\cdot b=b\cdot a\) para todos \(a,b\in F\).

P9. Distributividad. Debemos verificar \(a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c\) para cada terna. En lugar de suponer la regla, dividimos según el valor del factor exterior:

• Si \(a=0\), el miembro izquierdo es \(0\cdot(b+c)=0\) porque \(b+c\in F\); el derecho es \(0\cdot b+0\cdot c=0+0=0\).
• Si \(a=1\), el miembro izquierdo es \(1\cdot(b+c)=b+c\) y el derecho es \(1\cdot b+1\cdot c=b+c\).

Como no existen otros valores para \(a\), la distributividad se cumple para todas las ocho ternas. La distributividad por la derecha se obtiene además de P8: \((b+c)\cdot a=a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c=b\cdot a+c\cdot a\).

Comprobación conjunta y significado del ejemplo

Hemos demostrado individualmente P1–P9; no hemos inferido que alguna de ellas valga solo porque las restantes se verifican. La única pareja de elementos distintos es \(0,1\), la suma satisface \(1+1=0\) por definición y el producto conserva \(1\cdot1=1\). El conjunto con estas operaciones se denomina campo de dos elementos, usualmente \(\mathbb F_2\). En él, la expresión \(1+1\) no es la suma usual de enteros o reales, sino el resultado de la operación que se acaba de definir.

Por qué este ejemplo no satisface también los axiomas de orden P10–P12. De \(1+1=0\) y la existencia y unicidad de opuestos se desprende \(-1=1\). Si existiera un conjunto de positivos \(P\) que satisficiera P10, aplicado a \(1\ne0\) obligaría a que exactamente uno entre \(1\in P\) y \(-1\in P\) fuera verdadero. Como \(-1=1\), ambas afirmaciones son idénticas; no puede cumplirse exactamente una. Así, el ejemplo satisface los axiomas algebraicos P1–P9, pero no los axiomas adicionales de un campo ordenado. Esto distingue lo que los axiomas realmente implican de las propiedades particulares de los números reales.

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Anexo matemático — raíces y potencias reales empleadas en el capítulo

Los axiomas P1–P12 describen las operaciones y el orden, pero no bastan por sí solos para obtener raíces cuadradas de todos los números positivos: el campo ordenado \(\mathbb Q\) proporciona un contraejemplo. Para las afirmaciones que siguen utilizaremos, además, la propiedad del supremo de \(\mathbb R\): todo conjunto no vacío de números reales acotado superiormente posee una mínima cota superior. Esta es una propiedad adicional de los reales, no una consecuencia de P1–P12.

A. Existencia y unicidad de las raíces no negativas

Proposición. Si \(a\ge0\) y \(n\ge2\) es entero, existe un único \(s\ge0\) tal que \(s^n=a\). Cuando \(a=0\), basta tomar \(s=0\). Supongamos, pues, \(a>0\), y definamos

\[ A=\{t\in\mathbb R:t\ge0,\ t^n\le a\}. \]

El conjunto contiene \(0\) y también algún número estrictamente positivo: \(1\in A\) si \(a\ge1\), y \(a\in A\) si \(0<a<1\), pues \(a^n\le a\). Además está acotado: si \(t>1+a\), entonces \(t>1\) y \(t^n\ge t>a\), de modo que \(t\notin A\). Sea \(s=\sup A>0\).

Para números no negativos \(u,v\le M\) usamos la identidad de diferencia de potencias de E001(v):

\[ |u^n-v^n|=|u-v|\sum_{j=0}^{n-1}u^{n-1-j}v^j \le nM^{n-1}|u-v|. \]

Si \(s^n<a\), elegimos \(0<h<1\) suficientemente pequeño para que \(n(s+1)^{n-1}h<a-s^n\). Aplicando la cota con \(u=s+h\) y \(v=s\) resulta \((s+h)^n<a\), así que \(s+h\in A\), contradicción con que \(s\) es cota superior.

Si \(s^n>a\), elegimos \(0<h<s\) tan pequeño que \(ns^{n-1}h<s^n-a\). La misma identidad muestra \((s-h)^n>a\). La potencia entera es estrictamente creciente entre números no negativos, por la factorización anterior: \(0\le u<v\) implica \(u^n<v^n\). Por ello todo \(t\in A\) cumple \(t<s-h\), y \(s-h\) sería una cota superior menor que \(s\), otra contradicción. Se concluye \(s^n=a\). La misma monotonía estricta prueba la unicidad de \(s\).

Escribimos \(s=\sqrt[n]{a}\); en particular quedan construidas \(\sqrt7\), \(\sqrt5\), \(\sqrt2\), \(\sqrt{21}\), la raíz cúbica positiva de \(2\) y las raíces de los discriminantes no negativos que aparecen en el capítulo. Las comparaciones de raíces se hacen después mediante la monotonía de las potencias enteras sobre los no negativos; existencia y orden son pasos lógicamente distintos.

B. Construcción de \(a^x\) y crecimiento estricto para \(a>1\)

La propiedad del supremo implica que los naturales no están acotados superiormente. En efecto, si tuvieran supremo \(s\), habría un natural \(m>s-1\); entonces \(m+1>s\), imposible. De aquí se obtiene la densidad de \(\mathbb Q\): dados \(u<v\), elegimos un entero positivo \(n\) con \(n(v-u)>1\) y el menor entero \(m>nu\). Así, \(nu<m\le nu+1<nv\), de donde \(u<m/n<v\). Podemos repetir el argumento para elegir dos racionales entre cualesquiera dos reales distintos.

Fijemos una base real \(a>1\). Para un racional \(q=m/n\), con \(m\in\mathbb Z\) y \(n\ge1\), definimos \(a^q\) como la única raíz positiva de \(a^m\), donde las potencias enteras negativas significan inversos. Para \(n=1\), la raíz positiva de \(a^m\) es el propio \(a^m\); para \(n\ge2\), la parte A garantiza su existencia. La unicidad de las raíces demuestra que la definición es independiente de la fracción elegida. Elevando a un denominador común se obtienen las leyes \(a^{p+q}=a^pa^q\) para racionales y, para \(p<q\),

\[ \frac{a^q}{a^p}=a^{q-p}>1, \qquad\text{por lo que}\qquad a^p<a^q. \]

La última desigualdad se justifica porque si \(q-p=m/n>0\), entonces \(m>0\), \(a^m>1\) y su raíz positiva de orden \(n\) también es mayor que \(1\).

Para \(x\in\mathbb R\) definimos

\[ a^x=\sup\{a^q:q\in\mathbb Q,\ q\le x\}. \]

El conjunto es no vacío, porque existe algún entero \(N\le x\), y está acotado superiormente: si \(M>x\) es entero, \(q\le x<M\) implica \(a^q<a^M\). Su supremo existe y es positivo. Si \(x=r\) es racional, la definición coincide con \(a^r\): ese valor pertenece al conjunto y es su máximo.

Por último, dados \(x<y\), elegimos racionales \(r,s\) tales que \(x<r<s<y\). La monotonía racional y la definición del supremo implican

\[ a^x\le a^r<a^s\le a^y. \]

Por tanto, \(x<y\Longrightarrow a^x<a^y\) para todo \(a>1\). Además, los exponentes enteros mantienen su significado: \(2^3=8\) y \(3^1=3\). Esta construcción demuestra exactamente las propiedades utilizadas en E004(xi) y E004(xii); no presupone límites, logaritmos ni un teorema posterior de continuidad.

C. La comparación geométrica \(3<\pi\)

Aquí \(\pi\) tiene su significado geométrico usual: si un círculo de radio \(r>0\) tiene longitud de circunferencia \(C\), entonces \(\pi=C/(2r)\). Esta definición y la comparación entre un arco y una línea poligonal inscrita no se derivan de P1–P12; son datos de geometría euclidiana que se declaran explícitamente.

En un círculo de radio \(r\), el hexágono regular inscrito tiene seis lados de longitud \(r\) y perímetro \(6r\). Al intercalar un vértice del círculo entre los extremos de cada lado se obtiene un dodecágono inscrito de perímetro estrictamente mayor que \(6r\): en cada sustitución, la suma de dos nuevas cuerdas supera a la cuerda inicial por la desigualdad triangular estricta en un triángulo no degenerado. La longitud \(C\) de la circunferencia es al menos el perímetro de ese dodecágono. Luego \(C>6r\) y

\[ \boxed{\pi=\frac{C}{2r}>3}. \]

Esta justificación depende de la interpretación geométrica adoptada para \(\pi\) y de la noción usual de longitud de arco. Una prueba exclusivamente desde P1–P12 no sería legítima: esos axiomas no definen la constante \(\pi\). Con el significado habitual explícito, el orden \(-5<3<\pi\) empleado en E004(ix) queda justificado.