Capítulo 1 — Propiedades básicas de los números

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Referencia bibliográfica: Michael Spivak, Calculus, 4.ª ed., capítulo 1, pp. 13–20.

Ejercicio 1 — SPV4-C01-E001

Referencia: Michael Spivak, Calculus, 4.ª ed., capítulo 1, ejercicio 1, p. 13. Formulación reducida al contenido matemático; solución propia de Matemática Abierta.

Problema

Demuestre:

1. Si \(a\ne0\) y \(ax=a\), entonces \(x=1\).

2. \(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\).

3. Si \(x^2=y^2\), entonces \(x=y\) o \(x=-y\).

4. \(x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)\).

5. Para todo entero \(n\ge1\),

\[ x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+\cdots+xy^{n-2}+y^{n-1}). \]

6. \(x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)\).

Solución

(i) Como \(a\ne0\), existe \(a^{-1}\). Multiplicando \(ax=a\) por \(a^{-1}\),

\[ a^{-1}(ax)=a^{-1}a. \]

Por asociatividad,

\[ (a^{-1}a)x=1, \]

y por tanto \(x=1\). La hipótesis \(a\ne0\) es esencial: si \(a=0\), la igualdad \(ax=a\) se cumple para cualquier \(x\).

(ii) Basta desarrollar el producto:

\[ (x-y)(x+y)=x^2+xy-yx-y^2=x^2-y^2. \]

(iii) De \(x^2=y^2\) y (ii),

\[ 0=x^2-y^2=(x-y)(x+y). \]

Si un producto es cero, alguno de sus factores es cero: si \(uv=0\) y \(u\ne0\), al multiplicar por \(u^{-1}\) se obtiene \(v=0\). Por consiguiente,

\[ x-y=0\quad\text{o}\quad x+y=0, \]

es decir,

\[ x=y\quad\text{o}\quad x=-y. \]

(iv) Distribuyendo,

\[ \begin{aligned} (x-y)(x^2+xy+y^2) &=x^3+x^2y+xy^2-x^2y-xy^2-y^3\\ &=x^3-y^3. \end{aligned} \]

(v) Para \(n\ge2\), sea

\[ S=x^{n-1}+x^{n-2}y+\cdots+xy^{n-2}+y^{n-1}. \]

Entonces

\[ \begin{aligned} xS&=x^n+x^{n-1}y+\cdots+xy^{n-1},\\ yS&=x^{n-1}y+x^{n-2}y^2+\cdots+y^n. \end{aligned} \]

Al restar, los términos interiores se cancelan y queda

\[ (x-y)S=x^n-y^n. \]

Para \(n=1\), la identidad es simplemente \(x-y=(x-y)\cdot1\). No se ha dividido por \(x-y\), de modo que la fórmula también vale cuando \(x=y\).

(vi) En (iv) sustituimos \(y\) por \(-y\):

\[ \begin{aligned} x^3+y^3 &=x^3-(-y)^3\\ &=(x+y)(x^2-xy+y^2). \end{aligned} \]

Observación

El mismo procedimiento aplicado a (v) muestra que, si \(n\) es impar,

\[ x^n+y^n=(x+y)\bigl(x^{n-1}-x^{n-2}y+\cdots-xy^{n-2}+y^{n-1}\bigr). \]

La idea reutilizable del ejercicio es distinguir entre factorizar y cancelar: una factorización no exige que el factor sea no nulo; una cancelación multiplicativa sí.

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Ejercicio 2 — SPV4-C01-E002

Referencia: Michael Spivak, Calculus, 4.ª ed., capítulo 1, ejercicio 2, p. 13. Formulación reducida al contenido matemático; solución propia de Matemática Abierta.

Problema

Sea \(x=y\). Localice el error en el razonamiento

\[ \begin{aligned} x&=y,\\ x^2&=xy,\\ x^2-y^2&=xy-y^2,\\ (x+y)(x-y)&=y(x-y),\\ x+y&=y,\\ 2y&=y,\\ 2&=1. \end{aligned} \]

Solución

Las primeras cuatro líneas son válidas. El primer paso ilegítimo es

\[ (x+y)(x-y)=y(x-y) \quad\Longrightarrow\quad x+y=y. \]

Ese paso cancela el factor \(x-y\), lo que equivale a dividir por él. Pero la hipótesis \(x=y\) implica precisamente

\[ x-y=0. \]

La igualdad anterior es, por tanto,

\[ (x+y)\cdot0=y\cdot0, \]

es decir, \(0=0\). De ella no se puede concluir \(x+y=y\).

La regla correcta es

\[ ac=bc\ \text{y}\ c\ne0\quad\Longrightarrow\quad a=b. \]

Aquí falta justamente la condición \(c\ne0\).

Observación

Si además \(x=y=0\), el último paso \(2y=y\Rightarrow2=1\) también intentaría dividir por cero. Si \(y\ne0\), esa última división sería válida considerada aisladamente, pero se estaría aplicando a una igualdad obtenida después del primer paso inválido. Para auditar una demostración conviene localizar siempre la primera inferencia que falla.

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Ejercicio 3 — SPV4-C01-E003

Referencia: Michael Spivak, Calculus, 4.ª ed., capítulo 1, ejercicio 3, pp. 13–14. Formulación reducida al contenido matemático; solución propia de Matemática Abierta.

Problema

Demuestre:

1. Si \(b,c\ne0\),

\[ \frac ab=\frac{ac}{bc}. \]

2. Si \(b,d\ne0\),

\[ \frac ab+\frac cd=\frac{ad+bc}{bd}. \]

3. Si \(a,b\ne0\),

\[ (ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}. \]

4. Si \(b,d\ne0\),

\[ \frac ab\frac cd=\frac{ac}{bd}. \]

22. Si \(b,c,d\ne0\),

\[ \frac{a/b}{c/d}=\frac{ad}{bc}. \]

6. Si \(b,d\ne0\),

\[ \frac ab=\frac cd\quad\Longleftrightarrow\quad ad=bc. \]

Determine además cuándo se cumple \(a/b=b/a\).

Idea

Escriba siempre \(u/v\) como \(uv^{-1}\) y controle antes que cada denominador sea distinto de cero. Las reglas habituales de las fracciones se derivan de los axiomas de campo; no se presuponen.

Solución

Usaremos dos hechos elementales. Primero, el producto de dos números no nulos no puede ser cero: si \(uv=0\) y \(u\ne0\), multiplicar por \(u^{-1}\) da \(v=0\). Segundo, el inverso multiplicativo es único.

(i) Como \(b,c\ne0\), también \(bc\ne0\). Tenemos

\[ \left(\frac ab\right)(bc) =(ab^{-1})(bc)=ac, \]

y, por definición del cociente,

\[ \left(\frac{ac}{bc}\right)(bc)=ac. \]

Puesto que \(bc\ne0\), podemos cancelar ese factor y obtener

\[ \boxed{\frac ab=\frac{ac}{bc}}. \]

No es necesario suponer \(a\ne0\).

(ii) Como \(b,d\ne0\), por (i)

\[ \frac ab=\frac{ad}{bd}, \qquad \frac cd=\frac{bc}{bd}. \]

Por distributividad,

\[ \begin{aligned} \frac ab+\frac cd &=ad(bd)^{-1}+bc(bd)^{-1}\\ &=(ad+bc)(bd)^{-1}\\ &=\boxed{\frac{ad+bc}{bd}}. \end{aligned} \]

(iii) Como \(a,b\ne0\), también \(ab\ne0\). Además,

\[ (ab)(a^{-1}b^{-1}) =(aa^{-1})(bb^{-1})=1. \]

Por la unicidad del inverso,

\[ \boxed{(ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}}. \]

(iv) Usando (iii),

\[ \begin{aligned} \frac ab\frac cd &=(ab^{-1})(cd^{-1})\\ &=(ac)(b^{-1}d^{-1})\\ &=(ac)(bd)^{-1}\\ &=\boxed{\frac{ac}{bd}}. \end{aligned} \]

(v) Como \(c,d\ne0\), el cociente \(c/d\) existe y no es cero. Su inverso es \(d/c\), pues

\[ \frac cd\frac dc=\frac{cd}{dc}=1. \]

Por tanto, aplicando (iv),

\[ \frac{a/b}{c/d} =\frac ab\frac dc =\boxed{\frac{ad}{bc}}. \]

(vi) Si \(a/b=c/d\), multiplicamos ambos miembros por el número no nulo \(bd\) y obtenemos

\[ ad=bc. \]

Recíprocamente, si \(ad=bc\), al multiplicar por \((bd)^{-1}\) se recupera

\[ \frac ab=\frac cd. \]

Así,

\[ \boxed{\frac ab=\frac cd\iff ad=bc} \qquad (b,d\ne0). \]

Para que tengan sentido \(a/b\) y \(b/a\) es necesario \(a,b\ne0\). En ese dominio,

\[ \frac ab=\frac ba \iff a^2=b^2 \iff (a-b)(a+b)=0. \]

Por el principio del producto nulo,

\[ \boxed{a=b\ne0\quad\text{o}\quad a=-b\ne0.} \]

Observación

La restricción recae en los denominadores, no en los numeradores. Por ejemplo, en (i), (ii), (iv) y (v) puede ser \(a=0\) sin que la identidad deje de ser válida. El punto lógico común con el ejercicio 2 es que cancelar exige comprobar que el factor cancelado no sea cero.

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Ejercicio 4 — SPV4-C01-E004

Referencia: Michael Spivak, Calculus, 4.ª ed., capítulo 1, ejercicio 4, p. 14. Formulación reducida al contenido matemático; solución propia de Matemática Abierta.

Problema

Determine todos los números reales \(x\) que satisfacen cada una de las siguientes desigualdades:

Inciso	Desigualdad
(i)	\(4-x<3-2x\)
(ii)	\(5-x^2<8\)
(iii)	\(5-x^2<-2\)
(iv)	\((x-1)(x-3)>0\)
(v)	\(x^2-2x+2>0\)
(vi)	\(x^2+x+1>2\)
(vii)	\(x^2-x+10>16\)
(viii)	\(x^2+x+1>0\)
(ix)	\((x-\pi)(x+5)(x-3)>0\)
(x)	\((x-\sqrt[3]{2})(x-\sqrt2)>0\)
(xi)	\(2^x<8\)
(xii)	\(x+3^x<4\)
(xiii)	\(\dfrac1x+\dfrac1{1-x}>0\)
(xiv)	\(\dfrac{x-1}{x+1}>0\)

Idea

En una desigualdad lineal pueden hacerse transformaciones equivalentes controlando el signo de cualquier factor por el que se multiplique. Para productos y cocientes de signo variable conviene localizar primero sus ceros y puntos fuera del dominio y estudiar los intervalos determinados por ellos. En las cuadráticas, factorizar o completar el cuadrado suele revelar directamente el signo.

Los incisos con raíces, potencias de exponente real y \(\pi\) utilizan los fundamentos adicionales demostrados en el anexo matemático del capítulo: existencia y orden de raíces reales desde completitud, crecimiento estricto de \(a^x\) para \(a>1\) y la desigualdad \(3<\pi\) bajo la interpretación geométrica usual de \(\pi\).

Solución

(i)

\[ 4-x<3-2x \iff 4+x<3 \iff x<-1. \]

Por tanto,

\[ \boxed{x\in(-\infty,-1)}. \]

(ii)

\[ 5-x^2<8 \iff -x^2<3 \iff x^2>-3. \]

Como \(x^2\ge0\) para todo real \(x\), la última desigualdad siempre se cumple. Así,

\[ \boxed{x\in\mathbb R}. \]

(iii)

\[ 5-x^2<-2 \iff x^2>7. \]

Como \(|x|\ge0\) y \((\sqrt7)^2=7\), la comparación de cuadrados entre números no negativos da

\[ x^2>7 \iff |x|>\sqrt7 \iff x<-\sqrt7\ \text{o}\ x>\sqrt7. \]

Luego

\[ \boxed{x\in(-\infty,-\sqrt7)\cup(\sqrt7,\infty)}. \]

(iv) Los ceros de \((x-1)(x-3)\) son \(1\) y \(3\). El producto es positivo cuando ambos factores tienen el mismo signo: esto ocurre para \(x<1\) y para \(x>3\). Por tanto,

\[ \boxed{x\in(-\infty,1)\cup(3,\infty)}. \]

(v) Completando el cuadrado,

\[ x^2-2x+2=(x-1)^2+1\ge1>0. \]

Así,

\[ \boxed{x\in\mathbb R}. \]

(vi)

\[ \begin{aligned} x^2+x+1>2 &\iff x^2+x-1>0\\ &\iff \left(x+\frac12\right)^2>\frac54. \end{aligned} \]

De aquí,

\[ \left|x+\frac12\right|>\frac{\sqrt5}{2}, \]

y por tanto

\[ x<\frac{-1-\sqrt5}{2} \quad\text{o}\quad x>\frac{-1+\sqrt5}{2}. \]

Luego

\[ \boxed{x\in \left(-\infty,\frac{-1-\sqrt5}{2}\right) \cup \left(\frac{-1+\sqrt5}{2},\infty\right)}. \]

(vii)

\[ x^2-x+10>16 \iff x^2-x-6>0 \iff (x-3)(x+2)>0. \]

El producto es positivo fuera de sus dos raíces, de modo que

\[ \boxed{x\in(-\infty,-2)\cup(3,\infty)}. \]

(viii)

\[ x^2+x+1 =\left(x+\frac12\right)^2+\frac34 \ge\frac34>0. \]

Por consiguiente,

\[ \boxed{x\in\mathbb R}. \]

(ix) Como \(-5<3<\pi\), los puntos críticos son \(-5\), \(3\) y \(\pi\). El cuadro de signos es

Intervalo	\(x-\pi\)	\(x+5\)	\(x-3\)	Producto
\(x<-5\)	\(-\)	\(-\)	\(-\)	\(-\)
\(-5<x<3\)	\(-\)	\(+\)	\(-\)	\(+\)
\(3<x<\pi\)	\(-\)	\(+\)	\(+\)	\(-\)
\(x>\pi\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)

Así,

\[ \boxed{x\in(-5,3)\cup(\pi,\infty)}. \]

(x) Primero ordenamos las dos raíces. Sea \(a=\sqrt[3]{2}\). Como \(a^3=2\) y \(a>1\), se tiene \(a^2<a^3=2\). Puesto que \(a\ge0\), la comparación de cuadrados da

\[ \sqrt[3]{2}<\sqrt2. \]

Por tanto, el producto \((x-\sqrt[3]{2})(x-\sqrt2)\) es positivo fuera del intervalo comprendido entre sus raíces:

\[ \boxed{x\in(-\infty,\sqrt[3]{2})\cup(\sqrt2,\infty)}. \]

(xi) Como \(8=2^3\) y \(x\mapsto2^x\) es estrictamente creciente,

\[ 2^x<8 \iff 2^x<2^3 \iff x<3. \]

Por tanto,

\[ \boxed{x\in(-\infty,3)}. \]

(xii) En \(x=1\) se obtiene \(x+3^x=4\). Si \(x<1\), el crecimiento estricto de \(3^x\) da \(3^x<3\), y entonces

\[ x+3^x<1+3=4. \]

Si \(x>1\), se tiene simultáneamente \(x>1\) y \(3^x>3\), por lo que \(x+3^x>4\). En consecuencia,

\[ \boxed{x\in(-\infty,1)}. \]

(xiii) El dominio exige \(x\ne0\) y \(x\ne1\). Allí,

\[ \frac1x+\frac1{1-x} =\frac{1-x+x}{x(1-x)} =\frac1{x(1-x)}. \]

Como el numerador es positivo, la fracción es positiva exactamente cuando

\[ x(1-x)>0. \]

Esto sucede precisamente para \(0<x<1\). Por tanto,

\[ \boxed{x\in(0,1)}. \]

(xiv) El dominio exige \(x\ne-1\). El cociente

\[ \frac{x-1}{x+1} \]

es positivo cuando numerador y denominador tienen el mismo signo. Esto ocurre para \(x<-1\) o \(x>1\). El punto \(x=1\) produce cero y no satisface la desigualdad estricta. Así,

\[ \boxed{x\in(-\infty,-1)\cup(1,\infty)}. \]

Observación

En (iii), (vi) y (x) se usa la existencia de raíces reales no negativas demostrada en el anexo a partir de la completitud de \(\mathbb R\). Los incisos (xi) y (xii) usan únicamente el crecimiento estricto de las potencias reales de base mayor que \(1\), también demostrado allí; no hacen falta logaritmos. El orden \(3<\pi\) empleado en (ix) se justifica en el mismo anexo a partir de la interpretación geométrica usual de \(\pi\), y no se deduce solo de P1–P12.

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Ejercicio 5 — SPV4-C01-E005

Referencia: Michael Spivak, Calculus, 4.ª ed., capítulo 1, ejercicio 5, p. 14. Formulación reducida al contenido matemático; solución propia de Matemática Abierta.

Problema

Demuestre:

1. Si \(a<b\) y \(c<d\), entonces \(a+c<b+d\).

2. Si \(a<b\), entonces \(-b<-a\).

3. Si \(a<b\) y \(c>d\), entonces \(a-c<b-d\).

4. Si \(a<b\) y \(c>0\), entonces \(ac<bc\).

5. Si \(a<b\) y \(c<0\), entonces \(ac>bc\).

6. Si \(a>1\), entonces \(a^2>a\).

7. Si \(0<a<1\), entonces \(a^2<a\).

8. Si \(0\le a<b\) y \(0\le c<d\), entonces \(ac<bd\).

9. Si \(0\le a<b\), entonces \(a^2<b^2\).

10. Si \(a,b\ge0\) y \(a^2<b^2\), entonces \(a<b\).

Idea

Por definición, \(u<v\) significa que \(v-u\) es positivo. Por eso muchas reglas familiares sobre desigualdades se obtienen estudiando la diferencia entre los dos miembros y usando que los positivos son cerrados bajo suma y producto. Al multiplicar, la distinción entre un factor positivo y uno meramente no negativo es esencial: un factor igual a cero puede destruir la desigualdad estricta.

Solución

(i) De \(a<b\) y \(c<d\) se sigue que \(b-a>0\) y \(d-c>0\). Por P11,

\[ (b-a)+(d-c)>0. \]

Como

\[ (b+d)-(a+c)=(b-a)+(d-c), \]

obtenemos

\[ \boxed{a+c<b+d}. \]

(ii) Si \(a<b\), entonces \(b-a>0\). Pero

\[ (-a)-(-b)=b-a>0, \]

de modo que

\[ \boxed{-b<-a}. \]

Así, la inversión del orden al cambiar ambos signos se deduce de la definición de \(<\); no se presupone como regla adicional.

(iii) De \(c>d\) tenemos \(d<c\). Por (ii),

\[ -c<-d. \]

Sumando esta desigualdad a \(a<b\) mediante (i),

\[ a+(-c)<b+(-d), \]

es decir,

\[ \boxed{a-c<b-d}. \]

(iv) Como \(a<b\), tenemos \(b-a>0\). Además \(c>0\). Por P12,

\[ (b-a)c>0. \]

Usando la distributividad,

\[ bc-ac=(b-a)c>0, \]

y por tanto

\[ \boxed{ac<bc}. \]

(v) Si \(c<0\), entonces \(-c>0\). Aplicando (iv) a \(a<b\) con el factor positivo \(-c\),

\[ -ac<-bc. \]

Por (ii), al cambiar de signo ambos miembros se invierte el orden:

\[ \boxed{ac>bc}. \]

(vi) De \(a>1\) y \(1>0\) se deduce \(a>0\). Multiplicando \(1<a\) por el factor positivo \(a\) mediante (iv),

\[ a<a^2. \]

Luego

\[ \boxed{a^2>a}. \]

(vii) Como \(a>0\), podemos multiplicar \(a<1\) por \(a\) sin cambiar el sentido de la desigualdad:

\[ a^2<a. \]

Por tanto,

\[ \boxed{a^2<a}. \]

(viii) De \(0\le a<b\) se obtiene \(b>0\).

Primero probamos \(ac\le bc\). Si \(c=0\), entonces \(ac=bc=0\); si \(c>0\), (iv) da \(ac<bc\). En ambos casos,

\[ ac\le bc. \]

Por otra parte, de \(c<d\) y \(b>0\), el inciso (iv) da

\[ bc<bd. \]

Por consiguiente,

\[ ac\le bc<bd, \]

y en particular

\[ \boxed{ac<bd}. \]

El caso \(c=0\) es precisamente la razón por la que no se puede escribir sin más \(ac<bc\).

(ix) Aplicamos (viii) a los dos pares iguales \((a,b)\) y \((a,b)\). Como \(0\le a<b\),

\[ a\cdot a<b\cdot b, \]

es decir,

\[ \boxed{a^2<b^2}. \]

La hipótesis de no negatividad es necesaria: por ejemplo, \(-2<1\) pero \((-2)^2>1^2\).

(x) Supongamos \(a,b\ge0\) y \(a^2<b^2\). Por tricotomía, exactamente una de las relaciones \(a<b\), \(a=b\) o \(a>b\) se cumple.

La igualdad \(a=b\) es imposible porque implicaría \(a^2=b^2\). Si \(a>b\), entonces \(0\le b<a\) y, aplicando (ix) con las letras intercambiadas,

\[ b^2<a^2, \]

lo cual contradice \(a^2<b^2\). Por lo tanto solo queda

\[ \boxed{a<b}. \]

Observación

Los incisos (ix) y (x) muestran conjuntamente que, entre números no negativos, elevar al cuadrado conserva y refleja el orden estricto. El inciso (viii) muestra por qué hay que distinguir con cuidado entre multiplicar una desigualdad por un número positivo y hacerlo por uno que solo se sabe no negativo.

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Ejercicio 6 — SPV4-C01-E006

Referencia: Michael Spivak, Calculus, 4.ª ed., capítulo 1, ejercicio 6, p. 14. Formulación reducida al contenido matemático; solución propia de Matemática Abierta.

Problema

En todos los apartados, \(n\) es un entero positivo. Demuestre:

1. Si \(0\le x<y\), entonces \(x^n<y^n\).

2. Si \(x<y\) y \(n\) es impar, entonces \(x^n<y^n\).

3. Si \(x^n=y^n\) y \(n\) es impar, entonces \(x=y\).

4. Si \(x^n=y^n\) y \(n\) es par, entonces \(x=y\) o \(x=-y\).

Idea

La paridad determina qué información conserva una potencia entera. Para números no negativos, la factorización de \(y^n-x^n\) permite comparar potencias sin recurrir a inducción. Para exponentes impares, el signo se conserva y la comparación se extiende a toda \(\mathbb R\); para exponentes pares, el signo se pierde y solo queda determinado el valor absoluto.

Solución

(a) El caso \(n=1\) es la propia hipótesis \(x<y\). Supongamos \(n\ge2\). Por la factorización de E001(v),

\[ y^n-x^n=(y-x)\bigl(y^{n-1}+y^{n-2}x+\cdots+yx^{n-2}+x^{n-1}\bigr). \]

Como \(0\le x<y\), tenemos \(y-x>0\) y \(y>0\). Todos los términos de la suma son no negativos, y \(y^{n-1}>0\); por tanto la suma es positiva. De aquí,

\[ y^n-x^n>0, \]

y así

\[ \boxed{x^n<y^n}. \]

(b) Distinguimos tres casos.

Si \(0\le x<y\), la conclusión es (a).

Si \(x<y\le0\), entonces

\[ 0\le -y<-x. \]

Por (a),

\[ (-y)^n<(-x)^n. \]

Como \(n\) es impar, \((-t)^n=-t^n\), de modo que

\[ -y^n<-x^n, \]

y al cambiar de signo obtenemos \(x^n<y^n\).

Finalmente, si \(x<0<y\), entonces \(x^n<0<y^n\) porque una potencia impar conserva el signo. En todos los casos,

\[ \boxed{x^n<y^n}. \]

(c) Supongamos \(x^n=y^n\). Si \(x<y\), por (b) tendríamos \(x^n<y^n\), contradicción. Si \(y<x\), obtendríamos análogamente \(y^n<x^n\). Por tricotomía solo queda

\[ \boxed{x=y}. \]

(d) Como \(n\) es par, escribimos \(n=2m\) con \(m\ge1\). Sean

\[ u=x^2\ge0, \qquad v=y^2\ge0. \]

La hipótesis \(x^n=y^n\) equivale a

\[ u^m=v^m. \]

Si \(u<v\), el apartado (a) daría \(u^m<v^m\), contradicción; y si \(v<u\), daría \(v^m<u^m\). Por tricotomía,

\[ u=v, \]

es decir, \(x^2=y^2\). Por E001(iii),

\[ \boxed{x=y\quad\text{o}\quad x=-y}. \]

Observación

Las recíprocas de (c) y (d) son inmediatas: si \(x=y\), las potencias coinciden; y si \(n\) es par y \(x=-y\), también \(x^n=y^n\). El apartado (a) podría demostrarse después por inducción, pero la factorización de E001(v) ya disponible evita introducir una herramienta posterior. Todo el ejercicio trata únicamente con exponentes enteros positivos; no intervienen raíces ni potencias de exponente real.

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Ejercicio 7 — SPV4-C01-E007

Referencia: Michael Spivak, Calculus, 4.ª ed., capítulo 1, ejercicio 7, p. 15. Formulación reducida al contenido matemático; solución propia de Matemática Abierta.

Problema

Si \(0<a<b\), demuestre que

\[ a<\sqrt{ab}<\frac{a+b}{2}<b. \]

Idea

Las dos comparaciones que involucran \(\sqrt{ab}\) se vuelven elementales al comparar cuadrados de cantidades no negativas. Para la comparación entre las dos medias, la identidad decisiva es

\[ \left(\frac{a+b}{2}\right)^2-ab=\frac{(b-a)^2}{4}. \]

Solución

Como \(0<a<b\), tenemos \(ab>0\). Sea

\[ g=\sqrt{ab},\qquad m=\frac{a+b}{2}. \]

Entonces \(g>0\) y \(m>0\).

Para el primer eslabón, multiplicar \(a<b\) por \(a>0\) da

\[ a^2<ab=g^2. \]

Como \(a\) y \(g\) son no negativos, la comparación de cuadrados de E005(x) implica

\[ a<g. \]

Para el segundo eslabón,

\[ \begin{aligned} m^2-g^2 &=\frac{(a+b)^2}{4}-ab\\ &=\frac{(b-a)^2}{4}>0, \end{aligned} \]

pues \(b-a>0\). Así, \(g^2<m^2\) y, como \(g,m\ge0\), nuevamente E005(x) da

\[ g<m. \]

Finalmente,

\[ b-m=b-\frac{a+b}{2}=\frac{b-a}{2}>0, \]

de modo que \(m<b\).

Por tanto,

\[ \boxed{a<\sqrt{ab}<\frac{a+b}{2}<b}. \]

Observación

La misma identidad muestra que, para cualesquiera \(a,b\ge0\),

\[ \sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}. \]

Como ambas medias son no negativas, hay igualdad entre ellas si y solo si sus cuadrados son iguales. Por tanto,

\[ \sqrt{ab}=\frac{a+b}{2} \iff \left(\frac{a+b}{2}\right)^2-ab=0 \iff (a-b)^2=0 \iff a=b. \]

Esta es la desigualdad entre las medias geométrica y aritmética para dos números; Spivak remite desde aquí al problema 2-22 para una generalización.

La existencia de \(\sqrt t\) para todo \(t\ge0\) no se deriva de los axiomas de campo ordenado P1–P12 por sí solos. En este capítulo queda sustentada por el anexo matemático a partir de la completitud de \(\mathbb R\); E007 usa ese resultado cuando toma \(t=ab\).

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Ejercicio 8* — SPV4-C01-E008

Referencia: Michael Spivak, Calculus, 4.ª ed., capítulo 1, ejercicio 8, p. 15. Formulación reducida al contenido matemático; solución propia de Matemática Abierta.

Problema

Sobre los números que satisfacen P1–P9, suponga que la relación estricta \(<\) cumple:

• P′10. Para cualesquiera \(a,b\), exactamente una de \(a=b\), \(a<b\) o \(b<a\) se cumple.
• P′11. Si \(a<b\) y \(b<c\), entonces \(a<c\).
• P′12. Si \(a<b\), entonces \(a+c<b+c\).
• P′13. Si \(a<b\) y \(0<c\), entonces \(ac<bc\).

Defina

\[ P=\{t:0<t\}. \]

Demuestre que se deducen:

• P10. Para cada \(t\), exactamente una de \(t=0\), \(t\in P\) o \(-t\in P\) se cumple.
• P11. Si \(u,v\in P\), entonces \(u+v\in P\).
• P12. Si \(u,v\in P\), entonces \(uv\in P\).

Idea

Para P10, compare \(0\) con \(t\) y convierta \(t<0\) en \(0<-t\) mediante una traslación. Para P11, traslade \(0<u\) sumando \(v\) y encadene con \(0<v\). Para P12, multiplique \(0<u\) por el número positivo \(v\).

Solución

Primero observemos que P′12 permite trasladar una desigualdad en ambos sentidos. En particular,

\[ t<0\quad\Longleftrightarrow\quad 0<-t. \]

En efecto, de \(t<0\), al sumar \(-t\) se obtiene \(0<-t\); recíprocamente, de \(0<-t\), al sumar \(t\) se obtiene \(t<0\).

P10. Apliquemos P′10 a \(0\) y \(t\). Exactamente una de

\[ 0=t,\qquad 0<t,\qquad t<0 \]

se cumple. Por definición, \(0<t\) equivale a \(t\in P\), y por la equivalencia anterior \(t<0\) equivale a \(0<-t\), es decir, a \(-t\in P\). Por tanto, exactamente una de

\[ \boxed{t=0,\qquad t\in P,\qquad -t\in P} \]

se cumple.

P11. Sean \(u,v\in P\). Entonces \(0<u\) y \(0<v\). Aplicando P′12 a \(0<u\) y sumando \(v\),

\[ v<u+v. \]

Como \(0<v\), P′11 da

\[ 0<u+v. \]

Por definición de \(P\),

\[ \boxed{u+v\in P}. \]

P12. Sean nuevamente \(u,v\in P\). Tenemos \(0<u\) y \(0<v\). Aplicamos P′13 a \(0<u\) con multiplicador positivo \(v\):

\[ 0\cdot v<u\cdot v. \]

Por P1–P9, \(0\cdot v=0\), de modo que

\[ 0<uv. \]

Así,

\[ \boxed{uv\in P}. \]

Hemos obtenido P10–P12 sin utilizar ninguno de ellos como premisa.

Observación

P′12 muestra también que

\[ a<b\quad\Longleftrightarrow\quad 0<b-a. \]

Por tanto, al definir \(P=\{t:0<t\}\), la regla original \(a<b\iff b-a\in P\) recupera exactamente la misma relación de orden. Esta equivalencia explica en qué sentido las dos formulaciones axiomáticas describen la misma estructura.

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Ejercicio 9 — SPV4-C01-E009

Referencia: Michael Spivak, Calculus, 4.ª ed., capítulo 1, ejercicio 9, p. 15. Formulación reducida al contenido matemático; solución propia de Matemática Abierta.

Problema

Exprese cada una de las siguientes expresiones con al menos un par de signos de valor absoluto menos:

(i) \(|\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5+\sqrt7|\).

(ii) \(\bigl||a+b|-|a|-|b|\bigr|\).

(iii) \(\bigl||a+b|+|c|-|a+b+c|\bigr|\).

(iv) \(|x^2-2xy+y^2|\).

(v) \(\bigl||\sqrt2+\sqrt3|-|\sqrt5-\sqrt7|\bigr|\).

Idea

En (ii) y (iii) basta conocer el signo de la expresión situada dentro de las barras exteriores. Para no depender de un resultado posterior, demostraremos directamente la desigualdad triangular

\[ |u+v|\le |u|+|v|. \]

Los incisos (i) y (v) se resuelven determinando signos mediante comparaciones exactas de raíces; en (iv), el argumento es un cuadrado.

Solución

Primero probemos la desigualdad triangular que necesitaremos. Para todo real \(t\),

\[ -|t|\le t\le |t|. \]

Aplicándola a \(u\) y \(v\) y sumando,

\[ -(|u|+|v|)\le u+v\le |u|+|v|. \]

Como \(|u|+|v|\ge0\), de la definición de valor absoluto se sigue

\[ |u+v|\le |u|+|v|. \]

(i) Puesto que \(7>5\) y las raíces son no negativas,

\[ \sqrt7>\sqrt5. \]

Por tanto,

\[ \sqrt2+\sqrt3-\sqrt5+\sqrt7 =(\sqrt7-\sqrt5)+(\sqrt2+\sqrt3)>0, \]

y así

\[ \boxed{|\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5+\sqrt7| =\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5+\sqrt7}. \]

(ii) Por la desigualdad triangular,

\[ |a+b|-|a|-|b|\le0. \]

Luego

\[ \boxed{\bigl||a+b|-|a|-|b|\bigr| =|a|+|b|-|a+b|}. \]

(iii) Aplicando la desigualdad triangular a \((a+b)+c\),

\[ |a+b+c|\le |a+b|+|c|. \]

El argumento de las barras exteriores es no negativo, de modo que

\[ \boxed{\bigl||a+b|+|c|-|a+b+c|\bigr| =|a+b|+|c|-|a+b+c|}. \]

(iv) Como

\[ x^2-2xy+y^2=(x-y)^2\ge0, \]

se obtiene

\[ \boxed{|x^2-2xy+y^2|=(x-y)^2}. \]

(v) Tenemos

\[ |\sqrt2+\sqrt3|=\sqrt2+\sqrt3, \qquad |\sqrt5-\sqrt7|=\sqrt7-\sqrt5. \]

Además,

\[ (\sqrt2+\sqrt3)^2=5+2\sqrt6>7=(\sqrt7)^2, \]

porque \(\sqrt6>1\). Como las cantidades comparadas son positivas,

\[ \sqrt2+\sqrt3>\sqrt7. \]

Por consiguiente,

\[ \sqrt2+\sqrt3-(\sqrt7-\sqrt5)>0, \]

y finalmente

\[ \boxed{\bigl||\sqrt2+\sqrt3|-|\sqrt5-\sqrt7|\bigr| =\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5-\sqrt7}. \]

Observación

La prueba de la desigualdad triangular usada en (ii)–(iii) se obtiene aquí directamente de la definición de valor absoluto; por tanto, E009 no depende circularmente del tratamiento posterior de esa desigualdad. Las comparaciones de raíces en (i) y (v) usan raíces reales no negativas, cuya existencia general está fundamentada en el anexo de completitud del capítulo.

SPV4-C01-E010 — Eliminar valores absolutos mediante particiones de casos (incisos i–iv)

Referencia: Michael Spivak, Calculus, 4.ª ed., capítulo 1, ejercicio 10, p. 15. Formulación reducida al contenido matemático; solución propia de Matemática Abierta.

Problema

Exprese cada una de las siguientes expresiones sin signos de valor absoluto, distinguiendo casos cuando sea necesario:

Inciso	Expresión que se debe reescribir
(i)	\(\lvert a+b\rvert -\lvert b\rvert\), con \(a,b\in\mathbb R\).
(ii)	\(\bigl\lvert\,\lvert x\rvert -1\,\bigr\rvert\), con \(x\in\mathbb R\).
(iii)	\(\lvert x\rvert -\lvert x^2\rvert\), con \(x\in\mathbb R\).
(iv)	\(a-\bigl\lvert a-\lvert a\rvert \bigr\rvert\), con \(a\in\mathbb R\).

Herramienta — significado preciso de una partición por signos

Para cada número real \(t\), la definición del valor absoluto establece

\[ |t|=\begin{cases}t,&t\ge0,\\-t,&t<0.\end{cases} \]

Los dos casos son exhaustivos y disjuntos: el punto \(t=0\) pertenece al primero. Una expresión con dos argumentos distintos dentro de barras puede exigir comprobar los signos de ambos: no se puede decidir el signo de \(a+b\) conociendo solamente el de \(b\). La sustitución por casos es una identidad para cada región, no una elección arbitraria de signos.

(i) Diferencia de dos valores absolutos con parámetros independientes

Enunciado particular. Para todos \(a,b\in\mathbb R\), elimina los dos pares de barras de \(|a+b|-|b|\) dando una fórmula completa por casos.

Pista 1. Las cantidades cuyo signo importa son \(b\) y \(a+b\), no únicamente \(a\) y \(b\).

Pista 2. Cruza \(b\ge0\) o \(b<0\) con \(a+b\ge0\) o \(a+b<0\), aplica dos veces la definición y simplifica. Incluye los puntos \(b=0\) y \(a+b=0\) exactamente una vez.

Estrategia. Dividimos el plano de parámetros mediante las rectas \(b=0\) y \(a+b=0\). En cada región las dos barras se convierten en expresiones con signos determinados.

Demostración. Si \(b\ge0\), \(|b|=b\): cuando además \(a+b\ge0\), obtenemos \((a+b)-b=a\); cuando \(a+b<0\), obtenemos \(-(a+b)-b=-a-2b\). Si \(b<0\), \(|b|=-b\): cuando \(a+b\ge0\), obtenemos \((a+b)-(-b)=a+2b\); cuando \(a+b<0\), obtenemos \(-(a+b)-(-b)=-a\). En consecuencia,

\[ \boxed{ |a+b|-|b|= \begin{cases} a,&b\ge0,\ a+b\ge0,\\ -a-2b,&b\ge0,\ a+b<0,\\ a+2b,&b<0,\ a+b\ge0,\\ -a,&b<0,\ a+b<0. \end{cases}} \]

Controles de frontera y de signo. Para \(b=0\), las dos primeras ramas producen \(a\) si \(a\ge0\) y \(-a\) si \(a<0\): en ambos casos el valor es \(|a|\), como exige la expresión inicial. Cuando \(a+b=0\), la primera y la tercera ramas asignan la frontera según el signo de \(b\) y reproducen \(-|b|\). En concreto, \((a,b)=(-3,1)\) da \(|-2|-1=1=-a-2b\), y \((a,b)=(3,-1)\) da \(|2|-1=1=a+2b\). Sustituir la expresión por \(a\) en todo el plano sería incorrecto.

Observación. La desigualdad triangular demostrada en E009 da \(|a+b|\le|a|+|b|\) y, al escribir \(b=(a+b)-a\), también \(|b|\le|a+b|+|a|\). De ambas cotas se sigue \(-|a|\le|a+b|-|b|\le|a|\), esto es, \(\bigl||a+b|-|b|\bigr|\le|a|\). Es un control adicional que no sustituye la partición requerida ni introduce barras en la respuesta final.

(ii) Dos niveles de barras y cuatro tramos de la recta

Enunciado particular. Para cada real \(x\), escribe \(\bigl|\,|x|-1\,\bigr|\) sin ninguna barra y especifica todos los intervalos de validez.

Pista 1. Examina primero \(|x|\): vale \(-x\) si \(x<0\) y \(x\) si \(x\ge0\).

Pista 2. En la región negativa, el argumento exterior es \(-x-1\) y cambia de signo en \(x=-1\); en la no negativa es \(x-1\) y cambia de signo en \(x=1\).

Estrategia y demostración. Si \(x<-1\), entonces \(|x|=-x>1\), por lo que la expresión es \(-x-1\). Si \(-1\le x<0\), se tiene \(|x|=-x\le1\), de modo que el argumento de la barra exterior \(-x-1\le0\) y su valor absoluto es \(1+x\). Para \(0\le x<1\), tenemos \(|x|=x<1\), así que el valor es \(1-x\). Por último, si \(x\ge1\), \(|x|=x\ge1\) y el resultado es \(x-1\). Así,

\[ \boxed{ \bigl|\,|x|-1\,\bigr|= \begin{cases} -x-1,&x<-1,\\ 1+x,&-1\le x<0,\\ 1-x,&0\le x<1,\\ x-1,&x\ge1. \end{cases}} \]

Control. Los cuatro intervalos cubren \(\mathbb R\) sin solaparse. En \(x=-1\) se obtiene \(0\); en \(x=0\), \(1\); y en \(x=1\), \(0\), exactamente como en la fórmula inicial. En el tramo intermedio \(-1<x<0\) la expresión es \(1+x\), no \(1-x\): por ejemplo \(x=-\tfrac12\) da \(\bigl|\tfrac12-1\bigr|=\tfrac12\).

Otra lectura. La expresión cuantifica la diferencia entre la magnitud \(|x|\) y \(1\); los cambios de signo ocurren en \(-1,0,1\). Esta intuición ayuda a descubrir los cortes, pero no reemplaza las verificaciones algebraicas anteriores.

(iii) Distinguir un cuadrado de su raíz no negativa

Enunciado particular. Para todo \(x\in\mathbb R\), expresa \(|x|-|x^2|\) sin barras, indicando qué ocurre para \(x=0\).

Pista 1. No es preciso estudiar el signo de \(x^2\): siempre es no negativo.

Pista 2. Sustituye primero \(|x^2|\) por \(x^2\) y, después, divide en \(x<0\) y \(x\ge0\).

Estrategia y demostración. Por los axiomas de orden, \(x^2\ge0\), incluso cuando \(x<0\). En consecuencia, \(|x^2|=x^2\) para todos los reales; solo queda decidir el signo de \(x\). De la definición resulta

\[ \boxed{ |x|-|x^2|= \begin{cases} -x-x^2,&x<0,\\ x-x^2,&x\ge0. \end{cases}} \]

Control. En \(x=0\) se obtiene \(0\) por la segunda rama. Para \(x=-2\), la expresión original vale \(2-4=-2\), y la primera rama da \(2-4=-2\); sería falso reemplazar \(|x|\) por \(x\) para ese valor. Los ceros de la función son \(x=-1,0,1\): en la primera rama, \(-x-x^2=-x(1+x)=0\) con \(x<0\) solo cuando \(x=-1\); en la segunda, \(x-x^2=x(1-x)=0\) con \(x\ge0\) cuando \(x=0\) o \(x=1\). No se necesitan cortes adicionales en \(-1\) y \(1\) para eliminar barras: interesarían únicamente si se solicitara también clasificar el signo del resultado.

(iv) El valor absoluto de la diferencia con la propia magnitud

Enunciado particular. Para todos los reales \(a\), elimina todas las barras de \(a-\bigl|a-|a|\bigr|\) mediante una fórmula por casos.

Pista 1. Determina \(a-|a|\) según que \(a\ge0\) o \(a<0\).

Pista 2. Si \(a<0\), \(|a|=-a\), así que \(a-|a|=2a<0\) y su valor absoluto es \(-2a\). No olvides la resta exterior.

Estrategia y demostración. Si \(a\ge0\), \(|a|=a\) y el argumento de la barra exterior es \(a-a=0\). En consecuencia, \(a-\bigl|a-|a|\bigr|=a\). Si \(a<0\), \(|a|=-a\), por lo que \(a-|a|=2a<0\) y \(|a-|a||=-2a\); al restarlo del \(a\) inicial resulta \(a-(-2a)=3a\). Por tanto,

\[ \boxed{ a-\bigl|a-|a|\bigr|= \begin{cases} 3a,&a<0,\\ a,&a\ge0. \end{cases}} \]

Comprobación y segunda vía. La desigualdad \(a\le|a|\) vale siempre, de modo que \(a-|a|\le0\). Por definición, \(|a-|a||=|a|-a\), y, sin introducir casos todavía, la expresión original equivale a \(a-(|a|-a)=2a-|a|\). Una última aplicación de la definición para \(a<0\) o \(a\ge0\) reproduce las dos ramas: \(3a\) y \(a\). Para \(a=-2\) el original es \(-2-|-2-2|=-6\), y para \(a=2\) es \(2-|2-2|=2\). En \(a=0\) ambas expresiones lineales coinciden en cero y la rama asignada es la segunda.

Tabla de resultados y cierre matemático

Inciso	Fórmula sin barras	Regiones y fronteras
(i)	\(a\), \(-a-2b\), \(a+2b\), \(-a\) según los signos de \(b\) y \(a+b\).	Cuatro regiones disjuntas; \(b=0\) y \(a+b=0\) asignados expresamente.
(ii)	\(-x-1\), \(1+x\), \(1-x\), \(x-1\).	\(x<-1\); \(-1\le x<0\); \(0\le x<1\); \(x\ge1\).
(iii)	\(-x-x^2\) si \(x<0\); \(x-x^2\) si \(x\ge0\).	\(x=0\) asignado a la segunda rama.
(iv)	\(3a\) si \(a<0\); \(a\) si \(a\ge0\).	\(a=0\) asignado a la segunda rama.

Las cuatro fórmulas por casos son válidas en todo su dominio. En los cambios de signo, cada frontera está asignada exactamente a una región; las dos ramas que podrían coincidir en una frontera ofrecen el mismo valor.

SPV4-C01-E011 — Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto (incisos i–viii)

Referencia: Michael Spivak, Calculus, 4.ª ed., capítulo 1, ejercicio 11, pp. 15–16. Formulación reducida al contenido matemático; solución propia de Matemática Abierta.

Problema

Determine todos los números reales \(x\) que satisfacen cada una de las siguientes relaciones:

Inciso	Relación que debe resolverse
(i)	\(\lvert x-3\rvert =8\).
(ii)	\(\lvert x-3\rvert <8\).
(iii)	\(\lvert x+4\rvert <2\).
(iv)	\(\lvert x-1\rvert +\lvert x-2\rvert >1\).
(v)	\(\lvert x-1\rvert +\lvert x+1\rvert <2\).
(vi)	\(\lvert x-1\rvert +\lvert x+1\rvert <1\).
(vii)	\(\lvert x-1\rvert \,\lvert x+1\rvert =0\).
(viii)	\(\lvert x-1\rvert \,\lvert x+2\rvert =3\).

Herramientas deducidas de la definición

Para \(t\in\mathbb R\) y \(r>0\), la definición de \(|t|\) da equivalencias que se justificarán al aplicarlas:

\[ |t|=r\iff (t=r\ \text{o}\ t=-r),\qquad |t|<r\iff-r<t<r. \]

La primera procede de los dos signos posibles de \(t\); la segunda se obtiene al examinar \(t\ge0\) y \(t<0\). Una desigualdad \(|t|<r\) no tiene solución si \(r\le0\), ya que \(|t|\ge0\). De E009 disponemos de una demostración autónoma de la desigualdad triangular \(|u+v|\le|u|+|v|\). Si dos barras multiplicadas aparecen en (vii)–(viii), justificaremos directamente las reglas de producto necesarias, sin citar E012 como si ya estuviera terminado.

(i) Una igualdad con dos posibilidades

Enunciado particular. Encuentra todos los reales \(x\) para los cuales \(|x-3|=8\).

Pista 1. Pregunta qué dos números tienen magnitud \(8\).

Pista 2. Resuelve por separado \(x-3=8\) y \(x-3=-8\), y sustituye los candidatos en la igualdad inicial.

Estrategia y demostración. Si \(x-3\ge0\), entonces \(|x-3|=x-3\), y la igualdad exige \(x=11\). Si \(x-3<0\), su valor absoluto es \(3-x\), y la igualdad exige \(x=-5\). Ambos candidatos pertenecen a sus respectivos casos (\(11-3>0\) y \(-5-3<0\)). Recíprocamente,

\[|11-3|=8,\qquad|-5-3|=8.\]

Los casos \(x-3\ge0\) y \(x-3<0\) agotan toda la recta; por tanto, no hay otras soluciones:

\[\boxed{S_{\mathrm{i}}=\{-5,11\}.}\]

Control. La igualdad, a diferencia de la desigualdad estricta del apartado siguiente, incluye los dos puntos donde la magnitud alcanza exactamente \(8\). El valor intermedio \(x=3\) produce \(0\), no \(8\).

(ii) Un intervalo abierto alrededor de tres

Enunciado particular. Determina el conjunto de reales que cumplen \(|x-3|<8\).

Pista 1. Reformula la condición como una doble desigualdad para \(x-3\).

Pista 2. Suma \(3\) a los tres términos; comprueba los dos extremos en el enunciado original.

Estrategia y demostración. Para todo real \(t\), la condición \(|t|<8\) equivale a \(-8<t<8\): si \(t\ge0\), basta \(t<8\) y ya se tiene \(t>-8\); si \(t<0\), la condición \(-t<8\) equivale a \(t>-8\), y automáticamente \(t<8\). Aplicándola a \(t=x-3\) obtenemos equivalencias en ambos sentidos:

\[|x-3|<8\iff-8<x-3<8\iff-5<x<11.\]

De aquí se obtiene

\[\boxed{S_{\mathrm{ii}}=(-5,11).}\]

Control. En \(-5\) y \(11\), el miembro izquierdo vale \(8\) y la desigualdad estricta es falsa. En \(x=3\) vale \(0<8\). Todo punto interior cumple ambas comparaciones que definen el valor absoluto; ningún punto exterior lo hace.

(iii) Trasladar el centro de una desigualdad

Enunciado particular. Determina todos los reales \(x\) que satisfacen \(|x+4|<2\).

Pista 1. Sustituye temporalmente \(t=x+4\) y considera \(-2<t<2\).

Pista 2. Resta \(4\) y decide si los extremos del intervalo se incluyen.

Estrategia y demostración. Utilizando la equivalencia justificada en (ii) para el radio positivo \(2\),

\[|x+4|<2\iff-2<x+4<2\iff-6<x<-2.\]

Así,

\[\boxed{S_{\mathrm{iii}}=(-6,-2).}\]

Control. Ambos extremos producen exactamente \(2\) y quedan fuera. El centro \(x=-4\) da cero y pertenece al intervalo. El desplazamiento por \(4\) no invierte el orden, pues solo se suma o resta la misma cantidad.

(iv) Suma de magnitudes y sus dos puntos de ruptura

Enunciado particular. Resuelve para todo \(x\in\mathbb R\) la desigualdad \(|x-1|+|x-2|>1\).

Pista 1. Los argumentos de las barras cambian de signo en \(1\) y \(2\).

Pista 2. Calcula la suma en las regiones \(x<1\), \(1\le x\le2\) y \(x>2\), y compara cada fórmula con \(1\).

Estrategia y demostración. En las tres regiones, por definición de valor absoluto,

\[ |x-1|+|x-2|= \begin{cases} (1-x)+(2-x)=3-2x,&x<1,\\ (x-1)+(2-x)=1,&1\le x\le2,\\ (x-1)+(x-2)=2x-3,&x>2. \end{cases} \]

Si \(x<1\), \(3-2x>3-2=1\). Entre \(1\) y \(2\), incluidos ambos extremos, la suma es exactamente \(1\) y no satisface \(>1\). Si \(x>2\), \(2x-3>4-3=1\). Esta partición incluye todos los reales, por lo cual

\[\boxed{S_{\mathrm{iv}}=(-\infty,1)\cup(2,\infty).}\]

Control y lectura estructural. En \(x=1\) y \(x=2\) se produce igualdad; en \(x=3/2\) la suma también vale \(1\). La desigualdad triangular aplicada a \((x-1)-(x-2)=1\) da \(1\le|x-1|+|x-2|\), pero esa cota sola no identifica cuándo hay igualdad. La partición demuestra que ocurre exactamente en \([1,2]\).

(v) Desigualdad estricta por debajo de la cota mínima

Enunciado particular. Determina todos los reales que cumplen \(|x-1|+|x+1|<2\).

Pista 1. Escribe \(2=(x+1)-(x-1)\), una identidad válida para todo \(x\).

Pista 2. Aplica la desigualdad triangular a \((x+1)+(-(x-1))\) y usa \(|-t|=|t|\), consecuencia inmediata de la definición.

Estrategia y demostración. El lema triangular demostrado en E009 proporciona, sin restricción sobre \(x\),

\[ 2=|2|=|(x+1)-(x-1)| \le|x+1|+|-(x-1)| =|x+1|+|x-1|. \]

Por tanto, la expresión del enunciado es siempre mayor o igual que \(2\) y nunca estrictamente menor:

\[\boxed{S_{\mathrm{v}}=\varnothing.}\]

Control independiente por casos. Para \(x<-1\) la suma vale \(-2x>2\); para \(-1\le x\le1\) vale \((1-x)+(x+1)=2\); para \(x>1\) vale \(2x>2\). Así, la cota inferior se alcanza exactamente en \([-1,1]\), pero el signo solicitado es \(<\) y no \(\le\).

(vi) Una condición todavía más restrictiva

Enunciado particular. Resuelve \(|x-1|+|x+1|<1\) sobre toda la recta real.

Pista 1. Observa que se trata de la misma suma que en (v), con una cota superior menor.

Pista 2. Emplea la desigualdad universal \(|x-1|+|x+1|\ge2\) ya demostrada y compara \(2\) con \(1\).

Estrategia y demostración. Para cada real \(x\), el argumento de (v) prueba \(|x-1|+|x+1|\ge2>1\). Por consiguiente no existe ningún \(x\) que cumpla la relación. Alternativamente, cualquier \(x\) que satisficiera \(|x-1|+|x+1|<1\) satisfaría también la condición \(<2\) de (v), cuyo conjunto solución es vacío. Así,

\[\boxed{S_{\mathrm{vi}}=\varnothing.}\]

Control. Ni siquiera los puntos de mínima suma, todos los de \([-1,1]\), cumplen la desigualdad: allí el valor es \(2\). Que una desigualdad tenga el signo \(<\) no implica que necesariamente exista un intervalo solución.

(vii) Un producto de magnitudes igual a cero

Enunciado particular. Determina todos los reales que verifican \(|x-1|\,|x+1|=0\).

Pista 1. Utiliza el principio del producto nulo probado en E001: si un producto es cero, alguno de sus factores debe ser cero.

Pista 2. Una magnitud \(|t|\) vale cero exactamente cuando \(t=0\); aplica esto a cada factor y comprueba la recíproca.

Estrategia y demostración. El principio del producto nulo da

\[|x-1|\,|x+1|=0\iff |x-1|=0\ \text{o}\ |x+1|=0.\]

Por definición de valor absoluto, \(|t|=0\iff t=0\). Por tanto, las posibilidades son \(x-1=0\) o \(x+1=0\), es decir, \(x=1\) o \(x=-1\). Si sustituimos cualquiera de ellas, un factor se anula y el producto vale cero. Concluimos

\[\boxed{S_{\mathrm{vii}}=\{-1,1\}.}\]

Control. En \(x=0\) ambos factores valen \(1\) y el producto es \(1\), no cero. No corresponde resolver \(|x-1|=|x+1|\) ni exigir que ambos factores se anulen simultáneamente.

(viii) Un producto de magnitudes fijado en tres

Enunciado particular. Resuelve para todo número real \(x\) la ecuación \(|x-1|\,|x+2|=3\).

Pista 1. Justifica que, para cualesquiera reales \(u,v\), se cumple \(|u|\,|v|=|uv|\). Con ello la ecuación se convierte en \(|x^2+x-2|=3\).

Pista 2. Separa los casos \(x^2+x-2=3\) y \(x^2+x-2=-3\). Completa el cuadrado en cada uno; no supongas que las dos ecuaciones poseen raíces reales.

Estrategia: reducir barras, resolver y descartar ramas imposibles. La identidad \(|u|\,|v|=|uv|\) se demuestra directamente desde la definición: si algún factor es cero, ambos miembros son cero; si ambos son positivos o ambos negativos, el producto es positivo y las dos magnitudes multiplicadas son \(uv\); si tienen signos contrarios, el producto es negativo y ambas expresiones valen \(-uv\). Este argumento no depende de E012(i), ejercicio todavía no resuelto. Por distributividad,

\[|x-1|\,|x+2|=|(x-1)(x+2)|=|x^2+x-2|.\]

Por la definición de valor absoluto, una magnitud vale \(3>0\) si y solo si su argumento vale \(3\) o \(-3\). Estudiamos las dos posibilidades.

Primera rama. Si \(x^2+x-2=3\), entonces

\[ \begin{aligned} x^2+x-5&=0,\\ \left(x+\frac12\right)^2&=\frac{21}{4},\\ \left|x+\frac12\right|&=\frac{\sqrt{21}}{2},\\ x&=\frac{-1+\sqrt{21}}2\quad\text{o}\quad x=\frac{-1-\sqrt{21}}2. \end{aligned} \]

El paso de cuadrados a valores absolutos utiliza la raíz real no negativa de \(21\) y la monotonía/inversión de cuadrados sobre los no negativos [E005(ix)–(x)]. Ambos candidatos son reales distintos porque \(21>0\), y satisfacen la primera ecuación por sustitución en \(\left(x+\tfrac12\right)^2=21/4\), lo que a su vez garantiza que la magnitud original vale \(3\).

Segunda rama. Si \(x^2+x-2=-3\), obtendríamos

\[x^2+x+1=\left(x+\frac12\right)^2+\frac34=0.\]

Esto es imposible para un real: el cuadrado es no negativo, de modo que el miembro izquierdo es como mínimo \(3/4>0\). Esta rama no produce soluciones reales. Reuniendo todas las posibilidades y verificadas sus recíprocas,

\[\boxed{S_{\mathrm{viii}}=\left\{\frac{-1-\sqrt{21}}2,\ \frac{-1+\sqrt{21}}2\right\}.}\]

Comprobación de extremos y dependencia. Los puntos \(x=1\) y \(x=-2\) hacen que el producto inicial sea cero y no son soluciones de este apartado; no deben heredarse las respuestas de (vii). Al cuadrar directamente \(|x^2+x-2|=3\) se generaría una ecuación de cuarto grado innecesaria y se ocultaría que una de las dos ramas es imposible. Como en E007, la existencia de la raíz real no negativa \(\sqrt{21}\) queda fundada mediante completitud en el anexo matemático; no se atribuye a P1–P12.

Resultados, revisión de fronteras y cierre

Inciso	Conjunto solución
(i)	\(\{-5,11\}\)
(ii)	\((-5,11)\)
(iii)	\((-6,-2)\)
(iv)	\((-\infty,1)\cup(2,\infty)\)
(v)	\(\varnothing\)
(vi)	\(\varnothing\)
(vii)	\(\{-1,1\}\)
(viii)	\(\left\{(-1-\sqrt{21})/2,\,(-1+\sqrt{21})/2\right\}\)

La resolución de una ecuación exige comprobar todos los casos de signo y verificar los candidatos. En las desigualdades estrictas se excluyen los puntos de igualdad; para una suma de valores absolutos conviene buscar primero una cota inferior. En (v) y (vi), esa cota es \(2\), por lo que no existen soluciones.

SPV4-C01-E012 — Álgebra y desigualdades del valor absoluto (incisos i–vii)

Referencia: Michael Spivak, Calculus, 4.ª ed., capítulo 1, ejercicio 12, p. 16. Formulación reducida al contenido matemático; solución propia de Matemática Abierta.

Planteamiento y herramientas previas

Para cualesquiera números reales \(x,y,z\), demuestra las siete afirmaciones siguientes, respetando la hipótesis \(x\ne0\) en (ii) y \(y\ne0\) en (iii). El último inciso exige, además de probar una desigualdad, caracterizar y demostrar todos los casos de igualdad. Cada consigna particular se desarrolla autónomamente más abajo.

Recordemos la definición \(|t|=t\) cuando \(t\ge0\), e \(|t|=-t\) cuando \(t<0\). De ella se deducen sin teoría de raíces:

\[ |t|\ge0,\qquad |t|=0\iff t=0,\qquad |-t|=|t|,\qquad |t|^2=t^2. \]

También se dispone de la desigualdad triangular \(|u+v|\le|u|+|v|\), demostrada desde la definición en E009. Cuando la apliquemos, indicaremos la sustitución utilizada. No se suponen como premisas las identidades que se van a demostrar en este mismo ejercicio.

(i) Valor absoluto de un producto

Enunciado particular. Para todos \(x,y\in\mathbb R\), demuestra \(|xy|=|x|\,|y|\).

Pista 1. Comprueba que los dos miembros son no negativos, incluso si alguno de los factores es cero.

Pista 2. Eleva al cuadrado ambos miembros mediante la identidad \(|t|^2=t^2\), y recuerda la unicidad del número no negativo que tiene un cuadrado dado.

Estrategia y demostración. Por definición de magnitud y por el producto de no negativos, \(|xy|\ge0\) y \(|x||y|\ge0\). Sus cuadrados coinciden:

\[ (|x||y|)^2=|x|^2|y|^2=x^2y^2=(xy)^2=|xy|^2. \]

De la igualdad de cuadrados, E001(iii), se obtiene \(|xy|=|x||y|\) o \(|xy|=-|x||y|\). En la segunda posibilidad, la no negatividad de ambos miembros fuerza que ambos sean cero y, por tanto, también se cumple la igualdad buscada. Equivalentemente, la función cuadrado es inyectiva sobre \([0,\infty)\) por E005(ix). En cualquier caso,

\[\boxed{|xy|=|x|\,|y|.}\]

Control. Si \(x=0\) o \(y=0\), ambos miembros son cero. Si \(x=-2,y=-3\), ambos valen \(6\); si \(x=-2,y=3\), ambos valen \(6\). La igualdad no depende de escoger signos particulares y no invoca ninguna regla para cocientes.

(ii) Magnitud del inverso

Enunciado particular. Si \(x\in\mathbb R\) y \(x\ne0\), demuestra que \(\left|\frac1x\right|=\frac1{|x|}\).

Pista 1. Escribe \(1/x=x^{-1}\); justifica por qué \(|x|\) no es cero y tiene inverso.

Pista 2. Aplica (i) al producto \(xx^{-1}=1\) y utiliza la unicidad del inverso multiplicativo.

Estrategia y demostración. Como \(x\ne0\), \(x^{-1}\) existe. Además, \(|x|\ne0\), porque \(|x|=0\) implicaría \(x=0\). El apartado (i), que ya está demostrado, permite escribir

\[ |x|\,|x^{-1}|=|xx^{-1}|=|1|=1. \]

Así, \(|x^{-1}|\) es el inverso multiplicativo de \(|x|\); por unicidad del inverso,

\[\boxed{\left|\frac1x\right|=|x^{-1}|=(|x|)^{-1}=\frac1{|x|}.}\]

Control y dominio. Para \(x=-2\), ambos miembros valen \(1/2\); para \(x=2\), ocurre lo mismo. Si \(x=0\), ninguno de los cocientes está definido. No se ha aplicado la identidad del cociente de (iii), aún por demostrar, para justificar (ii).

(iii) Magnitud de un cociente

Enunciado particular. Para todo \(x\in\mathbb R\) y \(y\ne0\), prueba que \(\left|\frac xy\right|=\frac{|x|}{|y|}\).

Pista 1. Reescribe \(x/y\) como \(x\,y^{-1}\).

Pista 2. Aplica sucesivamente el resultado del producto (i) y el del inverso (ii).

Estrategia y demostración. La hipótesis \(y\ne0\) garantiza la existencia de \(y^{-1}\) y que \(|y|\ne0\). Por las identidades ya probadas,

\[ \begin{aligned} \left|\frac xy\right| &=|x\,y^{-1}|\\ &=|x|\,|y^{-1}|\\ &=|x|\,(|y|)^{-1} =\boxed{\frac{|x|}{|y|}}. \end{aligned} \]

Control. Si \(x=0\) y \(y\ne0\), ambos miembros son cero; por ejemplo, \(|-6/(-2)|=3=6/2\). No se requiere \(x\ne0\). El punto \(y=0\) se excluye antes de calcular, pues produciría cocientes indefinidos a ambos lados.

(iv) Versión de la desigualdad triangular para una resta

Enunciado particular. Para todos \(x,y\in\mathbb R\), demuestra \(|x-y|\le|x|+|y|\).

Pista 1. Considera \(x-y\) como la suma \(x+(-y)\).

Pista 2. Aplica la desigualdad triangular de E009 y después \(|-y|=|y|\).

Estrategia y demostración. La desigualdad triangular, demostrada a partir de las cotas \(-|t|\le t\le|t|\), se puede aplicar a \(u=x\) y \(v=-y\):

\[ |x-y|=|x+(-y)|\le|x|+|-y|=\boxed{|x|+|y|}. \]

La identidad \(|-y|=|y|\) se verifica directamente examinando \(y\ge0\) o \(y<0\); no es una suposición adicional. La prueba es válida para cualesquiera signos y en los casos nulos.

Control. Para \(x=2,y=-1\), la desigualdad es igualdad \(3=2+1\). Para \(x=y=2\), dice \(0\le4\). Este inciso es una variante con resta, no la afirmación más fuerte (y generalmente falsa) \(|x-y|\le|x|-|y|\).

(v) Primera desigualdad triangular inversa

Enunciado particular. Demuestra, para todos los reales \(x,y\), que \(|x|-|y|\le|x-y|\).

Pista 1. Representa \(x\) como una suma que contenga \(x-y\).

Pista 2. Aplica la desigualdad triangular a \(x=(x-y)+y\) y resta \(|y|\) en ambos miembros.

Estrategia y demostración. Por asociatividad, \(x=(x-y)+y\). Aplicando la desigualdad triangular a estos dos sumandos,

\[ |x|=|(x-y)+y|\le|x-y|+|y|. \]

Restar \(|y|\) a ambos lados conserva el sentido del orden y da

\[\boxed{|x|-|y|\le|x-y|.}\]

Se trata de una deducción directa; no estamos suponiendo de antemano la desigualdad triangular inversa que el ejercicio construye.

Control. Con \(x=1,y=3\), obtenemos \(1-3=-2\le2\). El miembro izquierdo puede ser negativo; no es legítimo introducir barras en él sin otra demostración. En \(y=0\) se obtiene igualdad \(|x|=|x|\).

(vi) Desigualdad triangular inversa completa

Enunciado particular. Prueba que \(\bigl||x|-|y|\bigr|\le|x-y|\) para todos \(x,y\in\mathbb R\), y explica por qué basta el resultado de (v).

Pista 1. Intercambia las letras \(x\) e \(y\) en (v).

Pista 2. Usa \(|y-x|=|x-y|\): así la misma cantidad acota por arriba tanto \(|x|-|y|\) como su opuesto.

Estrategia y demostración. El apartado (v) establece

\[|x|-|y|\le|x-y|.\]

Aplicado ahora con \((x,y)\) intercambiados, da

\[|y|-|x|\le|y-x|=|x-y|.\]

Si escribimos \(d=|x|-|y|\) y \(M=|x-y|\ge0\), estas dos afirmaciones son \(d\le M\) y \(-d\le M\), o equivalentemente \(-M\le d\le M\). Por la definición de magnitud, \(|d|\le M\). Por lo tanto,

\[\boxed{\bigl||x|-|y|\bigr|\le|x-y|.}\]

Control. Con \(x=1,y=3\), el miembro izquierdo es \(|1-3|=2\), igual al derecho. Con \(x=2,y=-2\), el izquierdo es cero y el derecho es \(4\). La diferencia entre (v) y (vi) es sustantiva: (vi) controla también el signo opuesto de la diferencia entre magnitudes.

(vii) Desigualdad triangular para tres sumandos y casos exactos de igualdad

Enunciado particular. Para cualquier terna de números reales \(x,y,z\), demuestra

\[|x+y+z|\le|x|+|y|+|z|,\]

y determina exactamente para qué ternas se tiene igualdad; demuestra tanto la suficiencia como la necesidad de tu condición.

Pista 1. Agrupa la suma como \((x+y)+z\) y aplica dos veces la desigualdad triangular.

Pista 2. Si dos sumandos son estrictamente de signos opuestos, su magnitud conjunta es estrictamente menor que la suma de las dos magnitudes. Contrasta esto con el caso en que los tres números son no negativos o los tres no positivos.

Estrategia y prueba de la desigualdad. Dos aplicaciones sucesivas de la desigualdad triangular dan

\[ \begin{aligned} |x+y+z|&=|(x+y)+z|\\ &\le|x+y|+|z|\\ &\le|x|+|y|+|z|. \end{aligned} \]

Queda determinar cuándo las dos comparaciones pueden ser igualdades. La respuesta es

\[ \boxed{|x+y+z|=|x|+|y|+|z| \quad\Longleftrightarrow\quad (x,y,z\ge0)\ \text{o}\ (x,y,z\le0).} \]

Aquí \(x,y,z\ge0\) abrevia las tres desigualdades \(x\ge0\), \(y\ge0\), \(z\ge0\), y análogamente para \(\le0\).

Suficiencia. Si los tres son no negativos, también lo es su suma y \(|x+y+z|=x+y+z=|x|+|y|+|z|\). Si los tres son no positivos, su suma también lo es y \(|x+y+z|=-(x+y+z)=(-x)+(-y)+(-z)=|x|+|y|+|z|\). Los ceros están permitidos en ambas condiciones.

Necesidad. Demostremos primero un hecho elemental: si \(u>0\) y \(v<0\), entonces

\[|u+v|<|u|+|v|=u-v.\]

En efecto, si \(u+v\ge0\), la izquierda es \(u+v<u-v\) porque \(v<0\). Si \(u+v<0\), la izquierda es \(-u-v<u-v\) porque \(u>0\). En ambos casos la desigualdad es estricta; también lo es cuando \(u+v=0\).

Si una terna contuviese un número estrictamente positivo y otro estrictamente negativo, podríamos llamarlos \(u,v\), y llamar \(w\) al tercero; la asociatividad y la conmutatividad permitirían escribir

\[ |x+y+z|=|(u+v)+w|\le|u+v|+|w|<|u|+|v|+|w|. \]

Por tanto, una terna que produzca igualdad no puede contener simultáneamente un positivo y un negativo. Si no hay negativos, los tres son no negativos; si no hay positivos, los tres son no positivos. Esta disyunción abarca también \((0,0,0)\) y todos los casos con dos ceros. La necesidad y la suficiencia quedan probadas.

Control de igualdad y contraejemplos. Con \((x,y,z)=(2,0,3)\) se alcanza igualdad \(5=5\); con \((-2,0,-3)\), también. Con \((2,-1,0)\), el miembro izquierdo es \(1\) y el derecho \(3\): la desigualdad es estricta. El signo de la suma total por sí solo no basta: incluso cuando \(x+y+z>0\) puede haber cancelación interna. No debe reemplazarse la condición «todos del mismo signo, admitiendo ceros» por «todos positivos» o «todos negativos», porque se perderían casos legítimos.

Síntesis

Los apartados (i)–(iii) tratan productos e inversos con sus condiciones de dominio; (iv)–(vi) establecen las desigualdades triangular e inversa; (vii) extiende la triangular a tres números y caracteriza todos los casos de igualdad.

SPV4-C01-E013 — Máximos y mínimos de dos y tres números mediante valor absoluto

Referencia: Michael Spivak, Calculus, 4.ª ed., capítulo 1, ejercicio 13, p. 16. Formulación reducida al contenido matemático; solución propia de Matemática Abierta.

Problema

Para números reales \(x,y\), sean \(\max(x,y)\) y \(\min(x,y)\) el mayor y el menor de ambos, respectivamente. Demuestre

\[ \max(x,y)=\frac{x+y+|y-x|}{2},\qquad \min(x,y)=\frac{x+y-|y-x|}{2}. \]

Obtenga además una fórmula para \(\max(x,y,z)\) y otra para \(\min(x,y,z)\).

Pista 1 — Dos números: identifica qué decide las barras

Compara \(x\) con \(y\). Si \(x\le y\), entonces \(|y-x|=y-x\); si \(y<x\), entonces \(|y-x|=x-y\). Sustituye en las dos expresiones y reconoce cuál es el mayor y cuál el menor en cada caso. No excluyas \(x=y\).

Pista 2 — Tres números: reutiliza lo demostrado

Calcula primero el máximo \(M\) y el mínimo \(m\) de \(x\) e \(y\). Luego aplica las fórmulas ya justificadas a los pares \((M,z)\) y \((m,z)\). Al reemplazar \(M\) y \(m\) por sus expresiones, presta atención a los signos de las barras exteriores y al factor \(1/4\) final.

Estrategia y significado de la notación

Por tricotomía, dos reales son iguales o uno es menor que el otro. Si \(x\le y\), entonces \(\max(x,y)=y\) y \(\min(x,y)=x\); en la región opuesta ocurre lo contrario. En una colección de tres números, el mayor de \(x,y,z\) es el mayor entre \(\max(x,y)\) y \(z\); el menor se construye de modo análogo. Estas igualdades deben demostrarse desde las definiciones, no asumirse como identidades algebraicas sin explicación.

Los únicos denominadores utilizados son \(2\) y \(4\), ambos no nulos. No intervienen raíces cuadradas ni potencias con exponente real.

Primera demostración — Fórmula del máximo de dos números

Caso \(x\le y\). Aquí \(y-x\ge0\), de modo que \(|y-x|=y-x\). La expresión propuesta da

\[ \frac{x+y+|y-x|}{2}= \frac{x+y+y-x}{2}=y=\max(x,y). \]

Caso \(y<x\). Ahora \(y-x<0\), por lo que \(|y-x|=x-y\). En consecuencia,

\[ \frac{x+y+|y-x|}{2}= \frac{x+y+x-y}{2}=x=\max(x,y). \]

Las dos posibilidades cubren todos los pares reales y son disjuntas. Queda probada para todo \(x,y\) la identidad

\[ \boxed{\max(x,y)=\frac{x+y+|y-x|}{2}.}\tag{M2} \]

Control del empate. Cuando \(x=y=t\), \(|y-x|=0\) y la fórmula vale \((2t)/2=t\), exactamente el máximo. Para \(x=-4,y=2\) da \((-2+6)/2=2\), y si se intercambian las variables el resultado no cambia. La fórmula vale también cuando ambos números son negativos: no exige que \(\max(x,y)\) sea positivo.

Segunda demostración — Fórmula del mínimo de dos números

Caso \(x\le y\). Tenemos \(|y-x|=y-x\) y

\[ \frac{x+y-|y-x|}{2}= \frac{x+y-(y-x)}{2}=x=\min(x,y). \]

Caso \(y<x\). Tenemos \(|y-x|=x-y\) y

\[ \frac{x+y-|y-x|}{2}= \frac{x+y-(x-y)}{2}=y=\min(x,y). \]

Así, sin restricciones adicionales,

\[ \boxed{\min(x,y)=\frac{x+y-|y-x|}{2}.}\tag{m2} \]

Control del empate. Si \(x=y=t\), el mínimo vuelve a ser \(t\) y la fórmula lo da. Para \(x=-4,y=2\), el valor es \((-2-6)/2=-4\). No debe elegirse el signo positivo de la barra para el mínimo: ese signo reconstruye el máximo.

Relación de control entre ambas identidades

Al sumar y restar (M2) y (m2), obtenemos

\[ \boxed{\max(x,y)+\min(x,y)=x+y}, \qquad \boxed{\max(x,y)-\min(x,y)=|x-y|}. \]

La primera igualdad dice que escoger el mayor y el menor solo reordena la pareja; la segunda expresa su separación. Estas igualdades también constituyen una comprobación algebraica independiente de los signos elegidos. Por definición, \(\min(x,y)\le\max(x,y)\), y la segunda fórmula concuerda con \(|x-y|\ge0\).

Tercera demostración — Fórmula del máximo de tres números

Sea \(M=\max(x,y)\). Por su definición, \(M\ge x\) y \(M\ge y\), y además \(M\) es uno de los dos números. Si \(M\ge z\), el mayor de los tres es \(M\); si \(z>M\), el mayor es \(z\). Por lo tanto, en todos los casos, incluidos los empates,

\[ \max(x,y,z)=\max(M,z)=\max(\max(x,y),z). \]

Aplicamos (M2) a \((M,z)\) y después sustituimos la expresión probada para \(M\):

\[ \begin{aligned} \max(x,y,z) &=\frac{M+z+|z-M|}{2}\\ &=\frac12\left(\frac{x+y+|y-x|}{2}+z+ \left|z-\frac{x+y+|y-x|}{2}\right|\right). \end{aligned} \]

Esta es la fórmula anidada solicitada. Como \(2>0\), tenemos \(|2t|=2|t|\) por la identidad del producto demostrada en E012(i). En particular, \(2\left|z-A/2\right|=|2z-A|\) para \(A=x+y+|y-x|\). Al reducir al denominador común \(4\) resulta la expresión desarrollada

\[ \boxed{\max(x,y,z)= \frac{x+y+|y-x|+2z+|2z-x-y-|y-x||}{4}.}\tag{M3} \]

La presencia de \(z\) fuera de la primera barra no rompe la simetría matemática: aunque la escritura privilegie temporalmente al par \((x,y)\), la prueba demuestra que el resultado es siempre el mayor de los tres números, con independencia del orden en que se nombren o se agrupen.

Control de tres situaciones. Para \((x,y,z)=(-2,4,1)\), primero \(M=4\) y (M3) vale \((2+6+2+|2-2-6|)/4=16/4=4\). Si \(z=7\), \(M=4\) y el resultado es \(7\), como debe ser. Si \(x=y=z=t\), la fórmula da \((2t+2t+|2t-2t|)/4=t\), incluso si \(t<0\). Dos o tres máximos empatados no generan una rama perdida.

Cuarta demostración — Fórmula del mínimo de tres números

Sea \(m=\min(x,y)\). Por definición, \(m\le x\) y \(m\le y\), y \(m\) coincide con uno de los dos. Si \(m\le z\), es el menor de la terna; si \(z<m\), el menor es \(z\). En consecuencia,

\[ \min(x,y,z)=\min(m,z)=\min(\min(x,y),z). \]

Aplicamos (m2) al par \((m,z)\):

\[ \begin{aligned} \min(x,y,z) &=\frac{m+z-|z-m|}{2}\\ &=\frac12\left(\frac{x+y-|y-x|}{2}+z- \left|z-\frac{x+y-|y-x|}{2}\right|\right). \end{aligned} \]

Esta es la fórmula anidada para el mínimo. Utilizando \(|2t|=2|t|\) y reuniendo denominadores, obtenemos

\[ \boxed{\min(x,y,z)= \frac{x+y-|y-x|+2z-|2z-x-y+|y-x||}{4}.}\tag{m3} \]

Control de tres situaciones. Para \((-2,4,1)\), primero \(m=-2\) y el resultado de (m3) es \(-2\). Para \(z=-7\), el resultado pasa a ser \(-7\). En la diagonal \(x=y=z=t\), la fórmula vale \(t\). En particular, las barras exteriores deben tener el signo menos para obtener el mínimo, aunque el argumento interior contenga ya una barra con signo negativo.

Casos límite y extensión pedagógica

Una tentación incorrecta consiste en escoger siempre la primera variable o suponer \(x\le y\le z\): el ejercicio impone ninguna de estas condiciones. Las pruebas para dos números cubren \(x<y\), \(x=y\) y \(x>y\), y las de tres reducen toda posible ordenación a una comparación final con \(z\). Los empates \(x=y\), \(y=z\) y \(x=z\) quedan incluidos, ya que \(\max(t,t)=\min(t,t)=t\) se demostró explícitamente.

Es importante distinguir entre obtener una fórmula y exigir una escritura manifiestamente simétrica: el enunciado permite la anidación, por lo que (M3) y (m3) satisfacen la consigna sin añadir hipótesis. Su invariancia bajo permutaciones procede de la identificación demostrada con el máximo y el mínimo, no de una inspección informal de los símbolos. Como extensión, para cualquier lista finita y no vacía de reales pueden definirse máximo y mínimo repitiendo las operaciones binarias; justificar el procedimiento general requeriría una inducción o un argumento finito apropiado y no es una petición adicional de E013.

Las fórmulas binarias requieren solo el orden total y la definición de valor absoluto. Las expresiones para tres variables se obtienen aplicando sucesivamente las fórmulas binarias y usando \(|2t|=2|t|\).

SPV4-C01-E014 — La magnitud, sus cotas bilaterales y la desigualdad triangular (apartados a–c)

Referencia: Michael Spivak, Calculus, 4.ª ed., capítulo 1, ejercicio 14, p. 16. Formulación reducida al contenido matemático; solución propia de Matemática Abierta.

Problema

Sean \(a,b\in\mathbb R\).

(a) Demuestre

\[ |a|=|-a|. \]

(b) Demuestre

\[ -b\le a\le b\quad\Longleftrightarrow\quad |a|\le b. \]

Deduzca, en particular,

\[ -|a|\le a\le |a|. \]

(c) Use (b) para dar una nueva demostración de

\[ |a+b|\le |a|+|b|. \]

Convención y plan

Para todo real \(t\), \(|t|=t\) si \(t\ge0\) y \(|t|=-t\) si \(t<0\). La tricotomía implica que la partición \(t\ge0\) frente a \(t<0\) cubre toda la recta; \(t=0\) pertenece a la primera región. Recordaremos que \(2>0\), de modo que dividir una desigualdad por \(2\) conserva su sentido. La cadena de pruebas será (a) → (b) → (c), aunque la prueba principal de (b) también puede ejecutarse directamente desde la definición. No se empleará la desigualdad triangular de E009 ni las consecuencias de E012 como premisas de (c).

(a) El valor absoluto es invariante bajo cambio de signo

Pista 1. Si \(a\ge0\), ¿cuál es el valor de \(|a|\) y cuál es el de \(|-a|\), sabiendo que \(-a\le0\)?

Pista 2. Para tratar \(a\le0\) sin repetir una prueba larga, considera \(t=-a\ge0\) y aplica a \(t\) la igualdad recién probada; recuerda que \(-t=a\).

Estrategia y demostración. Primero supongamos \(a\ge0\). Entonces, por definición, \(|a|=a\). El número \(-a\) es no positivo. Si \(a>0\), se tiene \(-a<0\) y por ello \(|-a|=-(-a)=a\); si \(a=0\), entonces \(|-a|=|0|=0=a\). Por tanto, \(|a|=|-a|\) cuando \(a\ge0\).

Ahora supongamos \(a\le0\). Su opuesto \(t=-a\) es no negativo, así que podemos aplicar la igualdad ya demostrada a \(t\): \(|t|=|-t|\). Como \(t=-a\) y \(-t=a\), resulta \(|-a|=|a|\). Los dos casos abarcan todos los reales, luego

\[ \boxed{|a|=|-a|\qquad(a\in\mathbb R).} \]

Comprobación y frontera. Para \(a=3\), ambas magnitudes valen \(3\); para \(a=-3\), también. En \(a=0\) ambas son \(0\), y no se produce una excepción ni una división. La prueba del caso no positivo reutiliza el caso no negativo, como sugiere la estructura de la pregunta.

(b) Caracterización de las cotas del valor absoluto

Pista 1. La definición permite reconocer \(|a|\) como el mayor de \(a\) y \(-a\). ¿Qué dos desigualdades resultan de exigir que ese mayor no supere \(b\)?

Pista 2. Transforma \(-a\le b\) en \(-b\le a\). Para la implicación recíproca, considera los signos de \(a\) y observa que las dos cotas obligan a \(b\ge0\), aun cuando no se haya supuesto.

Estrategia. Demostraremos ambas direcciones sin añadir la hipótesis \(b\ge0\). La condición \(-b\le a\le b\) significa simultáneamente \(a\le b\) y \(a\ge-b\); esta última equivale a \(-a\le b\) al cambiar de signo.

Implicación directa. Supongamos \(|a|\le b\). De la definición de valor absoluto se deducen \(a\le|a|\) y \(-a\le|a|\): si \(a\ge0\), la primera es igualdad y la segunda dice \(-a\le a\); si \(a<0\), la segunda es igualdad y la primera dice \(a\le-a\). Por transitividad,

\[ a\le|a|\le b,\qquad -a\le|a|\le b. \]

La segunda cadena, al cambiar los signos de sus extremos, da \(-b\le a\). Por tanto, \(-b\le a\le b\).

Implicación recíproca. Supongamos \(-b\le a\le b\). De \(-b\le a\) obtenemos \(-a\le b\). Así, tanto \(a\) como \(-a\) son menores o iguales que \(b\). Si \(a\ge0\), por definición \(|a|=a\le b\). Si \(a<0\), por definición \(|a|=-a\le b\). Concluimos \(|a|\le b\) en todos los casos.

Ambas implicaciones establecen la equivalencia pedida:

\[ \boxed{|a|\le b\iff-b\le a\le b\qquad(a,b\in\mathbb R).} \]

Consecuencia exigida. Tomemos \(b=|a|\). La desigualdad \(|a|\le|a|\) es verdadera por reflexividad. La implicación directa recién demostrada produce

\[ \boxed{-|a|\le a\le|a|.} \]

Control de una cota negativa. Si \(b<0\), \(|a|\le b\) es falso porque \(|a|\ge0>b\). También es falsa la doble desigualdad: de \(-b\le a\le b\) se seguiría \(-b\le b\), es decir, \(0\le2b\) y \(b\ge0\), contradicción. Por tanto, la equivalencia incluye correctamente los \(b\) negativos; no tiene un dominio oculto \(b\ge0\). Si \(b=0\), ambos lados son verdaderos exactamente cuando \(a=0\). En la frontera \(a=b>0\), la cota superior es igualdad; en \(a=-b<0\), lo es la inferior. Ningún caso de igualdad se pierde.

Lectura conceptual. La fórmula dice que una magnitud está acotada por \(b\) precisamente cuando el número está encerrado entre \(-b\) y \(b\). La equivalencia no afirma que el intervalo \([-b,b]\) esté siempre bien ordenado o sea no vacío: para \(b<0\) no existe \(a\) que satisfaga sus dos desigualdades.

(c) Otra demostración de la desigualdad triangular

Pista 1. Aplica la consecuencia de (b) a \(a\) y a \(b\) por separado: cada número está entre el opuesto de su magnitud y su magnitud.

Pista 2. Suma los extremos correspondientes y usa la implicación de derecha a izquierda del apartado (b), esta vez con el número \(a+b\) y la cota no negativa \(B=|a|+|b|\).

Estrategia y demostración. De (b), ya demostrado sin utilizar la triangular, tenemos

\[ -|a|\le a\le|a|,\qquad -|b|\le b\le|b|. \]

Sumar las desigualdades de los extremos, operación compatible con el orden, nos da

\[ -(|a|+|b|)\le a+b\le|a|+|b|. \]

Pongamos \(B=|a|+|b|\). Este número es no negativo porque cada sumando lo es; incluso si alguno o ambos valen cero, la doble desigualdad obtenida sigue siendo válida. La implicación recíproca de (b), aplicada con \(a\) reemplazado por \(a+b\) y \(b\) reemplazado por \(B\), permite concluir

\[ \boxed{|a+b|\le|a|+|b|.} \]

Comprobación y caso de igualdad. Si \(a=2\), \(b=-1\), el resultado dice \(1\le3\); si \(a=2\), \(b=3\), dice \(5=5\). Si \(a=0\) o \(b=0\), es igualdad por definición; lo mismo sucede si ambos tienen el mismo signo. Si tienen signos estrictamente opuestos, por ejemplo \(a>0>b\), entonces \(|a+b|<a-b=|a|+|b|\): cuando \(a+b\ge0\) la desigualdad estricta equivale a \(b<-b\), y cuando \(a+b<0\) equivale a \(-a<a\). Por intercambio de variables se obtiene el otro orden de signos. Como complemento, hay igualdad si y solo si \(ab\ge0\); este criterio no es una petición independiente del inciso, y no interviene en la demostración principal.

Relaciones entre las tres demostraciones

El apartado (a) utiliza la simetría del valor absoluto. En (b) se demuestra la equivalencia también para \(b<0\); en (c) se deduce la desigualdad triangular usando exclusivamente lo probado en (b), sin tomarla como premisa.

SPV4-C01-E015* — Positividad estricta de dos formas homogéneas

Referencia: Michael Spivak, Calculus, 4.ª ed., capítulo 1, ejercicio 15, p. 16. Formulación reducida al contenido matemático; solución propia de Matemática Abierta.

Problema

Si \(x,y\in\mathbb R\) no son ambos cero, demuestre

\[ x^2+xy+y^2>0, \]

\[ x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4>0. \]

Estrategia común: identificar una cantidad inequívocamente positiva

En los reales, cada cuadrado es no negativo; si \(u\ne0\), entonces \(u^2>0\), y lo mismo ocurre con la cuarta potencia \(u^4=(u^2)^2\). Puesto que \((x,y)\ne(0,0)\), al menos uno de los sumandos \(x^2,y^2\) es positivo, de modo que \(x^2+y^2>0\) y \(x^4+y^4>0\). Una suma de términos no negativos que contiene al menos uno estrictamente positivo es estrictamente positiva. Demostraremos cada desigualdad con identidades algebraicas que exhiben esos términos; después contrastaremos ambos resultados por una segunda vía que utiliza precisamente E001(v), según la orientación del enunciado.

Primera desigualdad — la forma cuadrática

Pista 1. Multiplica por \(4\) y busca el cuadrado de \(2x+y\); comprueba qué parte positiva sobra.

Pista 2. Verifica la identidad \(4(x^2+xy+y^2)=(2x+y)^2+3y^2\). Si la suma fuese cero, ¿qué forzarían simultáneamente \(y^2=0\) y \((2x+y)^2=0\)?

Demostración. La distributividad da la identidad exacta

\[ \begin{aligned} 4(x^2+xy+y^2) &=4x^2+4xy+4y^2\\ &=(2x+y)^2+3y^2. \end{aligned} \]

Los dos términos de la última suma son no negativos. Si su suma fuera cero, cada término debería valer cero. En particular, \(3y^2=0\) implica \(y=0\) (pues \(3\ne0\) y el campo carece de divisores de cero); entonces \((2x+y)^2=(2x)^2=0\) implica \(2x=0\) y, como \(2\ne0\), \(x=0\). Esto contradice \((x,y)\ne(0,0)\). Por consiguiente, \((2x+y)^2+3y^2>0\). Al dividir por \(4>0\), concluimos

\[ \boxed{x^2+xy+y^2=\left(x+\frac y2\right)^2+\frac{3y^2}{4}>0.} \]

Controles de los casos límite. Si \(x=0\) y \(y\ne0\), la forma vale \(y^2>0\); si \(y=0\) y \(x\ne0\), vale \(x^2>0\). Si \(x=y=t\ne0\), vale \(3t^2>0\); si \(x=-y=t\ne0\), vale \(t^2>0\). En el único par excluido, \((0,0)\), la expresión vale \(0\), lo que muestra que la hipótesis de no anulación simultánea es necesaria para la afirmación estricta. No se divide por \(x\), \(y\) ni \(x-y\) en la prueba principal.

Segunda desigualdad — la forma de cuarto grado

Pista 1. Agrupa el polinomio de modo que aparezcan \(x^4+y^4\) y el producto \((x^2+y^2)(x+y)^2\).

Pista 2. Comprueba por expansión que el doble de la forma buscada es \((x^2+y^2)(x+y)^2+x^4+y^4\). El primer término es no negativo; explica por qué el segundo es estrictamente positivo cuando \((x,y)\ne(0,0)\), incluso si \(x+y=0\).

Demostración. Expandiendo el producto, sin suponer signo alguno de \(xy\),

\[ \begin{aligned} &(x^2+y^2)(x+y)^2+x^4+y^4\\ &\quad=(x^2+y^2)(x^2+2xy+y^2)+x^4+y^4\\ &\quad=2x^4+2x^3y+2x^2y^2+2xy^3+2y^4. \end{aligned} \]

Por tanto, para cualesquiera reales \(x,y\) se cumple la identidad

\[ \boxed{x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4 =\frac{(x^2+y^2)(x+y)^2+x^4+y^4}{2}.}\tag{1} \]

El producto \((x^2+y^2)(x+y)^2\) es no negativo. Además, de \((x,y)\ne(0,0)\) resulta \(x^4+y^4>0\): al menos una de las dos cuartas potencias es positiva. El numerador de (1) es entonces estrictamente positivo; el denominador \(2\) también lo es. Así queda demostrada la segunda afirmación,

\[ \boxed{x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4>0.} \]

De hecho, (1) proporciona la cota cuantitativa adicional

\[ x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4\ge\frac{x^4+y^4}{2}>0 \qquad ((x,y)\ne(0,0)). \]

Controles de los casos límite. Si \(x=0,y\ne0\), el polinomio es \(y^4>0\); si \(y=0,x\ne0\), es \(x^4>0\). Si \(x=y=t\ne0\), vale \(5t^4>0\). La aparente situación adversa \(x=-y=t\ne0\) anula el primer término del numerador de (1), pero deja \((x^4+y^4)/2=t^4>0\): no hay pérdida de estricta positividad por cancelación. El origen da cero y queda justamente excluido. Un argumento basado en «todos los monomios son positivos» sería incorrecto cuando \(xy<0\), porque \(x^3y\) y \(xy^3\) son entonces negativos; la identidad (1) evita ese error.

Segunda demostración independiente — explotar la pista del ejercicio 1

El ejercicio E001(v) probó, para todo entero positivo \(n\) y sin dividir por \(x-y\), la identidad

\[ x^n-y^n=(x-y)\sum_{k=0}^{n-1}x^{n-1-k}y^k. \]

Por tanto, al elegir \(n=3\) y \(n=5\) obtenemos, respectivamente,

\[ \begin{aligned} x^3-y^3&=(x-y)(x^2+xy+y^2),\\ x^5-y^5&=(x-y)(x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4). \end{aligned} \]

Si \(x\ne y\), el factor \(x-y\) es no nulo. E006(b) demostró sin utilizar E015 que \(t\mapsto t^n\) es estrictamente creciente en todos los reales cuando \(n\) es un entero positivo impar. Si \(x>y\), tanto \(x-y\) como \(x^3-y^3\) y \(x^5-y^5\) son positivos. Si \(x<y\), las tres diferencias son negativas. En ambos casos, los cocientes bien definidos

\[ \frac{x^3-y^3}{x-y}=x^2+xy+y^2, \qquad \frac{x^5-y^5}{x-y}=x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4 \]

son estrictamente positivos porque numerador y denominador tienen el mismo signo. Es solo aquí, tras comprobar \(x\ne y\), donde se divide por \(x-y\).

Si \(x=y\), la hipótesis común exige \(x=y=t\ne0\). Las dos formas se reducen respectivamente a \(3t^2\) y \(5t^4\), estrictamente positivas. Con ello queda completada una segunda demostración de ambas afirmaciones, basada en la factorización de E001(v) y la monotonía de potencias enteras impares ya establecida en E006(b). Esta vía muestra cómo la pista de la fuente conecta factorización, orden y positividad; las identidades de cuadrados de la prueba principal permiten además verificarla sin división por una diferencia variable.

Hipótesis y casos de igualdad

Ambas expresiones se anulan en el origen y son estrictamente positivas fuera de él. Los argumentos cubren también los ejes y la diagonal \(x=y\). La vía alternativa por cocientes solo divide por \(x-y\) después de comprobar que \(x\ne y\).

SPV4-C01-E016* — ¿Cuándo distribuye una potencia sobre una suma? (apartados a–d)

Referencia: Michael Spivak, Calculus, 4.ª ed., capítulo 1, ejercicio 16, pp. 16–17. Formulación reducida al contenido matemático; solución propia de Matemática Abierta.

Problema

Sean \(x,y\in\mathbb R\).

(a) Demuestre que

\[ (x+y)^2=x^2+y^2\quad\Longrightarrow\quad x=0\ \text{o}\ y=0, \]

y que

\[ (x+y)^3=x^3+y^3\quad\Longrightarrow\quad x=0\ \text{o}\ y=0\ \text{o}\ x=-y. \]

(b) Usando \((x+y)^2=x^2+2xy+y^2\ge0\), demuestre que

\[ 4x^2+6xy+4y^2>0 \]

si \(x\) e \(y\) no son ambos cero.

(c) Use (b) para determinar cuándo

\[ (x+y)^4=x^4+y^4. \]

(d) Determine cuándo

\[ (x+y)^5=x^5+y^5. \]

Herramientas y plan

Para potencias enteras positivas solo se precisan la distributividad, el principio de producto nulo y el hecho de que un cuadrado es no negativo. E015* ya demostró que \(x^2+xy+y^2>0\) cuando \((x,y)\ne(0,0)\). Además, (b) proporcionará una segunda forma homogénea estrictamente positiva. El orden de dependencia será (a) → (b) → (c), con E015 disponible para (d). Nunca dividiremos por \(x\), \(y\) o \(x+y\) sin excluir antes su anulación. En las equivalencias demostraremos necesidad y suficiencia, y comprobaremos el origen, los ejes y la antidiagonal \(x=-y\).

(a) Cuadrados y cubos: dos caracterizaciones distintas

Primera tarea, cuadrados — enunciado particular. Caracteriza exactamente las parejas reales tales que \((x+y)^2=x^2+y^2\).

Pista 1. Expande el cuadrado de la suma, sin cancelar un término que dependa de \(x\) o \(y\).

Pista 2. La igualdad se transforma en \(2xy=0\). Como \(2\ne0\), aplica el principio del producto nulo y comprueba la implicación recíproca.

Estrategia y demostración. Por distributividad,

\[ (x+y)^2=x^2+2xy+y^2. \]

Restar \(x^2+y^2\) de ambos miembros transforma la igualdad original, en ambos sentidos, en \(2xy=0\). Como \(2\ne0\), el producto nulo proporciona \(x=0\) o \(y=0\). Recíprocamente, si cualquiera de las variables vale cero, \((x+y)^2\) y \(x^2+y^2\) son el mismo cuadrado. Por tanto,

\[ \boxed{(x+y)^2=x^2+y^2\iff xy=0\iff(x=0\ \text{o}\ y=0).}\tag{a2} \]

Segunda tarea, cubos — enunciado particular. Caracteriza exactamente las parejas reales tales que \((x+y)^3=x^3+y^3\).

Pista 1. Expande \((x+y)^3\) y agrupa los dos términos mixtos.

Pista 2. Factoriza la diferencia como \(3xy(x+y)\); aplica el principio de producto nulo a los tres factores y verifica cada familia de soluciones.

Estrategia y demostración. Las leyes distributivas, aplicadas tres veces, dan

\[ (x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3 =x^3+y^3+3xy(x+y). \]

De aquí se obtienen las equivalencias

\[ (x+y)^3=x^3+y^3 \iff 3xy(x+y)=0 \iff x=0\ \text{o}\ y=0\ \text{o}\ x+y=0. \]

El factor \(3\) es no nulo y el principio del producto nulo se aplica reiteradamente. La última condición equivale a \(x=-y\). Las tres posibilidades son suficientes: en los ejes desaparecen los términos mixtos; si \(y=-x\), ambos miembros son \(0\) porque las potencias impares de opuestos se cancelan. En consecuencia,

\[ \boxed{(x+y)^3=x^3+y^3\iff x=0\ \text{o}\ y=0\ \text{o}\ x=-y.}\tag{a3} \]

Controles conjuntos. El origen pertenece a ambas familias de ejes y a la antidiagonal; son conjuntos que pueden superponerse, lo cual no afecta a la disyunción. El par \((1,-1)\) satisface la igualdad cúbica \(0=1-1\), pero no la cuadrática \(0=1+1\): no deben confundirse las respuestas de los dos exponentes. Para \((1,1)\), \(4\ne2\) y \(8\ne2\).

(b) Una forma cuadrática estrictamente positiva

Enunciado particular. Para cualesquiera reales \(x,y\), prueba \(4x^2+6xy+4y^2>0\) siempre que no sean ambos cero, utilizando \((x+y)^2\ge0\).

Pista 1. Multiplica la identidad \((x+y)^2=x^2+2xy+y^2\ge0\) por una constante positiva y compara con la expresión buscada.

Pista 2. Comprueba que \(4x^2+6xy+4y^2=3(x+y)^2+x^2+y^2\); si toda la suma fuese cero, averigua qué exigiría \(x^2+y^2=0\).

Estrategia y demostración. Por distributividad obtenemos la identidad exacta

\[ \begin{aligned} 4x^2+6xy+4y^2 &=3(x^2+2xy+y^2)+x^2+y^2\\ &=3(x+y)^2+x^2+y^2. \end{aligned} \]

El primer sumando es no negativo, puesto que \(3>0\) y los cuadrados son no negativos. Si \((x,y)\ne(0,0)\), al menos una de las cantidades \(x^2,y^2\) es estrictamente positiva, de modo que \(x^2+y^2>0\). Por ello

\[ \boxed{4x^2+6xy+4y^2=3(x+y)^2+x^2+y^2>0 \quad\text{si }(x,y)\ne(0,0).}\tag{b} \]

Control de la excepción y de la hipótesis. Para \(x=y=0\) la expresión vale exactamente cero; es su único cero, ya que acabamos de demostrar estricta positividad fuera del origen. Sobre \(x=-y=t\ne0\), el término \(3(x+y)^2\) desaparece, pero \(x^2+y^2=2t^2>0\). En los ejes se obtiene respectivamente \(4x^2\) o \(4y^2\), positivo si la coordenada restante es no nula. No se ha alegado que los monomios \(6xy\) sean siempre no negativos: podrían ser negativos.

(c) La cuarta potencia: usar realmente el apartado (b)

Enunciado particular. Determina todos los pares reales tales que \((x+y)^4=x^4+y^4\) y justifica los dos sentidos utilizando la forma positiva probada en (b).

Pista 1. Desarrolla la cuarta potencia y factoriza los términos mixtos por \(xy\).

Pista 2. Comprueba la identidad \((x+y)^4-x^4-y^4=xy(4x^2+6xy+4y^2)\). Si \((x,y)\ne(0,0)\), el segundo factor es estrictamente positivo por (b); trata aparte el origen.

Estrategia y demostración. La expansión binomial —verificable aquí multiplicando dos veces \((x+y)^2\)— da

\[ \begin{aligned} (x+y)^4-x^4-y^4 &=4x^3y+6x^2y^2+4xy^3\\ &=xy(4x^2+6xy+4y^2). \end{aligned} \]

Supongamos que se cumple la igualdad de potencias. Si \((x,y)=(0,0)\), entonces \(xy=0\). Si \((x,y)\ne(0,0)\), (b) afirma que \(4x^2+6xy+4y^2>0\), por lo que ese factor es no nulo. El producto puede valer cero solo si \(xy=0\). Recíprocamente, si \(xy=0\), cada uno de los términos mixtos de la expansión es cero, por lo que las potencias originales son iguales. Así,

\[ \boxed{(x+y)^4=x^4+y^4\iff xy=0\iff(x=0\ \text{o}\ y=0).}\tag{c} \]

Comprobación de un caso límite. En \((1,-1)\), el miembro izquierdo vale \(0\) y el derecho \(2\): a diferencia de la potencia cúbica, la antidiagonal no nula no satisface la igualdad. El caso \((0,0)\) ya está incluido, aunque (b) no garantice allí un factor positivo. En \((2,0)\) y \((0,-2)\) los dos lados coinciden en \(16\).

(d) La quinta potencia: factorización y tratamiento de ceros

Enunciado particular. Determina todos los pares reales tales que \((x+y)^5=x^5+y^5\). Para \(xy\ne0\) deriva la ecuación cúbica orientativa de la fuente y explica por qué solo sobrevive \(x+y=0\).

Pista 1. Los términos mixtos de la expansión de la quinta potencia comparten el factor \(5xy\). Antes de dividir por él, separa los casos \(x=0\) e \(y=0\).

Pista 2. Verifica que \(x^3+2x^2y+2xy^2+y^3=(x+y)(x^2+xy+y^2)\); utiliza la estricta positividad de la segunda forma para \(xy\ne0\) probada en E015*.

Estrategia y demostración. La expansión, obtenida por multiplicación de la fórmula de la cuarta potencia por \(x+y\), conduce a

\[ \begin{aligned} (x+y)^5-x^5-y^5 &=5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4\\ &=5xy\bigl(x^3+2x^2y+2xy^2+y^3\bigr)\\ &=5xy(x+y)(x^2+xy+y^2). \end{aligned} \]

Primero, los ejes. Si \(x=0\) o \(y=0\), la diferencia es cero; esas parejas son soluciones y no hay necesidad de dividir por un factor nulo.

Después, \(xy\ne0\). En esta región, el factor \(5xy\) es no nulo. Por el principio de cancelación, la igualdad original equivale exactamente a la ecuación solicitada en la pista,

\[ x^3+2x^2y+2xy^2+y^3=0. \]

Restando \(xy(x+y)=x^2y+xy^2\) de \((x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3\), observamos que la ecuación anterior equivale también a

\[ (x+y)^3=xy(x+y), \]

que es la relación indicada en el original. Para concluir, no dividimos directamente por \(x+y\), porque esa cantidad podría ser cero y precisamente queremos conservar esa posibilidad. Factorizamos en cambio:

\[ 0=(x+y)^3-xy(x+y) =(x+y)\bigl((x+y)^2-xy\bigr) =(x+y)(x^2+xy+y^2). \]

Como \(xy\ne0\), no se anulan simultáneamente \(x\) e \(y\). E015* demuestra \(x^2+xy+y^2>0\), de modo que el segundo factor es no nulo y necesariamente \(x+y=0\), es decir, \(x=-y\). Esta condición es suficiente: para \(y=-x\), la quinta potencia del lado izquierdo es \(0\) y \(x^5+y^5=x^5+(-x)^5=0\). Por tanto,

\[ \boxed{(x+y)^5=x^5+y^5\iff x=0\ \text{o}\ y=0\ \text{o}\ x=-y.}\tag{d} \]

Controles. En \((1,-1)\), ambos miembros son cero; en \((1,1)\), el primero es \(32\) y el segundo \(2\), por lo que el razonamiento no puede admitir pares arbitrarios de igual signo. El origen pertenece a las tres familias y los puntos \((2,0)\), \((0,-2)\) satisfacen trivialmente la ecuación. La división por \(xy\) se reservó para la región \(xy\ne0\) y nunca se dividió por \(x+y\); así no se pierden soluciones.

Cuadro de resultados y generalización

Exponente	Condición necesaria y suficiente, demostrada aquí
\(2\)	\(x=0\) o \(y=0\).
\(3\)	\(x=0\) o \(y=0\) o \(x=-y\).
\(4\)	\(x=0\) o \(y=0\).
\(5\)	\(x=0\) o \(y=0\) o \(x=-y\).

Conjetura sugerida, NO demostrada aquí: para un entero \(n\ge2\), la identidad \((x+y)^n=x^n+y^n\) parece exigir \(xy=0\) si \(n\) es par, y \(xy=0\) o \(x=-y\) si \(n\) es impar. Su parte de suficiencia es inmediata mediante \(0^n=0\) y la cancelación de potencias impares en la antidiagonal; la necesidad para todo \(n\) no se sigue de haber resuelto solo cuatro exponentes. El libro remite su prueba general a 11-63; se conserva como futura conexión verificable y no como logro cerrado. Para \(n=1\), la igualdad \((x+y)^1=x+y\) se cumple para todos los reales: queda explícitamente fuera de la conjetura para \(n\ge2\).

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SPV4-C01-E017 — Encontrar mínimos mediante cuadrados completos (apartados a–c)

Referencia: Michael Spivak, Calculus, 4.ª ed., capítulo 1, ejercicio 17, p. 17. Formulación reducida al contenido matemático; solución propia de Matemática Abierta.

Problema

Determine el menor valor posible de cada expresión:

(a) \(2x^2-3x+4\).

(b) \(x^2-3x+2y^2+4y+2\).

(c) \(x^2+4xy+5y^2-4x-6y+7\).

Herramienta de trabajo: una cota alcanzada es un mínimo

Para una expresión \(F\) definida en un dominio \(D\), afirmar que su valor mínimo es \(m\) significa demostrar ambas proposiciones:

1. \(F(p)\ge m\) para todo \(p\in D\).
2. Existe por lo menos un \(p_0\in D\) tal que \(F(p_0)=m\).

Si logramos escribir \(F\) como una constante más una suma de cuadrados con coeficientes positivos, obtenemos la cota inferior inmediatamente. Las condiciones de igualdad de cada cuadrado permitirán, además, decidir si el punto donde se alcanza es único. La sola obtención de una cota inferior no asegura que sea el mínimo: debemos exhibir un punto en el que exista igualdad.

(a) Un cuadrado y una constante

Pista 1. Saca factor común \(2\) de los términos cuadrático y lineal. Pregunta qué número debe sumarse a \(x^2-\tfrac32x\) para obtener el cuadrado de \(x-\tfrac34\).

Pista 2. Comprueba la identidad \(2x^2-3x+4=2(x-\tfrac34)^2+\tfrac{23}{8}\); deduce la cota de que el cuadrado es no negativo y determina cuándo desaparece.

Estrategia y demostración. A partir de la identidad \((x-h)^2=x^2-2hx+h^2\), el valor \(h=3/4\) permite reconstruir los dos primeros términos. Realizamos todos los ajustes constantes de manera explícita:

\[ \begin{aligned} 2x^2-3x+4 &=2\left(x^2-\frac32x\right)+4\\ &=2\left[\left(x-\frac34\right)^2-\frac9{16}\right]+4\\ &=2\left(x-\frac34\right)^2+\frac{23}{8}. \end{aligned} \]

Para cualquier \(x\in\mathbb R\), el cuadrado es no negativo y \(2>0\); por tanto,

\[ 2x^2-3x+4\ge\frac{23}{8}. \]

En \(x=3/4\) el cuadrado vale cero y la expresión alcanza efectivamente \(23/8\). Recíprocamente, si alcanzara ese valor en otro punto, la identidad exigiría \(2(x-3/4)^2=0\); por el principio del producto nulo, \(x=3/4\). Así,

\[ \boxed{\min_{x\in\mathbb R}(2x^2-3x+4)=\frac{23}{8}, \qquad\text{alcanzado únicamente en }x=\frac34.} \]

Control. La sustitución directa da \(2(9/16)-3(3/4)+4=9/8-18/8+32/8=23/8\). En \(x=0\) vale \(4>23/8\); no sería correcto ofrecer \(4\) por limitarse a valores enteros de \(x\). Tampoco se precisan raíces de ecuaciones cuadráticas.

(b) Dos cuadrados independientes

Pista 1. Separa los términos que dependen de \(x\) de aquellos que dependen de \(y\). Completa los cuadrados de \(x^2-3x\) y \(2y^2+4y+2\) por separado.

Pista 2. Busca una expresión de la forma \((x-\tfrac32)^2+2(y+1)^2+C\). El mínimo se alcanza solo si ambos cuadrados se anulan a la vez; comprueba que sus dos ecuaciones son compatibles.

Estrategia y demostración. Puesto que no hay término \(xy\), completamos independientemente los cuadrados de ambas variables:

\[ \begin{aligned} x^2-3x+2y^2+4y+2 &=\left(x-\frac32\right)^2-\frac94 +2(y^2+2y+1)\\ &=\left(x-\frac32\right)^2+2(y+1)^2-\frac94. \end{aligned} \]

Ambos cuadrados son no negativos y sus coeficientes son positivos. Por ello, para cualquier pareja real,

\[ x^2-3x+2y^2+4y+2\ge-\frac94. \]

Existe igualdad si \(x=3/2\) e \(y=-1\), que son condiciones simultáneamente realizables. Además, si se alcanzara la cota, tendríamos

\[ \left(x-\frac32\right)^2+2(y+1)^2=0. \]

Una suma de dos números no negativos solo puede ser cero cuando ambos lo son; en consecuencia \(x=3/2\) e \(y=-1\). Hemos demostrado la cota, su consecución y la unicidad:

\[ \boxed{\min_{(x,y)\in\mathbb R^2} (x^2-3x+2y^2+4y+2)=-\frac94, \quad\text{únicamente en }\left(\frac32,-1\right).} \]

Control. Al sustituir la pareja candidata en la fórmula original se obtiene \(9/4-9/2+2-4+2=-9/4\). No hay razón para prohibir un mínimo negativo: la no negatividad corresponde a los cuadrados restantes, no necesariamente a toda la expresión, cuya constante es negativa. Si uno de los cuadrados fuera positivo, el valor excedería estrictamente \(-9/4\).

(c) Un término mixto y una transformación triangular

Pista 1. Los tres términos homogéneos de grado dos se pueden separar como \((x+2y)^2+y^2\). Examina ahora qué desplazamiento del primer cuadrado permite producir el término \(-4x\).

Pista 2. Desarrolla \((x+2y-2)^2+(y+1)^2\) y compara el resultado con la expresión original. Añade la constante que falte y resuelve simultáneamente las ecuaciones \(x+2y-2=0\) e \(y+1=0\).

Estrategia: construir los cuadrados sin perder el término mixto. Empezamos por el bloque cuadrático:

\[ x^2+4xy+5y^2=(x+2y)^2+y^2. \]

Al formar \((x+2y-2)^2\) aparecen \(-4x\) y \(-8y\). Para recuperar el término lineal \(-6y\), completamos después un cuadrado en \(y\). El desarrollo íntegro produce la identidad

\[ \begin{aligned} &x^2+4xy+5y^2-4x-6y+7\\ &\quad=(x+2y-2)^2+(y+1)^2+2. \end{aligned} \]

En efecto, el primer cuadrado es \(x^2+4xy+4y^2-4x-8y+4\); el segundo aporta \(y^2+2y+1\) y la constante adicional \(2\) completa el término independiente \(7\).

Demostración del mínimo. Para todos los reales \(x,y\), la suma de cuadrados es no negativa. Por tanto, la identidad demuestra la cota universal

\[ x^2+4xy+5y^2-4x-6y+7\ge2. \]

Ambos cuadrados desaparecen simultáneamente si y solo si

\[ \begin{cases} x+2y-2=0,\\ y+1=0. \end{cases} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \begin{cases} x=4,\\ y=-1. \end{cases} \]

La pareja \((4,-1)\) pertenece al dominio y cumple ambas ecuaciones. Por tanto la cota se alcanza, y ninguna otra pareja puede producir igualdad:

\[ \boxed{\min_{(x,y)\in\mathbb R^2} (x^2+4xy+5y^2-4x-6y+7)=2, \quad\text{únicamente en }(4,-1).} \]

Control directo. En el punto candidato, la expresión original vale \(16-16+5-16+6+7=2\). También puede verificarse el mínimo partiendo de \(u=x+2y-2\) y \(v=y+1\): para cualesquiera \(u,v\in\mathbb R\) los cuadrados suman una cantidad no negativa, y las ecuaciones \(u=v=0\) tienen la única solución indicada. La presencia del término \(4xy\) impide minimizar los términos de \(x\) y de \(y\) independientemente, como sí se hizo en (b).

Síntesis: valor mínimo y lugar donde se alcanza

(a) Valor mínimo \(23/8\), en \(x=3/4\).

(b) Valor mínimo \(-9/4\), en \((x,y)=(3/2,-1)\).

(c) Valor mínimo \(2\), en \((x,y)=(4,-1)\).

En los tres casos se estableció una identidad exacta «expresión original = suma de cuadrados no negativos + constante», y se probó que los cuadrados se anulan simultáneamente en un único punto. Esta doble comprobación —cota universal y consecución— es la diferencia entre encontrar un candidato y demostrar que es el mínimo global.

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SPV4-C01-E018 — Discriminante, positividad y mínimos de cuadráticas (apartados a–e)

Referencia: Michael Spivak, Calculus, 4.ª ed., capítulo 1, ejercicio 18, p. 17. Formulación reducida al contenido matemático; solución propia de Matemática Abierta.

Problema

(a) Suponga que \(b^2-4c\ge0\). Demuestre que

\[ \frac{-b+\sqrt{b^2-4c}}{2} \quad\text{y}\quad \frac{-b-\sqrt{b^2-4c}}{2} \]

satisfacen \(x^2+bx+c=0\).

(b) Suponga que \(b^2-4c<0\). Demuestre que no existe ningún real \(x\) tal que \(x^2+bx+c=0\); de hecho,

\[ x^2+bx+c>0 \]

para todo \(x\in\mathbb R\).

(c) Use (b) para dar otra demostración de que, si \(x\) e \(y\) no son ambos cero,

\[ x^2+xy+y^2>0. \]

(d) Determine para qué valores de \(\alpha\) se cumple

\[ x^2+\alpha xy+y^2>0 \]

siempre que \(x\) e \(y\) no sean ambos cero.

(e) Determine el menor valor posible de \(x^2+bx+c\) y de \(ax^2+bx+c\), con \(a>0\).

Herramienta común — completar cuadrados y distinguir hipótesis

Para cualquier \(b,c,x\in\mathbb R\), la identidad algebraica

\[ x^2+bx+c=\left(x+\frac b2\right)^2+c-\frac{b^2}{4} =\left(x+\frac b2\right)^2-\frac{b^2-4c}{4} \tag{1} \]

se verifica por expansión. El cuadrado no es negativo; cuando el término constante restante es estrictamente positivo, la cuadrática es positiva para todo real. Cuando el discriminante es no negativo, se puede introducir su raíz cuadrada no negativa; la existencia de raíces reales no negativas se usa en (a), conforme a su significado usual. No necesitaremos extraer raíces en los demás apartados.

(a) Verificar las soluciones propuestas

Pista 1. Escribe \(\Delta=b^2-4c\ge0\) y \(r=\sqrt\Delta\). Calcula \(x+b/2\) para cada candidato.

Pista 2. Sustituye en (1) y usa \(r^2=\Delta\). Si \(\Delta=0\), identifica qué pasa con los signos \(+\) y \(-\).

Demostración. Fijemos \(\Delta=b^2-4c\ge0\) y sea \(r=\sqrt\Delta\ge0\), con \(r^2=\Delta\). Para cada elección de signo, definimos

\[ x_\pm=\frac{-b\pm r}{2}. \]

Estos números son reales porque \(r\) lo es y \(2\ne0\). Además,

\[ x_\pm+\frac b2=\pm\frac r2. \]

Al sustituir en la identidad (1),

\[ \begin{aligned} x_\pm^2+bx_\pm+c &=\left(\pm\frac r2\right)^2-\frac\Delta4\\ &=\frac{r^2-\Delta}{4}=0. \end{aligned} \]

Hemos comprobado directamente ambos candidatos, sin presuponer la fórmula general como teorema. También podemos demostrar que no hay otros: si \(x^2+bx+c=0\), (1) impone \((x+b/2)^2=\Delta/4=(r/2)^2\); la diferencia de cuadrados da \(x+b/2=\pm r/2\), de donde \(x=x_+\) o \(x=x_-\). En consecuencia,

\[ \boxed{\{x\in\mathbb R:x^2+bx+c=0\} =\left\{\frac{-b+\sqrt\Delta}{2},\frac{-b-\sqrt\Delta}{2}\right\} \quad(\Delta\ge0).} \]

Control del caso límite. Si \(\Delta=0\), entonces \(r=0\) y los dos signos describen una sola solución, \(x=-b/2\); no hay que contar dos raíces distintas. Si \(\Delta>0\), \(r>0\) y los candidatos difieren en \(r\), por lo cual son distintos. El caso \(b=0,c=0\) reproduce correctamente la única raíz \(x=0\).

(b) Discriminante negativo: positividad sin raíces

Pista 1. Reescribe la hipótesis como \(4c-b^2>0\).

Pista 2. Usa (1): suma un cuadrado no negativo y una constante estrictamente positiva. ¿Puede esa suma anularse?

Demostración. Puesto que \(\Delta=b^2-4c<0\), tenemos \(4c-b^2>0\). La completación de cuadrados (1) se convierte en

\[ x^2+bx+c=\left(x+\frac b2\right)^2+\frac{4c-b^2}{4}. \]

El primer término es no negativo para todo \(x\), mientras que el segundo es estrictamente positivo porque \(4>0\). Por consiguiente,

\[ \boxed{x^2+bx+c\ge\frac{4c-b^2}{4}>0 \qquad\text{para todo }x\in\mathbb R.} \]

La desigualdad estricta excluye automáticamente la posibilidad \(x^2+bx+c=0\): no existe ninguna raíz real bajo esta hipótesis. La cota inferior se alcanza en \(x=-b/2\), pero su valor sigue siendo positivo.

Control. No estamos diciendo simplemente que la raíz \(\sqrt\Delta\) esté indefinida en los reales: la identidad prueba algo más fuerte, el signo positivo de la expresión original en toda la recta. La condición \(\Delta<0\) es estricta; si \(\Delta=0\), la expresión se anula en \(x=-b/2\), como se demostró en (a).

(c) Positividad de una forma cuadrática de dos variables

Pista 1. Si \(y\ne0\), considera la expresión como un polinomio en \(x\) con coeficientes \(b=y\) y \(c=y^2\). Calcula su discriminante.

Pista 2. Para \(y=0\), la hipótesis \((x,y)\ne(0,0)\) obliga a \(x\ne0\). Trata ese caso aparte y comprueba también la identidad por cuadrados.

Demostración. Sean \(x,y\) reales no ambos nulos. Primero, si \(y\ne0\), la cuadrática en la variable \(x\) tiene \(b=y\) y \(c=y^2\). Su discriminante es

\[ \Delta=y^2-4y^2=-3y^2<0, \]

pues \(y^2>0\). El resultado de (b) proporciona \(x^2+xy+y^2>0\) para todo \(x\).

Si \(y=0\), la hipótesis común fuerza \(x\ne0\). La expresión vale entonces \(x^2>0\). Esta segunda situación no debe incluirse artificialmente en la hipótesis de (b), porque para \(y=0\) su discriminante es cero, no negativo estricto. De este modo,

\[ \boxed{x^2+xy+y^2>0\qquad\text{si }(x,y)\ne(0,0).} \]

Control algebraico independiente. La identidad

\[ x^2+xy+y^2=\left(x+\frac y2\right)^2+\frac{3y^2}{4} \]

hace visible la misma positividad: si \(y\ne0\), el segundo sumando es positivo; si \(y=0\) y \(x\ne0\), el primero es positivo. El único punto en que se anulan ambos es \((0,0)\), excluido por hipótesis. Esta comprobación coincide con la forma ya estudiada en el ejercicio 15*, sin emplearla como premisa.

(d) Caracterización exacta del parámetro

Pista 1. Considera \(x^2+\alpha xy+y^2\) como cuadrática en \(x\) para un \(y\ne0\). Su discriminante es \((\alpha^2-4)y^2\).

Pista 2. Completa el cuadrado. Para refutar un parámetro fuera del intervalo propuesto, prueba la pareja \(y=1\), \(x=-\alpha/2\); distingue el valor cero en los extremos del valor negativo fuera de ellos.

Demostración — suficiencia. Supongamos \(-2<\alpha<2\). Esto equivale a \(\alpha^2<4\), por lo que \(1-\alpha^2/4>0\). Por expansión,

\[ \boxed{x^2+\alpha xy+y^2 =\left(x+\frac{\alpha y}{2}\right)^2 +\left(1-\frac{\alpha^2}{4}\right)y^2.}\tag{2} \]

Si \(y\ne0\), el segundo sumando es estrictamente positivo y el primero no negativo; la forma es positiva, de acuerdo asimismo con (b) porque \(\Delta=(\alpha^2-4)y^2<0\). Si \(y=0\), una pareja no nula exige \(x\ne0\) y la forma se reduce a \(x^2>0\). Así la propiedad requerida se cumple para todos los pares no nulos.

Demostración — necesidad. Supongamos ahora que la forma es estrictamente positiva para toda pareja distinta del origen. En particular, lo debe ser para el par no nulo \((x,y)=(-\alpha/2,1)\). Al sustituir en (2), obtenemos

\[ 0<\left(-\frac\alpha2\right)^2 +\alpha\left(-\frac\alpha2\right)+1 =1-\frac{\alpha^2}{4}. \]

Por tanto \(\alpha^2<4\), equivalente a \(-2<\alpha<2\). La prueba excluye todos los parámetros exteriores, sin suponer que el discriminante negativo sea una condición necesaria por el solo enunciado de (b). Juntando ambos sentidos,

\[ \boxed{x^2+\alpha xy+y^2>0\text{ para todo }(x,y)\ne(0,0) \iff -2<\alpha<2.} \]

Controles de frontera. Para \(\alpha=2\), la forma es \((x+y)^2\) y se anula, por ejemplo, en \((1,-1)\). Para \(\alpha=-2\) es \((x-y)^2\) y se anula en \((1,1)\). Si \(|\alpha|>2\), el test \((-\alpha/2,1)\) produce el valor negativo \(1-\alpha^2/4<0\). En particular, no basta pedir \(|\alpha|\le2\), pues el enunciado exige positividad estricta para cada pareja no nula.

(e) Mínimos de cuadráticas mónicas y de coeficiente principal positivo

Pista 1. En el primer polinomio usa directamente (1). La constante restante es una cota inferior que se alcanza cuando \(x+b/2=0\).

Pista 2. Para el segundo, extrae el factor \(a>0\) de los términos cuadrático y lineal y completa el cuadrado. Comprueba que el mínimo se alcanza en \(x=-b/(2a)\) y conserva el signo correcto de la constante.

Primer mínimo. Sin hipótesis acerca del signo de \(b^2-4c\), la identidad (1) garantiza para todo \(x\in\mathbb R\) la cota

\[ x^2+bx+c=\left(x+\frac b2\right)^2+c-\frac{b^2}{4} \ge c-\frac{b^2}{4}. \]

La igualdad se alcanza en \(x=-b/2\), que es un número real. Si otro \(x\) alcanzara el mismo valor, el cuadrado sería cero y forzaría ese mismo punto. En consecuencia,

\[ \boxed{\min_{x\in\mathbb R}(x^2+bx+c)=c-\frac{b^2}{4}, \quad\text{únicamente en }x=-\frac b2.} \]

Segundo mínimo. Supongamos \(a>0\) y, por tanto, \(a\ne0\). Completando el cuadrado con las divisiones permitidas,

\[ \begin{aligned} ax^2+bx+c &=a\left[x^2+\frac ba x\right]+c\\ &=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+c-\frac{b^2}{4a}. \end{aligned} \]

Como \(a>0\), el primer término es no negativo y se anula exactamente para \(x=-b/(2a)\). La constante es, por consiguiente, una cota inferior alcanzada, y el punto de igualdad es único:

\[ \boxed{\min_{x\in\mathbb R}(ax^2+bx+c) =c-\frac{b^2}{4a},\quad\text{únicamente en }x=-\frac{b}{2a} \quad(a>0).} \]

Controles y límite de las hipótesis. Para \(a=1\), la segunda fórmula reproduce la primera. El mínimo puede ser negativo, nulo o positivo: su signo depende de \(4ac-b^2\), no de que el coeficiente principal sea positivo. Si \(a=0\), el polinomio es lineal o constante y no corresponde aplicar una fórmula con \(1/a\); si \(a<0\), al completar el cuadrado se obtiene una parábola no acotada inferiormente, de modo que no existe mínimo global en \(\mathbb R\). Las fórmulas anteriores requieren exactamente \(a>0\) en el segundo caso.

Síntesis matemática

La identidad de completación de cuadrados permite comprobar las raíces propuestas cuando el discriminante es no negativo; cuando es negativo, prueba positividad estricta del trinomio mónico. Para una forma homogénea en dos variables debe examinarse también el caso en que se anula la variable tratada como parámetro. Una cuadrática con coeficiente principal positivo alcanza su mínimo global en el único punto donde desaparece el cuadrado completado.

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SPV4-C01-E019 — Desigualdad de Schwarz en dos dimensiones (apartados a–d)

Referencia: Michael Spivak, Calculus, 4.ª ed., capítulo 1, ejercicio 19, pp. 17–18. Formulación reducida al contenido matemático; solución propia de Matemática Abierta.

Problema

Para números reales \(x_1,x_2,y_1,y_2\), demuestre la desigualdad de Schwarz

\[ x_1y_1+x_2y_2\le \sqrt{x_1^2+x_2^2}\,\sqrt{y_1^2+y_2^2}. \]

Las raíces son las raíces no negativas.

(a) Demuestre primero que hay igualdad si \(x_1=\lambda y_1\) y \(x_2=\lambda y_2\) para algún \(\lambda\ge0\), y también si \(y_1=y_2=0\). Si \(y_1,y_2\) no son ambos cero y no existe \(\lambda\in\mathbb R\) tal que \(x_1=\lambda y_1\) y \(x_2=\lambda y_2\), use

\[ 0<(\lambda y_1-x_1)^2+(\lambda y_2-x_2)^2 \]

y el ejercicio 18 para completar una primera demostración.

(b) Dé una segunda demostración usando \(2uv\le u^2+v^2\) con

\[ u=\frac{x_i}{\sqrt{x_1^2+x_2^2}},\qquad v=\frac{y_i}{\sqrt{y_1^2+y_2^2}}, \]

para \(i=1,2\).

(c) Dé una tercera demostración a partir de

\[ (x_1^2+x_2^2)(y_1^2+y_2^2) =(x_1y_1+x_2y_2)^2+(x_1y_2-x_2y_1)^2. \]

(d) Deduzca de cada una de las tres demostraciones que la igualdad solo ocurre si \(y_1=y_2=0\) o si existe \(\lambda\ge0\) tal que \(x_1=\lambda y_1\) y \(x_2=\lambda y_2\).

Notación y herramientas

Escribiremos, solo para abreviar las cuentas,

\[ A=x_1^2+x_2^2,\qquad C=y_1^2+y_2^2,\qquad B=x_1y_1+x_2y_2,\qquad D=x_1y_2-x_2y_1. \]

Se cumple \(A,C\ge0\), y \(A=0\) (respectivamente \(C=0\)) exactamente cuando ambos componentes correspondientes son cero. Así, (S) equivale a \(B\le\sqrt A\sqrt C\). La existencia general de las raíces no negativas es una propiedad de los reales que se utiliza aquí como en los ejercicios 7 y 18; las comparaciones algebraicas de cuadrados ya se demostraron en el ejercicio 5. La fórmula \(\sqrt A\sqrt C=\sqrt{AC}\) se justifica porque ambos miembros son no negativos y sus cuadrados son \(AC\).

(a) Primera demostración — una cuadrática de cuadrados

Pista 1. Comprueba directamente las dos situaciones indicadas de igualdad. Si \(C>0\), escribe la suma de cuadrados de la consigna como \(C\lambda^2-2B\lambda+A\) y explica qué impide que se anule cuando los dos pares no son proporcionales.

Pista 2. La ausencia de ceros de esa cuadrática con coeficiente principal positivo descarta un discriminante no negativo por el ejercicio 18(a). Deduce \(B^2<AC\) y ten presente que la conclusión requerida compara \(B\), no \(|B|\), con una cantidad no negativa. Trata también los factores proporcionales negativos.

Demostración de los casos de igualdad anunciados. Si \(C=0\), entonces \(y_1=y_2=0\) y \(B=0=\sqrt A\sqrt C\): hay igualdad para todo par \((x_1,x_2)\). Si \(x_i=\lambda y_i\) para \(i=1,2\) y \(\lambda\ge0\), se tiene \(B=\lambda C\) y \(A=\lambda^2C\); por tanto, \(\sqrt A=\lambda\sqrt C\) y \(\sqrt A\sqrt C=\lambda C=B\). Esto también incluye \(\lambda=0\) y los vectores nulos.

Caso sin proporcionalidad. Supongamos ahora \(C>0\) y que no existe ningún real \(\lambda\) con \(x_1=\lambda y_1\) y \(x_2=\lambda y_2\). Entonces, para cada \(\lambda\in\mathbb R\), por lo menos uno de los dos cuadrados siguientes es estrictamente positivo:

\[ \begin{aligned} q(\lambda) &=(\lambda y_1-x_1)^2+(\lambda y_2-x_2)^2\\ &=C\lambda^2-2B\lambda+A>0. \end{aligned} \]

Por el ejercicio 18(a), si el discriminante de esta cuadrática mónica tras dividir por \(C>0\) fuera no negativo, existiría un valor real de \(\lambda\) que la haría cero. Como eso es imposible, el discriminante ha de ser negativo:

\[ (-2B)^2-4CA<0 \quad\Longrightarrow\quad B^2<AC. \]

Esta falta de proporcionalidad obliga también a \(A>0\): el vector \(x=0\) sí sería proporcional a \(y\) con factor cero. Así \(AC>0\) y \(\sqrt A\sqrt C>0\). Si \(B>0\), la comparación estricta de cuadrados no negativos da \(B<\sqrt A\sqrt C\); si \(B\le0\), la misma desigualdad es inmediata porque el miembro derecho es positivo. En ambos casos, la desigualdad de Schwarz se cumple estrictamente.

Caso proporcional con factor negativo. Finalmente, si \(C>0\) y \(x_i=\lambda y_i\) con \(\lambda<0\), entonces \(B=\lambda C<0\), mientras que \(\sqrt A\sqrt C=|\lambda|C=-\lambda C>0\). La desigualdad vuelve a ser estricta. Por tricotomía entre estos casos, queda probada (S) para todos los números reales, con la condición de igualdad anunciada.

Control. Para \(x=(1,0)\) e \(y=(-1,0)\) hay proporcionalidad con \(\lambda=-1\), pero \(B=-1<1=\sqrt A\sqrt C\). Para \(x=(0,0)\) e \(y=(2,3)\), el factor \(\lambda=0\) da igualdad. El argumento del discriminante no se aplica cuando \(C=0\); ese caso se resolvió al comienzo.

(b) Segunda demostración — normalizar y sumar dos cuadrados

Pista 1. Obtén \(2uv\le u^2+v^2\) al desarrollar \((u-v)^2\ge0\). Si \(A=0\) o \(C=0\), prueba (S) directamente y reserva las divisiones para \(A,C>0\).

Pista 2. Aplica dos veces esa desigualdad a \(u_i=x_i/\sqrt A\) y \(v_i=y_i/\sqrt C\), suma y utiliza \(u_1^2+u_2^2=v_1^2+v_2^2=1\). Conserva la suma de cuadrados que mide la diferencia entre ambos miembros para estudiar la igualdad.

Demostración. La identidad

\[ (u-v)^2=u^2-2uv+v^2\ge0 \quad\Longrightarrow\quad 2uv\le u^2+v^2 \]

vale para todo par real, sin restricciones de signos. Si \(A=0\) o \(C=0\), uno de los pares es nulo, \(B=0=\sqrt A\sqrt C\) y (S) se verifica como igualdad. En adelante supongamos \(A,C>0\); entonces \(\sqrt A,\sqrt C\) son denominadores legítimos. Definamos

\[ u_i=\frac{x_i}{\sqrt A},\qquad v_i=\frac{y_i}{\sqrt C} \qquad(i=1,2). \]

Aplicando \(2uv\le u^2+v^2\) primero para \(i=1\) y después para \(i=2\), y sumando, obtenemos

\[ \begin{aligned} 2\frac{B}{\sqrt A\sqrt C} &=2(u_1v_1+u_2v_2)\\ &\le u_1^2+v_1^2+u_2^2+v_2^2\\ &=\frac{x_1^2+x_2^2}{A} +\frac{y_1^2+y_2^2}{C}=2. \end{aligned} \]

Multiplicamos por el número estrictamente positivo \(\sqrt A\sqrt C/2\) y concluimos \(\boxed{B\le\sqrt A\sqrt C}\).

Igualdad dentro de esta prueba. La diferencia entre las sumas es exactamente

\[ 2-2\frac{B}{\sqrt A\sqrt C} =(u_1-v_1)^2+(u_2-v_2)^2. \]

Hay igualdad si y solo si ambos cuadrados se anulan, esto es, \(x_i/\sqrt A=y_i/\sqrt C\) para \(i=1,2\). Multiplicando por \(\sqrt A>0\) se obtiene \(x_i=\lambda y_i\), con \(\lambda=\sqrt A/\sqrt C>0\). Los casos \(A=0\) y \(C=0\) se habían comprobado directamente; cuando \(A=0<C\), la proporcionalidad se expresa con \(\lambda=0\).

Control. La normalización falla como operación si \(A=0\) o \(C=0\), aunque la desigualdad misma siga siendo válida. Si los pares normalizados son opuestos, su producto escalar es \(-1\) y la desigualdad es estricta; no basta que sean proporcionales con factor negativo.

(c) Tercera demostración — identidad de Lagrange en dos dimensiones

Pista 1. Desarrolla \((x_1y_1+x_2y_2)^2\) y \((x_1y_2-x_2y_1)^2\); localiza los términos cruzados que se cancelan.

Pista 2. Deduce \(B^2\le AC\) del cuadrado no negativo \(D^2\). Compara los números no negativos \(|B|\) y \(\sqrt A\sqrt C\); recuerda que \(B\le|B|\) incluso cuando \(B<0\).

Demostración. La distributividad ofrece una identidad válida sin ninguna hipótesis de no anulación:

\[ \begin{aligned} B^2+D^2 &=(x_1y_1+x_2y_2)^2+(x_1y_2-x_2y_1)^2\\ &=x_1^2y_1^2+2x_1x_2y_1y_2+x_2^2y_2^2\\ &\quad+x_1^2y_2^2-2x_1x_2y_1y_2+x_2^2y_1^2\\ &=(x_1^2+x_2^2)(y_1^2+y_2^2)=AC. \end{aligned} \]

Como \(D^2\ge0\), \(B^2\le AC\). Ambos números \(|B|\) y \(\sqrt A\sqrt C\) son no negativos y sus cuadrados son, respectivamente, \(B^2\) y \(AC\). La comparación de cuadrados no negativos, establecida en el ejercicio 5, implica

\[ B\le|B|\le\sqrt A\sqrt C. \]

Esto demuestra otra vez (S). La identidad proporciona además la desigualdad bilateral \(|B|\le\sqrt A\sqrt C\), que es más fuerte; las condiciones de igualdad de la desigualdad solicitada, sin barras en \(B\), deben examinarse por separado.

Control. Cuando \(x=(1,0)\) e \(y=(0,1)\), \(B=0\), \(D=1\) y \(AC=1\): la desigualdad es estricta. Para \(x=(1,0)\) e \(y=(-1,0)\) se anula \(D\), pero sigue siendo estricta la desigualdad sin barras, ya que \(B=-1<1\). Por tanto, afirmar simplemente «igualdad si \(D=0\)» sería incorrecto para (S).

(d) Condición exacta de igualdad: tres deducciones

Pista 1. En (a), la ausencia de proporcionalidad produjo desigualdad estricta; una proporcionalidad con factor negativo también produjo desigualdad estricta. En (b), para pares no nulos, identifica cuándo se anulan simultáneamente los cuadrados de las diferencias normalizadas.

Pista 2. En (c), la igualdad de (S) exige dos hechos: \(B=|B|\) y \(D=0\). Si \(C>0\), elige una coordenada \(y_j\ne0\) y usa \(D=0\) para mostrar que ambos componentes de \(x\) tienen el mismo factor \(\lambda=x_j/y_j\); luego recupera su signo a partir de \(B=\lambda C\).

Primera deducción: desde (a). El caso \(y=0\) da siempre igualdad. Para \(C>0\), si \(x\) no es proporcional a \(y\), el discriminante negativo proporcionó una desigualdad estricta; si es proporcional con factor negativo, el producto escalar es negativo y la cota es positiva. Solo queda un factor \(\lambda\ge0\), para el cual la igualdad se comprobó directamente.

Segunda deducción: desde (b). Los casos de vector nulo dan igualdad; si \(C>0\) y \(A=0\), \(x=0\cdot y\). Si \(A,C>0\), la identidad final de (b) fuerza, cuando existe igualdad, \(u_1=v_1\) y \(u_2=v_2\). Por tanto \(x_i=(\sqrt A/\sqrt C)y_i\), y ese cociente es positivo. Recíprocamente, si la proporcionalidad tiene factor no negativo, la sustitución inicial de (a), o directamente las sumas de (b), da igualdad.

Tercera deducción: desde (c). Igualdad en

\[ B\le |B|\le\sqrt A\sqrt C \]

requiere simultáneamente \(B\ge0\) y \(D=0\); ambas condiciones son suficientes porque la identidad \(AC=B^2+D^2\) entonces da \(AC=B^2\) y las raíces no negativas satisfacen \(\sqrt A\sqrt C=B\). Si \(C=0\), estamos en el primer caso. Si \(C>0\), al menos una coordenada de \(y\) no es nula. Cuando \(y_1\ne0\), pongamos \(\lambda=x_1/y_1\); la ecuación \(D=x_1y_2-x_2y_1=0\) da \(x_2=\lambda y_2\). Si \(y_1=0\), necesariamente \(y_2\ne0\) y \(D=x_1y_2=0\) fuerza \(x_1=0\); tomando \(\lambda=x_2/y_2\), la misma proporcionalidad queda probada. En cualquiera de los dos casos, \(B=\lambda C\) y, dado que \(C>0\) y \(B\ge0\), se concluye \(\lambda\ge0\).

Las tres pruebas, cada una con su propio control de igualdad, establecen exactamente

\[ \boxed{B=\sqrt A\sqrt C \iff (y_1=y_2=0)\ \text{o}\ \bigl(\exists\lambda\ge0:\ x_1=\lambda y_1,\ x_2=\lambda y_2\bigr).} \]

Casos límite. Si \(y=0\), cualquier \(x\) da igualdad, aunque no pueda escribirse necesariamente como \(\lambda y\). Si \(x=0\) e \(y\ne0\), hay igualdad con \(\lambda=0\). Si \(x=-y\ne0\), los vectores son proporcionales, pero \(B=-C< C=\sqrt A\sqrt C\): el factor negativo debe excluirse. Cuando ninguno es nulo y \(x=\lambda y\) con \(\lambda>0\), hay igualdad, incluidos los casos en que alguna coordenada aislada vale cero.

Síntesis matemática

La primera vía reduce el problema a una cuadrática no negativa y el discriminante del ejercicio 18; la segunda usa dos veces una desigualdad que se obtiene de un cuadrado; la tercera exhibe exactamente la diferencia \(AC-B^2\) como un cuadrado. La información sobre igualdad requiere conservar el signo del producto escalar: dependencia lineal por sí sola, sin orientación, no caracteriza la igualdad de la desigualdad (S).

SPV4-C01-E020 — La proximidad de sumas y diferencias

Referencia: Michael Spivak, Calculus, 4.ª ed., capítulo 1, ejercicio 20, p. 18. Formulación reducida al contenido matemático; solución propia de Matemática Abierta.

Enunciado — formulación española propia

Sean \(x,x_0,y,y_0\in\mathbb R\) y sea \(\varepsilon>0\). Supongamos que ambos números variables se encuentran, respectivamente, a menos de \(\varepsilon/2\) de sus valores de referencia:

\[ |x-x_0|<\frac{\varepsilon}{2},\qquad |y-y_0|<\frac{\varepsilon}{2}. \]

Demuestra las dos conclusiones siguientes:

\[ \boxed{|(x+y)-(x_0+y_0)|<\varepsilon,} \tag{S} \]

\[ \boxed{|(x-y)-(x_0-y_0)|<\varepsilon.} \tag{D} \]

La afirmación se refiere a cualquier elección de los cuatro números reales; no presupone que \(x_0\) o \(y_0\) sean positivos, ni que las diferencias tengan el mismo signo.

Pista 1

Introduce los errores \(h=x-x_0\) y \(k=y-y_0\). Expresa el error de la suma y el de la resta mediante \(h\) y \(k\), sin estimar todavía sus signos.

Pista 2

Aplica la desigualdad triangular a \(h+k\) y a \(h+(-k)\). Recuerda \(|-k|=|k|\), y observa que dos cotas estrictas \(|h|<\varepsilon/2\) y \(|k|<\varepsilon/2\) se suman en una cota también estricta.

Estrategia y demostración

Definamos \(h=x-x_0\) y \(k=y-y_0\). Las hipótesis se convierten exactamente en

\[ |h|<\frac{\varepsilon}{2},\qquad |k|<\frac{\varepsilon}{2}. \tag{H} \]

La desigualdad triangular \(|u+v|\le|u|+|v|\) está demostrada a partir de la definición de valor absoluto en E009 y nuevamente en E014(c). No requiere que los sumandos sean positivos.

Primera conclusión: estabilidad de la suma. Por asociatividad y conmutatividad,

\[ (x+y)-(x_0+y_0)=(x-x_0)+(y-y_0)=h+k. \]

Aplicamos la desigualdad triangular y luego ambas hipótesis del enunciado:

\[ \begin{aligned} |(x+y)-(x_0+y_0)| &=|h+k|\\ &\le|h|+|k|\\ &<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}\\ &=\varepsilon. \end{aligned} \]

El paso estricto se justifica sumando las dos desigualdades estrictas: si \(a<c\) y \(b<d\), entonces \(a+b<c+d\), como se probó en E005(i). Esto demuestra (S).

Segunda conclusión: estabilidad de la diferencia. Reordenamos las restas sin cambiar su significado:

\[ (x-y)-(x_0-y_0)=(x-x_0)-(y-y_0)=h-k=h+(-k). \]

La misma desigualdad triangular, junto con \(|-k|=|k|\) (E014(a)), proporciona

\[ \begin{aligned} |(x-y)-(x_0-y_0)| &=|h+(-k)|\\ &\le|h|+|-k|\\ &=|h|+|k|\\ &<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}\\ &=\varepsilon. \end{aligned} \]

Esto demuestra (D). Se utilizaron las mismas hipótesis, no una condición nueva sobre los signos de \(h\) y \(k\).

Segunda lectura — cotas bilaterales

Las hipótesis equivalen a \(-\varepsilon/2<h<\varepsilon/2\) y \(-\varepsilon/2<k<\varepsilon/2\). Sumándolas resulta \(-\varepsilon<h+k<\varepsilon\). Cambiando los signos de las cotas de \(k\), también \(-\varepsilon/2<-k<\varepsilon/2\); al sumar con las de \(h\) obtenemos \(-\varepsilon<h-k<\varepsilon\). La definición del valor absoluto recupera las dos estimaciones. Esta comprobación es independiente de emplear la desigualdad triangular como una regla ya establecida, pero descansa en las mismas propiedades elementales del orden.

Comprobaciones y alcance exacto

• Errores de signos contrarios. Si \(h=\varepsilon/4\) y \(k=-\varepsilon/4\), la suma coincide exactamente con su referencia, pero la resta difiere de ella en \(\varepsilon/2<\varepsilon\). El signo de cada error no es una hipótesis oculta.
• Errores del mismo signo. Si \(h=k=\varepsilon/4\), la diferencia coincide con su referencia, mientras que el error de la suma es \(\varepsilon/2<\varepsilon\).
• Errores nulos y fronteras. Si \(h=0\) o \(k=0\), ambas estimaciones siguen siendo válidas. No puede sustituirse sin explicación \(|h|<\varepsilon/2\) por \(|h|\le\varepsilon/2\) y mantener una conclusión estricta: para \(h=k=\varepsilon/2\) el error de la suma alcanza exactamente \(\varepsilon\); para \(h=-k=\varepsilon/2\) lo alcanza el de la resta. Con hipótesis no estrictas se obtendrían solamente conclusiones no estrictas.

La condición \(\varepsilon>0\) da sentido a la lectura de \(\varepsilon\) como tolerancia: si \(\varepsilon\le0\), las hipótesis estrictas serían imposibles porque las magnitudes son no negativas, y la implicación formulada sería verdadera solo de manera vacía. Para la demostración sustantiva interesa precisamente \(\varepsilon>0\).

La constante \(\varepsilon/2\) reparte el presupuesto de error entre dos variables. De manera más general, si \(|x-x_0|<\delta_1\) y \(|y-y_0|<\delta_2\) con \(\delta_1,\delta_2>0\), ambos errores —el de la suma y el de la diferencia— son menores que \(\delta_1+\delta_2\). El enunciado corresponde a escoger \(\delta_1=\delta_2=\varepsilon/2\).

SPV4-C01-E021* — Control cuantitativo del error de un producto

Referencia: Michael Spivak, Calculus, 4.ª ed., capítulo 1, ejercicio 21, pp. 18–19. Formulación reducida al contenido matemático; solución propia de Matemática Abierta.

Problema

Sean \(x,x_0,y,y_0\in\mathbb R\) y \(\varepsilon>0\). Si

\[ |x-x_0|<\min\left\{\frac{\varepsilon}{2(|y_0|+1)},\,1\right\}, \qquad |y-y_0|<\frac{\varepsilon}{2(|x_0|+1)}, \]

demuestre que

\[ |xy-x_0y_0|<\varepsilon. \]

Pista 1

Introduce \(h=x-x_0\) y \(k=y-y_0\). Suma y resta un producto intermedio para obtener \(xy-x_0y_0=hy_0+xk\). Aplica la desigualdad triangular y el valor absoluto del producto.

Pista 2

La condición \(|h|<1\) permite controlar el factor variable: \(|x|\le|x_0|+|h|<|x_0|+1\). Sustituye esta cota en \(|hy_0|+|xk|\). Usa las otras dos hipótesis para que cada sumando sea estrictamente menor que \(\varepsilon/2\), incluso si \(x_0=0\) o \(y_0=0\).

Estrategia y demostración

La dificultad consiste en que la diferencia entre productos contiene un factor variable. Para estimarlo, definamos los errores \(h=x-x_0\) y \(k=y-y_0\). La identidad algebraica

\[ \begin{aligned} xy-x_0y_0 &=xy-xy_0+xy_0-x_0y_0\\ &=x(y-y_0)+y_0(x-x_0)\\ &=xk+y_0h \end{aligned} \tag{1} \]

es válida para todos los reales, sin dividir por ninguna variable. E012(i) permite multiplicar valores absolutos y E014(c) proporciona la desigualdad triangular. Por ello,

\[ |xy-x_0y_0|\le |x|\,|k|+|y_0|\,|h|. \tag{2} \]

Primer control: acotar \(x\). Por la definición del mínimo y (H), \(|h|<1\). De \(x=x_0+h\) y la desigualdad triangular resulta

\[ |x|\le |x_0|+|h|<|x_0|+1. \tag{3} \]

El número \(|x_0|+1\) es estrictamente positivo, de modo que está permitido dividir por él y multiplicar por él sin invertir desigualdades. La segunda hipótesis del enunciado y (3) implican

\[ 0\le |x|\,|k| \le (|x_0|+1)|k| < (|x_0|+1)\frac{\varepsilon}{2(|x_0|+1)} =\frac{\varepsilon}{2}. \tag{4} \]

Aquí se usa una desigualdad no estricta al sustituir \(|x|\) por su cota, seguida de una desigualdad estricta procedente de la hipótesis sobre \(k\); esto cubre sin excepción \(k=0\) o \(x=0\).

Segundo control: estimar el otro término. La primera hipótesis del enunciado también implica \(|h|<\varepsilon/[2(|y_0|+1)]\). Puesto que \(|y_0|\le|y_0|+1\) y ambos denominadores son positivos,

\[ 0\le |y_0|\,|h| \le (|y_0|+1)|h| < (|y_0|+1)\frac{\varepsilon}{2(|y_0|+1)} =\frac{\varepsilon}{2}. \tag{5} \]

Es importante no afirmar \(|y_0||h|<|y_0|\varepsilon/[2(|y_0|+1)]\) sin separar el caso \(y_0=0\): multiplicar una desigualdad estricta por cero no conserva la estricticidad. El encadenamiento de (5) evita ese error y cubre \(y_0=0\) directamente.

Finalmente, (2), (4) y (5), junto con la regla de suma de desigualdades estrictas demostrada en E005(i), dan

\[ \begin{aligned} |xy-x_0y_0| &\le |x|\,|k|+|y_0|\,|h|\\ &<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}\\ &=\varepsilon. \end{aligned} \]

Así queda probada la estimación del producto para cualquier elección de \(x,x_0,y,y_0\) y toda tolerancia positiva \(\varepsilon\) que satisfaga las hipótesis.

Otra descomposición y por qué no reemplaza automáticamente a la anterior

También es válida la identidad

\[ xy-x_0y_0=(x-x_0)y+x_0(y-y_0). \]

Pero estimar directamente el primer sumando exigiría una cota para \(|y|\), que las hipótesis ofrecidas no dan inmediatamente en la forma requerida. La elección de (1) aprovecha exactamente el control \(|x-x_0|<1\) para producir (3), mientras que la segunda hipótesis ya controla \(|y-y_0|\). No basta escribir «el producto de dos errores es pequeño»: la identidad exacta contiene términos lineales y sus coeficientes deben quedar acotados.

Una tercera escritura confirma algebraicamente el mecanismo:

\[ xy-x_0y_0=y_0h+x_0k+hk. \]

Agrupar \(x_0k+hk=(x_0+h)k=xk\) recupera (1), sin introducir una nueva hipótesis ni un argumento circular.

Comprobaciones y fronteras

Referencias nulas. Si \(x_0=y_0=0\), las hipótesis dicen \(|x|<\min\{\varepsilon/2,1\}\) y \(|y|<\varepsilon/2\). La demostración sigue funcionando: \(|xy|<\varepsilon/2<\varepsilon\). Si solo \(y_0=0\), el término \(y_0h\) desaparece y el primer control basta; si solo \(x_0=0\), \(|x|<1\) y \(|k|<\varepsilon/2\) controlan \(xk\) sin exigir inversos de las referencias.

Errores nulos. Cuando \(h=0\) o \(k=0\), uno de los términos de (2) desaparece. Las cotas estrictas se conservan porque \(\varepsilon/2>0\); no se fuerza una desigualdad estricta multiplicando por cero.

Función del mínimo. La primera cota reparte el presupuesto de error y la segunda, \(|h|<1\), produce la cota local \(|x|<|x_0|+1\). Si se omitiera esta última condición manteniendo fija la otra cota para \(k\), el enunciado modificado podría fallar. Por ejemplo, con \(\varepsilon=10\), \(x_0=y_0=0\), \(x=4\) e \(y=4\): se cumplen \(|x|<\varepsilon/2=5\) y \(|y|<\varepsilon/2=5\), pero \(|xy|=16>10\). La condición adicional excluye este ejemplo.

Extremos y signo estricto. En las hipótesis, un valor exactamente igual a cualquiera de las cotas está excluido; la demostración no los añade por continuidad ni por una aproximación decimal. Si \(\varepsilon\le0\), las cotas positivas de (H) no pueden verificarse simultáneamente en la interpretación del mínimo y la segunda cota es no positiva: su desigualdad estricta resulta imposible para una magnitud no negativa. En tal caso, la implicación sería vacía; la demostración sustantiva requiere \(\varepsilon>0\).

La prueba utiliza únicamente álgebra de campo, propiedades del orden y valor absoluto ya demostradas en E005, E012 y E014. No requiere límites, continuidad, existencia de raíces ni monotonía de potencias reales.

SPV4-C01-E022* — Inversos: mantenerse lejos de cero y controlar su diferencia

Referencia: Michael Spivak, Calculus, 4.ª ed., capítulo 1, ejercicio 22, p. 19. Formulación reducida al contenido matemático; solución propia de Matemática Abierta.

Problema

Sean \(y,y_0\in\mathbb R\), con \(y_0\ne0\), y \(\varepsilon>0\). Si

\[ |y-y_0|<\min\left\{\frac{|y_0|}{2},\,\frac{\varepsilon|y_0|^2}{2}\right\}, \]

demuestre que

\[ y\ne0 \qquad\text{y}\qquad \left|\frac1y-\frac1{y_0}\right|<\varepsilon. \]

Pista 1

De la desigualdad triangular aplicada a \(y_0=(y_0-y)+y\) se sigue \(|y_0|\le|y-y_0|+|y|\). Combínala con la primera cota de (H) para obtener \(|y|>|y_0|/2>0\) antes de escribir el inverso de \(y\).

Pista 2

Una vez probada la existencia de ambos inversos, expresa su diferencia como \((y_0-y)/(yy_0)\). Emplea la cota inferior de \(|y|\) para controlar el denominador; después utiliza la segunda cota de (H). Evita multiplicar una desigualdad estricta por \(|y-y_0|\) si el error puede valer cero.

Qué se debe demostrar y estrategia

La expresión \(1/y\) no tiene sentido antes de descartar \(y=0\). Por eso la demostración tiene un orden obligatorio: primero se establece una separación uniforme respecto del cero; solo entonces se aplica la identidad algebraica de los inversos y se controla la magnitud del cociente. Esta prueba utiliza exclusivamente operaciones de campo, orden y las propiedades del valor absoluto ya justificadas en E003, E012 y E014.

Primera afirmación — separación efectiva del cero

Escribamos \(d=|y-y_0|\). Como \(y_0\ne0\), tenemos \(|y_0|>0\). Por la definición del mínimo, la hipótesis del enunciado implica

\[ d<\frac{|y_0|}{2} \qquad\text{y}\qquad d<\frac{\varepsilon|y_0|^2}{2}. \tag{1} \]

La desigualdad triangular [E014(c)] aplicada a \(y_0=(y_0-y)+y\), junto con \(|y_0-y|=|y-y_0|\) [E014(a)], proporciona

\[ |y_0|\le |y_0-y|+|y|=d+|y|. \]

Restamos \(d\) y empleamos la primera cota de (1):

\[ \boxed{|y|\ge |y_0|-d>\frac{|y_0|}{2}>0.} \tag{2} \]

Por definición, \(|y|>0\) excluye \(y=0\). Queda establecida la primera afirmación y, además, una cota inferior cuantitativa que se reutilizará. La condición \(y_0\ne0\) era indispensable para obtener un extremo estrictamente positivo y para que \(1/y_0\) esté definido.

Segunda afirmación — estimación de la diferencia de inversos

Ya sabemos que \(y\ne0\) e \(y_0\ne0\), así que todas las fracciones siguientes están definidas. Las reglas de cocientes demostradas en E003 permiten escribir

\[ \frac1y-\frac1{y_0}= \frac{y_0-y}{yy_0}. \tag{3} \]

La identidad de valor absoluto del cociente [E012(iii)] transforma (3) en

\[ \left|\frac1y-\frac1{y_0}\right| =\frac{|y-y_0|}{|y|\,|y_0|} =\frac{d}{|y|\,|y_0|}. \tag{4} \]

Por (2) y \(|y_0|>0\), el denominador satisface \(|y|\,|y_0|>|y_0|^2/2>0\). Como \(d\ge0\), al comparar recíprocos positivos obtenemos una cota no estricta válida incluso si \(d=0\):

\[ 0\le\frac{d}{|y|\,|y_0|} \le\frac{2d}{|y_0|^2}. \tag{5} \]

Para justificar (5) sin suponer \(d>0\), observamos que los denominadores positivos satisfacen \(|y|\,|y_0|\ge|y_0|^2/2\), así que sus recíprocos cumplen \(1/(|y|\,|y_0|)\le2/|y_0|^2\). Multiplicar esta desigualdad por \(d\ge0\) preserva el orden; cuando \(d=0\) ambos lados son cero. No se divide por \(d\). La segunda cota de (1), multiplicada por el factor estrictamente positivo \(2/|y_0|^2\), da

\[ \frac{2d}{|y_0|^2}<\varepsilon. \tag{6} \]

Reuniendo (4)–(6), obtenemos la conclusión estricta:

\[ \boxed{\left|\frac1y-\frac1{y_0}\right| \le\frac{2|y-y_0|}{|y_0|^2}<\varepsilon.} \]

Por tanto, las dos conclusiones del enunciado están demostradas. La primera mitad de la hipótesis garantiza que el inverso de \(y\) existe y acota su denominador; la segunda suministra el presupuesto de error necesario para la desigualdad final.

Otra lectura — el punto exacto donde interviene cada radio

Si \(d=0\), entonces \(y=y_0\ne0\) y la distancia entre los inversos es \(0<\varepsilon\), como también demuestra (5). Si \(d>0\), la estimación más precisa de (2) es \(|y|\ge|y_0|-d\); así,

\[ \left|\frac1y-\frac1{y_0}\right| \le\frac{d}{|y_0|(|y_0|-d)}. \]

El radio \(d<|y_0|/2\) sustituye el denominador variable por una cota uniforme: \(|y_0|-d>|y_0|/2\). El segundo radio exige \(2d/|y_0|^2<\varepsilon\). Se trata de dos funciones lógicas diferentes, no de dos métodos alternativos entre los que pueda escogerse uno solo.

Comprobación de hipótesis, fronteras y contraejemplos

Referencia negativa o pequeña. La prueba depende de \(|y_0|\), nunca del signo de \(y_0\). Para \(y_0=-2\) la primera cota es \(d<1\) y fuerza \(|y|>1\). Si \(|y_0|\) es muy pequeño pero positivo, la primera cota obliga a mantener \(y\) en una vecindad que no toca el cero. No se presupone un número mínimo universal para \(|y_0|\).

La primera restricción es necesaria para esta garantía. Si se conserva solamente \(d<\varepsilon|y_0|^2/2\), tomar \(y_0=1\), \(\varepsilon=4\) e \(y=0\) da \(d=1<2\), pero \(1/y\) es indefinido. Incluso imponiendo \(y\ne0\) por separado, con \(y=1/10\) se tiene \(d=9/10<2\) mientras que \(|1/y-1/y_0|=9>4\): no se obtiene tampoco la estimación pretendida.

La segunda restricción controla la precisión. Si se conserva solo \(d<|y_0|/2\), elegir \(y_0=1\), \(y=3/4\) y \(\varepsilon=1/10\) da \(d=1/4<1/2\) y ambos inversos existen, pero \(|1/y-1/y_0|=1/3>1/10\). La separación del cero no permite prescribir por sí sola una precisión arbitraria.

Extremos estrictos. Los valores \(d=|y_0|/2\) y \(d=\varepsilon|y_0|^2/2\) están excluidos por las hipótesis. No se incorporan mediante argumentos de continuidad: toda la demostración consiste en desigualdades algebraicas. Si \(\varepsilon\le0\), la segunda cota del mínimo es no positiva y ninguna magnitud \(d\ge0\) puede satisfacerla estrictamente; en esa interpretación, la implicación es vacía. Aquí se declara \(\varepsilon>0\) para tratar su contenido no vacío.

La desigualdad probada es una estimación explícita para inversos. No se utiliza como premisa la continuidad de la función recíproca, que puede estudiarse posteriormente a partir de este resultado.

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SPV4-C01-E023* — Elegir cotas explícitas para controlar un cociente

Referencia: Michael Spivak, Calculus, 4.ª ed., capítulo 1, ejercicio 23, p. 19. Formulación reducida al contenido matemático; solución propia de Matemática Abierta.

Problema

Sean \(x,x_0,y,y_0\in\mathbb R\), con \(y_0\ne0\), y \(\varepsilon>0\). Encuentre expresiones \(R_y\) y \(R_x\), en términos de \(\varepsilon,x_0,y_0\), tales que

\[ |y-y_0|<R_y,\qquad |x-x_0|<R_x \]

implique

\[ y\ne0 \qquad\text{y}\qquad \left|\frac{x}{y}-\frac{x_0}{y_0}\right|<\varepsilon. \]

Pista 1

Escribe \(x/y\) como \(x(1/y)\). Antes de formar ese producto, aplica el ejercicio 22* con una tolerancia auxiliar \(\eta\) que permita obtener \(y\ne0\) y \(|1/y-1/y_0|<\eta\) a partir de una condición explícita sobre \(|y-y_0|\).

Pista 2

En el ejercicio 21*, sustituye la segunda variable por \(z=1/y\) y su referencia por \(z_0=1/y_0\). Para alcanzar un error de producto menor que \(\varepsilon\), toma \(\eta=\varepsilon/[2(|x_0|+1)]\) y simplifica el radio de \(x\) usando \(|z_0|=1/|y_0|\). Justifica cada denominador antes de utilizarlo.

Elección explícita de los radios

Una elección suficiente es

\[ R_y=\min\left\{\frac{|y_0|}{2},\frac{\varepsilon |y_0|^2}{4(|x_0|+1)}\right\}, \qquad R_x=\min\left\{1,\frac{\varepsilon |y_0|}{2(|y_0|+1)}\right\}. \tag{R} \]

Ambos radios son estrictamente positivos por \(\varepsilon>0\) e \(y_0\ne0\).

Estrategia: encadenar dos resultados en el orden correcto

La perturbación de \(y\) se debe controlar primero: de otro modo, \(1/y\) podría no existir. Una vez establecida su existencia, el cociente pasa a ser un producto y se aplica el resultado de E021*. Las cotas de (R) reproducen exactamente las hipótesis de esos dos resultados con tolerancias apropiadas. No invocaremos como premisa la continuidad de la división, que es precisamente la conducta cuantitativa que aquí se establece.

Paso 1 — Elegir la tolerancia del inverso y asegurar su existencia

Definamos

\[ \eta:=\frac{\varepsilon}{2(|x_0|+1)}. \tag{1} \]

Como \(|x_0|+1>0\) y \(\varepsilon>0\), tenemos \(\eta>0\). La primera hipótesis y (R) proporcionan

\[ |y-y_0|<\min\left\{\frac{|y_0|}{2}, \frac{\varepsilon|y_0|^2}{4(|x_0|+1)}\right\} =\min\left\{\frac{|y_0|}{2},\frac{\eta|y_0|^2}{2}\right\}. \tag{2} \]

El ejercicio E022*, aplicado con la tolerancia \(\eta\), demuestra en este orden que

\[ \boxed{|y|>\frac{|y_0|}{2}>0,\qquad y\ne0,\qquad \left|\frac1y-\frac1{y_0}\right|<\eta.} \tag{3} \]

La primera conclusión de (3) legitima la expresión \(1/y\) en todas las líneas posteriores. El número \(1/y_0\) existe desde la hipótesis \(y_0\ne0\). No se ha supuesto que \(y_0\) sea positivo.

Paso 2 — Preparar las dos hipótesis del teorema del producto

Pongamos \(z=1/y\) y \(z_0=1/y_0\). Gracias a (3), \(z\) y \(z_0\) son números reales y

\[ |z-z_0|<\eta=\frac{\varepsilon}{2(|x_0|+1)}. \tag{4} \]

Por la identidad de valor absoluto del inverso demostrada en E012(ii),

\[ |z_0|=\left|\frac1{y_0}\right|=\frac1{|y_0|}. \]

La segunda hipótesis, junto con el radio \(R_x\) de (R), se transforma entonces en

\[ \begin{aligned} |x-x_0| &<\min\left\{\frac{\varepsilon|y_0|}{2(|y_0|+1)},1\right\}\\ &=\min\left\{\frac{\varepsilon}{2(|z_0|+1)},1\right\}. \end{aligned} \tag{5} \]

La última igualdad se comprueba sin omitir un factor: como \(|y_0|>0\),

\[ \frac{1}{|z_0|+1} =\frac{1}{\frac1{|y_0|}+1} =\frac{|y_0|}{|y_0|+1}. \]

Las relaciones (4) y (5) son justamente las dos hipótesis cuantitativas de E021* para las variables \(x,z\) y referencias \(x_0,z_0\).

Paso 3 — Aplicar el producto y concluir

El ejercicio E021*, con tolerancia \(\varepsilon\), asegura

\[ |xz-x_0z_0|<\varepsilon. \]

Ahora las identidades \(xz=x/y\) y \(x_0z_0=x_0/y_0\) son legítimas, puesto que ambos denominadores ya han sido declarados no nulos. Por consiguiente,

\[ \boxed{\left|\frac{x}{y}-\frac{x_0}{y_0}\right|<\varepsilon.} \]

Esta desigualdad, junto con \(y\ne0\) demostrado en (3), establece las dos conclusiones y verifica que los radios (R) responden a la consigna.

Comprobación algebraica alternativa — localizar los dos medios errores

La identidad de campo, válida tras (3), permite comprobar directamente la estructura de la prueba:

\[ \frac{x}{y}-\frac{x_0}{y_0} =x\left(\frac1y-\frac1{y_0}\right) +\frac1{y_0}(x-x_0). \tag{6} \]

Del radio \(R_x\le1\) se deduce \(|x|\le|x_0|+|x-x_0|<|x_0|+1\). Las desigualdades triangular y multiplicativa, (3) y (1) proporcionan

\[ \left|x\left(\frac1y-\frac1{y_0}\right)\right| <(|x_0|+1)\eta=\frac\varepsilon2. \]

Además, como \(1/y_0\ne0\) y el primer radio de (5) es positivo,

\[ \left|\frac1{y_0}(x-x_0)\right| <\frac1{|y_0|}\frac{\varepsilon|y_0|}{2(|y_0|+1)} =\frac\varepsilon{2(|y_0|+1)}<\frac\varepsilon2. \]

La suma es estrictamente menor que \(\varepsilon\). Esta segunda lectura confirma la elección de los radios sin utilizar E021* como caja negra; también muestra por qué el radio de \(x\) contiene el mínimo con \(1\).

Controles de dominio, casos frontera y alcance

Referencias nulas y negativas. Se admite \(x_0=0\): el denominador \(|x_0|+1\) continúa siendo positivo. Se admite \(y_0<0\): solo aparecen \(|y_0|\), \(|y_0|^2\) y denominadores positivos. No se admite \(y_0=0\), pues el cociente de referencia no existiría.

Perturbaciones nulas. Si \(x=x_0\) o \(y=y_0\), las estimaciones siguen valiendo; si ambos errores son cero, el error de cocientes es exactamente \(0<\varepsilon\). No se divide por ninguna perturbación ni se multiplica una desigualdad estricta por un factor que pudiera ser cero.

Desigualdades estrictas. Los valores \(|y-y_0|=R_y\) y \(|x-x_0|=R_x\) no satisfacen las hipótesis formuladas. No se asegura que la conclusión falle en esos extremos: (R) es una elección suficiente, no una caracterización de todas las perturbaciones posibles ni un cálculo de radios óptimos.

Tolerancia no positiva. El enunciado original plantea \(\varepsilon\) como parámetro de aproximación. Nuestra solución declara \(\varepsilon>0\) para ofrecer radios positivos y una hipótesis realizable. Si \(\varepsilon\le0\), el resultado \(|x/y-x_0/y_0|<\varepsilon\) no puede darse cuando está definido, y no existirían radios positivos que garanticen esa conclusión para perturbaciones que incluyan \((x,y)=(x_0,y_0)\). Las cotas presentadas aquí se destinan expresamente al caso positivo.

El resultado es una estimación algebraica local de cocientes. La teoría de límites podrá recuperarla más adelante, pero no se utiliza en esta demostración.

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SPV4-C01-E024* — La posición de los paréntesis en una suma finita (apartados a–c)

Referencia: Michael Spivak, Calculus, 4.ª ed., capítulo 1, ejercicio 24, pp. 19–20. Formulación reducida al contenido matemático; solución propia de Matemática Abierta.

Problema

Convengamos que

\[ a_1+\cdots+a_n :=a_1+\bigl(a_2+\bigl(a_3+\cdots+(a_{n-1}+a_n)\cdots\bigr)\bigr). \]

(a) Demuestre que, para \(k\ge1\),

\[ (a_1+\cdots+a_k)+a_{k+1}=a_1+\cdots+a_{k+1}. \]

(b) Si \(n\ge k\), demuestre que

\[ (a_1+\cdots+a_k)+(a_{k+1}+\cdots+a_n)=a_1+\cdots+a_n, \]

con la convención de que la segunda suma vale \(0\) cuando \(n=k\).

(c) Si \(s(a_1,\ldots,a_k)\) es cualquier suma formada con \(a_1,\ldots,a_k\) en ese orden y con cualquier colocación de paréntesis, demuestre que

\[ s(a_1,\ldots,a_k)=a_1+\cdots+a_k. \]

Para \(i\le j\), escribiremos \(S(i,j)\) para la suma derecha \(a_i+\cdots+a_j\) definida arriba; en particular \(S(i,i)=a_i\). La letra (D) designará esta definición, y (A), (B), (C) designarán, respectivamente, las afirmaciones de los apartados (a), (b), (c).

(a) Pistas graduadas

Pista 1. Formula como proposición inductiva (A) para todas las sucesiones de \(k+1\) reales. La universalidad de la hipótesis será necesaria al empezar la sucesión en \(a_2\) en el paso siguiente.

Pista 2. Escribe \(S(1,k+1)=a_1+S(2,k+1)\), mueve solamente los paréntesis de la suma de tres bloques y aplica la hipótesis inductiva a \(a_2,\ldots,a_{k+2}\).

Estrategia y demostración. Probemos \(P(k)\): para cualquier lista \(b_1,\ldots,b_{k+1}\) de números reales, su suma derecha de los primeros \(k\) términos, más el último, coincide con la suma derecha de todos ellos. La formulación cuantifica las listas; no se prueba únicamente para una colección fija.

Caso base \(k=1\). \(S(1,1)+a_2=a_1+a_2=S(1,2)\), por (D), sin modificar paréntesis.

Paso \(k\to k+1\). Suponemos \(P(k)\) para toda lista de \(k+1\) términos. Para \(a_1,\ldots,a_{k+2}\), la definición (D) y la asociatividad solo de tres sumandos dan

\[ \begin{aligned} S(1,k+1)+a_{k+2} &=\bigl(a_1+S(2,k+1)\bigr)+a_{k+2}\\ &=a_1+\bigl(S(2,k+1)+a_{k+2}\bigr)\\ &=a_1+S(2,k+2)\\ &=S(1,k+2). \end{aligned} \tag{1} \]

La tercera igualdad aplica \(P(k)\) al bloque de \(k+1\) términos \(a_2,\ldots,a_{k+2}\), no a la lista original; es legítima por la universalidad declarada. La última igualdad vuelve a (D). Por inducción, (A) vale para todos los \(k\ge1\).

Comprobación. Para \(k=2\) se recupera \((a_1+a_2)+a_3=a_1+(a_2+a_3)\), precisamente el axioma de asociatividad; \(k=1\) no requiere dicho axioma. El paso (1) no invoca (C): solo (D), asociatividad de tres términos e hipótesis sobre un bloque más corto.

(b) Pistas graduadas

Pista 1. Trabaja por inducción sobre el tamaño \(k\) del primer bloque, afirmando simultáneamente el resultado para todos los \(n>k\) y todas las listas de longitud \(n\).

Pista 2. Usa (a) para reemplazar \(S(1,k+1)\) por \(S(1,k)+a_{k+1}\); reagrupa los últimos dos sumandos y reconoce \(a_{k+1}+S(k+2,n)\) por la definición (D).

Estrategia y demostración. Para \(k\ge1\), sea \(Q(k)\) la afirmación (B) para todo \(n>k\) y cualquier lista de \(n\) reales. Manejaremos \(n=k\) por separado, como se acordó en el enunciado.

Caso base \(k=1\). Para \(n>1\), (D) afirma directamente

\[ S(1,1)+S(2,n)=a_1+S(2,n)=S(1,n). \tag{2} \]

Paso \(k\to k+1\). Supongamos \(Q(k)\) para todos los \(n>k\). Consideremos \(n>k+1\). Usando (A), asociatividad de tres bloques, (D) y finalmente \(Q(k)\), obtenemos

\[ \begin{aligned} S(1,k+1)+S(k+2,n) &=\bigl(S(1,k)+a_{k+1}\bigr)+S(k+2,n)\\ &=S(1,k)+\bigl(a_{k+1}+S(k+2,n)\bigr)\\ &=S(1,k)+S(k+1,n)\\ &=S(1,n). \end{aligned} \tag{3} \]

En el último paso, \(n>k\) permite aplicar la hipótesis. Esto demuestra \(Q(k+1)\) y cierra la inducción. Para \(n=k\), la afirmación original se reduce a la identidad trivial según la convención sobre el segundo bloque vacío. La proposición queda probada para todos los \(n\ge k\ge1\) tal como pide el ejercicio.

Comprobación. Si \(k=1\) o si \(n=k+1\), ambos bloques son no vacíos y las fórmulas permanecen definidas. Para \(n=k\), no se finge que \(S(k+1,k)\) haya quedado definido por (D); se hace explícita la convención del vacío. En (3) no se ha sustituido una suma arbitrariamente parentizada por la suma derecha: los bloques ya están definidos por (D), (a) y la hipótesis inductiva.

(c) Pistas graduadas

Pista 1. Examina la última suma binaria de cualquier parentización con al menos dos términos. Sus dos operandos necesariamente son parentizaciones de dos bloques contiguos, el primero de longitud \(\ell\) y el segundo de longitud \(k-\ell\), para algún \(1\le\ell<k\).

Pista 2. Aplica inducción fuerte sobre \(k\): presupón la conclusión para todas las longitudes menores que \(k\), no solo para \(k-1\). Sustituye ambos operandos por sumas derechas de sus bloques y utiliza (b) con \(n=k\) y primer bloque de tamaño \(\ell\).

Estrategia: el árbol binario de la expresión. Una parentización legítima puede pensarse como un árbol cuyas hojas son los sumandos en el orden dado; su raíz es la última operación de suma. La raíz divide las hojas en un prefijo y un sufijo no vacíos. Demostrar que tal corte existe no usa la propiedad que queremos probar: es una consecuencia de la propia sintaxis de una expresión formada con operaciones binarias sobre una lista ordenada. En efecto, si el operando izquierdo terminara en \(a_\ell\), el derecho debe empezar en \(a_{\ell+1}\), pues ningún término puede permutarse, repetirse ni desaparecer.

Demostración por inducción fuerte. Sea \(R(k)\): toda parentización de cualquier lista de \(k\) números reales, respetando su orden, tiene valor \(S(1,k)\).

Caso base \(k=1\). La única expresión es \(s(a_1)=a_1=S(1,1)\). También es inmediato \(k=2\), donde solo existe \(a_1+a_2=S(1,2)\).

Paso inductivo. Fijemos \(k\ge2\) y supongamos \(R(j)\) para cada entero \(1\le j<k\) y todas las listas correspondientes. Sea \(s(a_1,\ldots,a_k)\) una parentización cualquiera. Existe un índice \(\ell\) con \(1\le\ell<k\) y expresiones parentizadas \(s'\) y \(s''\) tales que

\[ s(a_1,\ldots,a_k) =s'(a_1,\ldots,a_\ell)+s''(a_{\ell+1},\ldots,a_k). \tag{4} \]

Como ambas longitudes \(\ell\) y \(k-\ell\) son estrictamente menores que \(k\), las dos aplicaciones de la hipótesis fuerte dan

\[ s'(a_1,\ldots,a_\ell)=S(1,\ell), \qquad s''(a_{\ell+1},\ldots,a_k)=S(\ell+1,k). \tag{5} \]

Al sustituir (5) en (4) y aplicar el resultado ya probado de (b), ahora con \(n=k>\ell\), concluimos

\[ \begin{aligned} s(a_1,\ldots,a_k) &=S(1,\ell)+S(\ell+1,k)\\ &=\boxed{S(1,k)}. \end{aligned} \tag{6} \]

Esto prueba \(R(k)\). Por inducción fuerte, (C) vale para todos los tamaños \(k\ge1\) y para todas las parentizaciones admisibles.

Comprobación con cuatro términos. Por (a) o (b), tanto \(((a_1+a_2)+a_3)+a_4\) como \((a_1+a_2)+(a_3+a_4)\) y \(a_1+((a_2+a_3)+a_4)\) valen \(a_1+(a_2+(a_3+a_4))\). La demostración universal no consiste en enumerar estas posibilidades: cubre cualquier división superior \(\ell\) y después todas las parentizaciones internas por inducción fuerte.

Síntesis y comentario pedagógico

• Qué significa «cualquier suma». La conclusión es independencia de paréntesis, no de orden. Permutar términos utiliza la conmutatividad y constituye una afirmación distinta; aquí no se ha usado.
• Circularidad evitada. Antes de (c), solo se emplea asociatividad de tres sumandos —axioma P1 de la adición— junto con (D), (a) e hipótesis inductivas. Nunca se invoca «asociatividad de cualquier suma finita» como teorema ya disponible.
• Inducción y variables. En (a) la hipótesis cubre cualquier lista, incluida una cola desplazada; en (b) cubre todo \(n>k\) simultáneamente; en (c) cubre todos los tamaños estrictamente menores, porque el corte no necesariamente deja un bloque de longitud \(k-1\).
• Extremos y bloques. Se comprueban \(k=1\), \(k=2\), \(n=k\) y \(n=k+1\). Ambos subárboles de (c) son no vacíos. El bloque vacío de (b) es una convención explicada, no un valor supuesto sin definición.
• Alcance. La prueba se extiende a cualquier conjunto con operación binaria asociativa, por ejemplo a productos finitos en un monoide; no depende del orden de los reales, de límites, de raíces, ni de propiedades de potencias reales. Esa extensión es un comentario, no una tarea adicional atribuida a Spivak.

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SPV4-C01-E025 — Un campo de dos elementos con \(1+1=0\)

Referencia: Michael Spivak, Calculus, 4.ª ed., capítulo 1, ejercicio 25, p. 20. Formulación reducida al contenido matemático; solución propia de Matemática Abierta.

Enunciado — formulación española propia

Considera el conjunto \(F=\{0,1\}\), cuyos dos elementos son distintos. Define en él dos operaciones, denominadas suma y producto, mediante las tablas siguientes. En cada tabla, la entrada de la fila \(a\) y la columna \(b\) es el resultado de operar \(a\) con \(b\).

\(+\)	\(0\)	\(1\)
\(0\)	\(0\)	\(1\)
\(1\)	\(1\)	\(0\)

\(\cdot\)	\(0\)	\(1\)
\(0\)	\(0\)	\(0\)
\(1\)	\(0\)	\(1\)

Comprueba, para todos los elementos de \(F\), que las operaciones cumplen las nueve propiedades algebraicas P1–P9, a pesar de que la primera tabla establece \(1+1=0\). Los símbolos \(0\) y \(1\) designan aquí elementos de \(F\): los resultados de las operaciones se determinan mediante estas tablas, no mediante las reglas de suma y producto de los números reales.

Pistas graduadas

Pista 1. Lee las identidades y las conmutatividades directamente de las filas y columnas. En particular, encuentra el opuesto aditivo de cada elemento y recuerda que el único elemento distinto de cero necesita inverso multiplicativo.

Pista 2. Para verificar asociatividad examina ternas \(a,b,c\in F\): en la suma, una terna con algún cero se reduce mediante la identidad y solo queda la terna \((1,1,1)\); en el producto, basta distinguir si aparece algún cero. Para la distributividad separa los dos posibles valores del factor \(a\).

Estrategia y solución desarrollada

Lectura preliminar de las tablas. Las dos operaciones están bien definidas y son internas: para cada pareja ordenada de elementos existe una única entrada y esta pertenece a \(F\). Sus reglas pueden resumirse, sin presuponer axiomas por demostrar, como

\[ 0+a=a+0=a,\qquad 1\cdot a=a\cdot1=a,\qquad 0\cdot a=a\cdot0=0,\qquad 1+1=0 \quad(a\in F). \]

A continuación verificaremos cada propiedad con el alcance exacto que exige: todas las parejas o ternas de elementos pertinentes.

P1. Asociatividad de la suma. Hay que demostrar \(a+(b+c)=(a+b)+c\) para \(a,b,c\in F\). Si alguna variable vale \(0\), la identidad aditiva obtenida de la tabla hace que ambos miembros sean la suma de las otras dos variables, con el mismo orden. Por ejemplo, si \(b=0\), entonces

\[ a+(0+c)=a+c=(a+0)+c. \]

El argumento es análogo cuando \(a=0\) o \(c=0\). Si ninguna variable es cero, necesariamente \(a=b=c=1\). En ese último caso,

\[ 1+(1+1)=1+0=1=0+1=(1+1)+1. \]

Se han agotado las ocho ternas posibles; por tanto, P1 se cumple.

P2. Existencia de identidad aditiva. La primera fila y la primera columna de la tabla de suma muestran que \(0+a=a+0=a\) para \(a=0\) y para \(a=1\). El elemento distinguido \(0\) actúa como neutro aditivo.

P3. Existencia de opuestos aditivos. Para \(a=0\) se cumple \(0+0=0\). Para \(a=1\) también se cumple \(1+1=0\). Como la tabla es simétrica, las igualdades valen en ambos órdenes. Por consiguiente, los opuestos son

\[ -0=0,\qquad -1=1. \]

En particular, \(1\) es su propio opuesto: esta afirmación se refiere a la operación definida en \(F\).

P4. Conmutatividad de la suma. Las entradas de la tabla de suma son simétricas respecto de la diagonal: \(0+1=1=1+0\) y los pares iguales no cambian al intercambiarse. Por tanto, \(a+b=b+a\) para todas las parejas.

P5. Asociatividad del producto. Queremos \(a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c\). Si alguna variable es \(0\), cada miembro contiene un producto con un factor cero y vale \(0\), según la tabla. Si ninguna es cero, las tres variables son \(1\) y

\[ 1\cdot(1\cdot1)=1=(1\cdot1)\cdot1. \]

Estas dos posibilidades cubren todas las ternas, así que P5 se cumple.

P6. Existencia de identidad multiplicativa distinta de cero. La fila y la columna etiquetadas \(1\) en la tabla de producto dan \(1\cdot a=a\cdot1=a\) para los dos valores de \(a\). Además, \(0\) y \(1\) son, por definición del conjunto, elementos distintos. Se cumplen simultáneamente la identidad multiplicativa y la condición \(1\ne0\).

P7. Inversos multiplicativos de los no nulos. El único elemento de \(F\) diferente de \(0\) es \(1\). La tabla da \(1\cdot1=1\) en ambos órdenes; por ello el inverso multiplicativo requerido existe y es

\[ 1^{-1}=1. \]

P7 no exige inverso multiplicativo de \(0\). De hecho, la tabla muestra que \(0\cdot a=0\) para todo \(a\in F\), de modo que ningún producto con \(0\) podría dar \(1\).

P8. Conmutatividad del producto. La segunda tabla también es simétrica: \(0\cdot1=0=1\cdot0\) y los pares con entradas iguales son inmediatos. Por tanto, \(a\cdot b=b\cdot a\) para todos \(a,b\in F\).

P9. Distributividad. Debemos verificar \(a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c\) para cada terna. En lugar de suponer la regla, dividimos según el valor del factor exterior:

• Si \(a=0\), el miembro izquierdo es \(0\cdot(b+c)=0\) porque \(b+c\in F\); el derecho es \(0\cdot b+0\cdot c=0+0=0\).
• Si \(a=1\), el miembro izquierdo es \(1\cdot(b+c)=b+c\) y el derecho es \(1\cdot b+1\cdot c=b+c\).

Como no existen otros valores para \(a\), la distributividad se cumple para todas las ocho ternas. La distributividad por la derecha se obtiene además de P8: \((b+c)\cdot a=a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c=b\cdot a+c\cdot a\).

Comprobación conjunta y significado del ejemplo

Hemos demostrado individualmente P1–P9; no hemos inferido que alguna de ellas valga solo porque las restantes se verifican. La única pareja de elementos distintos es \(0,1\), la suma satisface \(1+1=0\) por definición y el producto conserva \(1\cdot1=1\). El conjunto con estas operaciones se denomina campo de dos elementos, usualmente \(\mathbb F_2\). En él, la expresión \(1+1\) no es la suma usual de enteros o reales, sino el resultado de la operación que se acaba de definir.

Por qué este ejemplo no satisface también los axiomas de orden P10–P12. De \(1+1=0\) y la existencia y unicidad de opuestos se desprende \(-1=1\). Si existiera un conjunto de positivos \(P\) que satisficiera P10, aplicado a \(1\ne0\) obligaría a que exactamente uno entre \(1\in P\) y \(-1\in P\) fuera verdadero. Como \(-1=1\), ambas afirmaciones son idénticas; no puede cumplirse exactamente una. Así, el ejemplo satisface los axiomas algebraicos P1–P9, pero no los axiomas adicionales de un campo ordenado. Esto distingue lo que los axiomas realmente implican de las propiedades particulares de los números reales.

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Anexo matemático — raíces y potencias reales empleadas en el capítulo

Los axiomas P1–P12 describen las operaciones y el orden, pero no bastan por sí solos para obtener raíces cuadradas de todos los números positivos: el campo ordenado \(\mathbb Q\) proporciona un contraejemplo. Para las afirmaciones que siguen utilizaremos, además, la propiedad del supremo de \(\mathbb R\): todo conjunto no vacío de números reales acotado superiormente posee una mínima cota superior. Esta es una propiedad adicional de los reales, no una consecuencia de P1–P12.

A. Existencia y unicidad de las raíces no negativas

Proposición. Si \(a\ge0\) y \(n\ge2\) es entero, existe un único \(s\ge0\) tal que \(s^n=a\). Cuando \(a=0\), basta tomar \(s=0\). Supongamos, pues, \(a>0\), y definamos

\[ A=\{t\in\mathbb R:t\ge0,\ t^n\le a\}. \]

El conjunto contiene \(0\) y también algún número estrictamente positivo: \(1\in A\) si \(a\ge1\), y \(a\in A\) si \(0<a<1\), pues \(a^n\le a\). Además está acotado: si \(t>1+a\), entonces \(t>1\) y \(t^n\ge t>a\), de modo que \(t\notin A\). Sea \(s=\sup A>0\).

Para números no negativos \(u,v\le M\) usamos la identidad de diferencia de potencias de E001(v):

\[ |u^n-v^n|=|u-v|\sum_{j=0}^{n-1}u^{n-1-j}v^j \le nM^{n-1}|u-v|. \]

Si \(s^n<a\), elegimos \(0<h<1\) suficientemente pequeño para que \(n(s+1)^{n-1}h<a-s^n\). Aplicando la cota con \(u=s+h\) y \(v=s\) resulta \((s+h)^n<a\), así que \(s+h\in A\), contradicción con que \(s\) es cota superior.

Si \(s^n>a\), elegimos \(0<h<s\) tan pequeño que \(ns^{n-1}h<s^n-a\). La misma identidad muestra \((s-h)^n>a\). La potencia entera es estrictamente creciente entre números no negativos, por la factorización anterior: \(0\le u<v\) implica \(u^n<v^n\). Por ello todo \(t\in A\) cumple \(t<s-h\), y \(s-h\) sería una cota superior menor que \(s\), otra contradicción. Se concluye \(s^n=a\). La misma monotonía estricta prueba la unicidad de \(s\).

Escribimos \(s=\sqrt[n]{a}\); en particular quedan construidas \(\sqrt7\), \(\sqrt5\), \(\sqrt2\), \(\sqrt{21}\), la raíz cúbica positiva de \(2\) y las raíces de los discriminantes no negativos que aparecen en el capítulo. Las comparaciones de raíces se hacen después mediante la monotonía de las potencias enteras sobre los no negativos; existencia y orden son pasos lógicamente distintos.

B. Construcción de \(a^x\) y crecimiento estricto para \(a>1\)

La propiedad del supremo implica que los naturales no están acotados superiormente. En efecto, si tuvieran supremo \(s\), habría un natural \(m>s-1\); entonces \(m+1>s\), imposible. De aquí se obtiene la densidad de \(\mathbb Q\): dados \(u<v\), elegimos un entero positivo \(n\) con \(n(v-u)>1\) y el menor entero \(m>nu\). Así, \(nu<m\le nu+1<nv\), de donde \(u<m/n<v\). Podemos repetir el argumento para elegir dos racionales entre cualesquiera dos reales distintos.

Fijemos una base real \(a>1\). Para un racional \(q=m/n\), con \(m\in\mathbb Z\) y \(n\ge1\), definimos \(a^q\) como la única raíz positiva de \(a^m\), donde las potencias enteras negativas significan inversos. Para \(n=1\), la raíz positiva de \(a^m\) es el propio \(a^m\); para \(n\ge2\), la parte A garantiza su existencia. La unicidad de las raíces demuestra que la definición es independiente de la fracción elegida. Elevando a un denominador común se obtienen las leyes \(a^{p+q}=a^pa^q\) para racionales y, para \(p<q\),

\[ \frac{a^q}{a^p}=a^{q-p}>1, \qquad\text{por lo que}\qquad a^p<a^q. \]

La última desigualdad se justifica porque si \(q-p=m/n>0\), entonces \(m>0\), \(a^m>1\) y su raíz positiva de orden \(n\) también es mayor que \(1\).

Para \(x\in\mathbb R\) definimos

\[ a^x=\sup\{a^q:q\in\mathbb Q,\ q\le x\}. \]

El conjunto es no vacío, porque existe algún entero \(N\le x\), y está acotado superiormente: si \(M>x\) es entero, \(q\le x<M\) implica \(a^q<a^M\). Su supremo existe y es positivo. Si \(x=r\) es racional, la definición coincide con \(a^r\): ese valor pertenece al conjunto y es su máximo.

Por último, dados \(x<y\), elegimos racionales \(r,s\) tales que \(x<r<s<y\). La monotonía racional y la definición del supremo implican

\[ a^x\le a^r<a^s\le a^y. \]

Por tanto, \(x<y\Longrightarrow a^x<a^y\) para todo \(a>1\). Además, los exponentes enteros mantienen su significado: \(2^3=8\) y \(3^1=3\). Esta construcción demuestra exactamente las propiedades utilizadas en E004(xi) y E004(xii); no presupone límites, logaritmos ni un teorema posterior de continuidad.

C. La comparación geométrica \(3<\pi\)

Aquí \(\pi\) tiene su significado geométrico usual: si un círculo de radio \(r>0\) tiene longitud de circunferencia \(C\), entonces \(\pi=C/(2r)\). Esta definición y la comparación entre un arco y una línea poligonal inscrita no se derivan de P1–P12; son datos de geometría euclidiana que se declaran explícitamente.

En un círculo de radio \(r\), el hexágono regular inscrito tiene seis lados de longitud \(r\) y perímetro \(6r\). Al intercalar un vértice del círculo entre los extremos de cada lado se obtiene un dodecágono inscrito de perímetro estrictamente mayor que \(6r\): en cada sustitución, la suma de dos nuevas cuerdas supera a la cuerda inicial por la desigualdad triangular estricta en un triángulo no degenerado. La longitud \(C\) de la circunferencia es al menos el perímetro de ese dodecágono. Luego \(C>6r\) y

\[ \boxed{\pi=\frac{C}{2r}>3}. \]

Esta justificación depende de la interpretación geométrica adoptada para \(\pi\) y de la noción usual de longitud de arco. Una prueba exclusivamente desde P1–P12 no sería legítima: esos axiomas no definen la constante \(\pi\). Con el significado habitual explícito, el orden \(-5<3<\pi\) empleado en E004(ix) queda justificado.

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