Divisibilidad por 4 y paridad mediante contraposición
Enunciado
Sea \(n\in\mathbb Z\). Demuestra que
\[ 4\mid n^2 \quad\Longrightarrow\quad n\text{ es par}. \]
Análisis
Una tentación sería interpretar informalmente \(4\mid n^2\) como si pudiéramos «extraer raíces» en una relación de divisibilidad. Esa maniobra no está justificada.
Conviene mirar la forma lógica. La conclusión es «\(n\) es par». Su negación dentro de los enteros es «\(n\) es impar», y esa negación tiene una representación algebraica muy concreta:
\[ n=2k+1 \]
para algún \(k\in\mathbb Z\).
Por eso resulta natural utilizar la técnica de contraposición.
La contrapositiva es:
Si \(n\) es impar, entonces \(4\nmid n^2\).
Solución
Supongamos que \(n\) es impar. Entonces existe \(k\in\mathbb Z\) tal que
\[ n=2k+1. \]
Elevando al cuadrado,
\[ \begin{aligned} n^2 &=(2k+1)^2\\ &=4k^2+4k+1\\ &=4(k^2+k)+1. \end{aligned} \]
Como \(k^2+k\in\mathbb Z\), el número \(n^2\) tiene la forma
\[ 4q+1 \]
para algún \(q\in\mathbb Z\). En particular, no puede ser divisible por \(4\).
Hemos demostrado
\[ n\text{ impar} \quad\Longrightarrow\quad 4\nmid n^2. \]
Ésta es la contrapositiva del enunciado original. Por tanto,
\[ \boxed{ 4\mid n^2 \quad\Longrightarrow\quad n\text{ es par}. } \]
Comprobación
La prueba hace visible el mecanismo. Si \(n\) es impar, su cuadrado siempre puede escribirse como
\[ 4q+1, \]
de modo que deja una unidad después de retirar un múltiplo de \(4\).
Por ejemplo,
\[ 3^2=9=4\cdot2+1, \qquad 5^2=25=4\cdot6+1. \]
Los ejemplos no reemplazan la demostración, pero confirman la estructura obtenida.
Técnica reutilizable
Cuando la conclusión de una implicación tiene una negación que puede parametrizarse de forma útil, la contraposición puede convertir una prueba difícil en un cálculo estructurado.
Relaciones
- Capítulo: Leer y escribir matemáticas (
MA-BCH-0001). - Técnica principal: contraposición.