Existencia y unicidad en una ecuación lineal con parámetros
Enunciado
Sean \(a,b\in\mathbb R\) con
\[ a\ne b. \]
Demuestra que existe un único \(x\in\mathbb R\) tal que
\[ ax+b=bx+a. \]
Análisis
El enunciado contiene dos tareas independientes:
- demostrar que existe al menos una solución;
- demostrar que cualquier solución posible coincide con ella.
Antes de despejar, conviene probar valores estructuralmente simples. El candidato
\[ x=1 \]
hace que ambos miembros sean \(a+b\).
Esto resuelve inmediatamente la existencia. La condición \(a\ne b\) aparecerá al estudiar la unicidad.
Solución
Existencia
Tomemos
\[ x=1. \]
Entonces
\[ a(1)+b=a+b=b+a=b(1)+a. \]
Por tanto, \(x=1\) es una solución.
Unicidad
Sea \(y\in\mathbb R\) una solución cualquiera. Entonces
\[ ay+b=by+a. \]
Reordenamos:
\[ ay-by=a-b. \]
Factorizando,
\[ (a-b)y=a-b. \]
La hipótesis \(a\ne b\) implica
\[ a-b\ne0. \]
Podemos dividir ambos miembros por \(a-b\) y obtener
\[ y=1. \]
Toda solución coincide con el candidato ya encontrado. En consecuencia,
\[ \boxed{x=1} \]
es la única solución.
Comprobación
La hipótesis \(a\ne b\) merece un control específico.
Si la eliminamos y tomamos \(a=b\), la ecuación queda
\[ ax+a=ax+a, \]
que es verdadera para todo \(x\in\mathbb R\).
Por tanto:
- \(a\ne b\) no era necesaria para encontrar la solución \(x=1\);
- sí era necesaria para garantizar que esa solución fuese única.
Técnica reutilizable
En una prueba de existencia y unicidad, las hipótesis pueden desempeñar papeles distintos. Conviene registrar exactamente en cuál de las dos partes se utiliza cada una.
Relaciones
- Capítulo: Leer y escribir matemáticas (
MA-BCH-0001). - Técnica principal: existencia y unicidad.