La prueba histórica de Euler del problema de Basilea
El artículo completo sobre el problema de Basilea desarrolla también la justificación moderna y sus consecuencias.
Lectura comentada de De summis serierum reciprocarum (E41), presentada en 1735 y publicada en 1740. El texto desarrolla los dos recorridos de la memoria, con la notación histórica principal y operaciones explicadas. Los títulos y la prosa explicativa pertenecen a esta lectura; no son una transcripción ni una traducción literal de Euler.
La prueba histórica en el orden de E41
En la memoria de 1735, la suma aparece primero al estudiar los arcos cuyo seno vale \(1\). El producto construido con los ceros del seno llega después. Seguir ese orden permite ver cómo una pregunta sobre los valores de una función trigonométrica condujo a Euler hacia una suma aritmética. Esta lectura conserva las letras principales de E41 y explica sus operaciones; está basada en los §§3–11 y 16–18 del texto latino reproducido por Ian Bruce, contrastado con la traducción de Jordan Bell. [3, 10]
Los distintos arcos que tienen un mismo seno
Euler trabaja con una circunferencia de radio \(1\). Llama \(s\) a la longitud del arco y \(y\) a su seno. En radianes, su ecuación es
\[ y=s-\frac{s^3}{1\cdot2\cdot3} +\frac{s^5}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5}-\cdots. \]
En lugar de dar el arco y calcular el seno, fija \(y\) y busca todos los arcos correspondientes. Para \(y\ne0\) reordena la ecuación:
\[ 1-\frac{s}{y}+\frac{s^3}{3!y}-\frac{s^5}{5!y}+\cdots=0. \]
Si sus raíces son \(A,B,C,\ldots\), Euler la trata como una ecuación algebraica de infinitas dimensiones y escribe la factorización
\[ 1-\frac{s}{y}+\frac{s^3}{3!y}-\cdots =\left(1-\frac{s}{A}\right) \left(1-\frac{s}{B}\right) \left(1-\frac{s}{C}\right)\cdots. \]
Para leer los coeficientes, pongamos \(a=1/A\), \(b=1/B\), \(c=1/C\), etcétera. Euler llama \(\alpha\) a la suma de esos recíprocos y \(\beta\) a la suma de sus productos tomados dos a dos. El coeficiente de \(s\) y la ausencia de un término en \(s^2\) le dan
\[ \alpha=a+b+c+\cdots=\frac1y, \qquad \beta=ab+ac+bc+\cdots=0. \]
Para una colección finita, elevar la primera suma al cuadrado produce los cuadrados individuales y dos veces cada producto de elementos distintos. De allí sale la identidad que Euler aplica a su colección infinita:
\[ Q:=a^2+b^2+c^2+\cdots=\alpha^2-2\beta=\frac1{y^2}. \]
Es el caso inicial de las identidades de Newton utilizadas en el §8. La suma de cuadrados que buscábamos ha aparecido al combinar dos coeficientes de la ecuación del seno.
El caso de seno igual a uno y los denominadores impares
En el §10 Euler toma \(y=1\). Designa por \(p\) la semicircunferencia del círculo de radio \(1\), de modo que \(p=\pi\), y por \(q\) un cuarto de la circunferencia completa, es decir, \(q=\pi/2\). Los arcos cuyo seno es \(1\) son
\[ q,\ -3q,\ 5q,\ -7q,\ 9q,\ldots. \]
Cada raíz es doble: en un máximo del seno la primera derivada se anula, mientras que la segunda no se anula. Esta explicación de la multiplicidad completa la lectura de las parejas de términos que figuran en la memoria. Contando esas multiplicidades, los recíprocos de las raíces son
\[ \frac1q,\ \frac1q,\ -\frac1{3q},\ -\frac1{3q},\ \frac1{5q},\ \frac1{5q},\ldots. \]
Por tanto, la suma de sus cuadrados es
\[ Q=\frac2{q^2}\left(1+\frac1{3^2}+\frac1{5^2}+\cdots\right). \]
Como antes se había obtenido \(Q=1/y^2\), al poner \(y=1\) resulta \(Q=1\). Entonces
\[ 1+\frac1{3^2}+\frac1{5^2}+\cdots =\frac{q^2}{2}=\frac{\pi^2}{8}. \]
Este es el cálculo del §11. Si llamamos \(S\) a la suma sobre todos los enteros positivos, los índices pares contribuyen
\[ \frac1{2^2}+\frac1{4^2}+\frac1{6^2}+\cdots=\frac14S. \]
La suma sobre los impares es, por ello, \(S-S/4=3S/4\). La igualdad anterior da \(3S/4=\pi^2/8\), y finalmente
\[ S=\frac43\,\frac{\pi^2}{8}=\frac{\pi^2}{6}. \]
La memoria presenta así una solución antes de introducir la factorización construida con los ceros. En el §10 Euler también observa que la suma de los recíprocos, sin elevarlos al cuadrado, reproduce la serie de Leibniz para \(\pi/4\). Esa coincidencia le sirve como comprobación de su procedimiento. El control de convergencia que exige hoy el paso de coeficientes a sumas infinitas pertenece a la justificación analítica; las identidades algebraicas finitas no lo proporcionan automáticamente.
El caso de seno igual a cero
En el §16 Euler vuelve sobre \(y=0\). No puede sustituir ese valor en la ecuación dividida por \(y\): debe regresar a la ecuación inicial del seno. Escribe entonces
\[ 0=s-\frac{s^3}{3!}+\frac{s^5}{5!}-\frac{s^7}{7!}+\cdots. \]
La raíz \(s=0\) se elimina al dividir por \(s\). Permanecen las raíces \(p,-p,2p,-2p,\ldots\), y la expresión resultante es
\[ 1-\frac{s^2}{3!}+\frac{s^4}{5!}-\cdots. \]
Euler asigna a cada raíz su factor lineal y reúne los factores correspondientes a raíces opuestas:
\[ \left(1-\frac{s}{np}\right)\left(1+\frac{s}{np}\right) =1-\frac{s^2}{n^2p^2}. \]
De ese modo obtiene la igualdad
\[ 1-\frac{s^2}{3!}+\frac{s^4}{5!}-\cdots =\left(1-\frac{s^2}{p^2}\right) \left(1-\frac{s^2}{4p^2}\right) \left(1-\frac{s^2}{9p^2}\right)\cdots. \]
En el §17 compara el término cuadrático. Su magnitud es \(1/(1\cdot2\cdot3)\), mientras que la suma de las magnitudes aportadas por los factores es
\[ \frac1{p^2}+\frac1{4p^2}+\frac1{9p^2}+\cdots=\frac16. \]
Como \(p=\pi\), la suma de Basilea vuelve a ser \(\pi^2/6\). Euler continúa con los productos tomados dos a dos y tres a tres. Si \(a_n=1/(n^2p^2)\), los coeficientes le proporcionan
\[ \alpha=\sum_n a_n=\frac1{3!},\qquad \beta=\sum_{i<j}a_i a_j=\frac1{5!},\qquad \gamma=\sum_{i<j<k}a_i a_j a_k=\frac1{7!}. \]
Aplicando las identidades de Newton del §8, calcula
\[ \sum_n a_n^2=\alpha^2-2\beta=\frac1{90}, \qquad \sum_n a_n^3=\alpha^3-3\alpha\beta+3\gamma=\frac1{945}. \]
Al restituir los factores \(p^4\) y \(p^6\), aparecen \(\sum n^{-4}=\pi^4/90\) y \(\sum n^{-6}=\pi^6/945\). En el §18 enumera los resultados hasta la potencia duodécima. La prueba histórica comprende tanto la identificación de la suma de cuadrados como un procedimiento para seguir calculando otras sumas.
El paso que requiere una justificación adicional es la factorización infinita y el uso de sus coeficientes. El artículo principal establece directamente el producto del seno mediante identidades finitas y controla el límite. Así queda visible qué razonamiento pertenece a la memoria de Euler y cómo puede completarse con herramientas actuales.
Referencias y relación con el artículo
[3] Leonhard Euler. De summis serierum reciprocarum, E41, Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae, 7 (1740), pp. 123–134. Presentación de 1735. Traducción inglesa de Jordan Bell: https://arxiv.org/abs/math/0506415.
[10] Texto latino reproducido por Ian Bruce, páginas digitales 10–17: https://www.17centurymaths.com/contents/euler/e041tr.pdf.
Artículo principal: Euler y el problema de Basilea. Allí se conserva íntegramente esta lectura y se desarrolla la demostración moderna que justifica el producto del seno, además de sus consecuencias.