La norma en matemáticas: medir magnitudes, distancias y estructuras
La norma en matemáticas: medir magnitudes, distancias y estructuras
Una norma asigna a cada vector una magnitud no negativa, compatible con la multiplicación por escalares y con la suma. Sus requisitos esenciales son la positividad definida, la homogeneidad absoluta y la desigualdad triangular. La elección de una norma permite definir distancias, bolas, convergencia y continuidad; no toda norma procede de un producto interno y no toda distancia procede de una norma.
¿Qué significa medir un objeto matemático? En geometría euclidiana hablamos de longitudes. En análisis podemos querer medir el tamaño de una función, el error de una aproximación o cuánto amplifica una transformación lineal una perturbación. No buscamos una fórmula universal, sino las propiedades que deben compartir distintas maneras coherentes de medir.
Objetivo de lectura. Reconocer y demostrar que una función es una norma; distinguir normas, métricas y seminormas; demostrar consecuencias fundamentales; comparar las normas principales de \(\mathbb R^n\); y explicar el papel de la norma en análisis. Para la sección sobre normas \(p\) generales conviene conocer desigualdades elementales y derivación.
1. De Pitágoras a la idea de norma
1.1. Recordatorio: la longitud de la hipotenusa
El teorema de Pitágoras afirma que, en un triángulo rectángulo con catetos de longitudes \(a\) y \(b\) e hipotenusa de longitud \(c\),
\[ c^2=a^2+b^2,\qquad c=\sqrt{a^2+b^2}, \]
porque la longitud \(c\) es no negativa. Un desplazamiento de \(3\) unidades horizontales y \(4\) verticales tiene longitud \(\sqrt{3^2+4^2}=5\). Las componentes de un vector \(v=(x,y)\) forman los catetos; su longitud habitual es
\[ L(v)=\sqrt{x^2+y^2}. \]
Los signos indican el sentido del desplazamiento, pero no afectan a la longitud.
1.2. Del plano a espacios con más coordenadas
En el espacio tridimensional aplicamos Pitágoras dos veces: a la proyección horizontal y después a esta proyección junto con la componente vertical. Así,
\[ L(x,y,z)=\sqrt{(x^2+y^2)+z^2}=\sqrt{x^2+y^2+z^2}. \]
El patrón se extiende a \(n\) coordenadas reales:
\[ \boxed{L(x_1,\ldots,x_n)=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}.} \]
Para \(n>3\) no precisamos visualizar literalmente el espacio: la fórmula expresa la generalización algebraica de la longitud euclidiana. Más adelante la llamaremos norma euclidiana y verificaremos sus axiomas: el nombre geométrico no sustituye una prueba.
1.3. ¿Es ésta la única manera razonable de medir?
Para el vector \(v=(3,4)\) podemos obtener mediciones distintas:
\[ \underbrace{\sqrt{3^2+4^2}}_{5},\qquad \underbrace{|3|+|4|}_{7},\qquad \underbrace{\max\{|3|,|4|\}}_{4}. \]
Las tres reglas se generalizan al plano:
\[ \|v\|_1=|v_1|+|v_2|,\qquad \|v\|_2=\sqrt{v_1^2+v_2^2},\qquad \|v\|_\infty=\max\{|v_1|,|v_2|\}. \]
¿Por qué llamar «medidas» a todas? Aunque asignan números distintos, únicamente el vector cero tiene medida cero; escalar un vector multiplica su medida por el valor absoluto del factor; y la medida de una suma no supera la suma de medidas.
Para \((3,4)\), explica por qué las tres reglas dan \(5\), \(7\) y \(4\). Si duplicamos el vector, ¿qué ocurre con cada resultado? ¿Podría una regla que asigna la misma medida a \(v\) y a \(2v\), con \(v\ne0\), expresar una longitud compatible con la escala?
El paso conceptual es abandonar la exigencia de una fórmula pitagórica, pero conservar las propiedades que hacen coherente la medición. No toda norma satisface una identidad pitagórica: esta pertenece a la geometría de los productos internos, no a la definición general.
2. Definición rigurosa de norma
Definición. Sea \(V\) un espacio vectorial sobre \(\mathbb K\), con \(\mathbb K=\mathbb R\) o \(\mathbb C\). Una norma es una aplicación
\[ \|\cdot\|:V\longrightarrow[0,\infty) \]
que satisface, para cualesquiera \(x,y\in V\) y \(\lambda\in\mathbb K\):
- Positividad definida: \(\|x\|=0\) si y sólo si \(x=0\).
- Homogeneidad absoluta: \(\|\lambda x\|=|\lambda|\,\|x\|\).
- Desigualdad triangular: \(\|x+y\|\le\|x\|+\|y\|\).
El codominio asegura \(\|x\|\ge0\). Se llama espacio vectorial normado al par \((V,\|\cdot\|)\). La primera propiedad impide que un vector no nulo tenga magnitud cero; la segunda rige los cambios de escala, incluido \(\|-x\|=\|x\|\); la tercera controla las sumas, sin afirmar que la magnitud de una suma sea siempre la suma de magnitudes: puede haber cancelación.
La norma de un vector o de una función, en este sentido, no debe confundirse sin más con la norma de un elemento de una extensión de cuerpos en teoría algebraica de números: comparten una palabra, pero no sus axiomas ni sus objetivos.
3. Primeras consecuencias de los axiomas
Proposición 1 (opuesto, resta y sumas finitas). Para \(x,y\in V\) y \(x_1,\ldots,x_m\in V\), con \(m\ge1\),
\[ \|-x\|=\|x\|,\qquad \|x-y\|\le\|x\|+\|y\|,\qquad \left\|\sum_{j=1}^{m}x_j\right\|\le\sum_{j=1}^{m}\|x_j\|. \]
Demostración. La primera identidad es la homogeneidad con \(\lambda=-1\). Aplicar la triangular a \(x+(-y)\) prueba la segunda. La tercera sigue por inducción: vale como igualdad para \(m=1\) y, si vale para \(m\), entonces
\[ \left\|\sum_{j=1}^{m+1}x_j\right\| \le\left\|\sum_{j=1}^{m}x_j\right\|+\|x_{m+1}\| \le\sum_{j=1}^{m+1}\|x_j\|.\quad\square \]
Proposición 2 (desigualdad triangular inversa). Para todo \(x,y\in V\),
\[ \boxed{\big|\|x\|-\|y\|\big|\le\|x-y\|.} \]
Estrategia. Compara \(\|x\|\) con \(\|y\|\), escribiendo \(x=(x-y)+y\), e intercambia luego los papeles.
Demostración. La triangular da \(\|x\|\le\|x-y\|+\|y\|\), por lo que \(\|x\|-\|y\|\le\|x-y\|\). Intercambiando \(x\) e \(y\) y usando \(\|y-x\|=\|x-y\|\), también \(\|y\|-\|x\|\le\|x-y\|\). Juntas equivalen al valor absoluto anunciado. \(\square\)
Consecuencia. La función \(x\mapsto\|x\|\) es \(1\)-Lipschitz para la distancia asociada y, en particular, continua. No necesitamos derivadas ni un producto interno.
4. De una norma a una distancia
Teorema 3. Toda norma en \(V\) define una métrica por
\[ \boxed{d(x,y)=\|x-y\|.} \]
Demostración. Tenemos \(d(x,y)\ge0\) y \(d(x,y)=0\) exactamente cuando \(x-y=0\), es decir, \(x=y\). Además, \(d(x,y)=\|x-y\|=\|-(y-x)\|=d(y,x)\). Finalmente, como \(x-z=(x-y)+(y-z)\), la desigualdad triangular da
\[ d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z). \]
Son precisamente los axiomas de una métrica. \(\square\)
Una métrica inducida por una norma también es invariante por traslaciones y compatible con escalas:
\[ d(x+a,y+a)=d(x,y),\qquad d(\lambda x,\lambda y)=|\lambda|d(x,y). \]
La recíproca general es falsa. En \(\mathbb R\), la métrica discreta vale \(0\) si \(x=y\) y \(1\) si \(x\ne y\). Si viniera de una norma, tendríamos \(\|1\|=1\) y la homogeneidad daría \(\|2\|=2\); sin embargo, la propia métrica exige \(\|2\|=d(2,0)=1\): contradicción.
¿Dónde empleamos positividad definida? ¿En qué paso usamos homogeneidad con \(-1\)? ¿Qué axioma de la norma proporciona la desigualdad triangular de la distancia?
5. Tres normas fundamentales en espacios de coordenadas
Sea \(n\ge1\) y \(x=(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb K^n\).
5.1. La norma \(1\)
\[ \|x\|_1=\sum_{i=1}^{n}|x_i|. \]
Es no negativa y se anula exactamente si todas las coordenadas son cero. La homogeneidad resulta de \(|\lambda x_i|=|\lambda||x_i|\). Por la desigualdad triangular escalar, coordenada a coordenada,
\[ \|x+y\|_1=\sum_i|x_i+y_i| \le\sum_i(|x_i|+|y_i|)=\|x\|_1+\|y\|_1. \]
Por tanto, es una norma.
5.2. La norma del máximo
\[ \|x\|_\infty=\max_{1\le i\le n}|x_i|. \]
Positividad definida y homogeneidad se verifican directamente. Para cada índice,
\[ |x_i+y_i|\le|x_i|+|y_i|\le\|x\|_\infty+\|y\|_\infty. \]
Tomar el máximo del lado izquierdo demuestra la propiedad triangular.
5.3. La norma euclidiana
\[ \|x\|_2=\left(\sum_{i=1}^{n}|x_i|^2\right)^{1/2}. \]
La positividad definida sigue de que los sumandos son no negativos; la homogeneidad, de \(|\lambda x_i|^2=|\lambda|^2|x_i|^2\). Falta demostrar la triangular: no podemos presuponerla por haber llamado «longitud» a la fórmula.
Demostración de la propiedad triangular. Con el producto interno usual \(\langle x,y\rangle=\sum_i x_i\overline{y_i}\), la desigualdad de Cauchy–Schwarz afirma \(|\langle x,y\rangle|\le\|x\|_2\|y\|_2\). En consecuencia,
\[ \begin{aligned} \|x+y\|_2^2 &=\|x\|_2^2+2\operatorname{Re}\langle x,y\rangle+\|y\|_2^2\\ &\le\|x\|_2^2+2\|x\|_2\|y\|_2+\|y\|_2^2\\ &=(\|x\|_2+\|y\|_2)^2. \end{aligned} \]
Ambos extremos son no negativos: tomar raíces cuadradas conserva el orden y da \(\|x+y\|_2\le\|x\|_2+\|y\|_2\). \(\square\)
Dependencia lógica. La prueba usa Cauchy–Schwarz, que debe demostrarse a partir del producto interno, sin presuponer esta misma desigualdad triangular euclidiana. Véanse «La desigualdad de Cauchy–Schwarz» y «La desigualdad triangular». La desigualdad triangular escalar es un resultado anterior diferente. Los vínculos complementan, no sustituyen, la prueba local.
6. La forma de las bolas unitarias
La bola unitaria cerrada es \(B=\{x:\|x\|\le1\}\). En \(\mathbb R^2\):
- Para \(\|x\|_1\le1\), es un rombo con vértices \((\pm1,0)\) y \((0,\pm1)\).
- Para \(\|x\|_2\le1\), es el disco euclidiano de radio uno.
- Para \(\|x\|_\infty\le1\), es el cuadrado \([-1,1]^2\).
Aunque tienen formas diferentes, todas contienen el origen, son simétricas respecto de él y convexas.
Proposición 4 (convexidad). Si \(\|x\|\le1\), \(\|y\|\le1\) y \(0\le t\le1\), entonces
\[ \|tx+(1-t)y\|\le t\|x\|+(1-t)\|y\|\le1. \]
Combinamos triangular y homogeneidad; esto demuestra la convexidad sin recurrir al dibujo. La misma prueba funciona para una bola cualquiera después de trasladar y reescalar. \(\square\)
Pregunta de diagnóstico. ¿Bastan convexidad y simetría para que cualquier conjunto sea la bola unitaria de una norma? No: en dimensión finita también hacen falta condiciones adicionales, como acotación y que el origen sea interior. No confundir propiedades necesarias con una caracterización completa.
7. ¿Cuándo hay igualdad en la desigualdad triangular?
La desigualdad triangular es un axioma general, pero sus condiciones de igualdad dependen de la norma. Con \(x=(1,0)\) e \(y=(0,1)\),
\[ \|x+y\|_1=2=\|x\|_1+\|y\|_1, \qquad \|x+y\|_2=\sqrt2<2. \]
Para la norma euclidiana real, hay igualdad exactamente si uno de los vectores es cero o ambos son múltiplos no negativos de un mismo vector no nulo. En efecto, al elevar al cuadrado y desarrollar, la igualdad equivale a \(\langle x,y\rangle=\|x\|_2\|y\|_2\). Para vectores no nulos, la igualdad de Cauchy–Schwarz exige dependencia lineal; el signo positivo fuerza el mismo sentido. Recíprocamente, si \(x=au\), \(y=bu\), con \(a,b\ge0\), la homogeneidad da
\[ \|x+y\|_2=(a+b)\|u\|_2=\|x\|_2+\|y\|_2. \]
El caso nulo es inmediato. \(\square\)
Para la norma \(1\) real, la igualdad se cumple si y sólo si \(x_i y_i\ge0\) para cada coordenada. La diferencia entre ambos miembros es la suma de términos no negativos \(|x_i|+|y_i|-|x_i+y_i|\); se anula exactamente cuando cada término se anula.
8. Las normas \(p\) y la frontera \(p=1\)
Para \(1\le p<\infty\), definimos
\[ \|x\|_p=\left(\sum_{i=1}^{n}|x_i|^p\right)^{1/p}. \]
Teorema 5. Esta expresión es una norma para cada \(p\ge1\) (finito). Positividad definida y homogeneidad son inmediatas, y el caso \(p=1\) ya se probó. Para demostrar la triangular cuando \(p>1\) estableceremos dos desigualdades auxiliares.
Lema (Young). Si \(p,q>1\), \(1/p+1/q=1\) y \(a,b\ge0\), entonces
\[ ab\le\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}. \]
Demostración. Para \(b=0\) es inmediato. Si \(b>0\), la función \(F(t)=t^p/p-bt+b^q/q\), para \(t\ge0\), tiene derivada \(F'(t)=t^{p-1}-b\). Su mínimo se alcanza en \(t=b^{1/(p-1)}\) y allí \(F(t)=0\), dado que \(q=p/(p-1)\). Por ello \(F(a)\ge0\). \(\square\)
Lema (Hölder finita). Con esos exponentes conjugados,
\[ \sum_i|a_i b_i|\le \left(\sum_i|a_i|^p\right)^{1/p} \left(\sum_i|b_i|^q\right)^{1/q}. \]
Demostración. Denotemos por \(A\) y \(B\) las raíces del lado derecho. Si alguna es cero, todos los productos son cero. Si son positivas, aplicamos Young a \(|a_i|/A\) y \(|b_i|/B\) y sumamos:
\[ \sum_i\frac{|a_i b_i|}{AB} \le\frac1p\sum_i\frac{|a_i|^p}{A^p} +\frac1q\sum_i\frac{|b_i|^q}{B^q} =\frac1p+\frac1q=1. \]
Multiplicar por \(AB\) concluye. \(\square\)
Demostración de Minkowski finita. Escribamos \(S=\sum_i|x_i+y_i|^p\). Si \(S=0\), la desigualdad es trivial. Si \(S>0\), la triangular escalar seguida de Hölder, aplicada al segundo factor \(|x_i+y_i|^{p-1}\) con \(q=p/(p-1)\), produce
\[ \begin{aligned} S&\le\sum_i(|x_i|+|y_i|)|x_i+y_i|^{p-1}\\ &\le(\|x\|_p+\|y\|_p) \left(\sum_i|x_i+y_i|^{(p-1)q}\right)^{1/q}\\ &=(\|x\|_p+\|y\|_p)S^{(p-1)/p}. \end{aligned} \]
Dividimos por \(S^{(p-1)/p}>0\) y obtenemos
\[ \boxed{\|x+y\|_p\le\|x\|_p+\|y\|_p.} \]
Así quedan probados los tres axiomas. \(\square\)
¿Por qué \(p\ge1\)? Para \(0<p<1\), tomando \(e_1=(1,0)\) y \(e_2=(0,1)\), la misma fórmula da
\[ \|e_1+e_2\|_p=2^{1/p}>2=\|e_1\|_p+\|e_2\|_p. \]
La desigualdad triangular falla. Aquí la expresión es una cuasinorma, no una norma. La restricción de exponentes es una hipótesis matemática, no una convención tipográfica.
9. Comparación de las normas en \(\mathbb K^n\)
Proposición 6. Para \(n\ge1\) y todo \(x\in\mathbb K^n\),
\[ \boxed{\|x\|_\infty\le\|x\|_2\le\|x\|_1 \le\sqrt n\,\|x\|_2\le n\,\|x\|_\infty.} \]
Demostración. El mayor de los \(|x_i|^2\) no supera la suma, y tomar raíces da la primera desigualdad. La expansión
\[ \left(\sum_i|x_i|\right)^2 =\sum_i|x_i|^2+2\sum_{i<j}|x_ix_j| \ge\sum_i|x_i|^2 \]
prueba la segunda. Cauchy–Schwarz aplicada a \((|x_1|,\ldots,|x_n|)\) y \((1,\ldots,1)\) da \(\|x\|_1\le\sqrt n\,\|x\|_2\). Finalmente, \(\|x\|_2^2\le n\|x\|_\infty^2\), que combinada con la anterior completa la cadena. \(\square\)
Definición (equivalencia de normas). Dos normas \(N_1,N_2\) sobre el mismo espacio son equivalentes cuando existen \(c,C>0\) tales que
\[ cN_1(x)\le N_2(x)\le CN_1(x)\qquad\text{para todo }x. \]
Las cotas permiten trasladar convergencia, sucesiones de Cauchy y conjuntos abiertos de una norma a la otra. Equivalencia no significa igualdad numérica de las normas.
Teorema 7. Todas las normas en un espacio vectorial real o complejo de dimensión finita son equivalentes.
Demostración. Si \(V=\{0\}\), es inmediato. Para \(\dim V=n\ge1\), elijamos una base e identifiquemos \(V\) con \(\mathbb K^n\). Sea \(N\) una norma. Por triangular y homogeneidad,
\[ N(x)=N\!\left(\sum_{i=1}^{n}x_i e_i\right) \le\sum_i|x_i|N(e_i) \le M\,\|x\|_2, \qquad M:=\sum_iN(e_i)>0. \]
La desigualdad triangular inversa implica \(|N(x)-N(y)|\le N(x-y)\le M\|x-y\|_2\), por lo que \(N\) es continua para la distancia euclidiana. La esfera \(S=\{x:\|x\|_2=1\}\) es compacta y \(N\) alcanza allí un mínimo \(m>0\): no se anula en ningún punto de \(S\). Para \(x\ne0\), aplicar las cotas a \(x/\|x\|_2\) y usar homogeneidad produce
\[ m\|x\|_2\le N(x)\le M\|x\|_2. \]
También vale para \(x=0\). Cada norma es equivalente a la euclidiana, luego dos normas arbitrarias son equivalentes entre sí. \(\square\)
La dimensión importa. En el espacio \(C([0,1])\) de funciones continuas reales, consideremos
\[ \|f\|_\infty=\max_{t\in[0,1]}|f(t)|, \qquad \|f\|_1=\int_0^1|f(t)|\,dt. \]
Ambas son normas. Para la integral, si \(\int|f|=0\) pero \(f\) no es idénticamente nula, su continuidad asegura un pequeño intervalo donde \(|f|>0\), lo que hace positiva la integral: contradicción. Para \(f_n(t)=\max\{1-nt,0\}\),
\[ \|f_n\|_\infty=1, \qquad\|f_n\|_1=\int_0^{1/n}(1-nt)\,dt=\frac1{2n}. \]
Si existiera una constante \(C\) con \(\|f\|_\infty\le C\|f\|_1\) para toda función continua, tendríamos \(1\le C/(2n)\) para todo \(n\), imposible. Estas normas no son equivalentes.
10. Normas de funciones y operadores
Una función puede ser un vector: sumamos funciones punto a punto y las multiplicamos por escalares. Si \(a<b\), en \(C([a,b])\) la norma uniforme es
\[ \|f\|_\infty=\max_{x\in[a,b]}|f(x)|. \]
El máximo existe por continuidad y compacidad; los axiomas se verifican como para la norma del máximo de coordenadas. La distancia \(\|f-g\|_\infty\) es el mayor error puntual de la aproximación de \(f\) por \(g\).
También se usan \(\|f\|_p=(\int_a^b|f|^p)^{1/p}\) para \(p\ge1\). Sobre \(C([a,b])\) son normas. Sobre funciones medibles consideradas punto a punto, una función distinta de cero sólo sobre un conjunto de medida nula puede tener integral nula. Por eso los espacios \(L^p\) utilizan clases de equivalencia de funciones iguales casi en todas partes. La desigualdad triangular integral es una versión de Minkowski y requiere su propia justificación.
Sean \(V,W\) espacios normados y \(T:V\to W\) una aplicación lineal acotada: existe \(C<\infty\) con \(\|Tx\|_W\le C\|x\|_V\) para todo \(x\). Su norma operatorial es
\[ \|T\|_{\mathrm{op}}= \sup_{\|x\|_V\le1}\|Tx\|_W. \]
Si \(V\ne\{0\}\), equivale a \(\sup_{x\ne0}\|Tx\|_W/\|x\|_V\), reescalando los vectores no nulos a norma uno. Si \(V=\{0\}\), la primera expresión vale cero y no se utiliza el segundo supremo. Por acotación, la norma es finita. Es no negativa; si vale cero, \(Tx=0\) para todo \(x\); la homogeneidad es inmediata y, para operadores acotados \(S,T\),
\[ \|(S+T)x\|_W\le\|Sx\|_W+\|Tx\|_W \le(\|S\|_{\mathrm{op}}+\|T\|_{\mathrm{op}})\|x\|_V. \]
Tomando supremos en la bola unitaria se demuestra el axioma triangular. Para composiciones compatibles,
\[ \boxed{\|S\circ T\|_{\mathrm{op}} \le\|S\|_{\mathrm{op}}\,\|T\|_{\mathrm{op}},} \]
pues \(\|S(Tx)\|\le\|S\|_{\mathrm{op}}\|Tx\|\le\|S\|_{\mathrm{op}}\|T\|_{\mathrm{op}}\|x\|\).
11. Norma, convergencia y completitud
Una sucesión \((x_n)\) converge a \(x\) en norma si \(\|x_n-x\|\to0\). Es de Cauchy si para todo \(\varepsilon>0\) existe \(N\) tal que \(\|x_n-x_m\|<\varepsilon\) cuando \(n,m\ge N\).
Un espacio normado es completo, o espacio de Banach, si toda sucesión de Cauchy converge a un elemento del propio espacio. Tener una norma no garantiza completitud.
Contraejemplo. El espacio de los polinomios sobre \([0,1]\), con norma uniforme, no es completo. Los polinomios \(p_n(t)=\sum_{k=0}^{n}t^k/k!\) convergen uniformemente a \(e^t\) en \([0,1]\): el resto de Taylor se acota por una cantidad que tiende a cero. Son, por tanto, de Cauchy en norma uniforme, pero \(e^t\) no es un polinomio; la unicidad del límite uniforme excluye que converjan a otro elemento del espacio.
Todo espacio normado de dimensión finita es completo: por equivalencia de normas basta comprobarlo en \(\mathbb K^n\), donde una sucesión es de Cauchy si y sólo si cada coordenada lo es en \(\mathbb K\).
12. Normas inducidas por productos internos
En un espacio con producto interno, la fórmula
\[ \|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle} \]
define una norma: positividad definida y homogeneidad provienen del producto interno y la triangular se deduce de Cauchy–Schwarz como en §5.3.
No toda norma proviene de un producto interno. Toda norma inducida por uno satisface la ley del paralelogramo:
\[ \boxed{\|x+y\|^2+\|x-y\|^2 =2\|x\|^2+2\|y\|^2.} \]
Demostración. Desarrollar ambos cuadrados mediante el producto interno: los términos cruzados \(\pm2\operatorname{Re}\langle x,y\rangle\) se cancelan. \(\square\)
La norma \(1\) de \(\mathbb R^2\) falla esta identidad con \(x=(1,0)\) e \(y=(0,1)\): el lado izquierdo es \(2^2+2^2=8\) y el derecho es \(2(1^2+1^2)=4\). Así, no puede proceder de ningún producto interno.
El teorema de Jordan–von Neumann establece también la recíproca: sobre \(\mathbb R\) o \(\mathbb C\), una norma proviene de un producto interno si y sólo si satisface la ley del paralelogramo. La recíproca no se demuestra aquí: requiere construir un producto interno mediante una identidad de polarización y verificar sus axiomas. En el caso real, la expresión candidata es
\[ \langle x,y\rangle= \frac{\|x+y\|^2-\|x-y\|^2}{4}. \]
Distinguir la implicación demostrada de esta recíproca adicional.
13. Seminormas y falsas normas
Una seminorma cumple homogeneidad absoluta y triangular, pero puede anularse en vectores no nulos. En \(\mathbb R^2\), \(p(x_1,x_2)=|x_1|\) es una seminorma: \(p(0,1)=0\) aunque \((0,1)\ne(0,0)\). Su distancia asociada es una seudométrica: no necesariamente separa puntos distintos.
Otros candidatos fallan por distintas razones:
- \(N(x)=\|x\|_2^2\) no es homogénea de grado uno: \(N(2x)=4N(x)\), no \(2N(x)\) en general.
- \(N(x_1,x_2)=|x_1|+|x_2|+1\) nunca vale cero, ni en el vector nulo.
- La fórmula \(\|x\|_p\) con \(0<p<1\) falla la triangular, como vimos en §8.
Método de control. Basta un vector o un par de vectores para refutar un axioma de una supuesta norma. Para demostrar que sí es norma, hay que verificar todos los axiomas para todos los vectores y escalares.
14. Aplicaciones: por qué interesa elegir bien la norma
Para una aproximación \(\widetilde x\) de \(x\), el error es \(e=x-\widetilde x\) y su magnitud es \(\|e\|\). En cálculo numérico, \(\|e\|_\infty\) representa el mayor error de coordenada y \(\|e\|_2\) un error agregado euclidiano: preguntas distintas, aunque comparables por §9.
Para funciones, \(\|f-g\|_\infty\) controla el error en todos los puntos simultáneamente. La norma integral controla un error agregado: una desviación grande en una región estrecha puede contribuir poco; la familia \(f_n\) de §9 exhibe la diferencia.
Para un operador lineal acotado \(T\),
\[ \|T(x+e)-T(x)\|=\|Te\|\le\|T\|_{\mathrm{op}}\,\|e\|, \]
lo que acota la propagación de una perturbación de entrada a la salida.
15. Ejercicios y reconstrucción
A. Reconocimiento. (1) Demuestra que \(x\mapsto3\|x\|\) es una norma si \(\|\cdot\|\) lo es. (2) Explica por qué \(x\mapsto\min\{|x_1|,|x_2|\}\) no es una norma en \(\mathbb R^2\). (3) Verifica los axiomas para \(N(x_1,x_2)=2|x_1|+3|x_2|\).
B. Reconstrucción de pruebas. (4) Demuestra la triangular inversa sin consultar §3. (5) Deduce que convergencia en norma implica convergencia de las normas numéricas. (6) Reconstruye el uso preciso de Hölder en Minkowski.
C. Hipótesis y contraejemplos. (7) Da una métrica que no provenga de norma e identifica el obstáculo. (8) Construye una seminorma que no sea norma en \(\mathbb R^3\). (9) Encuentra dos vectores con igualdad triangular en norma \(1\) y desigualdad estricta en norma \(2\).
D. Conexiones. (10) Dibuja las tres bolas unitarias de \(\mathbb R^2\) y prueba su convexidad sin dibujos. (11) Demuestra que normas equivalentes tienen las mismas sucesiones de Cauchy. (12) Explica con \(f_n\) por qué un pequeño error integral no implica una cota uniforme pequeña del error máximo.
¿Qué añade exactamente una norma a un espacio vectorial? ¿Por qué un producto interno es una estructura más fuerte? ¿Qué resultados dependen de dimensión finita y cuáles funcionan en cualquier espacio normado?
16. Síntesis conceptual
Una norma no es una única longitud, sino una regla abstracta para medir vectores: sólo cero tiene magnitud nula, las escalas actúan proporcionalmente y la suma queda controlada por la desigualdad triangular. De ella nace una distancia y un lenguaje de convergencia, continuidad, error y completitud. Normas distintas pueden medir de manera diferente; en dimensión finita generan las mismas nociones de convergencia y abiertos, pero en dimensión infinita pueden ser inequivalentes. La pregunta crucial no es «¿qué fórmula da la longitud verdadera?», sino «¿qué propiedades satisface esta medición y qué fenómeno necesitamos controlar?».
17. Preguntas frecuentes
¿Una norma siempre es una distancia? No literalmente: la norma recibe un vector y la métrica recibe dos puntos. Toda norma induce \(d(x,y)=\|x-y\|\); la recíproca general es falsa.
¿Toda norma procede de Pitágoras? No. Las normas \(1\) y del máximo cumplen los axiomas sin proceder de un producto interno en dimensión al menos dos.
¿Por qué aparecen barras dobles? Es la notación convencional que distingue normas de, por ejemplo, valores absolutos escalares. Las barras por sí solas no prueban los axiomas.
¿Equivalentes significa iguales? No: pueden asignar números diferentes y, sin embargo, inducir la misma convergencia y topología gracias a cotas multiplicativas uniformes.
¿Por qué una integral puede dar cero para una función no nula? Una función medible puede diferir de cero sólo sobre un conjunto de medida nula. En \(L^p\) se identifican funciones iguales casi en todas partes; la continuidad lo impide para normas integrales sobre \(C([a,b])\).
¿Ser normado implica ser completo? No. Los polinomios con la norma uniforme son un contraejemplo; un espacio normado completo es un espacio de Banach.
Referencias y enlaces de estudio
- Noam D. Elkies, Math 55a: Norm basics, Harvard University. Definición, métricas inducidas y equivalencia de normas.
- MIT OpenCourseWare, Introduction to Functional Analysis. Espacios normados, de Banach, funciones y operadores.
- Steven G. Johnson, MIT OpenCourseWare, Lecture 4: Norms on Vector Spaces. Normas vectoriales y errores numéricos.
- Eric W. Weisstein, Minkowski’s Inequalities, MathWorld.
- Norwegian University of Science and Technology, Linear Methods: Lecture Notes, §4.7, ley del paralelogramo y teorema de Jordan–von Neumann.
- Referencias internas: La desigualdad triangular y La desigualdad de Cauchy–Schwarz.