La desigualdad de Cauchy–Schwarz: de una suma de cuadrados a los espacios con producto interno
La desigualdad de Cauchy–Schwarz
Para \(n\ge1\) y números reales \(a_1,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_n\), demostraremos que \[ \boxed{\left(\sum_{i=1}^{n}a_i b_i\right)^2\le \left(\sum_{i=1}^{n}a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^{n}b_i^2\right).} \] La prueba comenzará con uno y dos pares de números. Aplazaremos la escritura abreviada con producto interno y norma hasta que haya una razón matemática para introducirla.
Ruta de lectura y dependencia lógica. Primero identificaremos el caso trivial \(n=1\), descubriremos en \(n=2\) un cuadrado que explica la desigualdad y usaremos ese caso para construir una demostración inductiva. El ejercicio 13 de §1.8 de Cálculo I de Gustavo Labbé Morales proporcionará otra estrategia mediante un polinomio cuadrático; la Master Class de J. Michael Steele orientará el contraste de pruebas y estimaciones. Después de comparar las cotas, definiremos las abreviaturas que permiten pasar a geometría, integrales y análisis. Todas las ampliaciones posteriores tienen hipótesis y justificaciones propias.
Distinción de las fuentes. Labbé presenta un ejercicio y una sugerencia, no la prueba desarrollada a continuación. Steele propone un recorrido de descubrimiento con inducción, normalización, examen de igualdad e identidad de Lagrange. Seguimos esas ideas pedagógicas con enunciados, transiciones y ejercicios propios, sin reproducir sus páginas ni convertir este artículo en una traducción de sus libros. La bibliografía precisa está al final.
1. Comenzar con números: el caso de un solo término
El problema consiste en controlar una suma de productos mediante sumas de cuadrados. Por el momento, \(a_i\) y \(b_i\) son sólo números reales. El producto de sumas del miembro derecho es no negativo, pues cada cuadrado es no negativo. El de la izquierda también es un cuadrado, pero contiene términos cruzados que debemos entender.
En el caso de una sola pareja de números, la fórmula se reduce a
\[ (a_1b_1)^2\le a_1^2b_1^2. \]
Aquí en realidad hay igualdad: es una identidad algebraica. El caso \(n=1\) comprueba la coherencia del enunciado, pero no revela el mecanismo que necesitamos para sumas de más términos.
¿Qué cambia al pasar de \(a_1b_1\) a \(a_1b_1+a_2b_2\)? Antes de leer la sección siguiente, desarrolla el cuadrado de la suma y busca el término que todavía no podemos acotar.
1.1. Breve ubicación histórica, sin confundir versiones
La formulación de sumas finitas se remonta a Augustin-Louis Cauchy (1821). Viktor Bunyakovski desarrolló una variante integral en 1859, mientras que Hermann Amandus Schwarz estudió formulaciones posteriores relacionadas con problemas variacionales. El nombre «Cauchy–Bunyakovski–Schwarz» recuerda esas contribuciones, pero no debe confundirse la fórmula algebraica inicial con la formulación moderna para productos internos. Las fechas de las versiones y la cautela sobre la atribución a Schwarz se amplían en las fuentes históricas citadas al final.
2. Dos términos: el cuadrado que descubre la desigualdad
Proposición (caso \(n=2\)). Para cualesquiera \(a_1,a_2,b_1,b_2\in\mathbb R\),
\[ \boxed{(a_1b_1+a_2b_2)^2\le(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2).} \]
Demostración. No tenemos que adivinar cuál miembro es mayor: restamos el cuadrado de la suma al producto de las sumas y desarrollamos por completo:
\[ \begin{aligned} &(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)-(a_1b_1+a_2b_2)^2\\ &=a_1^2b_2^2+a_2^2b_1^2-2a_1a_2b_1b_2\\ &=(a_1b_2-a_2b_1)^2\ge0. \end{aligned} \]
La diferencia es un cuadrado real, luego no puede ser negativa. \(\square\)
Leer la prueba en sentido inverso. Si la desigualdad fuera falsa, su diferencia sería negativa, pero acabamos de identificarla con un cuadrado. La igualdad equivale aquí a \(a_1b_2=a_2b_1\); más adelante explicaremos qué significa eso para dos vectores, incluso cuando alguno es nulo.
- Con \((a_1,a_2)=(1,2)\) y \((b_1,b_2)=(2,1)\): izquierda \(16\), derecha \(25\).
- Con \((a_1,a_2)=(1,2)\) y \((b_1,b_2)=(-2,-4)\): izquierda \(100\), derecha \(100\).
- Con \((a_1,a_2)=(0,0)\): ambos lados se anulan; ninguna división por un número positivo está autorizada.
Pregunta genuina. Hemos demostrado algo para dos términos. ¿Basta con repetir el mismo cálculo para cada \(n\) o podemos aprovechar el resultado de dos términos para agregar un término nuevo?
3. Todas las sumas finitas: inducción antes de las abreviaturas
Teorema (Cauchy–Schwarz finito, versión real). Para \(n\ge1\) y cualesquiera números reales \(a_1,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_n\),
\[ \boxed{\left(\sum_{i=1}^na_ib_i\right)^2\le \left(\sum_{i=1}^na_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^nb_i^2\right).} \]
Puesto que ambos lados son no negativos, la formulación equivalente con raíces cuadradas es
\[ \boxed{\left|\sum_{i=1}^na_ib_i\right|\le \sqrt{\sum_{i=1}^na_i^2}\sqrt{\sum_{i=1}^nb_i^2}.} \]
El valor absoluto controla tanto las sumas positivas como las negativas. Si sólo escribiéramos la desigualdad sin él, obtendríamos una consecuencia verdadera, pero menos informativa; más tarde compararemos esa versión unilateral con la de valor absoluto.
Lema de dos bloques. Si \(A,B\ge0\) y \(x,y\in\mathbb R\), entonces
\[ AB+|xy|\le\sqrt{A^2+x^2}\sqrt{B^2+y^2}. \]
Demostración. Los miembros son no negativos y
\[ (A^2+x^2)(B^2+y^2)-(AB+|xy|)^2 =(A|y|-B|x|)^2\ge0. \]
Tomamos las raíces cuadradas no negativas. \(\square\)
3.1. La prueba por inducción
Demostración por inducción del teorema. Para \(n=1\) hay igualdad, como vimos en §1. Supongamos que la desigualdad con valor absoluto vale para \(n\) sumandos y definamos, sólo para abreviar esta línea,
\[ S_n=\sum_{i=1}^na_ib_i,\qquad A=\sqrt{\sum_{i=1}^na_i^2},\qquad B=\sqrt{\sum_{i=1}^nb_i^2}. \]
La hipótesis inductiva dice \(|S_n|\le AB\). La desigualdad triangular para números reales, que ya está demostrada independientemente, y el lema anterior dan
\[ \begin{aligned} \left|\sum_{i=1}^{n+1}a_ib_i\right| &=|S_n+a_{n+1}b_{n+1}|\\ &\le |S_n|+|a_{n+1}b_{n+1}|\\ &\le AB+|a_{n+1}b_{n+1}|\\ &\le\sqrt{\sum_{i=1}^{n+1}a_i^2} \sqrt{\sum_{i=1}^{n+1}b_i^2}. \end{aligned} \]
Queda demostrado el caso \(n+1\) y, por inducción, todos los casos finitos. \(\square\)
Control de rigor. El lema se demostró sin invocar el teorema general. La triangular usada es la de números reales, no la triangular euclidiana que deduciremos posteriormente de Cauchy–Schwarz. La prueba no supone un producto interno, una norma vectorial ni completitud de un espacio de vectores.
Una decisión de lectura tomada de Steele. La prueba de \(n=2\) es algo más que un ejemplo: es la pieza reutilizable que une el caso \(n\) con el caso \(n+1\). El procedimiento enseña a componer resultados previamente obtenidos, en vez de expandir una cantidad cada vez mayor de términos sin estrategia.
4. El ejercicio de Labbé: una segunda puerta de entrada
Gustavo Labbé Morales formula el resultado al cuadrado como ejercicio 13 de §1.8 de Cálculo I (p. 24) y sugiere desarrollar la expresión \(\sum_{i=1}^n(a_ix+b_i)^2\). Esta pista propone una construcción distinta de la inducción: si el cuadrado de cada número es no negativo, también lo será cualquier suma de esos cuadrados, sea cual sea \(x\in\mathbb R\).
Desarrolla \(\sum_i(a_ix+b_i)^2\). ¿Qué coeficientes aparecen frente a \(x^2\) y \(x\)? ¿Cómo podrías elegir \(x\) para que la condición «la expresión nunca es negativa» se convierta en una relación entre las tres sumas?
Demostración desarrollada a partir de la pista. Si \(a_1=\cdots=a_n=0\), ambos miembros del teorema valen cero. Supongamos que no todas esas coordenadas son nulas y escribamos
\[ A=\sum_{i=1}^na_i^2>0,\qquad B=\sum_{i=1}^nb_i^2,\qquad C=\sum_{i=1}^na_ib_i. \]
Aquí \(B=\sum_i b_i^2\ge0\); la letra es un recurso temporal de cálculo, no una nueva operación. Para todo real \(x\),
\[ 0\le\sum_{i=1}^n(a_ix+b_i)^2 =Ax^2+2Cx+B. \]
Podemos completar el cuadrado:
\[ Ax^2+2Cx+B=A\left(x+\frac CA\right)^2 +\left(B-\frac{C^2}{A}\right). \]
Elegimos \(x_0=-C/A\) (válido porque \(A>0\)); el primer término se anula y queda
\[ 0\le B-\frac{C^2}{A}. \]
Multiplicando por \(A>0\) obtenemos \(C^2\le AB\), que es exactamente la desigualdad de §3. También queda resuelto el caso inicialmente excluido. \(\square\)
Qué hace posible la elección. El parámetro no es una ocurrencia: permite probar que un polinomio cuadrático de coeficiente principal positivo no toma valores negativos. La igualdad se alcanza cuando cada sumando \((a_ix_0+b_i)^2\) vale cero, propiedad que analizaremos en §8.
Cotejo con la fuente. La expresión sugerida aparece en Labbé, pero la elección explícita de \(x_0\), la separación del caso nulo y esta lectura pedagógica se han redactado y verificado aquí. No se atribuye al autor una demostración que su libro deja como ejercicio.
5. El mismo mecanismo visto al revés: parámetro y discriminante
La pista de Labbé considera \(a_ix+b_i\). También podemos estudiar \(a_i-tb_i\): intercambiamos qué lista acompaña al parámetro y llegamos al mismo resultado.
Otra demostración completa. Si \(b_1=\cdots=b_n=0\), hay igualdad. Si no, fijemos
\[ P=\sum_{i=1}^na_i^2,\qquad Q=\sum_{i=1}^nb_i^2>0,\qquad R=\sum_{i=1}^na_ib_i. \]
Para cada real \(t\), la suma de cuadrados satisface
\[ 0\le\sum_{i=1}^n(a_i-tb_i)^2=P-2Rt+Qt^2. \]
Al completar el cuadrado,
\[ P-2Rt+Qt^2 =Q\left(t-\frac RQ\right)^2+P-\frac{R^2}{Q}. \]
En \(t_0=R/Q\) el primer sumando se anula. Por tanto \(0\le P-R^2/Q\), y multiplicar por \(Q>0\) da \(R^2\le PQ\). \(\square\)
5.1. Alternativa: examinar el discriminante
El polinomio \(q(t)=Qt^2-2Rt+P\) es no negativo para todo \(t\in\mathbb R\), y \(Q>0\). Si su discriminante fuera positivo, tendría dos raíces distintas y tomaría valores negativos entre ambas; imposible. Así,
\[ \Delta=(-2R)^2-4QP\le0, \qquad\text{es decir,}\qquad R^2\le PQ. \]
No es una hipótesis nueva ni una tercera desigualdad: es otra manera de leer el mismo polinomio. En el caso de lista \(b\) nula no dividimos por \(Q\), pues ese caso ya se separó.
Comparar las dos construcciones. Labbé lleva a separar la lista \(a\) nula y dividir por \(\sum_i a_i^2\); el argumento alternativo separa la lista \(b\) nula y divide por \(\sum_i b_i^2\). El resultado y la generalidad son idénticos. El parámetro óptimo se interpretará geométricamente después de definir el producto interno y la norma, no antes.
6. ¿Qué tan buena es una cota? Escala y normalización
Steele plantea una operación intelectual distinta: no basta con obtener una cota verdadera, también debemos examinar cuánto se aleja del valor que intentamos controlar. Comencemos con una desigualdad de dos números, válida para cualesquiera reales \(r,s\):
\[ 0\le(|r|-|s|)^2=r^2+s^2-2|rs|, \qquad\text{luego}\qquad 2|rs|\le r^2+s^2. \]
Sumando esta relación término a término obtenemos la cota aditiva
\[ \sum_{i=1}^n|a_ib_i|\le\frac12 \left(\sum_{i=1}^na_i^2+\sum_{i=1}^nb_i^2\right). \]
Es útil, pero a veces es muy débil. Para las listas \((10,0)\) y \((1,0)\), su miembro derecho vale \(50{,}5\) y la suma que acota vale exactamente \(10\). ¿Podemos afinarla sin suponer de antemano Cauchy–Schwarz?
6.1. Ajuste de escala: de lo aditivo a lo multiplicativo
Pongamos \(A=\sqrt{\sum_i a_i^2}\) y \(B=\sqrt{\sum_i b_i^2}\). Si alguno es cero, la suma de productos también es cero. En caso contrario, para cada \(t>0\) escribimos \(|a_ib_i|=|(ta_i)(b_i/t)|\) y aplicamos la cota elemental:
\[ \sum_i|a_ib_i|\le\frac12\left(t^2A^2+\frac{B^2}{t^2}\right). \]
Elegir \(t=\sqrt{B/A}\) iguala los términos \(t^2A^2=B^2/t^2=AB\). La estimación se afina hasta
\[ \boxed{\sum_i|a_ib_i|\le \sqrt{\sum_i a_i^2}\sqrt{\sum_i b_i^2}.} \]
Finalmente, la desigualdad triangular escalar produce \(|\sum_i a_ib_i|\le\sum_i|a_ib_i|\). La cota obtenida es la misma que en §3, pero controla además la suma de los valores absolutos individuales.
6.2. Normalización: otra manera de reconocer la elección óptima
Si \(A,B>0\), definamos \(\alpha_i=|a_i|/A\) y \(\beta_i=|b_i|/B\). Por su construcción,
\[ \sum_i\alpha_i^2=\sum_i\beta_i^2=1. \]
La desigualdad \(2rs\le r^2+s^2\), aplicada a \(r=\alpha_i\), \(s=\beta_i\) y sumada, da
\[ \sum_i\alpha_i\beta_i\le\frac12 \left(\sum_i\alpha_i^2+\sum_i\beta_i^2\right)=1. \]
Al multiplicar por \(AB>0\) recuperamos \(\sum_i|a_ib_i|\le AB\) y, por la triangular escalar, \(|\sum_i a_ib_i|\le AB\). Si una lista es nula, ambas desigualdades son inmediatas. \(\square\)
No confundir dos pérdidas de información. El cambio de escala corrige una cota excesiva; la desigualdad \(|\sum_i a_ib_i|\le\sum_i|a_ib_i|\) puede ser estricta debido a cancelaciones de signo. Por ejemplo, con las listas \((1,1)\) y \((1,-1)\), la suma de los valores absolutos es \(2\) pero la suma de los productos es \(0\). En §8 volveremos a la igualdad exacta del teorema.
Reconstruye la misma desigualdad de tres maneras: (i) el caso de dos términos más inducción; (ii) el polinomio sugerido por Labbé; (iii) normalización o ajuste de escala. ¿Cuál exige separar una lista nula? ¿Dónde interviene la triangular escalar? ¿Qué método proporciona directamente la elección de un parámetro óptimo?
7. Ahora sí: introducir producto interno y norma
La fórmula con sumas es completa, pero escribir repetidamente tres sumas dificulta comparar demostraciones y pasar a otros dominios. Es el momento de introducir abreviaturas, no de añadir una hipótesis. Para dos vectores reales \(a=(a_1,\ldots,a_n)\) y \(b=(b_1,\ldots,b_n)\) definimos primero su producto escalar usual
\[ \langle a,b\rangle:=\sum_{i=1}^n a_i b_i. \]
Definimos después la longitud euclidiana asociada,
\[ \|a\|_2:=\sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2} =\sqrt{\langle a,a\rangle}. \]
La barra simple \(|x|\) mide el valor absoluto de un número real (más adelante, el módulo de un complejo). La doble barra \(\|a\|_2\) mide la norma de un vector; el subíndice distingue esta norma de otras. Esta distinción no se necesita para entender las seis primeras secciones: ahora nos ahorra notación y permite identificar la estructura.
La tercera forma del mismo teorema. La desigualdad de §3 se reescribe, sin cambiar su contenido, como
\[ \boxed{|\langle a,b\rangle|\le\|a\|_2\,\|b\|_2.} \]
No se ha usado que \(\|\cdot\|_2\) satisfaga la desigualdad triangular vectorial para obtener esta fórmula. Por el contrario, esa propiedad será un corolario demostrado en §13.1. En espacios abstractos escribiremos simplemente \(\|u\|\) cuando el producto interno determine una norma inequívocamente.
Traducción bidireccional. Sustituye \(\langle a,b\rangle\) y cada doble barra por sus definiciones y recupera literalmente la fórmula de §3. A la inversa, encuentra las tres expresiones repetidas en §4 y escribe el polinomio de Labbé usando esta notación. Reconocer que una forma compacta equivale a otra desarrollada es parte de comprender el teorema.
8. Igualdad: ¿cuándo se alcanza la cota?
Proposición. En la desigualdad de Cauchy–Schwarz para \(\mathbb R^n\) hay igualdad si y sólo si \(a\) y \(b\) son linealmente dependientes; es decir, alguno es cero o, siendo ambos no nulos, existe \(\lambda\in\mathbb R\setminus\{0\}\) tal que \(a=\lambda b\).
Demostración. Cuando \(b=0\) ya vimos que hay igualdad. Si \(b\ne0\), la identidad obtenida al completar el cuadrado en §5 puede reorganizarse como
\[ \|a\|_2^2\|b\|_2^2-\langle a,b\rangle^2 =\|b\|_2^2\|a-t_0b\|_2^2. \]
El miembro derecho vale cero exactamente cuando \(\|a-t_0b\|_2^2=0\), esto es, cuando \(a=t_0b\). Recíprocamente, si \(a=\lambda b\), entonces
\[ |\langle a,b\rangle| =|\lambda|\,\|b\|_2^2 =\|a\|_2\|b\|_2. \]
También están cubiertos los casos nulos. \(\square\)
No hemos impuesto \(\lambda>0\). Si \(a=-2b\ne0\), el producto escalar es negativo pero su valor absoluto alcanza la cota. Esa es la diferencia decisiva con el criterio de igualdad de la desigualdad triangular euclidiana.
- \(a=(1,2)\), \(b=(2,4)\): proporcionales en el mismo sentido; hay igualdad.
- \(a=(1,2)\), \(b=(-2,-4)\): proporcionales en sentidos opuestos; también hay igualdad.
- \(a=(1,0)\), \(b=(0,1)\): producto escalar cero y longitudes positivas; la desigualdad es estricta.
- \(a=0\), \(b\) arbitrario: ambos miembros son cero, sin necesidad de dividir por \(\|a\|\).
9. La identidad de Lagrange: cuantificar lo que falta para la igualdad
Las pruebas por sumas de cuadrados de las secciones 4 y 5 demuestran que cierta diferencia es no negativa. La identidad de Lagrange explica de qué está hecha esa diferencia: de una suma de cuadrados, uno por cada par de índices.
Proposición (identidad de Lagrange, versión real). Para \(a,b\in\mathbb R^n\),
\[ \boxed{ \left(\sum_i a_i^2\right) \left(\sum_i b_i^2\right) -\left(\sum_i a_i b_i\right)^2 =\sum_{1\le i<j\le n}(a_i b_j-a_j b_i)^2. } \]
Demostración. Desarrollamos el producto de sumas y el cuadrado de la suma:
\[ \begin{aligned} \left(\sum_i a_i^2\right)\left(\sum_j b_j^2\right) &=\sum_{i,j}a_i^2b_j^2,\\ \left(\sum_i a_i b_i\right)^2 &=\sum_{i,j}a_i b_i a_j b_j. \end{aligned} \]
Restándolos, los términos con \(i=j\) se cancelan. Agrupar para cada pareja \(i<j\) los términos de orden \((i,j)\) y \((j,i)\) deja
\[ \begin{aligned} &a_i^2b_j^2+a_j^2b_i^2-2a_i b_i a_j b_j\\ &\qquad=(a_i b_j-a_j b_i)^2. \end{aligned} \]
Sumando sobre todas las parejas resulta la identidad. Como cada sumando del lado derecho es no negativo, Cauchy–Schwarz se sigue inmediatamente. \(\square\)
Lectura inversa. Si queremos demostrar que un producto de sumas de cuadrados es mayor o igual que el cuadrado de una suma de productos, podemos intentar restar ambas expresiones y reorganizar el resultado en cuadrados manifiestamente no negativos. No necesitamos entonces elegir ningún parámetro.
Para \(n=2\) sólo queda un término:
\[ \boxed{ (a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2) -(a_1b_1+a_2b_2)^2 =(a_1b_2-a_2b_1)^2. } \]
El determinante \(a_1b_2-a_2b_1\) mide el área orientada del paralelogramo formado por los vectores del plano; su cuadrado desaparece exactamente cuando son dependientes. En dimensiones mayores, todos los determinantes de orden dos deben anularse para que haya igualdad.
Caso límite \(n=1\). La suma sobre \(i<j\) es vacía y vale \(0\): Cauchy–Schwarz es siempre igualdad para dos vectores de \(\mathbb R^1\). Esto no es una excepción a la proposición anterior, porque dos vectores de un espacio unidimensional siempre son linealmente dependientes.
Una pregunta sobre la precisión de la estimación. Siguiendo la línea de investigación del capítulo 3 de Steele, definamos el defecto cuadrático
\[ D(a,b):=\|a\|_2^2\|b\|_2^2-\langle a,b\rangle^2 =\sum_{i<j}(a_ib_j-a_jb_i)^2. \]
Esta expresión aporta una información que se pierde si sólo escribimos \(D(a,b)\ge0\): permite localizar las parejas de coordenadas que impiden la proporcionalidad. Su anulación caracteriza la igualdad. No debemos llamarla «distancia entre vectores»: para \(a\ne0\) tenemos \(D(a,2a)=0\) aunque \(a\ne2a\), lo que contradice la separación de puntos exigida a una métrica. Además, sustituir \(a\) por \(sa\) multiplica el defecto por \(s^2\). En §10 recuperaremos su interpretación geométrica.
Contrasta el cuadrado de §2 con la identidad de Lagrange, explora el parámetro de Labbé y, después de introducir la notación de §7, interpreta los vectores. El laboratorio permite investigar ejemplos; no sustituye las demostraciones universales.
10. Geometría: proyección, ángulos y matriz de Gram
Para \(u,v\in\mathbb R^n\) y \(v\ne0\) definimos la proyección de \(u\) sobre la recta generada por \(v\) mediante
\[ \operatorname{proj}_v(u) =\frac{\langle u,v\rangle}{\|v\|^2}v=\alpha v, \qquad r=u-\alpha v. \]
La elección de \(\alpha\) asegura \(\langle r,v\rangle=0\). Se trata de una descomposición en una parte paralela a \(v\) y un resto ortogonal. Al expandir el cuadrado, los términos cruzados se anulan, y obtenemos una identidad pitagórica:
\[ \boxed{\|u\|^2 =\frac{|\langle u,v\rangle|^2}{\|v\|^2}+\|r\|^2.} \]
Cauchy–Schwarz es la consecuencia inmediata de descartar el término no negativo \(\|r\|^2\). La igualdad significa que no queda resto ortogonal: \(r=0\). Esta identidad describe más que una cota: nos dice cuánto se pierde cuando hay desigualdad estricta.
En un espacio real, si \(u,v\ne0\), el cociente \(\langle u,v\rangle/(\|u\|\|v\|)\) pertenece al intervalo \([-1,1]\) por Cauchy–Schwarz; por ello podemos definir el ángulo \(\theta\in[0,\pi]\) mediante
\[ \cos\theta=\frac{\langle u,v\rangle}{\|u\|\|v\|}. \]
Así, la igualdad en Cauchy–Schwarz corresponde a \(\theta=0\) o \(\theta=\pi\). El caso perpendicular tiene \(\theta=\pi/2\) y producto escalar cero. No introduzcamos esta fórmula como prueba previa de Cauchy–Schwarz si la existencia del ángulo se está definiendo precisamente con ayuda de la desigualdad: hacerlo invertiría el orden lógico.
Corolario (determinante de Gram). La matriz
\[ G(u,v)=\begin{pmatrix} \langle u,u\rangle&\langle u,v\rangle\\ \langle v,u\rangle&\langle v,v\rangle \end{pmatrix} \]
tiene determinante real no negativo:
\[ \det G(u,v)=\|u\|^2\|v\|^2-|\langle u,v\rangle|^2\ge0. \]
En el plano real, la identidad de §9 identifica esta diferencia con el cuadrado del área del paralelogramo. Después de introducir productos internos abstractos en §11, el determinante conservará el significado algebraico de medir la falta de dependencia lineal de los dos vectores.
11. Desde productos internos reales hasta espacios complejos y abstractos
11.1. Producto interno real: la versión sin coordenadas
Las sumas de productos de la sección 7 son un ejemplo de una estructura más general. Sea \(V\) un espacio vectorial real y sea \(\langle\cdot,\cdot\rangle:V\times V\to\mathbb R\) una aplicación simétrica, lineal en cada variable y definida positiva: \(\langle u,u\rangle\ge0\), con igualdad sólo si \(u=0\). Definimos \(\|u\|=\sqrt{\langle u,u\rangle}\). Todavía no suponemos que esta función cumpla la desigualdad triangular.
Teorema (versión real de producto interno). Para todo \(u,v\in V\),
\[ \boxed{|\langle u,v\rangle|^2\le\langle u,u\rangle\langle v,v\rangle.} \]
Demostración. Si \(v=0\), ambos miembros valen cero. Si \(v\ne0\), la positividad definida garantiza \(\langle v,v\rangle>0\). Para \(t=\langle u,v\rangle/\langle v,v\rangle\), la expansión por bilinealidad y simetría da
\[ 0\le\langle u-tv,u-tv\rangle =\langle u,u\rangle-\frac{\langle u,v\rangle^2}{\langle v,v\rangle}. \]
Multiplicamos por \(\langle v,v\rangle>0\) y obtenemos el resultado. La igualdad exige \(\langle u-tv,u-tv\rangle=0\) y, por positividad definida, \(u=tv\); el caso \(v=0\) también es dependencia lineal. La recíproca se comprueba sustituyendo \(u=\lambda v\). \(\square\)
Lo que se ha generalizado. Sólo usamos las propiedades del producto interno y los cuadrados no negativos; ni las coordenadas, ni la dimensión finita, ni la completitud aparecen en el argumento. Esto permite trasladar la demostración, sin copiar una fórmula que sólo funcionaba para listas finitas.
11.2. Producto interno complejo: por qué aparece la conjugación
En \(\mathbb C^n\) el producto interno estándar exige conjugación. Fijemos explícitamente la convención lineal en la primera variable:
\[ \langle u,v\rangle=\sum_{i=1}^n u_i\overline{v_i}, \qquad \|u\|:=\sqrt{\langle u,u\rangle} =\sqrt{\sum_i|u_i|^2}. \]
Entonces \(\langle v,u\rangle=\overline{\langle u,v\rangle}\), y \(\langle u,u\rangle\) es un número real no negativo. Algunas obras adoptan la convención opuesta, lineal en la segunda variable; no cambia la desigualdad, pero sí la fórmula concreta del coeficiente de proyección. Toda prueba debe declarar su convención.
Teorema (Cauchy–Schwarz complejo). Para \(u,v\in\mathbb C^n\),
\[ \boxed{|\langle u,v\rangle|^2 \le\langle u,u\rangle\langle v,v\rangle.} \]
Hay igualdad si y sólo si los vectores son linealmente dependientes sobre \(\mathbb C\).
Demostración. El caso \(v=0\) es inmediato. Si \(v\ne0\), elegimos el escalar complejo
\[ \alpha=\frac{\langle u,v\rangle}{\langle v,v\rangle}. \]
La linealidad en la primera variable da \(\langle u-\alpha v,v\rangle=0\). Al desarrollar y utilizar la simetría conjugada,
\[ \begin{aligned} 0\le\|u-\alpha v\|^2 &=\|u\|^2 -\overline\alpha\langle u,v\rangle -\alpha\langle v,u\rangle +|\alpha|^2\|v\|^2\\ &=\|u\|^2-\frac{|\langle u,v\rangle|^2}{\|v\|^2}. \end{aligned} \]
Multiplicar por \(\|v\|^2>0\) entrega la desigualdad. La igualdad obliga a \(u-\alpha v=0\), y la dependencia lineal produce recíprocamente igualdad. \(\square\)
Por qué no basta con copiar literalmente la prueba real. Para \(z\in\mathbb C\) no existe un orden compatible con las operaciones que permita escribir «\(z\ge0\)» con el significado usado antes. La expresión \(\|u-\alpha v\|^2\), en cambio, sigue siendo un real no negativo. Además, \(\langle u,v\rangle^2\) no es en general real ni no negativo; el término correcto es \(|\langle u,v\rangle|^2\).
11.3. La formulación abstracta y sus límites
Un espacio con producto interno sobre \(\mathbb R\) o \(\mathbb C\) es un espacio vectorial \(V\) equipado con una función \(\langle\cdot,\cdot\rangle\) lineal en la primera variable, conjugadamente simétrica y definida positiva: \(\langle x,x\rangle>0\) si \(x\ne0\). Definimos \(\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}\).
El cálculo precedente no utiliza coordenadas, dimensión finita ni completitud: solamente esas propiedades. Por tanto, para todo \(u,v\in V\),
\[ \boxed{|\langle u,v\rangle|\le\|u\|\,\|v\|,} \]
con igualdad exactamente cuando \(u,v\) son linealmente dependientes. En el caso real se puede tomar \(\alpha=\langle u,v\rangle/\|v\|^2\); en el complejo, la misma fórmula funciona con nuestra convención.
La completitud caracteriza a los espacios de Hilbert, pero no se ha utilizado: la desigualdad es válida también en espacios prehilbertianos no completos. Un espacio normado general no trae consigo necesariamente un producto interno; el enunciado \(|\langle u,v\rangle|\le\|u\|\|v\|\) no puede trasladarse sin más a una norma arbitraria y un producto bilineal elegido independientemente.
12. Variantes: pesos, series e integrales
12.1. Cauchy–Schwarz ponderada
Sean \(w_1,\ldots,w_n\ge0\) y \(a_i,b_i\in\mathbb R\). Si aplicamos el teorema finito a \(\sqrt{w_i}a_i\) y \(\sqrt{w_i}b_i\), obtenemos
\[ \boxed{ \left(\sum_i w_i a_i b_i\right)^2 \le\left(\sum_i w_i a_i^2\right) \left(\sum_i w_i b_i^2\right). } \]
Demostración. La desigualdad es exactamente la de §3 con las nuevas coordenadas; todos los pesos admiten raíz cuadrada real porque son no negativos. \(\square\)
Igualdad y pesos nulos. Si todos los pesos son positivos, hay igualdad si y sólo si \(a\) y \(b\) son proporcionales. Si algunos pesos son cero, sólo importan las coordenadas con \(w_i>0\): hay igualdad si y sólo si los vectores \((\sqrt{w_i}a_i)_i\) y \((\sqrt{w_i}b_i)_i\) son dependientes. Exigir proporcionalidad de las coordenadas ignoradas sería una condición falsa.
No podemos admitir pesos negativos y conservar el argumento de las raíces. Por ejemplo, con \(w=(1,-1)\), \(a=(1,0)\) y \(b=(0,1)\), el producto del lado derecho es \(1\cdot(-1)=-1\), mientras que el cuadrado del lado izquierdo vale \(0\): la desigualdad propuesta sería \(0\le-1\), falsa.
12.2. Series de cuadrados sumables: de lo finito a lo infinito
El capítulo 1 de Steele utiliza el tránsito desde una desigualdad cuantitativa a una conclusión cualitativa sobre series. Podemos reconstruirlo con las herramientas usuales de sucesiones, sin usar teoría de la medida.
Proposición. Si \((a_k)_{k\ge1}\) y \((b_k)_{k\ge1}\) son sucesiones reales tales que
\[ A^2:=\sum_{k=1}^{\infty}a_k^2<\infty, \qquad B^2:=\sum_{k=1}^{\infty}b_k^2<\infty, \]
entonces la serie \(\sum_{k=1}^{\infty}a_kb_k\) converge absolutamente y
\[ \boxed{\sum_{k=1}^{\infty}|a_kb_k|\le AB, \qquad \left|\sum_{k=1}^{\infty}a_kb_k\right|\le AB.} \]
Demostración. Para cada \(N\ge1\), aplicamos la desigualdad finita ya demostrada a los vectores \((|a_1|,\ldots,|a_N|)\) y \((|b_1|,\ldots,|b_N|)\):
\[ 0\le S_N:=\sum_{k=1}^N|a_kb_k| \le\left(\sum_{k=1}^Na_k^2\right)^{1/2} \left(\sum_{k=1}^Nb_k^2\right)^{1/2}\le AB. \]
La sucesión real \((S_N)\) es no decreciente y está acotada superiormente por \(AB\); la completitud de \(\mathbb R\), mediante el teorema de convergencia monótona de sucesiones, garantiza que \(S_N\) converge. Ésta es precisamente la convergencia absoluta de \(\sum a_kb_k\). Como toda serie real absolutamente convergente es convergente y la desigualdad triangular finita pasa al límite, obtenemos la segunda cota. \(\square\)
Auditoría de dependencia. No se ha supuesto que el espacio de sucesiones \(\ell^2\) sea completo. Sólo se utilizaron Cauchy–Schwarz para vectores finitos y resultados previos sobre series reales. En particular, no es legítimo presentar esta demostración como fundamento de la versión finita: la dirección lógica es la contraria.
12.3. Versión integral para funciones continuas
Sean \(f,g:[a,b]\to\mathbb R\) continuas, con \(a<b\). Entonces
\[ \boxed{ \left|\int_a^b f(x)g(x)\,dx\right|^2 \le \left(\int_a^b f(x)^2\,dx\right) \left(\int_a^b g(x)^2\,dx\right). } \]
Demostración. Si \(\int_a^b g^2=0\), la continuidad y la no negatividad de \(g^2\) implican \(g\equiv0\) en \([a,b]\); ambos lados son cero. Supongamos, por tanto, \(B:=\int_a^b g^2>0\) y pongamos \(A:=\int_a^b f^2\), \(C:=\int_a^b fg\). Para cada \(t\in\mathbb R\),
\[ 0\le\int_a^b(f-tg)^2 =A-2tC+t^2B. \]
Con \(t=C/B\) obtenemos \(0\le A-C^2/B\), esto es, \(C^2\le AB\). \(\square\)
Igualdad. Para \(B>0\), es equivalente a \(\int_a^b(f-(C/B)g)^2=0\). La función integranda es continua y no negativa; por tanto se anula en todos los puntos del intervalo. Así, \(f=(C/B)g\) en \([a,b]\). Si \(B=0\), uno de los dos factores es la función nula. La condición correcta es dependencia lineal de las funciones, incluido el caso nulo.
Qué cambió y qué permaneció. Sustituimos una suma finita de cuadrados por una integral de un cuadrado. La continuidad permite justificar tanto la integrabilidad como la implicación «integral de una función continua no negativa igual a cero \(\Rightarrow\) función idénticamente nula». No hemos demostrado esta variante mediante un límite informal de sumas: hemos reproducido el mecanismo algebraico con las propiedades autorizadas de la integral.
12.4. Versión avanzada en \(L^2\)
Si ya se ha construido la integral de Lebesgue, sea \((X,\mathcal A,\mu)\) un espacio de medida y sean \(f,g\in L^2(X,\mu;\mathbb C)\). La desigualdad elemental
\[ 2|fg|\le|f|^2+|g|^2 \]
garantiza primero que \(f\overline g\) es integrable. Sobre las clases de equivalencia módulo igualdad casi en todas partes definimos \(\langle f,g\rangle=\int_X f\overline g\,d\mu\), un producto interno. El teorema abstracto da
\[ \boxed{ \left|\int_X f\overline g\,d\mu\right| \le \left(\int_X|f|^2\,d\mu\right)^{1/2} \left(\int_X|g|^2\,d\mu\right)^{1/2}. } \]
Aquí la igualdad equivale a dependencia lineal en \(L^2\), esto es, \(f=\lambda g\) casi en todas partes, con el correspondiente caso de función nula. No debemos sustituir «casi en todas partes» por «en todos los puntos»: en \(L^2\) las funciones que difieren sólo en un conjunto de medida cero representan el mismo vector. Esta subsección requiere teoría de la medida y es una ampliación posterior, no una dependencia de las pruebas finitas.
13. Aplicaciones: transformar una interacción en una cota
13.1. Demostrar la desigualdad triangular euclidiana
Sea \(V\) un espacio con producto interno y \(\|u\|=\sqrt{\langle u,u\rangle}\). Para cualesquiera \(u,v\in V\),
\[ \begin{aligned} \|u+v\|^2 &=\|u\|^2+2\operatorname{Re}\langle u,v\rangle+\|v\|^2\\ &\le\|u\|^2+2|\langle u,v\rangle|+\|v\|^2\\ &\le\bigl(\|u\|+\|v\|\bigr)^2. \end{aligned} \]
Ambas cantidades que vamos a comparar son no negativas; tomamos raíces:
\[ \boxed{\|u+v\|\le\|u\|+\|v\|.} \]
Esto prueba el axioma triangular para la norma inducida por un producto interno. El resultado enlaza con el artículo complementario sobre la desigualdad triangular, §7.1. No hemos supuesto la desigualdad triangular vectorial para probar Cauchy–Schwarz; las dependencias van en una sola dirección.
Igualdad. Para \(u,v\ne0\), ambas estimaciones anteriores son igualdades exactamente cuando Cauchy–Schwarz alcanza la igualdad y \(\langle u,v\rangle\) es real no negativo. Por tanto, \(u\) y \(v\) han de ser múltiplos positivos uno del otro; el caso nulo también produce igualdad. En cambio, Cauchy–Schwarz sola admite múltiplos negativos en el caso real, o múltiplos de cualquier fase en el complejo.
13.2. El producto interno como función acotada
Fijado \(v\in V\), definimos \(T_v(u)=\langle u,v\rangle\). Para \(u,w\in V\), por linealidad y Cauchy–Schwarz,
\[ |T_v(u)-T_v(w)| =|\langle u-w,v\rangle| \le\|v\|\,\|u-w\|. \]
Hemos demostrado que \(T_v\) es lipschitziana, y por consiguiente continua. Además, para \(v\ne0\) su constante óptima de acotación sobre la esfera unitaria es \(\|v\|\), porque la igualdad se alcanza con \(u=v/\|v\|\); para \(v=0\) la función es idénticamente nula. Este argumento no exige dimensión finita ni completitud.
13.3. Estimar una media y comparar normas
Tomando \(b=(1,\dots,1)\) en el teorema finito,
\[ \boxed{\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)^2 \le n\sum_{i=1}^n a_i^2.} \]
Si dividimos entre \(n^2\), resulta
\[ \left|\frac1n\sum_i a_i\right| \le\sqrt{\frac1n\sum_i a_i^2}. \]
La magnitud de la media aritmética no supera la raíz cuadrática media; cuando todos los \(a_i\) son no negativos, también la media aritmética ordinaria está acotada por la cuadrática. Hay igualdad exactamente cuando \(a\) es proporcional a \((1,\ldots,1)\), es decir, cuando todos los valores son iguales.
De igual modo, aplicar Cauchy–Schwarz a los vectores \((|a_1|,\ldots,|a_n|)\) y \((1,\ldots,1)\) proporciona
\[ \boxed{\|a\|_1\le\sqrt n\,\|a\|_2.} \]
Esta comparación es útil al pasar de estimaciones cuadráticas a sumas de magnitudes. La igualdad exige que todos los \(|a_i|\) sean iguales, no necesariamente que las coordenadas tengan el mismo signo.
13.4. Covarianza y correlación: aplicación posterior
Para variables aleatorias reales \(X,Y\) con segundos momentos finitos, definimos \(X_0=X-\mathbb EX\) y \(Y_0=Y-\mathbb EY\). El producto interno en el espacio \(L^2\) de variables aleatorias permite escribir
\[ \begin{aligned} |\operatorname{Cov}(X,Y)| &=|\mathbb E(X_0Y_0)|\\ &\le\sqrt{\mathbb E(X_0^2)}\sqrt{\mathbb E(Y_0^2)}\\ &=\sigma_X\sigma_Y. \end{aligned} \]
Si ambas desviaciones estándar son positivas, el coeficiente \(\rho=\operatorname{Cov}(X,Y)/(\sigma_X\sigma_Y)\) está en \([-1,1]\). Si alguna desviación es cero, la división que define \(\rho\) no está permitida; la desigualdad de covarianzas sigue siendo válida. Aquí la igualdad en el valor absoluto corresponde a dependencia lineal casi segura de las variables centradas. Esta subsección depende de probabilidad e integración y no se utilizará como fundamento de las pruebas anteriores.
14. Errores previsibles y contraejemplos
- Omitir el valor absoluto. El producto escalar puede ser negativo; el enunciado acota su magnitud. La cota unilateral \(\langle u,v\rangle\le\|u\|\|v\|\) es verdadera, pero pierde información respecto de la cota bilateral.
- Confundir igualdad con «mismo sentido». En Cauchy–Schwarz real, \(u=-v\ne0\) también da igualdad; el requisito de mismo sentido corresponde a la triangular euclidiana.
- Dividir por \(\|v\|^2\) sin comprobar que \(v\ne0\). La prueba separa primero el vector nulo. Éste sí satisface el teorema y el caso de igualdad.
- Suponer que la versión compleja compara cuadrados complejos. El objeto no negativo es \(|\langle u,v\rangle|^2\), no \(\langle u,v\rangle^2\).
- Usar una norma cualquiera con el producto escalar usual. En \(\mathbb R^2\), toma \(u=v=(1,1)\) y la norma del máximo: \(|u\cdot v|=2\), pero \(\|u\|_\infty\|v\|_\infty=1\). Cauchy–Schwarz no afirma esa desigualdad para una norma ajena al producto interno.
- Inferir proporcionalidad de todas las coordenadas con pesos nulos. La versión ponderada sólo restringe las posiciones con peso positivo.
- Confundir cero integral con cero puntual para funciones arbitrarias. En \(L^2\) la condición de igualdad es casi en todas partes; el argumento puntual de §12.3 usa continuidad en un intervalo no degenerado.
- Suponer que Cauchy–Schwarz requiere completitud. La prueba abstracta no utiliza límites ni completitud: funciona antes de completar un espacio prehilbertiano.
- Razonar en círculo. Probar Cauchy–Schwarz usando la triangular euclidiana y luego la triangular euclidiana usando Cauchy–Schwarz no establece ninguno de los dos resultados; debemos partir de la no negatividad de los cuadrados o de otra propiedad ya demostrada.
15. Actividades de reconstrucción y transferencia
A. Reconstrucción de la prueba. Sin consultar §5, desarrolla \(\|a-tb\|_2^2\). Si \(b\ne0\), determina el valor de \(t\) que produce la cota más fuerte. Identifica exactamente en qué línea utilizas que \(\|b\|_2^2>0\).
B. Diagnóstico de igualdad. Decide para cada par si hay igualdad, desigualdad estricta o caso nulo: \((1,2),(2,4)\); \((1,2),(-2,-4)\); \((1,0),(0,1)\); \((0,0),(3,-1)\). Justifica la respuesta mediante dependencia lineal, no sólo por cálculo numérico.
C. Prueba de estrés. Un compañero propone \(|u\cdot v|\le\|u\|_\infty\|v\|_\infty\) para todos los vectores reales, conservando el producto escalar euclidiano. Encuentra un contraejemplo y explica qué relación estructural falta entre producto y norma.
D. Variación de pesos. Demuestra la versión ponderada y examina \(w=(1,0)\), \(a=(1,17)\), \(b=(2,-3)\). ¿Hay igualdad? ¿Por qué no necesita ser cierta la proporcionalidad de las segundas coordenadas?
E. Lectura de una identidad. Prueba directamente para \(n=2\) que \(\|a\|_2^2\|b\|_2^2-(a\cdot b)^2=(a_1b_2-a_2b_1)^2\). Interpreta cuándo se anula el término derecho.
F. Transferencia al análisis, con solución. Sea \(v\in V\) fijo en un espacio con producto interno. Demuestra directamente, con la definición \(\varepsilon\)–\(\delta\), que la función \(u\mapsto\langle u,v\rangle\) es continua en todo punto.
G. Reconstrucción desde Labbé. Empieza sólo con \(\sum_i(a_ix+b_i)^2\ge0\). Expande, identifica el coeficiente cuadrático, separa el caso \(a=0\) y elige \(x\) para obtener Cauchy–Schwarz. Compáralo con §5: ¿qué papel intercambiaron los vectores?
H. Afinar una cota como problema de investigación. Demuestra \(\sum_i|a_ib_i|\le(A^2+B^2)/2\) sin usar Cauchy–Schwarz, donde \(A=\|a\|_2\) y \(B=\|b\|_2\). Para \(a=(12,0)\) y \(b=(1,0)\), calcula esa cota y la cota \(AB\). A continuación aplica el mismo lema a \(ta_i\) y \(b_i/t\): deduce qué \(t>0\) iguala los dos sumandos y por qué la cota resultante es más ajustada.
I. El defecto no es una distancia. Calcula \(D((1,0),(0,1))\) y \(D((3,0),(0,1))\). Determina cómo varía \(D(sa,b)\) con \(s\in\mathbb R\). Explica por qué \(D(a,b)=0\) no significa \(a=b\) y qué propiedad geométrica sí detecta.
J. Transferencia a sucesiones. Justifica cada uno de estos pasos sin invocar la completitud de \(\ell^2\): \(S_N=\sum_{k\le N}|a_kb_k|\) es monótona; \(S_N\le AB\); \(S_N\) converge; la serie \(\sum_k a_kb_k\) converge absolutamente. Indica con precisión el teorema de sucesiones reales que se utiliza.
K. Reconstrucción inductiva. Demuestra primero la identidad \((A^2+x^2)(B^2+y^2)-(AB+|xy|)^2=(A|y|-B|x|)^2\) para \(A,B\ge0\). Sin consultar §3, usa ese caso bidimensional y la hipótesis para \(n\) coordenadas para obtener el caso \(n+1\). Identifica los tres recursos distintos: caso base, hipótesis de inducción y triangular escalar.
Solución de F. Fijemos \(u_0\in V\) y \(\varepsilon>0\). Si \(v=0\), la función es constante y cualquier \(\delta>0\) sirve. Si \(v\ne0\), escojamos \(\delta=\varepsilon/\|v\|\). Cuando \(\|u-u_0\|<\delta\), Cauchy–Schwarz asegura
\[ |\langle u,v\rangle-\langle u_0,v\rangle| =|\langle u-u_0,v\rangle| \le\|u-u_0\|\|v\|<\varepsilon. \]
Ésta es exactamente la continuidad en \(u_0\). \(\square\)
16. Síntesis: qué hemos demostrado y por qué importa
La desigualdad comenzó con uno y dos pares de números, pasó a sumas finitas mediante inducción y volvió a demostrarse a partir de la pista cuadrática de Labbé. Comparamos una cota aditiva con una multiplicativa óptima y sólo entonces introdujimos las abreviaturas de producto interno y norma. El argumento por parámetros anticipó la proyección y la identidad de Lagrange mostró toda la diferencia entre los dos lados. El caso de igualdad surgió de la prueba, no de una conjetura visual: los vectores deben ser linealmente dependientes.
El argumento sobrevive al paso del producto escalar usual a productos internos reales, complejos y abstractos porque conserva un hecho esencial: \(\langle x,x\rangle\) es un real no negativo y sólo vale cero para el vector nulo. Las sumas ponderadas y las integrales exigen adaptar con cuidado el dominio y el significado de la igualdad. La completitud, la teoría de la medida y la probabilidad sólo entran cuando esas variantes concretas las requieren.
La consecuencia estructural más inmediata es que el producto interno induce una norma cuya propiedad triangular se demuestra, en lugar de suponerse. La misma estimación controla productos internos como funciones, medias, comparaciones de normas y covarianzas. En todos los casos reaparece el mismo método: reemplazar una interacción difícil de calcular por dos magnitudes sobre las que tenemos control.
17. Preguntas frecuentes
Estas respuestas retoman las dudas que surgen en la progresión de §§1–13. Las preguntas elementales se responden con sumas explícitas; la notación de producto interno y norma aparece sólo en aquellas que dependen de §7 o posteriores.
Ir a una pregunta: ¿Cuál es exactamente la desigualdad que estamos demostrando? · ¿Por qué empezamos con \(n=1\) y \(n=2\)? · ¿Qué aporta la pista del ejercicio de Labbé? · ¿Por qué se separa el caso en que una lista es nula? · ¿Estamos usando la desigualdad triangular para demostrar Cauchy–Schwarz? ¿Hay circularidad? · ¿Por qué la cota aditiva puede ser peor? · ¿Por qué aparecen las dobles barras tan tarde? · ¿Cuándo hay igualdad? ¿Deben apuntar en el mismo sentido? · ¿Qué indica una suma de productos igual a cero? · ¿Qué mide el «defecto» y por qué no es una distancia? · ¿Funciona la misma fórmula con cualquier norma? · ¿Qué cambia para números complejos? · ¿Se puede aplicar a series o integrales sin más? · ¿Puede una applet demostrar la desigualdad?.
¿Cuál es exactamente la desigualdad que estamos demostrando?
Para números reales \(a_1,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_n\), la suma de productos está acotada por las raíces de las sumas de cuadrados:
\[ \left|\sum_{i=1}^na_ib_i\right|\le \sqrt{\sum_{i=1}^na_i^2}\sqrt{\sum_{i=1}^nb_i^2}. \]
La forma con ambos miembros al cuadrado es equivalente porque son no negativos (§3). No estamos comparando coordenadas una a una.
¿Por qué empezamos con \(n=1\) y \(n=2\)?
Para un término obtenemos una igualdad algebraica. En dos términos aparece el primer obstáculo no trivial y la identidad \((a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)-(a_1b_1+a_2b_2)^2=(a_1b_2-a_2b_1)^2\). Ese cuadrado explica la desigualdad en el plano y permite construir el paso inductivo (§§1–3). Comprobar muchos ejemplos no equivale a demostrar el caso general.
¿Qué aporta la pista del ejercicio de Labbé?
Propone estudiar \(\sum_i(a_ix+b_i)^2\ge0\) para todo número real \(x\). Al desarrollar surge un polinomio cuadrático que contiene las tres sumas relevantes. Elegir el valor que lo minimiza permite deducir la desigualdad sin inducción (§4). La pista pertenece al ejercicio; el desarrollo escrito aquí es propio del artículo.
¿Por qué se separa el caso en que una lista es nula?
Si \(a_1=\cdots=a_n=0\), los dos miembros valen cero y hay igualdad. En la prueba de Labbé sólo se divide por \(\sum_i a_i^2\) cuando esta suma es estrictamente positiva. Dividir por cero no es una simplificación permitida (§4). En la prueba con \(a_i-tb_i\) se separa análogamente la lista \(b\) nula (§5).
¿Estamos usando la desigualdad triangular para demostrar Cauchy–Schwarz? ¿Hay circularidad?
En la inducción de §3 se usa únicamente la desigualdad triangular del valor absoluto de números reales, ya disponible de forma independiente: \(|x+y|\le|x|+|y|\). No se utiliza la desigualdad triangular para la norma euclidiana de vectores; ésta se demuestra después, como consecuencia de Cauchy–Schwarz en §13.1.
¿Por qué la cota aditiva puede ser peor?
La relación \(2|rs|\le r^2+s^2\) produce una cota válida pero sensible a las escalas de ambas listas. En §6, reemplazar \(a_i\) por \(ta_i\) y \(b_i\) por \(b_i/t\), con \(t>0\), conserva los productos individuales y permite elegir un parámetro que equilibra los dos términos. La normalización conduce a una cota multiplicativa más ajustada. Además, pasar de \(\sum|a_ib_i|\) a \(|\sum a_ib_i|\) puede introducir cancelaciones de signo: son dos fenómenos distintos.
¿Por qué aparecen las dobles barras tan tarde?
En §7 definimos \(\langle a,b\rangle=\sum_i a_ib_i\) y \(\|a\|_2=\sqrt{\sum_i a_i^2}\). Sólo entonces escribimos \(|\langle a,b\rangle|\le\|a\|_2\|b\|_2\). La barra simple corresponde al valor absoluto de un escalar; la doble barra, a la norma de un vector. Se trata primero de una abreviatura justificada de la misma desigualdad, no de una hipótesis nueva.
¿Cuándo hay igualdad? ¿Deben apuntar en el mismo sentido?
Hay igualdad exactamente cuando los dos vectores son linealmente dependientes: alguno es nulo o, si ambos son no nulos, uno es múltiplo real del otro (§8). Los sentidos opuestos también dan igualdad en Cauchy–Schwarz, porque el producto escalar aparece dentro de un valor absoluto. «Mismo sentido» corresponde al caso de igualdad de la desigualdad triangular euclidiana, no al criterio completo de Cauchy–Schwarz.
¿Qué indica una suma de productos igual a cero?
Significa que los vectores son ortogonales según el producto escalar usual; no implica que haya igualdad. Si ambos vectores son no nulos y ortogonales, el lado izquierdo es cero y el producto de las longitudes es positivo, de modo que la desigualdad es estricta (§10).
¿Qué mide el «defecto» y por qué no es una distancia?
Para dos listas reales en el plano, la diferencia entre el producto de las sumas de cuadrados y el cuadrado de la suma de productos es \((a_1b_2-a_2b_1)^2\). Es el cuadrado del área del paralelogramo; se anula cuando los vectores son dependientes (§9). No es una distancia entre vectores porque puede anularse entre vectores distintos, como \(a\) y \(2a\).
¿Funciona la misma fórmula con cualquier norma?
No si conservamos el producto escalar usual y sustituimos arbitrariamente la norma euclidiana. Por ejemplo, con \(u=v=(1,1)\) se tiene \(|u\cdot v|=2\) pero \(\|u\|_\infty\|v\|_\infty=1\), así que esa sustitución fallaría. La versión abstracta emplea la norma inducida por el propio producto interno (§§7, 11 y 14).
¿Qué cambia para números complejos?
El producto interno incluye conjugación según la convención elegida y la desigualdad controla el módulo \(|\langle u,v\rangle|\), no el orden de una cantidad compleja: los números complejos no disponen del orden compatible de los reales usado en la prueba elemental (§11.2). El cuadrado no negativo pertinente es \(|\langle u,v\rangle|^2\).
¿Se puede aplicar a series o integrales sin más?
No basta con reemplazar un signo de suma finita por \(\infty\) o por \(\int\). Para series, §12.2 supone que ambas series de cuadrados convergen y justifica el paso al límite. Para funciones continuas, §12.3 utiliza la integral de Riemann y establece la igualdad puntual apropiada. En \(L^2\), §12.4 trabaja con clases de funciones y la proporcionalidad se entiende casi en todas partes.
¿Puede una applet demostrar la desigualdad?
No: experimentar con una cantidad finita de datos, aunque el cálculo sea exacto en ejemplos determinados, no demuestra una proposición universal. El laboratorio MA-APP-0002 permite formular conjeturas, localizar casos nulos o de igualdad y visualizar el cuadrado del defecto; las pruebas válidas para todo \(n\) están en §§3–5 y §9.
Fuentes para el contexto histórico y referencias matemáticas
- Cauchy, A.-L., Cours d’analyse de l’École royale polytechnique, primera parte, Analyse algébrique (1821), especialmente pp. 373–377 de la edición original: texto de la obra de 1821. La ubicación de las páginas se consigna siguiendo las referencias bibliográficas modernas, sin afirmar aquí una colación página a página del facsímil.
- Encyclopedia of Mathematics, «Cauchy–Schwarz inequality»: versión de sumas finitas y distinción de la versión integral.
- MacTutor History of Mathematics, «Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics, C»: notas sobre las atribuciones Cauchy, Bunyakovski y Schwarz y la historia del nombre.
- Axler, Sheldon, Linear Algebra Done Right, capítulo sobre espacios con producto interno: teorema, proyección ortogonal y criterio de igualdad. Referencia de consulta; las demostraciones de este manuscrito se presentan de forma autocontenida.
- Labbé Morales, Gustavo, Cálculo I, edición PDF consultada de 126 páginas, §1.7 (definición y propiedades del valor absoluto, pp. 20–22) y §1.8, ejercicio 13 (Cauchy–Schwarz y pista algebraica, p. 24). El libro presenta el resultado como ejercicio, no como la demostración desarrollada en §4 de este artículo; no se atribuye aquí un año editorial no verificado.
- Steele, J. Michael, The Cauchy–Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities, Mathematical Association of America / Cambridge University Press, 2004, cap. 1 «Starting with Cauchy» (pp. 1–18) y cap. 3 «Lagrange’s Identity and Minkowski’s Conjecture» (pp. 37–50). Referencia para el enfoque de problemas, la normalización, la comparación de cotas, el estudio de series y el defecto de la desigualdad. Los problemas y desarrollos añadidos al manuscrito están redactados de nuevo; no se reproducen los ejercicios del libro.
- «La desigualdad triangular», especialmente §§2, 5 y 7.1: desigualdad escalar para sumas, dependencia de Cauchy–Schwarz y norma euclidiana.