Soluciones · Sección 1A
Estado: VERIFICADO
Procedencia: [SOL] material original de Matemática Abierta.
Referencia: ejercicios 1–15 de la Sección 1A de Linear Algebra Done Right, 4.ª ed.
Criterio: las soluciones usan únicamente aritmética real/compleja y las definiciones disponibles en la propia Sección 1A.
Ejercicio 1
Demostrar que \(\alpha+\beta=\beta+\alpha\) para todos \(\alpha,\beta\in\mathbf C\).
Sean
\[ \alpha=a+bi,\qquad \beta=c+di, \]
con \(a,b,c,d\in\mathbf R\). Entonces, por definición de suma compleja,
\[ \alpha+\beta=(a+c)+(b+d)i. \]
Como la suma en \(\mathbf R\) es conmutativa,
\[ (a+c)+(b+d)i=(c+a)+(d+b)i=\beta+\alpha. \]
Por tanto,
\[ \boxed{\alpha+\beta=\beta+\alpha}. \]
Ejercicio 2
Demostrar que \((\alpha+\beta)+\lambda=\alpha+(\beta+\lambda)\).
Escribamos
\[ \alpha=a+bi,\qquad \beta=c+di,\qquad \lambda=e+fi. \]
Entonces
\[ \begin{aligned} (\alpha+\beta)+\lambda &=((a+c)+e)+((b+d)+f)i\\ &=(a+(c+e))+(b+(d+f))i\\ &=\alpha+(\beta+\lambda), \end{aligned} \]
usando la asociatividad de la suma real en las dos coordenadas. Así,
\[ \boxed{(\alpha+\beta)+\lambda=\alpha+(\beta+\lambda)}. \]
Ejercicio 3
Demostrar que \((\alpha\beta)\lambda=\alpha(\beta\lambda)\).
Sean
\[ \alpha=a+bi,\qquad \beta=c+di,\qquad \lambda=e+fi. \]
Primero,
\[ \alpha\beta=(ac-bd)+(ad+bc)i. \]
Por tanto,
\[ \begin{aligned} (\alpha\beta)\lambda &=[(ac-bd)+(ad+bc)i](e+fi)\\ &=[(ac-bd)e-(ad+bc)f]\\ &\qquad+[(ac-bd)f+(ad+bc)e]i\\ &=(ace-bde-adf-bcf)\\ &\qquad+(acf-bdf+ade+bce)i. \end{aligned} \]
Por otro lado,
\[ \beta\lambda=(ce-df)+(cf+de)i, \]
y entonces
\[ \begin{aligned} \alpha(\beta\lambda) &=(a+bi)[(ce-df)+(cf+de)i]\\ &=[a(ce-df)-b(cf+de)]\\ &\qquad+[a(cf+de)+b(ce-df)]i\\ &=(ace-adf-bcf-bde)\\ &\qquad+(acf+ade+bce-bdf)i. \end{aligned} \]
Las partes reales y las partes imaginarias coinciden, luego
\[ \boxed{(\alpha\beta)\lambda=\alpha(\beta\lambda)}. \]
Ejercicio 4
Demostrar la distributividad
\[ \lambda(\alpha+\beta)=\lambda\alpha+\lambda\beta. \]
Sean
\[ \lambda=e+fi,\qquad \alpha=a+bi,\qquad \beta=c+di. \]
Como
\[ \alpha+\beta=(a+c)+(b+d)i, \]
tenemos
\[ \begin{aligned} \lambda(\alpha+\beta) &=(e+fi)[(a+c)+(b+d)i]\\ &=[e(a+c)-f(b+d)]\\ &\qquad+[e(b+d)+f(a+c)]i\\ &=(ea-fb)+(eb+fa)i\\ &\qquad+(ec-fd)+(ed+fc)i\\ &=\lambda\alpha+\lambda\beta. \end{aligned} \]
Así,
\[ \boxed{\lambda(\alpha+\beta)=\lambda\alpha+\lambda\beta}. \]
Ejercicio 5
Demostrar que para todo \(\alpha\in\mathbf C\) existe un único \(\beta\in\mathbf C\) tal que \(\alpha+\beta=0\).
Sea
\[ \alpha=a+bi. \]
Existencia
Tomemos
\[ \beta=-a-bi. \]
Entonces
\[ \alpha+\beta=(a-a)+(b-b)i=0. \]
Unicidad
Si \(\gamma=c+di\) también satisface \(\alpha+\gamma=0\), entonces
\[ (a+c)+(b+d)i=0+0i. \]
La igualdad de números complejos exige igualdad coordenada a coordenada, de modo que
\[ c=-a,\qquad d=-b. \]
Por tanto \(\gamma=-a-bi=\beta\). En consecuencia, el inverso aditivo existe y es único:
\[ \boxed{-\alpha=-a-bi}. \]
Ejercicio 6
Demostrar que para todo \(\alpha\in\mathbf C\), \(\alpha\neq0\), existe un único \(\beta\in\mathbf C\) tal que \(\alpha\beta=1\).
Sea
\[ \alpha=a+bi\neq0. \]
Entonces \(a\) y \(b\) no son ambos cero, por lo que
\[ a^2+b^2>0. \]
Existencia
Definimos
\[ \beta=\frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}i =\frac{a-bi}{a^2+b^2}. \]
Entonces
\[ \begin{aligned} \alpha\beta &=(a+bi)\frac{a-bi}{a^2+b^2}\\ &=\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2}\\ &=1. \end{aligned} \]
Unicidad
Supongamos que \(\gamma=c+di\) satisface
\[ (a+bi)(c+di)=1. \]
Igualando partes real e imaginaria,
\[ ac-bd=1, \]
\[ ad+bc=0. \]
Multiplicando la primera ecuación por \(a\) y la segunda por \(b\), y sumando, obtenemos
\[ (a^2+b^2)c=a, \]
por lo que
\[ c=\frac{a}{a^2+b^2}. \]
Multiplicando la segunda ecuación por \(a\) y restando de ella la primera multiplicada por \(b\), obtenemos
\[ (a^2+b^2)d=-b, \]
de donde
\[ d=-\frac{b}{a^2+b^2}. \]
Así \(\gamma=\beta\). Por tanto,
\[ \boxed{\frac1{a+bi}=\frac{a-bi}{a^2+b^2}}. \]
Ejercicio 7
Demostrar que
\[ \omega=\frac{-1+\sqrt3\,i}{2} \]
es una raíz cúbica de \(1\).
Primero,
\[ \begin{aligned} \omega^2 &=\frac{(-1+\sqrt3\,i)^2}{4}\\ &=\frac{1-2\sqrt3\,i-3}{4}\\ &=\frac{-1-\sqrt3\,i}{2}. \end{aligned} \]
Luego
\[ \begin{aligned} \omega^3 &=\omega^2\omega\\ &=\frac{(-1-\sqrt3\,i)(-1+\sqrt3\,i)}{4}\\ &=\frac{1+3}{4}\\ &=1. \end{aligned} \]
Por tanto,
\[ \boxed{\left(\frac{-1+\sqrt3\,i}{2}\right)^3=1}. \]
Ejercicio 8
Encontrar dos raíces cuadradas distintas de \(i\).
Sea
\[ z=a+bi \]
y supongamos \(z^2=i\). Entonces
\[ z^2=(a^2-b^2)+2ab\,i. \]
Igualando partes real e imaginaria con \(i=0+1i\),
\[ a^2-b^2=0, \]
\[ 2ab=1. \]
De \(a^2=b^2\) obtenemos \(b=\pm a\). Como \(ab>0\), \(a\) y \(b\) tienen el mismo signo, así que \(b=a\). Por tanto,
\[ 2a^2=1, \]
y
\[ a=\pm\frac1{\sqrt2}. \]
Las dos raíces son
\[ \boxed{\frac{1+i}{\sqrt2}} \qquad\text{y}\qquad \boxed{-\frac{1+i}{\sqrt2}}. \]
Ejercicio 9
Resolver
\[ (4,-3,1,7)+2x=(5,9,-6,8). \]
Restando \((4,-3,1,7)\) en ambos lados,
\[ 2x=(1,12,-7,1). \]
Dividiendo cada coordenada por \(2\),
\[ \boxed{x=\left(\frac12,6,-\frac72,\frac12\right)}. \]
Verificación:
\[ (4,-3,1,7)+\left(1,12,-7,1\right)=(5,9,-6,8). \]
Ejercicio 10
Explicar por qué no existe \(\lambda\in\mathbf C\) tal que
\[ \lambda(2-3i,5+4i,-6+7i) =(12-5i,7+22i,-32-9i). \]
La primera coordenada obligaría a
\[ \lambda(2-3i)=12-5i. \]
Como \(2-3i\neq0\),
\[ \lambda=\frac{12-5i}{2-3i}. \]
Multiplicando numerador y denominador por \(2+3i\),
\[ \lambda =\frac{(12-5i)(2+3i)}{13} =\frac{39+26i}{13} =3+2i. \]
Este valor también satisface la segunda coordenada:
\[ (3+2i)(5+4i)=7+22i. \]
Sin embargo, en la tercera coordenada produce
\[ (3+2i)(-6+7i)=-32+9i, \]
mientras que el vector de la derecha exige \(-32-9i\). Contradicción. Luego
\[ \boxed{\text{no existe tal }\lambda}. \]
Ejercicio 11
Demostrar que
\[ (x+y)+z=x+(y+z) \]
para todos \(x,y,z\in\mathbf F^n\).
Sean
\[ x=(x_1,\ldots,x_n),\quad y=(y_1,\ldots,y_n),\quad z=(z_1,\ldots,z_n). \]
Entonces
\[ \begin{aligned} (x+y)+z &=(x_1+y_1,\ldots,x_n+y_n)+(z_1,\ldots,z_n)\\ &=((x_1+y_1)+z_1,\ldots,(x_n+y_n)+z_n)\\ &=(x_1+(y_1+z_1),\ldots,x_n+(y_n+z_n))\\ &=x+(y+z), \end{aligned} \]
porque la suma en \(\mathbf F\) es asociativa. Así,
\[ \boxed{(x+y)+z=x+(y+z)}. \]
Ejercicio 12
Demostrar que
\[ (ab)x=a(bx) \]
para todo \(x\in\mathbf F^n\) y \(a,b\in\mathbf F\).
Si \(x=(x_1,\ldots,x_n)\), entonces
\[ \begin{aligned} (ab)x &=((ab)x_1,\ldots,(ab)x_n)\\ &=(a(bx_1),\ldots,a(bx_n))\\ &=a(bx), \end{aligned} \]
por la asociatividad de la multiplicación en \(\mathbf F\). Por tanto,
\[ \boxed{(ab)x=a(bx)}. \]
Ejercicio 13
Demostrar que \(1x=x\) para todo \(x\in\mathbf F^n\).
Si
\[ x=(x_1,\ldots,x_n), \]
entonces
\[ 1x=(1x_1,\ldots,1x_n)=(x_1,\ldots,x_n)=x. \]
Luego
\[ \boxed{1x=x}. \]
Ejercicio 14
Demostrar que
\[ \lambda(x+y)=\lambda x+\lambda y. \]
Sean
\[ x=(x_1,\ldots,x_n),\qquad y=(y_1,\ldots,y_n). \]
Entonces
\[ \begin{aligned} \lambda(x+y) &=\lambda(x_1+y_1,\ldots,x_n+y_n)\\ &=(\lambda(x_1+y_1),\ldots,\lambda(x_n+y_n))\\ &=(\lambda x_1+\lambda y_1,\ldots,\lambda x_n+\lambda y_n)\\ &=(\lambda x_1,\ldots,\lambda x_n)+(\lambda y_1,\ldots,\lambda y_n)\\ &=\lambda x+\lambda y, \end{aligned} \]
por la distributividad en \(\mathbf F\). Por tanto,
\[ \boxed{\lambda(x+y)=\lambda x+\lambda y}. \]
Ejercicio 15
Demostrar que
\[ (a+b)x=ax+bx. \]
Sea
\[ x=(x_1,\ldots,x_n). \]
Entonces
\[ \begin{aligned} (a+b)x &=((a+b)x_1,\ldots,(a+b)x_n)\\ &=(ax_1+bx_1,\ldots,ax_n+bx_n)\\ &=(ax_1,\ldots,ax_n)+(bx_1,\ldots,bx_n)\\ &=ax+bx. \end{aligned} \]
Así,
\[ \boxed{(a+b)x=ax+bx}. \]
QA matemático local
- Ejercicios resueltos: 15/15.
- Dependencias posteriores: ninguna.
- Uso de resultados no disponibles en 1A: ninguno.
- Ejercicio 6: la unicidad del inverso multiplicativo se demuestra directamente por coordenadas, sin presuponer el resultado que se está demostrando.
- Ejercicio 10: las tres coordenadas fueron comprobadas explícitamente; la contradicción aparece en la tercera.
Estas soluciones no forman parte del texto de Sheldon Axler y no deben atribuirse al autor.
Procedencia y licencia de esta edición: traducción/adaptación no oficial de Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4.ª edición. La traducción y las contribuciones de esta edición se publican bajo CC BY-NC 4.0. Las soluciones señaladas como originales son de Matemática Abierta, no del autor. Índice de esta edición.