Soluciones · Sección 1B
Estado: VERIFICADO
Procedencia: [SOL] material original de Matemática Abierta.
Referencia: ejercicios 1–8 de la Sección 1B de Linear Algebra Done Right, 4.ª ed.
Criterio: las soluciones usan únicamente definiciones y resultados disponibles hasta 1B.
Ejercicio 1
Demostrar que
\[ -(-v)=v \]
para todo \(v\in V\).
Por definición, \(-v\) es el único vector que satisface
\[ v+(-v)=0. \]
Por conmutatividad,
\[ (-v)+v=0. \]
Así, \(v\) es un inverso aditivo de \(-v\). Como el inverso aditivo es único por 1.27,
\[ \boxed{-(-v)=v}. \]
Ejercicio 2
Supongamos \(a\in\mathbf F\), \(v\in V\) y
\[ av=0. \]
Debemos demostrar que \(a=0\) o \(v=0\).
Si \(a=0\), no hay nada que demostrar. Supongamos entonces que \(a\neq0\). Como \(\mathbf F\) es \(\mathbf R\) o \(\mathbf C\), el escalar \(a\) tiene inverso multiplicativo \(a^{-1}\). Multiplicando \(av=0\) por \(a^{-1}\),
\[ \begin{aligned} v &=1v\\ &=(a^{-1}a)v\\ &=a^{-1}(av)\\ &=a^{-1}0\\ &=0, \end{aligned} \]
donde la última igualdad es 1.31. Por tanto,
\[ \boxed{a=0\ \text{o}\ v=0}. \]
Ejercicio 3
Supongamos \(v,w\in V\). Queremos resolver
\[ v+3x=w. \]
Restando \(v\) y multiplicando por \(1/3\), el candidato natural es
\[ \boxed{x=\frac13(w-v)}. \]
Existencia
Tenemos
\[ \begin{aligned} v+3\left[\frac13(w-v)\right] &=v+(w-v)\\ &=v+w+(-v)\\ &=w. \end{aligned} \]
Unicidad
Supongamos que \(x,y\in V\) satisfacen
\[ v+3x=w \]
y
\[ v+3y=w. \]
Entonces
\[ v+3x=v+3y. \]
Sumando \(-v\) a ambos lados obtenemos
\[ 3x=3y. \]
Multiplicando por \(1/3\),
\[ x=y. \]
Por tanto, existe un único vector que resuelve la ecuación:
\[ \boxed{x=\frac13(w-v)}. \]
Ejercicio 4
El conjunto vacío no es un espacio vectorial. ¿Qué requisito de 1.20 falla?
La condición que falla es la existencia de una identidad aditiva. La definición exige que exista un elemento
\[ 0\in V \]
tal que \(v+0=v\) para todo \(v\in V\). Si \(V=\varnothing\), no existe ningún elemento que pueda desempeñar el papel de \(0\).
Las demás propiedades de 1.20 son afirmaciones universales sobre elementos de \(V\) y resultan vacuamente verdaderas cuando no hay elementos.
Por tanto,
\[ \boxed{\text{falla la condición de identidad aditiva}}. \]
Ejercicio 5
Debemos mostrar que, en 1.20, la condición de inverso aditivo puede sustituirse por
\[ 0v=0\qquad\text{para todo }v\in V, \]
sin cambiar la clase de espacios vectoriales.
Primera dirección
Si \(V\) es un espacio vectorial en el sentido usual de 1.20, entonces 1.30 ya demuestra que
\[ 0v=0 \]
para todo \(v\in V\).
Dirección recíproca
Supongamos ahora que se cumplen todos los axiomas de 1.20 excepto, por el momento, la existencia de inversos aditivos, y que en su lugar asumimos
\[ 0v=0 \]
para todo \(v\in V\).
Sea \(v\in V\). Usando la distributividad y la identidad multiplicativa,
\[ \begin{aligned} v+(-1)v &=1v+(-1)v\\ &=(1+(-1))v\\ &=0v\\ &=0. \end{aligned} \]
Por tanto, \((-1)v\) es un inverso aditivo de \(v\). Así, todo vector tiene inverso aditivo.
Concluimos que ambas condiciones son equivalentes dentro del resto de los axiomas:
\[ \boxed{\text{la condición de inverso aditivo puede sustituirse por }0v=0}. \]
Ejercicio 6
Consideremos
\[ W=\mathbf R\cup\{\infty,-\infty\} \]
con las operaciones definidas en el enunciado.
No es un espacio vectorial sobre \(\mathbf R\). Basta encontrar un axioma que falle. La suma no es asociativa.
En efecto,
\[ (\infty+\infty)+(-\infty) =\infty+(-\infty) =0, \]
mientras que
\[ \infty+(\infty+(-\infty)) =\infty+0 =\infty. \]
Como \(0\neq\infty\),
\[ (\infty+\infty)+(-\infty) \neq \infty+(\infty+(-\infty)). \]
Por tanto,
\[ \boxed{W\text{ no es un espacio vectorial sobre }\mathbf R}. \]
Ejercicio 7
Sea \(S\) un conjunto no vacío y sea \(V^S\) el conjunto de todas las funciones \(f:S\to V\).
Definimos, para \(f,g\in V^S\), \(a\in\mathbf F\) y \(s\in S\),
\[ (f+g)(s)=f(s)+g(s), \]
\[ (af)(s)=a f(s). \]
Estas operaciones están bien definidas porque \(f(s),g(s)\in V\) y \(V\) es un espacio vectorial.
Verificamos los axiomas punto a punto.
Conmutatividad
Para todo \(s\in S\),
\[ (f+g)(s)=f(s)+g(s)=g(s)+f(s)=(g+f)(s). \]
Luego \(f+g=g+f\).
Asociatividad de la suma
Para todo \(s\in S\),
\[ ((f+g)+h)(s) =(f(s)+g(s))+h(s) =f(s)+(g(s)+h(s)) =(f+(g+h))(s). \]
Identidad aditiva
Definimos la función cero \(0:S\to V\) por
\[ 0(s)=0_V \]
para todo \(s\in S\). Entonces
\[ (f+0)(s)=f(s)+0_V=f(s), \]
así que \(f+0=f\).
Inverso aditivo
Para \(f\in V^S\), definimos \(-f\) mediante
\[ (-f)(s)=-f(s). \]
Entonces
\[ (f+(-f))(s)=f(s)+(-f(s))=0_V, \]
por lo que \(f+(-f)=0\).
Asociatividad de la multiplicación por escalares
Para \(a,b\in\mathbf F\),
\[ ((ab)f)(s)=(ab)f(s)=a(bf(s))=(a(bf))(s). \]
Identidad multiplicativa
\[ (1f)(s)=1f(s)=f(s). \]
Distributividad respecto de la suma de funciones
\[ \begin{aligned} (a(f+g))(s) &=a(f(s)+g(s))\\ &=af(s)+ag(s)\\ &=(af+ag)(s). \end{aligned} \]
Distributividad respecto de la suma de escalares
\[ \begin{aligned} ((a+b)f)(s) &=(a+b)f(s)\\ &=af(s)+bf(s)\\ &=(af+bf)(s). \end{aligned} \]
Como las igualdades se cumplen para todo \(s\in S\), se cumplen como igualdades de funciones. Por tanto,
\[ \boxed{V^S\text{ es un espacio vectorial sobre }\mathbf F}. \]
Ejercicio 8
Sea \(V\) un espacio vectorial real. Definimos
\[ V_{\mathbf C}=V\times V, \]
escribiendo \((u,v)\) como \(u+iv\).
La suma es
\[ (u_1+iv_1)+(u_2+iv_2) =(u_1+u_2)+i(v_1+v_2), \]
y, si \(a,b\in\mathbf R\),
\[ (a+bi)(u+iv) =(au-bv)+i(av+bu). \]
Debemos verificar que estas operaciones convierten \(V_{\mathbf C}\) en un espacio vectorial sobre \(\mathbf C\).
Conmutatividad y asociatividad de la suma
Ambas se siguen componente a componente de las correspondientes propiedades en el espacio vectorial real \(V\). Por ejemplo,
\[ (u_1+iv_1)+(u_2+iv_2) =(u_2+iv_2)+(u_1+iv_1). \]
Identidad aditiva
El vector cero es
\[ 0+i0. \]
En efecto,
\[ (u+iv)+(0+i0)=u+iv. \]
Inverso aditivo
El inverso aditivo de \(u+iv\) es
\[ (-u)+i(-v), \]
porque
\[ (u+iv)+((-u)+i(-v))=0+i0. \]
Identidad multiplicativa compleja
Como \(1=1+0i\),
\[ (1+0i)(u+iv) =(1u-0v)+i(1v+0u) =u+iv. \]
Asociatividad de la multiplicación por escalares
Sean
\[ \alpha=a+bi, \qquad \beta=c+di, \]
y sea \(z=u+iv\in V_{\mathbf C}\).
Primero,
\[ \beta z=(cu-dv)+i(cv+du). \]
Por tanto,
\[ \begin{aligned} \alpha(\beta z) &=a(cu-dv)-b(cv+du)\\ &\quad+i\,[a(cv+du)+b(cu-dv)]\\ &=[(ac-bd)u-(ad+bc)v]\\ &\quad+i\,[(ad+bc)u+(ac-bd)v]. \end{aligned} \]
Pero
\[ \alpha\beta=(ac-bd)+(ad+bc)i. \]
Luego
\[ (\alpha\beta)z =[(ac-bd)u-(ad+bc)v] +i[(ad+bc)u+(ac-bd)v], \]
que coincide con \(\alpha(\beta z)\). Así,
\[ (\alpha\beta)z=\alpha(\beta z). \]
Distributividad respecto de la suma de vectores
Sean
\[ z_1=u_1+iv_1, \qquad z_2=u_2+iv_2, \]
y \(\alpha=a+bi\). Entonces
\[ \begin{aligned} \alpha(z_1+z_2) &=(a+bi)[(u_1+u_2)+i(v_1+v_2)]\\ &=[a(u_1+u_2)-b(v_1+v_2)]\\ &\quad+i[a(v_1+v_2)+b(u_1+u_2)]\\ &=(au_1-bv_1)+i(av_1+bu_1)\\ &\quad+(au_2-bv_2)+i(av_2+bu_2)\\ &=\alpha z_1+\alpha z_2, \end{aligned} \]
usando las propiedades distributivas del espacio vectorial real \(V\).
Distributividad respecto de la suma de escalares
Sean
\[ \alpha=a+bi, \qquad \beta=c+di, \qquad z=u+iv. \]
Entonces
\[ \begin{aligned} (\alpha+\beta)z &=[(a+c)+(b+d)i](u+iv)\\ &=[(a+c)u-(b+d)v]\\ &\quad+i[(a+c)v+(b+d)u]\\ &=(au-bv)+i(av+bu)\\ &\quad+(cu-dv)+i(cv+du)\\ &=\alpha z+\beta z. \end{aligned} \]
Hemos verificado todas las propiedades de 1.20. Por tanto,
\[ \boxed{V_{\mathbf C}\text{ es un espacio vectorial complejo}}. \]
La identificación
\[ u\longleftrightarrow u+i0 \]
permite considerar \(V\) como una copia real dentro de su complexificación \(V_{\mathbf C}\).
QA matemático local
- Ejercicios resueltos: 8/8.
- Dependencias posteriores: ninguna.
- Ejercicio 4: se distingue correctamente la existencia de identidad aditiva de las propiedades universalmente cuantificadas, que son vacuas en el conjunto vacío.
- Ejercicio 5: se prueban las dos direcciones exigidas por «puede reemplazarse».
- Ejercicio 6: se exhibe una falla explícita de asociatividad de la suma.
- Ejercicio 8: se verifican explícitamente la asociatividad de la multiplicación por escalares complejos y las dos distributividades.
Estas soluciones no forman parte del texto de Sheldon Axler y no deben atribuirse al autor.
Procedencia y licencia de esta edición: traducción/adaptación no oficial de Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4.ª edición. La traducción y las contribuciones de esta edición se publican bajo CC BY-NC 4.0. Las soluciones señaladas como originales son de Matemática Abierta, no del autor. Índice de esta edición.