Soluciones · Sección 2A
Estado: VERIFICADO
Procedencia: [SOL] material original de Matemática Abierta.
Referencia: ejercicios 1–20 de la Sección 2A de Linear Algebra Done Right, 4.ª ed.
Criterio: se usan únicamente las definiciones y resultados disponibles hasta 2A, más hechos algebraicos elementales ya utilizados en el libro.
Ejercicio 1
Sea
\[ U=\{(x,y,z)\in\mathbf F^3:x+y+z=0\}. \]
Una lista posible es
\[ (1,-1,0),\quad (1,0,-1),\quad (2,-1,-1),\quad (3,-2,-1). \]
Los cuatro vectores son distintos y pertenecen a \(U\). Además,
\[ (2,-1,-1)=(1,-1,0)+(1,0,-1), \]
\[ (3,-2,-1)=2(1,-1,0)+(1,0,-1), \]
de modo que basta comprobar que los dos primeros generan \(U\).
Si \((x,y,z)\in U\), entonces \(z=-x-y\) y
\[ (x,y,z)=-y(1,-1,0)+(x+y)(1,0,-1). \]
Por tanto el span de la lista dada es exactamente \(U\).
Ejercicio 2
La afirmación es verdadera.
Sea
\[ w_1=v_1-v_2,\quad w_2=v_2-v_3,\quad w_3=v_3-v_4,\quad w_4=v_4. \]
Entonces
\[ v_4=w_4, \]
\[ v_3=w_3+w_4, \]
\[ v_2=w_2+w_3+w_4, \]
\[ v_1=w_1+w_2+w_3+w_4. \]
Así, cada \(v_j\) pertenece a \(\operatorname{span}(w_1,w_2,w_3,w_4)\). Como los \(v_j\) generan \(V\), también lo hacen los \(w_j\).
Ejercicio 3
Por definición,
\[ w_k=v_1+\cdots+v_k, \]
así que cada \(w_k\) pertenece a \(\operatorname{span}(v_1,\ldots,v_m)\). Por consiguiente,
\[ \operatorname{span}(w_1,\ldots,w_m) \subseteq \operatorname{span}(v_1,\ldots,v_m). \]
En sentido inverso,
\[ v_1=w_1, \]
y para \(k\ge2\),
\[ v_k=w_k-w_{k-1}. \]
Por tanto cada \(v_k\) pertenece a \(\operatorname{span}(w_1,\ldots,w_m)\), y obtenemos la inclusión contraria. Luego
\[ \boxed{\operatorname{span}(v_1,\ldots,v_m)=\operatorname{span}(w_1,\ldots,w_m)}. \]
Ejercicio 4
\(a\)
Una lista de longitud uno \(v\) es linealmente independiente exactamente cuando
\[ av=0\Longrightarrow a=0. \]
Si \(v=0\), entonces \(1v=0\) y la lista es dependiente. Si \(v\neq0\) y \(av=0\), el resultado 1.30/1.31 y la existencia de \(a^{-1}\) para \(a\neq0\) muestran que \(a\) no puede ser distinto de \(0\). Por tanto \(a=0\).
\(b\)
Supongamos primero que uno de los vectores es múltiplo del otro, digamos \(v_1=cv_2\). Entonces
\[ v_1-cv_2=0 \]
es una relación no trivial, y la lista es dependiente.
Recíprocamente, si \(v_1,v_2\) es dependiente, existen \(a,b\), no ambos nulos, tales que
\[ av_1+bv_2=0. \]
Si \(a\neq0\), entonces
\[ v_1=-\frac ba v_2. \]
Si \(a=0\), entonces \(b\neq0\) y \(v_2=0=0v_1\). En cualquier caso, uno de los vectores es múltiplo escalar del otro.
Ejercicio 5
Buscamos que los tres vectores sean dependientes. El determinante de la matriz que los tiene como columnas es
\[ \det\begin{pmatrix} 3&2&5\\ 1&-3&9\\ 4&5&t \end{pmatrix} =22-11t. \]
La dependencia ocurre cuando este determinante es \(0\), es decir,
\[ \boxed{t=2}. \]
También puede verificarse directamente que, para \(t=2\),
\[ (5,9,2)=3(3,1,4)-2(2,-3,5). \]
Ejercicio 6
La matriz cuyas columnas son los tres vectores tiene determinante
\[ \det\begin{pmatrix} 2&1&7\\ 3&-1&3\\ 1&2&c \end{pmatrix} =40-5c. \]
Por tanto la lista es dependiente si y sólo si
\[ 40-5c=0, \]
o sea,
\[ \boxed{c=8}. \]
Para \(c=8\) se recupera además la relación explícita de 2.18:
\[ 2(2,3,1)+3(1,-1,2)-(7,3,8)=0. \]
Ejercicio 7
\(a\) Sobre \(\mathbf R\)
Sean \(a,b\in\mathbf R\) y supongamos
\[ a(1+i)+b(1-i)=0. \]
Comparando partes real e imaginaria,
\[ a+b=0,\qquad a-b=0. \]
De aquí \(a=b=0\). Luego \(1+i,1-i\) es linealmente independiente sobre \(\mathbf R\).
\(b\) Sobre \(\mathbf C\)
Ahora los coeficientes pueden ser complejos. Como
\[ i(1-i)=1+i, \]
tenemos
\[ (1+i)-i(1-i)=0, \]
una relación no trivial. La lista es linealmente dependiente sobre \(\mathbf C\).
Ejercicio 8
Supongamos
\[ a_1(v_1-v_2)+a_2(v_2-v_3)+a_3(v_3-v_4)+a_4v_4=0. \]
Agrupando según \(v_1,v_2,v_3,v_4\),
\[ a_1v_1+(-a_1+a_2)v_2+(-a_2+a_3)v_3+(-a_3+a_4)v_4=0. \]
Como \(v_1,v_2,v_3,v_4\) es linealmente independiente,
\[ a_1=0, \]
\[ -a_1+a_2=0, \]
\[ -a_2+a_3=0, \]
\[ -a_3+a_4=0. \]
Sucesivamente se obtiene \(a_1=a_2=a_3=a_4=0\). Por tanto la nueva lista es linealmente independiente.
Ejercicio 9
La afirmación es verdadera $para \(m\ge2\), que es el caso en que la lista escrita tiene sentido$.
Supongamos
\[ a_1(5v_1-4v_2)+a_2v_2+a_3v_3+\cdots+a_mv_m=0. \]
Entonces
\[ 5a_1v_1+(a_2-4a_1)v_2+a_3v_3+\cdots+a_mv_m=0. \]
La independencia de \(v_1,\ldots,v_m\) implica
\[ 5a_1=0, \]
de donde \(a_1=0\); después \(a_2=0\) y, finalmente, \(a_3=\cdots=a_m=0\).
Ejercicio 10
La afirmación es verdadera.
Si
\[ a_1(\lambda v_1)+\cdots+a_m(\lambda v_m)=0, \]
entonces
\[ \lambda(a_1v_1+\cdots+a_mv_m)=0. \]
Como \(\lambda\neq0\), podemos multiplicar por \(\lambda^{-1}\) y obtenemos
\[ a_1v_1+\cdots+a_mv_m=0. \]
La independencia de \(v_1,\ldots,v_m\) fuerza \(a_1=\cdots=a_m=0\).
Ejercicio 11
La afirmación es falsa.
Basta tomar \(m=1\). Elige un vector no nulo \(v\in V\) y define
\[ v_1=v,\qquad w_1=-v. \]
Las listas \(v_1\) y \(w_1\) son linealmente independientes, pero
\[ v_1+w_1=0, \]
y una lista que contiene sólo el vector \(0\) es dependiente.
Ejercicio 12
Como la lista
\[ v_1+w,\ldots,v_m+w \]
es dependiente, existen \(a_1,\ldots,a_m\), no todos nulos, tales que
\[ \sum_{j=1}^m a_j(v_j+w)=0. \]
Por tanto
\[ \sum_{j=1}^m a_jv_j+\left(\sum_{j=1}^m a_j\right)w=0. \]
Sea
\[ s=\sum_{j=1}^m a_j. \]
Si \(s=0\), entonces
\[ \sum_{j=1}^m a_jv_j=0, \]
y la independencia de \(v_1,\ldots,v_m\) obligaría a que todos los \(a_j\) fueran \(0\), contradicción. Así \(s\neq0\), y
\[ w=-\frac1s\sum_{j=1}^m a_jv_j. \]
Por consiguiente,
\[ \boxed{w\in\operatorname{span}(v_1,\ldots,v_m)}. \]
Ejercicio 13
Supongamos primero que
\[ w\in\operatorname{span}(v_1,\ldots,v_m). \]
Entonces
\[ w=a_1v_1+\cdots+a_mv_m \]
para ciertos escalares, y por tanto
\[ a_1v_1+\cdots+a_mv_m-w=0 \]
es una relación no trivial. La lista \(v_1,\ldots,v_m,w\) es dependiente.
Recíprocamente, supongamos que \(v_1,\ldots,v_m,w\) es dependiente. Entonces existen \(a_1,\ldots,a_m,b\), no todos nulos, tales que
\[ a_1v_1+\cdots+a_mv_m+bw=0. \]
No puede ocurrir \(b=0\), porque entonces la independencia de \(v_1,\ldots,v_m\) obligaría a que todos los \(a_j\) fueran \(0\). Por tanto \(b\neq0\) y
\[ w=-\frac{a_1}{b}v_1-\cdots-\frac{a_m}{b}v_m. \]
Así,
\[ \boxed{v_1,\ldots,v_m,w\text{ es LI}\iff w\notin\operatorname{span}(v_1,\ldots,v_m)}. \]
Ejercicio 14
Recordemos que
\[ w_k=v_1+\cdots+v_k. \]
Supongamos que \(v_1,\ldots,v_m\) es linealmente independiente y que
\[ a_1w_1+\cdots+a_mw_m=0. \]
Al expandir,
\[ (a_1+\cdots+a_m)v_1+(a_2+\cdots+a_m)v_2+\cdots+a_mv_m=0. \]
La independencia de los \(v_j\) implica
\[ a_m=0, \]
y, retrocediendo sucesivamente,
\[ a_{m-1}=\cdots=a_1=0. \]
Luego los \(w_j\) son linealmente independientes.
Para la implicación inversa usamos
\[ v_1=w_1,\qquad v_k=w_k-w_{k-1}\quad(k\ge2). \]
El mismo argumento triangular, ahora en sentido inverso, muestra que la independencia de los \(w_j\) implica la de los \(v_j\).
Ejercicio 15
La lista
\[ 1,z,z^2,z^3,z^4 \]
genera \(\mathcal P_4(\mathbf F)\) y tiene longitud \(5\). Por 2.22, ninguna lista linealmente independiente en ese espacio puede tener longitud mayor que \(5\).
Por tanto no existe una lista linealmente independiente de seis polinomios en \(\mathcal P_4(\mathbf F)\).
Ejercicio 16
La lista
\[ 1,z,z^2,z^3,z^4 \]
es linealmente independiente y tiene longitud \(5\). Por 2.22, toda lista que genere \(\mathcal P_4(\mathbf F)\) debe tener longitud al menos \(5\).
Así, ninguna lista de cuatro polinomios puede generar \(\mathcal P_4(\mathbf F)\).
Ejercicio 17
\[\Rightarrow\]
Supongamos que \(V\) es de dimensión infinita. Elegimos \(v_1\neq0\). Una vez elegidos \(v_1,\ldots,v_m\) linealmente independientes, su span es generado por una lista finita y por tanto no puede ser todo \(V\), pues eso haría a \(V\) de dimensión finita. Podemos entonces escoger
\[ v_{m+1}\notin\operatorname{span}(v_1,\ldots,v_m). \]
Por el criterio del Ejercicio 13, la lista \(v_1,\ldots,v_m,v_{m+1}\) es linealmente independiente. Repitiendo el proceso obtenemos una sucesión con la propiedad requerida.
\[\Leftarrow\]
Supongamos que existe una sucesión \(v_1,v_2,\ldots\) tal que cada segmento inicial finito es linealmente independiente. Si \(V\) fuera de dimensión finita, existiría una lista generadora de longitud \(n\). Entonces \(v_1,\ldots,v_{n+1}\) sería una lista linealmente independiente de longitud \(n+1\), contradiciendo 2.22.
Por tanto \(V\) es de dimensión infinita.
Ejercicio 18
Para \(k\ge1\), sea
\[ e_k=(0,\ldots,0,1,0,\ldots)\in\mathbf F^\infty, \]
donde el \(1\) aparece en la posición \(k\).
Para todo \(m\), la lista
\[ e_1,\ldots,e_m \]
es linealmente independiente: una combinación lineal nula obliga, coordenada a coordenada, a que todos sus coeficientes sean \(0\).
Por el Ejercicio 17,
\[ \boxed{\mathbf F^\infty\text{ es de dimensión infinita}.} \]
Ejercicio 19
Consideremos en el espacio de funciones continuas sobre \([0,1]\) la sucesión
\[ 1,x,x^2,x^3,\ldots. \]
Cada segmento inicial
\[ 1,x,\ldots,x^m \]
es linealmente independiente: una combinación lineal nula sería un polinomio que vale \(0\) para todo \(x\in[0,1]\), y por la unicidad de los coeficientes de un polinomio todos los coeficientes deben ser \(0\).
Así, por el Ejercicio 17, el espacio real de funciones continuas en \([0,1]\) es de dimensión infinita.
Ejercicio 20
Sea
\[ U=\{p\in\mathcal P_m(\mathbf F):p(2)=0\}. \]
Si
\[ p(z)=a_0+a_1z+\cdots+a_mz^m\in U, \]
entonces
\[ a_0+a_1 2+a_2 2^2+\cdots+a_m2^m=0, \]
de modo que
\[ a_0=-\sum_{j=1}^m a_j2^j. \]
Por tanto
\[ p(z)=\sum_{j=1}^m a_j(z^j-2^j). \]
Luego \(U\) está generado por la lista de longitud \(m\)
\[ z-2,\ z^2-2^2,\ldots,z^m-2^m. \]
Los \(m+1\) polinomios \(p_0,\ldots,p_m\) pertenecen a \(U\). Si fueran linealmente independientes, tendríamos en el espacio de dimensión finita \(U\) una lista linealmente independiente de longitud \(m+1\) y una lista generadora de longitud \(m\), contradiciendo 2.22.
Por tanto
\[ \boxed{p_0,p_1,\ldots,p_m\text{ es linealmente dependiente}.} \]
QA
- 20/20 ejercicios tratados.
- Ejercicios 2, 9 y 10: afirmaciones verdaderas verificadas.
- Ejercicio 11: contraejemplo mínimo con \(m=1\).
- Ejercicios 15–20: resueltos usando 2.22 y resultados anteriores, sin recurrir a dimensión formal de 2C.
- Ejercicio 20: se evita usar factorización/división polinómica posterior; se construye explícitamente una lista generadora de longitud \(m\) para el subespacio \(p(2)=0\).
Procedencia y licencia de esta edición: traducción/adaptación no oficial de Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4.ª edición. La traducción y las contribuciones de esta edición se publican bajo CC BY-NC 4.0. Las soluciones señaladas como originales son de Matemática Abierta, no del autor. Índice de esta edición.