Soluciones · Sección 3A
Estado: VERIFICADO
Procedencia: [SOL] material original de Matemática Abierta.
Referencia: ejercicios 1–17 de la Sección 3A de Linear Algebra Done Right, 4.ª ed.
Criterio: se usan únicamente definiciones y resultados disponibles hasta 3A, además de la teoría de espacios vectoriales de los capítulos 1–2.
Ejercicio 1
Supongamos primero que \(T\) es lineal. Por 3.10,
\[ T(0,0,0)=(0,0). \]
Pero
\[ T(0,0,0)=(b,0), \]
luego \(b=0\).
Tomemos ahora
\[ u=(1,0,0),\qquad v=(0,1,1). \]
La aditividad exige
\[ T(u+v)=Tu+Tv. \]
Comparando la segunda coordenada,
\[ 6+c=6, \]
de donde \(c=0\).
Recíprocamente, si \(b=c=0\), entonces
\[ T(x,y,z)=(2x-4y+3z,6x), \]
y cada coordenada es una combinación lineal de \(x,y,z\). Por verificación directa de aditividad y homogeneidad, \(T\) es lineal.
Por tanto
\[ \boxed{T\text{ es lineal}\iff b=c=0.} \]
Ejercicio 2
Supongamos que \(T\) es lineal.
Para el polinomio constante \(p=1\), la primera coordenada de \(T(2p)=2Tp\) da
\[ 6+4b=2(3+b), \]
de donde \(b=0\).
Para determinar \(c\), tomemos el polinomio constante
\[ p=\frac{\pi}{2}. \]
La segunda coordenada de \(T(2p)=2Tp\) contiene una parte integral que ya es homogénea, así que las contribuciones no lineales deben satisfacer
\[ c\sin\pi=2c\sin\frac{\pi}{2}. \]
Así,
\[ 0=2c, \]
y por tanto \(c=0\).
Recíprocamente, si \(b=c=0\), entonces
\[ Tp=\left(3p(4)+5p'(6),\int_{-1}^{2}x^3p(x)\,dx\right). \]
La evaluación \(p\mapsto p(4)\), la derivación seguida de evaluación \(p\mapsto p'(6)\) y la integral indicada son lineales. Por consiguiente \(T\) es lineal.
Luego
\[ \boxed{T\text{ es lineal}\iff b=c=0.} \]
Ejercicio 3
Sea \(e_1,\ldots,e_n\) la base estándar de \(\mathbf F^n\). Para cada \(k\), escribamos
\[ Te_k=(A_{1,k},\ldots,A_{m,k}), \]
con \(A_{j,k}\in\mathbf F\).
Como
\[ (x_1,\ldots,x_n)=x_1e_1+\cdots+x_ne_n, \]
la linealidad de \(T\) da
\[ T(x_1,\ldots,x_n)=x_1Te_1+\cdots+x_nTe_n. \]
Comparando coordenadas,
\[ \boxed{ T(x_1,\ldots,x_n) =(A_{1,1}x_1+\cdots+A_{1,n}x_n,\ldots,A_{m,1}x_1+\cdots+A_{m,n}x_n). } \]
Ejercicio 4
Supongamos
\[ a_1v_1+\cdots+a_mv_m=0. \]
Aplicando \(T\) y usando linealidad,
\[ a_1Tv_1+\cdots+a_mTv_m=T0=0. \]
Como \(Tv_1,\ldots,Tv_m\) es linealmente independiente,
\[ a_1=\cdots=a_m=0. \]
Por tanto
\[ \boxed{v_1,\ldots,v_m\text{ es linealmente independiente}.} \]
Ejercicio 5
Las operaciones en \(\mathcal L(V,W)\) están definidas puntualmente:
\[ (S+T)(v)=Sv+Tv, \qquad (\lambda T)(v)=\lambda(Tv). \]
Ya se verificó en 3.5 que estas operaciones producen nuevamente aplicaciones lineales. Falta comprobar los axiomas de espacio vectorial. Todos se heredan punto a punto de \(W\).
Por ejemplo, para \(R,S,T\in\mathcal L(V,W)\) y \(v\in V\),
\[ ((R+S)+T)(v)=(Rv+Sv)+Tv=Rv+(Sv+Tv)=(R+(S+T))(v), \]
y
\[ (S+T)(v)=Sv+Tv=Tv+Sv=(T+S)(v). \]
La aplicación cero satisface
\[ (T+0)(v)=Tv+0=Tv. \]
El inverso aditivo de \(T\) es la aplicación \(-T\), pues
\[ (T+(-T))(v)=Tv-Tv=0. \]
Para \(a,b\in\mathbf F\),
\[ ((ab)T)(v)=(ab)Tv=a(bTv)=(a(bT))(v), \]
\[ (1T)(v)=Tv, \]
\[ (a(S+T))(v)=a(Sv+Tv)=aSv+aTv=(aS+aT)(v), \]
y
\[ ((a+b)T)(v)=(a+b)Tv=aTv+bTv=(aT+bT)(v). \]
Como las igualdades valen para todo \(v\in V\), valen como igualdades de funciones. Por tanto
\[ \boxed{\mathcal L(V,W)\text{ es un espacio vectorial}.} \]
Ejercicio 6
Todas las propiedades se comprueban evaluando las aplicaciones en un vector.
Asociatividad
Si los productos tienen sentido, entonces para todo \(u\),
\[ ((T_1T_2)T_3)u=(T_1T_2)(T_3u)=T_1(T_2(T_3u)) \]
y
\[ (T_1(T_2T_3))u=T_1((T_2T_3)u)=T_1(T_2(T_3u)). \]
Por tanto
\[ \boxed{(T_1T_2)T_3=T_1(T_2T_3)}. \]
Identidad
Para \(T\in\mathcal L(V,W)\) y \(v\in V\),
\[ (TI)v=T(Iv)=Tv, \]
y
\[ (IT)v=I(Tv)=Tv. \]
Así
\[ \boxed{TI=IT=T}. \]
Distributividad
Para todo \(u\in U\),
\[ ((S_1+S_2)T)u=(S_1+S_2)(Tu)=S_1Tu+S_2Tu, \]
por lo que
\[ \boxed{(S_1+S_2)T=S_1T+S_2T}. \]
Asimismo,
\[ (S(T_1+T_2))u=S(T_1u+T_2u)=ST_1u+ST_2u, \]
de modo que
\[ \boxed{S(T_1+T_2)=ST_1+ST_2}. \]
Ejercicio 7
Como \(\dim V=1\), existe un vector no nulo \(v_0\) tal que \(v_0\) es una base de \(V\).
Como \(Tv_0\in V\), existe \(\lambda\in\mathbf F\) tal que
\[ Tv_0=\lambda v_0. \]
Todo \(v\in V\) tiene la forma \(v=av_0\). Entonces
\[ Tv=T(av_0)=aTv_0=a\lambda v_0=\lambda v. \]
Por tanto
\[ \boxed{T=\lambda I}. \]
Ejercicio 8
Definimos
\[ \varphi(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^3}{x^2+y^2},&(x,y)\ne(0,0),\\[6pt] 0,&(x,y)=(0,0). \end{cases} \]
Si \(a\ne0\), entonces
\[ \varphi(ax,ay)=\frac{a^3x^3}{a^2(x^2+y^2)}=a\varphi(x,y), \]
y para \(a=0\) la igualdad también es cierta. Así \(\varphi(av)=a\varphi(v)\) para todo \(a\) y todo \(v\).
Sin embargo,
\[ \varphi(1,0)=1, \qquad \varphi(0,1)=0, \]
pero
\[ \varphi(1,1)=\frac12\ne1+0. \]
Luego \(\varphi\) no es aditiva y por tanto no es lineal.
Ejercicio 9
Tomemos la conjugación compleja
\[ \boxed{\varphi(z)=\overline z}. \]
Entonces
\[ \varphi(w+z)=\overline{w+z}=\overline w+\overline z=\varphi(w)+\varphi(z), \]
así que \(\varphi\) es aditiva.
Pero, considerando \(\mathbf C\) como espacio vectorial complejo,
\[ \varphi(i\cdot1)=\overline i=-i, \]
mientras que
\[ i\varphi(1)=i. \]
Por tanto no es homogénea sobre \(\mathbf C\) y no es lineal.
Ejercicio 10
La afirmación es falsa.
Tomemos
\[ q(x)=x^2. \]
Entonces
\[ Tp=q\circ p=p^2. \]
Para el polinomio constante \(p=1\),
\[ T(2p)=T(2)=4, \]
mientras que
\[ 2Tp=2. \]
Por tanto \(T\) no es homogénea y no es lineal.
Ejercicio 11
Si \(T=\lambda I\), entonces para todo \(S\in\mathcal L(V)\),
\[ ST=S(\lambda I)=\lambda S=(\lambda I)S=TS. \]
Demostremos el recíproco. Supongamos que
\[ ST=TS \]
para todo \(S\in\mathcal L(V)\).
Primero veremos que para cada \(v\in V\),
\[ Tv\in\operatorname{span}(v). \]
Si existiera \(v\) tal que \(v,Tv\) fueran linealmente independientes, podríamos extenderlos a una base de \(V\). Por el lema 3.4 existiría \(S\in\mathcal L(V)\) tal que
\[ Sv=0, \qquad S(Tv)=v, \]
y con valores arbitrarios, por ejemplo \(0\), sobre los demás vectores de la base. Entonces
\[ STv=v, \]
pero
\[ TSv=T0=0, \]
contradicción. Por tanto para todo \(v\ne0\) existe un escalar \(\lambda_v\) con
\[ Tv=\lambda_vv. \]
Si \(u,v\) son linealmente independientes, entonces
\[ T(u+v)=Tu+Tv=\lambda_u u+\lambda_vv. \]
Pero también
\[ T(u+v)=\lambda_{u+v}(u+v). \]
La independencia de \(u,v\) implica
\[ \lambda_u=\lambda_v=\lambda_{u+v}. \]
Si dos vectores no nulos son dependientes, uno es múltiplo no nulo del otro y la linealidad de \(T\) muestra igualmente que comparten el mismo escalar. Así existe un único \(\lambda\in\mathbf F\) tal que
\[ Tv=\lambda v \]
para todo \(v\in V\).
Por consiguiente
\[ \boxed{T=\lambda I}. \]
Ejercicio 12
Como \(S\ne0\), existe \(u\in U\) tal que
\[ Su\ne0. \]
Como \(U\ne V\), existe \(v\in V\setminus U\). Entonces también
\[ v-u\notin U, \]
pues si \(v-u\in U\), al sumar \(u\in U\) obtendríamos \(v\in U\).
Por definición de \(T\),
\[ Tv=0, \qquad T(v-u)=0, \qquad Tu=Su\ne0. \]
Si \(T\) fuera aditiva,
\[ 0=Tv=T((v-u)+u)=T(v-u)+Tu=Su, \]
contradicción. Por tanto
\[ \boxed{T\text{ no es lineal}.} \]
Ejercicio 13
Sea
\[ u_1,\ldots,u_m \]
una base de \(U\). Como \(V\) es de dimensión finita, podemos extenderla a una base
\[ u_1,\ldots,u_m,v_1,\ldots,v_n \]
de \(V\).
Definimos valores sobre esta base por
\[ Tu_j=Su_j \]
para \(j=1,\ldots,m\), y
\[ Tv_k=0 \]
para \(k=1,\ldots,n\).
Por el lema de la aplicación lineal 3.4 existe una única \(T\in\mathcal L(V,W)\) con esos valores.
Si
\[ u=a_1u_1+\cdots+a_mu_m\in U, \]
entonces
\[ Tu=a_1Su_1+\cdots+a_mSu_m=S(a_1u_1+\cdots+a_mu_m)=Su. \]
Así \(T\) extiende a \(S\).
Ejercicio 14
Sea
\[ v_1,\ldots,v_n \]
una base de \(V\), con \(n\ge1\).
Para demostrar que \(\mathcal L(V,W)\) es de dimensión infinita basta mostrar que contiene listas linealmente independientes de longitud arbitraria.
Sea \(m\) un entero positivo. Como \(W\) es de dimensión infinita, existen vectores linealmente independientes
\[ w_1,\ldots,w_m\in W. \]
Para cada \(j\), por 3.4 existe \(T_j\in\mathcal L(V,W)\) tal que
\[ T_jv_1=w_j, \]
y
\[ T_jv_k=0\qquad(k=2,\ldots,n). \]
Si
\[ a_1T_1+\cdots+a_mT_m=0, \]
al evaluar en \(v_1\) obtenemos
\[ a_1w_1+\cdots+a_mw_m=0. \]
La independencia de los \(w_j\) implica \(a_1=\cdots=a_m=0\). Por tanto
\[ T_1,\ldots,T_m \]
es linealmente independiente.
Como esto vale para todo \(m\),
\[ \boxed{\mathcal L(V,W)\text{ es de dimensión infinita}.} \]
Ejercicio 15
Como \(v_1,\ldots,v_m\) es linealmente dependiente, existen escalares \(a_1,\ldots,a_m\), no todos nulos, tales que
\[ a_1v_1+\cdots+a_mv_m=0. \]
Elijamos \(j\) con \(a_j\ne0\) y un vector no nulo \(w\in W\). Definamos
\[ w_j=w \]
y
\[ w_k=0\qquad(k\ne j). \]
Si existiera \(T\in\mathcal L(V,W)\) tal que \(Tv_k=w_k\) para todo \(k\), entonces
\[ 0=T0=T(a_1v_1+\cdots+a_mv_m) =a_1w_1+\cdots+a_mw_m=a_jw. \]
Pero \(a_j\ne0\) y \(w\ne0\), contradicción. Por tanto la lista \(w_1,\ldots,w_m\) tiene la propiedad pedida.
Ejercicio 16
Como \(\dim V>1\), tomemos una base
\[ v_1,v_2,\ldots,v_n \]
con \(n\ge2\).
Por 3.4 definimos \(S,T\in\mathcal L(V)\) mediante
\[ Sv_1=v_2, \qquad Sv_k=0\quad(k\ge2), \]
y
\[ Tv_1=v_1, \qquad Tv_k=0\quad(k\ge2). \]
Entonces
\[ STv_1=S(Tv_1)=Sv_1=v_2, \]
mientras que
\[ TSv_1=T(Sv_1)=Tv_2=0. \]
Por consiguiente
\[ \boxed{ST\ne TS}. \]
Ejercicio 17
Si \(V=\{0\}\), entonces \(\mathcal L(V)=\{0\}\) y el resultado es inmediato. Supongamos ahora que \(\dim V=n>0\).
Sea \(\mathcal E\) un ideal bilateral no nulo de \(\mathcal L(V)\). Elegimos
\[ A\in\mathcal E,\qquad A\ne0. \]
Existe \(u\in V\) tal que
\[ w:=Au\ne0. \]
Fijemos una base
\[ e_1,\ldots,e_n \]
de \(V\).
Para cada \(j,k\in\{1,\ldots,n\}\) definiremos una aplicación \(E_{j,k}\) que envía \(e_k\) en \(e_j\) y todos los demás vectores de la base en \(0\). Por 3.4 esta aplicación existe y es única.
Vamos a probar que cada \(E_{j,k}\) pertenece a \(\mathcal E\).
Por 3.4 existe \(R_k\in\mathcal L(V)\) tal que
\[ R_ke_k=u, \qquad R_ke_\ell=0\quad(\ell\ne k). \]
Como \(w\ne0\), la lista \(w\) es linealmente independiente y puede extenderse a una base de \(V\). Definimos, nuevamente mediante 3.4, una aplicación \(S_j\in\mathcal L(V)\) tal que
\[ S_jw=e_j \]
y que envía los demás vectores de esa base en \(0\).
Como \(\mathcal E\) es un ideal bilateral y \(A\in\mathcal E\),
\[ S_jAR_k\in\mathcal E. \]
Ahora,
\[ S_jAR_ke_k=S_jAu=S_jw=e_j, \]
mientras que para \(\ell\ne k\),
\[ S_jAR_ke_\ell=0. \]
Por unicidad en 3.4,
\[ S_jAR_k=E_{j,k}. \]
Así
\[ E_{j,k}\in\mathcal E \]
para todos \(j,k\).
Sea ahora \(T\in\mathcal L(V)\) arbitraria. Para cada \(k\) escribimos
\[ Te_k=A_{1,k}e_1+\cdots+A_{n,k}e_n. \]
Entonces la aplicación
\[ \sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^n A_{j,k}E_{j,k} \]
tiene sobre cada vector \(e_k\) el mismo valor que \(T\). Por 3.4 ambas aplicaciones son iguales. Como \(\mathcal E\) es un subespacio y contiene todos los \(E_{j,k}\), contiene a \(T\).
Como \(T\) era arbitraria,
\[ \mathcal E=\mathcal L(V). \]
Por tanto los únicos ideales bilaterales son
\[ \boxed{\{0\}\text{ y }\mathcal L(V)}. \]
Procedencia y licencia de esta edición: traducción/adaptación no oficial de Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4.ª edición. La traducción y las contribuciones de esta edición se publican bajo CC BY-NC 4.0. Las soluciones señaladas como originales son de Matemática Abierta, no del autor. Índice de esta edición.