Soluciones · Sección 3B
Estado: VERIFICADO
Procedencia: [SOL] material original de Matemática Abierta.
Referencia: ejercicios 1–33 de la Sección 3B de Linear Algebra Done Right, 4.ª ed.
Criterio: se usan únicamente definiciones y resultados disponibles hasta 3B, junto con resultados anteriores de los capítulos 1–2 y de 3A.
Ejercicio 1
Toma
\[ T:\mathbf F^5\to\mathbf F^2, \qquad T(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=(x_1,x_2). \]
Entonces \(\operatorname{range}T=\mathbf F^2\), así que su dimensión es \(2\), mientras que
\[ \operatorname{null}T =\{(0,0,x_3,x_4,x_5):x_3,x_4,x_5\in\mathbf F\} \]
tiene dimensión \(3\).
Ejercicio 2
De
\[ \operatorname{range}S\subseteq\operatorname{null}T \]
se sigue que \(TS=0\). Por asociatividad,
\[ (ST)^2=STST=S(TS)T=0. \]
Ejercicio 3
Por definición,
\[ \operatorname{range}T=\operatorname{span}(v_1,\ldots,v_m). \]
Por tanto
\[ v_1,\ldots,v_m\text{ genera }V \iff T\text{ es sobreyectiva}. \]
Además,
\[ T(z_1,\ldots,z_m)=0 \iff z_1v_1+\cdots+z_mv_m=0. \]
Así \(\operatorname{null}T=\{0\}\) si y sólo si \(v_1,\ldots,v_m\) es linealmente independiente. Por 3.15,
\[ v_1,\ldots,v_m\text{ es linealmente independiente} \iff T\text{ es inyectiva}. \]
Ejercicio 4
Define
\[ S(x_1,\ldots,x_5)=(x_1,x_2,0,0), \qquad T(x_1,\ldots,x_5)=(0,0,x_3,x_4). \]
Ambas aplicaciones tienen imagen de dimensión \(2\), luego por 3.21 sus espacios nulos tienen dimensión \(3>2\). Sin embargo,
\[ (S+T)(x_1,\ldots,x_5)=(x_1,x_2,x_3,x_4), \]
cuya imagen tiene dimensión \(4\) y cuyo espacio nulo tiene dimensión \(1\). El conjunto dado no es cerrado bajo suma.
Ejercicio 5
Define
\[ T(x_1,x_2,x_3,x_4)=(0,0,x_1,x_2). \]
Entonces
\[ \operatorname{range}T=\operatorname{span}(e_3,e_4) \]
y
\[ \operatorname{null}T =\{(0,0,x_3,x_4)\} =\operatorname{span}(e_3,e_4). \]
Por tanto \(\operatorname{range}T=\operatorname{null}T\).
Ejercicio 6
Si \(\operatorname{range}T=\operatorname{null}T\) y su dimensión común es \(d\), entonces 3.21 da
\[ 5=d+d=2d, \]
imposible. No existe tal operador sobre \(\mathbf R^5\).
Ejercicio 7
Sean
\[ v_1,\ldots,v_n \]
y
\[ w_1,\ldots,w_m \]
bases de \(V\) y \(W\), con \(m\ge n\ge2\). Define mediante 3.4
\[ Sv_1=0, \qquad Sv_j=w_j\ (j\ge2), \]
y
\[ Tv_1=w_1, \qquad Tv_j=0\ (j\ge2). \]
Entonces \(S\) y \(T\) no son inyectivas. En cambio,
\[ (S+T)v_j=w_j \]
para todo \(j=1,\ldots,n\). Si \((S+T)v=0\) y
\[ v=a_1v_1+\cdots+a_nv_n, \]
entonces
\[ 0=a_1w_1+\cdots+a_nw_n. \]
La independencia de \(w_1,\ldots,w_n\) implica \(a_1=\cdots=a_n=0\), luego \(v=0\). Por 3.15, \(S+T\) es inyectiva. Así las aplicaciones no inyectivas no forman un subespacio.
Ejercicio 8
Sean \(n=\dim V\ge m=\dim W\ge2\), con bases \(v_1,\ldots,v_n\) y \(w_1,\ldots,w_m\). Define
\[ Sv_j=w_j\quad(j=1,\ldots,m-1), \qquad Sv_j=0\quad(j\ge m), \]
y
\[ Tv_m=w_m, \qquad Tv_j=0\quad(j\ne m). \]
Ni \(S\) ni \(T\) son sobreyectivas. Pero \((S+T)v_j=w_j\) para \(j=1,\ldots,m\), por lo que \(S+T\) sí es sobreyectiva. El conjunto de aplicaciones no sobreyectivas no es un subespacio.
Ejercicio 9
Si
\[ a_1Tv_1+\cdots+a_nTv_n=0, \]
entonces
\[ T(a_1v_1+\cdots+a_nv_n)=0. \]
Como \(T\) es inyectiva, \(\operatorname{null}T=\{0\}\), y por tanto
\[ a_1v_1+\cdots+a_nv_n=0. \]
La independencia de \(v_1,\ldots,v_n\) implica que todos los coeficientes son cero. Luego \(Tv_1,\ldots,Tv_n\) es linealmente independiente.
Ejercicio 10
Sea \(w\in\operatorname{range}T\). Escribe \(w=Tv\) y
\[ v=a_1v_1+\cdots+a_nv_n. \]
Entonces
\[ w=a_1Tv_1+\cdots+a_nTv_n. \]
Así \(Tv_1,\ldots,Tv_n\) genera \(\operatorname{range}T\).
Ejercicio 11
Sea \(u_1,\ldots,u_m\) una base de \(\operatorname{null}T\) y extiéndela a una base
\[ u_1,\ldots,u_m,v_1,\ldots,v_n \]
de \(V\). Define
\[ U=\operatorname{span}(v_1,\ldots,v_n). \]
Entonces
\[ V=\operatorname{null}T\oplus U, \]
por lo que \(U\cap\operatorname{null}T=\{0\}\). La demostración de 3.21 muestra que \(Tv_1,\ldots,Tv_n\) genera \(\operatorname{range}T\); por tanto
\[ \operatorname{range}T=\{Tu:u\in U\}. \]
Ejercicio 12
El espacio nulo es
\[ \{(5a,a,7b,b):a,b\in\mathbf F\}, \]
por lo que tiene dimensión \(2\). Entonces 3.21 da
\[ \dim\operatorname{range}T=4-2=2. \]
Como \(\operatorname{range}T\) es un subespacio de \(\mathbf F^2\) de dimensión \(2\), es todo \(\mathbf F^2\). Así \(T\) es sobreyectiva.
Ejercicio 13
Como \(\dim\operatorname{null}T=3\), 3.21 da
\[ \dim\operatorname{range}T=8-3=5. \]
La imagen es un subespacio de \(\mathbf R^5\) con dimensión \(5\), luego es \(\mathbf R^5\). Por tanto \(T\) es sobreyectiva.
Ejercicio 14
El subespacio indicado es
\[ \{(3a,a,b,b,b):a,b\in\mathbf F\}, \]
que tiene dimensión \(2\). Si fuese el espacio nulo de una aplicación \(T:\mathbf F^5\to\mathbf F^2\), entonces
\[ \dim\operatorname{range}T=5-2=3, \]
contradiciendo que la imagen es un subespacio de \(\mathbf F^2\). No existe tal \(T\).
Ejercicio 15
Sea \(T\in\mathcal L(V)\) con espacio nulo e imagen de dimensión finita. Elige bases
\[ u_1,\ldots,u_m \]
de \(\operatorname{null}T\) y
\[ w_1,\ldots,w_n \]
de \(\operatorname{range}T\). Para cada \(j\) elige \(v_j\in V\) tal que \(Tv_j=w_j\).
Si \(v\in V\), escribe
\[ Tv=b_1w_1+\cdots+b_nw_n =T(b_1v_1+\cdots+b_nv_n). \]
Entonces
\[ v-(b_1v_1+\cdots+b_nv_n)\in\operatorname{null}T, \]
de modo que \(v\) es combinación lineal de
\[ u_1,\ldots,u_m,v_1,\ldots,v_n. \]
Por tanto \(V\) tiene una lista generadora finita y es de dimensión finita.
Ejercicio 16
Si existe una aplicación inyectiva \(T:V\to W\), entonces 3.22 obliga a
\[ \dim V\le\dim W. \]
Recíprocamente, sean \(n=\dim V\le m=\dim W\), y elige bases
\[ v_1,\ldots,v_n, \qquad w_1,\ldots,w_m. \]
Por 3.4 existe \(T\in\mathcal L(V,W)\) con \(Tv_j=w_j\) para \(j=1,\ldots,n\). Si \(Tv=0\) y
\[ v=a_1v_1+\cdots+a_nv_n, \]
entonces
\[ 0=a_1w_1+\cdots+a_nw_n. \]
La independencia de \(w_1,\ldots,w_n\) da \(a_1=\cdots=a_n=0\), así que \(v=0\). Por 3.15, \(T\) es inyectiva.
Por tanto
\[ \boxed{\exists\,T:V\to W\text{ inyectiva}\iff\dim V\le\dim W.} \]
Ejercicio 17
Si existe una aplicación sobreyectiva \(T:V\to W\), 3.24 obliga a
\[ \dim V\ge\dim W. \]
Recíprocamente, sean \(n=\dim V\ge m=\dim W\). Elige bases \(v_1,\ldots,v_n\) y \(w_1,\ldots,w_m\), y define por 3.4
\[ Tv_j=w_j\quad(j\le m), \qquad Tv_j=0\quad(j>m). \]
La imagen contiene una base de \(W\), así que \(T\) es sobreyectiva.
Ejercicio 18
Si \(\operatorname{null}T=U\), entonces por 3.21
\[ \dim V=\dim U+\dim\operatorname{range}T \le\dim U+\dim W, \]
por lo que
\[ \dim U\ge\dim V-\dim W. \]
Recíprocamente, sea \(u_1,\ldots,u_r\) una base de \(U\) y extiéndela a
\[ u_1,\ldots,u_r,v_1,\ldots,v_s \]
base de \(V\). La hipótesis implica \(s\le\dim W\), así que existen \(w_1,\ldots,w_s\) linealmente independientes en \(W\). Define
\[ Tu_j=0, \qquad Tv_k=w_k. \]
La independencia de los \(w_k\) muestra directamente que \(Tv=0\) si y sólo si \(v\in U\). Por tanto \(\operatorname{null}T=U\).
Ejercicio 19
Si \(S\in\mathcal L(W,V)\) satisface \(ST=I_V\), entonces
\[ Tu=Tv\Longrightarrow u=STu=STv=v, \]
así que \(T\) es inyectiva.
Supongamos ahora que \(T\) es inyectiva. Como \(W\) es de dimensión finita, \(V\) también lo es: de lo contrario podríamos elegir en \(V\) una lista linealmente independiente más larga que \(\dim W\); por el Ejercicio 9 su imagen sería linealmente independiente en \(W\), imposible.
Sea \(v_1,\ldots,v_n\) una base de \(V\). Entonces \(Tv_1,\ldots,Tv_n\) es linealmente independiente en \(W\) y puede extenderse a una base
\[ Tv_1,\ldots,Tv_n,w_1,\ldots,w_m. \]
Define \(S\) mediante
\[ S(Tv_j)=v_j, \qquad Sw_k=0. \]
Entonces \(STv_j=v_j\) para cada vector de una base de \(V\), de modo que
\[ ST=I_V. \]
Ejercicio 20
Si \(TS=I_W\), entonces todo \(w\in W\) satisface
\[ w=TSw, \]
por lo que \(w\in\operatorname{range}T\) y \(T\) es sobreyectiva.
Recíprocamente, si \(T\) es sobreyectiva, elige una base \(w_1,\ldots,w_m\) de \(W\) y preimágenes \(v_j\in V\) con \(Tv_j=w_j\). Por 3.4 existe \(S\in\mathcal L(W,V)\) con \(Sw_j=v_j\). Entonces \(TS\) coincide con \(I_W\) sobre una base, luego
\[ TS=I_W. \]
Ejercicio 21
Sea
\[ X=\{v\in V:Tv\in U\}. \]
Es un subespacio porque \(U\) es un subespacio y \(T\) es lineal.
Define
\[ R:X\to U\cap\operatorname{range}T, \qquad Rv=Tv. \]
Entonces
\[ \operatorname{null}R=\operatorname{null}T \]
y
\[ \operatorname{range}R=U\cap\operatorname{range}T. \]
Como \(X\) es subespacio del espacio finito-dimensional \(V\), 3.21 aplicado a \(R\) da
\[ \boxed{ \dim X =\dim\operatorname{null}T +\dim(U\cap\operatorname{range}T). } \]
Ejercicio 22
Tenemos
\[ \operatorname{null}(ST) =\{u\in U:Tu\in\operatorname{null}S\}. \]
Aplicando el Ejercicio 21 a \(T:U\to V\) y al subespacio \(\operatorname{null}S\subseteq V\),
\[ \dim\operatorname{null}(ST) = \dim\operatorname{null}T + \dim(\operatorname{null}S\cap\operatorname{range}T). \]
La segunda dimensión es a lo sumo \(\dim\operatorname{null}S\), y por tanto
\[ \boxed{ \dim\operatorname{null}(ST) \le \dim\operatorname{null}S+\dim\operatorname{null}T. } \]
Ejercicio 23
Como
\[ \operatorname{range}(ST)\subseteq\operatorname{range}S, \]
se tiene
\[ \dim\operatorname{range}(ST)\le\dim\operatorname{range}S. \]
Si \(y_1,\ldots,y_r\) es una base de \(\operatorname{range}T\), entonces \(Sy_1,\ldots,Sy_r\) genera \(\operatorname{range}(ST)\). Así
\[ \dim\operatorname{range}(ST)\le r=\dim\operatorname{range}T. \]
Por tanto
\[ \boxed{ \dim\operatorname{range}(ST) \le \min\{\dim\operatorname{range}S,\dim\operatorname{range}T\}. } \]
Ejercicio 24
\(a\)
Sea
\[ r=\dim\operatorname{range}T, \qquad s=\dim\operatorname{range}S. \]
Como \(ST=0\),
\[ \operatorname{range}T\subseteq\operatorname{null}S, \]
así que
\[ r\le5-s, \qquad r+s\le5. \]
Por el Ejercicio 23,
\[ \dim\operatorname{range}(TS)\le\min\{r,s\}. \]
No pueden ser simultáneamente \(r\ge3\) y \(s\ge3\), luego \(\min\{r,s\}\le2\). Por tanto
\[ \dim\operatorname{range}(TS)\le2. \]
\(b\)
Sobre la base estándar \(e_1,\ldots,e_5\), define
\[ Te_1=e_1, \quad Te_2=e_2, \quad Te_3=Te_4=Te_5=0, \]
y
\[ Se_1=Se_2=0, \quad Se_3=e_1, \quad Se_4=e_2, \quad Se_5=0. \]
Entonces \(ST=0\), mientras que
\[ TSe_3=e_1, \qquad TSe_4=e_2, \]
y \(TS\) anula los otros vectores de la base. Así
\[ \dim\operatorname{range}(TS)=2. \]
Ejercicio 25
Si \(T=ES\), entonces \(Sv=0\) implica \(Tv=E(Sv)=0\), de modo que
\[ \operatorname{null}S\subseteq\operatorname{null}T. \]
Recíprocamente, supongamos esta inclusión. Define
\[ E_0:\operatorname{range}S\to W, \qquad E_0(Sv)=Tv. \]
Está bien definida: si \(Sv_1=Sv_2\), entonces \(v_1-v_2\in\operatorname{null}S\subseteq\operatorname{null}T\), luego \(Tv_1=Tv_2\). La linealidad es inmediata.
Como \(W\) es de dimensión finita, el Ejercicio 13 de 3A permite extender \(E_0\) desde \(\operatorname{range}S\) a una aplicación \(E\in\mathcal L(W)\). Entonces
\[ ESv=Tv \]
para todo \(v\), y por tanto
\[ T=ES. \]
Ejercicio 26
Si \(S=TE\), entonces claramente
\[ \operatorname{range}S\subseteq\operatorname{range}T. \]
Recíprocamente, supongamos la inclusión. Por el Ejercicio 11 existe un subespacio \(U\subseteq V\) tal que
\[ U\cap\operatorname{null}T=\{0\}, \qquad \operatorname{range}T=\{Tu:u\in U\}. \]
Así, para cada \(y\in\operatorname{range}T\) existe un único \(u\in U\) con \(Tu=y\).
Sea \(v_1,\ldots,v_n\) una base de \(V\). Como \(Sv_j\in\operatorname{range}T\), existe un único \(u_j\in U\) con
\[ Tu_j=Sv_j. \]
Define \(E\in\mathcal L(V)\) por \(Ev_j=u_j\). Entonces
\[ TEv_j=Sv_j \]
para todos los vectores de la base, luego
\[ S=TE. \]
Ejercicio 27
Para todo \(v\in V\),
\[ v=(v-Pv)+Pv. \]
Como \(P^2=P\),
\[ P(v-Pv)=Pv-P^2v=0, \]
de modo que \(v-Pv\in\operatorname{null}P\), mientras que \(Pv\in\operatorname{range}P\). Por tanto
\[ V=\operatorname{null}P+\operatorname{range}P. \]
Si \(x\in\operatorname{null}P\cap\operatorname{range}P\), escribe \(x=Py\). Entonces
\[ x=Py=P^2y=P(Py)=Px=0. \]
La suma es directa:
\[ \boxed{V=\operatorname{null}P\oplus\operatorname{range}P.} \]
Ejercicio 28
Fijemos \(n\ge0\). Primero observemos que \(D1\) es constante. En efecto, \(x\) y \(x+1\) tienen grado \(1\), por lo que \(Dx\) y \(D(x+1)\) tienen grado \(0\); entonces
\[ D1=D(x+1)-Dx \]
es constante.
Por tanto
\[ D(\mathcal P_{n+1}(\mathbf R))\subseteq\mathcal P_n(\mathbf R). \]
Además, si \(Dp=0\), el polinomio \(p\) no puede ser no constante, porque la hipótesis exigiría
\[ \deg Dp=\deg p-1. \]
Así el espacio nulo de la restricción
\[ D:\mathcal P_{n+1}(\mathbf R)\to\mathcal P_n(\mathbf R) \]
tiene dimensión a lo sumo \(1\). Por 3.21,
\[ \dim\operatorname{range}D \ge(n+2)-1=n+1. \]
Pero la imagen está contenida en \(\mathcal P_n(\mathbf R)\), que tiene dimensión \(n+1\). Luego
\[ D(\mathcal P_{n+1}(\mathbf R))=\mathcal P_n(\mathbf R). \]
Todo polinomio pertenece a algún \(\mathcal P_n(\mathbf R)\), por lo que \(D\) es sobreyectiva.
Ejercicio 29
Define
\[ Dq=5q''+3q'. \]
Esta aplicación es lineal. Si \(q\) es no constante, de grado \(n\) y coeficiente principal \(a\), entonces \(3q'\) tiene término principal
\[ 3na x^{n-1}, \]
mientras que \(5q''\) tiene grado a lo sumo \(n-2\). Por tanto
\[ \deg(Dq)=n-1=\deg q-1. \]
El Ejercicio 28 implica que \(D\) es sobreyectiva. Por consiguiente, para cada \(p\in\mathcal P(\mathbf R)\) existe \(q\) tal que
\[ 5q''+3q'=p. \]
Ejercicio 30
Como \(u\notin\operatorname{null}\varphi\),
\[ \varphi(u)\ne0. \]
Dado \(v\in V\), toma
\[ a=\frac{\varphi(v)}{\varphi(u)}. \]
Entonces
\[ \varphi(v-au)=0, \]
por lo que
\[ v=(v-au)+au \]
es suma de un vector de \(\operatorname{null}\varphi\) y uno de \(\operatorname{span}(u)\).
Si \(au\in\operatorname{null}\varphi\), entonces
\[ 0=a\varphi(u), \]
y como \(\varphi(u)\ne0\), se sigue que \(a=0\). Así la intersección es \(\{0\}\) y
\[ V=\operatorname{null}\varphi\oplus\{au:a\in\mathbf F\}. \]
Ejercicio 31
Si existe \(T\) con
\[ \operatorname{null}T=X, \qquad \operatorname{range}T=Y, \]
3.21 da inmediatamente
\[ \dim V=\dim X+\dim Y. \]
Recíprocamente, supongamos esta igualdad. Sea \(x_1,\ldots,x_r\) una base de \(X\) y extiéndela a
\[ x_1,\ldots,x_r,v_1,\ldots,v_s \]
base de \(V\). Entonces
\[ s=\dim V-\dim X=\dim Y. \]
Sea \(y_1,\ldots,y_s\) una base de \(Y\). Define por 3.4
\[ Tx_j=0, \qquad Tv_k=y_k. \]
La independencia de los \(y_k\) muestra que el espacio nulo es exactamente \(X\), y su generación muestra que la imagen es exactamente \(Y\).
Ejercicio 32
Sea
\[ \mathcal N=\operatorname{null}\varphi. \]
Como \(\varphi\) es lineal, \(\mathcal N\) es un subespacio. Además, si \(A\in\mathcal N\) y \(T\in\mathcal L(V)\), entonces
\[ \varphi(TA)=\varphi(T)\varphi(A)=0, \]
y
\[ \varphi(AT)=\varphi(A)\varphi(T)=0. \]
Así \(\mathcal N\) es un ideal bilateral. Por el Ejercicio 17 de 3A,
\[ \mathcal N=\{0\} \quad\text{o}\quad \mathcal N=\mathcal L(V). \]
Si \(\mathcal N=\mathcal L(V)\), entonces \(\varphi=0\).
Supongamos, en cambio, que \(\mathcal N=\{0\}\). Entonces \(\varphi\) es inyectiva. Para cualesquiera \(S,T\in\mathcal L(V)\),
\[ \varphi(ST) =\varphi(S)\varphi(T) =\varphi(T)\varphi(S) =\varphi(TS). \]
La inyectividad implicaría
\[ ST=TS \]
para todos \(S,T\in\mathcal L(V)\). Esto contradice el Ejercicio 16 de 3A, porque \(\dim V>1\).
Por tanto la única posibilidad es
\[ \boxed{\varphi=0.} \]
Ejercicio 33
Recordemos que los elementos de \(V_{\mathbf C}\) se escriben \(u+iv\) con \(u,v\in V\).
\(a\)
La aditividad se obtiene de la aditividad de \(T\):
\[ T_{\mathbf C}((u_1+iv_1)+(u_2+iv_2)) =T_{\mathbf C}(u_1+iv_1)+T_{\mathbf C}(u_2+iv_2). \]
Sea \(z=a+ib\in\mathbf C\). Como
\[ z(u+iv)=(au-bv)+i(bu+av), \]
se tiene
\[ \begin{aligned} T_{\mathbf C}(z(u+iv)) &=T(au-bv)+iT(bu+av)\\ &=(aTu-bTv)+i(bTu+aTv)\\ &=(a+ib)(Tu+iTv)\\ &=zT_{\mathbf C}(u+iv). \end{aligned} \]
Así \(T_{\mathbf C}\) es compleja-lineal.
\(b\)
Si \(T\) es inyectiva y
\[ T_{\mathbf C}(u+iv)=0, \]
entonces \(Tu=Tv=0\), así que \(u=v=0\). Por tanto \(T_{\mathbf C}\) es inyectiva.
Recíprocamente, si \(T_{\mathbf C}\) es inyectiva y \(Tu=0\), entonces
\[ T_{\mathbf C}(u+i0)=0, \]
por lo que \(u=0\). Así \(T\) es inyectiva.
\(c\)
Si \(\operatorname{range}T=W\), dado \(w_1+iw_2\in W_{\mathbf C}\) elige \(u,v\in V\) con \(Tu=w_1\) y \(Tv=w_2\). Entonces
\[ T_{\mathbf C}(u+iv)=w_1+iw_2, \]
por lo que \(T_{\mathbf C}\) es sobreyectiva.
Recíprocamente, si \(\operatorname{range}T_{\mathbf C}=W_{\mathbf C}\) y \(w\in W\), existe \(u+iv\in V_{\mathbf C}\) con
\[ Tu+iTv=w+i0. \]
Comparando las dos componentes reales de la complexificación,
\[ Tu=w. \]
Así \(\operatorname{range}T=W\).
Procedencia y licencia de esta edición: traducción/adaptación no oficial de Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4.ª edición. La traducción y las contribuciones de esta edición se publican bajo CC BY-NC 4.0. Las soluciones señaladas como originales son de Matemática Abierta, no del autor. Índice de esta edición.