Soluciones · Sección 3C
Estado: VERIFICADO
Procedencia: [SOL] material original de Matemática Abierta.
Referencia: ejercicios 1–17 de la Sección 3C de Linear Algebra Done Right, 4.ª ed.
Criterio: se usan únicamente resultados disponibles hasta 3C, junto con los capítulos 1–2 y las secciones 3A–3B.
Ejercicio 1
Sea
\[ r=\dim\operatorname{range}T. \]
Fijemos bases \(v_1,\ldots,v_n\) de \(V\) y \(w_1,\ldots,w_m\) de \(W\). Por el Ejercicio 10 de 3B,
\[ Tv_1,\ldots,Tv_n \]
genera \(\operatorname{range}T\). Al pasar a coordenadas respecto de la base de \(W\), las columnas de \(\mathcal M(T)\) generan un subespacio de \(\mathbf F^{m,1}\) de dimensión \(r\).
Por tanto deben existir al menos \(r\) columnas no nulas. Cada columna no nula contiene al menos una entrada no nula. Luego
\[ \boxed{\mathcal M(T)\text{ tiene al menos }\dim\operatorname{range}T\text{ entradas no nulas}.} \]
Ejercicio 2
Supongamos primero
\[ \dim\operatorname{range}T=1. \]
Sea \(y\ne0\) un generador de \(\operatorname{range}T\). Elijamos \(u\in V\) tal que
\[ Tu=y. \]
Por 3.21,
\[ \dim\operatorname{null}T=\dim V-1. \]
Sea \(k_2,\ldots,k_n\) una base de \(\operatorname{null}T\). Entonces
\[ u,\ u+k_2,\ldots,u+k_n \]
es una base de \(V\): si
\[ a_1u+\sum_{j=2}^n a_j(u+k_j)=0, \]
al aplicar \(T\) obtenemos
\[ (a_1+\cdots+a_n)y=0, \]
luego \(a_1+\cdots+a_n=0\), y entonces queda
\[ \sum_{j=2}^n a_jk_j=0, \]
por lo que todos los coeficientes son cero. Además todos esos vectores son enviados por \(T\) a \(y\).
Ahora construimos una base de \(W\) cuya suma sea \(y\). Si \(\dim W=1\), tomamos simplemente \(w_1=y\). Si \(\dim W=m>1\), extendemos \(y\) a una base
\[ y,z_2,\ldots,z_m \]
y definimos
\[ w_1=y-z_2-\cdots-z_m, \qquad w_j=z_j\quad(j\ge2). \]
Entonces \(w_1,\ldots,w_m\) es una base y
\[ w_1+\cdots+w_m=y. \]
Respecto de estas bases, cada vector de la base del dominio se envía a
\[ y=w_1+\cdots+w_m, \]
por lo que todas las entradas de \(\mathcal M(T)\) son \(1\).
Recíprocamente, supongamos que existe una elección de bases para la cual todas las entradas de \(\mathcal M(T)\) son \(1\). Entonces todas las columnas son iguales al vector columna
\[ \begin{pmatrix}1\\ \vdots\\1\end{pmatrix}, \]
que es no nulo. Por tanto la imagen de \(T\) está generada por un único vector no nulo. Así
\[ \boxed{\dim\operatorname{range}T=1.} \]
Ejercicio 3
\(a\)
Escribamos
\[ Sv_k=\sum_{j=1}^m A_{j,k}w_j, \qquad Tv_k=\sum_{j=1}^m B_{j,k}w_j. \]
Entonces
\[ (S+T)v_k =\sum_{j=1}^m(A_{j,k}+B_{j,k})w_j. \]
Por definición de matriz,
\[ \boxed{\mathcal M(S+T)=\mathcal M(S)+\mathcal M(T).} \]
\(b\)
Si
\[ Tv_k=\sum_{j=1}^m A_{j,k}w_j, \]
entonces
\[ (\lambda T)v_k =\sum_{j=1}^m \lambda A_{j,k}w_j. \]
Por tanto
\[ \boxed{\mathcal M(\lambda T)=\lambda\mathcal M(T).} \]
Ejercicio 4
Tomemos en \(\mathcal P_3(\mathbf R)\) la base
\[ x,\ \frac{x^2}{2},\ \frac{x^3}{3},\ 1 \]
y en \(\mathcal P_2(\mathbf R)\) la base
\[ 1,x,x^2. \]
Entonces
\[ D(x)=1, \qquad D\left(\frac{x^2}{2}\right)=x, \qquad D\left(\frac{x^3}{3}\right)=x^2, \qquad D(1)=0. \]
Así
\[ \boxed{ \mathcal M(D)= \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0 \end{pmatrix}.} \]
Ejercicio 5
Sea
\[ r=\dim\operatorname{range}T. \]
Tomemos una base
\[ u_{r+1},\ldots,u_n \]
de \(\operatorname{null}T\) y extendámosla a una base de \(V\) añadiendo
\[ v_1,\ldots,v_r. \]
Por la demostración del teorema fundamental 3.21,
\[ Tv_1,\ldots,Tv_r \]
es una base de \(\operatorname{range}T\).
Definamos
\[ w_k=Tv_k\qquad(1\le k\le r) \]
y extendamos \(w_1,\ldots,w_r\) a una base
\[ w_1,\ldots,w_m \]
de \(W\).
Usando en \(V\) la base ordenada
\[ v_1,\ldots,v_r,u_{r+1},\ldots,u_n, \]
obtenemos
\[ Tv_k=w_k\quad(1\le k\le r), \qquad Tu_k=0\quad(k>r). \]
Por tanto la matriz tiene \(1\) en las posiciones \((k,k)\) para \(1\le k\le r\) y \(0\) en todas las demás entradas.
Ejercicio 6
Consideremos \(Tv_1\).
Si \(Tv_1=0\), cualquier base de \(W\) produce una primera columna completamente nula.
Si \(Tv_1\ne0\), tomamos
\[ w_1=Tv_1 \]
y extendemos \(w_1\) a una base \(w_1,\ldots,w_n\) de \(W\). Entonces la primera columna de \(\mathcal M(T)\) es
\[ \begin{pmatrix}1\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}. \]
En ambos casos se obtiene la forma requerida.
Ejercicio 7
Fijada la base \(w_1,\ldots,w_n\) de \(W\), definamos
\[ \varphi:V\to\mathbf F \]
haciendo que \(\varphi(v)\) sea la primera coordenada de \(Tv\) respecto de esa base. La aplicación \(\varphi\) es lineal.
Si \(\varphi=0\), cualquier base de \(V\) da una primera fila completamente nula.
Supongamos \(\varphi\ne0\). Elijamos \(u\in V\) con \(\varphi(u)\ne0\) y sustituyamos \(u\) por
\[ v_1=\frac{1}{\varphi(u)}u, \]
de modo que \(\varphi(v_1)=1\).
Como \(\varphi\ne0\), su imagen es \(\mathbf F\), de dimensión \(1\). Por 3.21,
\[ \dim\operatorname{null}\varphi=\dim V-1. \]
Sea \(v_2,\ldots,v_m\) una base de \(\operatorname{null}\varphi\). Entonces
\[ v_1,v_2,\ldots,v_m \]
es una base de \(V\), y la primera coordenada de \(Tv_1\) es \(1\), mientras que la primera coordenada de \(Tv_j\) es \(0\) para \(j\ge2\). Esa es exactamente la forma exigida para la primera fila.
Ejercicio 8
Para cada \(1\le k\le p\), la entrada \(k\) de la fila \((AB)_{j,\boldsymbol\cdot}\) es
\[ (AB)_{j,k}=\sum_{r=1}^n A_{j,r}B_{r,k}. \]
Pero esa es también la entrada \(k\) del producto de la fila \(A_{j,\boldsymbol\cdot}\) por \(B\). Por tanto
\[ \boxed{(AB)_{j,\boldsymbol\cdot}=A_{j,\boldsymbol\cdot}B.} \]
Ejercicio 9
Para cada columna \(k\),
\[ (aB)_k =\sum_{r=1}^n a_rB_{r,k}. \]
La entrada \(k\) de
\[ a_1B_{1,\boldsymbol\cdot}+\cdots+a_nB_{n,\boldsymbol\cdot} \]
es exactamente la misma suma. Luego
\[ \boxed{aB=a_1B_{1,\boldsymbol\cdot}+\cdots+a_nB_{n,\boldsymbol\cdot}.} \]
Ejercicio 10
Tomemos
\[ A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}. \]
Entonces
\[ AB=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}=B, \]
mientras que
\[ BA=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}. \]
Así
\[ \boxed{AB\ne BA.} \]
Ejercicio 11
Supongamos que \(A\) es \(m\) por \(n\) y que \(B,C\) son \(n\) por \(p\). Entonces \(AB,AC\) y \(A(B+C)\) son \(m\) por \(p\). Para cada \(j,k\),
\[ \begin{aligned} [A(B+C)]_{j,k} &=\sum_{r=1}^n A_{j,r}(B_{r,k}+C_{r,k})\\ &=\sum_{r=1}^n A_{j,r}B_{r,k} +\sum_{r=1}^n A_{j,r}C_{r,k}\\ &=(AB+AC)_{j,k}. \end{aligned} \]
Por tanto
\[ A(B+C)=AB+AC. \]
Análogamente, si \(D,E\) tienen el mismo tamaño y los productos con \(F\) están definidos,
\[ [(D+E)F]_{j,k} =\sum_r(D_{j,r}+E_{j,r})F_{r,k} =(DF+EF)_{j,k}. \]
Luego
\[ \boxed{(D+E)F=DF+EF.} \]
Ejercicio 12
Supongamos que
\[ A\in\mathbf F^{m,n}, \qquad B\in\mathbf F^{n,p}, \qquad C\in\mathbf F^{p,q}. \]
Por el lema 3.4 existen aplicaciones lineales, respecto de las bases estándar,
\[ S:\mathbf F^n\to\mathbf F^m, \qquad T:\mathbf F^p\to\mathbf F^n, \qquad R:\mathbf F^q\to\mathbf F^p \]
con
\[ \mathcal M(S)=A, \qquad \mathcal M(T)=B, \qquad \mathcal M(R)=C. \]
Por 3.43,
\[ (AB)C =\mathcal M(ST)\mathcal M(R) =\mathcal M((ST)R). \]
La composición de aplicaciones es asociativa, de modo que
\[ (ST)R=S(TR). \]
Aplicando de nuevo 3.43,
\[ \mathcal M(S(TR)) =\mathcal M(S)\mathcal M(TR) =A(BC). \]
Por tanto
\[ \boxed{(AB)C=A(BC).} \]
Esta prueba evita una expansión triple de índices y realiza precisamente la idea sugerida por la observación de Artin.
Ejercicio 13
Usando \(A^3=A(A^2)\),
\[ (A^3)_{j,k} =\sum_{p=1}^n A_{j,p}(A^2)_{p,k}. \]
A su vez,
\[ (A^2)_{p,k}=\sum_{r=1}^n A_{p,r}A_{r,k}. \]
Sustituyendo,
\[ \boxed{ (A^3)_{j,k} =\sum_{p=1}^n\sum_{r=1}^n A_{j,p}A_{p,r}A_{r,k}.} \]
Ejercicio 14
Sean \(A,B\in\mathbf F^{m,n}\) y \(\lambda\in\mathbf F\). Para toda \(j,k\),
\[ [(A+B)^t]_{k,j} =(A+B)_{j,k} =A_{j,k}+B_{j,k} =(A^t+B^t)_{k,j}. \]
Así
\[ (A+B)^t=A^t+B^t. \]
Además,
\[ [(\lambda A)^t]_{k,j} =(\lambda A)_{j,k} =\lambda A_{j,k} =(\lambda A^t)_{k,j}. \]
Por tanto
\[ \boxed{A\mapsto A^t\text{ es lineal}.} \]
Ejercicio 15
Sea \(A\) de tamaño \(m\) por \(n\) y \(C\) de tamaño \(n\) por \(p\). Para \(1\le k\le p\) y \(1\le j\le m\),
\[ [(AC)^t]_{k,j} =(AC)_{j,k} =\sum_{r=1}^n A_{j,r}C_{r,k}. \]
Por otra parte,
\[ (C^tA^t)_{k,j} =\sum_{r=1}^n(C^t)_{k,r}(A^t)_{r,j} =\sum_{r=1}^n C_{r,k}A_{j,r}. \]
Como los escalares conmutan, ambas sumas son iguales. Por tanto
\[ \boxed{(AC)^t=C^tA^t.} \]
Ejercicio 16
Supongamos primero
\[ \operatorname{rank}A=1. \]
Como \(A\ne0\), existe una columna no nula. Elijamos una de ellas y escribámosla
\[ c=\begin{pmatrix}c_1\\\vdots\\c_m\end{pmatrix}. \]
El subespacio generado por todas las columnas de \(A\) tiene dimensión \(1\), así que cada columna \(k\) de \(A\) es un múltiplo de \(c\). Existe, pues, \(d_k\in\mathbf F\) tal que
\[ A_{\boldsymbol\cdot,k}=d_kc. \]
Entonces para todo \(j,k\),
\[ \boxed{A_{j,k}=c_jd_k.} \]
Recíprocamente, supongamos que
\[ A_{j,k}=c_jd_k \]
para ciertos \(c_j,d_k\). Sea
\[ c=\begin{pmatrix}c_1\\\vdots\\c_m\end{pmatrix}. \]
La columna \(k\) de \(A\) es \(d_kc\). Por tanto todas las columnas pertenecen a \(\operatorname{span}(c)\) y el rango es a lo sumo \(1\).
Como \(A\ne0\), alguna entrada \(c_jd_k\) es no nula. En particular \(c\ne0\) y alguna columna es no nula. Así el espacio generado por las columnas tiene dimensión exactamente \(1\). Luego
\[ \boxed{\operatorname{rank}A=1.} \]
Ejercicio 17
Sea
\[ M=\mathcal M\bigl(T,(u_1,\ldots,u_n),(v_1,\ldots,v_n)\bigr). \]
Las columnas de \(M\) son los vectores de coordenadas de
\[ Tu_1,\ldots,Tu_n \]
respecto de la base \(v_1,\ldots,v_n\).
\(a\) \(\Longleftrightarrow\) \(b\)
Si \(T\) es inyectiva, entonces por el Ejercicio 9 de 3B la imagen bajo \(T\) de la base \(u_1,\ldots,u_n\) es linealmente independiente. La aplicación de coordenadas respecto de \(v_1,\ldots,v_n\) preserva las relaciones lineales, de modo que las columnas de \(M\) son linealmente independientes.
Recíprocamente, si las columnas son linealmente independientes y
\[ T(a_1u_1+\cdots+a_nu_n)=0, \]
entonces
\[ a_1Tu_1+\cdots+a_nTu_n=0. \]
Pasando a coordenadas,
\[ a_1M_{\boldsymbol\cdot,1}+\cdots+a_nM_{\boldsymbol\cdot,n}=0. \]
La independencia de las columnas implica \(a_1=\cdots=a_n=0\), así que \(\operatorname{null}T=\{0\}\) y \(T\) es inyectiva por 3.15.
\(b\) \(\Longleftrightarrow\) \(c\)
Hay exactamente \(n\) columnas en el espacio \(\mathbf F^{n,1}\), que tiene dimensión \(n\). Por 2.42, una lista de longitud \(n\) es linealmente independiente si y sólo si genera todo el espacio. Así \(b\) y \(c\) son equivalentes.
\(c\) \(\Longleftrightarrow\) \(d\)
La condición \(c\) equivale a que el rango columna de \(M\) sea \(n\). Por 3.57, el rango fila también es \(n\). Esto equivale a que las filas generen el espacio \(\mathbf F^{1,n}\), es decir, a \(d\).
\(d\) \(\Longleftrightarrow\) \(e\)
Hay exactamente \(n\) filas en el espacio \(\mathbf F^{1,n}\), cuya dimensión es \(n\). Por 2.42, esas filas generan el espacio si y sólo si son linealmente independientes.
Por tanto
\[ \boxed{(a)\iff(b)\iff(c)\iff(d)\iff(e).} \]
Procedencia y licencia de esta edición: traducción/adaptación no oficial de Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4.ª edición. La traducción y las contribuciones de esta edición se publican bajo CC BY-NC 4.0. Las soluciones señaladas como originales son de Matemática Abierta, no del autor. Índice de esta edición.