1B · Definición de espacio vectorial

Estado: COTEJADO
Fuente: Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4.ª ed., PDF oficial de 16-08-2026, sección 1B, pp. 12–17.
Licencia: adaptación/traducción no oficial bajo CC BY-NC 4.0.
Control de erratas: la lista oficial de erratas consultada el 13-09-2026 no registra correcciones específicas para la sección 1B.

[TRAD] Traducción de trabajo de Matemática Abierta. Se preservan numeración, fórmulas y jerarquía del original.

La motivación para la definición de un espacio vectorial proviene de las propiedades de la suma y de la multiplicación por escalares en \(\mathbf F^n\): la suma es conmutativa, asociativa y tiene una identidad. Todo elemento tiene un inverso aditivo. La multiplicación por escalares es asociativa. La multiplicación por el escalar \(1\) actúa como se espera. La suma y la multiplicación por escalares están conectadas mediante propiedades distributivas.

Definiremos un espacio vectorial como un conjunto \(V\) provisto de una suma y de una multiplicación por escalares en \(V\) que satisfacen las propiedades del párrafo anterior.

1.19 Definición: suma, multiplicación por escalares

  • Una suma en un conjunto \(V\) es una función que asigna un elemento \(u+v\in V\) a cada par de elementos \(u,v\in V\).
  • Una multiplicación por escalares en un conjunto \(V\) es una función que asigna un elemento \(\lambda v\in V\) a cada \(\lambda\in\mathbf F\) y cada \(v\in V\).

Ahora estamos preparados para dar la definición formal de espacio vectorial.

1.20 Definición: espacio vectorial

Un espacio vectorial es un conjunto \(V\), junto con una suma en \(V\) y una multiplicación por escalares en \(V\), tales que se cumplen las siguientes propiedades.

Conmutatividad

\[ u+v=v+u \]

para todos \(u,v\in V\).

Asociatividad

\[ (u+v)+w=u+(v+w) \]

y

\[ (ab)v=a(bv) \]

para todos \(u,v,w\in V\) y todos \(a,b\in\mathbf F\).

Identidad aditiva

Existe un elemento \(0\in V\) tal que

\[ v+0=v \]

para todo \(v\in V\).

Inverso aditivo

Para todo \(v\in V\) existe \(w\in V\) tal que

\[ v+w=0. \]

Identidad multiplicativa

\[ 1v=v \]

para todo \(v\in V\).

Propiedades distributivas

\[ a(u+v)=au+av \]

y

\[ (a+b)v=av+bv \]

para todos \(a,b\in\mathbf F\) y todos \(u,v\in V\).

El siguiente lenguaje geométrico ayuda a veces a nuestra intuición.

1.21 Definición: vector, punto

Los elementos de un espacio vectorial se llaman vectores o puntos.

La multiplicación por escalares de un espacio vectorial depende de \(\mathbf F\). Por tanto, cuando necesitemos ser precisos, diremos que \(V\) es un espacio vectorial sobre \(\mathbf F\) en vez de decir simplemente que \(V\) es un espacio vectorial. Por ejemplo, \(\mathbf R^n\) es un espacio vectorial sobre \(\mathbf R\) y \(\mathbf C^n\) es un espacio vectorial sobre \(\mathbf C\).

1.22 Definición: espacio vectorial real, espacio vectorial complejo

  • Un espacio vectorial sobre \(\mathbf R\) se llama espacio vectorial real.
  • Un espacio vectorial sobre \(\mathbf C\) se llama espacio vectorial complejo.

Normalmente, la elección de \(\mathbf F\) es clara por el contexto o resulta irrelevante. Por eso, a menudo suponemos que \(\mathbf F\) permanece en segundo plano sin mencionarlo de manera explícita.

El espacio vectorial más sencillo es \(\{0\}\), que contiene un único punto.

Con las operaciones usuales de suma y multiplicación por escalares, \(\mathbf F^n\) es un espacio vectorial sobre \(\mathbf F\), como deberías verificar. El ejemplo de \(\mathbf F^n\) motivó nuestra definición de espacio vectorial.

1.23 Ejemplo: \(\mathbf F^\infty\)

\(\mathbf F^\infty\) se define como el conjunto de todas las sucesiones de elementos de \(\mathbf F\):

\[ \mathbf F^\infty =\{(x_1,x_2,\ldots):x_k\in\mathbf F\text{ para }k=1,2,\ldots\}. \]

La suma y la multiplicación por escalares en \(\mathbf F^\infty\) se definen como cabe esperar:

\[ (x_1,x_2,\ldots)+(y_1,y_2,\ldots) =(x_1+y_1,x_2+y_2,\ldots), \]

\[ \lambda(x_1,x_2,\ldots) =(\lambda x_1,\lambda x_2,\ldots). \]

Con estas definiciones, \(\mathbf F^\infty\) se convierte en un espacio vectorial sobre \(\mathbf F\), como deberías verificar. La identidad aditiva de este espacio vectorial es la sucesión formada enteramente por ceros.

Nuestro siguiente ejemplo de espacio vectorial involucra un conjunto de funciones.

1.24 Notación: \(\mathbf F^S\)

  • Si \(S\) es un conjunto, entonces \(\mathbf F^S\) denota el conjunto de funciones de \(S\) en \(\mathbf F\).
  • Para \(f,g\in\mathbf F^S\), la suma \(f+g\in\mathbf F^S\) es la función definida por

\[ (f+g)(x)=f(x)+g(x) \]

para todo \(x\in S\).

  • Para \(\lambda\in\mathbf F\) y \(f\in\mathbf F^S\), el producto \(\lambda f\in\mathbf F^S\) es la función definida por

\[ (\lambda f)(x)=\lambda f(x) \]

para todo \(x\in S\).

Como ejemplo de la notación anterior, si \(S\) es el intervalo \([0,1]\) y \(\mathbf F=\mathbf R\), entonces \(\mathbf R^{[0,1]}\) es el conjunto de funciones de valores reales definidas en \([0,1]\).

Deberías verificar las tres afirmaciones del ejemplo siguiente.

1.25 Ejemplo: \(\mathbf F^S\) es un espacio vectorial

  • Si \(S\) es un conjunto no vacío, entonces \(\mathbf F^S\), con las operaciones de suma y multiplicación por escalares definidas arriba, es un espacio vectorial sobre \(\mathbf F\).
  • La identidad aditiva de \(\mathbf F^S\) es la función \(0:S\to\mathbf F\) definida por

\[ 0(x)=0 \]

para todo \(x\in S\).

  • Para \(f\in\mathbf F^S\), el inverso aditivo de \(f\) es la función \(-f:S\to\mathbf F\) definida por

\[ (-f)(x)=-f(x) \]

para todo \(x\in S\).

Los elementos del espacio vectorial \(\mathbf R^{[0,1]}\) son funciones reales definidas en \([0,1]\), no listas. En general, un espacio vectorial es una entidad abstracta cuyos elementos pueden ser listas, funciones u objetos extraños.

El espacio vectorial \(\mathbf F^n\) es un caso particular del espacio vectorial \(\mathbf F^S\), porque cada \((x_1,\ldots,x_n)\in\mathbf F^n\) puede considerarse una función \(x\) del conjunto \(\{1,2,\ldots,n\}\) en \(\mathbf F\) si escribimos \(x(k)\) en lugar de \(x_k\) para la \(k\)-ésima coordenada de \((x_1,\ldots,x_n)\). En otras palabras, podemos pensar

\[ \mathbf F^n=\mathbf F^{\{1,2,\ldots,n\}}. \]

De manera análoga, podemos pensar

\[ \mathbf F^\infty=\mathbf F^{\{1,2,\ldots\}}. \]

Pronto veremos más ejemplos de espacios vectoriales, pero antes necesitamos desarrollar algunas de sus propiedades elementales.

La definición de espacio vectorial exige la existencia de una identidad aditiva. El resultado siguiente afirma que dicha identidad es única.

1.26 Unicidad de la identidad aditiva

Un espacio vectorial tiene una única identidad aditiva.

Demostración. Supongamos que \(0\) y \(0'\) son identidades aditivas de un espacio vectorial \(V\). Entonces

\[ 0'=0'+0=0+0'=0, \]

donde la primera igualdad se debe a que \(0\) es una identidad aditiva, la segunda a la conmutatividad y la tercera a que \(0'\) es una identidad aditiva. Por tanto \(0'=0\), lo que demuestra que \(V\) tiene una única identidad aditiva. \(\square\)

Cada elemento \(v\) de un espacio vectorial tiene un inverso aditivo: un elemento \(w\) del espacio vectorial tal que \(v+w=0\). El resultado siguiente muestra que cada elemento de un espacio vectorial tiene un único inverso aditivo.

1.27 Unicidad del inverso aditivo

Todo elemento de un espacio vectorial tiene un único inverso aditivo.

Demostración. Supongamos que \(V\) es un espacio vectorial. Sea \(v\in V\). Supongamos que \(w\) y \(w'\) son inversos aditivos de \(v\). Entonces

\[ \begin{aligned} w &=w+0\\ &=w+(v+w')\\ &=(w+v)+w'\\ &=0+w'\\ &=w'. \end{aligned} \]

Así, \(w=w'\), como se quería demostrar. \(\square\)

Como los inversos aditivos son únicos, la notación siguiente tiene ahora sentido.

1.28 Notación: \(-v\), \(w-v\)

Sean \(v,w\in V\). Entonces:

  • \(-v\) denota el inverso aditivo de \(v\);
  • \(w-v\) se define como \(w+(-v)\).

Casi todos los resultados de este libro involucran algún espacio vectorial. Para evitar repetir constantemente que \(V\) es un espacio vectorial, hacemos ahora la declaración necesaria de una vez y para siempre.

1.29 Notación: \(V\)

Durante el resto de este libro, \(V\) denota un espacio vectorial sobre \(\mathbf F\).

En el resultado siguiente, el \(0\) del lado izquierdo de la ecuación denota un escalar —el número \(0\in\mathbf F\)— y el \(0\) del lado derecho denota un vector —la identidad aditiva de \(V\)—.

1.30 El número \(0\) por un vector

\[ 0v=0 \]

para todo \(v\in V\).

El resultado 1.30 involucra la identidad aditiva de \(V\) y la multiplicación por escalares. La única parte de la definición de espacio vectorial que conecta la suma de vectores con la multiplicación por escalares es la propiedad distributiva. Por tanto, la propiedad distributiva debe utilizarse en la demostración de 1.30.

Demostración. Para \(v\in V\),

\[ 0v=(0+0)v=0v+0v. \]

Sumando el inverso aditivo de \(0v\) a ambos lados de la igualdad anterior obtenemos

\[ 0=0v, \]

como se quería. \(\square\)

En el resultado siguiente, \(0\) denota la identidad aditiva de \(V\). Aunque sus demostraciones son similares, 1.30 y 1.31 no son el mismo resultado. Más precisamente, 1.30 afirma que el producto del escalar \(0\) por cualquier vector es el vector \(0\), mientras que 1.31 afirma que el producto de cualquier escalar por el vector \(0\) es el vector \(0\).

1.31 Un número por el vector \(0\)

\[ a0=0 \]

para todo \(a\in\mathbf F\).

Demostración. Para \(a\in\mathbf F\),

\[ a0=a(0+0)=a0+a0. \]

Sumando el inverso aditivo de \(a0\) a ambos lados obtenemos

\[ 0=a0, \]

como se quería. \(\square\)

Mostremos ahora que, si un elemento de \(V\) se multiplica por el escalar \(-1\), el resultado es el inverso aditivo de ese elemento de \(V\).

1.32 El número \(-1\) por un vector

\[ (-1)v=-v \]

para todo \(v\in V\).

Demostración. Para \(v\in V\),

\[ v+(-1)v=1v+(-1)v=(1+(-1))v=0v=0. \]

Esta igualdad dice que \((-1)v\), al sumarse con \(v\), da \(0\). Por tanto, \((-1)v\) es el inverso aditivo de \(v\), como se quería. \(\square\)

Ejercicios 1B

  1. Demuestra que \(-(-v)=v\) para todo \(v\in V\).
  2. Supón que \(a\in\mathbf F\), \(v\in V\) y \(av=0\). Demuestra que \(a=0\) o \(v=0\).
  3. Supón que \(v,w\in V\). Explica por qué existe un único \(x\in V\) tal que

\[ v+3x=w. \]

  1. El conjunto vacío no es un espacio vectorial. El conjunto vacío no satisface exactamente uno de los requisitos de la definición de espacio vectorial \(1.20\). ¿Cuál?
  2. Demuestra que, en la definición de espacio vectorial \(1.20\), la condición de existencia de inversos aditivos puede reemplazarse por la condición

\[ 0v=0\qquad\text{para todo }v\in V. \]

Aquí, el \(0\) del lado izquierdo es el número \(0\), y el \(0\) del lado derecho es la identidad aditiva de \(V\).

La frase «una condición puede reemplazarse» en una definición significa que la colección de objetos que satisfacen la definición no cambia cuando la condición original se sustituye por la nueva.

  1. Sean \(\infty\) y \(-\infty\) dos objetos distintos, ninguno perteneciente a \(\mathbf R\). Define una suma y una multiplicación por escalares en \(\mathbf R\cup\{\infty,-\infty\}\) como sugiere la notación. En concreto, la suma y el producto de dos números reales son los usuales y, para \(t\in\mathbf R\), define

\[ t\infty= \begin{cases} -\infty,&t<0,\\ 0,&t=0,\\ \infty,&t>0, \end{cases} \]

\[ t(-\infty)= \begin{cases} \infty,&t<0,\\ 0,&t=0,\\ -\infty,&t>0, \end{cases} \]

y

\[ t+\infty=\infty+t=\infty+\infty=\infty, \]

\[ t+(-\infty)=(-\infty)+t=(-\infty)+(-\infty)=-\infty, \]

\[ \infty+(-\infty)=(-\infty)+\infty=0. \]

Con estas operaciones de suma y multiplicación por escalares, ¿es \(\mathbf R\cup\{\infty,-\infty\}\) un espacio vectorial sobre \(\mathbf R\)? Explica tu respuesta.

  1. Supón que \(S\) es un conjunto no vacío. Sea \(V^S\) el conjunto de funciones de \(S\) en \(V\). Define de manera natural una suma y una multiplicación por escalares en \(V^S\) y demuestra que, con estas definiciones, \(V^S\) es un espacio vectorial.

  2. Supón que \(V\) es un espacio vectorial real.

  • La complexificación de \(V\), denotada por \(V_{\mathbf C}\), es \(V\times V\). Un elemento de \(V_{\mathbf C}\) es un par ordenado \((u,v)\) con \(u,v\in V\), pero lo escribimos como \(u+iv\).
  • La suma en \(V_{\mathbf C}\) se define por

\[ (u_1+iv_1)+(u_2+iv_2) =(u_1+u_2)+i(v_1+v_2). \]

  • La multiplicación por escalares complejos en \(V_{\mathbf C}\) se define por

\[ (a+bi)(u+iv)=(au-bv)+i(av+bu) \]

para todos \(a,b\in\mathbf R\) y todos \(u,v\in V\).

Demuestra que, con las definiciones anteriores de suma y multiplicación por escalares, \(V_{\mathbf C}\) es un espacio vectorial complejo.

Considera \(V\) como un subconjunto de \(V_{\mathbf C}\) identificando \(u\in V\) con \(u+i0\). La construcción de \(V_{\mathbf C}\) a partir de \(V\) puede entonces verse como una generalización de la construcción de \(\mathbf C^n\) a partir de \(\mathbf R^n\).

Atribución: Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4.ª edición. Traducción/adaptación no oficial realizada para Matemática Abierta bajo CC BY-NC 4.0. Fuente oficial: https://linear.axler.net/.

Procedencia y licencia de esta edición: traducción/adaptación no oficial de Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4.ª edición. La traducción y las contribuciones de esta edición se publican bajo CC BY-NC 4.0. Las soluciones señaladas como originales son de Matemática Abierta, no del autor. Índice de esta edición.