1C · Subespacios
Estado: COTEJADO
Fuente: Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4.ª ed., PDF oficial de 16-08-2026, sección 1C, pp. 18–26.
Licencia: adaptación/traducción no oficial bajo CC BY-NC 4.0.
Control de erratas: la lista oficial de erratas consultada el 13-09-2026 no registra correcciones específicas para la sección 1C.
[TRAD] Traducción de trabajo de Matemática Abierta. Se preservan numeración, fórmulas y jerarquía del original.
Al considerar subespacios podemos ampliar enormemente nuestros ejemplos de espacios vectoriales.
1.33 Definición: subespacio
Un subconjunto \(U\) de \(V\) se llama subespacio de \(V\) si \(U\) es también un espacio vectorial con la misma identidad aditiva, la misma suma y la misma multiplicación por escalares que \(V\).
Algunas personas usan la expresión subespacio lineal, que significa lo mismo que subespacio.
El resultado siguiente proporciona la manera más sencilla de comprobar si un subconjunto de un espacio vectorial es un subespacio.
1.34 Condiciones para que un subconjunto sea un subespacio
Un subconjunto \(U\) de \(V\) es un subespacio de \(V\) si y sólo si \(U\) satisface las tres condiciones siguientes.
Identidad aditiva
\[ 0\in U. \]
Cerrado bajo la suma
\[ u,w\in U\quad\Longrightarrow\quad u+w\in U. \]
Cerrado bajo la multiplicación por escalares
\[ a\in\mathbf F,\ u\in U\quad\Longrightarrow\quad au\in U. \]
La condición de identidad aditiva podría reemplazarse por la condición de que \(U\) sea no vacío, pues si \(u\in U\), entonces \(0u=0\in U\). Sin embargo, cuando un subconjunto \(U\) es efectivamente un subespacio, normalmente la manera más rápida de demostrar que no es vacío consiste precisamente en mostrar que \(0\in U\).
Demostración. Si \(U\) es un subespacio de \(V\), entonces satisface las tres condiciones anteriores por la definición de espacio vectorial.
Recíprocamente, supongamos que \(U\) satisface las tres condiciones. La primera garantiza que la identidad aditiva de \(V\) pertenece a \(U\). La segunda garantiza que la suma está bien definida dentro de \(U\). La tercera garantiza que la multiplicación por escalares está bien definida dentro de \(U\).
Si \(u\in U\), entonces \(-u=(-1)u\) por 1.32, y por la tercera condición también \(-u\in U\). Por tanto, todo elemento de \(U\) tiene un inverso aditivo en \(U\).
Las demás partes de la definición de espacio vectorial —por ejemplo, la asociatividad y la conmutatividad— se satisfacen automáticamente en \(U\) porque ya se satisfacen en el espacio mayor \(V\). Así, \(U\) es un espacio vectorial y, por tanto, un subespacio de \(V\). \(\square\)
Las tres condiciones anteriores suelen permitir decidir rápidamente si un subconjunto dado de \(V\) es un subespacio. Deberías verificar todas las afirmaciones del ejemplo siguiente.
1.35 Ejemplo: subespacios
(a) Si \(b\in\mathbf F\), entonces
\[ \{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbf F^4:x_3=5x_4+b\} \]
es un subespacio de \(\mathbf F^4\) si y sólo si \(b=0\).
(b) El conjunto de funciones continuas de valores reales definidas en el intervalo \([0,1]\) es un subespacio de \(\mathbf R^{[0,1]}\).
(c) El conjunto de funciones diferenciables de valores reales definidas en \(\mathbf R\) es un subespacio de \(\mathbf R^{\mathbf R}\).
(d) El conjunto de funciones diferenciables de valores reales \(f\) definidas en \((0,3)\) tales que
\[ f'(2)=b \]
es un subespacio de \(\mathbf R^{(0,3)}\) si y sólo si \(b=0\).
(e) El conjunto de todas las sucesiones de números complejos cuyo límite es \(0\) es un subespacio de \(\mathbf C^\infty\).
El conjunto \(\{0\}\) es el subespacio más pequeño de \(V\), y \(V\) mismo es el subespacio más grande de \(V\). El conjunto vacío no es un subespacio de \(V\), porque un subespacio debe ser un espacio vectorial y, por tanto, debe contener al menos un elemento: una identidad aditiva.
Verificar algunos de los apartados anteriores pone de manifiesto la estructura lineal subyacente en partes del cálculo. Por ejemplo, el apartado \(b\) utiliza el hecho de que la suma de dos funciones continuas es continua. Del mismo modo, el apartado \(d\) utiliza que, para una constante \(c\), la derivada de \(cf\) es \(c\) veces la derivada de \(f\).
Los subespacios de \(\mathbf R^2\) son precisamente \(\{0\}\), todas las rectas de \(\mathbf R^2\) que pasan por el origen y \(\mathbf R^2\). Los subespacios de \(\mathbf R^3\) son precisamente \(\{0\}\), todas las rectas de \(\mathbf R^3\) que pasan por el origen, todos los planos de \(\mathbf R^3\) que pasan por el origen y \(\mathbf R^3\).
Comprobar que todos esos objetos son subespacios es sencillo. La parte difícil consiste en demostrar que no hay otros subespacios de \(\mathbf R^2\) o \(\mathbf R^3\). Esa tarea será más fácil después de introducir herramientas adicionales en el capítulo siguiente.
Sumas de subespacios
La unión de subespacios rara vez es un subespacio —véase el Ejercicio 12—, razón por la cual normalmente trabajamos con sumas en vez de con uniones.
Cuando tratamos con espacios vectoriales, normalmente nos interesan los subespacios y no subconjuntos arbitrarios. La noción de suma de subespacios será útil.
1.36 Definición: suma de subespacios
Supongamos que \(V_1,\ldots,V_m\) son subespacios de \(V\). La suma de \(V_1,\ldots,V_m\), denotada por
\[ V_1+\cdots+V_m, \]
es el conjunto de todas las sumas posibles de elementos de \(V_1,\ldots,V_m\). Más precisamente,
\[ V_1+\cdots+V_m = \{v_1+\cdots+v_m:v_1\in V_1,\ldots,v_m\in V_m\}. \]
Veamos algunos ejemplos.
1.37 Ejemplo: una suma de subespacios de \(\mathbf F^3\)
Supongamos que \(U\) es el conjunto de todos los elementos de \(\mathbf F^3\) cuyas coordenadas segunda y tercera son \(0\), y que \(W\) es el conjunto de todos los elementos de \(\mathbf F^3\) cuyas coordenadas primera y tercera son \(0\):
\[ U=\{(x,0,0)\in\mathbf F^3:x\in\mathbf F\}, \]
\[ W=\{(0,y,0)\in\mathbf F^3:y\in\mathbf F\}. \]
Entonces
\[ U+W=\{(x,y,0)\in\mathbf F^3:x,y\in\mathbf F\}, \]
como deberías verificar.
1.38 Ejemplo: una suma de subespacios de \(\mathbf F^4\)
Supongamos
\[ U=\{(x,x,y,y)\in\mathbf F^4:x,y\in\mathbf F\} \]
y
\[ W=\{(x,x,x,y)\in\mathbf F^4:x,y\in\mathbf F\}. \]
En palabras, \(U\) es el conjunto de elementos de \(\mathbf F^4\) cuyas dos primeras coordenadas son iguales entre sí y cuyas coordenadas tercera y cuarta también son iguales entre sí. Análogamente, \(W\) es el conjunto de elementos de \(\mathbf F^4\) cuyas tres primeras coordenadas son iguales entre sí.
Para obtener una descripción de \(U+W\), consideremos un elemento típico \((a,a,b,b)\) de \(U\) y un elemento típico \((c,c,c,d)\) de \(W\). Tenemos
\[ (a,a,b,b)+(c,c,c,d) =(a+c,a+c,b+c,b+d). \]
Esto muestra que todo elemento de \(U+W\) tiene iguales sus dos primeras coordenadas. Por tanto,
1.39
\[ U+W\subseteq\{(x,x,y,z)\in\mathbf F^4:x,y,z\in\mathbf F\}. \]
Para demostrar la inclusión inversa, supongamos \(x,y,z\in\mathbf F\). Entonces
\[ (x,x,y,z) =(x,x,y,y)+(0,0,0,z-y), \]
donde el primer vector del lado derecho pertenece a \(U\) y el segundo pertenece a \(W\). Por tanto, \((x,x,y,z)\in U+W\), y la inclusión 1.39 también se cumple en el sentido contrario. En consecuencia,
\[ U+W=\{(x,x,y,z)\in\mathbf F^4:x,y,z\in\mathbf F\}. \]
Así, \(U+W\) es el conjunto de elementos de \(\mathbf F^4\) cuyas dos primeras coordenadas son iguales.
El resultado siguiente afirma que la suma de subespacios es un subespacio y, de hecho, el subespacio más pequeño que contiene a todos los sumandos.
1.40 La suma de subespacios es el menor subespacio que contiene a los sumandos
Supongamos que \(V_1,\ldots,V_m\) son subespacios de \(V\). Entonces \(V_1+\cdots+V_m\) es el subespacio más pequeño de \(V\) que contiene a \(V_1,\ldots,V_m\).
Demostración. Se verifica directamente que \(V_1+\cdots+V_m\) contiene la identidad aditiva \(0\) y es cerrado bajo la suma y la multiplicación por escalares. Por 1.34, \(V_1+\cdots+V_m\) es un subespacio de \(V\).
Cada \(V_k\) está contenido en \(V_1+\cdots+V_m\): basta considerar sumas \(v_1+\cdots+v_m\) en las que todos los términos salvo uno sean \(0\). Recíprocamente, todo subespacio de \(V\) que contenga a \(V_1,\ldots,V_m\) contiene también todas las sumas finitas de sus elementos y, por tanto, contiene \(V_1+\cdots+V_m\). Así, \(V_1+\cdots+V_m\) es el menor subespacio de \(V\) que contiene a \(V_1,\ldots,V_m\). \(\square\)
Las sumas de subespacios en la teoría de espacios vectoriales son análogas a las uniones de subconjuntos en teoría de conjuntos: dados dos subespacios, el menor subespacio que los contiene es su suma; dados dos subconjuntos de un conjunto, el menor subconjunto que los contiene es su unión.
Sumas directas
Supongamos que \(V_1,\ldots,V_m\) son subespacios de \(V\). Todo elemento de \(V_1+\cdots+V_m\) puede escribirse de la forma
\[ v_1+\cdots+v_m, \]
donde cada \(v_k\in V_k\). Son especialmente importantes los casos en que cada vector de \(V_1+\cdots+V_m\) puede representarse de esta forma de una sola manera. Esta situación recibe un nombre especial —suma directa— y un símbolo especial, \(\oplus\).
1.41 Definición: suma directa, \(\oplus\)
Supongamos que \(V_1,\ldots,V_m\) son subespacios de \(V\).
- La suma \(V_1+\cdots+V_m\) se llama suma directa si cada elemento de \(V_1+\cdots+V_m\) puede escribirse de una única manera como suma
\[ v_1+\cdots+v_m, \]
con \(v_k\in V_k\) para cada \(k\).
- Si \(V_1+\cdots+V_m\) es una suma directa, entonces
\[ V_1\oplus\cdots\oplus V_m \]
denota \(V_1+\cdots+V_m\); la notación \(\oplus\) indica que la suma es directa.
1.42 Ejemplo: suma directa de dos subespacios
Supongamos que \(U\) es el subespacio de \(\mathbf F^3\) formado por los vectores cuya última coordenada es \(0\), y que \(W\) es el subespacio de \(\mathbf F^3\) formado por los vectores cuyas dos primeras coordenadas son \(0\):
\[ U=\{(x,y,0)\in\mathbf F^3:x,y\in\mathbf F\}, \]
\[ W=\{(0,0,z)\in\mathbf F^3:z\in\mathbf F\}. \]
Entonces
\[ \mathbf F^3=U\oplus W, \]
como deberías verificar.
1.43 Ejemplo: suma directa de varios subespacios
Supongamos que \(V_k\) es el subespacio de \(\mathbf F^n\) formado por los vectores cuyas coordenadas son todas \(0\), salvo quizá la coordenada \(k\)-ésima. Por ejemplo,
\[ V_2=\{(0,x,0,\ldots,0)\in\mathbf F^n:x\in\mathbf F\}. \]
Entonces
\[ \mathbf F^n=V_1\oplus\cdots\oplus V_n, \]
como deberías verificar.
Para producir \(\oplus\) en TeX se escribe \oplus.
A veces los no-ejemplos aumentan nuestra comprensión tanto como los ejemplos.
1.44 Ejemplo: una suma que no es directa
Supongamos
\[ V_1=\{(x,y,0)\in\mathbf F^3:x,y\in\mathbf F\}, \]
\[ V_2=\{(0,0,z)\in\mathbf F^3:z\in\mathbf F\}, \]
\[ V_3=\{(0,y,y)\in\mathbf F^3:y\in\mathbf F\}. \]
Entonces
\[ \mathbf F^3=V_1+V_2+V_3, \]
porque todo vector \((x,y,z)\in\mathbf F^3\) puede escribirse como
\[ (x,y,z)=(x,y,0)+(0,0,z)+(0,0,0), \]
donde los tres vectores del lado derecho pertenecen respectivamente a \(V_1,V_2,V_3\).
Sin embargo, \(\mathbf F^3\) no es la suma directa de \(V_1,V_2,V_3\), porque el vector \(0\) puede escribirse de más de una manera como suma \(v_1+v_2+v_3\) con \(v_k\in V_k\). En concreto,
\[ (0,0,0)=(0,1,0)+(0,0,1)+(0,-1,-1), \]
y, por supuesto,
\[ (0,0,0)=(0,0,0)+(0,0,0)+(0,0,0). \]
Por tanto, \(V_1+V_2+V_3\) no es una suma directa.
El símbolo \(\oplus\), un signo más dentro de un círculo, recuerda que estamos ante un tipo especial de suma de subespacios: cada elemento de una suma directa puede representarse de una única manera como suma de elementos de los subespacios especificados.
La definición de suma directa exige que todo vector de la suma tenga una representación única. El resultado siguiente muestra que, para decidir si una suma de subespacios es directa, basta estudiar la representación del vector \(0\).
1.45 Condición para una suma directa
Supongamos que \(V_1,\ldots,V_m\) son subespacios de \(V\). Entonces \(V_1+\cdots+V_m\) es una suma directa si y sólo si la única forma de escribir
\[ 0=v_1+\cdots+v_m, \]
con \(v_k\in V_k\) para cada \(k\), consiste en tomar
\[ v_1=\cdots=v_m=0. \]
Demostración. Si \(V_1+\cdots+V_m\) es una suma directa, la afirmación se sigue directamente de la unicidad de representación.
Recíprocamente, supongamos que la única forma de escribir \(0=v_1+\cdots+v_m\) con \(v_k\in V_k\) es tomar todos los \(v_k\) iguales a \(0\). Sea \(v\in V_1+\cdots+V_m\). Escribamos
\[ v=v_1+\cdots+v_m \]
y supongamos que también
\[ v=u_1+\cdots+u_m, \]
con \(u_k,v_k\in V_k\). Restando ambas ecuaciones obtenemos
\[ 0=(v_1-u_1)+\cdots+(v_m-u_m). \]
Como \(v_k-u_k\in V_k\), la hipótesis implica \(v_k-u_k=0\) para cada \(k\). Por tanto,
\[ v_1=u_1,\ldots,v_m=u_m. \]
Así, la representación es única y la suma es directa. \(\square\)
El símbolo \(\Longleftrightarrow\) significa «si y sólo si»; también puede leerse como «es equivalente a».
El resultado siguiente da una condición sencilla para comprobar si la suma de dos subespacios es directa.
1.46 Suma directa de dos subespacios
Supongamos que \(U\) y \(W\) son subespacios de \(V\). Entonces
\[ U+W\text{ es una suma directa} \quad\Longleftrightarrow\quad U\cap W=\{0\}. \]
Demostración. Supongamos primero que \(U+W\) es una suma directa. Si \(v\in U\cap W\), entonces
\[ 0=v+(-v), \]
con \(v\in U\) y \(-v\in W\). Por la unicidad de la representación de \(0\) como suma de un vector de \(U\) y uno de \(W\), tenemos \(v=0\). Por tanto,
\[ U\cap W=\{0\}. \]
Recíprocamente, supongamos que \(U\cap W=\{0\}\). Por 1.45 basta mostrar que la única manera de escribir
\[ 0=u+w, \]
con \(u\in U\) y \(w\in W\), es tomar \(u=w=0\). De \(0=u+w\) se obtiene \(u=-w\in W\), y como también \(u\in U\), se tiene \(u\in U\cap W\). Por hipótesis, \(u=0\), y entonces también \(w=0\). \(\square\)
Las sumas de subespacios son análogas a las uniones de subconjuntos. Del mismo modo, las sumas directas son análogas a las uniones disjuntas. Dos subespacios de un espacio vectorial nunca pueden ser disjuntos, porque ambos contienen \(0\); por eso, en el caso de dos subespacios, la disjunción se sustituye por la condición de que la intersección sea \(\{0\}\).
El resultado anterior se refiere sólo a dos subespacios. Para más de dos subespacios no basta comprobar que cada par se intersecte únicamente en \(0\). En el Ejemplo 1.44, aunque la suma no es directa,
\[ V_1\cap V_2=V_1\cap V_3=V_2\cap V_3=\{0\}. \]
Ejercicios 1C
Para cada uno de los siguientes subconjuntos de \(\mathbf F^3\), determina si es un subespacio de \(\mathbf F^3\).
(a) \[ \{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbf F^3:x_1+2x_2+3x_3=0\}. \]
(b) \[ \{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbf F^3:x_1+2x_2+3x_3=4\}. \]
(c) \[ \{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbf F^3:x_1x_2x_3=0\}. \]
(d) \[ \{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbf F^3:x_1=5x_3\}. \]
Verifica todas las afirmaciones sobre subespacios del Ejemplo 1.35.
Demuestra que el conjunto de funciones diferenciables de valores reales \(f\) definidas en \((-4,4)\) y tales que
\[ f'(-1)=3f(2) \]
es un subespacio de \(\mathbf R^{(-4,4)}\).
- Supón que \(b\in\mathbf R\). Demuestra que el conjunto de funciones continuas de valores reales \(f\) definidas en \([0,1]\) tales que
\[ \int_0^1 f=b \]
es un subespacio de \(\mathbf R^{[0,1]}\) si y sólo si \(b=0\).
¿Es \(\mathbf R^2\) un subespacio del espacio vectorial complejo \(\mathbf C^2\)?
(a) ¿Es
\[ \{(a,b,c)\in\mathbf R^3:a^3=b^3\} \]
un subespacio de \(\mathbf R^3\)?
(b) ¿Es
\[ \{(a,b,c)\in\mathbf C^3:a^3=b^3\} \]
un subespacio de \(\mathbf C^3\)?
Demuestra o da un contraejemplo: si \(U\) es un subconjunto no vacío de \(\mathbf R^2\) cerrado bajo la suma y bajo la toma de inversos aditivos —es decir, \(-u\in U\) siempre que \(u\in U\)—, entonces \(U\) es un subespacio de \(\mathbf R^2\).
Da un ejemplo de un subconjunto no vacío \(U\) de \(\mathbf R^2\) que sea cerrado bajo la multiplicación por escalares pero que no sea un subespacio de \(\mathbf R^2\).
Una función \(f:\mathbf R\to\mathbf R\) se llama periódica si existe un número positivo \(p\) tal que
\[ f(x)=f(x+p) \]
para todo \(x\in\mathbf R\). ¿Es el conjunto de funciones periódicas de \(\mathbf R\) en \(\mathbf R\) un subespacio de \(\mathbf R^{\mathbf R}\)? Explica.
Supón que \(V_1\) y \(V_2\) son subespacios de \(V\). Demuestra que \(V_1\cap V_2\) es un subespacio de \(V\).
Demuestra que la intersección de cualquier colección de subespacios de \(V\) es un subespacio de \(V\).
Demuestra que la unión de dos subespacios de \(V\) es un subespacio de \(V\) si y sólo si uno de los subespacios está contenido en el otro.
Demuestra que la unión de tres subespacios de \(V\) es un subespacio de \(V\) si y sólo si uno de los subespacios contiene a los otros dos.
Este ejercicio es sorprendentemente más difícil que el Ejercicio 12, posiblemente porque deja de ser verdadero si reemplazamos \(\mathbf F\) por un cuerpo que tenga sólo dos elementos.
- Supón
\[ U=\{(x,-x,2x)\in\mathbf F^3:x\in\mathbf F\} \]
y
\[ W=\{(x,x,2x)\in\mathbf F^3:x\in\mathbf F\}. \]
Describe \(U+W\) mediante símbolos y da también una descripción de \(U+W\) que no use símbolos.
Supón que \(U\) es un subespacio de \(V\). ¿Qué es \(U+U\)?
¿Es conmutativa la operación de suma de subespacios de \(V\)? En otras palabras, si \(U\) y \(W\) son subespacios de \(V\), ¿se cumple \(U+W=W+U\)?
¿Es asociativa la operación de suma de subespacios de \(V\)? Es decir, si \(V_1,V_2,V_3\) son subespacios de \(V\), ¿se cumple
\[ (V_1+V_2)+V_3=V_1+(V_2+V_3)? \]
¿Tiene la operación de suma de subespacios de \(V\) una identidad aditiva? ¿Qué subespacios tienen inverso aditivo?
Demuestra o da un contraejemplo: si \(V_1,V_2,U\) son subespacios de \(V\) tales que
\[ V_1+U=V_2+U, \]
entonces \(V_1=V_2\).
- Supón
\[ U=\{(x,x,y,y)\in\mathbf F^4:x,y\in\mathbf F\}. \]
Encuentra un subespacio \(W\) de \(\mathbf F^4\) tal que
\[ \mathbf F^4=U\oplus W. \]
- Supón
\[ U=\{(x,y,x+y,x-y,2x)\in\mathbf F^5:x,y\in\mathbf F\}. \]
Encuentra un subespacio \(W\) de \(\mathbf F^5\) tal que
\[ \mathbf F^5=U\oplus W. \]
- Para el mismo subespacio
\[ U=\{(x,y,x+y,x-y,2x)\in\mathbf F^5:x,y\in\mathbf F\}, \]
encuentra tres subespacios \(W_1,W_2,W_3\) de \(\mathbf F^5\), ninguno igual a \(\{0\}\), tales que
\[ \mathbf F^5=U\oplus W_1\oplus W_2\oplus W_3. \]
- Demuestra o da un contraejemplo: si \(V_1,V_2,U\) son subespacios de \(V\) tales que
\[ V=V_1\oplus U \]
y
\[ V=V_2\oplus U, \]
entonces \(V_1=V_2\).
Sugerencia. Cuando intentas descubrir si una conjetura de álgebra lineal es verdadera o falsa, suele ser útil comenzar experimentando en \(\mathbf F^2\).
- Una función \(f:\mathbf R\to\mathbf R\) se llama par si
\[ f(-x)=f(x) \]
para todo \(x\in\mathbf R\). Se llama impar si
\[ f(-x)=-f(x) \]
para todo \(x\in\mathbf R\).
Sea \(V_e\) el conjunto de funciones pares de valores reales definidas en \(\mathbf R\), y sea \(V_o\) el conjunto de funciones impares de valores reales definidas en \(\mathbf R\). Demuestra que
\[ \mathbf R^{\mathbf R}=V_e\oplus V_o. \]
Procedencia y licencia de esta edición: traducción/adaptación no oficial de Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4.ª edición. La traducción y las contribuciones de esta edición se publican bajo CC BY-NC 4.0. Las soluciones señaladas como originales son de Matemática Abierta, no del autor. Índice de esta edición.