2A · Span e independencia lineal
Estado: COTEJADO
Fuente: Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4.ª ed., PDF oficial de 16-08-2026, pp. 28–38.
Licencia: adaptación/traducción no oficial bajo CC BY-NC 4.0.
Control de erratas: se incorporan las correcciones oficiales de p. 28 \(`F` → `R`\) y p. 35 \(`w_m` → `w_n`\) ya presentes en el PDF canónico de 16-08-2026.
[TRAD] Traducción de trabajo de Matemática Abierta. Se preservan numeración, fórmulas y estructura lógica del original. La notación
spanse mantiene como operador; en prosa se usa «subespacio generado» cuando resulta natural.
Hasta ahora hemos escrito las listas de números entre paréntesis, y seguiremos haciéndolo para los elementos de \(\mathbf F^n\). A partir de este punto también necesitamos listas cuyos términos son vectores. Para evitar confusiones, normalmente escribiremos estas listas de vectores sin un par de paréntesis que abarque toda la lista.
2.1 Notación: lista de vectores
Normalmente escribiremos las listas de vectores sin paréntesis exteriores.
Combinaciones lineales y span
Una suma de múltiplos escalares de los vectores de una lista se llama combinación lineal de esa lista.
2.2 Definición: combinación lineal
Una combinación lineal de una lista \(v_1,\ldots,v_m\) de vectores de \(V\) es un vector de la forma
\[ a_1v_1+\cdots+a_mv_m, \]
donde \(a_1,\ldots,a_m\in\mathbf F\).
2.3 Ejemplo: combinaciones lineales en \(\mathbf R^3\)
El vector \((17,-4,2)\) es una combinación lineal de \((2,1,-3),(1,-2,4)\) porque
\[ (17,-4,2)=6(2,1,-3)+5(1,-2,4). \]
En cambio, \((17,-4,5)\) no es una combinación lineal de esos dos vectores. Si lo fuera, existirían \(a_1,a_2\in\mathbf R\) tales que
\[ (17,-4,5)=a_1(2,1,-3)+a_2(1,-2,4), \]
lo que exigiría resolver simultáneamente
\[ 17=2a_1+a_2,\qquad -4=a_1-2a_2,\qquad 5=-3a_1+4a_2, \]
sistema que no tiene solución.
2.4 Definición: span
El conjunto de todas las combinaciones lineales de una lista \(v_1,\ldots,v_m\) de vectores de \(V\) se llama span o subespacio generado por \(v_1,\ldots,v_m\) y se denota
\[ \operatorname{span}(v_1,\ldots,v_m). \]
Así,
\[ \operatorname{span}(v_1,\ldots,v_m) = \{a_1v_1+\cdots+a_mv_m:a_1,\ldots,a_m\in\mathbf F\}. \]
Por definición,
\[ \operatorname{span}(\,)=\{0\} \]
para la lista vacía.
2.5 Ejemplo: span
El Ejemplo 2.3 muestra que
\[ (17,-4,2)\in\operatorname{span}((2,1,-3),(1,-2,4)), \]
mientras que
\[ (17,-4,5)\notin\operatorname{span}((2,1,-3),(1,-2,4)). \]
2.6 El span es el menor subespacio que contiene a la lista
El span de una lista de vectores de \(V\) es el menor subespacio de \(V\) que contiene a todos los vectores de la lista.
Demostración. Sea \(v_1,\ldots,v_m\) una lista de vectores de \(V\). El vector \(0\) pertenece a su span porque
\[ 0=0v_1+\cdots+0v_m. \]
El span es cerrado bajo suma, pues
\[ (a_1v_1+\cdots+a_mv_m)+(c_1v_1+\cdots+c_mv_m) =(a_1+c_1)v_1+\cdots+(a_m+c_m)v_m, \]
y es cerrado bajo multiplicación por escalares, porque
\[ \lambda(a_1v_1+\cdots+a_mv_m) =(\lambda a_1)v_1+\cdots+(\lambda a_m)v_m. \]
Por 1.34, el span es un subespacio de \(V\). Además, cada \(v_k\) pertenece al span tomando coeficiente \(1\) para \(v_k\) y \(0\) para los restantes vectores.
Finalmente, cualquier subespacio de \(V\) que contenga a todos los \(v_k\) debe contener todas sus combinaciones lineales. Por tanto debe contener \(\operatorname{span}(v_1,\ldots,v_m)\). \(\square\)
2.7 Definición: genera
Si
\[ \operatorname{span}(v_1,\ldots,v_m)=V, \]
decimos que la lista \(v_1,\ldots,v_m\) genera \(V\).
2.8 Ejemplo: una lista que genera \(\mathbf F^n\)
La lista
\[ (1,0,\ldots,0),(0,1,0,\ldots,0),\ldots,(0,\ldots,0,1) \]
genera \(\mathbf F^n\). En efecto, para todo \((x_1,\ldots,x_n)\in\mathbf F^n\),
\[ (x_1,\ldots,x_n) =x_1(1,0,\ldots,0)+\cdots+x_n(0,\ldots,0,1). \]
2.9 Definición: espacio vectorial de dimensión finita
Un espacio vectorial se llama de dimensión finita si alguna lista de vectores del espacio lo genera.
Toda lista tiene, por definición, longitud finita. En particular, 2.8 muestra que \(\mathbf F^n\) es de dimensión finita.
2.10 Definición: polinomio, \(\mathcal P(\mathbf F)\)
Una función \(p:\mathbf F\to\mathbf F\) se llama polinomio con coeficientes en \(\mathbf F\) si existen \(a_0,\ldots,a_m\in\mathbf F\) tales que
\[ p(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots+a_mz^m \]
para todo \(z\in\mathbf F\).
Denotamos por \(\mathcal P(\mathbf F)\) el conjunto de todos los polinomios con coeficientes en \(\mathbf F\).
Con las operaciones usuales de suma y multiplicación por escalares, \(\mathcal P(\mathbf F)\) es un espacio vectorial sobre \(\mathbf F\). Los coeficientes de un polinomio quedan determinados de manera única por el polinomio; este hecho se demostrará posteriormente en 4.8.
2.11 Definición: grado de un polinomio, \(\deg p\)
Un polinomio \(p\in\mathcal P(\mathbf F)\) tiene grado \(m\) si puede escribirse
\[ p(z)=a_0+a_1z+\cdots+a_mz^m \]
con \(a_m\neq0\).
El polinomio idénticamente nulo tiene, por convenio, grado \(-\infty\). El grado de \(p\) se denota \(\deg p\).
2.12 Notación: \(\mathcal P_m(\mathbf F)\)
Para un entero no negativo \(m\), \(\mathcal P_m(\mathbf F)\) denota el conjunto de los polinomios con coeficientes en \(\mathbf F\) y grado a lo sumo \(m\).
Como
\[ \mathcal P_m(\mathbf F)=\operatorname{span}(1,z,\ldots,z^m), \]
\(\mathcal P_m(\mathbf F)\) es de dimensión finita.
2.13 Definición: espacio vectorial de dimensión infinita
Un espacio vectorial se llama de dimensión infinita si no es de dimensión finita.
2.14 Ejemplo: \(\mathcal P(\mathbf F)\) es de dimensión infinita
Tómese cualquier lista finita de polinomios y sea \(m\) el mayor de sus grados. Toda combinación lineal de esos polinomios tiene grado a lo sumo \(m\), por lo que \(z^{m+1}\) no pertenece a su span. Así ninguna lista finita genera \(\mathcal P(\mathbf F)\).
Independencia lineal
Supongamos que \(v\in\operatorname{span}(v_1,\ldots,v_m)\). Puede escribirse
\[ v=a_1v_1+\cdots+a_mv_m. \]
La cuestión decisiva es si los escalares \(a_1,\ldots,a_m\) están determinados de manera única. Si también
\[ v=c_1v_1+\cdots+c_mv_m, \]
entonces
\[ 0=(a_1-c_1)v_1+\cdots+(a_m-c_m)v_m. \]
Esto conduce a la siguiente definición.
2.15 Definición: linealmente independiente
Una lista \(v_1,\ldots,v_m\) de vectores de \(V\) se llama linealmente independiente si la única elección de escalares \(a_1,\ldots,a_m\in\mathbf F\) que satisface
\[ a_1v_1+\cdots+a_mv_m=0 \]
es
\[ a_1=\cdots=a_m=0. \]
La lista vacía también se declara linealmente independiente.
Equivalentemente, \(v_1,\ldots,v_m\) es linealmente independiente si cada vector de su span admite una única representación como combinación lineal de esa lista.
2.16 Ejemplos: listas linealmente independientes
(a) La lista
\[ (1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0) \]
es linealmente independiente en \(\mathbf F^4\): una combinación lineal igual a \(0\) obliga a que sus tres coeficientes sean \(0\).
(b) Para todo entero no negativo \(m\), la lista
\[ 1,z,\ldots,z^m \]
es linealmente independiente en \(\mathcal P(\mathbf F)\), porque un polinomio idénticamente nulo tiene todos sus coeficientes iguales a \(0\).
(c) Una lista de longitud uno es linealmente independiente si y sólo si su único vector es distinto de \(0\).
(d) Una lista de longitud dos es linealmente independiente si y sólo si ninguno de sus dos vectores es múltiplo escalar del otro.
Eliminar términos de una lista linealmente independiente conserva la independencia lineal.
2.17 Definición: linealmente dependiente
Una lista de vectores de \(V\) se llama linealmente dependiente si no es linealmente independiente.
Equivalentemente, \(v_1,\ldots,v_m\) es linealmente dependiente si existen escalares \(a_1,\ldots,a_m\in\mathbf F\), no todos nulos, tales que
\[ a_1v_1+\cdots+a_mv_m=0. \]
2.18 Ejemplos: listas linealmente dependientes
La lista
\[ (2,3,1),(1,-1,2),(7,3,8) \]
es linealmente dependiente porque
\[ 2(2,3,1)+3(1,-1,2)-(7,3,8)=(0,0,0). \]
La lista
\[ (2,3,1),(1,-1,2),(7,3,c) \]
es linealmente dependiente si y sólo si \(c=8\).
Si algún vector de una lista es combinación lineal de los demás, la lista es linealmente dependiente. En particular, toda lista que contenga el vector \(0\) es linealmente dependiente.
2.19 Lema de dependencia lineal
Supongamos que \(v_1,\ldots,v_m\) es una lista linealmente dependiente en \(V\). Entonces existe
\[ k\in\{1,\ldots,m\} \]
tal que
\[ v_k\in\operatorname{span}(v_1,\ldots,v_{k-1}). \]
Además, si se elimina de la lista un término \(v_k\) que cumple esa condición, el span de la lista restante es igual a \(\operatorname{span}(v_1,\ldots,v_m)\).
Demostración. Como la lista es dependiente, existen \(a_1,\ldots,a_m\), no todos nulos, con
\[ a_1v_1+\cdots+a_mv_m=0. \]
Sea \(k\) el mayor índice para el cual \(a_k\neq0\). Entonces
\[ v_k=-\frac{a_1}{a_k}v_1-\cdots-\frac{a_{k-1}}{a_k}v_{k-1}, \]
y por tanto \(v_k\in\operatorname{span}(v_1,\ldots,v_{k-1})\).
Ahora supongamos que para cierto \(k\) tenemos
2.20
\[ v_k=b_1v_1+\cdots+b_{k-1}v_{k-1}. \]
Toda combinación lineal de \(v_1,\ldots,v_m\) puede reescribirse sustituyendo \(v_k\) mediante 2.20. Por ello, eliminar \(v_k\) no cambia el span. \(\square\)
Si \(k=1\), la condición significa simplemente \(v_1=0\), porque \(\operatorname{span}(\,)=\{0\}\).
2.21 Ejemplo: menor \(k\) en el lema de dependencia lineal
Considérese en \(\mathbf R^3\) la lista
\[ (1,2,3),(6,5,4),(15,16,17),(8,9,7). \]
El primer vector no es \(0\), por lo que \(k=1\) no sirve. El segundo no es múltiplo escalar del primero, por lo que \(k=2\) tampoco sirve. En cambio,
\[ (15,16,17)=3(1,2,3)+2(6,5,4), \]
de modo que el menor índice que funciona es \(k=3\).
2.22 Longitud de lista linealmente independiente \(\leq\) longitud de lista generadora
En un espacio vectorial de dimensión finita, la longitud de toda lista linealmente independiente es menor o igual que la longitud de toda lista generadora.
Demostración. Sea \(u_1,\ldots,u_m\) una lista linealmente independiente y sea \(w_1,\ldots,w_n\) una lista que genera \(V\). Partimos de la lista generadora de los \(w\).
Añadimos \(u_1\). La nueva lista es dependiente porque \(u_1\) está en el span de los \(w\). Por el lema 2.19 podemos eliminar uno de los \(w\) sin cambiar el span. Repetimos el procedimiento con \(u_2\), luego con \(u_3\), etc. La independencia de \(u_1,\ldots,u_m\) garantiza que en cada etapa el vector eliminable puede elegirse entre los \(w\) restantes y no entre los \(u\) ya incorporados.
Por tanto, por cada \(u_k\) introducido debe existir un \(w\) que pueda retirarse. Hay al menos tantos \(w\) como \(u\), de donde
\[ m\le n. \]
\(\square\)
2.23 Ejemplo: ninguna lista de longitud cuatro es linealmente independiente en \(\mathbf R^3\)
La lista estándar de tres vectores genera \(\mathbf R^3\). Por 2.22, una lista linealmente independiente en \(\mathbf R^3\) no puede tener longitud mayor que tres.
2.24 Ejemplo: ninguna lista de longitud tres genera \(\mathbf R^4\)
La lista estándar de cuatro vectores de \(\mathbf R^4\) es linealmente independiente. Por 2.22, toda lista generadora de \(\mathbf R^4\) debe tener longitud al menos cuatro.
2.25 Subespacios de dimensión finita
Todo subespacio de un espacio vectorial de dimensión finita es de dimensión finita.
Demostración. Sea \(U\) un subespacio de un espacio vectorial de dimensión finita \(V\).
Si \(U=\{0\}\), el resultado es inmediato. Si no, elegimos \(u_1\in U\), \(u_1\neq0\). Mientras \(U\neq\operatorname{span}(u_1,\ldots,u_{k-1})\), elegimos
\[ u_k\in U\setminus\operatorname{span}(u_1,\ldots,u_{k-1}). \]
En cada etapa la lista construida es linealmente independiente, por el lema 2.19. Pero 2.22 impide que una lista linealmente independiente en \(V\) sea más larga que una lista generadora fija de \(V\). Por tanto el proceso debe detenerse. En ese momento \(U\) está generado por una lista finita y, por consiguiente, es de dimensión finita. \(\square\)
Ejercicios 2A
- Encuentra una lista de cuatro vectores distintos de \(\mathbf F^3\) cuyo span sea \[ \{(x,y,z)\in\mathbf F^3:x+y+z=0\}. \]
- Demuestra o da un contraejemplo: si \(v_1,v_2,v_3,v_4\) genera \(V\), entonces \[ v_1-v_2,\ v_2-v_3,\ v_3-v_4,\ v_4 \] también genera \(V\).
- Sea \(v_1,\ldots,v_m\) una lista de vectores de \(V\). Para \(k\in\{1,\ldots,m\}\) define \[ w_k=v_1+\cdots+v_k. \] Demuestra que \[ \operatorname{span}(v_1,\ldots,v_m)=\operatorname{span}(w_1,\ldots,w_m). \]
- \(a\) Demuestra que una lista de longitud uno es linealmente independiente si y sólo si su único vector no es \(0\).
\(b\) Demuestra que una lista de longitud dos es linealmente independiente si y sólo si ninguno de sus dos vectores es múltiplo escalar del otro. - Encuentra \(t\in\mathbf R\) tal que \[ (3,1,4),(2,-3,5),(5,9,t) \] no sea linealmente independiente en \(\mathbf R^3\).
- Demuestra que \[ (2,3,1),(1,-1,2),(7,3,c) \] es linealmente dependiente en \(\mathbf F^3\) si y sólo si \(c=8\).
- \(a\) Considerando \(\mathbf C\) como espacio vectorial sobre \(\mathbf R\), demuestra que \(1+i,1-i\) es linealmente independiente.
\(b\) Considerando \(\mathbf C\) como espacio vectorial sobre \(\mathbf C\), demuestra que esa misma lista es linealmente dependiente. - Supón que \(v_1,v_2,v_3,v_4\) es linealmente independiente. Demuestra que \[ v_1-v_2,\ v_2-v_3,\ v_3-v_4,\ v_4 \] también es linealmente independiente.
- Demuestra o da un contraejemplo: si \(v_1,\ldots,v_m\) es linealmente independiente, entonces \[ 5v_1-4v_2,\ v_2,\ldots,v_m \] es linealmente independiente.
- Demuestra o da un contraejemplo: si \(v_1,\ldots,v_m\) es linealmente independiente y \(\lambda\in\mathbf F\), \(\lambda\neq0\), entonces \[ \lambda v_1,\ldots,\lambda v_m \] es linealmente independiente.
- Demuestra o da un contraejemplo: si \(v_1,\ldots,v_m\) y \(w_1,\ldots,w_m\) son listas linealmente independientes, entonces \[ v_1+w_1,\ldots,v_m+w_m \] es linealmente independiente.
- Supón que \(v_1,\ldots,v_m\) es linealmente independiente y \(w\in V\). Demuestra que si \[ v_1+w,\ldots,v_m+w \] es linealmente dependiente, entonces \(w\in\operatorname{span}(v_1,\ldots,v_m)\).
- Supón que \(v_1,\ldots,v_m\) es linealmente independiente y \(w\in V\). Demuestra que \[ v_1,\ldots,v_m,w\text{ es linealmente independiente} \iff w\notin\operatorname{span}(v_1,\ldots,v_m). \]
- Con \(w_k=v_1+\cdots+v_k\), demuestra que \(v_1,\ldots,v_m\) es linealmente independiente si y sólo si \(w_1,\ldots,w_m\) lo es.
- Explica por qué no existe una lista de seis polinomios linealmente independiente en \(\mathcal P_4(\mathbf F)\).
- Explica por qué ninguna lista de cuatro polinomios genera \(\mathcal P_4(\mathbf F)\).
- Demuestra que \(V\) es de dimensión infinita si y sólo si existe una sucesión \(v_1,v_2,\ldots\) de vectores de \(V\) tal que \(v_1,\ldots,v_m\) es linealmente independiente para todo entero positivo \(m\).
- Demuestra que \(\mathbf F^\infty\) es de dimensión infinita.
- Demuestra que el espacio vectorial real de todas las funciones continuas \([0,1]\to\mathbf R\) es de dimensión infinita.
- Sean \(p_0,p_1,\ldots,p_m\in\mathcal P_m(\mathbf F)\) y supón que \[ p_k(2)=0 \] para cada \(k\in\{0,\ldots,m\}\). Demuestra que \(p_0,p_1,\ldots,p_m\) no es linealmente independiente en \(\mathcal P_m(\mathbf F)\).
Procedencia y licencia de esta edición: traducción/adaptación no oficial de Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4.ª edición. La traducción y las contribuciones de esta edición se publican bajo CC BY-NC 4.0. Las soluciones señaladas como originales son de Matemática Abierta, no del autor. Índice de esta edición.