2B · Bases
Estado: COTEJADO
Fuente: Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4.ª ed., PDF oficial de 16-08-2026, pp. 39–43.
Licencia: adaptación/traducción no oficial bajo CC BY-NC 4.0.
Control de erratas: la errata oficial vigente no registra correcciones específicas para las pp. 39–43.
[TRAD] Traducción de trabajo de Matemática Abierta. Se preservan numeración, fórmulas y estructura lógica. Las explicaciones se formulan en español natural sin alterar el contenido matemático.
En 2A estudiamos por separado las listas linealmente independientes y las listas generadoras. Ahora reunimos ambas propiedades.
2.26 Definición: base
Una base de \(V\) es una lista de vectores de \(V\) que es linealmente independiente y genera \(V\).
2.27 Ejemplos: bases
(a) La lista
\[ (1,0,\ldots,0),(0,1,0,\ldots,0),\ldots,(0,\ldots,0,1) \]
es una base de \(\mathbf F^n\), llamada base estándar de \(\mathbf F^n\).
(b) La lista
\[ (1,2),(3,5) \]
es una base de \(\mathbf F^2\).
(c) La lista
\[ (1,2,-4),(7,-5,6) \]
es linealmente independiente en \(\mathbf F^3\), pero no es una base porque no genera \(\mathbf F^3\).
(d) La lista
\[ (1,2),(3,5),(4,13) \]
genera \(\mathbf F^2\), pero no es una base porque no es linealmente independiente.
(e) La lista
\[ (1,1,0),(0,0,1) \]
es una base de
\[ \{(x,x,y)\in\mathbf F^3:x,y\in\mathbf F\}. \]
(f) La lista
\[ (1,-1,0),(1,0,-1) \]
es una base de
\[ \{(x,y,z)\in\mathbf F^3:x+y+z=0\}. \]
(g) La lista
\[ 1,z,\ldots,z^m \]
es la base estándar de \(\mathcal P_m(\mathbf F)\).
Además de sus bases estándar, los espacios \(\mathbf F^n\) tienen muchas otras bases; por ejemplo,
\[ (7,5),(-4,9) \]
y
\[ (1,2),(3,5) \]
son bases de \(\mathbf F^2\).
2.28 Criterio para una base
Una lista \(v_1,\ldots,v_n\) de vectores de \(V\) es una base de \(V\) si y sólo si todo \(v\in V\) puede escribirse de manera única en la forma
2.29
\[ v=a_1v_1+\cdots+a_nv_n, \]
con \(a_1,\ldots,a_n\in\mathbf F\).
Demostración. Si \(v_1,\ldots,v_n\) es una base, la existencia de una representación 2.29 se sigue de que la lista genera \(V\). Si
\[ v=a_1v_1+\cdots+a_nv_n=c_1v_1+\cdots+c_nv_n, \]
entonces
\[ 0=(a_1-c_1)v_1+\cdots+(a_n-c_n)v_n. \]
La independencia lineal obliga a que \(a_k=c_k\) para todo \(k\), de modo que la representación es única.
Recíprocamente, si todo vector admite una representación única de la forma 2.29, entonces la lista genera \(V\). Aplicando la unicidad al vector \(0\), la igualdad
\[ 0=a_1v_1+\cdots+a_nv_n \]
sólo puede ocurrir con \(a_1=\cdots=a_n=0\); por tanto la lista es linealmente independiente. \(\square\)
Una lista generadora puede contener redundancias. El siguiente resultado muestra que esas redundancias pueden eliminarse sin perder la propiedad de generar el espacio.
2.30 Toda lista generadora contiene una base
Toda lista generadora de un espacio vectorial puede reducirse a una base del espacio.
Demostración. Supongamos que \(v_1,\ldots,v_n\) genera \(V\). Comenzamos con la lista completa y recorremos sus términos en orden.
- Si \(v_1=0\), eliminamos \(v_1\); si \(v_1\neq0\), lo conservamos.
- En el paso \(k\), eliminamos \(v_k\) si \[ v_k\in\operatorname{span}(v_1,\ldots,v_{k-1}); \] en caso contrario lo conservamos.
Al terminar, la lista restante sigue generando \(V\), porque sólo se eliminaron vectores que ya eran combinaciones lineales de términos anteriores. Además, ningún vector conservado pertenece al span de los anteriores; por el lema de dependencia lineal 2.19, la lista resultante es linealmente independiente. Por tanto es una base de \(V\). \(\square\)
Por ejemplo, al aplicar este procedimiento a
\[ (1,2),(3,6),(4,7),(5,9) \]
en \(\mathbf F^2\), se eliminan el segundo y el cuarto vector, quedando
\[ (1,2),(4,7), \]
que es una base.
2.31 Base de un espacio vectorial de dimensión finita
Todo espacio vectorial de dimensión finita tiene una base.
Demostración. Por definición, un espacio de dimensión finita posee una lista generadora. Por 2.30, esa lista puede reducirse a una base. \(\square\)
El resultado siguiente es, en cierto sentido, dual de 2.30: en lugar de reducir una lista generadora, extendemos una lista linealmente independiente.
2.32 Toda lista linealmente independiente se extiende a una base
Toda lista linealmente independiente de vectores de un espacio vectorial de dimensión finita puede extenderse a una base del espacio.
Demostración. Sea \(u_1,\ldots,u_m\) linealmente independiente en el espacio de dimensión finita \(V\), y sea \(w_1,\ldots,w_n\) una lista que genera \(V\). La lista concatenada
\[ u_1,\ldots,u_m,w_1,\ldots,w_n \]
genera \(V\). Aplicamos el procedimiento de 2.30. Ninguno de los \(u_j\) puede eliminarse, porque \(u_1,\ldots,u_m\) es linealmente independiente. El resultado es una base formada por todos los \(u_j\) y algunos de los \(w_k\). \(\square\)
Como ejemplo, en \(\mathbf F^3\), la lista linealmente independiente
\[ (2,3,4),(9,6,8) \]
puede extenderse usando la base estándar hasta obtener, por el procedimiento anterior,
\[ (2,3,4),(9,6,8),(0,1,0), \]
que es una base de \(\mathbf F^3\).
2.33 Todo subespacio de \(V\) forma parte de una suma directa igual a \(V\)
Supongamos que \(V\) es de dimensión finita y que \(U\) es un subespacio de \(V\). Entonces existe un subespacio \(W\) de \(V\) tal que
\[ V=U\oplus W. \]
Demostración. Por 2.25, \(U\) es de dimensión finita; por 2.31 tiene una base
\[ u_1,\ldots,u_m. \]
Esta lista es linealmente independiente en \(V\), así que por 2.32 puede extenderse a una base
\[ u_1,\ldots,u_m,w_1,\ldots,w_n \]
de \(V\). Definimos
\[ W=\operatorname{span}(w_1,\ldots,w_n). \]
La base extendida genera \(V\), de modo que \(V=U+W\).
Si \(v\in U\cap W\), entonces existen escalares \(a_j,b_k\) tales que
\[ v=a_1u_1+\cdots+a_mu_m=b_1w_1+\cdots+b_nw_n. \]
Por tanto
\[ a_1u_1+\cdots+a_mu_m-b_1w_1-\cdots-b_nw_n=0. \]
Como la lista extendida es linealmente independiente, todos los coeficientes son \(0\); así \(v=0\). Luego
\[ U\cap W=\{0\}. \]
Por el criterio 1.46,
\[ \boxed{V=U\oplus W}. \]
\(\square\)
Ejercicios 2B
- Encuentra todos los espacios vectoriales que tienen exactamente una base.
- Verifica todas las afirmaciones del Ejemplo 2.27.
- Sea \[
U=\{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)\in\mathbf R^5:x_1=3x_2\text{ y }x_3=7x_4\}.
\] \(a\) Encuentra una base de \(U\).
\(b\) Extiende la base de \(a\) a una base de \(\mathbf R^5\).
\(c\) Encuentra un subespacio \(W\) de \(\mathbf R^5\) tal que \(\mathbf R^5=U\oplus W\). - Sea \[
U=\{(z_1,z_2,z_3,z_4,z_5)\in\mathbf C^5:6z_1=z_2\text{ y }z_3+2z_4+3z_5=0\}.
\] \(a\) Encuentra una base de \(U\).
\(b\) Extiende la base de \(a\) a una base de \(\mathbf C^5\).
\(c\) Encuentra un subespacio \(W\) de \(\mathbf C^5\) tal que \(\mathbf C^5=U\oplus W\). - Supón que \(V\) es de dimensión finita y que \(U,W\) son subespacios de \(V\) tales que \(V=U+W\). Demuestra que existe una base de \(V\) formada por vectores de \(U\cup W\).
- Demuestra o da un contraejemplo: si \(p_0,p_1,p_2,p_3\) es una lista de \(\mathcal P_3(\mathbf F)\) y ninguno de esos polinomios tiene grado \(2\), entonces la lista no es una base de \(\mathcal P_3(\mathbf F)\).
- Supón que \(v_1,v_2,v_3,v_4\) es una base de \(V\). Demuestra que \[ v_1+v_2,\quad v_2+v_3,\quad v_3+v_4,\quad v_4 \] también es una base de \(V\).
- Demuestra o da un contraejemplo: si \(v_1,v_2,v_3,v_4\) es una base de \(V\) y \(U\) es un subespacio de \(V\) tal que \(v_1,v_2\in U\) y \(v_3,v_4\notin U\), entonces \(v_1,v_2\) es una base de \(U\).
- Sea \(v_1,\ldots,v_m\) una lista de vectores de \(V\). Para \(k\in\{1,\ldots,m\}\) define \[ w_k=v_1+\cdots+v_k. \] Demuestra que \(v_1,\ldots,v_m\) es una base de \(V\) si y sólo si \(w_1,\ldots,w_m\) es una base de \(V\).
- Supón que \(V=U\oplus W\), que \(u_1,\ldots,u_m\) es una base de \(U\) y que \(w_1,\ldots,w_n\) es una base de \(W\). Demuestra que \[ u_1,\ldots,u_m,w_1,\ldots,w_n \] es una base de \(V\).
- Supón que \(V\) es un espacio vectorial real. Demuestra que si \(v_1,\ldots,v_n\) es una base de \(V\) como espacio vectorial real, entonces la misma lista es una base de la complexificación \(V_{\mathbf C}\) como espacio vectorial complejo.
Atribución: Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4.ª edición. Traducción/adaptación no oficial realizada para Matemática Abierta bajo CC BY-NC 4.0. Fuente oficial: https://linear.axler.net/.
Procedencia y licencia de esta edición: traducción/adaptación no oficial de Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4.ª edición. La traducción y las contribuciones de esta edición se publican bajo CC BY-NC 4.0. Las soluciones señaladas como originales son de Matemática Abierta, no del autor. Índice de esta edición.