2C · Dimensión

Estado: COTEJADO
Fuente: Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4.ª ed., PDF oficial de 16-08-2026, pp. 44–50.
Licencia: adaptación/traducción no oficial bajo CC BY-NC 4.0.
Control de erratas: la errata oficial vigente no registra correcciones específicas para las pp. 44–50.

[TRAD] Traducción de trabajo de Matemática Abierta. Se preservan numeración, fórmulas y estructura lógica.

Aunque hemos estado trabajando con espacios vectoriales de dimensión finita, todavía no hemos definido la dimensión de uno de estos espacios. ¿Cómo debería definirse?

Una definición razonable debería hacer que la dimensión de \(\mathbf F^n\) fuera \(n\). Obsérvese que la base estándar

\[ (1,0,\ldots,0),(0,1,0,\ldots,0),\ldots,(0,\ldots,0,1) \]

de \(\mathbf F^n\) tiene longitud \(n\). Esto sugiere definir la dimensión como la longitud de una base. Sin embargo, un espacio vectorial de dimensión finita suele tener muchas bases distintas, y esta definición sólo tendría sentido si todas las bases de un mismo espacio tuvieran la misma longitud. Afortunadamente, eso es exactamente lo que ocurre.

2.34 La longitud de una base no depende de la base

Cualesquiera dos bases de un espacio vectorial de dimensión finita tienen la misma longitud.

Demostración. Supongamos que \(V\) es de dimensión finita y sean \(B_1\) y \(B_2\) dos bases de \(V\). La lista \(B_1\) es linealmente independiente en \(V\) y \(B_2\) genera \(V\), así que por 2.22 la longitud de \(B_1\) es a lo sumo la longitud de \(B_2\). Intercambiando los papeles de \(B_1\) y \(B_2\), obtenemos también que la longitud de \(B_2\) es a lo sumo la longitud de \(B_1\). Por tanto ambas longitudes son iguales. \(\square\)

Ahora podemos definir formalmente la dimensión.

2.35 Definición: dimensión, \(\dim V\)

  • La dimensión de un espacio vectorial de dimensión finita es la longitud de cualquiera de sus bases.
  • La dimensión de un espacio vectorial de dimensión finita \(V\) se denota por \(\dim V\).

2.36 Ejemplos: dimensiones

  • \(\dim \mathbf F^n=n\), porque la base estándar de \(\mathbf F^n\) tiene longitud \(n\).
  • \(\dim \mathcal P_m(\mathbf F)=m+1\), porque la base estándar \[ 1,z,\ldots,z^m \] tiene longitud \(m+1\).
  • Si \[ U=\{(x,x,y)\in\mathbf F^3:x,y\in\mathbf F\}, \] entonces \(\dim U=2\), porque \[ (1,1,0),(0,0,1) \] es una base de \(U\).
  • Si \[ U=\{(x,y,z)\in\mathbf F^3:x+y+z=0\}, \] entonces \(\dim U=2\), porque \[ (1,-1,0),(1,0,-1) \] es una base de \(U\).

Todo subespacio de un espacio vectorial de dimensión finita es de dimensión finita por 2.25, y por tanto tiene una dimensión.

2.37 Dimensión de un subespacio

Si \(V\) es de dimensión finita y \(U\) es un subespacio de \(V\), entonces

\[ \dim U\le \dim V. \]

Demostración. Una base de \(U\) puede verse como una lista linealmente independiente en \(V\), mientras que una base de \(V\) es una lista generadora de \(V\). El resultado se sigue de 2.22. \(\square\)

La dimensión depende del cuerpo de escalares. El espacio vectorial real \(\mathbf R^2\) tiene dimensión \(2\), mientras que el espacio vectorial complejo \(\mathbf C\) tiene dimensión \(1\). Como conjuntos, \(\mathbf R^2\) puede identificarse con \(\mathbf C\), y la suma coincide, al igual que la multiplicación por escalares reales. Por tanto, al hablar de dimensión no puede ignorarse el papel de la elección de \(\mathbf F\).

Para comprobar que una lista es una base de \(V\), la definición exige verificar dos propiedades: independencia lineal y generación. Los dos resultados siguientes muestran que, si la lista tiene la longitud correcta, basta comprobar una de ellas.

2.38 Una lista linealmente independiente de la longitud correcta es una base

Supongamos que \(V\) es de dimensión finita. Toda lista linealmente independiente de vectores de \(V\) cuya longitud sea \(\dim V\) es una base de \(V\).

Demostración. Sea \(\dim V=n\) y supongamos que

\[ v_1,\ldots,v_n \]

es linealmente independiente. Por 2.32, esta lista puede extenderse a una base de \(V\). Pero toda base de \(V\) tiene longitud \(n\), así que la extensión debe ser trivial: no puede añadirse ningún vector. Luego la lista original ya es una base. \(\square\)

2.39 Un subespacio de dimensión completa es todo el espacio

Supongamos que \(V\) es de dimensión finita y que \(U\) es un subespacio de \(V\) tal que

\[ \dim U=\dim V. \]

Entonces

\[ U=V. \]

Demostración. Sea \(u_1,\ldots,u_n\) una base de \(U\). Entonces \(n=\dim U=\dim V\). Como esta lista es linealmente independiente en \(V\) y tiene longitud \(\dim V\), por 2.38 es una base de \(V\). Por tanto todo vector de \(V\) pertenece al span de \(u_1,\ldots,u_n\), que es \(U\). Así \(V=U\). \(\square\)

2.40 Ejemplo: una base de \(\mathbf F^2\)

Considérese la lista

\[ (5,7),(4,3). \]

Es una lista linealmente independiente en \(\mathbf F^2\), porque ninguno de los dos vectores es múltiplo escalar del otro. Como tiene longitud \(2=\dim\mathbf F^2\), 2.38 implica que es una base de \(\mathbf F^2\). No es necesario comprobar por separado que genera el espacio.

2.41 Ejemplo: una base de un subespacio de \(\mathcal P_3(\mathbf R)\)

Sea

\[ U=\{p\in\mathcal P_3(\mathbf R):p'(5)=0\}. \]

Los polinomios

\[ 1,(x-5)^2,(x-5)^3 \]

pertenecen a \(U\). Si

\[ a+b(x-5)^2+c(x-5)^3=0 \]

para todo \(x\in\mathbf R\), el término de grado \(3\) obliga a que \(c=0\); después el término de grado \(2\) obliga a que \(b=0\), y finalmente \(a=0\). La lista es, por tanto, linealmente independiente. De aquí

\[ 3\le\dim U. \]

Por 2.37,

\[ \dim U\le\dim\mathcal P_3(\mathbf R)=4. \]

El polinomio \(x\) no pertenece a \(U\), porque su derivada es la función constante \(1\). Por tanto \(U\ne\mathcal P_3(\mathbf R)\), y por 2.39 no puede tener dimensión \(4\). Así

\[ \dim U=3. \]

La lista linealmente independiente

\[ 1,(x-5)^2,(x-5)^3 \]

tiene entonces longitud \(\dim U\), de modo que por 2.38 es una base de \(U\).

2.42 Una lista generadora de la longitud correcta es una base

Supongamos que \(V\) es de dimensión finita. Toda lista generadora de \(V\) cuya longitud sea \(\dim V\) es una base de \(V\).

Demostración. Sea \(\dim V=n\) y supongamos que

\[ v_1,\ldots,v_n \]

genera \(V\). Por 2.30 esta lista puede reducirse a una base de \(V\). Pero toda base de \(V\) tiene longitud \(n\), así que no puede eliminarse ningún vector. Por tanto la lista original es ya una base. \(\square\)

El resultado siguiente proporciona una fórmula para la dimensión de la suma de dos subespacios. Es análoga a la fórmula de conteo para dos conjuntos finitos: el número de elementos de una unión es la suma de los números de elementos de los dos conjuntos menos el número de elementos de su intersección.

2.43 Dimensión de una suma

Si \(V_1\) y \(V_2\) son subespacios de un espacio vectorial de dimensión finita, entonces

\[ \boxed{\dim(V_1+V_2)=\dim V_1+\dim V_2-\dim(V_1\cap V_2)}. \]

Demostración. Sea

\[ v_1,\ldots,v_m \]

una base de \(V_1\cap V_2\), de modo que

\[ \dim(V_1\cap V_2)=m. \]

Extendemos esa base, por 2.32, a una base

\[ v_1,\ldots,v_m,u_1,\ldots,u_j \]

de \(V_1\), y a una base

\[ v_1,\ldots,v_m,w_1,\ldots,w_k \]

de \(V_2\). Por tanto

\[ \dim V_1=m+j,\qquad \dim V_2=m+k. \]

Mostraremos que

2.44

\[ v_1,\ldots,v_m,u_1,\ldots,u_j,w_1,\ldots,w_k \]

es una base de \(V_1+V_2\). Si esto es cierto, entonces

\[ \begin{aligned} \dim(V_1+V_2) &=m+j+k\\ &=(m+j)+(m+k)-m\\ &=\dim V_1+\dim V_2-\dim(V_1\cap V_2). \end{aligned} \]

La lista 2.44 está contenida en \(V_1+V_2\), y su span contiene tanto \(V_1\) como \(V_2\); por consiguiente genera \(V_1+V_2\). Sólo queda demostrar que es linealmente independiente.

Supongamos que

\[ a_1v_1+\cdots+a_mv_m+b_1u_1+\cdots+b_ju_j+c_1w_1+\cdots+c_kw_k=0. \]

Reescribiendo,

2.45

\[ c_1w_1+\cdots+c_kw_k =-a_1v_1-\cdots-a_mv_m-b_1u_1-\cdots-b_ju_j. \]

El lado derecho pertenece a \(V_1\) y el izquierdo a \(V_2\), de modo que el vector común pertenece a \(V_1\cap V_2\). Como \(v_1,\ldots,v_m\) es una base de la intersección, existen escalares \(d_1,\ldots,d_m\) tales que

\[ c_1w_1+\cdots+c_kw_k=d_1v_1+\cdots+d_mv_m. \]

Pero

\[ v_1,\ldots,v_m,w_1,\ldots,w_k \]

es linealmente independiente, pues es una base de \(V_2\). Por tanto todos los \(c\) y los \(d\) son \(0\). La ecuación original queda

\[ a_1v_1+\cdots+a_mv_m+b_1u_1+\cdots+b_ju_j=0, \]

y la independencia de la base de \(V_1\) obliga a que todos los \(a\) y los \(b\) sean también \(0\). Así 2.44 es linealmente independiente y la demostración queda completa. \(\square\)

Analogía entre conjuntos finitos y espacios vectoriales de dimensión finita

Para un conjunto finito \(S\), escribimos \(\#S\) para indicar su número de elementos. Las siguientes correspondencias ayudan a visualizar la analogía entre cardinalidad y dimensión:

Conjuntos finitos Espacios vectoriales de dimensión finita
\(S\) es finito \(V\) es de dimensión finita
\(\#S\) \(\dim V\)
\(S_1\cup S_2\) es el menor subconjunto que contiene a \(S_1\) y \(S_2\) \(V_1+V_2\) es el menor subespacio que contiene a \(V_1\) y \(V_2\)
\(\#(S_1\cup S_2)=\#S_1+\#S_2-\#(S_1\cap S_2)\) \(\dim(V_1+V_2)=\dim V_1+\dim V_2-\dim(V_1\cap V_2)\)
\(\#(S_1\cup S_2)=\#S_1+\#S_2\iff S_1\cap S_2=\varnothing\) \(\dim(V_1+V_2)=\dim V_1+\dim V_2\iff V_1\cap V_2=\{0\}\)
\(S_1\cup\cdots\cup S_m\) es una unión disjunta \(\iff \#(S_1\cup\cdots\cup S_m)=\#S_1+\cdots+\#S_m\) \(V_1+\cdots+V_m\) es una suma directa \(\iff \dim(V_1+\cdots+V_m)=\dim V_1+\cdots+\dim V_m\)

La demostración de la equivalencia de la última fila para espacios vectoriales aparecerá en 3.94. Los ejercicios 12–18 exploran resultados sobre espacios vectoriales que tienen análogos naturales para conjuntos.

Ejercicios 2C

  1. Demuestra que los subespacios de \(\mathbf R^2\) son precisamente \(\{0\}\), todas las rectas de \(\mathbf R^2\) que pasan por el origen y \(\mathbf R^2\).

  2. Demuestra que los subespacios de \(\mathbf R^3\) son precisamente \(\{0\}\), todas las rectas de \(\mathbf R^3\) que pasan por el origen, todos los planos de \(\mathbf R^3\) que pasan por el origen y \(\mathbf R^3\).

  3. \(a\) Sea \[ U=\{p\in\mathcal P_4(\mathbf F):p(6)=0\}. \] Encuentra una base de \(U\).
    \(b\) Extiende la base de \(a\) a una base de \(\mathcal P_4(\mathbf F)\).
    \(c\) Encuentra un subespacio \(W\) de \(\mathcal P_4(\mathbf F)\) tal que \[ \mathcal P_4(\mathbf F)=U\oplus W. \]

  4. \(a\) Sea \[ U=\{p\in\mathcal P_4(\mathbf R):p''(6)=0\}. \] Encuentra una base de \(U\).
    \(b\) Extiende la base de \(a\) a una base de \(\mathcal P_4(\mathbf R)\).
    \(c\) Encuentra un subespacio \(W\) de \(\mathcal P_4(\mathbf R)\) tal que \[ \mathcal P_4(\mathbf R)=U\oplus W. \]

  5. \(a\) Sea \[ U=\{p\in\mathcal P_4(\mathbf F):p(2)=p(5)\}. \] Encuentra una base de \(U\).
    \(b\) Extiende la base de \(a\) a una base de \(\mathcal P_4(\mathbf F)\).
    \(c\) Encuentra un subespacio \(W\) de \(\mathcal P_4(\mathbf F)\) tal que \[ \mathcal P_4(\mathbf F)=U\oplus W. \]

  6. \(a\) Sea \[ U=\{p\in\mathcal P_4(\mathbf F):p(2)=p(5)=p(6)\}. \] Encuentra una base de \(U\).
    \(b\) Extiende la base de \(a\) a una base de \(\mathcal P_4(\mathbf F)\).
    \(c\) Encuentra un subespacio \(W\) de \(\mathcal P_4(\mathbf F)\) tal que \[ \mathcal P_4(\mathbf F)=U\oplus W. \]

  7. \(a\) Sea \[ U=\left\{p\in\mathcal P_4(\mathbf R):\int_{-1}^{1}p=0\right\}. \] Encuentra una base de \(U\).
    \(b\) Extiende la base de \(a\) a una base de \(\mathcal P_4(\mathbf R)\).
    \(c\) Encuentra un subespacio \(W\) de \(\mathcal P_4(\mathbf R)\) tal que \[ \mathcal P_4(\mathbf R)=U\oplus W. \]

  8. Supón que \(v_1,\ldots,v_m\) es linealmente independiente en \(V\) y que \(w\in V\). Demuestra que \[ \dim\operatorname{span}(v_1+w,\ldots,v_m+w)\ge m-1. \]

  9. Supón que \(m\) es un entero positivo y que \(p_0,p_1,\ldots,p_m\in\mathcal P(\mathbf F)\) son tales que cada \(p_k\) tiene grado \(k\). Demuestra que \[ p_0,p_1,\ldots,p_m \] es una base de \(\mathcal P_m(\mathbf F)\).

  10. Supón que \(m\) es un entero positivo. Para \(0\le k\le m\), define \[ p_k(x)=x^k(1-x)^{m-k}. \] Demuestra que \(p_0,\ldots,p_m\) es una base de \(\mathcal P_m(\mathbf F)\).

    La base de este ejercicio conduce a los llamados polinomios de Bernstein, que se utilizan para aproximar funciones continuas en \([0,1]\).

  11. Supón que \(U\) y \(W\) son subespacios de dimensión \(4\) de \(\mathbf C^6\). Demuestra que existen dos vectores de \(U\cap W\) tales que ninguno es múltiplo escalar del otro.

  12. Supón que \(U\) y \(W\) son subespacios de \(\mathbf R^8\) tales que \[ \dim U=3,\qquad \dim W=5,\qquad U+W=\mathbf R^8. \] Demuestra que \[ \mathbf R^8=U\oplus W. \]

  13. Supón que \(U\) y \(W\) son ambos subespacios de dimensión \(5\) de \(\mathbf R^9\). Demuestra que \[ U\cap W\ne\{0\}. \]

  14. Supón que \(V\) tiene dimensión \(10\) y que \(V_1,V_2,V_3\) son subespacios de \(V\) con \[ \dim V_1=\dim V_2=\dim V_3=7. \] Demuestra que \[ V_1\cap V_2\cap V_3\ne\{0\}. \]

  15. Supón que \(V\) es de dimensión finita y que \(V_1,V_2,V_3\) son subespacios de \(V\) tales que \[ \dim V_1+\dim V_2+\dim V_3>2\dim V. \] Demuestra que \[ V_1\cap V_2\cap V_3\ne\{0\}. \]

  16. Supón que \(V\) es de dimensión finita y que \(U\) es un subespacio propio de \(V\). Sea \[ n=\dim V,\qquad m=\dim U. \] Demuestra que existen \(n-m\) subespacios de \(V\), cada uno de dimensión \(n-1\), cuya intersección es \(U\).

  17. Supón que \(V_1,\ldots,V_m\) son subespacios de dimensión finita de \(V\). Demuestra que \(V_1+\cdots+V_m\) es de dimensión finita y que \[ \dim(V_1+\cdots+V_m)\le\dim V_1+\cdots+\dim V_m. \]

    La desigualdad es una igualdad si y sólo si \(V_1+\cdots+V_m\) es una suma directa; esto se demostrará en 3.94.

  18. Supón que \(V\) es de dimensión finita, con \[ \dim V=n\ge1. \] Demuestra que existen subespacios unidimensionales \(V_1,\ldots,V_n\) de \(V\) tales que \[ V=V_1\oplus\cdots\oplus V_n. \]

  19. Explica por qué, por analogía con la fórmula para el número de elementos de la unión de tres conjuntos finitos, podría conjeturarse que \[ \begin{aligned} \dim(V_1+V_2+V_3) &=\dim V_1+\dim V_2+\dim V_3\\ &\quad-\dim(V_1\cap V_2)-\dim(V_1\cap V_3)-\dim(V_2\cap V_3)\\ &\quad+\dim(V_1\cap V_2\cap V_3). \end{aligned} \] Luego demuestra esta fórmula o da un contraejemplo.

  20. Demuestra que, si \(V_1,V_2,V_3\) son subespacios de un espacio vectorial de dimensión finita, entonces \[ \begin{aligned} \dim(V_1+V_2+V_3) &=\dim V_1+\dim V_2+\dim V_3\\ &\quad-\frac{\dim(V_1\cap V_2)+\dim(V_1\cap V_3)+\dim(V_2\cap V_3)}{3}\\ &\quad-\frac{\dim((V_1+V_2)\cap V_3)+\dim((V_1+V_3)\cap V_2)+\dim((V_2+V_3)\cap V_1)}{3}. \end{aligned} \]

    Aunque el lado derecho no parece, a primera vista, un entero, la identidad demuestra que necesariamente lo es.

«Abandoné de inmediato mis antiguas ocupaciones, dejé de lado la historia natural y toda su progenie como una creación deforme y abortada, y sentí el mayor desprecio por una pretendida ciencia que jamás podría siquiera franquear el umbral del conocimiento verdadero. En ese estado de ánimo me entregué a las matemáticas y a las ramas de estudio vinculadas con esa ciencia, por estar construidas sobre fundamentos seguros y ser, por ello, dignas de mi consideración.»
—Mary Wollstonecraft Shelley, Frankenstein

Atribución: Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4.ª edición. Traducción/adaptación no oficial realizada para Matemática Abierta bajo CC BY-NC 4.0. Fuente oficial: https://linear.axler.net/.

Procedencia y licencia de esta edición: traducción/adaptación no oficial de Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4.ª edición. La traducción y las contribuciones de esta edición se publican bajo CC BY-NC 4.0. Las soluciones señaladas como originales son de Matemática Abierta, no del autor. Índice de esta edición.