3A · Espacio vectorial de aplicaciones lineales
Estado: COTEJADO
Fuente: Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4.ª ed., PDF oficial de 16-08-2026, pp. 52–58.
Licencia: adaptación/traducción no oficial bajo CC BY-NC 4.0.
Control de erratas: la errata oficial vigente no registra correcciones específicas para las pp. 52–58.
[TRAD] Traducción de trabajo de Matemática Abierta. Se preservan numeración, fórmulas, ejemplos, demostraciones y estructura lógica.
Definición y ejemplos de aplicaciones lineales
Estamos preparados para una de las definiciones fundamentales del álgebra lineal.
3.1 Definición: aplicación lineal
Una aplicación lineal de \(V\) en \(W\) es una función
\[ T:V\to W \]
que satisface las propiedades siguientes.
Aditividad
\[ T(u+v)=Tu+Tv \]
para todos \(u,v\in V\).
Homogeneidad
\[ T(\lambda v)=\lambda(Tv) \]
para todo \(\lambda\in\mathbf F\) y todo \(v\in V\).
Algunos matemáticos usan la expresión transformación lineal, que significa lo mismo que aplicación lineal.
Para aplicaciones lineales usaremos con frecuencia la notación \(Tv\), además de la notación usual de funciones \(T(v)\).
3.2 Notación: \(\mathcal L(V,W)\), \(\mathcal L(V)\)
- El conjunto de aplicaciones lineales de \(V\) en \(W\) se denota por \(\mathcal L(V,W)\).
- El conjunto de aplicaciones lineales de \(V\) en \(V\) se denota por \(\mathcal L(V)\). En otras palabras, \[ \mathcal L(V)=\mathcal L(V,V). \]
Veamos algunos ejemplos. Conviene verificar que cada una de las funciones siguientes es efectivamente lineal.
3.3 Ejemplos: aplicaciones lineales
Cero
Además de sus otros usos, el símbolo \(0\) denota la aplicación lineal que envía cada elemento de un espacio vectorial a la identidad aditiva de otro espacio vectorial, posiblemente el mismo. En concreto, \(0\in\mathcal L(V,W)\) se define por
\[ 0v=0. \]
El \(0\) de la izquierda es una función de \(V\) en \(W\), mientras que el \(0\) de la derecha es la identidad aditiva de \(W\). El contexto permitirá distinguir estos usos del símbolo \(0\).
Operador identidad
El operador identidad, denotado por \(I\), es la aplicación lineal sobre un espacio vectorial que envía cada elemento a sí mismo. En concreto, \(I\in\mathcal L(V)\) se define por
\[ Iv=v. \]
Derivación
Definimos \(D\in\mathcal L(\mathcal P(\mathbf R))\) mediante
\[ Dp=p'. \]
La linealidad de esta función expresa las propiedades conocidas
\[ (f+g)'=f'+g',\qquad (\lambda f)'=\lambda f'. \]
Integración
Definimos \(T\in\mathcal L(\mathcal P(\mathbf R),\mathbf R)\) mediante
\[ Tp=\int_0^1 p. \]
La linealidad expresa que la integral de una suma es la suma de las integrales y que una constante puede salir de la integral.
Multiplicación por \(x^2\)
Definimos \(T\in\mathcal L(\mathcal P(\mathbf R))\) por
\[ (Tp)(x)=x^2p(x) \]
para cada \(x\in\mathbf R\).
Desplazamiento hacia atrás
Recordemos que \(\mathbf F^\infty\) es el espacio vectorial de todas las sucesiones de elementos de \(\mathbf F\). Definimos \(T\in\mathcal L(\mathbf F^\infty)\) mediante
\[ T(x_1,x_2,x_3,\ldots)=(x_2,x_3,\ldots). \]
De \(\mathbf R^3\) a \(\mathbf R^2\)
Definimos \(T\in\mathcal L(\mathbf R^3,\mathbf R^2)\) mediante
\[ T(x,y,z)=(2x-y+3z,\,7x+5y-6z). \]
De \(\mathbf F^n\) a \(\mathbf F^m\)
Sean \(m,n\) enteros positivos y sean \(A_{j,k}\in\mathbf F\) para \(j=1,\ldots,m\) y \(k=1,\ldots,n\). Definimos \(T\in\mathcal L(\mathbf F^n,\mathbf F^m)\) por
\[ T(x_1,\ldots,x_n) = (A_{1,1}x_1+\cdots+A_{1,n}x_n,\ldots, A_{m,1}x_1+\cdots+A_{m,n}x_n). \]
De hecho, toda aplicación lineal de \(\mathbf F^n\) en \(\mathbf F^m\) tiene esta forma.
Composición
Fijemos \(q\in\mathcal P(\mathbf R)\). Definimos \(T\in\mathcal L(\mathcal P(\mathbf R))\) mediante
\[ (Tp)(x)=p(q(x)). \]
La parte de existencia del resultado siguiente afirma que podemos construir una aplicación lineal que tome valores arbitrariamente prescritos sobre los vectores de una base. La parte de unicidad afirma que una aplicación lineal queda completamente determinada por sus valores sobre una base.
3.4 Lema de la aplicación lineal
Supongamos que \(v_1,\ldots,v_n\) es una base de \(V\) y que \(w_1,\ldots,w_n\in W\). Entonces existe una única aplicación lineal
\[ T:V\to W \]
tal que
\[ Tv_k=w_k \]
para cada \(k=1,\ldots,n\).
Demostración. Primero demostramos la existencia. Definimos
\[ T(c_1v_1+\cdots+c_nv_n)=c_1w_1+\cdots+c_nw_n, \]
para \(c_1,\ldots,c_n\in\mathbf F\). Como \(v_1,\ldots,v_n\) es una base, cada vector de \(V\) admite una representación única de esa forma, así que la fórmula define una función \(T:V\to W\).
Tomando \(c_k=1\) y los demás coeficientes iguales a \(0\) obtenemos \(Tv_k=w_k\).
Si
\[ u=a_1v_1+\cdots+a_nv_n, \qquad v=c_1v_1+\cdots+c_nv_n, \]
entonces
\[ \begin{aligned} T(u+v) &=T((a_1+c_1)v_1+\cdots+(a_n+c_n)v_n)\\ &=(a_1+c_1)w_1+\cdots+(a_n+c_n)w_n\\ &=Tu+Tv. \end{aligned} \]
Además, para \(\lambda\in\mathbf F\),
\[ \begin{aligned} T(\lambda v) &=T(\lambda c_1v_1+\cdots+\lambda c_nv_n)\\ &=\lambda c_1w_1+\cdots+\lambda c_nw_n\\ &=\lambda Tv. \end{aligned} \]
Por tanto \(T\) es lineal.
Para la unicidad, supongamos que \(T\in\mathcal L(V,W)\) satisface \(Tv_k=w_k\) para todo \(k\). Por homogeneidad y aditividad,
\[ T(c_1v_1+\cdots+c_nv_n)=c_1w_1+\cdots+c_nw_n. \]
Como \(v_1,\ldots,v_n\) genera \(V\), esta fórmula determina \(T\) sobre todo \(V\). \(\square\)
Operaciones algebraicas en \(\mathcal L(V,W)\)
Comenzamos definiendo la suma y la multiplicación por escalares en \(\mathcal L(V,W)\).
3.5 Definición: suma y multiplicación por escalares en \(\mathcal L(V,W)\)
Supongamos que \(S,T\in\mathcal L(V,W)\) y \(\lambda\in\mathbf F\). La suma \(S+T\) y el producto \(\lambda T\) son las aplicaciones lineales de \(V\) en \(W\) definidas por
\[ (S+T)(v)=Sv+Tv, \qquad (\lambda T)(v)=\lambda(Tv) \]
para todo \(v\in V\).
Las aplicaciones lineales aparecen por toda la matemática, aunque no tanto como podría creerse si se cometieran errores como tratar al coseno como si fuera lineal y escribir incorrectamente
\[ \cos(x+y)=\cos x+\cos y, \qquad \cos(2x)=2\cos x. \]
Debe verificarse que \(S+T\) y \(\lambda T\) son efectivamente aplicaciones lineales.
3.6 \(\mathcal L(V,W)\) es un espacio vectorial
Con las operaciones de suma y multiplicación por escalares definidas arriba,
\[ \mathcal L(V,W) \]
es un espacio vectorial.
La demostración rutinaria se deja al lector. La identidad aditiva de \(\mathcal L(V,W)\) es la aplicación lineal cero del Ejemplo 3.3.
Normalmente no tiene sentido multiplicar dos elementos de un espacio vectorial. Sin embargo, para ciertos pares de aplicaciones lineales existe un producto útil.
3.7 Definición: producto de aplicaciones lineales
Si
\[ T\in\mathcal L(U,V) \quad\text{y}\quad S\in\mathcal L(V,W), \]
el producto
\[ ST\in\mathcal L(U,W) \]
se define por
\[ (ST)(u)=S(Tu) \]
para todo \(u\in U\).
Así, \(ST\) es simplemente la composición usual \(S\circ T\). Cuando las funciones son lineales se escribe habitualmente \(ST\) en lugar de \(S\circ T\). El producto sólo está definido cuando el espacio de llegada de \(T\) coincide con el dominio apropiado de \(S\).
3.8 Propiedades algebraicas de los productos de aplicaciones lineales
Asociatividad
\[ (T_1T_2)T_3=T_1(T_2T_3) \]
siempre que los productos tengan sentido.
Identidad
Si \(T\in\mathcal L(V,W)\), entonces
\[ TI=IT=T, \]
donde el primer \(I\) actúa sobre \(V\) y el segundo sobre \(W\).
Propiedades distributivas
Si \(T,T_1,T_2\in\mathcal L(U,V)\) y \(S,S_1,S_2\in\mathcal L(V,W)\), entonces
\[ (S_1+S_2)T=S_1T+S_2T \]
y
\[ S(T_1+T_2)=ST_1+ST_2. \]
La demostración rutinaria se deja al lector.
La multiplicación de aplicaciones lineales no es conmutativa en general.
3.9 Ejemplo: dos aplicaciones lineales que no conmutan en \(\mathcal P(\mathbf R)\)
Sea \(D\) la aplicación de derivación del Ejemplo 3.3 y sea \(T\) la aplicación de multiplicación por \(x^2\). Entonces
\[ ((TD)p)(x)=x^2p'(x), \]
mientras que
\[ ((DT)p)(x)=x^2p'(x)+2xp(x). \]
Por tanto,
\[ TD\ne DT. \]
Derivar y luego multiplicar por \(x^2\) no es lo mismo que multiplicar por \(x^2\) y luego derivar.
3.10 Las aplicaciones lineales envían \(0\) en \(0\)
Supongamos que \(T\) es una aplicación lineal de \(V\) en \(W\). Entonces
\[ T(0)=0. \]
Demostración. Por aditividad,
\[ T(0)=T(0+0)=T(0)+T(0). \]
Sumando el inverso aditivo de \(T(0)\) a ambos lados obtenemos \(T(0)=0\). \(\square\)
Si \(m,b\in\mathbf R\), la función \(f:\mathbf R\to\mathbf R\) definida por
\[ f(x)=mx+b \]
es una aplicación lineal si y sólo si \(b=0\). Por tanto, las llamadas «funciones lineales» del álgebra escolar no coinciden exactamente con las aplicaciones lineales del álgebra lineal.
Ejercicios 3A
Supón que \(b,c\in\mathbf R\). Define \(T:\mathbf R^3\to\mathbf R^2\) por \[ T(x,y,z)=(2x-4y+3z+b,\,6x+cxyz). \] Demuestra que \(T\) es lineal si y sólo si \(b=c=0\).
Supón que \(b,c\in\mathbf R\). Define \(T:\mathcal P(\mathbf R)\to\mathbf R^2\) por \[ Tp=\left(3p(4)+5p'(6)+bp(1)p(2),\,\int_{-1}^{2}x^3p(x)\,dx+c\sin p(0)\right). \] Demuestra que \(T\) es lineal si y sólo si \(b=c=0\).
Supón que \(T\in\mathcal L(\mathbf F^n,\mathbf F^m)\). Demuestra que existen escalares \(A_{j,k}\in\mathbf F\), para \(j=1,\ldots,m\) y \(k=1,\ldots,n\), tales que \[ T(x_1,\ldots,x_n) =(A_{1,1}x_1+\cdots+A_{1,n}x_n,\ldots,A_{m,1}x_1+\cdots+A_{m,n}x_n) \] para todo \((x_1,\ldots,x_n)\in\mathbf F^n\).
Supón que \(T\in\mathcal L(V,W)\) y que \(v_1,\ldots,v_m\) es una lista de vectores de \(V\) tal que \(Tv_1,\ldots,Tv_m\) es linealmente independiente en \(W\). Demuestra que \(v_1,\ldots,v_m\) es linealmente independiente.
Demuestra que \(\mathcal L(V,W)\) es un espacio vectorial, como se afirmó en 3.6.
Demuestra que la multiplicación de aplicaciones lineales tiene las propiedades asociativa, de identidad y distributivas afirmadas en 3.8.
Demuestra que toda aplicación lineal de un espacio vectorial unidimensional en sí mismo es multiplicación por algún escalar. Más precisamente, si \(\dim V=1\) y \(T\in\mathcal L(V)\), demuestra que existe \(\lambda\in\mathbf F\) tal que \[ Tv=\lambda v \] para todo \(v\in V\).
Da un ejemplo de una función \(\varphi:\mathbf R^2\to\mathbf R\) tal que \[ \varphi(av)=a\varphi(v) \] para todo \(a\in\mathbf R\) y todo \(v\in\mathbf R^2\), pero que no sea lineal.
Da un ejemplo de una función \(\varphi:\mathbf C\to\mathbf C\) tal que \[ \varphi(w+z)=\varphi(w)+\varphi(z) \] para todos \(w,z\in\mathbf C\), pero que no sea lineal cuando \(\mathbf C\) se considera como espacio vectorial complejo.
Demuestra o da un contraejemplo: si \(q\in\mathcal P(\mathbf R)\) y \(T:\mathcal P(\mathbf R)\to\mathcal P(\mathbf R)\) está definida por \[ Tp=q\circ p, \] entonces \(T\) es lineal.
Supón que \(V\) es de dimensión finita y \(T\in\mathcal L(V)\). Demuestra que \(T\) es un múltiplo escalar de la identidad si y sólo si \[ ST=TS \] para todo \(S\in\mathcal L(V)\).
Supón que \(U\) es un subespacio propio de \(V\), que \(S\in\mathcal L(U,W)\) y que \(S\ne0\). Define \(T:V\to W\) por \[ Tv= \begin{cases} Sv,&v\in U,\\ 0,&v\in V\setminus U. \end{cases} \] Demuestra que \(T\) no es lineal.
Supón que \(V\) es de dimensión finita. Demuestra que toda aplicación lineal definida sobre un subespacio de \(V\) puede extenderse a una aplicación lineal sobre \(V\).
Supón que \(V\) es de dimensión finita, \(\dim V>0\), y que \(W\) es de dimensión infinita. Demuestra que \(\mathcal L(V,W)\) es de dimensión infinita.
Supón que \(v_1,\ldots,v_m\) es una lista linealmente dependiente de vectores de \(V\) y que \(W\ne\{0\}\). Demuestra que existen \(w_1,\ldots,w_m\in W\) tales que no existe \(T\in\mathcal L(V,W)\) con \[ Tv_k=w_k \] para cada \(k=1,\ldots,m\).
Supón que \(V\) es de dimensión finita y \(\dim V>1\). Demuestra que existen \(S,T\in\mathcal L(V)\) tales que \[ ST\ne TS. \]
Supón que \(V\) es de dimensión finita. Demuestra que los únicos ideales bilaterales de \(\mathcal L(V)\) son \(\{0\}\) y \(\mathcal L(V)\).
Un subespacio \(\mathcal E\) de \(\mathcal L(V)\) se llama ideal bilateral de \(\mathcal L(V)\) si \(TE\in\mathcal E\) y \(ET\in\mathcal E\) para todos \(E\in\mathcal E\) y todos \(T\in\mathcal L(V)\).
Atribución: Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4.ª edición. Traducción/adaptación no oficial realizada para Matemática Abierta bajo CC BY-NC 4.0. Fuente oficial: https://linear.axler.net/.
Procedencia y licencia de esta edición: traducción/adaptación no oficial de Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4.ª edición. La traducción y las contribuciones de esta edición se publican bajo CC BY-NC 4.0. Las soluciones señaladas como originales son de Matemática Abierta, no del autor. Índice de esta edición.