3B · Espacios nulos e imágenes
Estado: COTEJADO
Fuente: Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4.ª ed., PDF oficial de 16-08-2026, pp. 59–68.
Licencia: adaptación/traducción no oficial bajo CC BY-NC 4.0.
Control de erratas: la errata oficial vigente no registra correcciones específicas para las pp. 59–68.
[TRAD] Traducción de trabajo de Matemática Abierta. Se preservan numeración, fórmulas, ejemplos, demostraciones y estructura lógica. En fórmulas se conserva la notación de Axler
null Tyrange T; en la prosa se traducen como espacio nulo e imagen.
Espacio nulo e inyectividad
En esta sección estudiaremos dos subespacios íntimamente asociados a cada aplicación lineal. Comenzamos por el conjunto de vectores que son enviados a \(0\).
3.12 Ejemplos: espacio nulo
Si \(T\) es la aplicación cero de \(V\) en \(W\), entonces \[ \operatorname{null}T=V. \]
Supongamos que \(\varphi\in\mathcal L(\mathbf C^3,\mathbf C)\) está definida por \[ \varphi(z_1,z_2,z_3)=z_1+2z_2+3z_3. \] Entonces \[ \operatorname{null}\varphi =\{(z_1,z_2,z_3)\in\mathbf C^3:z_1+2z_2+3z_3=0\}. \]
Sea \(D\in\mathcal L(\mathcal P(\mathbf R))\) la aplicación de derivación \(Dp=p'\). El espacio nulo de \(D\) es el conjunto de los polinomios constantes.
Sea \(T\in\mathcal L(\mathcal P(\mathbf R))\) la aplicación de multiplicación por \(x^2\), \[ (Tp)(x)=x^2p(x). \] Entonces \[ \operatorname{null}T=\{0\}. \]
Sea \(T\in\mathcal L(\mathbf F^\infty)\) el desplazamiento hacia atrás, \[ T(x_1,x_2,x_3,\ldots)=(x_2,x_3,\ldots). \] Entonces \[ \operatorname{null}T=\{(a,0,0,\ldots):a\in\mathbf F\}. \]
La palabra null significa «cero». Algunos matemáticos usan el término núcleo (kernel) en lugar de espacio nulo.
3.13 El espacio nulo es un subespacio
Si \(T\in\mathcal L(V,W)\), entonces \(\operatorname{null}T\) es un subespacio de \(V\).
Demostración. Como \(T\) es lineal,
\[ T(0)=0, \]
por 3.10, así que \(0\in\operatorname{null}T\).
Si \(u,v\in\operatorname{null}T\), entonces
\[ T(u+v)=Tu+Tv=0+0=0, \]
por lo que \(u+v\in\operatorname{null}T\).
Si \(u\in\operatorname{null}T\) y \(\lambda\in\mathbf F\), entonces
\[ T(\lambda u)=\lambda Tu=\lambda0=0, \]
por lo que \(\lambda u\in\operatorname{null}T\).
Así, \(\operatorname{null}T\) contiene a \(0\) y es cerrado bajo suma y multiplicación por escalares. Por 1.34 es un subespacio de \(V\). \(\square\)
3.14 Definición: inyectiva
Una función \(T:V\to W\) se llama inyectiva si
\[ Tu=Tv\quad\Longrightarrow\quad u=v. \]
El término one-to-one significa lo mismo que inyectiva. Equivalentemente, \(T\) es inyectiva si envía entradas distintas a salidas distintas.
3.15 Inyectividad \(\Longleftrightarrow\) espacio nulo igual a \(\{0\}\)
Sea \(T\in\mathcal L(V,W)\). Entonces
\[ T\text{ es inyectiva} \quad\Longleftrightarrow\quad \operatorname{null}T=\{0\}. \]
Demostración. Supongamos primero que \(T\) es inyectiva. Ya sabemos que \(0\in\operatorname{null}T\). Si \(v\in\operatorname{null}T\), entonces
\[ Tv=0=T0. \]
La inyectividad implica \(v=0\). Por tanto \(\operatorname{null}T=\{0\}\).
Recíprocamente, supongamos que \(\operatorname{null}T=\{0\}\) y que \(Tu=Tv\). Entonces
\[ 0=Tu-Tv=T(u-v). \]
Así \(u-v\in\operatorname{null}T=\{0\}\), de donde \(u=v\). Por tanto \(T\) es inyectiva. \(\square\)
Imagen y sobreyectividad
Ahora damos un nombre al conjunto de salidas de una aplicación lineal.
3.16 Definición: imagen, \(\operatorname{range}T\)
Si \(T\in\mathcal L(V,W)\), la imagen de \(T\) es el subconjunto de \(W\) formado por los vectores que son iguales a \(Tv\) para algún \(v\in V\):
\[ \operatorname{range}T=\{Tv:v\in V\}. \]
3.17 Ejemplos: imagen
Si \(T\) es la aplicación cero de \(V\) en \(W\), entonces \[ \operatorname{range}T=\{0\}. \]
Si \(T\in\mathcal L(\mathbf R^2,\mathbf R^3)\) está definida por \[ T(x,y)=(2x,5y,x+y), \] entonces \[ \operatorname{range}T =\{(2x,5y,x+y):x,y\in\mathbf R\}. \]
Sea \(D\in\mathcal L(\mathcal P(\mathbf R))\) la derivación \(Dp=p'\). Como para todo \(q\in\mathcal P(\mathbf R)\) existe \(p\in\mathcal P(\mathbf R)\) con \(p'=q\), se tiene \[ \operatorname{range}D=\mathcal P(\mathbf R). \]
3.18 La imagen es un subespacio
Si \(T\in\mathcal L(V,W)\), entonces \(\operatorname{range}T\) es un subespacio de \(W\).
Demostración. Como \(T(0)=0\), tenemos \(0\in\operatorname{range}T\).
Si \(w_1,w_2\in\operatorname{range}T\), existen \(v_1,v_2\in V\) tales que
\[ Tv_1=w_1,\qquad Tv_2=w_2. \]
Entonces
\[ T(v_1+v_2)=Tv_1+Tv_2=w_1+w_2, \]
por lo que \(w_1+w_2\in\operatorname{range}T\).
Si \(w\in\operatorname{range}T\) y \(\lambda\in\mathbf F\), existe \(v\in V\) con \(Tv=w\), y
\[ T(\lambda v)=\lambda Tv=\lambda w. \]
Por tanto \(\lambda w\in\operatorname{range}T\). Por 1.34, \(\operatorname{range}T\) es un subespacio de \(W\). \(\square\)
3.19 Definición: sobreyectiva
Una función \(T:V\to W\) se llama sobreyectiva si
\[ \operatorname{range}T=W. \]
El término inglés onto significa lo mismo que sobreyectiva.
3.20 Ejemplo: la sobreyectividad depende del espacio de llegada
Sea
\[ D\in\mathcal L(\mathcal P_5(\mathbf R)) \]
definida por \(Dp=p'\). Esta aplicación no es sobreyectiva porque \(x^5\) no pertenece a su imagen.
En cambio, la aplicación
\[ S\in\mathcal L(\mathcal P_5(\mathbf R),\mathcal P_4(\mathbf R)) \]
definida también por \(Sp=p'\) sí es sobreyectiva, porque
\[ \operatorname{range}S=\mathcal P_4(\mathbf R). \]
La sobreyectividad depende, por tanto, del espacio que se toma como espacio de llegada.
Teorema fundamental de las aplicaciones lineales
El resultado siguiente es tan importante que recibe un nombre especialmente destacado.
3.21 Teorema fundamental de las aplicaciones lineales
Supongamos que \(V\) es de dimensión finita y que \(T\in\mathcal L(V,W)\). Entonces \(\operatorname{range}T\) es de dimensión finita y
\[ \boxed{ \dim V=\dim\operatorname{null}T+\dim\operatorname{range}T. } \]
Demostración. Sea
\[ u_1,\ldots,u_m \]
una base de \(\operatorname{null}T\). Entonces
\[ \dim\operatorname{null}T=m. \]
Extendemos esta lista a una base de \(V\):
\[ u_1,\ldots,u_m,v_1,\ldots,v_n. \]
Así,
\[ \dim V=m+n. \]
Demostraremos que
\[ Tv_1,\ldots,Tv_n \]
es una base de \(\operatorname{range}T\).
Sea \(v\in V\). Podemos escribir
\[ v=a_1u_1+\cdots+a_mu_m+b_1v_1+\cdots+b_nv_n. \]
Aplicando \(T\),
\[ Tv=b_1Tv_1+\cdots+b_nTv_n, \]
porque \(Tu_k=0\) para cada \(k\). Por tanto \(Tv_1,\ldots,Tv_n\) genera \(\operatorname{range}T\), que en particular es de dimensión finita.
Para demostrar independencia lineal, supongamos
\[ c_1Tv_1+\cdots+c_nTv_n=0. \]
Entonces
\[ T(c_1v_1+\cdots+c_nv_n)=0, \]
así que
\[ c_1v_1+\cdots+c_nv_n\in\operatorname{null}T. \]
Como \(u_1,\ldots,u_m\) genera \(\operatorname{null}T\), existen \(d_1,\ldots,d_m\) tales que
\[ c_1v_1+\cdots+c_nv_n=d_1u_1+\cdots+d_mu_m. \]
La independencia lineal de
\[ u_1,\ldots,u_m,v_1,\ldots,v_n \]
obliga a que todos los \(c_j\) y \(d_k\) sean \(0\). Así \(Tv_1,\ldots,Tv_n\) es linealmente independiente y, por tanto, una base de \(\operatorname{range}T\).
En consecuencia
\[ \dim\operatorname{range}T=n, \]
y
\[ \dim V=m+n =\dim\operatorname{null}T+\dim\operatorname{range}T. \]
\(\square\)
3.22 Una aplicación lineal hacia un espacio de menor dimensión no es inyectiva
Supongamos que \(V\) y \(W\) son de dimensión finita y que
\[ \dim V>\dim W. \]
Entonces ninguna aplicación lineal de \(V\) en \(W\) es inyectiva.
Demostración. Para \(T\in\mathcal L(V,W)\),
\[ \begin{aligned} \dim\operatorname{null}T &=\dim V-\dim\operatorname{range}T\\ &\ge \dim V-\dim W\\ &>0. \end{aligned} \]
Por tanto \(\operatorname{null}T\ne\{0\}\), y 3.15 implica que \(T\) no es inyectiva. \(\square\)
3.23 Ejemplo: una aplicación lineal de \(\mathbf F^4\) en \(\mathbf F^3\) no es inyectiva
Definamos
\[ T:\mathbf F^4\to\mathbf F^3 \]
por
\[ T(z_1,z_2,z_3,z_4) = (\sqrt7z_1+\pi z_2+z_4,\,97z_1+3z_2+2z_3,\,z_2+6z_3+7z_4). \]
Como
\[ \dim\mathbf F^4>\dim\mathbf F^3, \]
3.22 muestra inmediatamente que \(T\) no es inyectiva, sin necesidad de cálculo adicional.
3.24 Una aplicación lineal hacia un espacio de mayor dimensión no es sobreyectiva
Supongamos que \(V\) y \(W\) son de dimensión finita y que
\[ \dim V<\dim W. \]
Entonces ninguna aplicación lineal de \(V\) en \(W\) es sobreyectiva.
Demostración. Si \(T\in\mathcal L(V,W)\), entonces
\[ \begin{aligned} \dim\operatorname{range}T &=\dim V-\dim\operatorname{null}T\\ &\le\dim V\\ &<\dim W. \end{aligned} \]
Así \(\operatorname{range}T\ne W\), y por tanto \(T\) no es sobreyectiva. \(\square\)
Los resultados 3.22 y 3.24 tienen consecuencias inmediatas para sistemas de ecuaciones lineales.
Fijemos enteros positivos \(m,n\) y escalares \(A_{j,k}\in\mathbf F\) para \(j=1,\ldots,m\) y \(k=1,\ldots,n\). Consideremos el sistema homogéneo
\[ \sum_{k=1}^nA_{1,k}x_k=0, \quad\ldots,\quad \sum_{k=1}^nA_{m,k}x_k=0. \]
Definimos \(T:\mathbf F^n\to\mathbf F^m\) por
3.25
\[ T(x_1,\ldots,x_n) = \left( \sum_{k=1}^nA_{1,k}x_k, \ldots, \sum_{k=1}^nA_{m,k}x_k \right). \]
Entonces \(T(x_1,\ldots,x_n)=0\) equivale exactamente al sistema homogéneo anterior.
3.26 Sistema homogéneo de ecuaciones lineales
Un sistema homogéneo de ecuaciones lineales con más variables que ecuaciones tiene soluciones no nulas.
Demostración. En la notación anterior, \(T:\mathbf F^n\to\mathbf F^m\). Si \(n>m\), entonces 3.22 implica que \(T\) no es inyectiva. Por 3.15,
\[ \operatorname{null}T\ne\{0\}, \]
y por tanto existe una solución no nula del sistema homogéneo. \(\square\)
Ahora consideremos el sistema no homogéneo
3.27
\[ \sum_{k=1}^nA_{1,k}x_k=c_1, \quad\ldots,\quad \sum_{k=1}^nA_{m,k}x_k=c_m. \]
Este sistema equivale a
\[ T(x_1,\ldots,x_n)=(c_1,\ldots,c_m), \]
con \(T\) dada por 3.25.
3.28 Sistema no homogéneo de ecuaciones lineales
Un sistema no homogéneo de ecuaciones lineales con más ecuaciones que variables carece de solución para alguna elección de los términos constantes.
Demostración. En la notación anterior, si \(n<m\), entonces 3.24 implica que
\[ T:\mathbf F^n\to\mathbf F^m \]
no es sobreyectiva. Por tanto existe algún
\[ (c_1,\ldots,c_m)\in\mathbf F^m \]
que no pertenece a \(\operatorname{range}T\). Para esa elección de términos constantes, el sistema 3.27 no tiene solución. \(\square\)
Axler señala que 3.26 y 3.28 también pueden demostrarse mediante eliminación gaussiana, pero que el enfoque abstracto mediante aplicaciones lineales produce demostraciones más limpias.
Ejercicios 3B
Da un ejemplo de una aplicación lineal \(T\) tal que \[ \dim\operatorname{null}T=3, \qquad \dim\operatorname{range}T=2. \]
Supón que \(S,T\in\mathcal L(V)\) y que \[ \operatorname{range}S\subseteq\operatorname{null}T. \] Demuestra que \[ (ST)^2=0. \]
Supón que \(v_1,\ldots,v_m\) es una lista de vectores de \(V\). Define \(T\in\mathcal L(\mathbf F^m,V)\) por \[ T(z_1,\ldots,z_m)=z_1v_1+\cdots+z_mv_m. \] \(a\) ¿Qué propiedad de \(T\) corresponde a que \(v_1,\ldots,v_m\) genere \(V\)?
\(b\) ¿Qué propiedad de \(T\) corresponde a que \(v_1,\ldots,v_m\) sea linealmente independiente?Demuestra que \[ \{T\in\mathcal L(\mathbf R^5,\mathbf R^4):\dim\operatorname{null}T>2\} \] no es un subespacio de \(\mathcal L(\mathbf R^5,\mathbf R^4)\).
Da un ejemplo de \(T\in\mathcal L(\mathbf R^4)\) tal que \[ \operatorname{range}T=\operatorname{null}T. \]
Demuestra que no existe \(T\in\mathcal L(\mathbf R^5)\) tal que \[ \operatorname{range}T=\operatorname{null}T. \]
Supón que \(V\) y \(W\) son de dimensión finita y que \[ 2\le\dim V\le\dim W. \] Demuestra que el conjunto de aplicaciones \(T\in\mathcal L(V,W)\) que no son inyectivas no es un subespacio de \(\mathcal L(V,W)\).
Supón que \(V\) y \(W\) son de dimensión finita y que \[ \dim V\ge\dim W\ge2. \] Demuestra que el conjunto de aplicaciones \(T\in\mathcal L(V,W)\) que no son sobreyectivas no es un subespacio de \(\mathcal L(V,W)\).
Supón que \(T\in\mathcal L(V,W)\) es inyectiva y que \(v_1,\ldots,v_n\) es linealmente independiente en \(V\). Demuestra que \[ Tv_1,\ldots,Tv_n \] es linealmente independiente en \(W\).
Supón que \(v_1,\ldots,v_n\) genera \(V\) y que \(T\in\mathcal L(V,W)\). Demuestra que \[ Tv_1,\ldots,Tv_n \] genera \(\operatorname{range}T\).
Supón que \(V\) es de dimensión finita y \(T\in\mathcal L(V,W)\). Demuestra que existe un subespacio \(U\) de \(V\) tal que \[ U\cap\operatorname{null}T=\{0\} \] y \[ \operatorname{range}T=\{Tu:u\in U\}. \]
Supón que \(T:\mathbf F^4\to\mathbf F^2\) es lineal y que \[ \operatorname{null}T =\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbf F^4:x_1=5x_2\text{ y }x_3=7x_4\}. \] Demuestra que \(T\) es sobreyectiva.
Supón que \(U\) es un subespacio tridimensional de \(\mathbf R^8\) y que \(T:\mathbf R^8\to\mathbf R^5\) es lineal con \[ \operatorname{null}T=U. \] Demuestra que \(T\) es sobreyectiva.
Demuestra que no existe una aplicación lineal de \(\mathbf F^5\) en \(\mathbf F^2\) cuyo espacio nulo sea \[ \{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)\in\mathbf F^5:x_1=3x_2\text{ y }x_3=x_4=x_5\}. \]
Supón que existe una aplicación lineal sobre \(V\) cuyo espacio nulo y cuya imagen son ambos de dimensión finita. Demuestra que \(V\) es de dimensión finita.
Supón que \(V\) y \(W\) son de dimensión finita. Demuestra que existe una aplicación lineal inyectiva de \(V\) en \(W\) si y sólo si \[ \dim V\le\dim W. \]
Supón que \(V\) y \(W\) son de dimensión finita. Demuestra que existe una aplicación lineal sobreyectiva de \(V\) sobre \(W\) si y sólo si \[ \dim V\ge\dim W. \]
Supón que \(V,W\) son de dimensión finita y que \(U\) es un subespacio de \(V\). Demuestra que existe \(T\in\mathcal L(V,W)\) con \[ \operatorname{null}T=U \] si y sólo si \[ \dim U\ge\dim V-\dim W. \]
Supón que \(W\) es de dimensión finita y \(T\in\mathcal L(V,W)\). Demuestra que \(T\) es inyectiva si y sólo si existe \(S\in\mathcal L(W,V)\) tal que \[ ST=I_V. \]
Supón que \(W\) es de dimensión finita y \(T\in\mathcal L(V,W)\). Demuestra que \(T\) es sobreyectiva si y sólo si existe \(S\in\mathcal L(W,V)\) tal que \[ TS=I_W. \]
Supón que \(V\) es de dimensión finita, \(T\in\mathcal L(V,W)\) y \(U\) es un subespacio de \(W\). Demuestra que \[ \{v\in V:Tv\in U\} \] es un subespacio de \(V\) y que \[ \dim\{v\in V:Tv\in U\} =\dim\operatorname{null}T+\dim(U\cap\operatorname{range}T). \]
Supón que \(U\) y \(V\) son de dimensión finita, \(S\in\mathcal L(V,W)\) y \(T\in\mathcal L(U,V)\). Demuestra que \[ \dim\operatorname{null}(ST) \le \dim\operatorname{null}S+\dim\operatorname{null}T. \]
Bajo las mismas hipótesis del ejercicio anterior, demuestra que \[ \dim\operatorname{range}(ST) \le \min\{\dim\operatorname{range}S,\dim\operatorname{range}T\}. \]
\(a\) Supón que \(\dim V=5\) y que \(S,T\in\mathcal L(V)\) satisfacen \(ST=0\). Demuestra que \[ \dim\operatorname{range}(TS)\le2. \] \(b\) Da un ejemplo de \(S,T\in\mathcal L(\mathbf F^5)\) con \(ST=0\) y \[ \dim\operatorname{range}(TS)=2. \]
Supón que \(W\) es de dimensión finita y \(S,T\in\mathcal L(V,W)\). Demuestra que \[ \operatorname{null}S\subseteq\operatorname{null}T \] si y sólo si existe \(E\in\mathcal L(W)\) tal que \[ T=ES. \]
Supón que \(V\) es de dimensión finita y \(S,T\in\mathcal L(V,W)\). Demuestra que \[ \operatorname{range}S\subseteq\operatorname{range}T \] si y sólo si existe \(E\in\mathcal L(V)\) tal que \[ S=TE. \]
Supón que \(P\in\mathcal L(V)\) y \(P^2=P\). Demuestra que \[ V=\operatorname{null}P\oplus\operatorname{range}P. \]
Supón que \(D\in\mathcal L(\mathcal P(\mathbf R))\) satisface \[ \deg Dp=(\deg p)-1 \] para todo polinomio no constante \(p\). Demuestra que \(D\) es sobreyectiva.
Supón que \(p\in\mathcal P(\mathbf R)\). Demuestra que existe \(q\in\mathcal P(\mathbf R)\) tal que \[ 5q''+3q'=p. \]
Supón que \(\varphi\in\mathcal L(V,\mathbf F)\) y \(\varphi\ne0\). Supón que \(u\notin\operatorname{null}\varphi\). Demuestra que \[ V=\operatorname{null}\varphi\oplus\{au:a\in\mathbf F\}. \]
Supón que \(V\) es de dimensión finita, \(X\) es un subespacio de \(V\) y \(Y\) es un subespacio de dimensión finita de \(W\). Demuestra que existe \(T\in\mathcal L(V,W)\) tal que \[ \operatorname{null}T=X, \qquad \operatorname{range}T=Y \] si y sólo si \[ \dim X+\dim Y=\dim V. \]
Supón que \(V\) es de dimensión finita, \(\dim V>1\), y que \(\varphi:\mathcal L(V)\to\mathbf F\) es lineal y satisface \[ \varphi(ST)=\varphi(S)\varphi(T) \] para todos \(S,T\in\mathcal L(V)\). Demuestra que \[ \varphi=0. \]
Supón que \(V\) y \(W\) son espacios vectoriales reales y que \(T\in\mathcal L(V,W)\). Define \[ T_{\mathbf C}:V_{\mathbf C}\to W_{\mathbf C} \] por \[ T_{\mathbf C}(u+iv)=Tu+iTv. \] \(a\) Demuestra que \(T_{\mathbf C}\) es una aplicación lineal compleja.
\(b\) Demuestra que \(T_{\mathbf C}\) es inyectiva si y sólo si \(T\) es inyectiva.
\(c\) Demuestra que \(\operatorname{range}T_{\mathbf C}=W_{\mathbf C}\) si y sólo si \(\operatorname{range}T=W\).La aplicación \(T_{\mathbf C}\) se llama complexificación de \(T\).
Atribución: Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4.ª edición. Traducción/adaptación no oficial realizada para Matemática Abierta bajo CC BY-NC 4.0. Fuente oficial: https://linear.axler.net/.
Procedencia y licencia de esta edición: traducción/adaptación no oficial de Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4.ª edición. La traducción y las contribuciones de esta edición se publican bajo CC BY-NC 4.0. Las soluciones señaladas como originales son de Matemática Abierta, no del autor. Índice de esta edición.