3C · Matrices
Estado: COTEJADO
Fuente canónica: Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4.ª ed., PDF oficial de 16-08-2026, pp. 69–81.
Licencia: adaptación/traducción no oficial bajo CC BY-NC 4.0.
Control de versiones: la errata oficial vigente no registra correcciones específicas para las pp. 69–81. La versión canónica de 16-08-2026 añade, en la demostración de 3.57, el caso separado c=0, ausente en la copia de referencia del 25-03-2024; esta edición sigue el texto canónico 2026.
[TRAD] Traducción de trabajo de Matemática Abierta. Se preservan numeración, fórmulas, ejemplos, demostraciones y estructura lógica.
Representación de una aplicación lineal mediante una matriz
Sabemos que si \(v_1,\ldots,v_n\) es una base de \(V\) y \(T:V\to W\) es lineal, entonces los valores
\[ Tv_1,\ldots,Tv_n \]
determinan los valores de \(T\) sobre todos los vectores de \(V\); véase el lema de la aplicación lineal 3.4. Las matrices proporcionan una manera eficiente de registrar esos valores en términos de una base de \(W\).
3.29 Definición: matriz, \(A_{j,k}\)
Sean \(m,n\) enteros no negativos. Una matriz \(m\) por \(n\) \(A\) es un arreglo rectangular de elementos de \(\mathbf F\) con \(m\) filas y \(n\) columnas:
\[ A= \begin{pmatrix} A_{1,1}&\cdots&A_{1,n}\\ \vdots&&\vdots\\ A_{m,1}&\cdots&A_{m,n} \end{pmatrix}. \]
La notación \(A_{j,k}\) denota la entrada situada en la fila \(j\) y columna \(k\) de \(A\).
3.30 Ejemplo: \(A_{j,k}\) es la entrada de la fila \(j\), columna \(k\)
Si
\[ A= \begin{pmatrix} 8&4&5-3i\\ 1&9&7 \end{pmatrix}, \]
entonces \(A_{2,3}=7\). El primer índice indica la fila y el segundo la columna.
3.31 Definición: matriz de una aplicación lineal, \(\mathcal M(T)\)
Supongamos que \(T\in\mathcal L(V,W)\), que \(v_1,\ldots,v_n\) es una base de \(V\) y que \(w_1,\ldots,w_m\) es una base de \(W\). La matriz de \(T\) respecto de estas bases es la matriz \(m\) por \(n\), denotada por \(\mathcal M(T)\), cuyas entradas \(A_{j,k}\) están determinadas por
\[ Tv_k=A_{1,k}w_1+\cdots+A_{m,k}w_m. \]
Cuando las bases no están claras por el contexto se usa la notación
\[ \mathcal M\bigl(T,(v_1,\ldots,v_n),(w_1,\ldots,w_m)\bigr). \]
La matriz depende tanto de \(T\) como de las bases elegidas. La columna \(k\) de \(\mathcal M(T)\) contiene precisamente los escalares necesarios para expresar \(Tv_k\) en la base \(w_1,\ldots,w_m\):
\[ Tv_k=\sum_{j=1}^m A_{j,k}w_j. \]
Si \(T\) va de un espacio de dimensión \(n\) a uno de dimensión \(m\), entonces \(\mathcal M(T)\) es una matriz \(m\) por \(n\).
Cuando \(T:\mathbf F^n\to\mathbf F^m\), salvo indicación contraria se usan las bases estándar. En ese caso, la columna \(k\) de \(\mathcal M(T)\) es el vector de coordenadas de la imagen del \(k\)-ésimo vector de la base estándar.
3.32 Ejemplo: matriz de una aplicación de \(\mathbf F^2\) en \(\mathbf F^3\)
Sea
\[ T(x,y)=(x+3y,\,2x+5y,\,7x+9y). \]
Como
\[ T(1,0)=(1,2,7),\qquad T(0,1)=(3,5,9), \]
respecto de las bases estándar,
\[ \mathcal M(T)= \begin{pmatrix} 1&3\\ 2&5\\ 7&9 \end{pmatrix}. \]
Cuando trabajemos con \(\mathcal P_m(\mathbf F)\), se usará la base estándar
\[ 1,x,x^2,\ldots,x^m \]
salvo que el contexto indique otra cosa.
3.33 Ejemplo: matriz de la derivación de \(\mathcal P_3(\mathbf R)\) en \(\mathcal P_2(\mathbf R)\)
Sea \(D\in\mathcal L(\mathcal P_3(\mathbf R),\mathcal P_2(\mathbf R))\) dada por \(Dp=p'\). Como
\[ (x^n)'=nx^{n-1}, \]
respecto de las bases estándar,
\[ \mathcal M(D)= \begin{pmatrix} 0&1&0&0\\ 0&0&2&0\\ 0&0&0&3 \end{pmatrix}. \]
Suma y multiplicación por escalares de matrices
Durante el resto de esta sección suponemos que \(U,V,W\) son de dimensión finita y que se ha elegido una base para cada uno.
3.34 Definición: suma de matrices
La suma de dos matrices del mismo tamaño se obtiene sumando las entradas correspondientes. Si \(A,C\in\mathbf F^{m,n}\), entonces
\[ (A+C)_{j,k}=A_{j,k}+C_{j,k}. \]
3.35 Matriz de una suma de aplicaciones lineales
Si \(S,T\in\mathcal L(V,W)\) y se usan las mismas bases, entonces
\[ \boxed{\mathcal M(S+T)=\mathcal M(S)+\mathcal M(T).} \]
La verificación se sigue directamente de las definiciones y se deja al lector.
3.36 Definición: multiplicación de una matriz por un escalar
Si \(\lambda\in\mathbf F\) y \(A\) es una matriz, entonces \(\lambda A\) se obtiene multiplicando cada entrada de \(A\) por \(\lambda\):
\[ (\lambda A)_{j,k}=\lambda A_{j,k}. \]
3.37 Ejemplo: suma y multiplicación por escalares
\[ 2\begin{pmatrix}3&1\\-1&5\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}4&2\\1&6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}10&4\\-1&16\end{pmatrix}. \]
3.38 Matriz de un múltiplo escalar de una aplicación lineal
Si \(\lambda\in\mathbf F\) y \(T\in\mathcal L(V,W)\), entonces
\[ \boxed{\mathcal M(\lambda T)=\lambda\mathcal M(T).} \]
La verificación también se deja al lector.
3.39 Notación: \(\mathbf F^{m,n}\)
Para enteros positivos \(m,n\), el conjunto de todas las matrices \(m\) por \(n\) con entradas en \(\mathbf F\) se denota por
\[ \mathbf F^{m,n}. \]
3.40 \(\dim\mathbf F^{m,n}=mn\)
Con la suma y multiplicación por escalares anteriores, \(\mathbf F^{m,n}\) es un espacio vectorial de dimensión
\[ \boxed{mn}. \]
Demostración. Los axiomas de espacio vectorial se verifican entrada a entrada. La matriz cero es la identidad aditiva. Las \(mn\) matrices que tienen un \(1\) en una sola posición y \(0\) en todas las demás forman una base; por tanto la dimensión es \(mn\). \(\square\)
Multiplicación de matrices
Sean \(v_1,\ldots,v_n\) una base de \(V\), \(w_1,\ldots,w_m\) una base de \(W\) y \(u_1,\ldots,u_p\) una base de \(U\). Para
\[ T:U\to V,\qquad S:V\to W, \]
queremos una multiplicación de matrices que haga cierta la identidad
\[ \mathcal M(ST)=\mathcal M(S)\mathcal M(T). \]
Si \(\mathcal M(S)=A\) y \(\mathcal M(T)=B\), entonces
\[ (ST)u_k = \sum_{j=1}^m\left(\sum_{r=1}^n A_{j,r}B_{r,k}\right)w_j. \]
Esto motiva la definición siguiente.
3.41 Definición: multiplicación de matrices
Si \(A\) es una matriz \(m\) por \(n\) y \(B\) es una matriz \(n\) por \(p\), entonces \(AB\) es la matriz \(m\) por \(p\) definida por
\[ \boxed{(AB)_{j,k}=\sum_{r=1}^n A_{j,r}B_{r,k}.} \]
Por tanto, la entrada \((j,k)\) de \(AB\) se obtiene multiplicando las entradas correspondientes de la fila \(j\) de \(A\) y la columna \(k\) de \(B\), y sumando los productos.
El producto sólo está definido cuando el número de columnas de la primera matriz coincide con el número de filas de la segunda.
3.42 Ejemplo: multiplicación de matrices
\[ \begin{pmatrix} 1&2\\3&4\\5&6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6&5&4&3\\2&1&0&-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10&7&4&1\\26&19&12&5\\42&31&20&9 \end{pmatrix}. \]
La multiplicación de matrices no es conmutativa en general, aunque ambos productos estén definidos. Sí es distributiva y asociativa; véanse los ejercicios 10–12.
3.43 Matriz del producto de aplicaciones lineales
Con bases compatibles como las fijadas arriba, si
\[ T\in\mathcal L(U,V),\qquad S\in\mathcal L(V,W), \]
entonces
\[ \boxed{\mathcal M(ST)=\mathcal M(S)\mathcal M(T).} \]
La demostración es precisamente el cálculo que motivó la definición 3.41.
3.44 Notación: \(A_{j,\boldsymbol\cdot}\) y \(A_{\boldsymbol\cdot,k}\)
Si \(A\) es una matriz \(m\) por \(n\):
- \(A_{j,\boldsymbol\cdot}\) denota la matriz \(1\) por \(n\) formada por la fila \(j\) de \(A\);
- \(A_{\boldsymbol\cdot,k}\) denota la matriz \(m\) por \(1\) formada por la columna \(k\) de \(A\).
3.45 Ejemplo: notación para filas y columnas
Si
\[ A=\begin{pmatrix}8&4&5\\1&9&7\end{pmatrix}, \]
entonces
\[ A_{2,\boldsymbol\cdot}=\begin{pmatrix}1&9&7\end{pmatrix}, \qquad A_{\boldsymbol\cdot,2}=\begin{pmatrix}4\\9\end{pmatrix}. \]
Identificaremos habitualmente una matriz \(1\) por \(1\) con su única entrada. Por ejemplo,
\[ \begin{pmatrix}3&4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}=26. \]
3.46 La entrada de un producto es fila por columna
Si \(A\) es \(m\) por \(n\) y \(B\) es \(n\) por \(p\), entonces
\[ \boxed{(AB)_{j,k}=A_{j,\boldsymbol\cdot}B_{\boldsymbol\cdot,k}.} \]
Demostración. Ambos lados son
\[ A_{j,1}B_{1,k}+\cdots+A_{j,n}B_{n,k}. \]
\(\square\)
3.47
\[ (AB)_{j,k}=A_{j,1}B_{1,k}+\cdots+A_{j,n}B_{n,k}. \]
3.48 Una columna del producto es la matriz por la columna
Si \(A\) es \(m\) por \(n\) y \(B\) es \(n\) por \(p\), entonces para \(1\le k\le p\),
\[ \boxed{(AB)_{\boldsymbol\cdot,k}=AB_{\boldsymbol\cdot,k}.} \]
Esto se obtiene comparando, fila por fila, las entradas dadas por 3.47.
3.49 Ejemplo: producto de una matriz \(3\) por \(2\) y una columna
\[ \begin{pmatrix} 1&2\\3&4\\5&6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7\\19\\31\end{pmatrix} =5\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}2\\4\\6\end{pmatrix}. \]
El producto es una combinación lineal de las columnas de la primera matriz, con coeficientes tomados de la columna multiplicadora.
3.50 Combinación lineal de columnas
Si \(A\) es \(m\) por \(n\) y
\[ b=\begin{pmatrix}b_1\\\vdots\\b_n\end{pmatrix}, \]
entonces
\[ \boxed{Ab=b_1A_{\boldsymbol\cdot,1}+\cdots+b_nA_{\boldsymbol\cdot,n}.} \]
Demostración. En cada fila \(k\), ambos lados tienen la entrada
\[ A_{k,1}b_1+\cdots+A_{k,n}b_n. \]
\(\square\)
Los ejercicios 8 y 9 dan los resultados análogos para filas.
3.51 Multiplicación matricial como combinaciones lineales de columnas o filas
Supongamos que \(C\) es \(m\) por \(c\) y \(R\) es \(c\) por \(n\).
(a) La columna \(k\) de \(CR\) es una combinación lineal de las columnas de \(C\), con coeficientes dados por la columna \(k\) de \(R\).
(b) La fila \(j\) de \(CR\) es una combinación lineal de las filas de \(R\), con coeficientes dados por la fila \(j\) de \(C\).
Demostración. La parte \(a\) se sigue de 3.48 y 3.50. La parte \(b\) se obtiene del argumento análogo para filas, usando los ejercicios 8 y 9. \(\square\)
Factorización columna–fila y rango de una matriz
3.52 Definición: rango columna, rango fila
Sea \(A\) una matriz \(m\) por \(n\) con entradas en \(\mathbf F\).
- El rango columna de \(A\) es la dimensión del subespacio generado por las columnas de \(A\) en \(\mathbf F^{m,1}\).
- El rango fila de \(A\) es la dimensión del subespacio generado por las filas de \(A\) en \(\mathbf F^{1,n}\).
Ambos son a lo sumo \(\min\{m,n\}\).
3.53 Ejemplo: rango columna y rango fila de una matriz \(2\) por \(4\)
Sea
\[ A=\begin{pmatrix}4&7&1&8\\3&5&2&9\end{pmatrix}. \]
Las dos primeras columnas no son múltiplos escalares una de otra, de modo que el subespacio generado por las columnas tiene dimensión \(2\). Como \(\mathbf F^{2,1}\) tiene dimensión \(2\), el rango columna es \(2\).
Las dos filas tampoco son múltiplos escalares una de otra; por tanto generan un subespacio bidimensional de \(\mathbf F^{1,4}\) y el rango fila también es \(2\).
3.54 Definición: transpuesta, \(A^t\)
La transpuesta de una matriz \(A\), denotada por \(A^t\), se obtiene intercambiando filas y columnas. Si \(A\) es \(m\) por \(n\), entonces \(A^t\) es \(n\) por \(m\) y
\[ \boxed{(A^t)_{k,j}=A_{j,k}.} \]
3.55 Ejemplo: transpuesta
Si
\[ A=\begin{pmatrix}5&-7\\3&8\\-4&2\end{pmatrix}, \]
entonces
\[ A^t=\begin{pmatrix}5&3&-4\\-7&8&2\end{pmatrix}. \]
La transpuesta satisface
\[ (A+B)^t=A^t+B^t, \qquad (\lambda A)^t=\lambda A^t, \qquad (AC)^t=C^tA^t; \]
véanse los ejercicios 14 y 15.
3.56 Factorización columna–fila
Sea \(A\) una matriz \(m\) por \(n\) con rango columna \(c\ge1\). Entonces existen una matriz \(C\) de tamaño \(m\) por \(c\) y una matriz \(R\) de tamaño \(c\) por \(n\) tales que
\[ \boxed{A=CR.} \]
Demostración. Las columnas de \(A\) pueden reducirse, por 2.30, a una base del subespacio que generan. Esta base tiene \(c\) elementos. Colocamos esas \(c\) columnas en una matriz \(C\).
Cada columna de \(A\) es una combinación lineal de las columnas de \(C\). Para cada \(k\), colocamos en la columna \(k\) de \(R\) los coeficientes de la combinación lineal que produce la columna \(k\) de \(A\). Por 3.51(a), el producto \(CR\) tiene exactamente las mismas columnas que \(A\). Por tanto \(A=CR\). \(\square\)
3.57 El rango columna es igual al rango fila
Si
\[ A\in\mathbf F^{m,n}, \]
entonces el rango columna de \(A\) es igual al rango fila de \(A\).
Demostración. Sea \(c\) el rango columna de \(A\).
Si \(c=0\), entonces todas las columnas son cero, por lo que \(A=0\) y su rango fila también es \(0\).
Supongamos ahora \(c\ge1\). Por 3.56 existe una factorización
\[ A=CR, \]
con \(C\) de tamaño \(m\) por \(c\) y \(R\) de tamaño \(c\) por \(n\). Por 3.51(b), cada fila de \(A\) es una combinación lineal de las \(c\) filas de \(R\). Así,
\[ \operatorname{rango\ fila}(A)\le c =\operatorname{rango\ columna}(A). \]
Aplicando esta desigualdad a \(A^t\) obtenemos
\[ \operatorname{rango\ columna}(A) =\operatorname{rango\ fila}(A^t) \le\operatorname{rango\ columna}(A^t) =\operatorname{rango\ fila}(A). \]
Por tanto ambos rangos son iguales. \(\square\)
[NOTA editorial] El tratamiento explícito del caso \(c=0\) aparece en el PDF canónico de 16-08-2026. La copia de referencia del 25-03-2024 pasa directamente a la factorización 3.56, cuya hipótesis exige \(c\ge1\). No se presenta aquí como errata publicada, sino como una mejora textual incorporada por Axler en la versión canónica posterior.
3.58 Definición: rango
Como el rango columna y el rango fila coinciden, llamamos simplemente rango de una matriz \(A\in\mathbf F^{m,n}\) a su rango columna.
Ejercicios 3C
Supón que \(T\in\mathcal L(V,W)\). Demuestra que, para cualquier elección de bases de \(V\) y \(W\), la matriz de \(T\) tiene al menos \(\dim\operatorname{range}T\) entradas no nulas.
Supón que \(V\) y \(W\) son de dimensión finita y no nulos, y que \(T\in\mathcal L(V,W)\). Demuestra que \(\dim\operatorname{range}T=1\) si y sólo si existen bases de \(V\) y \(W\) para las cuales todas las entradas de \(\mathcal M(T)\) son iguales a \(1\).
Sean \(v_1,\ldots,v_n\) una base de \(V\) y \(w_1,\ldots,w_m\) una base de \(W\).
- \(a\) Si \(S,T\in\mathcal L(V,W)\), demuestra que \(\mathcal M(S+T)=\mathcal M(S)+\mathcal M(T)\).
- \(b\) Si \(\lambda\in\mathbf F\) y \(T\in\mathcal L(V,W)\), demuestra que \(\mathcal M(\lambda T)=\lambda\mathcal M(T)\).
Sea \(D\in\mathcal L(\mathcal P_3(\mathbf R),\mathcal P_2(\mathbf R))\) la derivación \(Dp=p'\). Encuentra bases del dominio y del codominio para las cuales \[ \mathcal M(D)= \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0 \end{pmatrix}. \]
Supón que \(V,W\) son de dimensión finita y \(T\in\mathcal L(V,W)\). Demuestra que existen bases de \(V\) y \(W\) para las cuales todas las entradas de \(\mathcal M(T)\) son \(0\), salvo las entradas \((k,k)\), que son \(1\) para \(1\le k\le\dim\operatorname{range}T\).
Supón que \(v_1,\ldots,v_m\) es una base fijada de \(V\), que \(W\) es de dimensión finita y que \(T\in\mathcal L(V,W)\). Demuestra que existe una base \(w_1,\ldots,w_n\) de \(W\) para la cual la primera columna de \(\mathcal M(T)\) es cero salvo, posiblemente, un \(1\) en la posición \((1,1)\).
Supón que \(w_1,\ldots,w_n\) es una base fijada de \(W\), que \(V\) es de dimensión finita y que \(T\in\mathcal L(V,W)\). Demuestra que existe una base \(v_1,\ldots,v_m\) de \(V\) para la cual la primera fila de \(\mathcal M(T)\) es cero salvo, posiblemente, un \(1\) en la posición \((1,1)\).
Si \(A\) es \(m\) por \(n\) y \(B\) es \(n\) por \(p\), demuestra que \[ (AB)_{j,\boldsymbol\cdot}=A_{j,\boldsymbol\cdot}B \] para \(1\le j\le m\).
Si \(a=(a_1\ \cdots\ a_n)\) es una matriz \(1\) por \(n\) y \(B\) es \(n\) por \(p\), demuestra que \[ aB=a_1B_{1,\boldsymbol\cdot}+\cdots+a_nB_{n,\boldsymbol\cdot}. \]
Da un ejemplo de matrices \(2\) por \(2\) \(A,B\) tales que \(AB\ne BA\).
Demuestra las propiedades distributivas de la multiplicación de matrices: \[ A(B+C)=AB+AC, \qquad (D+E)F=DF+EF, \] siempre que los tamaños hagan que las expresiones estén definidas.
Demuestra que la multiplicación de matrices es asociativa: \[ (AB)C=A(BC). \]
Sea \(A\) una matriz \(n\) por \(n\). Demuestra que la entrada \((j,k)\) de \(A^3\) es \[ \sum_{p=1}^n\sum_{r=1}^n A_{j,p}A_{p,r}A_{r,k}. \]
Demuestra que la función \[ A\longmapsto A^t \] es una aplicación lineal de \(\mathbf F^{m,n}\) en \(\mathbf F^{n,m}\).
Si \(A\) es \(m\) por \(n\) y \(C\) es \(n\) por \(p\), demuestra que \[ (AC)^t=C^tA^t. \]
Sea \(A\) una matriz \(m\) por \(n\), \(A\ne0\). Demuestra que \(\operatorname{rank}A=1\) si y sólo si existen \((c_1,\ldots,c_m)\in\mathbf F^m\) y \((d_1,\ldots,d_n)\in\mathbf F^n\) tales que \[ A_{j,k}=c_jd_k \] para todo \(j,k\).
Supón que \(T\in\mathcal L(V)\) y que \(u_1,\ldots,u_n\) y \(v_1,\ldots,v_n\) son bases de \(V\). Demuestra que son equivalentes:
- \(a\) \(T\) es inyectiva;
- \(b\) las columnas de \(\mathcal M(T)\) son linealmente independientes en \(\mathbf F^{n,1}\);
- \(c\) las columnas de \(\mathcal M(T)\) generan \(\mathbf F^{n,1}\);
- \(d\) las filas de \(\mathcal M(T)\) generan \(\mathbf F^{1,n}\);
- \(e\) las filas de \(\mathcal M(T)\) son linealmente independientes en \(\mathbf F^{1,n}\).
Aquí \[ \mathcal M(T)=\mathcal M\bigl(T,(u_1,\ldots,u_n),(v_1,\ldots,v_n)\bigr). \]
Atribución: Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4.ª edición. Traducción/adaptación no oficial realizada para Matemática Abierta bajo CC BY-NC 4.0. Fuente oficial: https://linear.axler.net/.
Procedencia y licencia de esta edición: traducción/adaptación no oficial de Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4.ª edición. La traducción y las contribuciones de esta edición se publican bajo CC BY-NC 4.0. Las soluciones señaladas como originales son de Matemática Abierta, no del autor. Índice de esta edición.