1.1 — Axiomas de cuerpo y estructura de orden
1 Los números reales: axiomas de cuerpo, orden y completitud
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1.1 Axiomas de cuerpo y estructura de orden
Partir de las operaciones conocidas: ¿qué estructura necesitamos?
Partamos de las operaciones que ya conocemos: sumar, multiplicar, restar y dividir por elementos no nulos. Los racionales poseen esas operaciones; los reales también. Queremos identificar las propiedades esenciales de esa estructura compartida y demostrar sus consecuencias antes de investigar qué propiedad adicional hace falta para resolver determinados problemas de existencia.
La cadena
\[ \mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb R \]
puede leerse como una sucesión de extensiones. Cada sistema incorpora al anterior y permite resolver problemas que antes no tenían solución. Pasar de \(\mathbb N\) a \(\mathbb Z\) permite restar sin abandonar el sistema; pasar de \(\mathbb Z\) a \(\mathbb Q\) permite dividir por enteros no nulos; pasar de \(\mathbb Q\) a \(\mathbb R\) deberá resolver un problema diferente, relacionado con ciertos puntos frontera.
Pero antes de identificar esa propiedad adicional necesitamos separar con cuidado dos capas que en el cálculo escolar suelen mezclarse:
- las reglas algebraicas, que permiten operar;
- las reglas de orden, que permiten comparar y trabajar con desigualdades.
Juntas forman la estructura de cuerpo ordenado.
En un desarrollo axiomático no intentamos construir aquí cada número real a partir de objetos más elementales. Elegimos ciertas propiedades básicas como punto de partida y deducimos de ellas el resto.
Esto no convierte a las matemáticas en una colección de reglas caprichosas. Las propiedades adoptadas condensan la estructura que queremos estudiar. Existen construcciones explícitas de \(\mathbb R\) —por ejemplo, a partir de cortes de Dedekind o de sucesiones de Cauchy de racionales— en las que estas propiedades pueden demostrarse. Nuestro objetivo en este libro es otro: utilizar la estructura real para desarrollar rigurosamente el cálculo sin convertir este capítulo en un libro de fundamentos.
La parte algebraica: qué significa ser un cuerpo
Pensemos primero únicamente en las operaciones \(+\) y \(\cdot\). Cuando reordenamos una suma, sacamos factor común, cancelamos un término o despejamos una incógnita, solemos hacerlo con tanta familiaridad que parece que todas esas reglas vinieran incluidas en el significado mismo de «número».
No es así.
Una de las habilidades que queremos adquirir en este capítulo consiste precisamente en separar tres niveles:
\[ \boxed{ \text{axioma} \longrightarrow \text{consecuencia demostrada} \longrightarrow \text{regla algebraica de uso cotidiano}. } \]
Esta distinción no pretende volver laborioso cada cálculo posterior. Al contrario: una vez que hayamos demostrado una regla a partir de los axiomas, podremos reutilizarla libremente. Pero habremos aprendido de dónde procede y qué hipótesis hacen posible su uso.
Dos operaciones antes que una lista de reglas
Sea \(F\) un conjunto no vacío. Por una operación binaria en \(F\) entenderemos aquí una regla que, dados dos elementos \(a,b\in F\), produce un único elemento de \(F\).
Así, decir que en \(F\) tenemos una suma y un producto significa que, para cada par \(a,b\in F\), existen resultados determinados
\[ a+b\in F, \qquad ab\in F. \]
Esta formulación contiene dos ideas que en álgebra elemental suelen permanecer implícitas:
- existencia y unicidad del resultado: para cada par de entradas hay un único resultado;
- clausura: ese resultado sigue perteneciendo a \(F\).
Por ejemplo, si \(F=\mathbb Z\), la suma y el producto son operaciones internas, pero la división no lo es: \(1/2\notin\mathbb Z\). La estructura que vamos a introducir se formula, por tanto, en términos de dos operaciones primitivas; la resta y la división aparecerán después como operaciones derivadas.
Definición 1.1 Cuerpo. Un cuerpo es un conjunto no vacío \(F\) provisto de dos operaciones binarias, suma y producto, y de dos elementos distinguidos \(0,1\in F\), con \(0\ne1\), tales que para todos \(a,b,c\in F\) se cumplen los axiomas siguientes.
Axiomas aditivos
- (C1) Asociatividad de la suma \[ a+(b+c)=(a+b)+c. \]
- (C2) Existencia de neutro aditivo \[ a+0=a. \]
- (C3) Existencia de inverso aditivo: para cada \(a\in F\) existe al menos un elemento de \(F\) que, provisionalmente, denotaremos por \(-a\), tal que \[ a+(-a)=0. \] Enseguida demostraremos que ese elemento es único; solo entonces la notación \(-a\) quedará inequívocamente determinada.
- (C4) Conmutatividad de la suma \[ a+b=b+a. \]
Axiomas multiplicativos
- (C5) Asociatividad del producto \[ a(bc)=(ab)c. \]
- (C6) Existencia de neutro multiplicativo \[ a1=a. \]
- (C7) Existencia de inverso multiplicativo: para cada \(a\ne0\) existe al menos un elemento de \(F\) que, provisionalmente, denotaremos por \(a^{-1}\), tal que \[ aa^{-1}=1. \] También aquí demostraremos enseguida la unicidad del elemento y justificaremos definitivamente la notación.
- (C8) Conmutatividad del producto \[ ab=ba. \]
Axioma que enlaza ambas operaciones
- (C9) Distributividad \[ a(b+c)=ab+ac. \]
En este libro asumiremos que \(\mathbb R\) posee esta estructura de cuerpo. Todavía no hemos añadido ningún axioma acerca del orden ni, mucho menos, acerca de la completitud.
Conviene advertir algo sobre la lista. Por ejemplo,
\[ 0a=0 \]
no aparece entre los axiomas. Tampoco aparecen
\[ -(-a)=a, \qquad (-a)(-b)=ab, \]
ni las reglas para cancelar términos, ni la regla del producto nulo, ni la multiplicación cruzada de fracciones.
Todas esas afirmaciones tendrán que salir de un conjunto mucho más pequeño de supuestos.
A lo largo de una demostración diremos a menudo cosas como «sustituyendo \(m=2k\)», «tomando \(c=-a\)» o «reemplazando \(0\) por \(a+c\)». Conviene distinguir dos operaciones lógicas diferentes que el lenguaje corriente suele llamar simplemente sustituir.
1. Sustituir iguales por iguales. Si sabemos que
\[ x=y, \]
entonces \(x\) e \(y\) designan el mismo objeto. Por ello podemos reemplazar uno por el otro dentro de cualquier expresión bien definida. Así, por ejemplo,
\[ x=y\quad\Longrightarrow\quad x+c=y+c \]
y
\[ x=y\quad\Longrightarrow\quad x^2=y^2. \]
Más generalmente, si \(E(t)\) es una expresión bien definida,
\[ x=y\quad\Longrightarrow\quad E(x)=E(y). \]
Y si \(P(t)\) es una afirmación acerca de \(t\), sustituir \(x\) por \(y\) no cambia su valor de verdad. Esta es la sustituibilidad de la igualdad: no constituye un nuevo axioma de cuerpo, sino una regla del lenguaje lógico con igualdad en el que formulamos los axiomas. Como la igualdad es simétrica, podemos usarla en cualquiera de los dos sentidos. Por eso, si \(m=2k\) y sabemos que \(m^2=2n^2\), podemos escribir
\[ (2k)^2=2n^2. \]
2. Particularizar una afirmación universal. Si una propiedad ha sido establecida para todo elemento de un dominio, podemos aplicarla a cualquier elemento admisible de ese dominio. Por ejemplo, la distributividad afirma que, para cualesquiera \(a,b,c\in F\),
\[ a(b+c)=ab+ac. \]
Podemos particularizar esta identidad tomando \(c=-b\):
\[ a\bigl(b+(-b)\bigr)=ab+a(-b). \]
Aquí no hemos reemplazado dos objetos porque sean iguales: hemos escogido un caso particular de una afirmación universal.
Estas dos reglas explican buena parte de las «sustituciones» que aparecerán en las pruebas. Pero no autorizan reemplazos arbitrarios: debe existir una igualdad previa o una afirmación universal que justifique el paso, y deben respetarse todas las hipótesis bajo las cuales la expresión está definida. Por ejemplo, una identidad demostrada solo para \(a\ne0\) no puede particularizarse tomando \(a=0\).
En una prueba especialmente delicada conviene hacerse esta pregunta de control: ¿estoy sustituyendo iguales por iguales o particularizando una afirmación universal?
Lo mismo vale para encadenar igualdades por transitividad: también es una regla lógica previa a los axiomas particulares del cuerpo.
Existencia no significa todavía unicidad
Los axiomas (C2), (C3), (C6) y (C7) afirman que existen ciertos elementos. La existencia de esos elementos está postulada; su unicidad es una afirmación adicional que debemos demostrar.
¿Podría haber dos ceros distintos que se comportaran ambos como neutro aditivo? ¿Podría un mismo número tener dos inversos aditivos distintos? Los axiomas no necesitan prohibirlo por separado: la unicidad se puede demostrar.
Proposición 1.1 Unicidad de neutros e inversos. En todo cuerpo \(F\) se cumplen las afirmaciones siguientes.
- El neutro aditivo es único.
- El neutro multiplicativo es único.
- Para cada \(a\in F\), el inverso aditivo de \(a\) es único.
- Para cada \(a\in F\) con \(a\ne0\), el inverso multiplicativo de \(a\) es único.
Para demostrar unicidad no necesitamos «fabricar» un nuevo objeto. Seguimos el patrón general de una demostración de unicidad:
- suponemos que hay dos candidatos;
- utilizamos las propiedades que ambos deben satisfacer;
- demostramos que necesariamente coinciden.
Es la misma arquitectura de existencia y unicidad aplicada ahora a los objetos internos de una estructura algebraica.
Demostración.
Supongamos que \(0\) y \(\widetilde 0\) son dos neutros aditivos. Como \(\widetilde 0\) es neutro,
\[ 0+\widetilde 0=0. \]
Por conmutatividad,
\[ 0+\widetilde 0=\widetilde 0+0, \]
y, como \(0\) también es neutro,
\[ \widetilde 0+0=\widetilde 0. \]
Por transitividad,
\[ 0=\widetilde 0. \]
Así, el neutro aditivo es único.
La prueba para el neutro multiplicativo es idéntica en estructura. Si \(1\) y \(\widetilde 1\) son dos neutros multiplicativos, entonces
\[ 1\widetilde 1=1 \]
porque \(\widetilde 1\) es neutro, mientras que
\[ 1\widetilde 1=\widetilde 1 1=\widetilde 1 \]
por conmutatividad y porque \(1\) es neutro. Por tanto,
\[ 1=\widetilde 1. \]
Consideremos ahora los inversos aditivos. Sea \(a\in F\) y supongamos que \(b\) y \(c\) satisfacen
\[ a+b=0, \qquad a+c=0. \]
Queremos demostrar \(b=c\). Utilizando únicamente los axiomas ya disponibles,
\[ \begin{aligned} b &=b+0\\ &=b+(a+c)\\ &=(b+a)+c\\ &=(a+b)+c\\ &=0+c\\ &=c. \end{aligned} \]
Luego el inverso aditivo de \(a\) es único.
Por último, sea \(a\ne0\) y supongamos que \(b\) y \(c\) son dos inversos multiplicativos de \(a\):
\[ ab=1, \qquad ac=1. \]
Entonces
\[ \begin{aligned} b &=b1\\ &=b(ac)\\ &=(ba)c\\ &=(ab)c\\ &=1c\\ &=c. \end{aligned} \]
Por tanto, el inverso multiplicativo también es único. \(\blacksquare\)
Ahora la notación
\[ -a \qquad\text{y}\qquad a^{-1} \]
está mejor justificada.
Los axiomas garantizan existencia y la proposición garantiza unicidad. Por eso tiene sentido hablar de el inverso aditivo de \(a\) y, cuando \(a\ne0\), de el inverso multiplicativo de \(a\).
Una regla escolar como prueba auditada
Antes de acumular consecuencias, detengámonos en una sola y examinemos cada autorización lógica. Queremos probar
\[ a0=0. \]
La afirmación resulta tan familiar que es fácil olvidar que no figura entre (C1)–(C9).
Ejemplo 1.1 Demostrar desde los axiomas que \(a0=0\). Sea \(a\in F\). Entonces
\[ a0=0. \]
Demostración. Como \(0\) es neutro aditivo,
\[ 0+0=0. \]
Multiplicando ambos miembros por \(a\),
\[ a(0+0)=a0. \]
Por distributividad,
\[ a0+a0=a0. \]
Ahora sumamos el inverso aditivo de \(a0\) en ambos miembros:
\[ (a0+a0)+(-a0)=a0+(-a0). \]
Usando asociatividad e inverso aditivo,
\[ a0+\bigl(a0+(-a0)\bigr)=0, \]
de modo que
\[ a0+0=0. \]
Finalmente, por el neutro aditivo,
\[ a0=0. \]
\(\blacksquare\)
Podemos auditar la prueba en una tabla.
| Paso | Qué lo autoriza |
|---|---|
| \(0+0=0\) | (C2), con \(a=0\) |
| \(a(0+0)=a0\) | sustitución en una igualdad |
| \(a0+a0=a0\) | (C9), distributividad |
| sumar \(-a0\) | (C3) y sustitución |
| reagrupar | (C1) |
| \(a0+(-a0)=0\) | (C3) |
| \(a0+0=a0\) | (C2) |
La demostración ilustra una regla general de lectura: una cadena de símbolos puede ser correcta y, sin embargo, no explicar por sí sola por qué cada paso es legal.
De los axiomas a las reglas de signos y de inversos
Una vez demostrada la unicidad, muchas identidades se obtienen mostrando que cierto candidato satisface la propiedad que caracteriza a un inverso.
Proposición 1.2 Consecuencias algebraicas elementales. En todo cuerpo \(F\), para cualesquiera \(a,b\in F\), se cumplen:
- \[ -0=0; \]
- \[ -(-a)=a; \]
- \[ -(a+b)=(-a)+(-b); \]
- \[ (-a)b=-(ab), \qquad a(-b)=-(ab), \] y por tanto \[ (-a)(-b)=ab. \]
Además, si \(a\ne0\), entonces
\[ a^{-1}\ne0, \qquad (a^{-1})^{-1}=a. \]
Si \(a\ne0\) y \(b\ne0\), entonces
\[ ab\ne0 \]
y
\[ (ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}. \]
Demostración.
Como
\[ 0+0=0, \]
el propio \(0\) es un inverso aditivo de \(0\). Por la unicidad demostrada en Proposición 1.1,
\[ -0=0. \]
Para la segunda afirmación, observemos que
\[ (-a)+a=a+(-a)=0. \]
Así, \(a\) es un inverso aditivo de \(-a\). Por unicidad,
\[ -(-a)=a. \]
Para encontrar el inverso de una suma, comprobamos —reagrupando y permutando términos mediante asociatividad y conmutatividad— que
\[ \begin{aligned} (a+b)+\bigl((-a)+(-b)\bigr) &=\bigl(a+(-a)\bigr)+\bigl(b+(-b)\bigr)\\ &=0+0\\ &=0. \end{aligned} \]
La escritura intermedia es una abreviación de aplicaciones de asociatividad y conmutatividad. Por unicidad del inverso aditivo,
\[ -(a+b)=(-a)+(-b). \]
Pasemos a las reglas de signos. Por conmutatividad, distributividad y Ejemplo 1.1,
\[ \begin{aligned} ab+(-a)b &=ba+b(-a)\\ &=b\bigl(a+(-a)\bigr)\\ &=b0\\ &=0. \end{aligned} \]
Por tanto, \((-a)b\) es un inverso aditivo de \(ab\), y la unicidad da
\[ (-a)b=-(ab). \]
De manera análoga,
\[ a(-b)=-(ab). \]
Aplicando estas identidades dos veces y usando \(-(-x)=x\),
\[ \begin{aligned} (-a)(-b) &=-\bigl(a(-b)\bigr)\\ &=-\bigl(-(ab)\bigr)\\ &=ab. \end{aligned} \]
Supongamos ahora \(a\ne0\). Su inverso satisface
\[ aa^{-1}=1. \]
No puede ocurrir que \(a^{-1}=0\), porque entonces Ejemplo 1.1 daría
\[ aa^{-1}=a0=0, \]
en contradicción con \(aa^{-1}=1\) y \(0\ne1\). Luego
\[ a^{-1}\ne0. \]
Además,
\[ a^{-1}a=aa^{-1}=1. \]
Así, \(a\) es un inverso multiplicativo de \(a^{-1}\). Por unicidad,
\[ (a^{-1})^{-1}=a. \]
Finalmente, sean \(a,b\ne0\). Consideremos
\[ c=a^{-1}b^{-1}. \]
Por asociatividad y conmutatividad,
\[ \begin{aligned} (ab)c &=(ab)(a^{-1}b^{-1})\\ &=(aa^{-1})(bb^{-1})\\ &=1. \end{aligned} \]
En particular, \(ab\) no puede ser \(0\): si lo fuera, el miembro izquierdo sería \[ 0c=c0=0, \] por conmutatividad y Ejemplo 1.1, contradiciendo \(1\ne0\). Por tanto, \(ab\ne0\) y posee inverso multiplicativo. Como \(c\) es un inverso de \(ab\), la unicidad implica
\[ (ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}. \]
\(\blacksquare\)
Varias partes de la prueba tienen la misma arquitectura:
para demostrar que dos expresiones son iguales, mostramos que ambas desempeñan el mismo papel caracterizado de manera única.
Así demostramos, por ejemplo, que
\[ (-a)b=-(ab): \]
en lugar de manipular directamente el signo menos, probamos que \((-a)b\) es el inverso aditivo de \(ab\).
Esta forma de razonar será mucho más útil que memorizar una lista independiente de reglas de signos.
Cancelar no significa borrar símbolos
En álgebra escolar se habla de «cancelar» como si ciertos símbolos simplemente desaparecieran. En una demostración conviene saber qué teorema hay detrás.
Proposición 1.3 Leyes de cancelación y producto nulo. Sean \(a,b,c\in F\).
- Se tiene \[ a+b=a+c \iff b=c. \]
- Si \(a\ne0\), entonces \[ ab=ac \iff b=c. \]
- Se tiene \[ ab=0 \iff a=0\ \text{o}\ b=0. \]
Demostración.
Para la cancelación aditiva, supongamos primero
\[ a+b=a+c. \]
Sumando \(-a\) a ambos miembros y reagrupando,
\[ (-a)+(a+b)=(-a)+(a+c), \]
de donde
\[ b=c. \]
La implicación recíproca es inmediata por sustitución: si \(b=c\), entonces \(a+b=a+c\).
Para la cancelación multiplicativa, supongamos \(a\ne0\) y
\[ ab=ac. \]
Multiplicando ambos miembros por \(a^{-1}\),
\[ a^{-1}(ab)=a^{-1}(ac). \]
Por asociatividad,
\[ (a^{-1}a)b=(a^{-1}a)c, \]
y por tanto
\[ b=c. \]
Nuevamente, la recíproca sigue de sustituir iguales por iguales.
Consideremos ahora el producto nulo. Si \(b=0\), Ejemplo 1.1 da directamente \(ab=a0=0\). Si \(a=0\), usamos además conmutatividad: \[ ab=0b=b0=0. \] Así, en cualquiera de los dos casos, \[ ab=0. \]
Para la otra dirección, supongamos
\[ ab=0. \]
Hay dos casos.
Si \(a=0\), ya tenemos una de las alternativas deseadas.
Si \(a\ne0\), existe \(a^{-1}\) y podemos multiplicar la igualdad por él:
\[ a^{-1}(ab)=a^{-1}0. \]
Entonces
\[ (a^{-1}a)b=0, \]
de modo que
\[ b=0. \]
En cualquiera de los casos,
\[ a=0\ \text{o}\ b=0. \]
\(\blacksquare\)
De
\[ ab=ac \]
no podemos concluir siempre \(b=c\).
Si \(a=0\), entonces
\[ 0b=0c \]
para todos \(b,c\in F\), aunque \(b\ne c\).
Por eso la cancelación multiplicativa exige \(a\ne0\). Esa hipótesis es exactamente la que permite invocar \(a^{-1}\).
La tercera parte de Proposición 1.3 dice que un cuerpo no tiene divisores de cero no triviales. Más adelante, en álgebra abstracta, esta propiedad aparecerá en contextos más generales. Aquí nos interesa sobre todo porque justifica el método de resolver ecuaciones factorizadas:
\[ (x-r)(x-s)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=r\ \text{o}\ x=s. \]
No es una regla independiente sobre polinomios. Es una consecuencia de la estructura de cuerpo.
Despejar una incógnita es un teorema de existencia y unicidad
Ahora podemos formular rigurosamente dos operaciones que hacemos constantemente.
Teorema 1.1 Ecuaciones elementales en un cuerpo. Sean \(a,b\in F\).
- La ecuación \[ a+x=b \] tiene una única solución, dada por \[ x=b+(-a). \]
- Si \(a\ne0\), la ecuación \[ ax=b \] tiene una única solución, dada por \[ x=a^{-1}b. \]
Cada parte exige distinguir dos trabajos matemáticos:
- existencia: exhibir un candidato y comprobar que satisface la ecuación;
- unicidad: demostrar que cualquier otra solución debe coincidir con ese candidato.
La fórmula obtenida al «despejar» no sustituye esos dos trabajos: es su conclusión.
Demostración.
Para la primera ecuación proponemos
\[ x=b+(-a). \]
Entonces
\[ \begin{aligned} a+x &=a+\bigl(b+(-a)\bigr)\\ &=(a+(-a))+b\\ &=0+b\\ &=b, \end{aligned} \]
donde hemos usado asociatividad y conmutatividad para reagrupar. Así, la solución existe.
Supongamos ahora que \(y\) es cualquier otra solución. Entonces
\[ a+y=b=a+x. \]
Por cancelación aditiva,
\[ y=x. \]
La solución es única.
Para la segunda ecuación supongamos \(a\ne0\) y propongamos
\[ x=a^{-1}b. \]
Entonces
\[ \begin{aligned} ax &=a(a^{-1}b)\\ &=(aa^{-1})b\\ &=1b\\ &=b. \end{aligned} \]
Por tanto, existe una solución.
Si \(y\) es otra solución, entonces
\[ ay=b=ax. \]
Como \(a\ne0\), la cancelación multiplicativa de Proposición 1.3 da
\[ y=x. \]
Así, la solución también es única. \(\blacksquare\)
Cuando resolvemos
\[ a+x=b \]
«restando \(a\)», en realidad estamos sumando el inverso aditivo \(-a\) a ambos miembros y usando asociatividad, neutro e inverso.
Cuando resolvemos
\[ ax=b, \qquad a\ne0, \]
«dividiendo por \(a\)», en realidad estamos multiplicando por el inverso \(a^{-1}\).
Las reglas escolares son versiones comprimidas de argumentos estructurales.
Resta y división: operaciones derivadas
Ya podemos introducir las dos notaciones que hasta ahora parecían operaciones independientes.
Definición 1.2 Resta y división. Sean \(a,b\in F\).
La diferencia de \(a\) y \(b\) se define por
\[ a-b:=a+(-b). \]
Si \(b\ne0\), el cociente de \(a\) por \(b\) se define por
\[ \frac ab:=ab^{-1}. \]
La definición anterior también puede obtenerse a partir de la idea elemental de que restar \(b\) debe deshacer la suma de \(b\).
En vez de definir de entrada \(a-b\), caractericemos provisionalmente la diferencia como el único elemento \(x\in F\) que satisface
\[ b+x=a. \]
Sumamos \(-b\) a ambos miembros:
\[ (-b)+(b+x)=(-b)+a. \]
Por asociatividad,
\[ \bigl((-b)+b\bigr)+x=(-b)+a. \]
Como \((-b)+b=0\), obtenemos
\[ 0+x=(-b)+a, \]
y, por el neutro aditivo y la conmutatividad,
\[ x=(-b)+a=a+(-b). \]
Por tanto, la operación caracterizada como «deshacer la suma de \(b\)» coincide necesariamente con sumar su inverso aditivo:
\[ \boxed{a-b=a+(-b).} \]
En nuestro desarrollo esta igualdad es, desde ahora, definicional; el argumento muestra por qué esa definición captura exactamente la operación inversa de sumar \(b\).
El mismo razonamiento funciona multiplicativamente, con una diferencia esencial: debemos exigir \(b\ne0\) para que exista \(b^{-1}\).
En vez de definir de entrada \(a/b\), caractericemos provisionalmente el cociente como el único elemento \(x\in F\) que satisface
\[ bx=a. \]
Multiplicamos ambos miembros por \(b^{-1}\):
\[ b^{-1}(bx)=b^{-1}a. \]
Por asociatividad,
\[ (b^{-1}b)x=b^{-1}a. \]
Como \(b^{-1}b=1\), obtenemos
\[ 1x=b^{-1}a, \]
y, por el neutro multiplicativo y la conmutatividad,
\[ x=b^{-1}a=ab^{-1}. \]
Por tanto, la operación caracterizada como «deshacer la multiplicación por \(b\)» coincide necesariamente con multiplicar por su inverso:
\[ \boxed{\frac ab=ab^{-1}}, \qquad b\ne0. \]
Así como la resta no introduce una nueva operación primitiva, la división tampoco: ambas se construyen a partir de las operaciones del cuerpo y de sus respectivos inversos.
La resta, por tanto, no es una tercera operación primitiva: es suma con un inverso aditivo.
Del mismo modo, la división no es una cuarta operación primitiva: es multiplicación por un inverso multiplicativo.
Esta última definición explica inmediatamente una restricción que debe acompañarnos siempre:
\[ \boxed{\text{no se divide por }0.} \]
La razón no es una convención tipográfica. El número \(0\) no posee inverso multiplicativo. En efecto, si existiera \(c\) tal que
\[ 0c=1, \]
Ejemplo 1.1 daría \(0c=0\), y obtendríamos
\[ 0=1, \]
contradiciendo la definición de cuerpo.
De la definición de resta y Proposición 1.2 se obtienen, por ejemplo,
\[ a-(-b)=a+b \]
y
\[ a-b=0 \iff a=b. \]
La segunda equivalencia también puede leerse mediante Teorema 1.1: la ecuación
\[ a+(-b)=0 \]
determina de manera única la relación entre \(a\) y \(b\).
Las reglas de fracciones también se demuestran
La notación fraccionaria concentra varias aplicaciones de los axiomas. Conviene establecer una vez las reglas esenciales y dejar de tratarlas como recetas sin fundamento.
Proposición 1.4 Reglas básicas de cocientes. Sean \(a,b,c,d\in F\).
- Para todo \(a\), \[ \frac a1=a. \] Si \(a\ne0\), entonces \[ \frac1a=a^{-1}, \qquad \frac aa=1. \]
- Si \(b\ne0\) y \(d\ne0\), entonces \[ \frac ab=\frac cd \iff ad=bc. \]
- Si \(b\ne0\) y \(d\ne0\), entonces \[ \frac ab\frac cd = \frac{ac}{bd}. \]
- Si \(b\ne0\) y \(d\ne0\), entonces \[ \frac ab+\frac cd = \frac{ad+bc}{bd}, \] y \[ \frac ab-\frac cd = \frac{ad-bc}{bd}. \]
Demostración.
Como \(1\) es su propio inverso multiplicativo,
\[ 1^{-1}=1, \]
y por tanto
\[ \frac a1=a1^{-1}=a. \]
Si \(a\ne0\), las otras dos identidades iniciales son simplemente
\[ \frac1a=1a^{-1}=a^{-1} \]
y
\[ \frac aa=aa^{-1}=1. \]
Para la igualdad de fracciones, supongamos \(b,d\ne0\). Si
\[ \frac ab=\frac cd, \]
entonces, por definición de cociente,
\[ ab^{-1}=cd^{-1}. \]
Por sustitución de iguales por iguales podemos multiplicar ambos miembros por el mismo elemento \(bd\):
\[ (ab^{-1})(bd)=(cd^{-1})(bd). \]
Ahora reducimos cada miembro por separado. En el izquierdo,
\[ \begin{aligned} (ab^{-1})(bd) &=ab^{-1}bd\\ &=a(b^{-1}b)d\\ &=a1d\\ &=ad. \end{aligned} \]
En el derecho,
\[ \begin{aligned} (cd^{-1})(bd) &=cd^{-1}bd\\ &=cb(d^{-1}d)\\ &=cb\\ &=bc. \end{aligned} \]
Aquí hemos usado asociatividad y conmutatividad del producto, las identidades \(b^{-1}b=1\) y \(d^{-1}d=1\), y el neutro multiplicativo. Por tanto,
\[ ad=bc. \]
Recíprocamente, supongamos
\[ ad=bc. \]
Como \(b,d\ne0\), existen \(b^{-1}\) y \(d^{-1}\). De nuevo por sustitución de iguales por iguales, multiplicamos ambos miembros por \(b^{-1}d^{-1}\):
\[ (ad)(b^{-1}d^{-1})=(bc)(b^{-1}d^{-1}). \]
En el miembro izquierdo,
\[ \begin{aligned} (ad)(b^{-1}d^{-1}) &=adb^{-1}d^{-1}\\ &=ab^{-1}(dd^{-1})\\ &=ab^{-1}. \end{aligned} \]
En el derecho,
\[ \begin{aligned} (bc)(b^{-1}d^{-1}) &=bcb^{-1}d^{-1}\\ &=c(bb^{-1})d^{-1}\\ &=cd^{-1}. \end{aligned} \]
Así,
\[ ab^{-1}=cd^{-1}, \]
y, por definición de cociente,
\[ \frac ab=\frac cd. \]
Para el producto usamos Proposición 1.2:
\[ \begin{aligned} \frac ab\frac cd &=(ab^{-1})(cd^{-1})\\ &=ac(b^{-1}d^{-1})\\ &=ac(bd)^{-1}\\ &=\frac{ac}{bd}. \end{aligned} \]
Finalmente,
\[ \frac{ad}{bd} = ad(bd)^{-1} = ad\,b^{-1}d^{-1} = ab^{-1} = \frac ab, \]
y análogamente
\[ \frac{bc}{bd} = \frac cd. \]
Por distributividad,
\[ \frac ab+\frac cd = \frac{ad}{bd}+\frac{bc}{bd} = (ad+bc)(bd)^{-1} = \frac{ad+bc}{bd}. \]
La fórmula para la resta se obtiene sustituyendo \(c\) por \(-c\) y usando las reglas de signos ya demostradas. \(\blacksquare\)
La equivalencia
\[ \frac ab=\frac cd \iff ad=bc \qquad (b,d\ne0) \]
no introduce una nueva operación llamada «multiplicar en cruz».
Es una abreviación de un argumento con inversos. Los denominadores no nulos son hipótesis matemáticas, no detalles de notación.
Auditar una manipulación algebraica completa
Podemos aplicar ahora todo el repertorio a una cadena que en un curso elemental escribiríamos casi automáticamente.
Ejemplo 1.2 De una cadena escolar a una prueba auditada. Sean \(a,b,c\in F\) con \(b\ne0\). Resolvamos
\[ \frac{x-a}{b}=c. \]
La cadena habitual es
\[ \frac{x-a}{b}=c \iff x-a=bc \iff x=a+bc. \]
El resultado es correcto, pero ahora podemos explicar cada flecha.
Primer paso. Por definición de cociente,
\[ \frac{x-a}{b} = (x-a)b^{-1}. \]
La hipótesis \(b\ne0\) ya es necesaria para que el cociente original esté definido y garantiza además la existencia de \(b^{-1}\). Multiplicar una igualdad por \(b\) es legal incluso sin esa hipótesis; la no nulidad será necesaria cuando reduzcamos \(b^{-1}b\) a \(1\).
Multiplicando ambos miembros por \(b\),
\[ \bigl((x-a)b^{-1}\bigr)b=cb. \]
Reducimos primero el miembro izquierdo:
\[ \begin{aligned} \bigl((x-a)b^{-1}\bigr)b &=(x-a)(b^{-1}b) && \text{(asociatividad)}\\ &=(x-a)1 && \text{(inverso multiplicativo)}\\ &=x-a && \text{(neutro multiplicativo)}. \end{aligned} \]
En el miembro derecho, por conmutatividad,
\[ cb=bc. \]
Por tanto,
\[ x-a=bc. \]
Además, esta flecha es reversible. Si partimos de \(x-a=bc\) y multiplicamos ambos miembros por \(b^{-1}\), obtenemos
\[ (x-a)b^{-1}=(bc)b^{-1}. \]
Por asociatividad y por \(bb^{-1}=1\),
\[ (bc)b^{-1} = c(bb^{-1}) = c, \]
de modo que recuperamos
\[ \frac{x-a}{b}=c. \]
Segundo paso. Por definición de resta,
\[ x-a=x+(-a), \]
así que la ecuación anterior es
\[ x+(-a)=bc. \]
Sumamos \(a\) a ambos miembros:
\[ \bigl(x+(-a)\bigr)+a=bc+a. \]
El miembro izquierdo se reduce paso a paso:
\[ \begin{aligned} \bigl(x+(-a)\bigr)+a &=x+\bigl((-a)+a\bigr) && \text{(asociatividad)}\\ &=x+0 && \text{(inverso aditivo)}\\ &=x && \text{(neutro aditivo)}. \end{aligned} \]
Por consiguiente,
\[ x=bc+a. \]
Finalmente, por conmutatividad de la suma,
\[ bc+a=a+bc, \]
y obtenemos
\[ \boxed{x=a+bc}. \]
También esta flecha es reversible: sumando \(-a\) a ambos miembros de \(x=a+bc\) recuperamos \(x-a=bc\). Por tanto, no solo hemos encontrado un candidato; hemos mostrado una cadena de equivalencias. En particular, Teorema 1.1 garantiza que la solución es única.
Podemos resumir la auditoría así:
| Movimiento escolar | Estructura que realmente utiliza |
|---|---|
| «multiplicar ambos miembros por \(b\)» | sustitución en una igualdad; por sí sola no exige \(b\ne0\) |
| «se cancela \(b\)» | \(b\ne0\), existencia de \(b^{-1}\), \(b^{-1}b=1\) y neutro multiplicativo |
| «pasar \(a\) sumando» | resta \(=\) suma con inverso; asociatividad, inverso y neutro aditivos |
| «la solución es la única» | reversibilidad de las equivalencias y Teorema 1.1 |
La última fila es importante. Encontrar un valor que satisface una ecuación prueba existencia; demostrar que ningún otro valor puede satisfacerla prueba unicidad.
El árbol algebraico que acabamos de construir
La cantidad de fórmulas obtenidas puede dar la impresión de que hemos reemplazado nueve axiomas por una lista todavía más larga. Esa no es la lectura correcta.
Lo que importa es la dependencia:
\[ \boxed{ \begin{aligned} &\text{axiomas de cuerpo}\\ &\qquad\downarrow\\ &\text{unicidad de neutros e inversos}\\ &\qquad\downarrow\\ &a0=0,\ \text{reglas de signos e inversos}\\ &\qquad\downarrow\\ &\text{cancelación y producto nulo}\\ &\qquad\downarrow\\ &\text{existencia y unicidad en ecuaciones}\\ &\qquad\downarrow\\ &\text{resta y división}\\ &\qquad\downarrow\\ &\text{reglas de fracciones}. \end{aligned} } \]
El árbol importa más que la lista de hojas.
A partir de ahora podremos usar estas consecuencias sin reconstruir cada vez toda su genealogía. Pero cuando una manipulación sea delicada —especialmente si aparece una división, una cancelación o una hipótesis de no nulidad— tendremos un criterio para auditarla.
Hay, además, una conclusión conceptual decisiva. Nada de lo demostrado hasta aquí utiliza orden. Todos estos resultados son afirmaciones acerca de cuerpos. Por eso siguen siendo válidos en otros cuerpos que no se comportan como la recta real.
Para desarrollar cálculo necesitamos ahora una segunda capa: el orden. Hasta aquí solo hemos utilizado las operaciones del cuerpo. Todavía no hemos explicado qué significa que un elemento esté a la derecha de otro, por qué sumar la misma cantidad conserva una desigualdad ni por qué multiplicar por un número negativo invierte su sentido.
Todas esas afirmaciones pertenecen a la estructura de orden.
En lugar de postular de una vez una larga lista de reglas para el símbolo \(<\), seguiremos una estrategia más económica: distinguiremos primero qué elementos llamaremos positivos y exigiremos tres propiedades básicas. A partir de ellas construiremos el orden y demostraremos sus reglas de manipulación.
Esta elección permite prolongar el mismo principio que guió la capa algebraica:
\[ \boxed{ \text{axiomas mínimos} \longrightarrow \text{consecuencias demostradas} \longrightarrow \text{reglas de uso cotidiano}. } \]
La parte de orden: empezar por la positividad
Sea \(F\) un cuerpo. Supongamos que se ha distinguido un subconjunto
\[ F_+\subseteq F, \]
cuyos elementos llamaremos positivos, y que satisface las propiedades siguientes.
- (O1) Clausura de los positivos bajo la suma. Si \(a,b\in F_+\), entonces \[ a+b\in F_+. \]
- (O2) Clausura de los positivos bajo el producto. Si \(a,b\in F_+\), entonces \[ ab\in F_+. \]
- (O3) Tricotomía respecto de cero. Para cada \(a\in F\) ocurre exactamente una de las tres posibilidades \[ a=0, \qquad a\in F_+, \qquad -a\in F_+. \]
Diremos entonces que
\[ a>0 \iff a\in F_+, \]
y
\[ a<0 \iff -a\in F_+. \]
Para comparar dos elementos cualesquiera definimos
\[ \boxed{ a<b \iff b-a>0. } \]
Equivalentemente,
\[ a>b \iff a-b>0. \]
Un cuerpo equipado con una elección de positivos que satisface (O1)–(O3), y con el orden definido de esta manera, se llama cuerpo ordenado.
En este libro asumiremos que \(\mathbb R\) posee esta estructura. Obsérvese que todavía no hemos introducido ninguna propiedad de completitud.
También es posible presentar un cuerpo ordenado tomando la relación \(<\) como dato primitivo y postulando directamente tricotomía, transitividad y compatibilidad con las operaciones.
Aquí preferimos comenzar por los positivos porque hace visible una dependencia más profunda: varias propiedades que en la escuela suelen aparecer como «reglas de las desigualdades» pueden demostrarse a partir de solo tres exigencias sobre \(F_+\).
De la tricotomía respecto de cero a la tricotomía entre dos números
La condición (O3) habla de un solo número y de su relación con \(0\). Sin embargo, basta aplicarla a la diferencia de dos números para comparar cualquier par.
Dados \(a,b\in F\), apliquemos (O3) a
\[ b-a. \]
Exactamente una de estas posibilidades ocurre:
\[ b-a=0, \qquad b-a>0, \qquad -(b-a)>0. \]
Hagamos explícita la primera equivalencia. Por definición de resta,
\[ b-a=0 \iff b+(-a)=0. \]
Si sumamos \(a\) a ambos miembros, obtenemos
\[ \bigl(b+(-a)\bigr)+a=0+a. \]
Ahora,
\[ \begin{aligned} \bigl(b+(-a)\bigr)+a &=b+\bigl((-a)+a\bigr) && \text{(asociatividad)}\\ &=b+0 && \text{(inverso aditivo)}\\ &=b && \text{(neutro aditivo)}, \end{aligned} \]
mientras que, por conmutatividad y neutro aditivo,
\[ 0+a=a+0=a. \]
Por tanto, \(b-a=0\) implica \(b=a\), es decir, \(a=b\). Recíprocamente, si \(a=b\), entonces por sustitución
\[ b-a=a-a=a+(-a)=0. \]
Así,
\[ b-a=0 \iff a=b. \]
La segunda posibilidad,
\[ b-a>0, \]
equivale por definición a
\[ a<b. \]
Para la tercera conviene justificar también la identidad que cambia el orden de la diferencia. Usando la regla ya demostrada para el inverso de una suma,
\[ \begin{aligned} -(b-a) &=-\bigl(b+(-a)\bigr)\\ &=(-b)+\bigl(-(-a)\bigr)\\ &=(-b)+a\\ &=a+(-b)\\ &=a-b. \end{aligned} \]
Por tanto,
\[ -(b-a)>0 \iff a-b>0 \iff b<a. \]
En consecuencia, para cualesquiera \(a,b\in F\), exactamente una de las afirmaciones
\[ \boxed{ a<b, \qquad a=b, \qquad b<a } \]
es verdadera.
Esta es la tricotomía del orden.
En particular, no puede ocurrir simultáneamente
\[ a<b \quad\text{y}\quad b<a. \]
Tampoco puede cumplirse \(a<a\), porque por definición exigiría
\[ a-a>0. \]
Pero
\[ a-a=a+(-a)=0, \]
y (O3), al afirmar que exactamente una de sus tres alternativas ocurre, excluye que \(0\) sea positivo.
La transitividad también se demuestra
Supongamos
\[ a<b \qquad\text{y}\qquad b<c. \]
Por definición,
\[ b-a>0 \qquad\text{y}\qquad c-b>0. \]
La clausura de los positivos bajo la suma da
\[ (b-a)+(c-b)>0. \]
Ahora hacemos explícita la reducción algebraica del miembro izquierdo:
\[ \begin{aligned} (b-a)+(c-b) &=\bigl(b+(-a)\bigr)+\bigl(c+(-b)\bigr)\\ &=\bigl((-a)+c\bigr)+\bigl(b+(-b)\bigr) && \text{(asociatividad y conmutatividad)}\\ &=\bigl((-a)+c\bigr)+0 && \text{(inverso aditivo)}\\ &=(-a)+c && \text{(neutro aditivo)}\\ &=c+(-a) && \text{(conmutatividad)}\\ &=c-a && \text{(definición de resta)}. \end{aligned} \]
Por sustitución de iguales por iguales, de
\[ (b-a)+(c-b)>0 \]
obtenemos entonces
\[ c-a>0. \]
Y, por definición del orden,
\[ \boxed{a<c.} \]
Así, la transitividad de \(<\) no ha sido añadida como un cuarto axioma independiente: sale de (O1), de las reglas algebraicas ya demostradas y de la manera en que definimos la comparación mediante diferencias.
Para comparar \(a\) y \(b\) estudiamos el signo de
\[ b-a. \]
Este patrón aparecerá constantemente en cálculo. Muchas preguntas acerca de dos cantidades se convierten en preguntas acerca del signo, el tamaño o el valor absoluto de su diferencia.
Del orden estricto al orden débil
Definiremos
\[ a\le b \]
como abreviatura de
\[ a<b \quad\text{o}\quad a=b. \]
Análogamente,
\[ a\ge b \iff b\le a. \]
Las palabras positivo, negativo, no negativo y no positivo son entonces comparaciones con \(0\):
\[ a>0, \qquad a<0, \qquad a\ge0, \qquad a\le0. \]
La relación \(\le\) hereda ahora las propiedades de un orden. Conviene verificarlas una vez.
Reflexividad. Para todo \(a\), sabemos que \(a=a\). Por la definición
\[ a\le a \iff a<a\quad\text{o}\quad a=a, \]
la segunda alternativa es verdadera. Por tanto,
\[ a\le a. \]
Antisimetría. Supongamos
\[ a\le b \qquad\text{y}\qquad b\le a. \]
Si \(a=b\), no hay nada que demostrar. Supongamos entonces \(a\ne b\). La definición de \(\le\) obliga en ese caso a que
\[ a<b \qquad\text{y}\qquad b<a, \]
pero la tricotomía demuestra que esas dos desigualdades no pueden ser simultáneamente verdaderas. Por tanto, la suposición \(a\ne b\) es imposible y necesariamente
\[ a=b. \]
Transitividad. Supongamos
\[ a\le b \qquad\text{y}\qquad b\le c. \]
Si \(a=b\), la segunda desigualdad da directamente \(a\le c\) por sustitución. Si \(b=c\), la primera da \(a\le c\). En el caso restante tenemos
\[ a<b \qquad\text{y}\qquad b<c, \]
y la transitividad del orden estricto ya demostrada produce
\[ a<c, \]
de donde, por definición, \(a\le c\).
Así, \(\le\) es reflexiva, antisimétrica y transitiva. Estas propiedades serán especialmente importantes en §1.3, cuando hablemos de cotas superiores e inferiores.
Las reglas de desigualdad son teoremas
Ya podemos obtener sistemáticamente las reglas que necesitaremos durante todo el libro.
Proposición 1.5 Leyes básicas de desigualdad en un cuerpo ordenado. Sean \(a,b,c,d\in\mathbb R\).
- Traslación del orden. Para todo \(c\), \[ a<b \iff a+c<b+c, \] y también \[ a\le b \iff a+c\le b+c. \]
- Suma de desigualdades. Si \(a<b\) y \(c<d\), entonces \[ a+c<b+d. \] La versión correspondiente con \(\le\) también es válida.
- Multiplicación por un no negativo. Si \(a\le b\) y \(c\ge0\), entonces \[ ac\le bc. \] Si además \(a<b\) y \(c>0\), entonces \[ ac<bc. \]
- Multiplicación por un no positivo. Si \(a\le b\) y \(c\le0\), entonces \[ ac\ge bc. \] Si además \(a<b\) y \(c<0\), entonces \[ ac>bc. \]
- Signo del inverso. Si \(a\ne0\), entonces \(a\) y \(a^{-1}\) tienen el mismo signo: \[ a>0\iff a^{-1}>0, \qquad a<0\iff a^{-1}<0. \]
- División y orden. Si \(c>0\), entonces \[ a<b \iff \frac ac<\frac bc. \] Si \(c<0\), entonces \[ a<b \iff \frac ac>\frac bc. \]
- Orden de los recíprocos positivos. Si \[ 0<a<b, \] entonces \[ 0<\frac1b<\frac1a. \]
- Signo de un producto. Se tiene \[ ab>0 \iff (a>0\ \text{y}\ b>0) \ \text{o}\\ (a<0\ \text{y}\ b<0), \] y \[ ab<0 \iff (a>0\ \text{y}\ b<0) \ \text{o}\\ (a<0\ \text{y}\ b>0). \]
- Cuadrados. Para todo \(a\in\mathbb R\), \[ a^2\ge0, \] y si \(a\ne0\), entonces \[ a^2>0. \]
- El cuadrado preserva el orden en los no negativos. Si \[ 0\le a\le b, \] entonces \[ a^2\le b^2. \]
Las diez afirmaciones no son reglas independientes.
La demostración se apoya repetidamente en cuatro movimientos:
- traducir \(a<b\) a la positividad de \(b-a\);
- usar la clausura de los positivos bajo suma o producto;
- utilizar las identidades algebraicas ya demostradas en la primera parte de §1.1;
- traducir nuevamente una positividad en una desigualdad.
El caso de los inversos añade una observación crucial: para dividir una desigualdad necesitamos saber el signo del divisor, no solo que sea distinto de cero.
Demostración.
Para la parte 1, comencemos haciendo explícita la identidad algebraica que sostiene la traslación del orden. Por definición de resta y por la regla ya demostrada para el inverso de una suma,
\[ \begin{aligned} (b+c)-(a+c) &=(b+c)+\bigl(-(a+c)\bigr)\\ &=(b+c)+\bigl((-a)+(-c)\bigr)\\ &=b+\bigl((-a)+(c+(-c))\bigr) && \text{(asociatividad y conmutatividad)}\\ &=b+\bigl((-a)+0\bigr) && \text{(inverso aditivo)}\\ &=b+(-a) && \text{(neutro aditivo)}\\ &=b-a && \text{(definición de resta)}. \end{aligned} \]
Por sustitución de iguales por iguales,
\[ b-a>0 \iff (b+c)-(a+c)>0. \]
Traduciendo ambos extremos mediante la definición del orden, obtenemos
\[ a<b \iff a+c<b+c. \]
La versión débil también merece hacerse explícita. Supongamos primero \(a\le b\). Si \(a=b\), entonces
\[ a+c=b+c \]
por sustitución, y por tanto \(a+c\le b+c\). Si \(a<b\), la equivalencia estricta recién demostrada da igualmente \(a+c<b+c\), luego \(a+c\le b+c\). Así,
\[ a\le b \Longrightarrow a+c\le b+c. \]
Recíprocamente, supongamos \(a+c\le b+c\). Si \(a+c=b+c\), la cancelación aditiva ya demostrada da \(a=b\). Si \(a+c<b+c\), la equivalencia estricta anterior, usada de derecha a izquierda, da \(a<b\). En ambos casos,
\[ a\le b. \]
Por consiguiente,
\[ a\le b \iff a+c\le b+c. \]
Para la parte 2, supongamos primero
\[ a<b \qquad\text{y}\qquad c<d. \]
Por la parte 1, podemos trasladar la primera desigualdad sumando \(c\):
\[ a+c<b+c. \]
Del mismo modo, trasladamos \(c<d\) sumando \(b\):
\[ b+c<b+d. \]
Ahora la transitividad del orden estricto da
\[ a+c<b+c<b+d, \]
y por tanto
\[ \boxed{a+c<b+d.} \]
La versión con orden débil se obtiene sin introducir una regla nueva. Si
\[ a\le b \qquad\text{y}\qquad c\le d, \]
la parte 1 da
\[ a+c\le b+c \]
y
\[ b+c\le b+d. \]
Como ya demostramos que \(\le\) es transitiva,
\[ \boxed{a+c\le b+d.} \]
Consideremos ahora la parte 3. Supongamos primero
\[ a<b \qquad\text{y}\qquad c>0. \]
Por definición del orden,
\[ b-a>0. \]
Como \(c>0\), la clausura de los positivos bajo el producto, (O2), da
\[ c(b-a)>0. \]
Hagamos explícita la expresión que aparece a la izquierda. Por definición de resta, distributividad y las reglas de signos ya demostradas,
\[ \begin{aligned} c(b-a) &=c\bigl(b+(-a)\bigr)\\ &=cb+c(-a) && \text{(distributividad)}\\ &=cb+(-(ca)) && \text{(regla de signos)}\\ &=bc+(-(ac)) && \text{(conmutatividad)}\\ &=bc-ac && \text{(definición de resta)}. \end{aligned} \]
Por sustitución de iguales por iguales, de
\[ c(b-a)>0 \]
obtenemos
\[ bc-ac>0. \]
Y como
\[ ac<bc \iff bc-ac>0, \]
concluimos
\[ \boxed{ac<bc.} \]
Pasemos a la versión no estricta. Supongamos
\[ a\le b \qquad\text{y}\qquad c\ge0. \]
Por definición,
\[ a\le b \iff a<b\ \text{o}\ a=b, \]
mientras que
\[ c\ge0 \iff c>0\ \text{o}\ c=0. \]
Si \(a=b\), la sustitución da
\[ ac=bc. \]
Si \(c=0\), entonces Ejemplo 1.1 da
\[ ac=a0=0 \qquad\text{y}\qquad bc=b0=0, \]
de modo que nuevamente \(ac=bc\).
En el único caso restante,
\[ a<b \qquad\text{y}\qquad c>0, \]
acabamos de demostrar que
\[ ac<bc. \]
Por tanto, en todos los casos,
\[ \boxed{ac\le bc.} \]
Para la parte 4, supongamos primero
\[ a<b \qquad\text{y}\qquad c<0. \]
Por la definición de número negativo,
\[ -c>0. \]
Podemos entonces aplicar la parte 3 al factor positivo \(-c\):
\[ a(-c)<b(-c). \]
Las reglas de signos ya demostradas dan
\[ a(-c)=-(ac) \qquad\text{y}\qquad b(-c)=-(bc), \]
de modo que, por sustitución de iguales por iguales,
\[ -ac<-bc. \]
Ahora trasladamos esta desigualdad sumando \(ac+bc\) a ambos miembros. Por la parte 1,
\[ (-ac)+(ac+bc)<(-bc)+(ac+bc). \]
Reducimos cada miembro por separado. En el izquierdo,
\[ \begin{aligned} (-ac)+(ac+bc) &=\bigl((-ac)+ac\bigr)+bc && \text{(asociatividad)}\\ &=0+bc && \text{(inverso aditivo)}\\ &=bc && \text{(neutro aditivo)}. \end{aligned} \]
En el derecho,
\[ \begin{aligned} (-bc)+(ac+bc) &=ac+\bigl((-bc)+bc\bigr) && \text{(asociatividad y conmutatividad)}\\ &=ac+0 && \text{(inverso aditivo)}\\ &=ac && \text{(neutro aditivo)}. \end{aligned} \]
Por tanto,
\[ \boxed{bc<ac}, \]
o, equivalentemente,
\[ \boxed{ac>bc}. \]
Pasemos a la versión débil. Supongamos
\[ a\le b \qquad\text{y}\qquad c\le0. \]
Por definición,
\[ a\le b \iff a<b\ \text{o}\ a=b, \]
y
\[ c\le0 \iff c<0\ \text{o}\ c=0. \]
Si \(a=b\), la sustitución da
\[ ac=bc. \]
Si \(c=0\), entonces Ejemplo 1.1 da
\[ ac=a0=0 \qquad\text{y}\qquad bc=b0=0, \]
y nuevamente \(ac=bc\).
En el único caso restante,
\[ a<b \qquad\text{y}\qquad c<0, \]
acabamos de demostrar que
\[ ac>bc. \]
Por tanto, en todos los casos,
\[ \boxed{ac\ge bc.} \]
Antes de estudiar inversos conviene establecer un hecho pequeño pero decisivo:
\[ \boxed{1>0.} \]
Como \(1\ne0\), la tricotomía (O3), aplicada al elemento \(1\), excluye la alternativa \(1=0\). Por tanto, exactamente una de las dos afirmaciones
\[ 1>0 \qquad\text{o}\qquad -1>0 \]
puede ser verdadera. Supongamos, para obtener una contradicción, que
\[ -1>0. \]
Como el producto de dos positivos es positivo, (O2) da
\[ (-1)(-1)>0. \]
Por las reglas de signos ya demostradas,
\[ (-1)(-1)=1. \]
Sustituyendo iguales por iguales en la desigualdad anterior obtenemos
\[ 1>0. \]
Tendríamos entonces simultáneamente
\[ 1>0 \qquad\text{y}\qquad -1>0, \]
lo que contradice la exclusividad de (O3) aplicada a \(1\). La suposición \(-1>0\) es, por tanto, imposible. Como una de las dos alternativas debe cumplirse, concluimos
\[ \boxed{1>0.} \]
Probemos ahora la parte 5. Comencemos con la implicación
\[ a>0 \Longrightarrow a^{-1}>0. \]
Supongamos \(a>0\). En particular, \(a\ne0\), por lo que existe \(a^{-1}\); además, Proposición 1.2 garantiza
\[ a^{-1}\ne0. \]
Aplicando (O3) a \(a^{-1}\) y excluyendo el caso \(a^{-1}=0\), queda exactamente una de las posibilidades
\[ a^{-1}>0 \qquad\text{o}\qquad -a^{-1}>0. \]
Supongamos que ocurriera la segunda. Como \(a>0\) y \(-a^{-1}>0\), (O2) implicaría
\[ a(-a^{-1})>0. \]
Ahora reducimos algebraicamente ese producto:
\[ \begin{aligned} a(-a^{-1}) &=-(aa^{-1}) && \text{(regla de signos)}\\ &=-1 && \text{(inverso multiplicativo)}. \end{aligned} \]
Por sustitución de iguales por iguales obtendríamos
\[ -1>0. \]
Pero ya demostramos \(1>0\), y (O3) aplicada a \(1\) prohíbe que \(1\) y \(-1\) sean positivos simultáneamente. Luego la alternativa \(-a^{-1}>0\) es imposible y necesariamente
\[ a^{-1}>0. \]
Esto prueba
\[ a>0 \Longrightarrow a^{-1}>0. \]
La dirección recíproca también debe quedar explícita. Supongamos
\[ a^{-1}>0. \]
Aplicamos la implicación recién demostrada al elemento \(a^{-1}\). Obtenemos
\[ (a^{-1})^{-1}>0. \]
Por Proposición 1.2,
\[ (a^{-1})^{-1}=a, \]
y por sustitución concluimos
\[ a>0. \]
Por tanto,
\[ \boxed{a>0\iff a^{-1}>0.} \]
Pasemos al signo negativo. Supongamos primero
\[ a<0. \]
Entonces \(a\ne0\) y, por definición de número negativo,
\[ -a>0. \]
La equivalencia positiva que acabamos de demostrar, aplicada a \(-a\), da
\[ (-a)^{-1}>0. \]
Para identificar este inverso, observemos primero que
\[ \begin{aligned} (-a)(-a^{-1}) &=aa^{-1} && \text{(regla de signos)}\\ &=1 && \text{(inverso multiplicativo)}. \end{aligned} \]
Así, \(-a^{-1}\) es un inverso multiplicativo de \(-a\). Como el inverso multiplicativo es único,
\[ (-a)^{-1}=-a^{-1}. \]
Sustituyendo esta igualdad en \((-a)^{-1}>0\), obtenemos
\[ -a^{-1}>0. \]
Por definición de número negativo, esto equivale a
\[ a^{-1}<0. \]
Hemos probado entonces
\[ a<0 \Longrightarrow a^{-1}<0. \]
Para la recíproca, supongamos
\[ a^{-1}<0. \]
Aplicamos la implicación negativa recién demostrada al elemento \(a^{-1}\). Entonces
\[ (a^{-1})^{-1}<0. \]
Usando nuevamente
\[ (a^{-1})^{-1}=a, \]
concluimos
\[ a<0. \]
Por tanto,
\[ \boxed{a<0\iff a^{-1}<0.} \]
Probemos ahora la parte 6. Aquí la división no introduce una regla nueva: por definición, dividir por \(c\) significa multiplicar por \(c^{-1}\), y la parte 5 nos permite determinar el signo de ese inverso.
Supongamos primero
\[ c>0. \]
Entonces \(c\ne0\), de modo que los cocientes están definidos, y la parte 5 da
\[ c^{-1}>0. \]
Si
\[ a<b, \]
podemos multiplicar ambos miembros por el número positivo \(c^{-1}\). Por la parte 3,
\[ ac^{-1}<bc^{-1}. \]
Por definición de cociente,
\[ ac^{-1}=\frac ac \qquad\text{y}\qquad bc^{-1}=\frac bc, \]
de modo que
\[ \frac ac<\frac bc. \]
Así hemos probado una dirección:
\[ a<b \Longrightarrow \frac ac<\frac bc. \]
Para la recíproca, supongamos
\[ \frac ac<\frac bc. \]
Por definición de cociente,
\[ ac^{-1}<bc^{-1}. \]
Como \(c>0\), multiplicar ambos miembros por \(c\) conserva el sentido de la desigualdad:
\[ (ac^{-1})c<(bc^{-1})c. \]
Reducimos ambos miembros usando asociatividad, inverso multiplicativo y neutro:
\[ \begin{aligned} (ac^{-1})c &=a(c^{-1}c) && \text{(asociatividad)}\\ &=a1 && \text{(inverso multiplicativo)}\\ &=a && \text{(neutro multiplicativo)}, \end{aligned} \]
y, del mismo modo,
\[ \begin{aligned} (bc^{-1})c &=b(c^{-1}c)\\ &=b1\\ &=b. \end{aligned} \]
Por sustitución de iguales por iguales obtenemos
\[ a<b. \]
Por tanto, cuando \(c>0\),
\[ \boxed{ a<b \iff \frac ac<\frac bc. } \]
Consideremos ahora
\[ c<0. \]
De nuevo \(c\ne0\), y la parte 5 da
\[ c^{-1}<0. \]
Si \(a<b\), la parte 4 aplicada al factor negativo \(c^{-1}\) invierte el orden:
\[ ac^{-1}>bc^{-1}. \]
Por definición de cociente,
\[ \frac ac>\frac bc. \]
Así,
\[ a<b \Longrightarrow \frac ac>\frac bc. \]
Para demostrar la recíproca, supongamos
\[ \frac ac>\frac bc. \]
Por definición de cociente, esto significa
\[ ac^{-1}>bc^{-1}, \]
o, escrito con el símbolo \(<\),
\[ bc^{-1}<ac^{-1}. \]
Como \(c<0\), la parte 4 permite multiplicar esta última desigualdad por \(c\) e invertir el orden:
\[ (bc^{-1})c>(ac^{-1})c. \]
Las mismas reducciones algebraicas anteriores dan
\[ b>a, \]
que equivale a
\[ a<b. \]
Por consiguiente, cuando \(c<0\),
\[ \boxed{ a<b \iff \frac ac>\frac bc. } \]
La hipótesis sobre el signo de \(c\) cumple, por tanto, dos funciones distintas: garantiza que \(c\ne0\), de modo que la división esté definida, y determina si al multiplicar por \(c^{-1}\) el orden se conserva o se invierte.
Para la parte 7, supongamos
\[ 0<a<b. \]
En particular,
\[ a>0 \qquad\text{y}\qquad b>0. \]
Por (O2), el producto de estos dos números positivos también es positivo:
\[ ab>0. \]
Así, \(ab\ne0\), existe \((ab)^{-1}\) y, por la parte 5,
\[ (ab)^{-1}>0. \]
Podemos entonces multiplicar la desigualdad
\[ a<b \]
por la cantidad positiva \((ab)^{-1}\). La parte 3 da
\[ a(ab)^{-1}<b(ab)^{-1}. \]
Ahora hacemos explícita la simplificación de ambos miembros. Por Proposición 1.2,
\[ (ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}. \]
En el miembro izquierdo,
\[ \begin{aligned} a(ab)^{-1} &=a(a^{-1}b^{-1}) && \text{(inverso de un producto)}\\ &=(aa^{-1})b^{-1} && \text{(asociatividad)}\\ &=1b^{-1} && \text{(inverso multiplicativo)}\\ &=b^{-1} && \text{(neutro multiplicativo)}. \end{aligned} \]
En el miembro derecho,
\[ \begin{aligned} b(ab)^{-1} &=b(a^{-1}b^{-1}) && \text{(inverso de un producto)}\\ &=a^{-1}(bb^{-1}) && \text{(asociatividad y conmutatividad)}\\ &=a^{-1}1 && \text{(inverso multiplicativo)}\\ &=a^{-1} && \text{(neutro multiplicativo)}. \end{aligned} \]
Por sustitución de iguales por iguales en la desigualdad anterior obtenemos
\[ \boxed{b^{-1}<a^{-1}}. \]
Falta incorporar el extremo izquierdo de la cadena. Como \(a>0\) y \(b>0\), la parte 5 aplicada por separado a ambos números da
\[ a^{-1}>0 \qquad\text{y}\qquad b^{-1}>0. \]
En particular,
\[ 0<b^{-1}<a^{-1}. \]
Finalmente, por definición de cociente,
\[ \frac1b=1b^{-1}=b^{-1} \qquad\text{y}\qquad \frac1a=1a^{-1}=a^{-1}. \]
Por sustitución concluimos
\[ \boxed{0<\frac1b<\frac1a}. \]
La inversión del orden no procede de una nueva regla especial para recíprocos: aparece porque hemos multiplicado \(a<b\) por el número positivo \((ab)^{-1}\) y después hemos reducido algebraicamente los dos productos resultantes.
Probemos la parte 8. Comencemos por la equivalencia para un producto positivo. Supongamos
\[ ab>0. \]
En particular, \(ab\ne0\). Si \(a=0\) o \(b=0\), Proposición 1.3 daría \(ab=0\), en contradicción con \(ab>0\). Por tanto,
\[ a\ne0 \qquad\text{y}\qquad b\ne0. \]
La tricotomía aplicada a \(a\) deja entonces exactamente dos posibilidades:
\[ a>0 \qquad\text{o}\qquad a<0. \]
Como \(a\ne0\), podemos dividir por \(a\). Conviene registrar primero las simplificaciones que utilizaremos. Por definición de cociente,
\[ \begin{aligned} \frac{ab}{a} &=(ab)a^{-1}\\ &=b(aa^{-1}) && \text{(asociatividad y conmutatividad)}\\ &=b1 && \text{(inverso multiplicativo)}\\ &=b && \text{(neutro multiplicativo)}, \end{aligned} \]
mientras que
\[ \frac0a=0a^{-1}=0 \]
por definición de cociente y Ejemplo 1.1.
Si \(a>0\), de \(0<ab\) y la parte 6 obtenemos
\[ \frac0a<\frac{ab}{a}. \]
Las reducciones anteriores dan
\[ 0<b, \]
es decir,
\[ b>0. \]
Si \(a<0\), dividir \(0<ab\) por el número negativo \(a\) invierte el sentido:
\[ \frac0a>\frac{ab}{a}. \]
Por las mismas reducciones,
\[ 0>b, \]
es decir,
\[ b<0. \]
Hemos demostrado
\[ ab>0 \Longrightarrow (a>0\ \text{y}\ b>0) \ \text{o}\ (a<0\ \text{y}\ b<0). \]
Probemos la recíproca. Si \(a>0\) y \(b>0\), (O2) da directamente
\[ ab>0. \]
Si \(a<0\) y \(b<0\), entonces
\[ -a>0 \qquad\text{y}\qquad -b>0. \]
Por (O2),
\[ (-a)(-b)>0. \]
Las reglas de signos ya demostradas dan
\[ (-a)(-b)=ab. \]
Por sustitución de iguales por iguales,
\[ ab>0. \]
En consecuencia,
\[ \boxed{ ab>0 \iff (a>0\ \text{y}\ b>0) \ \text{o}\ (a<0\ \text{y}\ b<0). } \]
Consideremos ahora un producto negativo. Supongamos
\[ ab<0. \]
Nuevamente \(ab\ne0\). Si \(a=0\) o \(b=0\), Proposición 1.3 implicaría \(ab=0\), contradicción. Luego
\[ a\ne0 \qquad\text{y}\qquad b\ne0. \]
La tricotomía aplicada a \(a\) deja otra vez los dos casos \(a>0\) y \(a<0\).
Si \(a>0\), la parte 6 aplicada a \(ab<0\) permite dividir por \(a\) sin cambiar el sentido:
\[ \frac{ab}{a}<\frac0a. \]
Usando las reducciones ya establecidas,
\[ b<0. \]
Si \(a<0\), dividir por \(a\) invierte el sentido:
\[ \frac{ab}{a}>\frac0a, \]
de donde
\[ b>0. \]
Por tanto,
\[ ab<0 \Longrightarrow (a>0\ \text{y}\ b<0) \ \text{o}\ (a<0\ \text{y}\ b>0). \]
Falta la recíproca. Supongamos primero
\[ a>0 \qquad\text{y}\qquad b<0. \]
Entonces \(-b>0\) y, por (O2),
\[ a(-b)>0. \]
Como la regla de signos da
\[ a(-b)=-(ab), \]
por sustitución obtenemos
\[ -(ab)>0. \]
Por definición de número negativo, esto equivale a
\[ ab<0. \]
Si, en cambio,
\[ a<0 \qquad\text{y}\qquad b>0, \]
entonces \(-a>0\) y (O2) da
\[ (-a)b>0. \]
La regla de signos
\[ (-a)b=-(ab) \]
produce de nuevo
\[ -(ab)>0, \]
y por tanto
\[ ab<0. \]
Concluimos
\[ \boxed{ ab<0 \iff (a>0\ \text{y}\ b<0) \ \text{o}\ (a<0\ \text{y}\ b>0). } \]
El signo de un producto queda así determinado por una dicotomía estructural: factores con el mismo signo producen un producto positivo y factores con signos opuestos producen un producto negativo. No hemos añadido una nueva regla de signos; la hemos deducido de la tricotomía, de las leyes del orden y de las identidades algebraicas ya demostradas.
Para la parte 9 consideremos los tres casos que proporciona la tricotomía.
Si
\[ a=0, \]
entonces, por Ejemplo 1.1,
\[ a^2=aa=00=0. \]
Supongamos ahora
\[ a>0. \]
Entonces ambos factores de
\[ a^2=aa \]
son positivos, y (O2) da
\[ a^2>0. \]
Finalmente, supongamos
\[ a<0. \]
Por definición de número negativo,
\[ -a>0. \]
Aplicando (O2) a los dos factores positivos \(-a\),
\[ (-a)(-a)>0. \]
Hagamos explícita la identidad algebraica que permite volver al cuadrado de \(a\). Por definición de cuadrado y por la regla de signos ya demostrada,
\[ \begin{aligned} (-a)^2 &=(-a)(-a)\\ &=aa && \text{(producto de dos opuestos)}\\ &=a^2 && \text{(definición de cuadrado)}. \end{aligned} \]
Por sustitución de iguales por iguales en \((-a)^2>0\), obtenemos
\[ a^2>0. \]
Hemos cubierto las tres posibilidades de la tricotomía. Si \(a=0\), el cuadrado es \(0\); si \(a>0\) o \(a<0\), el cuadrado es estrictamente positivo. Por tanto, para todo \(a\in\mathbb R\),
\[ \boxed{a^2\ge0}. \]
Falta hacer explícito cuándo puede ocurrir la igualdad. Ya vimos que
\[ a=0 \Longrightarrow a^2=0. \]
Recíprocamente, supongamos
\[ a^2=0. \]
Por definición de cuadrado,
\[ aa=0. \]
La ley del producto nulo, Proposición 1.3, afirma que al menos uno de los dos factores debe ser \(0\). Como ambos factores son el mismo número \(a\), necesariamente
\[ a=0. \]
Así,
\[ \boxed{a^2=0\iff a=0}. \]
En particular, si \(a\ne0\), la tricotomía excluye el primer caso y deja \(a>0\) o \(a<0\); en ambos ya demostramos que
\[ \boxed{a^2>0}. \]
Finalmente, probemos la parte 10. Supongamos
\[ 0\le a\le b. \]
La hipótesis contiene dos desigualdades:
\[ 0\le a \qquad\text{y}\qquad a\le b. \]
Por transitividad de \(\le\),
\[ 0\le b. \]
Ahora trasladamos \(a\le b\) sumando \(-a\) a ambos miembros. Por la parte 1,
\[ a+(-a)\le b+(-a). \]
Reduciendo ambos miembros mediante inverso aditivo y definición de resta,
\[ \boxed{0\le b-a}. \]
Para obtener la segunda cantidad no negativa utilizamos la parte 2 en su versión débil. De
\[ 0\le a \qquad\text{y}\qquad 0\le b \]
se sigue
\[ 0+0\le a+b. \]
Como \(0+0=0\),
\[ \boxed{0\le a+b}. \]
Tenemos, por tanto, dos factores no negativos:
\[ 0\le b-a \qquad\text{y}\qquad 0\le a+b. \]
Aplicamos la parte 3 a la desigualdad \(0\le b-a\) con el factor no negativo \(a+b\). Obtenemos
\[ 0(a+b)\le(b-a)(a+b). \]
Por Ejemplo 1.1,
\[ 0(a+b)=0, \]
y así
\[ 0\le(b-a)(a+b). \]
Hagamos explícita ahora la factorización que convierte este producto en una diferencia de cuadrados. Por definición de resta, distributividad, conmutatividad y las reglas de signos,
\[ \begin{aligned} (b-a)(a+b) &=\bigl(b+(-a)\bigr)(a+b)\\ &=b(a+b)+(-a)(a+b) && \text{(distributividad)}\\ &=(ba+b^2)+\bigl((-a)a+(-a)b\bigr) && \text{(distributividad)}\\ &=(ab+b^2)+\bigl(-(a^2)+(-(ab))\bigr) && \text{(conmutatividad y reglas de signos)}\\ &=b^2+\bigl(ab+(-(ab))\bigr)+(-(a^2)) && \text{(asociatividad y conmutatividad)}\\ &=b^2+0+(-(a^2)) && \text{(inverso aditivo)}\\ &=b^2-a^2 && \text{(neutro y definición de resta)}. \end{aligned} \]
Por sustitución de iguales por iguales,
\[ 0\le b^2-a^2. \]
Finalmente trasladamos esta desigualdad sumando \(a^2\) a ambos miembros. La parte 1 da
\[ 0+a^2\le(b^2-a^2)+a^2. \]
Reducimos:
\[ \begin{aligned} 0+a^2&=a^2,\\ (b^2-a^2)+a^2 &=\bigl(b^2+(-(a^2))\bigr)+a^2\\ &=b^2+\bigl(-(a^2)+a^2\bigr) && \text{(asociatividad)}\\ &=b^2+0 && \text{(inverso aditivo)}\\ &=b^2 && \text{(neutro aditivo)}. \end{aligned} \]
Por tanto,
\[ \boxed{a^2\le b^2}. \]
Esto demuestra las diez afirmaciones. \(\blacksquare\)
La proposición muestra que hay tres preguntas diferentes antes de «cancelar» un factor en una desigualdad:
- ¿es el factor distinto de cero?;
- ¿es positivo?;
- ¿es negativo?
En una igualdad, para cancelar multiplicativamente basta la no nulidad.
En una desigualdad, la no nulidad no basta: el signo decide si el orden se conserva o se invierte. Si además queremos dividir, la hipótesis de signo cumple simultáneamente dos funciones: garantiza que el divisor no sea \(0\) y determina qué ocurre con el sentido del orden.
Una pequeña tabla de control
Las reglas anteriores pueden condensarse, una vez demostradas, en la tabla siguiente. Añadimos la columna «Fundamento» para recordar que ninguna fila introduce un axioma nuevo.
| Operación aplicada a ambos miembros | Hipótesis | Efecto sobre \(<\) | Fundamento |
|---|---|---|---|
| sumar \(c\) | ninguna | conserva el sentido | parte 1 |
| restar \(c\) | ninguna | conserva el sentido | parte 1 aplicada a \(-c\) |
| multiplicar por \(c\) | \(c>0\) | conserva el sentido | parte 3 |
| multiplicar por \(c\) | \(c<0\) | invierte el sentido | parte 4 |
| dividir por \(c\) | \(c>0\) | conserva el sentido | partes 5 y 6 |
| dividir por \(c\) | \(c<0\) | invierte el sentido | partes 5 y 6 |
La fila de la resta no requiere una regla independiente: restar \(c\) significa sumar \(-c\), y la parte 1 vale para cualquier elemento del cuerpo, sin hipótesis de signo.
También conviene aislar el caso excluido de las filas multiplicativas estrictas. Si \(a<b\) y \(c=0\), entonces Ejemplo 1.1 da
\[ ac=a0=0 \qquad\text{y}\qquad bc=b0=0. \]
Por tanto,
\[ ac=bc, \]
no \(ac<bc\) ni \(ac>bc\). Una desigualdad estricta colapsa a igualdad al multiplicar ambos miembros por \(0\).
La tabla es, pues, una herramienta de cálculo derivada. Su contenido ya está demostrado en Proposición 1.5.
Una regla que necesitaremos al estudiar el hueco racional
Supongamos que \(a\) y \(b\) son no negativos y que
\[ b\le a. \]
Las hipótesis pueden reunirse como
\[ 0\le b\le a. \]
La parte 10 de Proposición 1.5 afirma que, si \(0\le u\le v\), entonces
\[ u^2\le v^2. \]
Particularizamos ahora esa afirmación tomando
\[ u=b, \qquad v=a. \]
Como sus hipótesis son precisamente \(0\le b\le a\), obtenemos
\[ \boxed{b^2\le a^2}. \]
Así, la regla que utilizaremos después no es una intuición acerca de que «los cuadrados crecen», sino una aplicación directa de la monotonía del cuadrado ya demostrada en los no negativos. Será esencial en §1.4 para comparar los racionales situados a ambos lados de la ecuación \(x^2=2\).
Esta relectura muestra una ventaja del método axiomático. Podemos auditar una demostración preguntando:
¿qué propiedad estructural autoriza este paso?
En pruebas más largas, esa pregunta ayuda a distinguir una manipulación legítima de una inferencia que solo «parece razonable».
Una desigualdad no es una ecuación: los pasos deben ser reversibles
Consideremos la desigualdad
\[ 3x-7<8. \]
Antes de transformarla, fijemos una hipótesis que suele quedar implícita. Ya demostramos que \(1>0\). Por (O1),
\[ 2=1+1>0 \]
y nuevamente
\[ 3=2+1>0. \]
Por tanto, multiplicar o dividir una desigualdad por \(3\) conserva su sentido.
Primera dirección. Supongamos
\[ 3x-7<8. \]
Por la parte 1 de Proposición 1.5 podemos sumar \(7\) a ambos miembros:
\[ (3x-7)+7<8+7. \]
Reducimos el miembro izquierdo haciendo explícita la resta como suma con inverso:
\[ \begin{aligned} (3x-7)+7 &=\bigl(3x+(-7)\bigr)+7\\ &=3x+\bigl((-7)+7\bigr) && \text{(asociatividad)}\\ &=3x+0 && \text{(inverso aditivo)}\\ &=3x && \text{(neutro aditivo)}. \end{aligned} \]
Como \(8+7=15\), obtenemos
\[ 3x<15. \]
Ahora usamos la parte 6 de Proposición 1.5. Puesto que \(3>0\), dividir por \(3\) conserva el orden:
\[ \frac{3x}{3}<\frac{15}{3}. \]
Las dos fracciones se reducen mediante la definición de cociente. En el miembro izquierdo,
\[ \begin{aligned} \frac{3x}{3} &=(3x)3^{-1}\\ &=x(33^{-1}) && \text{(asociatividad y conmutatividad)}\\ &=x1 && \text{(inverso multiplicativo)}\\ &=x && \text{(neutro multiplicativo)}. \end{aligned} \]
Y, como \(15=3\cdot5\),
\[ \begin{aligned} \frac{15}{3} &=(3\cdot5)3^{-1}\\ &=5(33^{-1}) && \text{(asociatividad y conmutatividad)}\\ &=5. \end{aligned} \]
Por sustitución de iguales por iguales concluimos
\[ \boxed{x<5}. \]
Hemos probado hasta aquí solamente
\[ 3x-7<8 \Longrightarrow x<5. \]
Dirección recíproca. Supongamos ahora
\[ x<5. \]
Como \(3>0\), la parte 3 de Proposición 1.5 permite multiplicar ambos miembros por \(3\) sin invertir el orden:
\[ 3x<3\cdot5=15. \]
A continuación aplicamos la parte 1 sumando \(-7\) a ambos miembros:
\[ 3x+(-7)<15+(-7). \]
Por definición de resta y por la aritmética de los enteros,
\[ 3x+(-7)=3x-7 \qquad\text{y}\qquad 15+(-7)=8. \]
Por tanto,
\[ 3x-7<8. \]
Hemos demostrado también
\[ x<5 \Longrightarrow 3x-7<8. \]
Juntando ambas implicaciones,
\[ \boxed{ 3x-7<8 \iff x<5. } \]
Ahora sí podemos afirmar que el conjunto de soluciones de la desigualdad original es exactamente
\[ (-\infty,5). \]
La diferencia entre una implicación y una equivalencia es esencial: una cadena que solo avanza en un sentido puede producir una condición necesaria sin haber caracterizado todavía todas las soluciones.
Esta pequeña auditoría anticipa una regla importante para resolver inecuaciones:
\[ \boxed{ \text{una cadena de transformaciones encuentra el conjunto solución solo si controlamos cuáles pasos son reversibles.} } \]
Cuando el signo es desconocido, hay que separar casos
El riesgo aumenta cuando multiplicamos por una expresión cuyo signo depende de la incógnita. Consideremos
\[ \frac{2}{x}<3. \]
Antes de operar debemos fijar el dominio. Como el denominador no puede ser \(0\),
\[ x\ne0. \]
La tricotomía deja entonces exactamente dos casos admisibles:
\[ x>0 \qquad\text{o}\qquad x<0. \]
No podemos «multiplicar por \(x\)» antes de separar esos casos, porque el signo de \(x\) decide si el orden se conserva o se invierte.
Caso 1: \(x>0\). Como el factor es positivo, multiplicar por \(x\) es reversible y conserva el sentido de la desigualdad. Por tanto,
\[ \frac{2}{x}<3 \iff 2<3x \iff \frac23<x, \]
donde en la segunda equivalencia hemos dividido por \(3>0\). La condición \(x>2/3\) ya implica \(x>0\), de modo que las soluciones de esta rama son exactamente
\[ \left(\frac23,\infty\right). \]
Caso 2: \(x<0\). Ahora multiplicar por \(x\) sigue siendo reversible, pero invierte el orden:
\[ \frac{2}{x}<3 \iff 2>3x \iff x<\frac23. \]
Dentro de esta rama ya suponemos \(x<0\), y como \(2/3>0\), todo \(x<0\) satisface automáticamente \(x<2/3\). Por tanto, las soluciones de esta rama son exactamente
\[ (-\infty,0). \]
Las dos ramas agotan el dominio, así que el conjunto solución de la desigualdad original es
\[ \boxed{ (-\infty,0) \cup \left(\frac23,\infty\right). } \]
El punto \(x=0\) queda excluido desde el comienzo porque la expresión original no está definida allí.
Antes de multiplicar o dividir una desigualdad por una expresión variable, determine su signo y audite su dominio.
Si el signo no está fijado por las hipótesis, separe el dominio en regiones donde sí lo esté. Dentro de cada región use equivalencias reversibles; al final, reúna las soluciones obtenidas mediante una unión.
Intervalos: traducir entre orden y conjuntos
Las desigualdades describen regiones de la recta real. Para evitar repetir expresiones largas, utilizaremos la notación de intervalos.
Definición 1.3 Intervalos reales. Sean \(a,b\in\mathbb R\). Definimos las notaciones siguientes mediante condiciones de pertenencia. No supondremos de entrada que \(a\le b\): cuando los extremos aparezcan en otro orden, las mismas fórmulas determinarán qué conjunto resulta.
El intervalo abierto entre \(a\) y \(b\) es
\[ (a,b)=\{x\in\mathbb R:a<x<b\}. \]
El intervalo cerrado es
\[ [a,b]=\{x\in\mathbb R:a\le x\le b\}. \]
Los intervalos semiabiertos son
\[ [a,b)=\{x\in\mathbb R:a\le x<b\} \]
y
\[ (a,b]=\{x\in\mathbb R:a<x\le b\}. \]
También utilizaremos los intervalos no acotados
\[ (a,\infty)=\{x\in\mathbb R:x>a\}, \qquad [a,\infty)=\{x\in\mathbb R:x\ge a\}, \]
\[ (-\infty,b)=\{x\in\mathbb R:x<b\}, \qquad (-\infty,b]=\{x\in\mathbb R:x\le b\}. \]
Finalmente,
\[ (-\infty,\infty)=\mathbb R. \]
Los paréntesis y corchetes codifican pertenencia de los extremos finitos. Así,
\[ 2\in[2,5) \]
pero
\[ 5\notin[2,5). \]
La notación no introduce un nuevo tipo de objeto: es una abreviatura para conjuntos definidos por desigualdades. Por ejemplo,
\[ x\in(-3,4] \iff -3<x\le4. \]
La expresión
\[ (-\infty,5] \]
no significa que \(-\infty\) sea un número real que actúa como extremo izquierdo. Significa exactamente
\[ \{x\in\mathbb R:x\le5\}. \]
Los símbolos \(\infty\) y \(-\infty\) funcionan aquí como parte de una notación para describir ausencia de cota en una dirección. No son números reales. Por eso nunca «pertenecen» a estos intervalos y la notación usa paréntesis del lado infinito.
Intervalos degenerados y conjuntos vacíos
Como los intervalos se han definido mediante desigualdades, los casos degenerados se deducen de las propias condiciones de pertenencia.
Si los extremos coinciden, entonces
\[ [a,a]=\{a\}, \]
porque \(a\le x\le a\) obliga a \(x=a\). En cambio,
\[ (a,a)=[a,a)=(a,a]=\varnothing, \]
pues cada una de esas condiciones exigiría simultáneamente que \(x\) estuviera en un lado estricto de \(a\) y no más allá del mismo \(a\).
Si \(a>b\), ninguna de las cuatro condiciones acotadas puede satisfacerse. Por tanto,
\[ (a,b)=[a,b]=[a,b)=(a,b]=\varnothing. \]
Esto permite resumir exactamente cuándo estos conjuntos son no vacíos:
\[ \begin{aligned} (a,b)\ne\varnothing &\iff a<b,\\ [a,b]\ne\varnothing &\iff a\le b,\\ [a,b)\ne\varnothing &\iff a<b,\\ (a,b]\ne\varnothing &\iff a<b. \end{aligned} \]
En la primera equivalencia, si \(a<b\), basta observar que el punto medio
\[ \frac{a+b}{2} \]
satisface \(a<(a+b)/2<b\). En los casos semiabiertos, cuando \(a<b\), los propios extremos \(a\) o \(b\) proporcionan inmediatamente un elemento.
Así, los corchetes no «crean» por sí solos un intervalo: las desigualdades que definen la pertenencia deciden si el conjunto contiene un punto, muchos puntos o ninguno.
Antes de seguir
1. Sean \(a<b\) y \(c<d\). Demuestra, utilizando solo las leyes de orden ya establecidas, que
\[ a-d<b-c. \]
Respuesta. De \(c<d\), al multiplicar por \(-1<0\), obtenemos \(-d<-c\). Sumando esta desigualdad con \(a<b\) mediante la parte 2 de Proposición 1.5,
\[ a+(-d)<b+(-c), \]
de donde \(a-d<b-c\).
2. Supón que
\[ a<b\le0. \]
¿Qué relación existe entre \(a^2\) y \(b^2\)?
Respuesta. Al multiplicar \(a<b\) por \(-1\) se invierte el orden:
\[ 0\le-b<-a. \]
La monotonía del cuadrado en los no negativos da
\[ (-b)^2\le(-a)^2, \]
y por las reglas de signos,
\[ \boxed{b^2\le a^2}. \]
Lo que un cuerpo ordenado todavía no resuelve
Hemos hecho explícitas dos capas distintas de estructura.
La primera fue puramente algebraica:
\[ \text{axiomas de cuerpo} \longrightarrow \text{reglas de cálculo algebraico}. \]
La segunda añadió positividad y comparación:
\[ \text{axiomas de orden} \longrightarrow \text{reglas de desigualdad e intervalos}. \]
Podemos resumir el recorrido de §1.1 así:
\[ \boxed{ \text{cuerpo} \longrightarrow \text{álgebra derivada} \longrightarrow \text{orden} \longrightarrow \text{desigualdades e intervalos}. } \]
Pero todavía no hemos respondido la pregunta central de este capítulo.
La razón es decisiva:
\[ \boxed{\mathbb Q\ \text{también es un cuerpo ordenado}.} \]
Los racionales satisfacen las mismas leyes algebraicas y de orden que acabamos de imponer a \(\mathbb R\). Podemos sumar y multiplicar racionales, tomar inversos de racionales no nulos y ordenar racionales de una manera compatible con esas operaciones. En §1.4 demostraremos que, pese a ello, ninguna solución de \(x^2=2\) pertenece a \(\mathbb Q\).
Por tanto,
\[ \boxed{ \text{cuerpo}+\text{orden} \quad\text{no bastan para explicar la propiedad decisiva de }\mathbb R. } \]
Esta observación determina la arquitectura de lo que viene. En §1.2 utilizaremos el orden para construir el lenguaje de valor absoluto y distancia. En §1.3 aprenderemos a hablar de cotas, máximos, mínimos, supremos e ínfimos. En §1.4 estudiaremos el ejemplo que muestra la insuficiencia de los racionales y en §1.5 formularemos la propiedad adicional que distingue a los reales dentro de nuestro desarrollo:
\[ \boxed{\text{la completitud}.} \]
La secuencia no es accidental. Antes de afirmar que una frontera existe, necesitamos saber con precisión qué significa ser una frontera.
En esta primera sección trabajamos deliberadamente a cámara lenta. Expandimos asociatividad, conmutatividad, neutros, inversos, sustituciones y reversibilidad para que el lector aprendiera a auditar una prueba y no tratara las reglas escolares como movimientos sin fundamento.
A partir de aquí cambia la granularidad. Una vez demostrada una regla, podremos citarla y utilizarla sin reconstruir cada vez toda su genealogía. No volveremos a desarrollar de rutina pasos como \(x+0=x\), \(aa^{-1}=1\), una reagrupación asociativa o una sustitución de iguales por iguales.
Sí volveremos a abrir una cadena cuando el paso contenga información matemática nueva o una hipótesis fácil de perder: dominio y no nulidad, signo de un factor, reversibilidad de una equivalencia, separación de casos, orden de cuantificadores, existencia o unicidad, aplicación de completitud, o diseño de una construcción no evidente.
El rigor no disminuye. Lo que disminuye es el andamiaje visible: el objetivo es que el lector empiece a cargar por sí mismo con las justificaciones que ya aprendió a reconocer.