Capítulo 4 — Conjuntos, relaciones y funciones como lenguaje
En el capítulo anterior aprendimos a distinguir afirmaciones como «todos los enteros cumplen cierta condición», «algún entero la cumple» y «cada entero determina un único objeto con determinada propiedad». El lenguaje de los cuantificadores hace explícitas las obligaciones de esas frases. Sin embargo, la práctica matemática requiere algo más: necesitamos hablar de los objetos que satisfacen una condición, comparar colecciones de objetos y describir correspondencias entre dominios.
Por ejemplo, la frase «\(n\) es un entero par» expresa una propiedad de \(n\). Podemos reunir bajo un mismo nombre a los enteros que la satisfacen y preguntar si todo número de esa colección pertenece también a otra. Podemos considerar pares ordenados que cumplen una relación y, cuando cada objeto del primer dominio tiene una única pareja en el segundo, describir una función. En cada caso, los cuantificadores conservan su significado: el nuevo vocabulario permite organizar las afirmaciones, no eludir su justificación.
Nuestra pregunta será: ¿qué debemos saber sobre un conjunto, una relación o una función para leer correctamente las afirmaciones en las que intervienen? Comenzaremos por pertenencia, inclusión e igualdad de conjuntos; después estudiaremos operaciones, pares ordenados, relaciones y funciones, hasta llegar a imágenes, preimágenes, propiedades de las correspondencias y conjuntos solución.
Este capítulo presenta una capa de lenguaje compartida por los demás libros. Usaremos conjuntos de números y otros conjuntos previamente especificados; no justificaremos aquí los axiomas de existencia de conjuntos ni admitiremos que cualquier condición produzca automáticamente un conjunto en un universo irrestricto. Tampoco supondremos que una relación sea una función antes de verificar las condiciones que la definen. Nuestro objetivo es aprender a formular, interpretar y demostrar las afirmaciones elementales de este lenguaje.
4.1. Pertenencia, inclusión e igualdad: tres afirmaciones diferentes
Pertenecer a un conjunto no es estar incluido en él
Consideremos los conjuntos finitos
\[ A=\{2,4\},\qquad B=\{2,4,6\}. \]
La escritura \(2\in A\) afirma que el número \(2\) es un elemento de \(A\); el símbolo \(\in\) expresa pertenencia. También tenemos \(6\notin A\) y \(6\in B\). Para leer cualquiera de estas afirmaciones debemos identificar tanto el objeto situado a la izquierda como el conjunto situado a la derecha.
Para un objeto \(x\) y un conjunto \(A\), la expresión \(x\in A\) afirma que \(x\) es un elemento de \(A\).
Para conjuntos \(A\) y \(B\), la expresión \(A\subseteq B\) afirma que todo elemento de \(A\) es también elemento de \(B\). Su significado lógico es
\[ A\subseteq B\quad\Longleftrightarrow\quad \forall x\;(x\in A\to x\in B). \]
El universo del cuantificador se entiende fijado por el contexto; equivalentemente, podemos escribir \(\forall x\in A\;(x\in B)\). La inclusión permite la igualdad: \(A\subseteq A\).
Así, \(A\subseteq B\) es verdadera: los dos elementos de \(A\), a saber, \(2\) y \(4\), están en \(B\). En cambio, \(B\subseteq A\) es falsa; \(6\) es un contraejemplo, pues \(6\in B\) pero \(6\notin A\).
La diferencia no es tipográfica. Consideremos el conjunto \(C=\{2,\{2\}\}\). Tiene dos elementos distintos: el número \(2\) y el conjunto \(\{2\}\). Por tanto,
\[ 2\in C,\qquad \{2\}\in C,\qquad \{2\}\subseteq C. \]
La última inclusión se justifica porque el único elemento de \(\{2\}\), que es \(2\), pertenece a \(C\). La pertenencia \(\{2\}\in C\) tiene otra justificación: ese conjunto figura como elemento de \(C\). No debe inferirse, en general, \(A\in B\) a partir de \(A\subseteq B\), ni la implicación inversa. Para nuestros primeros conjuntos, de hecho, \(A\subseteq B\), pero \(A\notin B\): los elementos de \(B\) son números, no el conjunto \(A\).
Igualdad: los mismos elementos, no la misma presentación
El orden de enumeración y la repetición de elementos no alteran un conjunto. En particular,
\[ \{2,4\}=\{4,2,2\}. \]
¿Qué criterio permite demostrar una igualdad aunque los conjuntos no se presenten mediante listas? Adoptaremos el criterio extensional habitual: dos conjuntos son iguales exactamente cuando tienen los mismos elementos.
\[ \boxed{A=B\quad\Longleftrightarrow\quad \forall x\;(x\in A\leftrightarrow x\in B).} \]
El bicondicional puede desplegarse en dos obligaciones:
\[ A=B\quad\Longleftrightarrow\quad (A\subseteq B)\land(B\subseteq A). \]
Justificación. Si \(A=B\), cualquier elemento de uno pertenece al otro, luego valen ambas inclusiones. Recíprocamente, si \(A\subseteq B\) y \(B\subseteq A\), para cualquier \(x\) se cumplen las dos implicaciones \(x\in A\to x\in B\) y \(x\in B\to x\in A\). Por consiguiente, \(x\in A\leftrightarrow x\in B\) para todo \(x\); el criterio extensional da \(A=B\). \(\square\)
Lectura de la demostración. La igualdad de conjuntos no se prueba comparando su apariencia. Se transforma una igualdad en dos afirmaciones universales sobre pertenencia. Más adelante estudiaremos la doble inclusión como estrategia general de demostración; por ahora nos importa comprender exactamente por qué funciona.
El conjunto vacío no es una excepción a la inclusión
Denotaremos por \(\varnothing\) el conjunto que no tiene elementos. Entonces, para cualquier conjunto \(A\),
\[ \varnothing\subseteq A. \]
Demostración. Para negar esta inclusión tendría que existir un objeto \(x\) con \(x\in\varnothing\) y \(x\notin A\). Pero no existe ningún \(x\in\varnothing\). Por ello, para todo objeto \(x\), el condicional \(x\in\varnothing\to x\in A\) es verdadero y se cumple la inclusión. \(\square\)
Esto no significa que \(\varnothing\in A\) para todo conjunto \(A\). Por ejemplo, \(\varnothing\notin\{2,4\}\), mientras que \(\varnothing\in\{\varnothing,2\}\). La inclusión es universal y puede ser verdadera sin elementos en el antecedente; la pertenencia exige que un objeto concreto sea uno de los elementos del conjunto.
De una propiedad a un conjunto solución
Regresemos a las fórmulas del capítulo 3. Dentro de un dominio ya especificado, podemos escribir el conjunto de los objetos que satisfacen cierta propiedad. Por ejemplo, con dominio \(\mathbb Z\) y propiedad \(P(n):\ n+5=0\), escribimos
\[ S=\{n\in\mathbb Z:n+5=0\}. \]
El signo «:» se lee «tal que». Para cualquier entero \(a\),
\[ a\in S\quad\Longleftrightarrow\quad a+5=0. \]
Como \(-5+5=0\), tenemos \(-5\in S\); y si \(a\in S\), entonces \(a+5=0\), de donde \(a=-5\). Estas dos observaciones justifican \(S=\{-5\}\): ningún otro entero pertenece a \(S\) y \(-5\) sí pertenece. La propiedad \(P(n)\), la proposición \(P(-5)\) y el conjunto \(S\) son objetos de lenguaje diferentes, aunque estrechamente relacionados.
La expresión \(\{n\in\mathbb Z:P(n)\}\) selecciona elementos dentro del conjunto ya fijado \(\mathbb Z\). No adoptaremos la regla irrestricta «toda propiedad define un conjunto de todos los objetos que la satisfacen»; una regla así requiere precisiones fundacionales que exceden este capítulo. El conjunto solución relativo a un dominio reaparecerá en §4.8.
Comprobación de lectura. Si alguien afirma que \(A\subseteq B\) porque ha verificado únicamente que \(2\in A\) y \(2\in B\), ¿qué falta? Falta examinar todos los elementos de \(A\). La coincidencia de un elemento acredita dos pertenencias, pero no una inclusión universal. Si, en cambio, encuentra un \(a\in A\) con \(a\notin B\), ese solo testigo refuta la inclusión. La lógica de los cuantificadores vuelve a determinar el trabajo de prueba.
Después de la prueba. Pertenencia, inclusión e igualdad permiten traducir preguntas sobre colecciones en afirmaciones controlables elemento por elemento. En §4.2 estudiaremos cómo se forman nuevas colecciones a partir de conjuntos dados y cómo leer sus operaciones mediante condiciones de pertenencia.
4.2. Operaciones de conjuntos: leer cada operación como una condición de pertenencia
La sección anterior mostró que \(A=B\) puede establecerse comprobando \(x\in A\leftrightarrow x\in B\) para cada objeto del universo pertinente. Adoptaremos ahora esa misma perspectiva para formar conjuntos a partir de otros ya dados. La pregunta «¿qué elementos tiene el nuevo conjunto?» debe responderse mediante una condición precisa; su nombre o su dibujo no reemplazan esa respuesta.
Unión e intersección: «o» e «y» aplicados a la pertenencia
Sean \(A\) y \(B\) conjuntos. Su unión, denotada por \(A\cup B\), reúne los objetos que pertenecen a \(A\), a \(B\) o a ambos. Su intersección, denotada por \(A\cap B\), reúne los que pertenecen simultáneamente a los dos conjuntos. Para cualquier objeto \(x\) del universo de referencia, las definiciones se traducen como
\[ \boxed{\begin{aligned} x\in A\cup B&\quad\Longleftrightarrow\quad (x\in A)\lor(x\in B),\\ x\in A\cap B&\quad\Longleftrightarrow\quad (x\in A)\land(x\in B). \end{aligned}} \]
El «o» es inclusivo: un elemento que está en ambos conjuntos también pertenece a su unión. No se excluye de \(A\cup B\) precisamente por aparecer en los dos. Por el contrario, para pertenecer a \(A\cap B\) no basta cumplir una sola de las condiciones.
Tomemos el universo finito \(U=\{1,2,3,4,5,6\}\) y dos subconjuntos
\[ A=\{1,2,4\},\qquad B=\{2,3,4\}. \]
Entonces
\[ A\cup B=\{1,2,3,4\},\qquad A\cap B=\{2,4\}. \]
El \(2\) pertenece a la unión y a la intersección; el \(1\) pertenece a la unión, pero no a la intersección; el \(5\) no pertenece a ninguna. El ejemplo sirve para comprobar el significado de los conectivos, no para demostrar las identidades generales que formularemos más abajo.
Para conjuntos \(A,B\) y para un conjunto de referencia \(U\) con \(A\subseteq U\):
| Operación | Condición que caracteriza a sus elementos |
|---|---|
| Unión \(A\cup B\) | \(x\in A\lor x\in B\). |
| Intersección \(A\cap B\) | \(x\in A\land x\in B\). |
| Diferencia \(A\setminus B\) | \(x\in A\land x\notin B\). |
| Complemento de \(A\) en \(U\), \(U\setminus A\) | \(x\in U\land x\notin A\). |
Estas condiciones son bicondicionales de pertenencia. En particular, definir una operación no equivale a demostrar que cumple una identidad propuesta: para esa segunda tarea debemos justificar una equivalencia válida para cualquier objeto pertinente.
Diferencia: conservar una pertenencia y excluir otra
La diferencia de \(A\) y \(B\) es el conjunto de los elementos de \(A\) que no están en \(B\):
\[ A\setminus B=\{x\in A:x\notin B\}. \]
Su condición de pertenencia contiene una conjunción y una negación:
\[ x\in A\setminus B\quad\Longleftrightarrow\quad (x\in A)\land(x\notin B). \]
En nuestro ejemplo, \(A\setminus B=\{1\}\), mientras que \(B\setminus A=\{3\}\). La operación no es conmutativa en general: cambiar el orden intercambia el conjunto del cual partimos con el conjunto cuyos elementos excluimos. El \(1\) distingue las dos diferencias, pues pertenece a \(A\setminus B\) pero no a \(B\setminus A\).
Una precisión lógica: \(x\in A\setminus B\) exige ambas condiciones sobre el mismo \(x\). No bastaría presentar un elemento de \(A\) y otro, distinto, que no esté en \(B\); esa elección no aporta un testigo de la conjunción.
Complemento: «lo que falta» depende de un universo
Para hablar de complemento debemos fijar un conjunto de referencia \(U\) y suponer \(A\subseteq U\). El complemento de \(A\) relativo a \(U\) es
\[ A^{\mathrm c}_U:=U\setminus A=\{x\in U:x\notin A\}. \]
Si declaramos desde el principio que todos los elementos considerados pertenecen a \(U\), podemos abreviar su condición de pertenencia como \(x\in A^{\mathrm c}_U\leftrightarrow x\notin A\) para \(x\in U\). Sin esa restricción, el bicondicional omitiría la exigencia \(x\in U\): no estamos reuniendo objetos ajenos al conjunto de referencia.
Con \(U=\{1,2,3,4,5,6\}\) y \(A=\{1,2,4\}\), obtenemos
\[ A^{\mathrm c}_U=\{3,5,6\}. \]
Este complemento no coincide con \(B\setminus A=\{3\}\): los números \(5\) y \(6\) también pertenecen a \(U\) y están fuera de \(A\), aunque no pertenezcan a \(B\). Además, si ampliamos el universo a \(V=U\cup\{7\}\), entonces \(V\setminus A=\{3,5,6,7\}\). Por tanto, la expresión informal «todos los elementos que no están en \(A\)» es incompleta hasta especificar dónde se buscan esos elementos.
La negación \(x\notin A\) expresa una condición; el complemento \(U\setminus A\) designa un conjunto cuyos elementos se seleccionan dentro de \(U\). El capítulo 3 enseñó a mantener el dominio de una negación cuantificada; aquí aplicamos la misma disciplina a una operación de conjuntos. No usamos una comprensión irrestricta sobre «todos los objetos».
Una prueba completa: distribuir la intersección sobre la unión
La semejanza entre \(\cap,\cup\) y los conectivos \(\land,\lor\) sugiere una identidad. Para conjuntos arbitrarios \(A,B,C\), afirmamos que
\[ \boxed{A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C).} \]
Demostración por pertenencia. Sea \(x\) un objeto arbitrario. Si \(x\in A\cap(B\cup C)\), entonces \(x\in A\) y \(x\in B\cup C\). Por definición de unión, \(x\in B\) o \(x\in C\). En el primer caso, \(x\in A\cap B\); en el segundo, \(x\in A\cap C\). En cualquiera de los casos, \(x\in(A\cap B)\cup(A\cap C)\). Hemos probado la primera inclusión.
Recíprocamente, supongamos \(x\in(A\cap B)\cup(A\cap C)\). Entonces \(x\in A\cap B\) o \(x\in A\cap C\). En ambos casos \(x\in A\); además, en el primero \(x\in B\) y en el segundo \(x\in C\). Por ello \(x\in B\cup C\) y, junto con \(x\in A\), obtenemos \(x\in A\cap(B\cup C)\). Hemos probado la inclusión inversa.
Como ambas inclusiones valen para un \(x\) arbitrario, los dos conjuntos tienen exactamente los mismos elementos y son iguales. \(\square\)
Estructura de la prueba. El trabajo no consistió en verificar algunos conjuntos particulares ni en apelar a un diagrama. Partimos de una pertenencia, desplegamos definiciones, usamos una alternativa para separar casos y volvimos a reunir los resultados en una pertenencia. La igualdad exigió las dos direcciones, como anticipaba §4.1. Podemos condensar el núcleo lógico —sin reemplazar la explicación precedente— en
\[ \begin{aligned} x\in A\cap(B\cup C) &\Longleftrightarrow (x\in A)\land\bigl((x\in B)\lor(x\in C)\bigr)\\ &\Longleftrightarrow\bigl((x\in A)\land(x\in B)\bigr) \lor\bigl((x\in A)\land(x\in C)\bigr)\\ &\Longleftrightarrow x\in(A\cap B)\cup(A\cap C). \end{aligned} \]
La equivalencia central es la distributividad proposicional. Leerla en términos de objetos muestra exactamente por qué autoriza la identidad de conjuntos.
Diagnóstico: al negar una unión no permanece una alternativa
Alguien propone la igualdad
\[ A\setminus(B\cup C) \overset{?}{=}(A\setminus B)\cup(A\setminus C). \]
Su argumento es que «si un elemento queda fuera de la unión, basta con que quede fuera de uno de sus dos conjuntos». Ahí está el error: para no pertenecer a \(B\cup C\) debe estar fuera de ambos. En el universo finito \(U=\{1\}\), tomemos \(A=B=\{1\}\) y \(C=\varnothing\). El miembro izquierdo es \(\varnothing\), pero el derecho es \(\varnothing\cup\{1\}=\{1\}\); los conjuntos son diferentes.
La reparación correcta reemplaza la unión final por una intersección:
\[ \boxed{A\setminus(B\cup C) =(A\setminus B)\cap(A\setminus C).} \]
Justificación. Para cualquier objeto \(x\),
\[ \begin{aligned} x\in A\setminus(B\cup C) &\Longleftrightarrow (x\in A)\land\neg\bigl((x\in B)\lor(x\in C)\bigr)\\ &\Longleftrightarrow (x\in A)\land(x\notin B)\land(x\notin C)\\ &\Longleftrightarrow x\in(A\setminus B)\cap(A\setminus C). \end{aligned} \]
La segunda equivalencia usa De Morgan, y la última exige que \(x\) pertenezca a ambas diferencias. Esta cadena es válida aunque alguno de los conjuntos sea vacío; el contraejemplo anterior solamente refutó la versión incorrecta, no fue la prueba de la versión correcta. \(\square\)
Comprobación de aprendizaje. Sin enumerar elementos, podemos afirmar para todo conjunto \(A\) que \(A\cup\varnothing=A\), \(A\cap\varnothing=\varnothing\) y \(A\setminus A=\varnothing\): en cada caso se despliega la condición de pertenencia y se comprueba que coincide con la del conjunto propuesto. Estas identidades simples ofrecen una prueba de control para cualquier definición que utilicemos.
Respuesta razonada. Para cualquier \(x\), pertenecer a \(A\cup\varnothing\) equivale a \(x\in A\) o a una condición imposible; por eso equivale a \(x\in A\). Pertenecer a \(A\cap\varnothing\) exigiría \(x\in\varnothing\), imposible. Pertenecer a \(A\setminus A\) exigiría simultáneamente \(x\in A\) y \(x\notin A\), también imposible. La extensionalidad da las tres igualdades.
Después de la prueba. Las operaciones de conjuntos han convertido conectivos sobre pertenencia en nuevas colecciones, y la extensionalidad nos permitió probar identidades sin depender de cómo se dibujen. El siguiente paso introduce objetos de otra naturaleza: un par ordenado, cuyo orden importa, y el producto cartesiano de dos conjuntos.
4.3. Pares ordenados y producto cartesiano: por qué importa el orden
En §4.1 observamos que \(\{1,2\}=\{2,1\}\): cambiar el orden de los elementos enumerados no produce otro conjunto. Pero hay situaciones en las que importa distinguir el primer lugar del segundo. Una dirección de partida y una de llegada, o una entrada y un resultado, no desempeñan el mismo papel. Para expresar esa diferencia necesitamos un objeto que registre dos componentes con posiciones determinadas.
Un par ordenado no es una enumeración de dos elementos
Escribimos \((a,b)\) para el par ordenado cuya primera componente es \(a\) y cuya segunda componente es \(b\). El criterio que caracteriza su igualdad es
\[ \boxed{(a,b)=(c,d)\quad\Longleftrightarrow\quad(a=c)\land(b=d).} \]
La igualdad exige comparar las componentes en la misma posición. De aquí se sigue que \((a,b)=(b,a)\) exactamente cuando \(a=b\): si los pares son iguales, la igualdad de primeras componentes da \(a=b\); recíprocamente, si \(a=b\), las dos escrituras designan el mismo par. En particular, \((1,2)\ne(2,1)\), aunque \(\{1,2\}=\{2,1\}\). Tampoco confundiremos \((a,b)\) con \(\{a,b\}\): el primero registra posiciones; el segundo sólo registra pertenencias.
Para verificar que dos pares ordenados son iguales debemos comprobar dos igualdades: primera componente con primera y segunda con segunda. Para refutar esa igualdad basta encontrar una posición en la que las componentes sean distintas. La expresión \((a,a)\) sigue siendo un par ordenado con dos posiciones, aunque ambas estén ocupadas por el mismo objeto.
Una precisión fundacional. No estamos postulando que una lista entre paréntesis constituya, sin más, un nuevo objeto. Los pares pueden representarse mediante conjuntos ya dados. Una codificación habitual es
\[ (a,b):=\bigl\{\{a\},\{a,b\}\bigr\}. \]
Veamos por qué esta codificación conserva las posiciones. El único objeto que pertenece a todos los conjuntos que son elementos de \(\{\{a\},\{a,b\}\}\) es \(a\); los objetos que pertenecen a alguno de esos conjuntos son precisamente los de \(\{a,b\}\). Por tanto, si dos pares codificados son iguales, sus primeras componentes coinciden: \(a=c\), y además \(\{a,b\}=\{a,d\}\). Si \(b=a\), esta última igualdad obliga a \(d=a=b\). Si \(b\ne a\), la pertenencia \(b\in\{a,d\}\) obliga a \(b=d\). En ambos casos coinciden las segundas componentes. El recíproco es inmediato: si \(a=c\) y \(b=d\), las dos codificaciones son idénticas. Ésta es una justificación del criterio de igualdad; no emprenderemos aquí una axiomatización de la existencia de los conjuntos utilizados en la codificación.
Lectura guiada. ¿Por qué no bastaría definir \((a,b)\) como \(\{a,b\}\)? Porque entonces \((1,2)\) y \((2,1)\) serían iguales por extensionalidad, y perderíamos precisamente la información que pretendíamos conservar. No se trata de una diferencia entre llaves y paréntesis: una definición propuesta debe satisfacer la propiedad que necesitamos de ella.
Dos conjuntos dados determinan un producto cartesiano
Sean \(A\) y \(B\) conjuntos fijados. El producto cartesiano de \(A\) por \(B\) se define como el conjunto de todos los pares ordenados cuya primera componente pertenece a \(A\) y cuya segunda componente pertenece a \(B\):
\[ \boxed{A\times B:=\{(a,b):a\in A\ \text{y}\ b\in B\}.} \]
Se trata de una construcción relativa a los conjuntos \(A\) y \(B\) previamente especificados: no reunimos pares procedentes de un universo irrestricto. La definición proporciona una prueba de pertenencia que utilizaremos repetidamente:
\[ \boxed{(x,y)\in A\times B\quad\Longleftrightarrow\quad (x\in A)\land(y\in B).} \]
La conjunción obliga a comprobar ambas condiciones y a respetar las posiciones. Si escribimos \(\forall x\in A\;\forall y\in B\;((x,y)\in A\times B)\), la afirmación resultante es verdadera por definición; escribir solamente \((x,y)\in A\times B\) deja pendientes los valores de \(x,y\) o su declaración en el contexto. Recuperamos así la diferencia entre fórmula abierta y cuantificación trabajada en el capítulo 3.
Ejemplo finito. Sean \(A=\{1,2\}\) y \(B=\{2,3\}\). Al combinar cada primera componente permitida con cada segunda componente permitida, obtenemos
\[ A\times B=\{(1,2),(1,3),(2,2),(2,3)\}. \]
El par \((1,3)\) pertenece al producto porque \(1\in A\) y \(3\in B\). El par \((3,1)\) no pertenece: falla \(3\in A\) y también \(1\in B\). El par \((2,2)\) sí pertenece; la definición no exige componentes diferentes. Obsérvese que \(\{1,3\}=\{3,1\}\) no convierte a \((1,3)\) y \((3,1)\) en el mismo par. Asimismo, \(A\times B\) es un conjunto de pares; no es el par ordenado \((A,B)\), cuyas componentes son los propios conjuntos.
Cambiar los factores cambia las posiciones disponibles
El producto \(B\times A\) exige que la primera componente pertenezca a \(B\) y la segunda a \(A\). Con los conjuntos del ejemplo,
\[ B\times A=\{(2,1),(2,2),(3,1),(3,2)\}. \]
Como \((1,3)\in A\times B\) pero \((1,3)\notin B\times A\), se sigue que \(A\times B\ne B\times A\) en este ejemplo. Concluir que nunca son iguales sería igualmente incorrecto: si \(A=B\), ambas expresiones son \(A\times A\), y si uno de los factores es vacío ambos productos son vacíos, como probaremos enseguida. La conclusión general justificada es que el producto cartesiano no es conmutativo en general, no que la igualdad sea imposible en todo caso.
El cambio de posiciones, sin embargo, sí permite relacionar los productos mediante una regla precisa: si \((a,b)\in A\times B\), entonces \((b,a)\in B\times A\). En efecto, de la primera pertenencia obtenemos \(a\in A\) y \(b\in B\); para el par invertido, \(b\) ocupa la primera posición permitida por \(B\) y \(a\) la segunda permitida por \(A\). Esta correspondencia entre pares invertidos no establece la igualdad de los dos productos, porque generalmente \((a,b)\ne(b,a)\).
El vacío en cualquiera de los factores
Para cualesquiera conjuntos \(A,B\),
\[ \boxed{A\times B=\varnothing\quad\Longleftrightarrow\quad (A=\varnothing)\lor(B=\varnothing).} \]
Demostración. Si \(A=\varnothing\), no existe ninguna primera componente \(a\in A\); por tanto, no existe ningún par \((a,b)\) en \(A\times B\). Lo mismo ocurre si \(B=\varnothing\), pues no hay segunda componente disponible. En cualquiera de esos casos, \(A\times B=\varnothing\).
Recíprocamente, supongamos \(A\times B=\varnothing\) y que ninguno de los factores es vacío. Entonces existen \(a\in A\) y \(b\in B\). La definición del producto garantiza \((a,b)\in A\times B\), contradiciendo que el producto sea vacío. Luego, si el producto es vacío, al menos uno de los factores debe serlo. \(\square\)
Lectura de la prueba. Para probar que un producto no es vacío necesitamos dos testigos, uno de cada factor, y formar con ellos un par. No basta saber que \(A\) contiene un elemento si desconocemos si \(B\) contiene alguno. A la inversa, demostrar que uno de los factores carece de elementos descarta todos los pares sin necesidad de enumerarlos. En particular, \(\varnothing\times A=A\times\varnothing=\varnothing\), incluso si \(A\) contiene muchos elementos.
Una inclusión que se demuestra componente por componente
Proposición. Si \(A\subseteq C\) y \(B\subseteq D\), entonces
\[ A\times B\subseteq C\times D. \]
Demostración. Sea \((x,y)\in A\times B\) un par arbitrario. Por la condición de pertenencia, \(x\in A\) y \(y\in B\). Las hipótesis de inclusión dan \(x\in C\) y \(y\in D\), respectivamente. Por definición, \((x,y)\in C\times D\). Hemos cubierto todos los pares del primer producto y queda probada la inclusión. \(\square\)
No hemos demostrado la recíproca. Por ejemplo, si \(A=\varnothing\), se tiene \(A\times B=\varnothing\subseteq C\times D\) para cualesquiera \(B,C,D\), incluso aunque \(B\nsubseteq D\). Elegir \(B=\{1\}\) y \(D=\varnothing\) hace explícito el fallo. Este caso límite muestra por qué una igualdad o inclusión entre productos no debe transformarse en una afirmación sobre sus factores sin examinar las hipótesis de no vaciedad.
Auditoría: tres confusiones en una sola justificación
Se propone lo siguiente: «Como \(1\in A\) y \(3\in B\), el par \((3,1)\) pertenece a \(A\times B\); además, \(A\times B=B\times A\) porque \(\{1,3\}=\{3,1\}\)». Para los conjuntos \(A=\{1,2\}\) y \(B=\{2,3\}\), el argumento incurre en tres errores distintos. Primero, ubica \(3\) en la primera posición sin verificar \(3\in A\). Segundo, invierte la segunda componente sin verificar \(1\in B\). Tercero, usa la igualdad de dos conjuntos no ordenados para concluir la igualdad de pares o de productos, aunque sus criterios de igualdad son diferentes.
La reparación comienza por conservar las posiciones: de \(1\in A\) y \(3\in B\) se deduce \((1,3)\in A\times B\), y también \((3,1)\in B\times A\). Pero \((1,3)\notin B\times A\), pues \(1\notin B\); ese solo par refuta la igualdad de los productos en el ejemplo. Una afirmación sobre pertenencias individuales sólo autoriza el par cuyas componentes ocupan las posiciones indicadas por la definición.
Comprobación de aprendizaje. Si \(A=\{2\}\) y \(B=\{2\}\), calcula ambos productos y explica por qué coinciden. Después toma \(B=\varnothing\) y determina el producto sin enumerar pares. Compara por último \((2,2)\) con \(\{2\}\): la coincidencia del valor de sus componentes no identifica los tipos de objetos.
Respuesta razonada. Con \(A=B=\{2\}\), ambos productos son \(\{(2,2)\}\): sólo hay una elección para cada posición. Si \(B=\varnothing\), ambos productos son vacíos porque falta una componente. El par \((2,2)\) registra dos posiciones; \(\{2\}\) es un conjunto con un elemento. Con la codificación adoptada, \((2,2)=\{\{2\}\}\), que tampoco coincide con \(\{2\}\).
Después de la prueba. Sabemos reconocer pares por sus componentes y productos por una condición conjuntiva de pertenencia. Esto proporciona el universo de pares dentro del cual podremos seleccionar aquellos que cumplan una propiedad adicional. En §4.4 llamaremos relación a un subconjunto apropiado de un producto cartesiano; su definición exigirá conservar los dominios y no confundir una condición entre dos objetos con una función.
4.4. Relaciones como subconjuntos de productos cartesianos: ¿qué afirma \(R(x,y)\)?
El producto cartesiano reúne todos los pares que podemos formar a partir de dos conjuntos. Una relación selecciona algunos de esos pares, de acuerdo con una condición. El paso no consiste en abandonar el lenguaje lógico: consiste en registrar mediante un conjunto qué instancias de una condición entre dos objetos son verdaderas. Conservaremos los dos conjuntos de referencia, pues de ellos depende qué pares pueden considerarse y qué significan los cuantificadores de nuestras afirmaciones.
Definición: una relación selecciona pares de un producto fijado
Sean \(A\) y \(B\) conjuntos. Una relación binaria de \(A\) en \(B\) es un conjunto \(R\) tal que
\[ \boxed{R\subseteq A\times B.} \]
Sus elementos son pares ordenados. Para \(x\in A\) e \(y\in B\), escribiremos indistintamente \(x\,R\,y\) o \(R(x,y)\) como abreviaturas de la proposición \((x,y)\in R\):
\[ \boxed{x\,R\,y\quad\Longleftrightarrow\quad (x,y)\in R.} \]
La letra \(R\) designa aquí un conjunto de pares; la escritura \(R(x,y)\) expresa una afirmación acerca de dos objetos en las posiciones indicadas. No denota, por sí sola, un valor obtenido al aplicar una función llamada \(R\) al argumento \(x\). Si \(R\) se describe mediante una condición \(P(x,y)\), debemos indicar los conjuntos de referencia y entender
\[ R=\{(x,y)\in A\times B:P(x,y)\}, \qquad (x,y)\in R\ \Longleftrightarrow\ P(x,y) \quad(x\in A,\ y\in B). \]
La comprensión está restringida al producto ya fijado. La condición no autoriza a reunir en un conjunto todos los pares imaginables, con independencia de sus dominios. Una relación de \(A\) en \(A\) recibe también el nombre de relación sobre \(A\).
- \(A\times B\) es el conjunto de pares permitidos por las posiciones.
- \(R\subseteq A\times B\) es el conjunto de pares seleccionados.
- \(R(x,y)\) es la proposición que afirma que el par concreto \((x,y)\) fue seleccionado.
De \(x\in A\) e \(y\in B\) se deduce \((x,y)\in A\times B\), no necesariamente \((x,y)\in R\). La última pertenencia requiere además verificar la condición propia de \(R\).
Leer una relación finita sin perder las posiciones
Tomemos
\[ A=\{1,2,4\},\qquad B=\{2,3\},\qquad R=\{(x,y)\in A\times B:x<y\}. \]
Enumerar el producto produce seis pares; imponer la condición \(x<y\) conserva exactamente tres:
\[ \boxed{R=\{(1,2),(1,3),(2,3)\}.} \]
Por tanto, \(1\,R\,2\) es verdadera y \(2\,R\,2\) es falsa: el par \((2,2)\) pertenece al producto, pero no satisface la desigualdad estricta. También \(4\,R\,3\) es falsa; ninguna segunda componente permitida supera a \(4\). En cambio, invertir \((1,3)\) produce \((3,1)\), que ni siquiera pertenece al producto \(A\times B\) de referencia. Recordemos que cambiar las posiciones no conserva automáticamente la pertenencia.
Podemos leer la relación como una tabla de comprobación. Cada celda pregunta si el par determinado por su fila y su columna pertenece a \(R\):
| Primera componente | \(y=2\) | \(y=3\) |
|---|---|---|
| \(x=1\) | Sí | Sí |
| \(x=2\) | No | Sí |
| \(x=4\) | No | No |
La tabla hace visibles tres situaciones: \(1\) está relacionado con dos elementos de \(B\); \(2\), con uno; \(4\), con ninguno. Una relación no exige que todos los elementos del conjunto inicial participen, ni que cada uno tenga una única segunda componente. Estos requisitos adicionales serán precisamente el objeto de §4.5.
Lectura lógica. La proposición «cada elemento de \(A\) se relaciona con algún elemento de \(B\)» se escribe
\[ \forall x\in A\;\exists y\in B\;R(x,y). \]
Es falsa para nuestra relación: \(x=4\) es un contraejemplo, porque no existe \(y\in B\) con \(4<y\). La proposición «existe un elemento de \(A\) relacionado con dos elementos distintos de \(B\)» es, en cambio, verdadera: \(x=1\) y los testigos \(y=2\), \(z=3\) la verifican. Los cuantificadores no son un adorno añadido a la lista de pares: determinan qué propiedades generales estamos afirmando acerca de ella.
Conjuntos de referencia y elementos efectivamente relacionados
El conjunto \(A\) fija las primeras componentes admisibles, pero algunas quizá no aparezcan en ningún par de \(R\). Llamamos dominio efectivo de la relación al conjunto
\[ \operatorname{dom}(R):=\{x\in A:\exists y\in B\;(x,y)\in R\}. \]
Por definición, \(\operatorname{dom}(R)\subseteq A\). Para el ejemplo anterior,
\[ \operatorname{dom}(R)=\{1,2\}\ne A: \]
el número \(4\) pertenece a \(A\), pero no es primera componente de ningún par de \(R\). Análogamente, las segundas componentes que aparecen efectivamente forman el conjunto \(\{y\in B:\exists x\in A\;(x,y)\in R\}\), que en el ejemplo es \(\{2,3\}\). Dejaremos el estudio sistemático de las imágenes para §4.6; aquí basta distinguir el conjunto de referencia \(B\) de los valores realmente presentes.
En el caso de relaciones, distinguiremos el conjunto inicial declarado \(A\) del dominio efectivo \(\operatorname{dom}(R)\). Para funciones, en §4.5, exigiremos que todas las entradas del dominio declarado tengan exactamente una salida, por lo que allí ambos conjuntos coincidirán. No intercambiemos esas convenciones antes de enunciar las hipótesis.
El mismo conjunto de pares puede contemplarse con distintos conjuntos de referencia. Por ejemplo, \(T=\{(1,2)\}\) es una relación de \(\{1\}\) en \(\{2\}\), pero también de \(\{1,3\}\) en \(\{2\}\). En el primer contexto es verdadera la fórmula \(\forall x\in A\;\exists y\in B\;T(x,y)\); en el segundo es falsa, porque \(3\) no aparece como primera componente. El conjunto de pares por sí solo no determina qué afirmación cuantificada estamos evaluando si omitimos los conjuntos declarados. Cuando hagan falta ambos datos, especificaremos \(A\), \(B\) y \(T\) conjuntamente.
Los casos extremos también son relaciones legítimas: \(\varnothing\subseteq A\times B\) y \(A\times B\subseteq A\times B\). La relación vacía no selecciona par alguno; la relación total selecciona todos los pares disponibles. Si \(A=\varnothing\) o \(B=\varnothing\), el producto es vacío y la única relación posible como subconjunto de él es la vacía. Las afirmaciones universales con dominio inicial vacío son vacuamente verdaderas; eso no crea un par ni un testigo.
Comparar relaciones mediante implicaciones lógicas
Sean \(R,S\subseteq A\times B\). La inclusión entre relaciones no pide comparar dibujos ni nombres: pide comprobar que todo par que satisface la primera condición satisface también la segunda.
Proposición. Para dos relaciones con los mismos conjuntos de referencia,
\[ \boxed{R\subseteq S\quad\Longleftrightarrow\quad \forall x\in A\;\forall y\in B\; \bigl(R(x,y)\to S(x,y)\bigr).} \]
Demostración. Supongamos primero \(R\subseteq S\). Dados \(x\in A\) e \(y\in B\) arbitrarios, si \(R(x,y)\) es verdadera, entonces \((x,y)\in R\); la inclusión garantiza \((x,y)\in S\), es decir, \(S(x,y)\). Queda probado el condicional para todo par del producto.
Recíprocamente, supongamos válida la fórmula universal y tomemos un par cualquiera \((x,y)\in R\). Como \(R\subseteq A\times B\), sabemos que \(x\in A\) e \(y\in B\). La hipótesis universal, aplicada a esas componentes, convierte \(R(x,y)\) en \(S(x,y)\); por tanto, \((x,y)\in S\). Hemos probado \(R\subseteq S\). \(\square\)
Después de la prueba. Para establecer \(R=S\) podemos aplicar la proposición en ambas direcciones, igual que hicimos con la igualdad de conjuntos en §4.1. El hecho de que las relaciones sean conjuntos permite reutilizar las técnicas de demostración ya conocidas. En particular, sobre el producto fijado, \(R\cap S\) selecciona exactamente los pares que verifican ambas condiciones, y \(R\cup S\), los que verifican al menos una.
Cuando ambos conjuntos son el mismo: propiedades de una relación
Si \(R\subseteq A\times A\), las dos componentes pertenecen a un mismo conjunto y podemos formular ciertas propiedades sin cambiar los tipos de las posiciones. Introduciremos tres como ejemplos de traducción de lenguaje a cuantificadores, sin desarrollar aquí una teoría de clasificación de relaciones:
| Propiedad de \(R\) sobre \(A\) | Condición lógica |
|---|---|
| Reflexiva | \(\forall x\in A\;R(x,x)\). |
| Simétrica | \(\forall x,y\in A\;(R(x,y)\to R(y,x))\). |
| Transitiva | \(\forall x,y,z\in A\;((R(x,y)\land R(y,z))\to R(x,z))\). |
La relación \(\leq\) restringida a \(A=\{1,2,3\}\) es reflexiva: todo \(x\in A\) satisface \(x\leq x\); es transitiva porque de \(x\leq y\) e \(y\leq z\) se sigue \(x\leq z\). No es simétrica: \(1\leq 2\), pero \(2\nleq 1\). Por otra parte, la relación \(Q=\{(1,2),(2,3)\}\) sobre el mismo \(A\) no es transitiva: están los dos pares del antecedente para \(x=1,y=2,z=3\), pero falta \((1,3)\). Un solo triple adecuado refuta la afirmación universal de transitividad.
Estas propiedades se aplican a una relación sobre un conjunto fijado; no debemos trasladar mecánicamente la fórmula \(R(y,x)\) a una relación de \(A\) en \(B\) cuando quizá \(y\notin A\) o \(x\notin B\). La inversión de posiciones exige comprobar primero los dominios pertinentes.
Auditoría de un argumento: confundir producto, relación y función
Leemos el razonamiento siguiente: «Si \(x\in A\) e \(y\in B\), entonces \((x,y)\in A\times B\); por tanto \(R(x,y)\). Además, puesto que \(R\) es una relación, a cada \(x\) le corresponde un único \(y\)». Las dos conclusiones son injustificadas. La primera confunde pertenecer al producto con pertenecer al subconjunto \(R\). La segunda agrega condiciones de existencia y unicidad que no aparecen en la definición \(R\subseteq A\times B\).
El ejemplo \(x<y\) anterior permite diagnosticar ambas fallas sin ambigüedad: \((2,2)\in A\times B\) pero \((2,2)\notin R\); el elemento \(1\) tiene dos parejas y el \(4\) no tiene ninguna. La reparación consiste en probar por separado que un par cumple la condición de \(R\) y, si queremos obtener una función, verificar para cada entrada la existencia de un resultado y la imposibilidad de dos resultados distintos. La definición exacta de función y sus obligaciones de prueba se establecerán en la sección siguiente.
Comprobación de aprendizaje. Sea \(A=\{1,2\}\) y \(B=\{2\}\), y definamos \(S=\{(x,y)\in A\times B:x<y\}\). Determina \(S\) y \(\operatorname{dom}(S)\), decide si \(\forall x\in A\;\exists y\in B\;S(x,y)\) es verdadera y explica por qué el producto contiene un par que \(S\) no contiene. La respuesta correcta exige enumerar pares con posiciones, aplicar la condición y evaluar el cuantificador, en ese orden.
Respuesta razonada. Los pares disponibles son \((1,2)\) y \((2,2)\); sólo el primero cumple \(x<y\). Así, \(S=\{(1,2)\}\) y \(\operatorname{dom}(S)=\{1\}\). La universal es falsa: \(x=2\) no tiene pareja en \(S\). El par \((2,2)\) pertenece al producto pero no a \(S\), pues \(2<2\) es falso.
Después de la prueba. Una relación es un conjunto de pares y sus afirmaciones pueden leerse mediante pertenencia y cuantificadores. Lo que todavía falta para hablar de función no es una nueva notación, sino una exigencia estructural: para cada entrada del dominio declarado debe existir exactamente una salida del codominio. Ésa será la pregunta de §4.5.
4.5. ¿Qué convierte una correspondencia en función? Existencia y unicidad por entrada
En §4.4 vimos que una relación puede dejar entradas sin pareja o asociar a una entrada varias segundas componentes. Una función excluye ambas posibilidades, pero no prohíbe que entradas diferentes compartan una salida. Esta distinción será decisiva: la unicidad se exige después de fijar cada entrada, no entre todas las entradas del dominio.
Definición: una relación total y univaluada respecto de dos conjuntos
Sean \(A\) y \(B\) conjuntos declarados y \(G\subseteq A\times B\). Diremos que \(G\) es el grafo de una función de \(A\) en \(B\) cuando
\[ \boxed{\forall x\in A\;\exists!y\in B\;((x,y)\in G).} \]
Si usamos la abreviatura \(G(x,y)\) de §4.4, esta fórmula se escribe \(\forall x\in A\;\exists!y\in B\;G(x,y)\). No afirma que exista un único par en todo el grafo: permite un par por cada entrada, incluso cuando hay muchas entradas.
Para hacer explícito qué hemos de probar, desplegamos el cuantificador de existencia única, con \(x\in A\) fijado:
\[ \exists y\in B\;\bigl[(x,y)\in G\ \land \forall z\in B\;((x,z)\in G\to z=y)\bigr]. \]
La definición equivale a exigir simultáneamente estas dos condiciones:
\[ \begin{aligned} \text{Existencia para cada entrada:}&\quad \forall x\in A\;\exists y\in B\;((x,y)\in G),\\ \text{Unicidad para cada entrada:}&\quad \forall x\in A\;\forall y,z\in B\; \bigl(((x,y)\in G\land(x,z)\in G)\to y=z\bigr). \end{aligned} \]
Demostración de la equivalencia. Si cada \(x\) tiene exactamente una pareja, la primera condición se obtiene tomando esa pareja y la segunda comparando cualesquiera dos parejas de la misma entrada: ambas deben coincidir con la única. Recíprocamente, fijemos \(x\in A\). La primera condición proporciona un \(y\in B\) con \((x,y)\in G\). Si otro \(z\in B\) también cumple \((x,z)\in G\), la segunda condición, aplicada a ese \(x,y,z\), da \(z=y\). Existe, pues, exactamente una pareja para el \(x\) arbitrario. \(\square\)
Existencia: para un \(x\in A\) arbitrario, producir algún \(y\in B\) y comprobar \((x,y)\in G\).
Unicidad: dados \(y,z\in B\) tales que \((x,y),(x,z)\in G\), demostrar \(y=z\).
Un ejemplo particular no prueba la existencia universal; encontrar una salida para cada entrada tampoco demuestra la unicidad si puede haber otras.
La primera condición equivale a \(\operatorname{dom}(G)=A\), donde \(\operatorname{dom}(G)\) es el dominio efectivo definido en §4.4: por construcción ya sabemos que \(\operatorname{dom}(G)\subseteq A\), y la existencia aporta la inclusión inversa. La segunda condición suele llamarse univaluación o propiedad de un solo valor por entrada. Una relación puede ser univaluada sin estar definida en todo \(A\); aún no sería una función \(A\to B\) según nuestra convención.
Tres relaciones para separar los dos requisitos
Fijemos \(A=\{1,2,4\}\) y \(B=\{2,3\}\) y comparemos
\[ \begin{aligned} G&=\{(1,2),(2,3),(4,2)\},\\ H&=\{(1,2),(2,3)\},\\ K&=\{(1,2),(1,3),(2,3),(4,2)\}. \end{aligned} \]
El conjunto \(G\) cumple los dos requisitos: cada elemento de \(A\) aparece como primera componente y ninguna primera componente tiene dos valores diferentes. Por tanto, determina una función de \(A\) en \(B\). Que \(1\) y \(4\) tengan ambos salida \(2\) no viola la definición: las entradas son distintas.
La relación \(H\) satisface la unicidad, pero falla la existencia para \(x=4\): no hay par que comience por \(4\). Su dominio efectivo es \(\{1,2\}\); puede servir de grafo de una función definida sobre ese conjunto más pequeño, pero no de una función cuyo dominio declarado sea \(A\).
La relación \(K\) satisface la existencia para las tres entradas, pero falla la unicidad en \(x=1\), puesto que \((1,2),(1,3)\in K\) y \(2\ne3\). Por tanto, tampoco es el grafo de una función \(A\to B\). En el ejemplo de la relación \(x<y\) de §4.4 fallaban ambas condiciones: \(4\) no tenía salida y \(1\) tenía dos. Tenemos así contraejemplos que permiten distinguir las dos obligaciones, en lugar de confundirlas bajo la frase imprecisa «la regla no funciona».
Dominio, codominio, grafo y valor: datos distintos
En este libro una función \(f:A\to B\) tiene dominio declarado \(A\), codominio declarado \(B\) y un grafo \(G_f\subseteq A\times B\) que verifica la condición de existencia y unicidad. Si se prefiere explicitar estos datos, podemos representar la función mediante la terna \((A,B,G_f)\): ésta es una convención adoptada para controlar los tipos de entrada y salida, no una afirmación de que todos los textos identifiquen funciones de la misma manera.
Una vez demostrada la condición, para cada \(x\in A\) denotamos por \(f(x)\) el único \(y\in B\) tal que \((x,y)\in G_f\). Ésta es la lectura precisa de la notación funcional:
\[ \boxed{f(x)=y\quad\Longleftrightarrow\quad(x,y)\in G_f \qquad(x\in A,\ y\in B).} \]
Podemos escribir \(x\mapsto f(x)\) para indicar la asignación y reconstruir el grafo a partir de los valores:
\[ G_f=\{(x,f(x)):x\in A\}. \]
Justificación. Cada par de la derecha pertenece a \(G_f\) por la definición de \(f(x)\). Recíprocamente, si \((x,y)\in G_f\), entonces \(x\in A\) y la unicidad obliga a \(y=f(x)\), de modo que el par aparece en el conjunto de la derecha. Las dos inclusiones prueban la igualdad. \(\square\)
En particular, \(f(x)\) es un elemento de \(B\), mientras que \(G_f\) es un conjunto de pares y \(f\) es la función con sus datos declarados. Escribir una fórmula o dibujar flechas puede ser una forma de especificar la asignación; ninguna de esas presentaciones exime de comprobar que está definida y es univaluada sobre el dominio escogido.
El codominio no se deduce sólo de los pares. Sea \(A_0=\{1\}\) y \(G_0=\{(1,2)\}\). El mismo grafo permite declarar una función \(A_0\to\{2\}\) o una función \(A_0\to\{2,3\}\). Ambas asignan \(2\) a la entrada \(1\), pero sus codominios declarados son diferentes; por nuestra convención, no son la misma función como dato completo. La igualdad de funciones se estudiará sistemáticamente en §4.7. Por ahora, no confundamos codominio con el conjunto de valores efectivamente alcanzados.
Una prueba con dominio infinito: \(n\mapsto n+1\)
Consideremos la relación, construida dentro de un producto previamente fijado,
\[ G=\{(n,m)\in\mathbb Z\times\mathbb Z:m=n+1\}. \]
Proposición. \(G\) es el grafo de una función \(f:\mathbb Z\to\mathbb Z\) y, para todo \(n\in\mathbb Z\), \(f(n)=n+1\).
Demostración. Fijemos un entero \(n\) arbitrario. Para la existencia, elegimos \(m=n+1\). Como la suma de enteros es un entero, \(m\in\mathbb Z\) y la igualdad que define \(G\) se satisface; luego \((n,m)\in G\). Para la unicidad, supongamos \((n,m)\in G\) y \((n,m')\in G\) con \(m,m'\in\mathbb Z\). La definición da \(m=n+1\) y \(m'=n+1\); por transitividad de la igualdad, \(m=m'\). Las dos condiciones valen para todo \(n\in\mathbb Z\), así que \(G\) determina una función con dominio y codominio \(\mathbb Z\). Su valor en \(n\) es precisamente el entero construido, \(f(n)=n+1\). \(\square\)
Lectura de la prueba. La fórmula \(m=n+1\) ofrece un candidato, pero el argumento verifica también que pertenece al codominio y que otro candidato no puede diferir de él. Si sustituyéramos el codominio por un conjunto que excluyera algunos valores \(n+1\), la misma fórmula podría dejar de definir una función con los datos anunciados.
Casos vacíos y una distinción lógica sutil
Si \(A=\varnothing\), el producto \(A\times B\) es vacío y su única relación es \(G=\varnothing\). La afirmación \(\forall x\in A\;\exists!y\in B\;G(x,y)\) resulta verdadera vacuamente, cualquiera que sea \(B\), incluso si también es vacío. Así, existe la función vacía \(\varnothing\to B\), con grafo vacío. No hemos deducido que exista un elemento de \(B\): no hubo ninguna entrada que exigiera testigo.
Si, en cambio, \(A\ne\varnothing\) y \(B=\varnothing\), no puede existir una función \(A\to B\). En efecto, tomando \(a\in A\), la existencia exigiría algún \(y\in\varnothing\), lo cual es imposible. Estos casos muestran por qué la definición exige un cuantificador para cada entrada y por qué no debe sustituirse por la afirmación incondicional \(\exists y\in B\).
Auditoría: tres deducciones que no autoriza una fórmula
Alguien escribe: «Como \(y=x^2\) da una salida, es una función de \(\mathbb Z\) en \(\mathbb Z\); además, al ser función, cada \(y\) procede de un único \(x\); por último, el codominio es necesariamente el conjunto de los cuadrados». El primer paso podría justificarse, pero no sólo con la frase «da una salida»: hay que verificar para cada entero \(x\) que \(x^2\in\mathbb Z\) y que, si \(y=x^2\) y \(z=x^2\), entonces \(y=z\). Esas comprobaciones sí demuestran que el grafo de \(y=x^2\) define una función \(\mathbb Z\to\mathbb Z\).
La segunda conclusión es falsa: \(1\) y \(-1\) son entradas diferentes con el mismo valor \(1\). La unicidad de la definición compara salidas para una entrada fija, no entradas que comparten una salida. La tercera conclusión también es falsa: el codominio declarado puede ser \(\mathbb Z\) aunque sólo se alcancen enteros cuadrados. Las propiedades que discriminan entradas y valores alcanzados pertenecen a §4.7; aquí basta no atribuirlas automáticamente a toda función.
Comprobación de aprendizaje. Para \(A=\{0,1\}\), \(B=\{0,1,2\}\) y \(T=\{(0,1),(1,1)\}\), comprueba existencia y unicidad para cada entrada, escribe \(f(0)\) y \(f(1)\), e identifica su dominio efectivo y su codominio declarado. Después agrega \((0,2)\) al grafo: ¿qué obligación falla, y con qué dos testigos? Si, en vez de agregarlo, eliminas \((1,1)\), ¿qué obligación falla? La respuesta debe señalar una entrada concreta en cada caso.
Respuesta razonada. Las entradas \(0\) y \(1\) tienen, cada una, la única salida \(1\); por tanto \(f(0)=f(1)=1\), el dominio efectivo es \(\{0,1\}=A\) y el codominio declarado es \(B=\{0,1,2\}\). Agregar \((0,2)\) viola la unicidad en la entrada \(0\), con salidas distintas \(1\) y \(2\). Eliminar \((1,1)\) del grafo original viola la existencia en la entrada \(1\).
Después de la prueba. Ahora podemos distinguir una relación arbitraria de un grafo funcional y leer \(f(x)\) como el único valor asociado a \(x\). La siguiente pregunta no cambia la definición de función: estudia qué subconjuntos del codominio se alcanzan y qué entradas corresponden a un conjunto de valores. En §4.6 introduciremos imagen y preimagen sin confundir una preimagen con una función inversa.
4.6. Imagen y preimagen: valores alcanzados y selección de entradas
La sección anterior definió una función \(f:A\to B\) mediante un dominio \(A\), un codominio \(B\) y un grafo que asigna a cada \(x\in A\) un único valor \(f(x)\in B\). Esto todavía no responde dos preguntas diferentes: si escogemos algunas entradas, ¿qué valores producen? Si escogemos algunos valores del codominio, ¿qué entradas los producen? La primera pregunta conduce a la imagen; la segunda, a la preimagen. En ambas fijaremos los conjuntos antes de aplicar las definiciones.
La imagen: partir de entradas y reunir los valores obtenidos
Sea \(S\subseteq A\). Definimos la imagen de \(S\) por \(f\) como el conjunto
\[ \boxed{f(S):=\{f(x):x\in S\}\subseteq B.} \]
No se está aplicando \(f\) a un conjunto como si éste fuera necesariamente un elemento de \(A\). La notación \(f(S)\) designa el conjunto de los valores de \(f(x)\) cuando \(x\) recorre \(S\); la extensión de una función a subconjuntos se define expresamente aquí. En particular, para \(y\in B\),
\[ \boxed{y\in f(S)\quad\Longleftrightarrow\quad \exists x\in S\;(f(x)=y).} \]
Justificación. Si \(y\in f(S)\), por definición es el valor \(f(x)\) de alguna entrada \(x\in S\); tal entrada es el testigo del existencial. Recíprocamente, si existe \(x\in S\) con \(f(x)=y\), el valor \(y\) figura entre los reunidos por la definición de \(f(S)\). Las dos direcciones justifican el bicondicional. \(\square\)
Esta fórmula también explica por qué no se exige que cada valor del codominio sea alcanzado: sólo sabemos que \(f(S)\subseteq B\). Llamamos imagen de la función o conjunto de valores efectivamente alcanzados a
\[ \operatorname{Im}(f):=f(A)=\{y\in B:\exists x\in A\;(f(x)=y)\}. \]
Usaremos \(\operatorname{Im}(f)\) cuando interese distinguirla de la imagen de un subconjunto particular. El codominio \(B\) forma parte de los datos declarados de la función, mientras que \(\operatorname{Im}(f)\) se determina mediante sus valores. Son iguales en algunas funciones, pero no por definición.
La preimagen: fijar un conjunto de valores y seleccionar entradas
Sea ahora \(T\subseteq B\). Definimos su preimagen por \(f\), también llamada imagen inversa del conjunto \(T\), por
\[ \boxed{f^{-1}(T):=\{x\in A:f(x)\in T\}\subseteq A.} \]
La prueba de pertenencia es directa: para todo \(x\in A\),
\[ \boxed{x\in f^{-1}(T)\quad\Longleftrightarrow\quad f(x)\in T.} \]
La imagen pregunta por un testigo de entrada para cada valor candidato; la preimagen pregunta por una condición sobre el valor de una entrada ya fijada. La definición de preimagen no presupone que exista una entrada para cada \(y\in T\), ni que tal entrada sea única. Puede haber cero, una o varias entradas que se seleccionen mediante la misma condición. La comprensión se efectúa dentro del dominio previamente declarado \(A\), sin construir conjuntos a partir de un universo irrestricto.
Para \(f:A\to B\), \(S\subseteq A\) y \(T\subseteq B\):
| Construcción | Conjunto resultante | Criterio para pertenecer |
|---|---|---|
| \(f(S)\) | Subconjunto de \(B\). | \(y\in f(S)\iff\exists x\in S\;(f(x)=y)\). |
| \(f^{-1}(T)\) | Subconjunto de \(A\). | \(x\in f^{-1}(T)\iff f(x)\in T\), para \(x\in A\). |
Las letras \(S\) y \(T\) representan conjuntos, no entradas y salidas individuales. En general, \(f(S)\) no es un elemento de \(B\), ni \(f^{-1}(T)\) es un elemento de \(A\).
Un ejemplo que impide confundir imagen, codominio y función inversa
Trabajemos con los conjuntos finitos
\[ A=\{-2,-1,0,1,2\},\qquad B=\{0,1,4,9\}, \]
y con la función \(f:A\to B\) definida por \(f(n)=n^2\). Cada entero de \(A\) tiene exactamente un cuadrado y cada uno de esos cuadrados pertenece a \(B\); la justificación de que la regla define una función usa las obligaciones del §4.5. Su grafo es
\[ G_f=\{(-2,4),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,4)\}. \]
No aparece ningún par con segunda componente \(9\). Por tanto,
\[ \operatorname{Im}(f)=f(A)=\{0,1,4\} \quad\text{y}\quad \operatorname{Im}(f)\ne B. \]
Si seleccionamos \(S=\{-2,0,1\}\), sus valores son \(4\), \(0\) y \(1\), de modo que \(f(S)=\{0,1,4\}\). No debemos incorporar \(-1\) ni \(2\) al conjunto imagen: son entradas de \(A\), aunque sus valores sean los mismos que los de algunas entradas de \(S\). Si elegimos un subconjunto menor, \(S_0=\{-2,2\}\), obtenemos \(f(S_0)=\{4\}\); dos entradas pueden contribuir a un solo elemento de la imagen.
Por otro lado, para \(T=\{1,9\}\subseteq B\), las entradas seleccionadas son únicamente \(-1\) y \(1\): ambos cuadrados valen \(1\), y ninguna entrada tiene cuadrado \(9\). Así,
\[ f^{-1}(\{1,9\})=\{-1,1\},\qquad f^{-1}(\{9\})=\varnothing. \]
También \(f^{-1}(\{0,1\})=\{-1,0,1\}\). En el primer cálculo, el valor \(9\) pertenece a \(T\) y al codominio, pero no produce ninguna entrada; en el segundo, \(1\) produce dos entradas distintas. Precisamente por eso la preimagen está bien definida como conjunto, aunque no pueda asignarse a cada \(y\in B\) una única entrada \(x\in A\) con \(f(x)=y\).
¿Por qué \(f^{-1}(T)\) no presupone una función inversa?
El exponente \(-1\) en \(f^{-1}(T)\) es una notación para la preimagen de un conjunto, no una afirmación de que ya exista una función \(f^{-1}:B\to A\). Si quisiéramos definir una función inversa mediante la regla «a \(y\) le corresponde el \(x\) tal que \(f(x)=y\)», deberíamos probar, para cada \(y\in B\), la existencia y la unicidad de esa entrada. Nuestro ejemplo refuta ambos requisitos: \(9\) no tiene ninguna preimagen individual y \(1\) tiene dos, \(-1\) y \(1\).
Podemos invertir formalmente los pares del grafo y formar una relación de \(B\) en \(A\), pero en este ejemplo esa relación no es el grafo de una función \(B\to A\). Esto no impide calcular \(f^{-1}(T)\) para todo subconjunto \(T\subseteq B\): basta evaluar la condición \(f(x)\in T\) para cada \(x\in A\). Las hipótesis bajo las cuales sí puede invertirse una función se identificarán en §4.7, sin darlas por supuestas aquí.
Lectura guiada. La frase «el valor \(1\) tiene una preimagen» es ambigua si no se aclara si se habla de una entrada individual o del conjunto de entradas. Es más preciso escribir \(f^{-1}(\{1\})=\{-1,1\}\). La imagen inversa de un singleton puede contener varios elementos, uno o ninguno; no se obtiene por ello una función inversa.
Una demostración por pertenencia: la preimagen conserva intersecciones
Proposición. Para una función \(f:A\to B\) y subconjuntos \(T,U\subseteq B\),
\[ \boxed{f^{-1}(T\cap U)=f^{-1}(T)\cap f^{-1}(U).} \]
Demostración. Tomemos una entrada arbitraria \(x\in A\). Por la definición de preimagen,
\[ \begin{aligned} x\in f^{-1}(T\cap U) &\Longleftrightarrow f(x)\in T\cap U\\ &\Longleftrightarrow (f(x)\in T)\land(f(x)\in U)\\ &\Longleftrightarrow (x\in f^{-1}(T))\land(x\in f^{-1}(U))\\ &\Longleftrightarrow x\in f^{-1}(T)\cap f^{-1}(U). \end{aligned} \]
Cada paso aplica una definición de pertenencia; el segundo despliega la intersección y el tercero vuelve a traducir mediante preimágenes. Como el bicondicional vale para cualquier \(x\in A\) y ambos miembros son subconjuntos de \(A\), la extensionalidad establece la igualdad. \(\square\)
Después de la prueba. La afirmación no depende de que \(f\) sea inyectiva ni de que alcance todo \(B\): sólo utiliza que cada entrada tiene un valor definido. El mismo método y el conectivo «o» prueban
\[ f^{-1}(T\cup U)=f^{-1}(T)\cup f^{-1}(U). \]
Para esta segunda igualdad, el paso central sería \(f(x)\in T\cup U\iff f(x)\in T\lor f(x)\in U\). No se concluye una identidad por semejanza gráfica: se identifica la equivalencia de pertenencia que la prueba necesitaría.
La imagen de una intersección: una inclusión que no siempre es igualdad
Para subconjuntos \(S,V\subseteq A\) se cumple
\[ \boxed{f(S\cap V)\subseteq f(S)\cap f(V).} \]
Demostración. Sea \(y\in f(S\cap V)\). Existe \(x\in S\cap V\) tal que \(f(x)=y\). Ese mismo testigo pertenece a \(S\) y a \(V\); por consiguiente, \(y\in f(S)\) e \(y\in f(V)\), y obtenemos la inclusión. \(\square\)
¿Es válida la inclusión inversa? Regresemos a la función cuadrado de nuestro ejemplo y elijamos \(S=\{-1\}\) y \(V=\{1\}\). Entonces \(S\cap V=\varnothing\), por lo que \(f(S\cap V)=\varnothing\); sin embargo,
\[ f(S)\cap f(V)=\{1\}\cap\{1\}=\{1\}. \]
El error de la supuesta recíproca está en los testigos. Saber que \(y\in f(S)\) y \(y\in f(V)\) proporciona una entrada en \(S\) y otra en \(V\) que alcanzan el mismo valor \(y\); no garantiza que sea una sola entrada que pertenezca a ambos conjuntos. En cambio, sí vale siempre
\[ f(S\cup V)=f(S)\cup f(V), \]
pues un testigo de pertenencia a \(S\cup V\) pertenece a al menos uno de los conjuntos y, recíprocamente, cualquier testigo en uno de ellos también pertenece a la unión. De nuevo, el alcance del cuantificador existencial decide qué operaciones pueden intercambiarse con la imagen.
Dos relaciones útiles y los casos vacíos
La imagen y la preimagen permiten leer de manera exacta qué sucede al ir de las entradas a los valores y regresar. Para \(S\subseteq A\) y \(T\subseteq B\) tenemos
\[ \boxed{S\subseteq f^{-1}(f(S)),\qquad f(f^{-1}(T))=T\cap\operatorname{Im}(f).} \]
Primera relación. Si \(x\in S\), su valor \(f(x)\) pertenece a \(f(S)\) por definición; por tanto \(x\in f^{-1}(f(S))\). Esto demuestra la inclusión. Puede ser estricta: con la función cuadrado y \(S=\{1\}\), resulta \(f(S)=\{1\}\) y \(f^{-1}(f(S))=\{-1,1\}\); reaparece una entrada externa a \(S\) que comparte el mismo valor.
Segunda relación. Para demostrar la igualdad, tomemos \(y\in B\). La condición \(y\in f(f^{-1}(T))\) significa que existe \(x\in f^{-1}(T)\) con \(f(x)=y\). Como \(x\in f^{-1}(T)\) equivale a \(f(x)\in T\), esto significa que \(y\in T\) y que existe \(x\in A\) con \(f(x)=y\), es decir, \(y\in T\cap\operatorname{Im}(f)\). Recíprocamente, si \(y\) pertenece a esa intersección, su pertenencia a \(\operatorname{Im}(f)\) aporta un \(x\in A\) con \(f(x)=y\) y su pertenencia a \(T\) implica \(x\in f^{-1}(T)\). Ese testigo da \(y\in f(f^{-1}(T))\). Ambas inclusiones quedan probadas. \(\square\)
La intersección con \(\operatorname{Im}(f)\) no puede omitirse: para \(T=\{9\}\) en nuestro ejemplo, \(f(f^{-1}(T))=\varnothing\ne T\), puesto que \(9\) nunca se alcanza. Finalmente, las definiciones, sin excepciones adicionales, proporcionan
\[ f(\varnothing)=\varnothing,\qquad f^{-1}(\varnothing)=\varnothing,\qquad f^{-1}(B)=A. \]
La primera igualdad no tiene testigos \(x\in\varnothing\); la segunda no admite entradas cuyo valor pertenezca al vacío; la tercera reúne todas las entradas porque la función toma sus valores en \(B\). Si \(A=\varnothing\), la función vacía \(A\to B\) tiene imagen vacía y la preimagen de cualquier \(T\subseteq B\) es vacía. Ninguna de estas afirmaciones obliga a que \(B\) sea no vacío.
Auditoría: dos errores de dirección y un supuesto oculto
Consideremos la afirmación defectuosa: «Sea \(f:A\to B\) y \(T\subseteq B\). Como \(f^{-1}(T)\) está definido, cada \(y\in T\) debe proceder de exactamente un \(x\); por tanto \(f(f^{-1}(T))=T\). Además, si \(S,V\subseteq A\), es evidente que \(f(S\cap V)=f(S)\cap f(V)\)». El argumento introduce una función inversa no demostrada y confunde testigos que pueden ser diferentes.
La reparación exige tres pasos separados. Primero, \(f^{-1}(T)\) es un conjunto de entradas, cuya definición no afirma existencia ni unicidad de preimágenes individuales. Segundo, \(f(f^{-1}(T))\) sólo recupera los elementos de \(T\) que efectivamente pertenecen a \(\operatorname{Im}(f)\); su igualdad correcta es \(T\cap\operatorname{Im}(f)\). Tercero, de una entrada común en \(S\cap V\) se deducen las dos pertenencias de la imagen, pero de dos entradas distintas con valor común no se obtiene una entrada común. Por ello la relación general para las imágenes de intersecciones es una inclusión, y la función cuadrado proporciona el contraejemplo a la igualdad universal.
Comprobación de aprendizaje. Para la función cuadrado finita de esta sección, calcula \(f(\{-1,2\})\), \(f^{-1}(\{4,9\})\) y \(f^{-1}(f(\{-2\}))\). En cada caso indica si el resultado es subconjunto de \(A\) o de \(B\). Después explica por qué \(f^{-1}(\{9\})\) existe como conjunto, aunque ningún elemento de \(A\) tenga valor \(9\). Justifica tus respuestas a partir de las definiciones, no sólo enumerando pares.
Respuesta razonada. La imagen \(f(\{-1,2\})=\{1,4\}\subseteq B\) reúne los cuadrados de esas dos entradas. La preimagen \(f^{-1}(\{4,9\})=\{-2,2\}\subseteq A\) selecciona las entradas con cuadrado \(4\) o \(9\); ninguna tiene cuadrado \(9\). Finalmente, \(f(\{-2\})=\{4\}\), de modo que \(f^{-1}(f(\{-2\}))=\{-2,2\}\subseteq A\). El conjunto \(f^{-1}(\{9\})=\varnothing\) está definido por una condición que ninguna entrada satisface; no necesita un testigo para existir como conjunto vacío.
Después de la prueba. Ya distinguimos el codominio declarado, los valores efectivamente alcanzados y los conjuntos de entradas seleccionados mediante condiciones sobre valores. Las fallas de ciertas igualdades han revelado dos preguntas estructurales: ¿cuándo pueden dos entradas diferentes compartir un valor? y ¿cuándo se alcanza cada elemento del codominio? En §4.7 responderemos mediante inyectividad, sobreyectividad y biyectividad, y fijaremos además la igualdad de funciones con todos sus datos explícitos.
4.7. Inyectividad, sobreyectividad, biyectividad e igualdad de funciones
En §4.5 exigimos que cada entrada de una función tenga exactamente una salida; en §4.6 distinguimos el codominio del conjunto de valores alcanzados y encontramos distintas entradas con una misma imagen. Ninguno de esos hechos modifica la definición de función. Ahora formularemos dos propiedades adicionales, que responden a preguntas independientes: ¿pueden dos entradas tener el mismo valor?, ¿se alcanza cada elemento del codominio? Su combinación permitirá decidir cuándo existe una función inversa. Por último precisaremos qué significa que dos funciones sean iguales bajo la convención de datos declarados adoptada en este libro.
Inyectividad: una salida común obliga a identificar las entradas
Sea \(f:A\to B\) una función. Decimos que \(f\) es inyectiva si
\[ \boxed{\forall x,x'\in A\;\bigl(f(x)=f(x')\to x=x'\bigr).} \]
La definición de función no exige que entradas distintas produzcan valores distintos: ésa es precisamente la condición adicional de inyectividad. También puede escribirse de manera equivalente
\[ \forall x,x'\in A\;\bigl(x\ne x'\to f(x)\ne f(x')\bigr). \]
Justificación de la equivalencia. Si la primera condición vale y \(x\ne x'\), una igualdad \(f(x)=f(x')\) obligaría a \(x=x'\), contradicción; por tanto los valores son diferentes. Recíprocamente, si vale la segunda y \(f(x)=f(x')\), no pueden ser diferentes las entradas, pues entonces los valores tendrían que ser diferentes. Hemos utilizado la contraposición en ambas direcciones. \(\square\)
¿Qué hay que hacer para demostrar inyectividad? Tomar \(x,x'\in A\) arbitrarios, suponer \(f(x)=f(x')\) y deducir \(x=x'\). ¿Qué basta para refutarla? Encontrar dos entradas concretas \(x\ne x'\) para las cuales \(f(x)=f(x')\):
\[ \boxed{\neg\operatorname{Iny}(f)\quad\Longleftrightarrow\quad \exists x,x'\in A\;\bigl(x\ne x'\land f(x)=f(x')\bigr).} \]
La unicidad de la definición de función (§4.5) fija una entrada y compara sus posibles salidas; la inyectividad fija un valor común y compara las entradas que lo producen. Intercambiar esas obligaciones llevaría a concluir erróneamente que toda función es inyectiva.
Ejemplo y contraejemplo. La función \(u:\mathbb Z\to\mathbb Z\) dada por \(u(n)=n+1\) es inyectiva. En efecto, si \(u(m)=u(n)\), entonces \(m+1=n+1\) y, restando \(1\), resulta \(m=n\). En cambio, la función cuadrado \(f:A\to B\) de §4.6, con \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\), \(B=\{0,1,4,9\}\) y \(f(n)=n^2\), no es inyectiva: \(-1\ne1\) y \(f(-1)=f(1)=1\). Que cada entrada tenga un cuadrado único no impide esta coincidencia.
Sobreyectividad: ningún elemento del codominio queda sin alcanzar
Decimos que una función \(f:A\to B\) es sobreyectiva sobre el codominio declarado \(B\) si
\[ \boxed{\forall y\in B\;\exists x\in A\;(f(x)=y).} \]
Aquí el cuantificador universal recorre \(B\), no únicamente \(\operatorname{Im}(f)\). Ésa es la diferencia entre la propiedad de sobreyectividad y la afirmación, siempre verdadera, de que cada valor alcanzado procede de alguna entrada. La definición admite una reformulación conjuntista:
\[ \boxed{f\text{ es sobreyectiva}\quad\Longleftrightarrow\quad \operatorname{Im}(f)=B.} \]
Demostración. Ya sabemos por §4.6 que \(\operatorname{Im}(f)\subseteq B\). Si \(f\) es sobreyectiva, cada \(y\in B\) tiene un testigo \(x\in A\) con \(f(x)=y\), luego \(y\in\operatorname{Im}(f)\); esto prueba \(B\subseteq\operatorname{Im}(f)\). Recíprocamente, si los dos conjuntos son iguales, un \(y\in B\) pertenece a la imagen y la definición de imagen aporta una entrada \(x\in A\) con \(f(x)=y\). \(\square\)
Para probar sobreyectividad debemos fijar un \(y\in B\) arbitrario, construir una entrada \(x\in A\) y comprobar su valor. No basta escribir una expresión candidata para \(x\) si no se verifica que pertenece al dominio. Para refutarla, en cambio, basta hallar un elemento del codominio que no sea alcanzado:
\[ \boxed{\neg\operatorname{Sob}(f)\quad\Longleftrightarrow\quad \exists y\in B\;\forall x\in A\;(f(x)\ne y).} \]
Nuestra función cuadrado finita no es sobreyectiva hacia \(B=\{0,1,4,9\}\): el valor \(9\in B\) no es cuadrado de ninguna entrada de \(A\). Sin cambiar ni una entrada ni una asignación, podemos declarar otra función \(\widetilde f:A\to\{0,1,4\}\) mediante \(\widetilde f(n)=n^2\). Esta nueva función sí es sobreyectiva: \(0=\widetilde f(0)\), \(1=\widetilde f(1)\) y \(4=\widetilde f(2)\). No son iguales como funciones en la convención de este libro, pues sus codominios difieren; y ninguna es inyectiva, porque las entradas \(-1\) y \(1\) siguen compartiendo el valor \(1\).
| Propiedad de \(f:A\to B\) | Para demostrarla | Para refutarla |
|---|---|---|
| Inyectiva | De \(f(x)=f(x')\), con \(x,x'\in A\) arbitrarios, deducir \(x=x'\). | Exhibir \(x\ne x'\) en \(A\) con igual valor. |
| Sobreyectiva | Para cada \(y\in B\), exhibir \(x\in A\) tal que \(f(x)=y\). | Exhibir \(y\in B\) sin ninguna entrada que lo alcance. |
La primera compara entradas; la segunda exige testigos para los elementos del codominio. No se deduce ninguna de las dos solamente de que \(f\) sea una función.
Cuatro posibilidades que debemos distinguir
Conjuntos finitos permiten separar las propiedades sin apoyarnos en un dibujo ambiguo. Sean \(a,b,c\) tres objetos distintos. Los siguientes ejemplos especifican sus dominios, codominios y asignaciones:
| Función y datos declarados | Inyectiva | Sobreyectiva | Justificación decisiva |
|---|---|---|---|
| \(p:\{0,1\}\to\{a,b,c\}\); \(p(0)=a\), \(p(1)=b\) | Sí | No | Dos valores distintos; \(c\) no se alcanza. |
| \(q:\{0,1\}\to\{a,b,c\}\); \(q(0)=q(1)=a\) | No | No | Dos entradas comparten \(a\); faltan \(b,c\). |
| \(r:\{0,1,2\}\to\{a,b\}\); \(r(0)=a\), \(r(1)=r(2)=b\) | No | Sí | \(1\ne2\) comparten \(b\); \(a\) y \(b\) se alcanzan. |
| \(s:\{0,1\}\to\{a,b\}\); \(s(0)=a\), \(s(1)=b\) | Sí | Sí | No hay colisión y cada valor tiene una entrada. |
En cada fila se comprueba previamente que hay exactamente una salida permitida para cada entrada: estamos comparando funciones, no relaciones que puedan incumplir su propia definición. La tabla demuestra mediante ejemplos que la inyectividad y la sobreyectividad son condiciones independientes. Una función que satisface ambas se llama biyectiva:
\[ \boxed{f\text{ es biyectiva}\quad\Longleftrightarrow\quad (f\text{ es inyectiva})\land(f\text{ es sobreyectiva}).} \]
Por tanto, para cada \(y\in B\) existe exactamente un \(x\in A\) tal que \(f(x)=y\). En símbolos,
\[ \boxed{f\text{ es biyectiva}\quad\Longleftrightarrow\quad \forall y\in B\;\exists!x\in A\;(f(x)=y).} \]
Justificación de la segunda equivalencia. Si \(f\) es sobreyectiva, existe al menos una entrada para cada \(y\); si es además inyectiva, cualesquiera dos entradas con ese valor coinciden. Recíprocamente, la existencia única para cada \(y\) da inmediatamente la sobreyectividad. Si \(f(x)=f(x')=y\) para dos entradas, ambas verifican la propiedad que tiene un único testigo para \(y\), de modo que \(x=x'\) y \(f\) es inyectiva. \(\square\)
La función inversa existe precisamente bajo ambas condiciones
En §4.6 vimos que \(f^{-1}(T)\) designa la preimagen de un conjunto \(T\subseteq B\) sin necesitar que exista una función inversa. Ahora sí podemos formular el problema de invertir una función \(f:A\to B\): queremos una función \(g:B\to A\) que asigne a cada \(y\in B\) la entrada de la que procede. La relación candidata está determinada por el grafo de \(f\) al invertir sus pares:
\[ G^{\mathrm{op}}_f:=\{(y,x)\in B\times A:(x,y)\in G_f\}. \]
Proposición. Esta relación es el grafo de una función \(g:B\to A\) si y sólo si \(f\) es biyectiva. En ese caso, \(g\) se denomina función inversa de \(f\), y podemos escribir \(g=f^{-1}\).
Demostración. Supongamos primero que \(f\) es biyectiva. Para cada \(y\in B\), la sobreyectividad proporciona un \(x\in A\) con \(f(x)=y\); por tanto \((y,x)\in G^{\mathrm{op}}_f\). Si también \((y,x')\) está en la relación, entonces \(f(x)=f(x')=y\) y la inyectividad obliga a \(x=x'\). Hay exactamente una salida \(x\) para cada entrada \(y\): la relación invertida es un grafo funcional de \(B\) en \(A\).
Recíprocamente, supongamos que \(G^{\mathrm{op}}_f\) es el grafo de una función \(g:B\to A\). Su condición de existencia dice que para cada \(y\in B\) hay un \(x\in A\) con \((x,y)\in G_f\), es decir, \(f(x)=y\): \(f\) es sobreyectiva. Si \(f(x)=f(x')=y\), la relación invertida contiene \((y,x)\) y \((y,x')\); la unicidad de \(g\) implica \(x=x'\), así que \(f\) es inyectiva. Por tanto, \(f\) es biyectiva. \(\square\)
La prueba también determina las dos identidades de ida y vuelta:
\[ \boxed{g(f(x))=x\quad(x\in A),\qquad f(g(y))=y\quad(y\in B).} \]
En efecto, \(g\) asigna a \(f(x)\) la única entrada que lo produce; ésta es \(x\). De manera recíproca, \(g(y)\) fue escogida precisamente porque su imagen es \(y\). Ambas igualdades necesitan los dominios indicados. No son propiedades de la mera preimagen de conjuntos, sino de la función inversa cuya existencia acaba de demostrarse.
Ejemplo infinito con demostración. La función \(u:\mathbb Z\to\mathbb Z\) dada por \(u(n)=n+1\) ya era inyectiva. Para cualquier \(m\in\mathbb Z\), la entrada \(n=m-1\) también es un entero y satisface \(u(n)=(m-1)+1=m\). Luego es sobreyectiva y, por tanto, biyectiva. Su inversa es \(g:\mathbb Z\to\mathbb Z\), \(g(m)=m-1\): se comprueban directamente \(g(u(n))=n\) y \(u(g(m))=m\). Una fórmula para la entrada candidata se convierte en prueba sólo después de verificar su pertenencia al dominio y las igualdades exigidas.
Advertencia de notación. Para una función biyectiva, la escritura \(f^{-1}\) puede designar su función inversa \(B\to A\). La expresión \(f^{-1}(T)\), cuando \(T\) es un subconjunto de \(B\), designa la preimagen de \(T\) tal como la definimos en §4.6. Son construcciones relacionadas, pero no debe confundirse el valor individual \(g(y)\in A\) con el conjunto \(f^{-1}(\{y\})=\{g(y)\}\subseteq A\).
Recuperar las propiedades mediante imágenes y preimágenes
Las relaciones de §4.6 permiten formular criterios que no mencionan directamente las palabras «inyectiva» ni «sobreyectiva».
Proposición. Para cualquier función \(f:A\to B\),
\[ \boxed{f\text{ es inyectiva}\quad\Longleftrightarrow\quad \forall S\subseteq A\;\bigl(f^{-1}(f(S))=S\bigr).} \]
Demostración. Supongamos que \(f\) es inyectiva. Ya probamos \(S\subseteq f^{-1}(f(S))\). Para la otra inclusión, si \(x\in f^{-1}(f(S))\), entonces \(f(x)\in f(S)\); existe, pues, \(s\in S\) con \(f(s)=f(x)\). La inyectividad da \(s=x\), de donde \(x\in S\). Recíprocamente, supongamos la igualdad para todos los subconjuntos de \(A\). Si \(f(x)=f(x')\), tomemos \(S=\{x\}\). Entonces \(x'\in f^{-1}(f(S))=S\), y por pertenencia al conjunto unitario concluimos \(x'=x\). \(\square\)
Para la sobreyectividad, recordemos la identidad demostrada en §4.6: \(f(f^{-1}(T))=T\cap\operatorname{Im}(f)\). De ella se obtiene
\[ \boxed{f\text{ es sobreyectiva}\quad\Longleftrightarrow\quad \forall T\subseteq B\;\bigl(f(f^{-1}(T))=T\bigr).} \]
Demostración. Si \(f\) es sobreyectiva, \(\operatorname{Im}(f)=B\) y la identidad anterior se reduce a \(T\cap B=T\). Recíprocamente, aplicando la igualdad supuesta a \(T=B\) obtenemos \(f(f^{-1}(B))=B\). Como \(f^{-1}(B)=A\), resulta \(f(A)=B\), es decir, sobreyectividad. \(\square\)
Lectura guiada. En el primer criterio, la inyectividad impide que, al regresar de la imagen, reaparezcan entradas externas a \(S\) con el mismo valor. En el segundo, la sobreyectividad impide que falten valores de \(T\) al regresar de sus entradas. La diferencia entre los criterios se corresponde exactamente con las dos preguntas planteadas al comenzar la sección.
Igualdad de funciones: deben coincidir los datos, no sólo la fórmula
Nuestra convención de §4.5 representa una función por sus datos \((A,B,G_f)\). Sean \(f:A\to B\) y \(h:C\to D\) dos funciones. En este libro, afirmaremos \(f=h\) exactamente cuando coincidan sus dominios declarados, codominios declarados y valores en cada entrada:
\[ \boxed{f=h\quad\Longleftrightarrow\quad A=C\;\land\; B=D\;\land\; G_f=G_h.} \]
Esta formulación compara conjuntos y no evalúa \(h\) fuera de su dominio. Una vez comprobados \(A=C\) y \(B=D\), podemos escribir el último requisito como \(\forall x\in A\;(f(x)=h(x))\): con dominio y codominio comunes, la igualdad punto a punto equivale a \(G_f=G_h\). Justificación. Si todos los valores coinciden, cada par \((x,f(x))\) del primer grafo es el mismo par \((x,h(x))\) del segundo, y recíprocamente; la reconstrucción del grafo de §4.5 y la extensionalidad dan la igualdad. En la otra dirección, si los grafos coinciden, para cualquier \(x\) el par \((x,f(x))\) pertenece también a \(G_h\); la unicidad de la salida de \(h\) obliga a \(h(x)=f(x)\). \(\square\)
No basta observar que dos funciones están descritas por la misma expresión. Consideremos \(f:\{0,1\}\to\{0,1\}\) y \(h:\{0,1\}\to\{0,1,2\}\), ambas dadas por \(n\mapsto n\). Sus valores y sus grafos coinciden, pero \(f\ne h\) según nuestra convención, porque sus codominios declarados son distintos. Tampoco es suficiente coincidir en algunas entradas cuando el dominio y el codominio sí son comunes: basta un solo \(a\in A\) con \(f(a)\ne h(a)\) para refutar la igualdad.
Algunos textos identifican funciones por su grafo y no consideran el codominio como parte de su identidad. Nuestra definición no pretende invalidar esa otra convención: fija qué deberemos verificar cuando una afirmación de igualdad de funciones aparezca en esta obra. Es indispensable declarar la convención antes de argumentar a partir de ella.
Los conjuntos vacíos ponen a prueba las definiciones
La única función de \(\varnothing\) en un conjunto \(B\) tiene grafo vacío. Es inyectiva: no existen dos entradas distintas que puedan violar la condición universal. Es sobreyectiva exactamente cuando \(B=\varnothing\), porque su imagen es \(\varnothing\). En consecuencia, \(\varnothing\to\varnothing\) es biyectiva y su función inversa también es la función vacía. Si \(B\ne\varnothing\), la función vacía \(\varnothing\to B\) no es sobreyectiva: cualquier \(y\in B\) carece de entrada.
Como ya vimos en §4.5, no existe función \(A\to\varnothing\) cuando \(A\ne\varnothing\). Por otra parte, las funciones vacías \(\varnothing\to B\) y \(\varnothing\to D\) tienen el mismo grafo, pero no son iguales bajo nuestra convención si \(B\ne D\). Los casos vacíos verifican que hemos mantenido separadas la lógica de los cuantificadores, la existencia de funciones y los datos que forman su identidad.
Auditoría de un razonamiento: tres conclusiones injustificadas
Se propone este argumento: «Toda función es inyectiva porque cada entrada tiene una sola salida. Además es sobreyectiva porque su imagen está incluida en el codominio. Finalmente, dos funciones dadas por \(x\mapsto x^2\) son iguales, aunque se declaren con codominios diferentes». Las tres afirmaciones confunden propiedades distintas. La funcionalidad no impide que \(-1\) y \(1\) compartan imagen; la inclusión \(\operatorname{Im}(f)\subseteq B\) no aporta la inclusión inversa; y, en nuestra convención, la misma fórmula no borra las diferencias entre los codominios declarados.
Para reparar el argumento hay que plantear las obligaciones pertinentes: ante la inyectividad, comenzar con \(f(x)=f(x')\); ante la sobreyectividad, tomar \(y\in B\) arbitrario y buscar un testigo; ante la igualdad, verificar dominio, codominio y coincidencia punto a punto. La función cuadrado de §4.6 refuta las dos primeras inferencias; sus posibles codominios ilustran la tercera. Ninguna reparación puede basarse únicamente en cambiar las palabras «entrada» y «salida».
Comprobación de aprendizaje. Determina si la función \(u:\mathbb Z\to\mathbb Z\), \(u(n)=n+1\), es inyectiva, sobreyectiva y biyectiva; para la sobreyectividad comienza con un entero \(m\) arbitrario. Después, para la función cuadrado finita de §4.6, identifica una colisión y un valor del codominio no alcanzado. Por último, explica por qué \(f:\{0\}\to\{0\}\) y \(h:\{0\}\to\{0,1\}\), ambas con valor \(0\) en la única entrada, tienen grafos iguales pero no son iguales como funciones en nuestra convención.
Respuesta razonada. Si \(u(n)=u(k)\), cancelar \(1\) da \(n=k\), así que \(u\) es inyectiva. Para cada entero \(m\), el entero \(m-1\) satisface \(u(m-1)=m\): es sobreyectiva y, por ambas propiedades, biyectiva. En el cuadrado finito, \(f(-1)=f(1)=1\) es una colisión y \(9\in B\) no se alcanza. Las dos funciones del último ejemplo tienen grafo \(\{(0,0)\}\), pero sus codominios \(\{0\}\) y \(\{0,1\}\) difieren; por la convención declarada, son distintas.
Después de la prueba. Las propiedades de una función pueden leerse como afirmaciones cuantificadas sobre sus entradas y su codominio; la biyectividad permite invertir el grafo porque asegura existencia y unicidad en la dirección contraria. La igualdad requiere además controlar los datos declarados. En §4.8 volveremos al lenguaje de las fórmulas abiertas para estudiar cómo una propiedad selecciona un conjunto solución dentro de un dominio fijado, y cómo cambian sus elementos cuando cambia ese dominio.
4.8. Conjuntos solución, fórmulas y dominios de selección
En §4.1 reunimos a los enteros que satisfacían una ecuación; en §§4.5–4.7 usamos condiciones sobre entradas y valores para definir funciones y estudiar sus propiedades. Podemos ahora hacer explícito el principio que conecta ambas operaciones: una fórmula abierta describe una condición; un conjunto solución reúne los elementos de un dominio previamente fijado que la satisfacen. El dominio no es una información secundaria que podamos suprimir después de escribir la condición.
Definición: seleccionar dentro de un conjunto, no de un universo irrestricto
Sea \(D\) un conjunto especificado y sea \(P(x)\) una fórmula con \(x\) como variable libre, interpretable para cada \(x\in D\). Si hay parámetros en \(P\), sus valores y sus dominios se consideran fijados en el contexto. Denotamos por conjunto solución de \(P\) en \(D\) al conjunto
\[ \boxed{S_D(P):=\{x\in D:P(x)\}.} \]
La escritura de comprensión es una selección dentro de \(D\). Su criterio exacto de pertenencia, para cualquier objeto \(a\) al que sean aplicables las expresiones, es
\[ \boxed{a\in S_D(P)\quad\Longleftrightarrow\quad (a\in D)\land P(a).} \]
En particular, si ya hemos declarado \(a\in D\), podemos abreviar el criterio como \(a\in S_D(P)\iff P(a)\). La abreviatura sólo vale bajo esa hipótesis. Si \(P\) está definida exclusivamente sobre \(D\), ni siquiera debemos evaluar \(P(a)\) para un objeto externo sin extender primero su interpretación.
Demostración de las dos direcciones. Supongamos \(a\in S_D(P)\). La definición del conjunto por comprensión dice simultáneamente que \(a\in D\) y que la sustitución \(P(a)\) es verdadera. Recíprocamente, si \(a\in D\) y \(P(a)\) es verdadera, \(a\) cumple la condición que selecciona los elementos de \(D\) y, por definición, pertenece a \(S_D(P)\). La equivalencia no requiere resolver previamente todos los casos del problema. \(\square\)
- \(P(x)\) es una fórmula abierta, cuyo valor de verdad depende de una asignación para \(x\) y, cuando existan, de los parámetros.
- \(P(a)\) es una afirmación evaluada para un objeto admisible \(a\).
- \(S_D(P)\) es un conjunto, construido seleccionando elementos del dominio declarado \(D\).
No confundimos el conjunto con la condición que lo define ni escribimos \(S_D(P)=P(x)\): la igualdad carecería del sentido que pretendemos expresar.
El mismo predicado puede seleccionar conjuntos diferentes
Consideremos la fórmula \(P(x):\ x^2=1\), interpretable sobre los enteros, y dos dominios fijados:
\[ D=\{-2,-1,0,1,2\},\qquad E=\{0,1,2\}. \]
Evaluando la misma condición en cada dominio obtenemos
\[ S_D(P)=\{-1,1\},\qquad S_E(P)=\{1\}. \]
La fórmula no ha cambiado: \((-1)^2=1\) es verdadera en ambos contextos como igualdad aritmética. Lo que cambia es si \(-1\) está disponible para la selección. Al trabajar dentro de \(E\), la verdad de la igualdad no basta para introducir \(-1\) en \(S_E(P)\) porque \(-1\notin E\).
El ejemplo sugiere una relación general cuya prueba exige conservar explícitamente el dominio de cada conjunto.
Proposición (restricción del dominio). Sean \(D\subseteq E\) dos conjuntos y sea \(P(x)\) una misma condición interpretable en \(E\), con los mismos parámetros e interpretación cuando restringimos \(x\) a \(D\). Entonces
\[ \boxed{S_D(P)=D\cap S_E(P).} \]
Demostración. Ambos miembros son subconjuntos de \(E\). Basta tomar \(a\in E\) arbitrario, donde \(P(a)\) está definida. Por definición de conjunto solución,
\[ \begin{aligned} a\in S_D(P) &\Longleftrightarrow (a\in D)\land P(a)\\ &\Longleftrightarrow (a\in D)\land\bigl(a\in S_E(P)\bigr)\\ &\Longleftrightarrow a\in D\cap S_E(P). \end{aligned} \]
En el segundo paso hemos usado \(D\subseteq E\): cuando \(a\in D\), ya sabemos que \(a\in E\), por lo que \(P(a)\) equivale, en ese contexto, a pertenecer a \(S_E(P)\). El bicondicional de pertenencia prueba la igualdad por extensionalidad. \(\square\)
Lectura guiada. La conclusión no afirma que los conjuntos solución sean siempre iguales cuando \(D\subseteq E\): afirma que el conjunto relativo a \(D\) se obtiene intersectando \(D\) con el conjunto relativo a \(E\). En particular, \(S_D(P)\subseteq S_E(P)\); la inclusión puede ser estricta, como en el ejemplo anterior. Tampoco podemos aplicar la proposición si al cambiar de dominio cambiamos silenciosamente el significado de \(P\) o de alguno de sus parámetros.
Cuantificar equivale a preguntar por la extensión de un conjunto solución
Fijados \(D\) y \(P\), las afirmaciones existencial, universal y de existencia única pueden leerse mediante el conjunto solución:
\[ \boxed{\begin{aligned} \exists x\in D\;P(x) &\Longleftrightarrow S_D(P)\ne\varnothing,\\ \forall x\in D\;P(x) &\Longleftrightarrow S_D(P)=D,\\ \exists!x\in D\;P(x) &\Longleftrightarrow \exists a\in D\;\bigl(S_D(P)=\{a\}\bigr). \end{aligned}} \]
Justificación. En la primera línea, un testigo \(a\in D\) que cumple \(P(a)\) es exactamente un elemento de \(S_D(P)\); que el conjunto no sea vacío proporciona, a la inversa, un testigo. Para la segunda línea, ya sabemos que \(S_D(P)\subseteq D\); la afirmación universal aporta la inclusión \(D\subseteq S_D(P)\), y la igualdad de los conjuntos recupera \(P(a)\) para cada \(a\in D\). Para la tercera línea, un testigo único \(a\) pertenece al conjunto solución y cualquier otro elemento de éste debe coincidir con \(a\), de modo que \(S_D(P)=\{a\}\). Recíprocamente, si el conjunto solución es ese singleton, \(a\) existe en \(D\), satisface \(P\) y cualquier otro testigo pertenece a \(\{a\}\), luego es igual a \(a\). \(\square\)
Si \(D=\varnothing\), necesariamente \(S_D(P)=\varnothing\): la afirmación universal es verdadera, pero ni la existencial ni la de existencia única lo son. El conjunto vacío no inventa testigos; revela la diferencia entre exigir algo de cada elemento y exigir que exista al menos uno.
La negación de una afirmación universal también queda representada sin cambiar el dominio:
\[ \neg\bigl(\forall x\in D\;P(x)\bigr) \Longleftrightarrow \exists x\in D\;\neg P(x) \Longleftrightarrow D\setminus S_D(P)\ne\varnothing. \]
El testigo de la negación debe pertenecer a \(D\). Buscar un objeto externo que no cumpla \(P\) no refuta una proposición cuantificada solamente sobre \(D\).
Los conectivos construyen operaciones de conjuntos solución
Si \(P(x)\) y \(Q(x)\) son fórmulas interpretables sobre el mismo dominio \(D\), sus conjuntos solución obedecen a las reglas
\[ \boxed{\begin{aligned} S_D(P\land Q)&=S_D(P)\cap S_D(Q),\\ S_D(P\lor Q)&=S_D(P)\cup S_D(Q),\\ S_D(\neg P)&=D\setminus S_D(P). \end{aligned}} \]
La disyunción es inclusiva, tal como la definimos al estudiar la unión en §4.2. La tercera identidad expresa un complemento relativo a \(D\), no el pretendido conjunto de todos los objetos que no verifican \(P\).
Demostración de la primera identidad. Los dos conjuntos son subconjuntos de \(D\); por ello basta tomar \(a\in D\) arbitrario, donde \(P(a)\) y \(Q(a)\) están definidas:
\[ \begin{aligned} a\in S_D(P\land Q) &\Longleftrightarrow (a\in D)\land\bigl(P(a)\land Q(a)\bigr)\\ &\Longleftrightarrow \bigl((a\in D)\land P(a)\bigr) \land\bigl((a\in D)\land Q(a)\bigr)\\ &\Longleftrightarrow (a\in S_D(P))\land(a\in S_D(Q))\\ &\Longleftrightarrow a\in S_D(P)\cap S_D(Q). \end{aligned} \]
La segunda equivalencia usa que repetir la misma condición \(a\in D\) en una conjunción no cambia su valor de verdad. Por extensionalidad, los conjuntos son iguales. Para la unión se emplea la equivalencia lógica entre \(D(a)\land(P(a)\lor Q(a))\) y \((D(a)\land P(a))\lor(D(a)\land Q(a))\), donde \(D(a)\) abrevia únicamente en esta explicación la afirmación \(a\in D\); para el complemento se utiliza \(a\in D\land\neg P(a)\). \(\square\)
Una consecuencia útil. Si \(\forall x\in D\;(P(x)\to Q(x))\), entonces \(S_D(P)\subseteq S_D(Q)\). En efecto, cualquier \(a\) del primer conjunto pertenece a \(D\) y cumple \(P(a)\); la implicación da \(Q(a)\) y por ello pertenece al segundo. Recíprocamente, esa inclusión permite recuperar la implicación para todo \(x\in D\). Así,
\[ \boxed{\forall x\in D\;(P(x)\to Q(x)) \quad\Longleftrightarrow\quad S_D(P)\subseteq S_D(Q).} \]
Del mismo modo, \(S_D(P)=S_D(Q)\) equivale a \(\forall x\in D\;(P(x)\leftrightarrow Q(x))\). Dos fórmulas pueden seleccionar exactamente los mismos objetos en \(D\) sin ser expresiones idénticas. Lo que demostramos es su equivalencia sobre un dominio y bajo una interpretación, no su identidad como cadenas de símbolos ni su equivalencia automática en cualquier otro universo.
Ecuaciones, funciones y relaciones como conjuntos solución
La notación de §4.6 es un caso de este mismo mecanismo. Sea \(f:A\to B\) una función y sea \(T\subseteq B\). La fórmula \(P_T(x):\ f(x)\in T\) tiene sentido para \(x\in A\) y selecciona
\[ \boxed{S_A(P_T)=\{x\in A:f(x)\in T\}=f^{-1}(T).} \]
Si elegimos un \(b\in B\), la ecuación \(f(x)=b\) define el conjunto de soluciones
\[ \boxed{\{x\in A:f(x)=b\}=f^{-1}(\{b\}).} \]
Justificación. Para \(x\in A\), pertenecer al conjunto de la izquierda significa \(f(x)=b\); pertenecer a la preimagen de \(\{b\}\) significa \(f(x)\in\{b\}\), que es la misma igualdad. La extensionalidad prueba la identidad. \(\square\)
Volvamos a la función cuadrado de §4.6, cuyo dominio es \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\). La ecuación \(f(x)=1\) tiene conjunto solución \(\{-1,1\}\); la ecuación \(f(x)=9\) tiene conjunto solución vacío en ese dominio, aunque \(9\) pertenezca al codominio declarado. Que una ecuación tenga soluciones depende tanto de su condición como del conjunto de entradas disponibles.
Para una relación \(R\subseteq A\times B\), la fórmula \(P_R(x):\ \exists y\in B\;R(x,y)\) selecciona las entradas que están relacionadas con algún elemento de \(B\):
\[ \boxed{S_A(P_R)=\operatorname{dom}(R).} \]
Esta igualdad se obtiene directamente de la definición de dominio efectivo en §4.4. No afirma que \(R\) sea funcional: la existencia de alguna segunda componente para ciertas entradas no garantiza la unicidad de ninguna de ellas. Asimismo, si una fórmula tiene dos variables libres \(P(x,y)\), su conjunto de soluciones es naturalmente un subconjunto del producto previamente fijado:
\[ \{(x,y)\in A\times B:P(x,y)\}. \]
La cuantificación \(\exists y\in B\) liga la variable \(y\) y deja libre a \(x\); el conjunto solución resultante vuelve a estar formado por elementos de \(A\), no por pares. Antes de escribir llaves conviene, por tanto, identificar qué variables permanecen libres y de qué tipo serán los elementos seleccionados.
Parámetros: fijarlos antes de resolver
Consideremos la familia de fórmulas \(P_t(n):\ n^2=t\) con \(n\in\mathbb Z\) y con un parámetro \(t\in\mathbb Z\) fijado. Cada elección del parámetro determina un conjunto solución distinto, que podemos denotar por
\[ S_t:=\{n\in\mathbb Z:n^2=t\}. \]
Por ejemplo, \(S_0=\{0\}\) y \(S_1=\{-1,1\}\). Es importante no escribir \(\{n\in\mathbb Z:n^2=t\}=\{-1,1\}\) sin haber declarado \(t=1\): la primera expresión todavía depende del parámetro. Si dejamos \(t\) sin fijar, no hemos identificado un único conjunto de enteros, sino una familia dependiente de una asignación.
En cambio, el enunciado \(\forall t\in\mathbb Z\;\exists n\in\mathbb Z\;(n^2=t)\) es una proposición cerrada y resulta falso: \(t=-1\) no tiene testigo entero, pues todo cuadrado entero es no negativo. La mera presencia de una letra \(t\) en una fórmula abierta, la fijación de su valor y la cuantificación sobre todos sus valores constituyen tres situaciones diferentes. Esta distinción recupera el tratamiento de variables, alcance y dependencia estudiado en el capítulo 3.
Auditoría de un argumento: borrar el dominio después de escribir llaves
Un razonamiento afirma: «Sea \(D=\{1\}\) y sea \(P(x)\) la propiedad \(x=x\) para enteros. Como \(P(2)\) es verdadera, \(2\in\{x\in D:P(x)\}\). Además, el conjunto de soluciones de \(\neg P\) contiene todos los objetos que no pertenecen a \(D\)». Ambas conclusiones son falsas. El primer paso elimina la condición \(2\in D\), que no se cumple; de hecho, \(S_D(P)=\{1\}\). El segundo sustituye la condición \(x\in D\land\neg P(x)\) por \(x\notin D\), que expresa otra propiedad: en este caso \(S_D(\neg P)=\varnothing\).
Reparación. Para probar \(a\in S_D(P)\) debemos justificar tanto \(a\in D\) como \(P(a)\). Para negar la propiedad sin cambiar de dominio, formamos \(D\setminus S_D(P)\). Si cambiamos deliberadamente el dominio de \(D\) a un conjunto mayor \(E\), recalculamos la selección y relacionamos ambos resultados mediante \(S_D(P)=D\cap S_E(P)\), siempre que se conserve la interpretación de la condición.
Comprobación de aprendizaje. Con \(D=\{-2,-1,0,1,2\}\), \(E=\{0,1,2\}\) y \(P(x):x^2=1\), determina \(S_D(P)\), \(S_E(P)\) y \(S_D(\neg P)\). Demuestra por pertenencia que \(S_E(P)=E\cap S_D(P)\) y explica por qué, pese a la verdad de \(P(-1)\) como igualdad aritmética, \(-1\notin S_E(P)\). Por último, con \(f:A\to B\) y \(b\in B\), expresa «la ecuación \(f(x)=b\) tiene exactamente una solución en \(A\)» mediante un conjunto solución y relaciona tu respuesta con la definición de biyectividad de §4.7 sin olvidar que la condición debe valer para cada \(b\in B\).
Respuesta razonada. Se obtiene \(S_D(P)=\{-1,1\}\), \(S_E(P)=\{1\}\) y \(S_D(\neg P)=\{-2,0,2\}\). Para \(x\in D\), pertenecer a \(E\cap S_D(P)\) equivale a \(x\in E\) y \(x^2=1\), es decir, a pertenecer a \(S_E(P)\); fuera de \(D\) ninguno de los dos conjuntos tiene elementos. Aunque \(P(-1)\) sea verdadera, \(-1\notin E\), por lo que no se selecciona. La ecuación \(f(x)=b\) tiene solución única en \(A\) si y sólo si existe \(a\in A\) tal que \(f^{-1}(\{b\})=\{a\}\). Exigir esto para cada \(b\in B\) equivale a que \(f\) sea biyectiva; el testigo \(a\) puede depender de \(b\).
Después de la prueba. Hemos conectado fórmulas, cuantificadores, operaciones de conjuntos, relaciones y funciones mediante un mismo criterio: la pertenencia equivale a satisfacer una condición dentro de un dominio declarado. En §4.9 ejercitaremos esa lectura en ambas direcciones: formular condiciones a partir de conjuntos, construir conjuntos a partir de condiciones y detectar errores de alcance, testigos y tipos antes de intentar una demostración.
4.9. Ejercicios graduados: de la lectura de definiciones a la elección de una prueba
Los ejercicios de este capítulo se agrupan según la actividad intelectual que exigen, no sólo según el símbolo que aparece en su enunciado. Primero traduciremos una afirmación; después distinguiremos una conclusión legítima de otra que no se sigue de las hipótesis; construiremos ejemplos y contraejemplos; completaremos pruebas cuyos pasos están orientados; por último, elegiremos nosotros mismos el método. La dificultad aumenta, aunque cada familia utiliza también conceptos de las anteriores.
En todos los problemas debe conservarse el dominio de cada variable. Al demostrar una igualdad de conjuntos, justifica sus dos inclusiones o un bicondicional de pertenencia; al refutar una afirmación universal, identifica un contraejemplo y verifica que cumple las hipótesis. Para funciones rige la convención de §§4.5 y 4.7: el dominio y el codominio declarados forman parte de sus datos. Las soluciones desarrolladas se presentan, con la misma numeración, en §4.10.
Familia I. Traducción y control de tipos — lectura de definiciones
Ejercicio 1. Un conjunto descrito de dos maneras. Sean \(U\) un conjunto y \(A,B,C\subseteq U\). Considera \(H=(A\cup B)\setminus C\).
- Escribe una condición lógica necesaria y suficiente para \(x\in H\) en términos de las tres pertenencias \(x\in A\), \(x\in B\) y \(x\in C\). (b) Construye una fórmula \(P(x)\), interpretable en \(U\), para la cual \(H=S_U(P)\). (c) Explica por qué escribir \(x\notin C\) sin conservar la pertenencia a \(A\cup B\) no caracteriza a \(H\). No se pide enumerar elementos.
Ejercicio 2. ¿Cuándo representa una relación una función? Sean \(R\subseteq A\times B\) y \(R(x,y)\) la abreviatura de \((x,y)\in R\). Traduce «cada elemento de \(A\) se relaciona con exactamente un elemento de \(B\)» a una fórmula cuantificada. Después sepárala en dos enunciados: existencia para cada entrada y unicidad para cada entrada. Escribe finalmente, mediante cuantificadores restringidos, la negación de la condición de existencia. Indica en cada fórmula cuáles son las variables ligadas.
Ejercicio 3. Imágenes, preimágenes y sobreyectividad. Sea \(f:A\to B\), con \(S\subseteq A\) y \(T\subseteq B\).
- Traduce \(y\in f(S)\) mediante un cuantificador sobre \(S\) y una igualdad entre valores. (b) Traduce \(x\in f^{-1}(T)\) mediante una condición sobre \(f(x)\), declarando el dominio de \(x\). (c) Expresa la sobreyectividad de \(f\) de dos modos equivalentes: mediante cuantificadores y mediante el conjunto \(\operatorname{Im}(f)\). Explica por qué ninguna de estas expresiones convierte \(f^{-1}(T)\) en una función inversa.
Familia II. Reparación de argumentos — detectar la hipótesis que falta
Ejercicio 4. Pertenencia e inclusión no son intercambiables. Se argumenta: «Si \(A\subseteq B\), entonces \(A\in B\), porque todos los elementos de \(A\) están en \(B\)». Proporciona conjuntos finitos concretos que refuten esa implicación. Construye también un ejemplo que refute la implicación inversa \(A\in B\Rightarrow A\subseteq B\). En cada caso señala cuál es el objeto cuyo estatuto de pertenencia se está confundiendo con una condición universal.
Ejercicio 5. Un conjunto de pares no es automáticamente el grafo de una función. Sean \(A=\{1,2\}\), \(B=\{0,1\}\) y \(R=\{(1,0),(1,1)\}\subseteq A\times B\). Una demostración declara: «Cada par de \(R\) tiene una primera y una segunda componente; por eso \(R\) define una función \(A\to B\)». Identifica por separado el fallo de existencia y el fallo de unicidad. Modifica el conjunto de pares para construir un grafo \(G\subseteq A\times B\) que sí determine una función \(A\to B\), y justifica ambos requisitos para tu elección.
Ejercicio 6. Lo que una imagen no permite recuperar sin hipótesis. Se propone: «Como \(f(S)\subseteq f(T)\), necesariamente \(S\subseteq T\)». Construye un contraejemplo con una función \(f:A\to B\) y subconjuntos \(S,T\subseteq A\) que no satisfagan la conclusión. Luego añade una hipótesis adecuada sobre \(f\) y demuestra que, con ella, la implicación sí es válida. Explica por qué la inclusión \(S\subseteq T\Rightarrow f(S)\subseteq f(T)\) no requiere esa hipótesis adicional.
Familia III. Ejemplos y contraejemplos — separar propiedades
Ejercicio 7. Existencia frente a unicidad. Sean \(A=\{p,q\}\), con \(p\ne q\), y \(B=\{0,1\}\). Construye dos relaciones distintas de \(A\) en \(B\): una que satisfaga la existencia de alguna pareja para cada entrada pero viole la unicidad, y otra que satisfaga la univaluación pero deje alguna entrada sin pareja. Para cada relación escribe sus pares y verifica la condición que cumple y la que incumple mediante entradas y salidas concretas.
Ejercicio 8. Una misma lista de pares y dos funciones diferentes. Sean \(A=\{p,q\}\), \(B=\{u,v\}\), \(C=\{u,v,w\}\), donde \(p\ne q\) y \(u,v,w\) son tres objetos distintos. Usa el grafo \(G=\{(p,u),(q,v)\}\) para declarar \(f:A\to B\) y \(g:A\to C\). Comprueba que ambas son funciones y que sus grafos son iguales. Determina, justificándolo, cuáles son inyectivas y cuáles sobreyectivas. Decide si \(f=g\) según la convención de este libro e identifica exactamente qué dato produce la diferencia.
Ejercicio 9. La misma fórmula en dos dominios. Elige conjuntos finitos de enteros \(D\subsetneq E\) y dos fórmulas \(P(x)\) y \(Q(x)\) interpretables en \(E\), con los parámetros fijados, tales que \(S_D(P)=S_E(P)\) pero \(S_D(Q)\subsetneq S_E(Q)\). Calcula los cuatro conjuntos solución y verifica las dos relaciones por pertenencia. Explica por qué la inclusión \(D\subseteq E\) garantiza \(S_D(R)\subseteq S_E(R)\) para cualquier condición \(R\) que conserve su interpretación, pero no garantiza igualdad.
Familia IV. Demostraciones guiadas — identificar la obligación de cada paso
Ejercicio 10. Negación de una intersección. Para conjuntos arbitrarios \(A,B,C\), demuestra
\[ A\setminus(B\cap C)=(A\setminus B)\cup(A\setminus C). \]
Sigue esta guía: fija \(x\) arbitrario; traduce la pertenencia al miembro izquierdo; aplica la ley de De Morgan; distribuye la condición \(x\in A\) sobre la disyunción; reconoce las dos diferencias; concluye mediante extensionalidad. Explica cuál de los pasos garantiza las dos inclusiones y por qué un diagrama o una comprobación finita no sería, por sí solo, una demostración general.
Ejercicio 11. De una condición a una función. Sea
\[ G=\{(n,m)\in\mathbb Z\times\mathbb Z:m=2n+1\}. \]
- Prueba que \(G\) es el grafo de una función \(f:\mathbb Z\to\mathbb Z\) mediante existencia y unicidad para una entrada arbitraria. (b) Demuestra que \(f\) es inyectiva. (c) Da un entero del codominio que no sea alcanzado y justifica que no existe una entrada con ese valor. (d) Calcula \(f^{-1}(\{1,3\})\) y explica por qué tu resultado es un conjunto de entradas, no la función inversa de \(f\).
Ejercicio 12. Recuperar sólo los valores alcanzados. Sea \(f:A\to B\) y \(T\subseteq B\). En §4.6 se demostró \(f(f^{-1}(T))=T\cap\operatorname{Im}(f)\). Utiliza esa identidad o demuestra directamente las dos inclusiones para establecer el criterio
\[ f(f^{-1}(T))=T\quad\Longleftrightarrow\quad T\subseteq\operatorname{Im}(f). \]
Comprueba por qué las dos direcciones siguen siendo válidas cuando \(T=\varnothing\). Después aplica el criterio a la función cuadrado de §4.6 con \(T=\{9\}\) e identifica qué falla.
Familia V. Elección autónoma de método — decidir cómo comenzar
Ejercicio 13. Fibras y propiedades de una función. Sea \(f:A\to B\) y, para cada \(b\in B\), escribe \(F_b=f^{-1}(\{b\})\). Demuestra, eligiendo tu estrategia, las dos equivalencias siguientes:
\[ \begin{aligned} f\text{ es inyectiva} &\Longleftrightarrow \forall b\in B\;\forall x,x'\in F_b\;(x=x'),\\ f\text{ es biyectiva} &\Longleftrightarrow \forall b\in B\;\exists!x\in A\;(f(x)=b). \end{aligned} \]
No supongas que todas las fibras son no vacías al tratar la primera línea. Examina explícitamente el caso \(A=\varnothing\) y explica qué cambia si \(B\) también es vacío.
Ejercicio 14. El dominio efectivo de una intersección de relaciones. Sean \(R,S\subseteq A\times B\). Estudia la afirmación
\[ \operatorname{dom}(R\cap S) \subseteq\operatorname{dom}(R)\cap\operatorname{dom}(S). \]
Decide si es verdadera y demuéstrala o refútala. Averigua después si la inclusión inversa vale siempre. Si no vale, construye relaciones sobre los mismos conjuntos de referencia para las cuales un elemento pertenezca a ambos dominios efectivos, pero no al dominio efectivo de la intersección. Identifica el punto preciso donde no es legítimo reutilizar el mismo testigo.
Ejercicio 15. ¿Determinan las fibras a la función? Sean \(f,g:A\to B\) funciones con el mismo dominio y el mismo codominio declarados. Decide si vale la equivalencia
\[ f=g\quad\Longleftrightarrow\quad \forall b\in B\;\bigl(f^{-1}(\{b\})=g^{-1}(\{b\})\bigr). \]
Elige una estrategia para cada dirección. Si utilizas la extensionalidad de las preimágenes, explica cómo pasar de información sobre conjuntos de entradas a la igualdad \(f(x)=g(x)\) para un \(x\in A\) arbitrario. Revisa el caso \(A=\varnothing\) y declara qué parte de la conclusión dependería de nuestra convención si los codominios fueran diferentes.
Cierre de la práctica. Las quince preguntas no se resuelven todas mediante el mismo gesto: unas se traducen, otras se refutan, otras requieren producir testigos y otras exigen las dos direcciones de una equivalencia. Antes de abordar §4.10 conviene anotar, para cada ejercicio, qué se da, qué se pide, qué definiciones hacen falta y qué propiedad del dominio o del codominio podría perderse si se omitiera. Las soluciones explicitan tanto la respuesta como la decisión de método.
4.10. Soluciones desarrolladas: reconstruir el razonamiento, no sólo el resultado
Conservamos los números y los datos de §4.9. Cada solución identifica qué definición debe desplegarse, qué objeto o testigo exige la prueba y qué conclusión queda efectivamente justificada. Un ejemplo resuelve un problema existencial o refuta una afirmación universal cuando corresponde; no sustituye una demostración sobre conjuntos arbitrarios. Como siempre, las letras que representan dominios y codominios están fijadas antes de cuantificar.
Solución 1. Un conjunto descrito de dos maneras
Método elegido: desplegar pertenencia y volver a formar un conjunto solución. De la definición de diferencia, para cualquier objeto \(x\),
\[ \begin{aligned} x\in H &\Longleftrightarrow x\in A\cup B\ \land\ x\notin C\\ &\Longleftrightarrow ((x\in A)\lor(x\in B))\land(x\notin C). \end{aligned} \]
Esto responde a (a). Para (b), como \(A,B,C\subseteq U\), fijamos en \(U\) la fórmula abierta
\[ P(x):\quad ((x\in A)\lor(x\in B))\land(x\notin C). \]
Entonces \(S_U(P)=\{x\in U:P(x)\}=H\): ambos conjuntos tienen los mismos elementos según el bicondicional anterior; la condición de pertenecer a \(U\) se cumple automáticamente para un elemento de \(A\cup B\). No hemos reunido objetos de un universo irrestricto.
Para (c), \(x\notin C\) sólo excluye a \(C\); no garantiza que \(x\) proceda de la unión. Por ejemplo, con \(U=\{1,2\}\), \(A=\{1\}\) y \(B=C=\varnothing\), el objeto \(2\) no pertenece a \(C\), pero tampoco a \(H=\{1\}\). El error consiste en eliminar un miembro de la conjunción que define la diferencia.
Solución 2. ¿Cuándo representa una relación una función?
Método elegido: desplegar el cuantificador de existencia única. La traducción solicitada es
\[ \forall x\in A\;\exists!y\in B\;R(x,y). \]
Equivale a la conjunción de dos enunciados:
\[ \begin{aligned} &\forall x\in A\;\exists y\in B\;R(x,y),\\ &\forall x\in A\;\forall y,z\in B\; ((R(x,y)\land R(x,z))\to y=z). \end{aligned} \]
La primera línea exige una salida para cada entrada; la segunda compara dos salidas de una misma entrada y obliga a que coincidan. Para ver la equivalencia, la existencia única implica ambas condiciones; a la inversa, para un \(x\) arbitrario elegimos un \(y\) por la primera condición y usamos la segunda para descartar cualquier \(z\) diferente.
La negación de la condición de existencia es
\[ \exists x\in A\;\forall y\in B\;\neg R(x,y). \]
Afirma que alguna entrada no tiene pareja. En la primera fórmula están ligadas \(x\) e \(y\); en la descomposición también lo está \(z\); en la negación vuelven a estar ligadas \(x\) e \(y\). Los conjuntos \(A,B\) y la relación \(R\) son datos fijados, no variables libres que haya que cuantificar en estas fórmulas. El cambio \(\neg\forall x\,\exists y\rightsquigarrow\exists x\,\forall y\,\neg\) proviene de negar ambos cuantificadores, no de intercambiar arbitrariamente su orden.
Solución 3. Imágenes, preimágenes y sobreyectividad
Método elegido: traducir las dos nociones de conjunto antes de tratar la propiedad de la función. Para \(y\in B\),
\[ y\in f(S)\quad\Longleftrightarrow\quad \exists x\in S\;(f(x)=y). \]
La variable \(x\) es una entrada testigo; el objeto \(y\) es un valor. Para \(x\in A\),
\[ x\in f^{-1}(T)\quad\Longleftrightarrow\quad f(x)\in T. \]
Aquí el elemento del conjunto resultante es una entrada, y no necesitamos resolver la ecuación \(f(x)=y\) para todos los posibles \(y\).
La sobreyectividad hacia el codominio declarado \(B\) se expresa equivalentemente por
\[ \forall y\in B\;\exists x\in A\;(f(x)=y), \qquad\operatorname{Im}(f)=B. \]
La equivalencia se debe a que, por definición, \(y\in\operatorname{Im}(f)\) significa que existe una entrada cuyo valor es \(y\), y siempre \(\operatorname{Im}(f)\subseteq B\). Finalmente, \(f^{-1}(T)\) nombra un subconjunto de \(A\) para cualquier \(T\subseteq B\); una función inversa \(B\to A\) requeriría que cada \(y\in B\) tuviera exactamente una entrada que lo produjera. Nada de lo escrito en (a) o (b) presupone esa condición.
Solución 4. Pertenencia e inclusión no son intercambiables
Método elegido: refutar cada implicación con un contraejemplo que distinga objeto y elementos. Para la primera, tomemos \(A=\{1\}\) y \(B=\{1,2\}\). Se cumple \(A\subseteq B\), porque el único elemento de \(A\) es \(1\in B\). Sin embargo, \(A\notin B\): los elementos enumerados de \(B\) son \(1\) y \(2\), no el conjunto \(\{1\}\). La inclusión habla de los elementos de \(A\); la conclusión errónea intenta convertir al propio conjunto \(A\) en elemento de \(B\).
Para la implicación inversa, tomemos \(A=\{1\}\) y \(B=\{\{1\}\}\). Ahora \(A\in B\), pues el único elemento de \(B\) es precisamente \(\{1\}\). No obstante, \(A\nsubseteq B\): su único elemento, \(1\), no es un elemento de \(B\), cuyo único elemento es \(\{1\}\). La información sobre la pertenencia del objeto \(A\) no afirma nada, por sí sola, sobre la pertenencia de cada elemento suyo.
Solución 5. Un conjunto de pares no es automáticamente el grafo de una función
Método elegido: inspeccionar por separado las dos obligaciones para cada entrada. El conjunto inicial es \(A=\{1,2\}\); en \(R=\{(1,0),(1,1)\}\) no aparece ningún par con primera componente \(2\). Por eso falla la existencia universal: para \(x=2\) no existe \(y\in B\) tal que \((2,y)\in R\). También falla la unicidad: la entrada \(1\) está emparejada con \(0\) y \(1\), dos elementos distintos de \(B\).
Una reparación posible es
\[ G=\{(1,0),(2,1)\}\subseteq A\times B. \]
Para \(x=1\) existe la salida \(0\) y es la única en \(G\) con primera componente \(1\); para \(x=2\) existe la salida \(1\) y es igualmente única. Como \(A\) contiene exactamente esas dos entradas, queda probado \(\forall x\in A\,\exists!y\in B\,((x,y)\in G)\). No bastaba comprobar que cada par tiene dos componentes: lo exigido se cuantifica sobre todas las entradas de \(A\).
Solución 6. Lo que una imagen no permite recuperar sin hipótesis
Método elegido: buscar una colisión para refutar y usar la inyectividad para reparar. Sea \(A=\{0,1\}\), \(B=\{a\}\) y \(f:A\to B\) la función constante \(f(0)=f(1)=a\). Tomemos \(S=\{0\}\) y \(T=\{1\}\). Entonces \(f(S)=f(T)=\{a\}\) y, en particular, \(f(S)\subseteq f(T)\), pero \(S\nsubseteq T\) porque \(0\in S\) y \(0\notin T\).
La hipótesis adicional suficiente es que \(f\) sea inyectiva. Supongamos ahora \(f(S)\subseteq f(T)\) y tomemos \(x\in S\) arbitrario. Su valor \(f(x)\) pertenece a \(f(S)\) y, por la inclusión, a \(f(T)\). Existe entonces \(t\in T\) con \(f(t)=f(x)\). La inyectividad obliga a \(t=x\); como \(t\in T\), tenemos \(x\in T\). Por arbitrariedad de \(x\), \(S\subseteq T\). El paso decisivo es identificar dos testigos mediante la inyectividad.
La implicación directa \(S\subseteq T\Rightarrow f(S)\subseteq f(T)\) no necesita esa hipótesis: si \(y\in f(S)\), un testigo \(x\in S\) satisface \(f(x)=y\); la inclusión \(S\subseteq T\) garantiza que ese mismo \(x\) pertenece a \(T\), por lo que \(y\in f(T)\).
Solución 7. Existencia frente a unicidad
Método elegido: construir cada ejemplo para que falle exactamente el requisito solicitado. Consideremos
\[ R=\{(p,0),(p,1),(q,0)\}, \qquad S=\{(p,0)\}. \]
En \(R\), tanto \(p\) como \(q\) tienen al menos una pareja: \(p\) se relaciona con \(0\) y \(q\) con \(0\). Pero \(p\) también se relaciona con \(1\) y \(0\ne1\); falla la univaluación. En \(S\), la única entrada que aparece, \(p\), tiene una sola salida, \(0\); por tanto, si \((x,y)\) y \((x,z)\) pertenecen a \(S\), forzosamente \(y=z=0\). La univaluación se cumple. En cambio, \(q\in A\) carece de pareja, por lo que falla la existencia para cada entrada.
Ambos conjuntos están incluidos en \(A\times B\), pero ninguno determina una función \(A\to B\): uno incumple unicidad y el otro existencia. Esta comprobación evita confundir «a lo sumo una salida» con «exactamente una salida».
Solución 8. Una misma lista de pares y dos funciones diferentes
Método elegido: fijar todos los datos declarados antes de comparar propiedades. Para \(f:A\to B\) y \(g:A\to C\) usamos el mismo grafo \(G=\{(p,u),(q,v)\}\). Ambas son funciones: cada una de las dos entradas \(p,q\) tiene una salida única y los valores \(u,v\) pertenecen tanto a \(B\) como a \(C\). Sus grafos coinciden literalmente.
Ambas son inyectivas: las dos entradas distintas tienen valores distintos, \(u\ne v\). La función \(f\) es sobreyectiva, pues \(f(p)=u\) y \(f(q)=v\) alcanzan todos los elementos de \(B=\{u,v\}\). La función \(g\) no es sobreyectiva hacia \(C=\{u,v,w\}\), porque \(w\in C\) y no existe una entrada cuyo valor sea \(w\). Por consiguiente, \(f\) es biyectiva y \(g\) no.
Según la convención de §4.7, \(f\ne g\): aunque los dominios y los grafos sean idénticos, sus codominios declarados son diferentes (\(B\ne C\), pues \(w\in C\setminus B\)). La igualdad de la lista de pares no basta, en este libro, para igualar dos funciones con distinto codominio.
Solución 9. La misma fórmula en dos dominios
Método elegido: introducir un objeto nuevo que satisfaga sólo una de las dos condiciones. Elegimos
\[ D=\{0,1\}\subsetneq E=\{0,1,2\}, \qquad P(x):x=1, \qquad Q(x):x\ge1. \]
Las fórmulas son las mismas en ambos dominios y no poseen parámetros indeterminados. Al evaluar pertenencia obtenemos
\[ \begin{aligned} S_D(P)&=\{1\}, & S_E(P)&=\{1\},\\ S_D(Q)&=\{1\}, & S_E(Q)&=\{1,2\}. \end{aligned} \]
La igualdad de los dos conjuntos asociados a \(P\) se prueba porque \(1\) es el único entero de ambos dominios que satisface \(x=1\). Para \(Q\), la inclusión \(\{1\}\subseteq\{1,2\}\) es propia: \(2\) está en \(S_E(Q)\), pero no en \(D\) y por tanto tampoco en \(S_D(Q)\).
En general, con \(D\subseteq E\) y una condición \(R\) interpretada de la misma manera, si \(x\in S_D(R)\) entonces \(x\in D\) y \(R(x)\). Como \(x\in E\), también \(x\in S_E(R)\); esto prueba \(S_D(R)\subseteq S_E(R)\). La inclusión inversa no está garantizada: los elementos de \(E\setminus D\) pueden satisfacer la fórmula, como ocurre con \(2\) y \(Q\). Un cambio de dominio es, por ello, un dato matemático y no una modificación inocua de notación.
Solución 10. Negación de una intersección
Método elegido: un bicondicional de pertenencia que prueba simultáneamente ambas inclusiones. Para un objeto arbitrario \(x\),
\[ \begin{aligned} x\in A\setminus(B\cap C) &\Longleftrightarrow (x\in A)\land\neg((x\in B)\land(x\in C))\\ &\Longleftrightarrow (x\in A)\land((x\notin B)\lor(x\notin C))\\ &\Longleftrightarrow ((x\in A)\land(x\notin B))\lor ((x\in A)\land(x\notin C))\\ &\Longleftrightarrow x\in(A\setminus B)\cup(A\setminus C). \end{aligned} \]
El segundo paso es la ley de De Morgan; el tercero es la distributividad de la conjunción sobre la disyunción; el último reconoce diferencia y unión. Cada flecha es un bicondicional: leída de izquierda a derecha da \(A\setminus(B\cap C)\subseteq(A\setminus B)\cup(A\setminus C)\), y de derecha a izquierda da la inclusión contraria. Como \(x\) era arbitrario, la extensionalidad concluye la igualdad de los conjuntos.
Un dibujo puede orientar la conjetura y una enumeración finita verificar un caso, pero ninguno de esos procedimientos, sin un argumento general, establece el resultado para todos los conjuntos \(A,B,C\).
Solución 11. De una condición a una función
Método elegido: demostrar primero que la relación es funcional; sólo entonces estudiar sus propiedades. (a) Sea \(n\in\mathbb Z\) arbitrario. El entero \(m=2n+1\) pertenece a \(\mathbb Z\) y satisface \((n,m)\in G\), lo que prueba existencia. Si \((n,m),(n,m')\in G\), entonces \(m=2n+1=m'\), lo que prueba unicidad. Por tanto, \(G\) es el grafo de la función \(f:\mathbb Z\to\mathbb Z\) dada por \(f(n)=2n+1\).
Si \(f(n)=f(k)\), se cumple \(2n+1=2k+1\). Restando \(1\) y dividiendo entre \(2\) obtenemos \(n=k\). Las entradas eran arbitrarias, luego \(f\) es inyectiva.
El entero \(0\) pertenece al codominio, pero no es alcanzado. Si existiera \(n\in\mathbb Z\) con \(2n+1=0\), tendríamos \(n=-\tfrac12\), que no es entero. Así, \(f\) no es sobreyectiva hacia \(\mathbb Z\); en realidad sus valores son enteros impares.
Por definición,
\[ \begin{aligned} f^{-1}(\{1,3\}) &=\{n\in\mathbb Z:2n+1=1\ \text{o}\ 2n+1=3\}\\ &=\{0,1\}. \end{aligned} \]
La respuesta es un conjunto de entradas, no una función \(\mathbb Z\to\mathbb Z\) inversa. De hecho, tal función inversa no existe para los dominios declarados, pues \(0\) no tiene antecedente.
Solución 12. Recuperar sólo los valores alcanzados
Método elegido: reducir la igualdad a una inclusión usando una identidad ya demostrada. Por §4.6,
\[ f(f^{-1}(T))=T\cap\operatorname{Im}(f). \]
Por tanto,
\[ \begin{aligned} f(f^{-1}(T))=T &\Longleftrightarrow T\cap\operatorname{Im}(f)=T\\ &\Longleftrightarrow T\subseteq\operatorname{Im}(f). \end{aligned} \]
Justifiquemos también la segunda equivalencia: si la intersección es \(T\), todo \(t\in T\) pertenece a la imagen; si \(T\) está incluido en la imagen, intersectarlo con ella no elimina ningún elemento. Para \(T=\varnothing\), ambas condiciones siguen siendo verdaderas: \(f^{-1}(\varnothing)=\varnothing\), su imagen es vacía y \(\varnothing\subseteq\operatorname{Im}(f)\), aunque el dominio de \(f\) sea vacío.
En la función cuadrado de §4.6, \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\), \(B=\{0,1,4,9\}\) y \(\operatorname{Im}(f)=\{0,1,4\}\). Para \(T=\{9\}\), ninguna entrada tiene cuadrado \(9\); entonces
\[ f^{-1}(T)=\varnothing, \qquad f(f^{-1}(T))=\varnothing\ne\{9\}=T. \]
Lo que falla es exactamente \(T\subseteq\operatorname{Im}(f)\). Pertenecer al codominio no equivale a ser un valor alcanzado.
Solución 13. Fibras y propiedades de una función
Método elegido: en la primera equivalencia comparar entradas de una misma fibra; en la segunda separar existencia y unicidad para cada valor. Recordemos que
\[ F_b=\{x\in A:f(x)=b\}. \]
Si \(f\) es inyectiva y \(x,x'\in F_b\), entonces \(f(x)=b=f(x')\) y por inyectividad \(x=x'\). Recíprocamente, supongamos que para todo \(b\in B\) cualesquiera \(x,x'\in F_b\) son iguales. Dados \(x,x'\in A\) con \(f(x)=f(x')\), fijamos \(b=f(x)\in B\). Ambas entradas pertenecen a \(F_b\), por lo que \(x=x'\). Ésta es la inyectividad. No exigimos que cada \(F_b\) tenga un elemento: la condición sólo dice que contiene a lo sumo uno.
Para la segunda equivalencia, supongamos primero que \(f\) es biyectiva. Por sobreyectividad, para cada \(b\in B\) existe \(x\in A\) con \(f(x)=b\); si \(x'\) tiene el mismo valor, la inyectividad da \(x'=x\). Existe exactamente una entrada. Recíprocamente, si cada \(b\in B\) posee exactamente una entrada, la parte de existencia demuestra sobreyectividad. Para probar inyectividad, dadas \(x,x'\in A\) con igual valor \(b\), la unicidad de la entrada que produce \(b\) obliga a \(x=x'\). Se verifican las dos propiedades, luego \(f\) es biyectiva.
Caso vacío. Si \(A=\varnothing\) y \(B\ne\varnothing\), existe la función vacía \(f:A\to B\): es inyectiva porque no hay dos entradas que la contradigan, y cada fibra es vacía, de modo que la primera equivalencia se cumple. No es sobreyectiva ni biyectiva: para un \(b\in B\) no existe entrada alguna, y el lado derecho de la segunda equivalencia también es falso. Si \(A=B=\varnothing\), la única función vacía es inyectiva y sobreyectiva (ambas condiciones son universales sobre vacíos), por lo que es biyectiva. La segunda condición, universal sobre \(B=\varnothing\), también es verdadera. Si \(B=\varnothing\) pero \(A\ne\varnothing\), no existe una función \(A\to B\); no hay un caso adicional de las equivalencias que evaluar.
Solución 14. El dominio efectivo de una intersección de relaciones
Método elegido: probar la inclusión con un testigo común y refutar su recíproca separando testigos. Sea \(x\in\operatorname{dom}(R\cap S)\). Existe un \(y\in B\) tal que \((x,y)\in R\cap S\). En particular, \((x,y)\in R\) y \((x,y)\in S\). El mismo \(y\) demuestra \(x\in\operatorname{dom}(R)\) y \(x\in\operatorname{dom}(S)\), de donde
\[ \operatorname{dom}(R\cap S) \subseteq\operatorname{dom}(R)\cap\operatorname{dom}(S). \]
La inclusión inversa puede fallar. Tomemos \(A=\{a\}\), \(B=\{0,1\}\) y
\[ R=\{(a,0)\},\qquad S=\{(a,1)\}. \]
Ambas son relaciones de \(A\) en \(B\) y sus dominios efectivos son \(\{a\}\); sin embargo, \(R\cap S=\varnothing\), por lo que \(\operatorname{dom}(R\cap S)=\varnothing\). Así, \(a\) pertenece a la intersección de los dominios, pero no al dominio de la intersección.
El paso ilegítimo sería concluir, de \(\exists y\in B\;R(x,y)\) y \(\exists z\in B\;S(x,z)\), que existe un mismo \(y\) para el que se cumplen ambas relaciones. En nuestro ejemplo, los testigos son \(0\) y \(1\); no hay un par compartido.
Solución 15. ¿Determinan las fibras a la función?
Método elegido: usar la definición de preimagen en la ida y elegir la fibra del valor efectivo en la vuelta. La equivalencia es verdadera bajo la hipótesis declarada de que \(f,g:A\to B\) comparten dominio y codominio.
Si \(f=g\), para cualquier \(b\in B\) y \(x\in A\) tenemos
\[ \begin{aligned} x\in f^{-1}(\{b\}) &\Longleftrightarrow f(x)=b\\ &\Longleftrightarrow g(x)=b\\ &\Longleftrightarrow x\in g^{-1}(\{b\}). \end{aligned} \]
La extensionalidad da la igualdad de las fibras para cada \(b\), lo que prueba la dirección directa.
Recíprocamente, supongamos iguales las fibras para todo \(b\in B\) y fijemos \(x\in A\) arbitrario. Como \(f:A\to B\) es una función, \(b:=f(x)\) es un elemento de \(B\). Por construcción, \(x\in f^{-1}(\{b\})\); por igualdad de esa fibra con \(g^{-1}(\{b\})\), resulta \(x\in g^{-1}(\{b\})\). La definición de preimagen implica \(g(x)=b=f(x)\). Como esto vale para toda entrada y los datos declarados de dominio y codominio coinciden, concluimos \(f=g\).
Si \(A=\varnothing\), ambas funciones tienen grafo vacío y, dado que comparten codominio, son iguales según nuestra convención. Para todo \(b\in B\), sus fibras son igualmente vacías; el razonamiento no requiere elegir una entrada inexistente. Si los codominios declarados fueran diferentes, la conclusión «las funciones son iguales» ya no seguiría de la sola coincidencia de los valores o de los grafos: el libro exige también igualdad de codominio. Además, la fórmula propuesta cuantifica sobre un mismo \(B\) y no puede trasladarse sin especificar previamente un conjunto de valores común.
Después de las soluciones. Los quince problemas vuelven a una misma disciplina: no pasar de una pertenencia particular a una afirmación universal, distinguir testigos que pueden ser diferentes, conservar las posiciones de los pares y declarar los dominios de las condiciones. En el capítulo 5 estudiaremos cómo convertir las definiciones en herramientas de prueba. El trabajo realizado aquí proporciona el punto de partida: desplegar una definición, reconocer las obligaciones que impone y justificar cada paso sin perder las hipótesis.
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