Tratado moderno de Álgebra — Capítulo 2: Semigrupos
2.0. De magma a semigrupo
Un magma proporciona un conjunto no vacío y una operación interna. La primera ley que impondremos sobre esa operación es la asociatividad. La combinación de ambos ingredientes define la estructura de semigrupo.
La posición deductiva es mínima:
\[ \text{magma} + \text{asociatividad} \longrightarrow \text{semigrupo}. \]
No se presupone todavía elemento neutro ni inversos.
2.1. Definición
Definición 2.1.1 — Semigrupo
Un semigrupo es un magma
\[ \mathcal S=\langle S,\star\rangle \]
cuya operación \(\star\) es asociativa. Equivalentemente, se exige que:
- \(S\neq\varnothing\);
- \(\star:S\times S\to S\) es una operación binaria;
- para cualesquiera \(a,b,c\in S\),
\[ (a\star b)\star c = a\star(b\star c). \]
La palabra equivalentemente no introduce una caracterización externa: simplemente expande las dos definiciones de las que depende la noción de semigrupo.
2.2. Qué permite y qué no permite la asociatividad
En un semigrupo, todo producto de tres elementos puede escribirse sin ambigüedad de agrupación:
\[ a\star b\star c, \]
pues las dos parentizaciones posibles coinciden por definición.
Todavía no generalizaremos esta escritura a cadenas arbitrariamente largas. Para hacerlo rigurosamente deberemos demostrar más adelante el teorema de asociatividad generalizada o, de manera equivalente, probar que todas las parentizaciones finitas de una misma palabra producen el mismo valor.
La asociatividad tampoco garantiza:
- la existencia de un elemento neutro;
- la existencia de inversos;
- la conmutatividad;
- leyes de cancelación.
Cada una de esas propiedades deberá introducirse y, cuando corresponda, demostrarse por separado.
2.3. Próximo paso
Para pasar de semigrupo a monoide añadiremos un elemento neutro. Antes de incorporarlo a la estructura será necesario distinguir cuidadosamente:
- qué significa ser neutro izquierdo;
- qué significa ser neutro derecho;
- qué significa ser neutro bilateral;
- por qué, cuando existe un neutro bilateral, es único.
El siguiente nodo reservado es, por tanto,
la Definición 3.1.1 — Elemento neutro.
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