Tratado de análisis — Capítulo 0: Fundamento lógico y conjuntista
Capítulo 0 — Fundamento lógico y conjuntista
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Parte I — Fundamentos y construcción de los números reales
0.0. Propósito y posición deductiva
Este capítulo fija el lenguaje conjuntista que se utilizará en todo el tratado. No pretende desarrollar metamatemática ni teoría axiomática de conjuntos por sí mismas; su función es construir, a partir del contrato fundacional de la obra, el aparato mínimo con el cual podrá comenzar en el capítulo siguiente la construcción de los números naturales.
La regla de lectura será estricta:
Todo símbolo matemático interno del tratado aparece por primera vez en una definición, convención o notación identificable; toda afirmación matemática que no pertenezca al fundamento lógico-conjuntista admitido se demuestra antes de utilizarse.
La cadena principal de este capítulo es:
\[ \text{conjuntos} \longrightarrow \text{inclusión y operaciones} \longrightarrow \text{pares ordenados} \longrightarrow \text{productos cartesianos} \longrightarrow \text{relaciones} \longrightarrow \text{equivalencias y cocientes} \longrightarrow \text{funciones} \longrightarrow \text{órdenes}. \]
Ningún resultado de análisis es utilizado en este capítulo.
0.1. Lenguaje lógico y axiomas conjuntistas disponibles
Antes de construir objetos matemáticos conviene precisar qué parte de la maquinaria se admite y qué parte deberá demostrarse. La distinción es esencial en un tratado que pretende construir los sistemas numéricos desde fundamentos explícitos: si una propiedad se apoya en un axioma de ZF, queremos poder decir cuál; si se obtiene de definiciones anteriores, queremos verla aparecer como resultado interno.
Esta sección no pretende convertir el tratado en un curso de lógica o teoría de conjuntos. Su función es más austera: fijar el suelo sobre el que caminaremos. A partir de ese suelo, las construcciones posteriores deberán justificarse dentro del propio desarrollo.
Convención 0.1.1 — Metanivel y nivel objeto
Glosario: metanivel · nivel objeto
Distinguiremos permanentemente:
- el metanivel, en el que hablamos de fórmulas, demostraciones, variables, definiciones y dependencias;
- el nivel objeto, en el que las variables recorren conjuntos.
Los numerales usados para numerar capítulos, secciones o resultados pertenecen al metanivel editorial hasta que los números naturales hayan sido construidos.
Convención 0.1.2 — Lógica ambiente
Glosario: lógica clásica
Se trabaja en lógica clásica de primer orden con igualdad. Se permiten, entre otros, modus ponens, introducción y eliminación usual de cuantificadores, sustitución de iguales, contrapositiva, reducción al absurdo y tercero excluido.
La igualdad = es lógica y primitiva. La pertenencia \(\in\) es el único símbolo no lógico primitivo del lenguaje conjuntista.
No registraremos como resultados del tratado las tautologías puramente lógicas.
0.1.1. Inventario axiomático
Glosario: ZF
Los axiomas siguientes son fundamento admitido, no teoremas del tratado. Se los reproduce aquí para que las dependencias de las construcciones posteriores sean visibles.
Extensionalidad
Glosario: extensionalidad
\[ \forall A\,\forall B\, \Bigl[ \forall x\,(x\in A\leftrightarrow x\in B) \;\Longrightarrow\; A=B \Bigr]. \]
Par
Para cualesquiera conjuntos \(a,b\) existe un conjunto \(P\) cuyos elementos son exactamente \(a\) y \(b\):
\[ \forall a\,\forall b\,\exists P\,\forall x \bigl(x\in P\leftrightarrow(x=a\lor x=b)\bigr). \]
Unión
Para todo conjunto \(A\) existe un conjunto \(U\) tal que
\[ x\in U \iff \exists B\,(B\in A\land x\in B). \]
Conjunto potencia
Para todo conjunto \(A\) existe un conjunto \(P\) tal que
\[ X\in P \iff \forall x\,(x\in X\rightarrow x\in A). \]
Esquema de separación
Dado un conjunto \(A\) y una fórmula \(\varphi(x)\), existe un conjunto \(B\) tal que
\[ x\in B \iff (x\in A\land\varphi(x)). \]
Esquema de reemplazo
Si una fórmula \(\varphi(x,y)\) determina para cada \(x\in A\) un único \(y\), entonces la colección de esos valores \(y\) es un conjunto.
Infinito
Usaremos en el capítulo 1 el axioma de infinito. Para evitar utilizar anticipadamente el símbolo \(\varnothing\), puede expresarse en una forma equivalente adecuada a este tratado:
\[ \exists I\Bigl[ \exists e\bigl(e\in I\land\forall z\,(z\notin e)\bigr) \land \forall x\Bigl( x\in I\rightarrow \exists y\bigl( y\in I\land \forall z\,(z\in y\leftrightarrow(z\in x\lor z=x)) \bigr) \Bigr) \Bigr]. \]
En este capítulo utilizaremos de este axioma únicamente su consecuencia inmediata de que existe al menos un conjunto.
Fundación
El axioma de fundación está disponible por pertenecer a ZF, pero ningún resultado de este capítulo dependerá de él.
Notación 0.1.3 — Separación restringida
Glosario: separación restringida
Cuando \(A\) es un conjunto y \(P(x)\) una propiedad, escribiremos
\[ \{x\in A:P(x)\} \]
para el subconjunto de \(A\) cuya existencia garantiza separación.
Esta notación no autoriza expresiones irrestrictas de la forma \(\{x:P(x)\}\) sin un conjunto ambiente previamente disponible.
0.2. Conjuntos, inclusión y operaciones
El lenguaje primitivo sólo nos da pertenencia e igualdad. Para trabajar matemáticamente necesitamos derivar de él formas estables de comparar y combinar conjuntos. La primera es la inclusión: en vez de preguntar por un elemento aislado, preguntamos si todo elemento de un conjunto pertenece a otro. De esa relación surgirán luego las operaciones usuales —unión, intersección, diferencia y conjunto potencia— y, con ellas, los conjuntos ambientes en los que podremos construir productos, relaciones y funciones.
Definición 0.2.1 — Subconjunto
Glosario: subconjunto
Sean \(A\) y \(B\) conjuntos. Definimos
\[ A\subseteq B \quad\Longleftrightarrow\quad \forall x\,(x\in A\rightarrow x\in B). \]
Si \(A\subseteq B\) y \(A\neq B\), escribiremos \(A\subsetneq B\).
Proposición 0.2.2 — Reflexividad de la inclusión
Para todo conjunto \(A\),
\[ A\subseteq A. \]
Demostración.
Sea \(x\in A\). Entonces \(x\in A\). Por la Definición 0.2.1, \(A\subseteq A\). ∎
Proposición 0.2.3 — Transitividad de la inclusión
Si \(A\subseteq B\) y \(B\subseteq C\), entonces \(A\subseteq C\).
Demostración.
Sea \(x\in A\). Como \(A\subseteq B\), tenemos \(x\in B\); como \(B\subseteq C\), tenemos \(x\in C\). Por la Definición 0.2.1, \(A\subseteq C\). ∎
Teorema 0.2.4 — Criterio extensional por doble inclusión
Para cualesquiera conjuntos \(A\) y \(B\),
\[ A=B \quad\Longleftrightarrow\quad (A\subseteq B\ \text{y}\ B\subseteq A). \]
Demostración.
Si \(A=B\), la reflexividad de la inclusión (Proposición 0.2.2) da \(A\subseteq B\) y \(B\subseteq A\).
Recíprocamente, supongamos \(A\subseteq B\) y \(B\subseteq A\). Entonces, para todo \(x\),
\[ x\in A\iff x\in B. \]
Por extensionalidad, \(A=B\). ∎
Proposición 0.2.5 — Existencia y unicidad del conjunto vacío
Existe un único conjunto que no tiene elementos.
Demostración.
Existencia. Del axioma de infinito se sigue que existe al menos un conjunto \(A\). Por separación existe
\[ E:=\{x\in A:x\neq x\}. \]
No existe \(x\in E\), pues \(x\neq x\) es falso por reflexividad de la igualdad.
Unicidad. Sean \(E\) y \(F\) conjuntos sin elementos. Para todo \(x\),
\[ x\in E\iff x\in F, \]
pues ambas proposiciones son falsas. Por extensionalidad, \(E=F\). ∎
Notación 0.2.6 — Conjunto vacío
Glosario: conjunto vacío
Denotaremos por
\[ \varnothing \]
el único conjunto sin elementos cuya existencia y unicidad fueron demostradas en la Proposición 0.2.5.
Proposición 0.2.7 — El vacío está contenido en todo conjunto
Para todo conjunto \(A\),
\[ \varnothing\subseteq A. \]
Demostración.
No existe \(x\in\varnothing\). Por tanto, la implicación \(x\in\varnothing\Rightarrow x\in A\) es verdadera para todo \(x\). Aplicando la Definición 0.2.1, \(\varnothing\subseteq A\). ∎
Notación 0.2.8 — Pares no ordenados y singletons
Glosario: par no ordenado · singleton
Por el axioma del par, para conjuntos \(a,b\) existe un único conjunto cuyos elementos son exactamente \(a\) y \(b\). Lo denotaremos
\[ \{a,b\}. \]
Definimos el singleton de \(a\) por
\[ \{a\}:=\{a,a\}. \]
La unicidad en ambos casos se sigue de extensionalidad.
Definición 0.2.9 — Unión binaria
Glosario: unión
Sean \(A,B\) conjuntos. Definimos
\[ A\cup B:=\bigcup\{A,B\}. \]
Por los axiomas del par y de unión, \(A\cup B\) existe como conjunto.
Definición 0.2.10 — Intersección binaria
Glosario: intersección
Sean \(A,B\) conjuntos. Definimos
\[ A\cap B:=\{x\in A:x\in B\}. \]
Definición 0.2.11 — Diferencia conjuntista
Glosario: diferencia conjuntista
Sean \(A,B\) conjuntos. Definimos
\[ A\setminus B:=\{x\in A:x\notin B\}. \]
La notación A-B queda reservada para contextos algebraicos y no se utilizará para diferencia de conjuntos.
Definición 0.2.12 — Conjunto potencia
Glosario: conjunto potencia
Para cada conjunto \(A\), el axioma del conjunto potencia garantiza un conjunto, que denotaremos
\[ \mathcal P(A), \]
caracterizado por
\[ X\in\mathcal P(A) \quad\Longleftrightarrow\quad X\subseteq A. \]
Proposición 0.2.13 — Leyes de pertenencia de las operaciones binarias
Para cualesquiera conjuntos \(A,B\) y cualquier \(x\),
\[ x\in A\cup B \iff (x\in A\lor x\in B), \]
\[ x\in A\cap B \iff (x\in A\land x\in B), \]
y
\[ x\in A\setminus B \iff (x\in A\land x\notin B). \]
Demostración.
La segunda y la tercera equivalencia son exactamente las condiciones definitorias de las Definiciones 0.2.10 y 0.2.11.
Para la primera,
\[ x\in\bigcup\{A,B\} \]
si y sólo si existe \(C\in\{A,B\}\) tal que \(x\in C\). Por la definición del par no ordenado, esto equivale a \(x\in A\) o \(x\in B\). ∎
Definición 0.2.14 — Conjuntos disjuntos
Glosario: conjuntos disjuntos
Dos conjuntos \(A\) y \(B\) son disjuntos si
\[ A\cap B=\varnothing. \]
0.3. Pares ordenados y productos cartesianos
Los conjuntos ordinarios no recuerdan posiciones: \(\{a,b\}=\{b,a\}\). Esa simetría es adecuada cuando sólo importa qué elementos están presentes, pero resulta insuficiente en cuanto queremos distinguir una primera y una segunda coordenada. Una relación entre \(a\) y \(b\), el valor de una función en un argumento o un punto de un producto cartesiano requieren precisamente esa distinción.
Por ello construiremos ahora, usando únicamente conjuntos ya disponibles, un objeto que codifique el orden de dos componentes. La prueba decisiva no será la definición misma, sino demostrar que dos pares ordenados son iguales exactamente cuando coinciden sus primeras componentes y coinciden sus segundas componentes.
Una vez obtenido ese criterio, podremos utilizar pares ordenados sin volver continuamente a su implementación conjuntista.
Definición 0.3.1 — Par ordenado de Kuratowski
Glosario: par ordenado · par de Kuratowski
Para conjuntos \(a,b\), definimos
\[ \boxed{ \langle a,b\rangle := \bigl\{\{a\},\{a,b\}\bigr\}. } \]
Lema 0.3.2 — Igualdad de singletons
Para cualesquiera conjuntos \(a,c\),
\[ \{a\}=\{c\} \quad\Longleftrightarrow\quad a=c. \]
Demostración.
Si \(a=c\), los singletons son iguales por sustitución.
Recíprocamente, si \(\{a\}=\{c\}\), entonces \(a\in\{a\}=\{c\}\), de modo que \(a=c\). ∎
Lema 0.3.3 — Igualdad de pares no ordenados
Para cualesquiera conjuntos \(a,b,c,d\),
\[ \{a,b\}=\{c,d\} \]
si y sólo si
\[ (a=c\land b=d) \quad\text{o}\quad (a=d\land b=c). \]
Demostración.
Supongamos \(\{a,b\}=\{c,d\}\). Como \(a\) pertenece al miembro izquierdo, \(a=c\) o \(a=d\).
Si \(a=c\), entonces \(b\in\{c,d\}\), así que \(b=c\) o \(b=d\). Si \(b=d\), obtenemos la primera alternativa. Si \(b=c=a\), la igualdad \(\{a,b\}=\{a\}=\{c,d\}\) fuerza \(d=a=b\), y ambas alternativas son entonces verdaderas.
El caso \(a=d\) es simétrico.
La recíproca se obtiene por sustitución y extensionalidad. ∎
Teorema 0.3.4 — Teorema característico del par ordenado
Para cualesquiera conjuntos \(a,b,c,d\),
\[ \langle a,b\rangle=\langle c,d\rangle \quad\Longleftrightarrow\quad (a=c\ \text{y}\ b=d). \]
Demostración.
La implicación de derecha a izquierda es inmediata por sustitución en la Definición 0.3.1.
Para la recíproca, supongamos
\[ \bigl\{\{a\},\{a,b\}\bigr\} = \bigl\{\{c\},\{c,d\}\bigr\}. \]
Por el Lema 0.3.3, ocurre una de dos posibilidades.
Caso 1.
\[ \{a\}=\{c\}, \qquad \{a,b\}=\{c,d\}. \]
Por el Lema 0.3.2, \(a=c\). Sustituyendo en la segunda igualdad, \(\{a,b\}=\{a,d\}\). Si \(b\neq a\), el elemento \(b\) del miembro izquierdo debe ser \(d\), de modo que \(b=d\); si \(b=a\), la igualdad obliga igualmente a \(d=a=b\). Por tanto \(b=d\).
Caso 2.
\[ \{a\}=\{c,d\}, \qquad \{a,b\}=\{c\}. \]
La primera igualdad implica \(c=d=a\), pues \(\{c,d\}\) tiene un único elemento. La segunda implica \(a=b=c\). Luego nuevamente \(a=c\) y \(b=d\).
En ambos casos, \(a=c\) y \(b=d\). ∎
Convención 0.3.5 — Tuplas finitas
Glosario: tupla finita
Las tuplas finitas de longitud mayor que dos se codificarán mediante pares ordenados anidados. Salvo que se indique otra cosa,
\[ \langle a,b,c\rangle := \langle a,\langle b,c\rangle\rangle. \]
Esta codificación es representacional y no se atribuirá contenido matemático a la forma concreta de anidación.
Definición 0.3.6 — Producto cartesiano
Glosario: producto cartesiano
Sean \(A,B\) conjuntos. Definimos
\[ A\times B := \{\langle a,b\rangle:a\in A,\ b\in B\}. \]
La expresión anterior es todavía una descripción. La existencia conjuntista del objeto se establece en la proposición siguiente.
Proposición 0.3.7 — Existencia del producto cartesiano
Para cualesquiera conjuntos \(A\) y \(B\), \(A\times B\) existe como conjunto.
Demostración.
Sea
\[ U:=A\cup B. \]
Si \(a\in A\) y \(b\in B\), entonces \(a,b\in U\). Por tanto,
\[ \{a\}\subseteq U, \qquad \{a,b\}\subseteq U, \]
de modo que
\[ \{a\},\{a,b\}\in\mathcal P(U). \]
Así,
\[ \langle a,b\rangle = \bigl\{\{a\},\{a,b\}\bigr\} \subseteq \mathcal P(U), \]
y por consiguiente
\[ \langle a,b\rangle\in\mathcal P(\mathcal P(U)). \]
Luego
\[ A\times B = \left\{ p\in\mathcal P(\mathcal P(U)): \exists a\in A\,\exists b\in B\, p=\langle a,b\rangle \right\}, \]
que existe por separación. ∎
0.4. Relaciones
El producto cartesiano reúne todos los pares posibles entre dos conjuntos. Una relación selecciona algunos de esos pares. Esta observación convierte una noción aparentemente nueva en una construcción conjuntista ya controlada: relacionar elementos de \(A\) con elementos de \(B\) será simplemente especificar un subconjunto de \(A\times B\).
Esta perspectiva es la que permitirá tratar, con un mismo lenguaje, equivalencias, órdenes y grafos funcionales.
Definición 0.4.1 — Relación binaria
Glosario: relación binaria
Una relación binaria de \(A\) en \(B\) es un conjunto
\[ R\subseteq A\times B. \]
Cuando \(A=B\), diremos simplemente que \(R\) es una relación sobre \(A\).
Escribiremos
\[ aRb \]
como abreviatura de
\[ \langle a,b\rangle\in R. \]
Definición 0.4.2 — Dominio y recorrido de una relación
Glosario: dominio de una relación · recorrido de una relación
Si \(R\subseteq A\times B\), definimos
\[ \operatorname{dom}R := \{a\in A:\exists b\in B\;(aRb)\}, \]
y
\[ \operatorname{ran}R := \{b\in B:\exists a\in A\;(aRb)\}. \]
Usaremos ran para recorrido de una relación y reservaremos im para la imagen de un subconjunto bajo una función.
Definición 0.4.3 — Relación inversa
Glosario: relación inversa
Si \(R\subseteq A\times B\), definimos
\[ R^{-1} := \{\langle b,a\rangle\in B\times A:aRb\}. \]
Definición 0.4.4 — Composición de relaciones
Glosario: composición de relaciones
Sean
\[ R\subseteq A\times B, \qquad S\subseteq B\times C. \]
Definimos la composición \(S\) después de \(R\) por
\[ S\circ R := \{ \langle a,c\rangle\in A\times C: \exists b\in B\;(aRb\land bSc) \}. \]
La dirección de la composición se leerá de derecha a izquierda, igual que para funciones.
Proposición 0.4.5 — Tipo de la inversa y de la composición
Si \(R\subseteq A\times B\) y \(S\subseteq B\times C\), entonces
\[ R^{-1}\subseteq B\times A \]
y
\[ S\circ R\subseteq A\times C. \]
Demostración.
Ambas inclusiones forman parte de las condiciones definitorias de las Definiciones 0.4.3 y 0.4.4: cada construcción se obtiene por separación dentro del producto cartesiano correspondiente. ∎
Definición 0.4.6 — Propiedades de una relación
Glosario: reflexividad · simetría · antisimetría · transitividad · totalidad
Sea \(R\) una relación sobre \(A\).
- \(R\) es reflexiva si \(\forall a\in A,\ aRa\).
- \(R\) es simétrica si \(aRb\Rightarrow bRa\).
- \(R\) es antisimétrica si \((aRb\land bRa)\Rightarrow a=b\).
- \(R\) es transitiva si \((aRb\land bRc)\Rightarrow aRc\).
- \(R\) es total o conexa si para cualesquiera \(a,b\in A\), \(aRb\) o \(bRa\).
Definición 0.4.7 — Relación de equivalencia
Glosario: relación de equivalencia
Una relación \(\sim\) sobre \(A\) es una relación de equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva.
Esta entrega del capítulo comprende ya §§0.0–0.4. La siguiente incorporará 0.5 — Clases de equivalencia, particiones y cocientes y continuará en el orden del manuscrito maestro.
El Glosario matemático del Tratado se actualiza en paralelo: esta incorporación añade relación binaria, dominio, recorrido, relación inversa, composición, reflexividad, simetría, antisimetría, transitividad, totalidad y relación de equivalencia.
0.5. Clases de equivalencia, particiones y cocientes
Una de las ideas constructivas centrales de este tratado aparece aquí por primera vez. Con frecuencia un objeto que deseamos construir admite muchas representaciones. En lugar de escoger arbitrariamente una de ellas, declaramos equivalentes las representaciones que expresan el mismo contenido y hacemos del conjunto de todas ellas un único objeto nuevo.
El esquema es
\[ \text{representaciones} \longrightarrow \text{relación de equivalencia} \longrightarrow \text{clases} \longrightarrow \text{cociente}. \]
No se trata de una preparación ornamental. Los enteros se construirán a partir de pares de naturales, los racionales a partir de pares de enteros y una de nuestras construcciones de los reales a partir de sucesiones de Cauchy. En cada caso, el paso decisivo será exactamente éste: identificar representaciones distintas sin escoger un representante privilegiado.
En toda esta sección, \(\sim\) denota una relación de equivalencia sobre un conjunto \(A\).
Definición 0.5.1 — Clase de equivalencia
Glosario: clase de equivalencia · representante
Para \(a\in A\), definimos la clase de equivalencia de \(a\) por
\[ [a]_{\sim} := \{x\in A:x\sim a\}. \]
Cuando no haya riesgo de ambigüedad, escribiremos simplemente \([a]\).
Proposición 0.5.2 — Existencia y pertenencia del representante
Glosario: representante
Para todo \(a\in A\), la clase \([a]\) es un conjunto, satisface \([a]\subseteq A\) y contiene a \(a\).
Demostración.
La existencia y la inclusión \([a]\subseteq A\) se siguen de la definición por separación. Como \(\sim\) es reflexiva, \(a\sim a\); por Definición 0.5.1, \(a\in[a]\). ∎
Lema 0.5.3 — Igualdad de clases
Glosario: igualdad de clases
Para \(a,b\in A\),
\[ [a]=[b] \quad\Longleftrightarrow\quad a\sim b. \]
Demostración.
Si \([a]=[b]\), entonces \(a\in[a]=[b]\) por Proposición 0.5.2; por la definición de \([b]\), \(a\sim b\).
Recíprocamente, supongamos \(a\sim b\). Sea \(x\in[a]\). Entonces \(x\sim a\). Como \(a\sim b\) y \(\sim\) es transitiva, \(x\sim b\), luego \(x\in[b]\). Por tanto \([a]\subseteq[b]\).
Por simetría, \(b\sim a\), y el mismo argumento da \([b]\subseteq[a]\). Aplicando Teorema 0.2.4, \([a]=[b]\). ∎
Proposición 0.5.4 — Clases iguales o disjuntas
Para \(a,b\in A\), o bien \([a]=[b]\), o bien \([a]\) y \([b]\) son disjuntas.
Demostración.
Supongamos que \([a]\cap[b]\neq\varnothing\). Entonces existe \(x\) con \(x\in[a]\) y \(x\in[b]\). Por definición,
\[ x\sim a, \qquad x\sim b. \]
Por simetría, \(a\sim x\); por transitividad con \(x\sim b\), \(a\sim b\). Por Lema 0.5.3, \([a]=[b]\).
La contrapositiva afirma que, si \([a]\neq[b]\), entonces \([a]\cap[b]=\varnothing\). ∎
Definición 0.5.5 — Partición
Glosario: partición
Una partición de un conjunto \(A\) es un conjunto \(\mathscr P\) de subconjuntos de \(A\) tal que:
- \(\varnothing\notin\mathscr P\);
- si \(C,D\in\mathscr P\) y \(C\neq D\), entonces \(C\cap D=\varnothing\);
- todo \(a\in A\) pertenece a algún \(C\in\mathscr P\).
Teorema 0.5.6 — Las clases de equivalencia forman una partición
El conjunto de todas las clases de equivalencia de \(\sim\) forma una partición de \(A\).
Demostración.
Consideremos
\[ \mathscr P_{\sim} := \{C\in\mathcal P(A):\exists a\in A\;(C=[a])\}. \]
Existe por conjunto potencia y separación.
Por Proposición 0.5.2, cada \([a]\) contiene a \(a\), luego ninguna clase es vacía.
Por Proposición 0.5.4, dos clases distintas son disjuntas.
Finalmente, para cada \(a\in A\), el propio \(a\) pertenece a \([a]\), y \([a]\in\mathscr P_{\sim}\).
Por Definición 0.5.5, \(\mathscr P_{\sim}\) es una partición de \(A\). ∎
Las proposiciones anteriores muestran que las clases no se solapan parcialmente: dos de ellas son iguales o disjuntas, y juntas recubren \(A\). Estamos, por tanto, en condiciones de dejar de mirar las representaciones individuales y considerar el conjunto de las clases mismas. Ese nuevo conjunto es el cociente.
Definición 0.5.7 — Conjunto cociente
Glosario: conjunto cociente
Definimos el conjunto cociente de \(A\) por \(\sim\) mediante
\[ A/{\sim} := \{C\in\mathcal P(A):\exists a\in A\;(C=[a])\}. \]
Equivalentemente,
\[ A/{\sim}=\{[a]:a\in A\}. \]
La primera forma será considerada la definición conjuntista canónica; la segunda es notación descriptiva.
Proposición 0.5.8 — Existencia del cociente
\(A/{\sim}\) existe como conjunto y satisface
\[ A/{\sim}\subseteq\mathcal P(A). \]
Demostración.
Por Definición 0.5.7, \(A/{\sim}\) se obtiene por separación dentro de \(\mathcal P(A)\). ∎
Esta entrega del capítulo comprende ya §§0.0–0.5. La siguiente incorporará 0.6 — Funciones y continuará en el orden del manuscrito maestro.
El Glosario matemático del Tratado se actualiza en paralelo: esta incorporación añade clase de equivalencia, representante, igualdad de clases, partición y conjunto cociente.