Tratado de análisis — Capítulo 0: Fundamento lógico y conjuntista
Capítulo 0 — Fundamento lógico y conjuntista
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Parte I — Fundamentos y construcción de los reales
0.0. Propósito y posición deductiva
Este capítulo fija el lenguaje conjuntista que se utilizará en todo el tratado. No pretende desarrollar metamatemática ni teoría axiomática de conjuntos por sí mismas; su función es construir, a partir del contrato fundacional de la obra, el aparato mínimo con el cual podrá comenzar en el capítulo siguiente la construcción de los números naturales.
La regla de lectura será estricta:
Todo símbolo matemático interno del tratado aparece por primera vez en una definición, convención o notación identificable; toda afirmación matemática que no pertenezca al fundamento lógico-conjuntista admitido se demuestra antes de utilizarse.
La cadena principal de este capítulo es:
\[ \text{conjuntos} \longrightarrow \text{inclusión y operaciones} \longrightarrow \text{pares ordenados} \longrightarrow \text{productos cartesianos} \longrightarrow \text{relaciones} \longrightarrow \text{equivalencias y cocientes} \longrightarrow \text{funciones} \longrightarrow \text{órdenes}. \]
Ningún resultado de análisis es utilizado en este capítulo.
0.1. Lenguaje lógico y axiomas conjuntistas disponibles
Antes de construir objetos matemáticos conviene precisar qué parte de la maquinaria se admite y qué parte deberá demostrarse. La distinción es esencial en un tratado que pretende construir los sistemas numéricos desde fundamentos explícitos: si una propiedad se apoya en un axioma de ZF, queremos poder decir cuál; si se obtiene de definiciones anteriores, queremos verla aparecer como resultado interno.
Esta sección no pretende convertir el tratado en un curso de lógica o teoría de conjuntos. Su función es más austera: fijar el suelo sobre el que caminaremos. A partir de ese suelo, las construcciones posteriores deberán justificarse dentro del propio desarrollo.
Convención 0.1.1 — Metanivel y nivel objeto
Glosario: metanivel · nivel objeto
Distinguiremos permanentemente:
- el metanivel, en el que hablamos de fórmulas, demostraciones, variables, definiciones y dependencias;
- el nivel objeto, en el que las variables recorren conjuntos.
Los numerales usados para numerar capítulos, secciones o resultados pertenecen al metanivel editorial hasta que los números naturales hayan sido construidos.
Convención 0.1.2 — Lógica ambiente
Glosario: lógica clásica
Se trabaja en lógica clásica de primer orden con igualdad. Se permiten, entre otros, modus ponens, introducción y eliminación usual de cuantificadores, sustitución de iguales, contrapositiva, reducción al absurdo y tercero excluido.
La igualdad = es lógica y primitiva. La pertenencia \(\in\) es el único símbolo no lógico primitivo del lenguaje conjuntista.
No registraremos como resultados del tratado las tautologías puramente lógicas.
0.1.1. Inventario axiomático
Glosario: ZF
Los axiomas siguientes son fundamento admitido, no teoremas del tratado. Se los reproduce aquí para que las dependencias de las construcciones posteriores sean visibles.
Extensionalidad
Glosario: extensionalidad
\[ \forall A\,\forall B\, \Bigl[ \forall x\,(x\in A\leftrightarrow x\in B) \;\Longrightarrow\; A=B \Bigr]. \]
Par
Para cualesquiera conjuntos \(a,b\) existe un conjunto \(P\) cuyos elementos son exactamente \(a\) y \(b\):
\[ \forall a\,\forall b\,\exists P\,\forall x \bigl(x\in P\leftrightarrow(x=a\lor x=b)\bigr). \]
Unión
Para todo conjunto \(A\) existe un conjunto \(U\) tal que
\[ x\in U \iff \exists B\,(B\in A\land x\in B). \]
Conjunto potencia
Para todo conjunto \(A\) existe un conjunto \(P\) tal que
\[ X\in P \iff \forall x\,(x\in X\rightarrow x\in A). \]
Esquema de separación
Dado un conjunto \(A\) y una fórmula \(\varphi(x)\), existe un conjunto \(B\) tal que
\[ x\in B \iff (x\in A\land\varphi(x)). \]
Esquema de reemplazo
Si una fórmula \(\varphi(x,y)\) determina para cada \(x\in A\) un único \(y\), entonces la colección de esos valores \(y\) es un conjunto.
Infinito
Usaremos en el capítulo 1 el axioma de infinito. Para evitar utilizar anticipadamente el símbolo \(\varnothing\), puede expresarse en una forma equivalente adecuada a este tratado:
\[ \exists I\Bigl[ \exists e\bigl(e\in I\land\forall z\,(z\notin e)\bigr) \land \forall x\Bigl( x\in I\rightarrow \exists y\bigl( y\in I\land \forall z\,(z\in y\leftrightarrow(z\in x\lor z=x)) \bigr) \Bigr) \Bigr]. \]
En este capítulo utilizaremos de este axioma únicamente su consecuencia inmediata de que existe al menos un conjunto.
Fundación
El axioma de fundación está disponible por pertenecer a ZF, pero ningún resultado de este capítulo dependerá de él.
Notación 0.1.3 — Separación restringida
Glosario: separación restringida
Cuando \(A\) es un conjunto y \(P(x)\) una propiedad, escribiremos
\[ \{x\in A:P(x)\} \]
para el subconjunto de \(A\) cuya existencia garantiza separación.
Esta notación no autoriza expresiones irrestrictas de la forma \(\{x:P(x)\}\) sin un conjunto ambiente previamente disponible.
0.2. Conjuntos, inclusión y operaciones
El lenguaje primitivo sólo nos da pertenencia e igualdad. Para trabajar matemáticamente necesitamos derivar de él formas estables de comparar y combinar conjuntos. La primera es la inclusión: en vez de preguntar por un elemento aislado, preguntamos si todo elemento de un conjunto pertenece a otro. De esa relación surgirán luego las operaciones usuales —unión, intersección, diferencia y conjunto potencia— y, con ellas, los conjuntos ambientes en los que podremos construir productos, relaciones y funciones.
Definición 0.2.1 — Subconjunto
Glosario: subconjunto
Sean \(A\) y \(B\) conjuntos. Definimos
\[ A\subseteq B \quad\Longleftrightarrow\quad \forall x\,(x\in A\rightarrow x\in B). \]
Si \(A\subseteq B\) y \(A\neq B\), escribiremos \(A\subsetneq B\).
Proposición 0.2.2 — Reflexividad de la inclusión
Para todo conjunto \(A\),
\[ A\subseteq A. \]
Demostración.
Sea \(x\in A\). Entonces \(x\in A\). Por la Definición 0.2.1, \(A\subseteq A\). ∎
Proposición 0.2.3 — Transitividad de la inclusión
Si \(A\subseteq B\) y \(B\subseteq C\), entonces \(A\subseteq C\).
Demostración.
Sea \(x\in A\). Como \(A\subseteq B\), tenemos \(x\in B\); como \(B\subseteq C\), tenemos \(x\in C\). Por la Definición 0.2.1, \(A\subseteq C\). ∎
Teorema 0.2.4 — Criterio extensional por doble inclusión
Para cualesquiera conjuntos \(A\) y \(B\),
\[ A=B \quad\Longleftrightarrow\quad (A\subseteq B\ \text{y}\ B\subseteq A). \]
Demostración.
Si \(A=B\), la reflexividad de la inclusión (Proposición 0.2.2) da \(A\subseteq B\) y \(B\subseteq A\).
Recíprocamente, supongamos \(A\subseteq B\) y \(B\subseteq A\). Entonces, para todo \(x\),
\[ x\in A\iff x\in B. \]
Por extensionalidad, \(A=B\). ∎
Proposición 0.2.5 — Existencia y unicidad del conjunto vacío
Existe un único conjunto que no tiene elementos.
Demostración.
Existencia. Del axioma de infinito se sigue que existe al menos un conjunto \(A\). Por separación existe
\[ E:=\{x\in A:x\neq x\}. \]
No existe \(x\in E\), pues \(x\neq x\) es falso por reflexividad de la igualdad.
Unicidad. Sean \(E\) y \(F\) conjuntos sin elementos. Para todo \(x\),
\[ x\in E\iff x\in F, \]
pues ambas proposiciones son falsas. Por extensionalidad, \(E=F\). ∎
Notación 0.2.6 — Conjunto vacío
Glosario: conjunto vacío
Denotaremos por
\[ \varnothing \]
el único conjunto sin elementos cuya existencia y unicidad fueron demostradas en la Proposición 0.2.5.
Proposición 0.2.7 — El vacío está contenido en todo conjunto
Para todo conjunto \(A\),
\[ \varnothing\subseteq A. \]
Demostración.
No existe \(x\in\varnothing\). Por tanto, la implicación \(x\in\varnothing\Rightarrow x\in A\) es verdadera para todo \(x\). Aplicando la Definición 0.2.1, \(\varnothing\subseteq A\). ∎
Notación 0.2.8 — Pares no ordenados y singletons
Glosario: par no ordenado · singleton
Por el axioma del par, para conjuntos \(a,b\) existe un único conjunto cuyos elementos son exactamente \(a\) y \(b\). Lo denotaremos
\[ \{a,b\}. \]
Definimos el singleton de \(a\) por
\[ \{a\}:=\{a,a\}. \]
La unicidad en ambos casos se sigue de extensionalidad.
Definición 0.2.9 — Unión binaria
Glosario: unión
Sean \(A,B\) conjuntos. Definimos
\[ A\cup B:=\bigcup\{A,B\}. \]
Por los axiomas del par y de unión, \(A\cup B\) existe como conjunto.
Definición 0.2.10 — Intersección binaria
Glosario: intersección
Sean \(A,B\) conjuntos. Definimos
\[ A\cap B:=\{x\in A:x\in B\}. \]
Definición 0.2.11 — Diferencia conjuntista
Glosario: diferencia conjuntista
Sean \(A,B\) conjuntos. Definimos
\[ A\setminus B:=\{x\in A:x\notin B\}. \]
La notación A-B queda reservada para contextos algebraicos y no se utilizará para diferencia de conjuntos.
Definición 0.2.12 — Conjunto potencia
Glosario: conjunto potencia
Para cada conjunto \(A\), el axioma del conjunto potencia garantiza un conjunto, que denotaremos
\[ \mathcal P(A), \]
caracterizado por
\[ X\in\mathcal P(A) \quad\Longleftrightarrow\quad X\subseteq A. \]
Proposición 0.2.13 — Leyes de pertenencia de las operaciones binarias
Para cualesquiera conjuntos \(A,B\) y cualquier \(x\),
\[ x\in A\cup B \iff (x\in A\lor x\in B), \]
\[ x\in A\cap B \iff (x\in A\land x\in B), \]
y
\[ x\in A\setminus B \iff (x\in A\land x\notin B). \]
Demostración.
La segunda y la tercera equivalencia son exactamente las condiciones definitorias de las Definiciones 0.2.10 y 0.2.11.
Para la primera,
\[ x\in\bigcup\{A,B\} \]
si y sólo si existe \(C\in\{A,B\}\) tal que \(x\in C\). Por la definición del par no ordenado, esto equivale a \(x\in A\) o \(x\in B\). ∎
Definición 0.2.14 — Conjuntos disjuntos
Glosario: conjuntos disjuntos
Dos conjuntos \(A\) y \(B\) son disjuntos si
\[ A\cap B=\varnothing. \]
0.3. Pares ordenados y productos cartesianos
Los conjuntos ordinarios no recuerdan posiciones: \(\{a,b\}=\{b,a\}\). Esa simetría es adecuada cuando sólo importa qué elementos están presentes, pero resulta insuficiente en cuanto queremos distinguir una primera y una segunda coordenada. Una relación entre \(a\) y \(b\), el valor de una función en un argumento o un punto de un producto cartesiano requieren precisamente esa distinción.
Por ello construiremos ahora, usando únicamente conjuntos ya disponibles, un objeto que codifique el orden de dos componentes. La prueba decisiva no será la definición misma, sino demostrar que dos pares ordenados son iguales exactamente cuando coinciden sus primeras componentes y coinciden sus segundas componentes.
Una vez obtenido ese criterio, podremos utilizar pares ordenados sin volver continuamente a su implementación conjuntista.
Definición 0.3.1 — Par ordenado de Kuratowski
Glosario: par ordenado · par de Kuratowski
Para conjuntos \(a,b\), definimos
\[ \boxed{ \langle a,b\rangle := \bigl\{\{a\},\{a,b\}\bigr\}. } \]
Lema 0.3.2 — Igualdad de singletons
Para cualesquiera conjuntos \(a,c\),
\[ \{a\}=\{c\} \quad\Longleftrightarrow\quad a=c. \]
Demostración.
Si \(a=c\), los singletons son iguales por sustitución.
Recíprocamente, si \(\{a\}=\{c\}\), entonces \(a\in\{a\}=\{c\}\), de modo que \(a=c\). ∎
Lema 0.3.3 — Igualdad de pares no ordenados
Para cualesquiera conjuntos \(a,b,c,d\),
\[ \{a,b\}=\{c,d\} \]
si y sólo si
\[ (a=c\land b=d) \quad\text{o}\quad (a=d\land b=c). \]
Demostración.
Supongamos \(\{a,b\}=\{c,d\}\). Como \(a\) pertenece al miembro izquierdo, \(a=c\) o \(a=d\).
Si \(a=c\), entonces \(b\in\{c,d\}\), así que \(b=c\) o \(b=d\). Si \(b=d\), obtenemos la primera alternativa. Si \(b=c=a\), la igualdad \(\{a,b\}=\{a\}=\{c,d\}\) fuerza \(d=a=b\), y ambas alternativas son entonces verdaderas.
El caso \(a=d\) es simétrico.
La recíproca se obtiene por sustitución y extensionalidad. ∎
Teorema 0.3.4 — Teorema característico del par ordenado
Para cualesquiera conjuntos \(a,b,c,d\),
\[ \langle a,b\rangle=\langle c,d\rangle \quad\Longleftrightarrow\quad (a=c\ \text{y}\ b=d). \]
Demostración.
La implicación de derecha a izquierda es inmediata por sustitución en la Definición 0.3.1.
Para la recíproca, supongamos
\[ \bigl\{\{a\},\{a,b\}\bigr\} = \bigl\{\{c\},\{c,d\}\bigr\}. \]
Por el Lema 0.3.3, ocurre una de dos posibilidades.
Caso 1.
\[ \{a\}=\{c\}, \qquad \{a,b\}=\{c,d\}. \]
Por el Lema 0.3.2, \(a=c\). Sustituyendo en la segunda igualdad, \(\{a,b\}=\{a,d\}\). Si \(b\neq a\), el elemento \(b\) del miembro izquierdo debe ser \(d\), de modo que \(b=d\); si \(b=a\), la igualdad obliga igualmente a \(d=a=b\). Por tanto \(b=d\).
Caso 2.
\[ \{a\}=\{c,d\}, \qquad \{a,b\}=\{c\}. \]
La primera igualdad implica \(c=d=a\), pues \(\{c,d\}\) tiene un único elemento. La segunda implica \(a=b=c\). Luego nuevamente \(a=c\) y \(b=d\).
En ambos casos, \(a=c\) y \(b=d\). ∎
Convención 0.3.5 — Tuplas finitas
Glosario: tupla finita
Las tuplas finitas de longitud mayor que dos se codificarán mediante pares ordenados anidados. Salvo que se indique otra cosa,
\[ \langle a,b,c\rangle := \langle a,\langle b,c\rangle\rangle. \]
Esta codificación es representacional y no se atribuirá contenido matemático a la forma concreta de anidación.
Definición 0.3.6 — Producto cartesiano
Glosario: producto cartesiano
Sean \(A,B\) conjuntos. Definimos
\[ A\times B := \{\langle a,b\rangle:a\in A,\ b\in B\}. \]
La expresión anterior es todavía una descripción. La existencia conjuntista del objeto se establece en la proposición siguiente.
Proposición 0.3.7 — Existencia del producto cartesiano
Para cualesquiera conjuntos \(A\) y \(B\), \(A\times B\) existe como conjunto.
Demostración.
Sea
\[ U:=A\cup B. \]
Si \(a\in A\) y \(b\in B\), entonces \(a,b\in U\). Por tanto,
\[ \{a\}\subseteq U, \qquad \{a,b\}\subseteq U, \]
de modo que
\[ \{a\},\{a,b\}\in\mathcal P(U). \]
Así,
\[ \langle a,b\rangle = \bigl\{\{a\},\{a,b\}\bigr\} \subseteq \mathcal P(U), \]
y por consiguiente
\[ \langle a,b\rangle\in\mathcal P(\mathcal P(U)). \]
Luego
\[ A\times B = \left\{ p\in\mathcal P(\mathcal P(U)): \exists a\in A\,\exists b\in B\, p=\langle a,b\rangle \right\}, \]
que existe por separación. ∎
0.4. Relaciones
El producto cartesiano reúne todos los pares posibles entre dos conjuntos. Una relación selecciona algunos de esos pares. Esta observación convierte una noción aparentemente nueva en una construcción conjuntista ya controlada: relacionar elementos de \(A\) con elementos de \(B\) será simplemente especificar un subconjunto de \(A\times B\).
Esta perspectiva es la que permitirá tratar, con un mismo lenguaje, equivalencias, órdenes y grafos funcionales.
Definición 0.4.1 — Relación binaria
Glosario: relación binaria
Una relación binaria de \(A\) en \(B\) es un conjunto
\[ R\subseteq A\times B. \]
Cuando \(A=B\), diremos simplemente que \(R\) es una relación sobre \(A\).
Escribiremos
\[ aRb \]
como abreviatura de
\[ \langle a,b\rangle\in R. \]
Definición 0.4.2 — Dominio y recorrido de una relación
Glosario: dominio de una relación · recorrido de una relación
Si \(R\subseteq A\times B\), definimos
\[ \operatorname{dom}R := \{a\in A:\exists b\in B\;(aRb)\}, \]
y
\[ \operatorname{ran}R := \{b\in B:\exists a\in A\;(aRb)\}. \]
Usaremos ran para recorrido de una relación y reservaremos im para la imagen de un subconjunto bajo una función.
Definición 0.4.3 — Relación inversa
Glosario: relación inversa
Si \(R\subseteq A\times B\), definimos
\[ R^{-1} := \{\langle b,a\rangle\in B\times A:aRb\}. \]
Definición 0.4.4 — Composición de relaciones
Glosario: composición de relaciones
Sean
\[ R\subseteq A\times B, \qquad S\subseteq B\times C. \]
Definimos la composición \(S\) después de \(R\) por
\[ S\circ R := \{ \langle a,c\rangle\in A\times C: \exists b\in B\;(aRb\land bSc) \}. \]
La dirección de la composición se leerá de derecha a izquierda, igual que para funciones.
Proposición 0.4.5 — Tipo de la inversa y de la composición
Si \(R\subseteq A\times B\) y \(S\subseteq B\times C\), entonces
\[ R^{-1}\subseteq B\times A \]
y
\[ S\circ R\subseteq A\times C. \]
Demostración.
Ambas inclusiones forman parte de las condiciones definitorias de las Definiciones 0.4.3 y 0.4.4: cada construcción se obtiene por separación dentro del producto cartesiano correspondiente. ∎
Definición 0.4.6 — Propiedades de una relación
Glosario: reflexividad · simetría · antisimetría · transitividad · totalidad
Sea \(R\) una relación sobre \(A\).
- \(R\) es reflexiva si \(\forall a\in A,\ aRa\).
- \(R\) es simétrica si \(aRb\Rightarrow bRa\).
- \(R\) es antisimétrica si \((aRb\land bRa)\Rightarrow a=b\).
- \(R\) es transitiva si \((aRb\land bRc)\Rightarrow aRc\).
- \(R\) es total o conexa si para cualesquiera \(a,b\in A\), \(aRb\) o \(bRa\).
Definición 0.4.7 — Relación de equivalencia
Glosario: relación de equivalencia
Una relación \(\sim\) sobre \(A\) es una relación de equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva.
0.5. Clases de equivalencia, particiones y cocientes
Una de las ideas constructivas centrales de este tratado aparece aquí por primera vez. Con frecuencia un objeto que deseamos construir admite muchas representaciones. En lugar de escoger arbitrariamente una de ellas, declaramos equivalentes las representaciones que expresan el mismo contenido y hacemos del conjunto de todas ellas un único objeto nuevo.
El esquema es
\[ \text{representaciones} \longrightarrow \text{relación de equivalencia} \longrightarrow \text{clases} \longrightarrow \text{cociente}. \]
No se trata de una preparación ornamental. Los enteros se construirán a partir de pares de naturales, los racionales a partir de pares de enteros y una de nuestras construcciones de los reales a partir de sucesiones de Cauchy. En cada caso, el paso decisivo será exactamente éste: identificar representaciones distintas sin escoger un representante privilegiado.
En toda esta sección, \(\sim\) denota una relación de equivalencia sobre un conjunto \(A\).
Definición 0.5.1 — Clase de equivalencia
Glosario: clase de equivalencia · representante
Para \(a\in A\), definimos la clase de equivalencia de \(a\) por
\[ [a]_{\sim} := \{x\in A:x\sim a\}. \]
Cuando no haya riesgo de ambigüedad, escribiremos simplemente \([a]\).
Proposición 0.5.2 — Existencia y pertenencia del representante
Glosario: representante
Para todo \(a\in A\), la clase \([a]\) es un conjunto, satisface \([a]\subseteq A\) y contiene a \(a\).
Demostración.
La existencia y la inclusión \([a]\subseteq A\) se siguen de la definición por separación. Como \(\sim\) es reflexiva, \(a\sim a\); por Definición 0.5.1, \(a\in[a]\). ∎
Lema 0.5.3 — Igualdad de clases
Glosario: igualdad de clases
Para \(a,b\in A\),
\[ [a]=[b] \quad\Longleftrightarrow\quad a\sim b. \]
Demostración.
Si \([a]=[b]\), entonces \(a\in[a]=[b]\) por Proposición 0.5.2; por la definición de \([b]\), \(a\sim b\).
Recíprocamente, supongamos \(a\sim b\). Sea \(x\in[a]\). Entonces \(x\sim a\). Como \(a\sim b\) y \(\sim\) es transitiva, \(x\sim b\), luego \(x\in[b]\). Por tanto \([a]\subseteq[b]\).
Por simetría, \(b\sim a\), y el mismo argumento da \([b]\subseteq[a]\). Aplicando Teorema 0.2.4, \([a]=[b]\). ∎
Proposición 0.5.4 — Clases iguales o disjuntas
Para \(a,b\in A\), o bien \([a]=[b]\), o bien \([a]\) y \([b]\) son disjuntas.
Demostración.
Supongamos que \([a]\cap[b]\neq\varnothing\). Entonces existe \(x\) con \(x\in[a]\) y \(x\in[b]\). Por definición,
\[ x\sim a, \qquad x\sim b. \]
Por simetría, \(a\sim x\); por transitividad con \(x\sim b\), \(a\sim b\). Por Lema 0.5.3, \([a]=[b]\).
La contrapositiva afirma que, si \([a]\neq[b]\), entonces \([a]\cap[b]=\varnothing\). ∎
Definición 0.5.5 — Partición
Glosario: partición
Una partición de un conjunto \(A\) es un conjunto \(\mathscr P\) de subconjuntos de \(A\) tal que:
- \(\varnothing\notin\mathscr P\);
- si \(C,D\in\mathscr P\) y \(C\neq D\), entonces \(C\cap D=\varnothing\);
- todo \(a\in A\) pertenece a algún \(C\in\mathscr P\).
Teorema 0.5.6 — Las clases de equivalencia forman una partición
El conjunto de todas las clases de equivalencia de \(\sim\) forma una partición de \(A\).
Demostración.
Consideremos
\[ \mathscr P_{\sim} := \{C\in\mathcal P(A):\exists a\in A\;(C=[a])\}. \]
Existe por conjunto potencia y separación.
Por Proposición 0.5.2, cada \([a]\) contiene a \(a\), luego ninguna clase es vacía.
Por Proposición 0.5.4, dos clases distintas son disjuntas.
Finalmente, para cada \(a\in A\), el propio \(a\) pertenece a \([a]\), y \([a]\in\mathscr P_{\sim}\).
Por Definición 0.5.5, \(\mathscr P_{\sim}\) es una partición de \(A\). ∎
Las proposiciones anteriores muestran que las clases no se solapan parcialmente: dos de ellas son iguales o disjuntas, y juntas recubren \(A\). Estamos, por tanto, en condiciones de dejar de mirar las representaciones individuales y considerar el conjunto de las clases mismas. Ese nuevo conjunto es el cociente.
Definición 0.5.7 — Conjunto cociente
Glosario: conjunto cociente
Definimos el conjunto cociente de \(A\) por \(\sim\) mediante
\[ A/{\sim} := \{C\in\mathcal P(A):\exists a\in A\;(C=[a])\}. \]
Equivalentemente,
\[ A/{\sim}=\{[a]:a\in A\}. \]
La primera forma será considerada la definición conjuntista canónica; la segunda es notación descriptiva.
Proposición 0.5.8 — Existencia del cociente
\(A/{\sim}\) existe como conjunto y satisface
\[ A/{\sim}\subseteq\mathcal P(A). \]
Demostración.
Por Definición 0.5.7, \(A/{\sim}\) se obtiene por separación dentro de \(\mathcal P(A)\). ∎
0.6. Funciones
Una función puede describirse informalmente como una regla que asigna a cada entrada una única salida. Para el desarrollo posterior necesitamos una versión más precisa: una función debe ser un objeto matemático identificable, con dominio y codominio determinados y con un grafo que registre todas sus asignaciones.
Esta decisión tendrá consecuencias reales. Dos funciones con los mismos pares entrada–salida pero codominios distintos no serán idénticas en nuestro formalismo. A cambio obtenemos una noción de función cuyo tipo está siempre explícito y que puede manipularse enteramente dentro de ZF.
Definición 0.6.1 — Función como dominio, codominio y grafo
Glosario: función · dominio de una función · codominio · grafo de una función
Una función \(f\) de \(A\) en \(B\) es el dato
\[ f=\langle A,B,G_f\rangle, \]
donde
\[ G_f\subseteq A\times B \]
y
\[ \forall a\in A\;\exists!b\in B \quad \langle a,b\rangle\in G_f. \]
El conjunto \(A\) es el dominio, \(B\) el codominio y \(G_f\) el grafo.
Notación 0.6.2 — Flecha y evaluación
Para una función con dominio \(A\) y codominio \(B\), escribiremos
\[ f:A\to B. \]
Si \(a\in A\), el único \(b\in B\) tal que \(\langle a,b\rangle\in G_f\) se denotará
\[ f(a). \]
La expresión \(f(a)\) es abreviatura de una relación de pertenencia al grafo; no es una operación primitiva.
Nota fundacional. La definición anterior fija una función como objeto extensional: dominio, codominio y grafo determinan completamente la aplicación. Esto no proporciona, por sí solo, un procedimiento efectivo para obtener \(f(a)\) a partir de una codificación de \(a\). Mantendremos explícita la distinción
\[ \boxed{\text{función conjuntista}\neq\text{algoritmo de evaluación}.} \]
Proposición 0.6.3 — Criterio de igualdad de funciones
Sean
\[ f=\langle A,B,G_f\rangle, \qquad g=\langle C,D,G_g\rangle \]
funciones. Entonces
\[ f=g \]
si y sólo si
\[ A=C,\qquad B=D,\qquad G_f=G_g. \]
Demostración.
La afirmación se sigue del criterio característico del par ordenado aplicado recursivamente a la codificación de triples fijada en el Capítulo 0. ∎
Escolio. El codominio forma parte de la identidad de una función. Dos aplicaciones con el mismo grafo y dominios iguales, pero codominios distintos, son formalmente funciones distintas.
Definición 0.6.4 — Identidad y composición de funciones
Glosario: función identidad · composición de funciones
Para un conjunto \(A\), definimos la función identidad
\[ \operatorname{id}_A:A\to A, \qquad \operatorname{id}_A(a)=a. \]
Si
\[ f:A\to B, \qquad g:B\to C, \]
definimos
\[ g\circ f:A\to C \]
por
\[ (g\circ f)(a):=g(f(a)). \]
Su grafo coincide con la composición relacional de los grafos correspondientes.
Proposición 0.6.5 — Asociatividad y leyes de identidad
Si
\[ f:A\to B,\qquad g:B\to C,\qquad h:C\to D, \]
entonces
\[ h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f, \]
y
\[ \operatorname{id}_B\circ f=f, \qquad f\circ\operatorname{id}_A=f. \]
Demostración.
Las funciones comparadas tienen, en cada igualdad, el mismo dominio y codominio. Para cada \(a\in A\),
\[ [h\circ(g\circ f)](a) = h(g(f(a))) = [(h\circ g)\circ f](a). \]
Por unicidad de los valores, sus grafos coinciden; por la Proposición 0.6.3, las funciones son iguales. Las leyes de identidad se prueban del mismo modo. ∎
Definición 0.6.6 — Inyectividad, sobreyectividad y biyectividad
Glosario: inyectividad · sobreyectividad · biyectividad
Sea \(f:A\to B\).
- \(f\) es inyectiva si \(f(a)=f(a')\Rightarrow a=a'\).
- \(f\) es sobreyectiva si para todo \(b\in B\) existe \(a\in A\) tal que \(f(a)=b\).
- \(f\) es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.
Teorema 0.6.7 — Caracterización de las funciones invertibles
Una función \(f:A\to B\) es biyectiva si y sólo si existe una función \(g:B\to A\) tal que
\[ g\circ f=\operatorname{id}_A \qquad\text{y}\qquad f\circ g=\operatorname{id}_B. \]
En tal caso, \(g\) es única.
Demostración.
Supongamos primero que \(f\) es biyectiva. Para cada \(b\in B\), por sobreyectividad existe \(a\in A\) con \(f(a)=b\); por inyectividad, tal \(a\) es único. Definimos
\[ G_g := \{\langle b,a\rangle\in B\times A:f(a)=b\}. \]
Este conjunto existe por separación y determina una función \(g:B\to A\). Por construcción,
\[ g(f(a))=a \]
para todo \(a\in A\), y
\[ f(g(b))=b \]
para todo \(b\in B\). Luego las dos composiciones son las identidades correspondientes.
Recíprocamente, supongamos que existe \(g\) con ambas identidades. Si \(f(a)=f(a')\), aplicando \(g\) obtenemos
\[ a=g(f(a))=g(f(a'))=a', \]
por lo que \(f\) es inyectiva. Para cada \(b\in B\), tomando \(a=g(b)\) obtenemos
\[ f(a)=f(g(b))=b, \]
de modo que \(f\) es sobreyectiva.
Finalmente, si \(g\) y \(g'\) satisfacen las dos identidades, entonces
\[ g = g\circ\operatorname{id}_B = g\circ(f\circ g') = (g\circ f)\circ g' = \operatorname{id}_A\circ g' = g', \]
usando la Proposición 0.6.5. ∎
Notación 0.6.8 — Función inversa
Glosario: función inversa
Si \(f:A\to B\) es biyectiva, denotaremos por
\[ f^{-1}:B\to A \]
la única función cuya existencia garantiza el Teorema 0.6.7.
El símbolo \(f^{-1}\) no se utilizará para una función antes de demostrar que \(f\) es biyectiva. Para relaciones, \(R^{-1}\) conserva el significado fijado en la sección de relaciones binarias.
Definición 0.6.9 — Imagen y preimagen
Glosario: imagen directa · preimagen
Sea \(f:A\to B\).
Para \(X\subseteq A\), definimos la imagen directa
\[ f[X] := \{b\in B:\exists x\in X\;(f(x)=b)\}. \]
Para \(Y\subseteq B\), definimos la preimagen
\[ f^{-1}[Y] := \{a\in A:f(a)\in Y\}. \]
Los corchetes distinguen estas operaciones sobre subconjuntos de la evaluación \(f(a)\) y, en el caso biyectivo, de la función inversa \(f^{-1}\).
Proposición 0.6.10 — Leyes elementales de preimagen
Si \(f:A\to B\) y \(Y,Z\subseteq B\), entonces
\[ f^{-1}[Y\cup Z] = f^{-1}[Y]\cup f^{-1}[Z], \]
\[ f^{-1}[Y\cap Z] = f^{-1}[Y]\cap f^{-1}[Z], \]
y
\[ f^{-1}[B\setminus Y] = A\setminus f^{-1}[Y]. \]
Demostración.
Para la primera igualdad, sea \(a\in A\). Entonces
\[ \begin{aligned} a\in f^{-1}[Y\cup Z] &\iff f(a)\in Y\cup Z\\ &\iff (f(a)\in Y\lor f(a)\in Z)\\ &\iff (a\in f^{-1}[Y]\lor a\in f^{-1}[Z])\\ &\iff a\in f^{-1}[Y]\cup f^{-1}[Z]. \end{aligned} \]
Por extensionalidad, los conjuntos son iguales. Las otras dos identidades se prueban mediante la misma cadena de equivalencias. ∎
Definición 0.6.11 — Conjunto de funciones
Glosario: conjunto de funciones
Para conjuntos \(A,B\), denotaremos por
\[ B^A \]
el conjunto de todas las funciones \(f:A\to B\).
La notación recuerda la convención habitual de que el dominio aparece en el exponente.
Proposición 0.6.12 — Existencia de \(B^A\)
Para cualesquiera conjuntos \(A,B\), \(B^A\) existe como conjunto.
Demostración.
Por la existencia del producto cartesiano, \(A\times B\) es un conjunto y, por conjunto potencia,
\[ \mathcal P(A\times B) \]
es un conjunto. Formemos
\[ U:=\{A,B\}\cup\mathcal P(A\times B) \]
y después
\[ V:=U\cup\mathcal P(\mathcal P(U)). \]
Ambos existen usando únicamente par, unión y conjunto potencia.
Sea ahora \(G\in\mathcal P(A\times B)\). Entonces \(A,B,G\in U\). Por la codificación de pares de Kuratowski, \(\langle B,G\rangle\in\mathcal P(\mathcal P(U))\), y por tanto \(A,\langle B,G\rangle\in V\). Aplicando una vez más la misma codificación,
\[ \langle A,B,G\rangle = \langle A,\langle B,G\rangle\rangle \in \mathcal P(\mathcal P(V)). \]
Tenemos así un conjunto ambiente fijo que contiene todos los triples candidatos. Por separación existe
\[ T := \left\{ t\in\mathcal P(\mathcal P(V)): \exists G\in\mathcal P(A\times B) \;t=\langle A,B,G\rangle \right\}. \]
Separamos ahora dentro de \(T\) aquellos triples \(\langle A,B,G\rangle\) cuyo tercer componente satisface
\[ \forall a\in A\;\exists!b\in B\; \langle a,b\rangle\in G. \]
El subconjunto resultante existe por separación y, por la Definición 0.6.1, es exactamente \(B^A\). ∎
Nota fundacional. Esta construcción no necesita Reemplazo: conjunto potencia, par, unión y separación bastan para obtener un conjunto ambiente que contiene todas las funciones \(A\to B\). Tampoco interviene Choice: no seleccionamos una función de una familia de conjuntos; formamos la totalidad extensional de los grafos que satisfacen una propiedad definible.
Definición 0.6.13 — Proyección canónica de un cociente
Glosario: proyección canónica
Sea \(\sim\) una relación de equivalencia sobre \(A\). Definimos
\[ \pi_{\sim}:A\to A/{\sim}, \qquad \pi_{\sim}(a):=[a]. \]
Cuando la relación sea inequívoca, escribiremos simplemente \(\pi\).
Proposición 0.6.14 — Sobreyectividad de la proyección canónica
La proyección canónica
\[ \pi_{\sim}:A\to A/{\sim} \]
es sobreyectiva.
Demostración.
Sea \(C\in A/{\sim}\). Por la definición del cociente existe \(a\in A\) tal que \(C=[a]\). Entonces
\[ \pi_{\sim}(a)=[a]=C. \]
Por la definición de sobreyectividad, \(\pi_{\sim}\) es sobreyectiva. ∎
La proyección es sobreyectiva: toda clase tiene al menos un representante. Esto plantea el problema que aparecerá repetidamente en los próximos capítulos. Supongamos que sabemos calcular una cantidad a partir de un representante \(a\). ¿Cuándo ese cálculo define realmente una función de la clase \([a]\) y no depende de la representación elegida?
La respuesta es: exactamente cuando el cálculo toma el mismo valor sobre representantes equivalentes. El teorema siguiente formaliza esa idea y será nuestra herramienta básica de buena definición sobre cocientes.
Teorema 0.6.15 — Principio de definición sobre clases
Glosario: principio de definición sobre clases
Sea \(\sim\) una relación de equivalencia sobre \(A\), sea \(B\) un conjunto y sea
\[ \varphi:A\to B \]
una función que satisface
\[ a\sim a' \quad\Longrightarrow\quad \varphi(a)=\varphi(a'). \]
Entonces existe una única función
\[ \overline{\varphi}:A/{\sim}\to B \]
tal que
\[ \overline{\varphi}\circ\pi_{\sim}=\varphi. \]
Equivalente y sugestivamente,
\[ \overline{\varphi}([a])=\varphi(a). \]
Demostración.
Existencia. Definamos una relación \(G\) sobre \((A/{\sim})\times B\) por
\[ \langle C,b\rangle\in G \]
si y sólo si existe \(a\in A\) tal que
\[ C=[a] \qquad\text{y}\qquad b=\varphi(a). \]
Debemos demostrar que \(G\) es funcional y total sobre \(A/{\sim}\).
Sea \(C\in A/{\sim}\). Por definición del cociente, existe \(a\in A\) con \(C=[a]\); entonces \(\langle C,\varphi(a)\rangle\in G\). Por tanto existe al menos un valor.
Supongamos ahora que
\[ C=[a]=[a'] \]
y que los valores propuestos son \(\varphi(a)\) y \(\varphi(a')\). Por el Lema 0.5.3 — Igualdad de clases, \(a\sim a'\). La hipótesis de constancia sobre clases da
\[ \varphi(a)=\varphi(a'). \]
Por tanto el valor es único. Así \(G\) es el grafo de una función \(\overline{\varphi}:A/{\sim}\to B\).
Para todo \(a\in A\),
\[ (\overline{\varphi}\circ\pi_{\sim})(a) = \overline{\varphi}([a]) = \varphi(a), \]
de modo que las dos funciones son iguales.
Unicidad. Si \(\psi:A/{\sim}\to B\) satisface \(\psi\circ\pi_{\sim}=\varphi\), sea \(C\in A/{\sim}\). Por sobreyectividad de \(\pi_{\sim}\), existe \(a\in A\) con \(C=\pi_{\sim}(a)\). Entonces
\[ \psi(C) = \psi(\pi_{\sim}(a)) = \varphi(a) = \overline{\varphi}(\pi_{\sim}(a)) = \overline{\varphi}(C). \]
Por el criterio de igualdad de funciones, \(\psi=\overline{\varphi}\). ∎
Regla operativa. Toda definición posterior sobre \(\mathbb Z\), \(\mathbb Q\) o \(\mathbb R_C\) que use representantes será una aplicación concreta de este principio o contendrá una prueba equivalente de buena definición.
Definición 0.6.16 — Familia indexada
Glosario: familia indexada
Una familia indexada de elementos de un conjunto \(X\), con conjunto de índices \(I\), es una función
\[ x:I\to X. \]
Escribiremos
\[ (x_i)_{i\in I} \]
en lugar de la función \(x\), con \(x_i:=x(i)\).
Si \(U\) es un conjunto y la familia toma valores en \(\mathcal P(U)\), escribiremos \((A_i)_{i\in I}\) y definiremos
\[ \bigcup_{i\in I}A_i := \bigcup \operatorname{ran}(A), \]
y
\[ \bigcap_{i\in I}A_i := \{x\in U:\forall i\in I\;(x\in A_i)\}. \]
Para \(I=\varnothing\), esta última definición da \(\bigcap_{i\in I}A_i=U\); por ello el conjunto ambiente \(U\) forma parte de la convención.
0.7. Órdenes
El análisis no sólo necesita saber cuándo dos objetos son iguales; necesita compararlos. Más adelante hablaremos de intervalos, cotas, monotonía, supremos y completitud. Todas esas nociones descansan sobre una estructura de orden.
Introducimos aquí únicamente el vocabulario abstracto indispensable. Todavía no afirmamos que los sistemas numéricos posean estos órdenes: en cada construcción posterior habrá que definir la relación correspondiente y demostrar que satisface las propiedades exigidas.
Definición 0.7.1 — Preorden, orden parcial y orden total
Glosario: preorden · orden parcial · orden total
Sea \(\leq\) una relación sobre un conjunto \(A\).
- \(\leq\) es un preorden si es reflexiva y transitiva.
- \(\leq\) es un orden parcial si es reflexiva, antisimétrica y transitiva.
- \(\leq\) es un orden total si es un orden parcial y, además, para cualesquiera \(a,b\in A\),
\[ a\leq b \quad\text{o}\quad b\leq a. \]
El par \((A,\leq)\) se llamará, respectivamente, conjunto preordenado, parcialmente ordenado o totalmente ordenado.
Definición 0.7.2 — Orden estricto asociado
Glosario: orden estricto
Si \(\leq\) es un orden parcial sobre \(A\), definimos
\[ a<b \quad\Longleftrightarrow\quad (a\leq b\ \text{y}\ a\neq b). \]
La relación \(<\) se denomina orden estricto asociado a \(\leq\).
Proposición 0.7.3 — Propiedades del orden estricto asociado
Si \(\leq\) es un orden parcial sobre \(A\), entonces \(<\) es irreflexiva y transitiva.
Si \(\leq\) es total, entonces para cualesquiera \(a,b\in A\) exactamente una de las siguientes proposiciones es verdadera:
\[ a<b, \qquad a=b, \qquad b<a. \]
Demostración.
Irreflexividad: \(a<a\) exigiría simultáneamente \(a\leq a\) y \(a\neq a\), imposible.
Transitividad: si \(a<b\) y \(b<c\), entonces \(a\leq b\) y \(b\leq c\), por lo que \(a\leq c\). Si \(a=c\), de \(a\leq b\) y \(b\leq a\) se seguiría \(a=b\) por antisimetría, contradiciendo \(a<b\). Luego \(a\neq c\) y, por tanto, \(a<c\).
Supongamos ahora que \(\leq\) es total. Dados \(a,b\), por totalidad \(a\leq b\) o \(b\leq a\). Si \(a=b\), se cumple la alternativa central. Si \(a\neq b\), la primera relación produce \(a<b\) y la segunda produce \(b<a\). No pueden darse simultáneamente \(a<b\) y \(b<a\), pues implicarían \(a\leq b\) y \(b\leq a\), y la antisimetría daría \(a=b\). ∎
Definición 0.7.4 — Cotas superiores e inferiores
Glosario: cota superior · cota inferior · acotado superiormente · acotado inferiormente
Sea \((A,\leq)\) un conjunto parcialmente ordenado y sea \(S\subseteq A\).
Un elemento \(u\in A\) es una cota superior de \(S\) si
\[ \forall s\in S,\quad s\leq u. \]
Un elemento \(\ell\in A\) es una cota inferior de \(S\) si
\[ \forall s\in S,\quad \ell\leq s. \]
Diremos que \(S\) está acotado superiormente si posee alguna cota superior y acotado inferiormente si posee alguna cota inferior.
Definición 0.7.5 — Máximo y mínimo
Sea \(S\subseteq A\).
Un elemento \(m\in S\) es el máximo de \(S\) si
\[ \forall s\in S,\quad s\leq m. \]
Un elemento \(n\in S\) es el mínimo de \(S\) si
\[ \forall s\in S,\quad n\leq s. \]
La pertenencia \(m,n\in S\) forma parte de la definición y distingue máximo/mínimo de una cota exterior.
Proposición 0.7.6 — Unicidad de máximo y mínimo
Un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado tiene a lo sumo un máximo y a lo sumo un mínimo.
Demostración.
Sean \(m,m'\) dos máximos de \(S\). Como \(m'\in S\) y \(m\) es máximo, \(m'\leq m\). Como \(m\in S\) y \(m'\) es máximo, \(m\leq m'\). Por antisimetría, \(m=m'\).
La prueba para mínimos es dual. ∎
Definición 0.7.7 — Supremo e ínfimo
Sea \(S\subseteq A\).
Un elemento \(u\in A\) es el supremo de \(S\) si:
- \(u\) es cota superior de \(S\);
- para toda cota superior \(v\) de \(S\),
\[ u\leq v. \]
Un elemento \(\ell\in A\) es el ínfimo de \(S\) si:
- \(\ell\) es cota inferior de \(S\);
- para toda cota inferior \(v\) de \(S\),
\[ v\leq \ell. \]
Obsérvese que la definición no afirma que supremo o ínfimo existan.
Proposición 0.7.8 — Unicidad de supremo e ínfimo
Si \(S\) posee supremo, éste es único. Si \(S\) posee ínfimo, éste es único.
Demostración.
Sean \(u\) y \(u'\) dos supremos de \(S\). Como \(u'\) es una cota superior y \(u\) es la menor cota superior,
\[ u\leq u'. \]
Simétricamente,
\[ u'\leq u. \]
Por antisimetría, \(u=u'\). La prueba para el ínfimo es dual. ∎
Corolario 0.7.9 — Notación legítima para supremo e ínfimo
Cuando se haya demostrado que \(S\) posee supremo, escribiremos
\[ \sup S \]
para ese único elemento. Cuando se haya demostrado que posee ínfimo, escribiremos
\[ \inf S. \]
Las expresiones \(\sup S\) e \(\inf S\) no se considerarán definidas bajo hipótesis que no garanticen existencia.
Con §§0.8–0.10 queda completo el Capítulo 0 — Fundamento lógico y conjuntista. La publicación progresiva continuará con el Capítulo 1 — Los números naturales.
0.8. Resumen de notación
Las decisiones activas de notación introducidas en este capítulo son:
| símbolo / forma | significado adoptado | decisión normativa |
|---|---|---|
| \(x\in A\) | pertenencia | símbolo primitivo de la teoría de conjuntos |
| \(A\subseteq B\) | inclusión no estricta | \(\subset\) no se usará ambiguamente para inclusión propia |
| \(A\subsetneq B\) | inclusión propia | requiere \(A\subseteq B\) y \(A\ne B\) |
| \(\{x\in A:P(x)\}\) | separación restringida | prohibido omitir el conjunto ambiente sin justificación |
| \(\varnothing\) | conjunto vacío | sólo después de la Proposición 0.2.5 |
| \(\{a,b\}\), \(\{a\}\) | par no ordenado, singleton | reservadas llaves para conjuntos |
| \(A\cup B\) | unión | estándar |
| \(A\cap B\) | intersección | estándar |
| \(A\setminus B\) | diferencia de conjuntos | se descarta \(A-B\) para evitar colisión algebraica |
| \(\mathcal P(A)\) | conjunto potencia | se descarta \(2^A\) en la fase fundacional |
| \(\langle a,b\rangle\) | par ordenado de Kuratowski | paréntesis \((a,b)\) quedarán disponibles para intervalos y tuplas informales posteriores |
| \(A\times B\) | producto cartesiano | estándar |
| \(aRb\) | \(\langle a,b\rangle\in R\) | notación infija permitida cuando la relación lo aconseje |
| \(\operatorname{dom}R\) | dominio de relación | se descarta \(D(R)\) |
| \(\operatorname{ran}R\) | recorrido de relación | \(im\) se reserva para funciones/subconjuntos |
| \(R^{-1}\) | relación inversa | no presupone funcionalidad |
| \(S\circ R\) | composición: primero \(R\), luego \(S\) | lectura de derecha a izquierda |
| \([a]_\sim\) | clase de equivalencia | se admite \([a]\) sólo con relación inequívoca |
| \(A/{\sim}\) | conjunto cociente | barras inclinadas sólo tras definir la equivalencia |
| \(f:A\to B\) | función con dominio y codominio explícitos | el codominio forma parte de la identidad de \(f\) |
| \(f(a)\) | evaluación | reservada a elementos del dominio |
| \(f[X]\) | imagen directa de subconjunto | corchetes distinguen imagen de evaluación |
| \(f^{-1}[Y]\) | preimagen de subconjunto | no requiere que \(f\) sea biyectiva |
| \(f^{-1}\) | función inversa | sólo tras probar biyectividad |
| \(B^A\) | conjunto de funciones \(A\to B\) | dominio en el exponente |
| \((x_i)_{i\in I}\) | familia indexada | formalmente una función con dominio \(I\) |
| \(\leq\) | orden no estricto | relación primaria en la teoría del orden |
| \(<\) | orden estricto asociado | definido por \(a\le b\) y \(a\ne b\) |
| \(\sup S\), \(\inf S\) | supremo, ínfimo | sólo cuando la existencia haya sido demostrada |
0.9. Cierre deductivo del capítulo
Con este capítulo quedan disponibles, sin recurrir todavía a ningún sistema numérico:
- inclusión y operaciones conjuntistas elementales;
- pares ordenados con su teorema característico;
- productos cartesianos;
- relaciones, inversas y composiciones;
- relaciones de equivalencia;
- clases, particiones y conjuntos cociente;
- funciones con dominio y codominio explícitos;
- composición, identidad, biyectividad e inversa;
- imágenes y preimágenes;
- conjuntos de funciones y familias indexadas;
- el principio de definición sobre clases;
- preórdenes, órdenes parciales y totales;
- cotas, máximos, mínimos, supremos e ínfimos.
Ninguno de estos objetos presupone \(\mathbb N\), \(\mathbb Z\), \(\mathbb Q\) o \(\mathbb R\).
El siguiente capítulo podrá comenzar legítimamente con el axioma de infinito y la construcción del menor conjunto inductivo.
0.10. Hacia los números naturales
El lenguaje lógico y conjuntista necesario ya está disponible. Hemos construido los objetos que permitirán trabajar con relaciones, funciones, cocientes y órdenes sin presuponer todavía ningún sistema numérico.
El paso siguiente será distinto: por primera vez construiremos un sistema numérico propiamente tal. A partir del axioma de infinito aislaremos un conjunto inductivo mínimo, que denotaremos por \(\omega\); una vez demostrada su independencia del conjunto inductivo inicial, definiremos \(\mathbb N:=\omega\) y mostraremos que posee la estructura esperada de los números naturales. Sólo después de esa construcción se introducirán, mediante recursión, la suma y la multiplicación.
Así comienza la primera cadena aritmética del tratado:
\[ \text{infinito} \longrightarrow \omega=\mathbb N \longrightarrow \text{recursión} \longrightarrow +,\cdot,\leq. \]
Con esta sección queda completo el Capítulo 0 — Fundamento lógico y conjuntista. La publicación progresiva continuará con el Capítulo 1 — Los números naturales, comenzando por el axioma de infinito, los conjuntos inductivos y la construcción de \(\omega\).