Tratado de análisis — Glosario matemático
Glosario matemático
← Volver al Tratado de análisis · Capítulo 0 — Fundamento lógico y conjuntista · Capítulo 1 — Los números naturales · Capítulo 2 — Los números enteros · Capítulo 3 — Los números racionales · Capítulo 4 — Cuerpos ordenados y el problema de la completitud
Capítulo 5 · Capítulo 6 · Capítulo 7 · Capítulo 8 · Capítulo 9 · Capítulo 10 · Capítulo 11 · Capítulo 12 · Capítulo 13 · Capítulo 14 · Capítulo 15 · Capítulo 16 · Capítulo 17 · Capítulo 18 · Capítulo 19 · Capítulo 20 · Capítulo 21 · Capítulo 22 · Capítulo 23
Este glosario acompaña la publicación progresiva del Tratado de análisis. No se adelanta al texto: una entrada se incorpora cuando la noción correspondiente ya ha sido definida, construida o fijada en la edición pública.
Cada entrada distingue dos niveles:
- Idea: una orientación conceptual breve para recuperar rápidamente la intuición;
- En este tratado: la acepción precisa adoptada en la obra.
El enlace En el Tratado conduce al punto exacto donde la noción se introduce o queda justificada.
Índice actual
Acotado inferiormente · Acotado superiormente · Adición natural · Alcanzabilidad aditiva · Anillo · Anillo conmutativo · Antisimetría · Aplicación canónica de numerales naturales · Aproximación finita de una recursión · Asociatividad de la suma · Asociatividad del producto · Axioma de infinito · Biyectividad · Buen orden · Cancelación aditiva · Cancelación multiplicativa · Cero · Cero entero · Cero racional · Clase de equivalencia · Clase entera · Clase racional · Codominio · Composición de funciones · Composición de relaciones · Conjunto cociente · Conjunto de funciones · Conjunto de representantes racionales · Conjunto inductivo · Conjunto potencia · Conjunto transitivo · Conjunto vacío · Conjuntos disjuntos · Conmutatividad de la suma · Conmutatividad del producto · Cota inferior · Cota superior · Cuerpo · Cuerpo ordenado · Cuerpo ordenado completo · Densidad del orden racional · Desigualdad triangular · Desigualdad triangular inversa · Diferencia conjuntista · Diferencia formal · Distributividad · División racional · Dominio de integridad · Dominio de una función · Dominio de una relación · Enteros no nulos · Extensionalidad · Familia indexada · Forma normal con signo · Función · Función identidad · Función inversa · Grafo de una función · Grupo abeliano · Igualdad de clases · Imagen directa · Incompletitud de \(\mathbb Q\) · Incrustación canónica · Inducción fuerte · Ínfimo · Intersección · Intervalos acotados · Intervalos centrados · Inyectividad · Lógica clásica · Máximo · Metanivel · Mínimo · Multiplicación entera · Multiplicación natural · Multiplicación racional · Nivel objeto · Notación fraccionaria · Núcleo inductivo · Número entero · Número racional · Números naturales · \(\omega\) · Opuesto entero · Opuesto racional · Orden entero · Orden estricto · Orden natural · Orden parcial · Orden racional · Orden total · Par de Kuratowski · Par no ordenado · Par ordenado · Paridad natural · Partición · Predecesor · Preimagen · Preorden · Principio de definición binaria sobre clases · Principio de definición sobre clases · Principio de inducción · Principio de intersección de intervalos cerrados · Producto cartesiano · Producto nulo · Propiedad arquimediana · Propiedad de separación · Propiedad del supremo · Propiedades de Peano · Proyección canónica · Racionales no nulos · Recíproco racional · Recorrido de una relación · Recursión · Recursión con parámetros · Reflexividad · Relación binaria · Relación de equivalencia · Relación de equivalencia entera · Relación de equivalencia racional · Relación inversa · Representante · Representante fraccionario · Restricción de una función · Separación restringida · Simetría · Singleton · Sobreyectividad · Subconjunto · Subcuerpo · Subcuerpo primo · Sucesor · Suma entera · Suma nula · Suma racional · Supremo · Sustracción entera · Sustracción racional · Totalidad (conexidad) · Transitividad · Tricotomía · Tupla finita · Unidad entera · Unidad multiplicativa · Unidad racional · Unión · Uno · Valor absoluto · ZF
Nociones incorporadas en los capítulos 5–15
Cortadura de Dedekind · Real de Dedekind · Orden de Dedekind · Sucesión racional de Cauchy · Equivalencia de Cauchy · Real de Cauchy · Completitud secuencial de los reales de Cauchy · Isomorfismo de cuerpos ordenados · Sucesión real · Serie numérica · Convergencia absoluta · Bola abierta en la recta · Punto de acumulación · Subconjunto denso de la recta.
Antisimetría
Idea. Una relación no puede relacionar mutuamente dos elementos distintos en ambos sentidos.
En este tratado. Una relación \(R\) sobre \(A\) es antisimétrica si
\[ (aRb\land bRa)\Longrightarrow a=b. \]
La antisimetría no significa que \(aRb\) impida \(bRa\); significa que, si ambas relaciones ocurren, entonces los elementos deben coincidir.
En el Tratado: Definición 0.4.6 — Propiedades de una relación.
Véase también: Simetría, Reflexividad, Transitividad.
Biyectividad
Idea. Una función que establece una correspondencia uno a uno entre dominio y codominio.
En este tratado. Una función \(f:A\to B\) es biyectiva cuando es a la vez inyectiva y sobreyectiva. Equivalentemente, es biyectiva si y sólo si posee una función inversa \(f^{-1}:B\to A\).
En el Tratado: Definición 0.6.6 — Inyectividad, sobreyectividad y biyectividad y Teorema 0.6.7 — Caracterización de las funciones invertibles.
Véase también: Inyectividad, Sobreyectividad, Función inversa.
Clase de equivalencia
Idea. El conjunto de todas las representaciones que la relación de equivalencia considera indistinguibles de una representación dada.
En este tratado. Si \(\sim\) es una relación de equivalencia sobre \(A\) y \(a\in A\), definimos
\[ [a]_{\sim}:=\{x\in A:x\sim a\}. \]
Cuando la relación esté clara por el contexto, escribiremos simplemente \([a]\).
En el Tratado: Definición 0.5.1 — Clase de equivalencia.
Véase también: Representante, Igualdad de clases, Relación de equivalencia, Conjunto cociente.
Codominio
Idea. El conjunto de llegada declarado como parte de los datos de una función.
En este tratado. Si \[ f=\langle A,B,G_f\rangle, \] entonces \(B\) es el codominio de \(f\). El codominio forma parte de la identidad de la función: dos funciones con el mismo dominio y el mismo grafo, pero codominios distintos, son funciones distintas.
En el Tratado: Definición 0.6.1 — Función como dominio, codominio y grafo.
Véase también: Función, Dominio de una función, Grafo de una función.
Composición de funciones
Idea. Aplicar una función y, sobre su resultado, aplicar una segunda función.
En este tratado. Si \(f:A\to B\) y \(g:B\to C\), definimos \[ g\circ f:A\to C, \qquad (g\circ f)(a):=g(f(a)). \] Su grafo coincide con la composición relacional de los grafos correspondientes.
En el Tratado: Definición 0.6.4 — Identidad y composición de funciones.
Véase también: Función, Función identidad, Composición de relaciones.
Composición de relaciones
Idea. Encadenar dos relaciones haciendo coincidir la salida intermedia de la primera con la entrada de la segunda.
En este tratado. Si \(R\subseteq A\times B\) y \(S\subseteq B\times C\), definimos
\[ S\circ R := \{\langle a,c\rangle\in A\times C:\exists b\in B\;(aRb\land bSc)\}. \]
La composición se lee de derecha a izquierda: primero \(R\), después \(S\).
En el Tratado: Definición 0.4.4 — Composición de relaciones.
Véase también: Relación binaria, Producto cartesiano.
Conjunto cociente
Idea. El nuevo conjunto cuyos elementos son las clases de equivalencia, no las representaciones individuales.
En este tratado. Si \(\sim\) es una relación de equivalencia sobre \(A\),
\[ A/{\sim} := \{C\in\mathcal P(A):\exists a\in A\;(C=[a])\}. \]
Equivalentemente,
\[ A/{\sim}=\{[a]:a\in A\}. \]
La primera expresión es la definición conjuntista canónica; la segunda es notación descriptiva.
En el Tratado: Definición 0.5.7 — Conjunto cociente.
Véase también: Clase de equivalencia, Partición, Representante.
Conjunto de funciones
Idea. El conjunto formado por todas las funciones que tienen un dominio y un codominio fijados.
En este tratado. Para conjuntos \(A\) y \(B\), \[ B^A \] denota el conjunto de todas las funciones \(f:A\to B\). Su existencia se demuestra dentro de ZF a partir de \(\mathcal P(A\times B)\), reemplazo y separación.
En el Tratado: Definición 0.6.11 — Conjunto de funciones.
Véase también: Función, Conjunto potencia, Producto cartesiano.
Conjunto potencia
Idea. El conjunto que reúne todos los subconjuntos de un conjunto dado.
En este tratado. Para cada conjunto \(A\), \(\mathcal P(A)\) es el conjunto caracterizado por
\[ X\in\mathcal P(A) \quad\Longleftrightarrow\quad X\subseteq A. \]
Su existencia pertenece a los axiomas admitidos de ZF.
En el Tratado: Definición 0.2.12 — Conjunto potencia.
Véase también: Subconjunto, ZF.
Conjunto vacío
Idea. El conjunto que no contiene ningún elemento.
En este tratado. El símbolo \(\varnothing\) sólo se introduce después de demostrar que existe un único conjunto sin elementos. No se presupone su existencia como una notación anterior a esa prueba.
En el Tratado: existencia y unicidad y Notación 0.2.6 — Conjunto vacío.
Véase también: Extensionalidad, Separación restringida.
Conjuntos disjuntos
Idea. Dos conjuntos que no comparten elementos.
En este tratado. \(A\) y \(B\) son disjuntos cuando
\[ A\cap B=\varnothing. \]
En el Tratado: Definición 0.2.14 — Conjuntos disjuntos.
Véase también: Intersección, Conjunto vacío.
Diferencia conjuntista
Idea. Los elementos de un conjunto que no pertenecen a otro.
En este tratado.
\[ A\setminus B:=\{x\in A:x\notin B\}. \]
La notación \(A-B\) no se usa para diferencia de conjuntos, porque se reserva para contextos algebraicos posteriores.
En el Tratado: Definición 0.2.11 — Diferencia conjuntista.
Véase también: Separación restringida, Subconjunto.
Dominio de una función
Idea. El conjunto de entradas sobre las que una función está definida.
En este tratado. Si \[ f=\langle A,B,G_f\rangle, \] entonces \(A\) es el dominio de \(f\). No se recupera sólo del grafo por convención: forma parte explícita del objeto función.
En el Tratado: Definición 0.6.1 — Función como dominio, codominio y grafo.
Véase también: Función, Codominio, Dominio de una relación.
Dominio de una relación
Idea. Los elementos que aparecen como primera componente de algún par perteneciente a la relación.
En este tratado. Si \(R\subseteq A\times B\),
\[ \operatorname{dom}R := \{a\in A:\exists b\in B\;(aRb)\}. \]
En el Tratado: Definición 0.4.2 — Dominio y recorrido de una relación.
Véase también: Recorrido de una relación, Relación binaria.
Extensionalidad
Idea. Un conjunto queda determinado por sus elementos.
En este tratado. El axioma de extensionalidad permite concluir \(A=B\) cuando \(A\) y \(B\) tienen exactamente los mismos elementos. Es el fundamento del criterio práctico de igualdad por doble inclusión.
En el Tratado: Axioma de extensionalidad.
Véase también: Subconjunto, ZF.
Familia indexada
Idea. Una colección cuyos elementos están organizados por un conjunto de índices.
En este tratado. Una familia indexada de elementos de \(X\), con conjunto de índices \(I\), es una función \[ x:I\to X. \] La escribimos \((x_i)_{i\in I}\), con \(x_i:=x(i)\). Para familias de subconjuntos de un ambiente \(U\), esta notación permite definir uniones e intersecciones indexadas.
En el Tratado: Definición 0.6.16 — Familia indexada.
Véase también: Función, Imagen directa, Unión, Intersección.
Función
Idea. Una asignación que proporciona a cada entrada exactamente una salida.
En este tratado. Una función \(f\) de \(A\) en \(B\) es el objeto \[ f=\langle A,B,G_f\rangle, \] donde \(G_f\subseteq A\times B\) y para todo \(a\in A\) existe un único \(b\in B\) con \(\langle a,b\rangle\in G_f\). Dominio, codominio y grafo forman parte de los datos de la función.
En el Tratado: Definición 0.6.1 — Función como dominio, codominio y grafo.
Véase también: Dominio de una función, Codominio, Grafo de una función.
Función identidad
Idea. La función que deja cada elemento donde está.
En este tratado. Para un conjunto \(A\), \[ \operatorname{id}_A:A\to A, \qquad \operatorname{id}_A(a)=a. \] Actúa como identidad para la composición de funciones.
En el Tratado: Definición 0.6.4 — Identidad y composición de funciones.
Véase también: Composición de funciones, Función.
Función inversa
Idea. La función que deshace una función biyectiva.
En este tratado. Si \(f:A\to B\) es biyectiva, \(f^{-1}:B\to A\) denota la única función que satisface \[ f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_A, \qquad f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_B. \] El símbolo \(f^{-1}\) sólo se usa como función inversa después de demostrar la biyectividad de \(f\).
En el Tratado: Notación 0.6.8 — Función inversa.
Véase también: Biyectividad, Relación inversa, Preimagen.
Grafo de una función
Idea. El conjunto de todos los pares entrada–salida de una función.
En este tratado. Si \(f:A\to B\), su grafo \(G_f\) es un subconjunto de \(A\times B\) tal que para cada \(a\in A\) existe un único \(b\in B\) con \[ \langle a,b\rangle\in G_f. \] La escritura \(f(a)=b\) abrevia precisamente esta pertenencia al grafo.
En el Tratado: Definición 0.6.1 y Notación 0.6.2 — Flecha y evaluación.
Véase también: Función, Producto cartesiano, Relación binaria.
Igualdad de clases
Idea. Dos representantes determinan la misma clase exactamente cuando son equivalentes.
En este tratado. Para \(a,b\in A\),
\[ [a]=[b] \quad\Longleftrightarrow\quad a\sim b. \]
Este criterio permite dejar de depender de un representante particular: cambiar un elemento por otro equivalente no cambia la clase.
En el Tratado: Lema 0.5.3 — Igualdad de clases.
Véase también: Clase de equivalencia, Representante, Relación de equivalencia.
Imagen directa
Idea. Los valores que una función alcanza a partir de un subconjunto del dominio.
En este tratado. Si \(f:A\to B\) y \(X\subseteq A\), \[ f[X] := \{b\in B:\exists x\in X\;(f(x)=b)\}. \] Los corchetes distinguen la imagen de subconjuntos de la evaluación puntual \(f(a)\).
En el Tratado: Definición 0.6.9 — Imagen y preimagen.
Véase también: Preimagen, Función, Sobreyectividad.
Intersección
Idea. La parte común de dos conjuntos.
En este tratado.
\[ A\cap B:=\{x\in A:x\in B\}. \]
Se construye por separación dentro de \(A\).
En el Tratado: Definición 0.2.10 — Intersección binaria.
Véase también: Unión, Separación restringida, Conjuntos disjuntos.
Inyectividad
Idea. Entradas distintas no pueden producir la misma salida.
En este tratado. Una función \(f:A\to B\) es inyectiva si \[ f(a)=f(a')\Longrightarrow a=a'. \]
En el Tratado: Definición 0.6.6 — Inyectividad, sobreyectividad y biyectividad.
Véase también: Sobreyectividad, Biyectividad.
Lógica clásica
Idea. El marco lógico ordinario en el que se permiten, entre otros principios, el tercero excluido y la reducción al absurdo.
En este tratado. La lógica ambiente es lógica clásica de primer orden con igualdad. La igualdad es lógica y primitiva; \(\in\) es el único símbolo no lógico primitivo del lenguaje conjuntista.
En el Tratado: Convención 0.1.2 — Lógica ambiente.
Véase también: Metanivel, Nivel objeto, ZF.
Metanivel
Idea. El nivel desde el cual hablamos sobre las expresiones y demostraciones matemáticas.
En este tratado. En el metanivel hablamos de fórmulas, variables, demostraciones, definiciones, dependencias y numeración editorial. Los numerales de capítulos o resultados pertenecen a este nivel mientras los números naturales todavía no hayan sido construidos como objetos del tratado.
En el Tratado: Convención 0.1.1 — Metanivel y nivel objeto.
Véase también: Nivel objeto.
Nivel objeto
Idea. El nivel en el que viven los objetos matemáticos de los que habla la teoría.
En este tratado. En el nivel objeto, las variables del lenguaje conjuntista recorren conjuntos. Se distingue deliberadamente del metanivel editorial y lógico.
En el Tratado: Convención 0.1.1 — Metanivel y nivel objeto.
Par de Kuratowski
Idea. Una realización concreta de la noción de par ordenado mediante conjuntos ordinarios.
En este tratado. El par ordenado de \(a\) y \(b\) se codifica por
\[ \langle a,b\rangle := \bigl\{\{a\},\{a,b\}\bigr\}. \]
Esta elección es una implementación conjuntista. Su propiedad esencial es el criterio
\[ \langle a,b\rangle=\langle c,d\rangle \iff (a=c\ \text{y}\ b=d). \]
En el Tratado: Definición 0.3.1 — Par ordenado de Kuratowski.
Véase también: Par ordenado, Par no ordenado, Singleton.
Par no ordenado
Idea. Un conjunto que contiene exactamente dos objetos, sin distinguir cuál aparece “primero”.
En este tratado. \(\{a,b\}\) denota el único conjunto cuyos elementos son exactamente \(a\) y \(b\). La unicidad se sigue de extensionalidad. No debe confundirse con el par ordenado, que se introducirá más adelante.
En el Tratado: Notación 0.2.8 — Pares no ordenados y singletons.
Véase también: Singleton, Extensionalidad.
Par ordenado
Idea. Un objeto con dos componentes en el que importa cuál es la primera y cuál la segunda.
En este tratado. Los pares ordenados se realizan mediante la codificación de Kuratowski. Después de demostrar su teorema característico, la notación \(\langle a,b\rangle\) podrá usarse atendiendo a sus coordenadas y no a la implementación conjuntista subyacente.
En el Tratado: Definición 0.3.1 — Par ordenado de Kuratowski.
Véase también: Par de Kuratowski, Producto cartesiano.
Partición
Idea. Una descomposición de un conjunto en piezas no vacías que no se solapan y que, juntas, cubren todo el conjunto.
En este tratado. Una partición de \(A\) es un conjunto \(\mathscr P\) de subconjuntos de \(A\) tal que:
- \(\varnothing\notin\mathscr P\);
- si \(C,D\in\mathscr P\) y \(C\neq D\), entonces \(C\cap D=\varnothing\);
- todo \(a\in A\) pertenece a algún \(C\in\mathscr P\).
Las clases de cualquier relación de equivalencia sobre \(A\) forman una partición de \(A\).
En el Tratado: Definición 0.5.5 — Partición.
Véase también: Clase de equivalencia, Conjunto cociente, Conjuntos disjuntos.
Preimagen
Idea. Los elementos del dominio cuyos valores caen en un subconjunto dado del codominio.
En este tratado. Si \(f:A\to B\) y \(Y\subseteq B\), \[ f^{-1}[Y] := \{a\in A:f(a)\in Y\}. \] Esta notación no presupone que \(f\) sea biyectiva y no debe confundirse con la función inversa.
En el Tratado: Definición 0.6.9 — Imagen y preimagen.
Véase también: Imagen directa, Función inversa, Función.
Principio de definición sobre clases
Idea. Una regla definida sobre representantes desciende al cociente exactamente cuando no cambia al sustituir un representante por otro equivalente.
En este tratado. Si \(\sim\) es una relación de equivalencia sobre \(A\) y \(\varphi:A\to B\) satisface \[ a\sim a' \Longrightarrow \varphi(a)=\varphi(a'), \] entonces existe una única función \[ \overline{\varphi}:A/{\sim}\to B \] con \(\overline{\varphi}([a])=\varphi(a)\).
En el Tratado: Teorema 0.6.15 — Principio de definición sobre clases.
Véase también: Conjunto cociente, Proyección canónica, Representante.
Producto cartesiano
Idea. El conjunto de todos los pares ordenados cuya primera componente proviene de un conjunto y cuya segunda componente proviene de otro.
En este tratado. Para conjuntos \(A\) y \(B\),
\[ A\times B := \{\langle a,b\rangle:a\in A,\ b\in B\}. \]
La existencia de este conjunto se demuestra construyéndolo por separación dentro de \(\mathcal P(\mathcal P(A\cup B))\).
En el Tratado: Definición 0.3.6 — Producto cartesiano.
Véase también: Par ordenado, Conjunto potencia, Separación restringida.
Proyección canónica
Idea. La función que envía cada representante a su clase de equivalencia.
En este tratado. Si \(\sim\) es una relación de equivalencia sobre \(A\), \[ \pi_{\sim}:A\to A/{\sim}, \qquad \pi_{\sim}(a):=[a]. \] Esta función es sobreyectiva.
En el Tratado: Definición 0.6.13 — Proyección canónica de un cociente.
Véase también: Conjunto cociente, Clase de equivalencia, Principio de definición sobre clases.
Recorrido de una relación
Idea. Los elementos que aparecen como segunda componente de algún par perteneciente a la relación.
En este tratado. Si \(R\subseteq A\times B\),
\[ \operatorname{ran}R := \{b\in B:\exists a\in A\;(aRb)\}. \]
Usaremos ran para relaciones y reservaremos im para la imagen de un subconjunto bajo una función.
En el Tratado: Definición 0.4.2 — Dominio y recorrido de una relación.
Véase también: Dominio de una relación, Relación binaria.
Reflexividad
Idea. Cada elemento está relacionado consigo mismo.
En este tratado. Una relación \(R\) sobre \(A\) es reflexiva si
\[ \forall a\in A,\quad aRa. \]
En el Tratado: Definición 0.4.6 — Propiedades de una relación.
Véase también: Simetría, Transitividad, Relación de equivalencia.
Relación binaria
Idea. Una selección de pares ordenados que indica qué elementos de un conjunto se relacionan con elementos de otro.
En este tratado. Una relación binaria de \(A\) en \(B\) es un conjunto
\[ R\subseteq A\times B. \]
Cuando \(A=B\), hablamos de una relación sobre \(A\). La escritura \(aRb\) abrevia \(\langle a,b\rangle\in R\).
En el Tratado: Definición 0.4.1 — Relación binaria.
Véase también: Par ordenado, Producto cartesiano, Dominio de una relación.
Relación de equivalencia
Idea. Una relación que permite considerar como indistinguibles, para cierto propósito, elementos que pertenecen a una misma clase.
En este tratado. Una relación \(\sim\) sobre \(A\) es una relación de equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva.
Las clases de equivalencia y el conjunto cociente se construyen en §0.5 a partir de esta noción.
En el Tratado: Definición 0.4.7 — Relación de equivalencia.
Véase también: Reflexividad, Simetría, Transitividad.
Relación inversa
Idea. La relación obtenida al intercambiar la primera y la segunda componente de cada par.
En este tratado. Si \(R\subseteq A\times B\),
\[ R^{-1} := \{\langle b,a\rangle\in B\times A:aRb\}. \]
Esta notación no presupone que \(R\) sea una función ni que exista una función inversa.
En el Tratado: Definición 0.4.3 — Relación inversa.
Véase también: Relación binaria, Par ordenado.
Representante
Idea. Un elemento usado para nombrar una clase de equivalencia, sin que la clase dependa de cuál de sus elementos elijamos para nombrarla.
En este tratado. Si \(a\in A\), entonces \(a\in[a]\). Llamamos representante de una clase a cualquiera de sus elementos. Si \(b\in[a]\), entonces \(b\sim a\) y, por el criterio de igualdad de clases,
\[ [b]=[a]. \]
Por eso ninguna construcción sobre clases deberá depender de escoger un representante privilegiado.
En el Tratado: Proposición 0.5.2 — Existencia y pertenencia del representante y Lema 0.5.3 — Igualdad de clases.
Véase también: Clase de equivalencia, Igualdad de clases, Conjunto cociente.
Separación restringida
Idea. Formar un subconjunto seleccionando, dentro de un conjunto ya existente, los elementos que satisfacen una propiedad.
En este tratado.
\[ \{x\in A:P(x)\} \]
denota el subconjunto de \(A\) formado por los \(x\) que satisfacen \(P(x)\). Esta notación no autoriza una comprensión irrestricta \(\{x:P(x)\}\) sin conjunto ambiente.
En el Tratado: Notación 0.1.3 — Separación restringida.
Véase también: Subconjunto, ZF.
Simetría
Idea. Si un elemento se relaciona con otro, la relación también vale en sentido contrario.
En este tratado. Una relación \(R\) sobre \(A\) es simétrica si
\[ aRb\Longrightarrow bRa. \]
En el Tratado: Definición 0.4.6 — Propiedades de una relación.
Véase también: Antisimetría, Reflexividad, Relación de equivalencia.
Singleton
Idea. Un conjunto con exactamente un elemento.
En este tratado.
\[ \{a\}:=\{a,a\}. \]
El singleton se obtiene como caso degenerado del par no ordenado.
En el Tratado: Notación 0.2.8 — Pares no ordenados y singletons.
Véase también: Par no ordenado.
Sobreyectividad
Idea. Todo elemento del codominio es alcanzado por alguna entrada.
En este tratado. Una función \(f:A\to B\) es sobreyectiva si para todo \(b\in B\) existe \(a\in A\) tal que \[ f(a)=b. \]
En el Tratado: Definición 0.6.6 — Inyectividad, sobreyectividad y biyectividad.
Véase también: Inyectividad, Biyectividad, Codominio.
Subconjunto
Idea. \(A\) está contenido en \(B\) cuando todo elemento de \(A\) también pertenece a \(B\).
En este tratado.
\[ A\subseteq B \quad\Longleftrightarrow\quad \forall x\,(x\in A\rightarrow x\in B). \]
La inclusión propia se escribe \(A\subsetneq B\) y exige además \(A\neq B\).
En el Tratado: Definición 0.2.1 — Subconjunto.
Véase también: Extensionalidad, Conjunto potencia.
Totalidad (conexidad)
Idea. Cualquier par de elementos puede compararse en al menos uno de los dos sentidos de la relación.
En este tratado. Una relación \(R\) sobre \(A\) es total o conexa si, para cualesquiera \(a,b\in A\),
\[ aRb\quad\text{o}\quad bRa. \]
En el Tratado: Definición 0.4.6 — Propiedades de una relación.
Véase también: Relación binaria, Antisimetría, Transitividad.
Transitividad
Idea. Dos pasos consecutivos de la relación pueden comprimirse en uno.
En este tratado. Una relación \(R\) sobre \(A\) es transitiva si
\[ (aRb\land bRc)\Longrightarrow aRc. \]
En el Tratado: Definición 0.4.6 — Propiedades de una relación.
Véase también: Reflexividad, Simetría, Relación de equivalencia.
Tupla finita
Idea. Una lista ordenada de un número finito de componentes.
En este tratado. Las tuplas de longitud mayor que dos se codifican mediante pares ordenados anidados. Salvo indicación contraria,
\[ \langle a,b,c\rangle := \langle a,\langle b,c\rangle\rangle. \]
La forma concreta de anidación es representacional y no se considera contenido matemático adicional.
En el Tratado: Convención 0.3.5 — Tuplas finitas.
Véase también: Par ordenado, Par de Kuratowski.
Unión
Idea. El conjunto formado por los elementos que pertenecen a uno u otro de dos conjuntos.
En este tratado.
\[ A\cup B:=\bigcup\{A,B\}, \]
de modo que
\[ x\in A\cup B \iff (x\in A\lor x\in B). \]
En el Tratado: Definición 0.2.9 — Unión binaria.
Véase también: Intersección, Par no ordenado.
ZF
Idea. La teoría axiomática de conjuntos de Zermelo–Fraenkel que sirve como suelo conjuntista del tratado.
En este tratado. ZF, junto con lógica clásica de primer orden con igualdad, constituye el fundamento ambiente. Los axiomas no se cuentan como teoremas internos. El axioma de elección no se presupone ni se utiliza silenciosamente.
En el Tratado: §0.1.1 — Inventario axiomático.
Véase también: Lógica clásica, Separación restringida, Extensionalidad.
Acotado inferiormente
Idea. Un conjunto posee algún elemento del ambiente que queda por debajo de todos sus elementos.
En este tratado. Si \((A,\leq)\) es parcialmente ordenado y \(S\subseteq A\), diremos que \(S\) está acotado inferiormente cuando existe una cota inferior de \(S\).
En el Tratado: Definición 0.7.4 — Cotas superiores e inferiores.
Véase también: Cota inferior, Ínfimo.
Acotado superiormente
Idea. Un conjunto posee algún elemento del ambiente que queda por encima de todos sus elementos.
En este tratado. Si \((A,\leq)\) es parcialmente ordenado y \(S\subseteq A\), diremos que \(S\) está acotado superiormente cuando existe una cota superior de \(S\).
En el Tratado: Definición 0.7.4 — Cotas superiores e inferiores.
Véase también: Cota superior, Supremo.
Cota inferior
Idea. Un elemento del ambiente que no supera a ningún elemento del subconjunto considerado.
En este tratado. Si \((A,\leq)\) es parcialmente ordenado y \(S\subseteq A\), un elemento \(\ell\in A\) es una cota inferior de \(S\) si
\[ \forall s\in S,\quad \ell\leq s. \]
En el Tratado: Definición 0.7.4 — Cotas superiores e inferiores.
Véase también: Acotado inferiormente, Mínimo, Ínfimo.
Cota superior
Idea. Un elemento del ambiente que no queda por debajo de ningún elemento del subconjunto considerado.
En este tratado. Si \((A,\leq)\) es parcialmente ordenado y \(S\subseteq A\), un elemento \(u\in A\) es una cota superior de \(S\) si
\[ \forall s\in S,\quad s\leq u. \]
En el Tratado: Definición 0.7.4 — Cotas superiores e inferiores.
Véase también: Acotado superiormente, Máximo, Supremo.
Ínfimo
Idea. La mayor de todas las cotas inferiores de un subconjunto.
En este tratado. Si \(S\subseteq A\), un elemento \(\ell\in A\) es el ínfimo de \(S\) si es cota inferior de \(S\) y toda cota inferior \(v\) satisface
\[ v\leq \ell. \]
La definición no garantiza existencia. Sólo cuando ésta haya sido demostrada escribiremos \(\inf S\).
En el Tratado: Definición 0.7.7 — Supremo e ínfimo y Corolario 0.7.9 — Notación legítima.
Véase también: Cota inferior, Mínimo, Supremo.
Máximo
Idea. El mayor elemento de un subconjunto, cuando tal elemento pertenece al propio subconjunto.
En este tratado. Si \(S\subseteq A\), un elemento \(m\in S\) es el máximo de \(S\) si
\[ \forall s\in S,\quad s\leq m. \]
La pertenencia \(m\in S\) es parte de la definición y distingue al máximo de una cota superior exterior.
En el Tratado: Definición 0.7.5 — Máximo y mínimo.
Véase también: Cota superior, Supremo, Mínimo.
Mínimo
Idea. El menor elemento de un subconjunto, cuando tal elemento pertenece al propio subconjunto.
En este tratado. Si \(S\subseteq A\), un elemento \(n\in S\) es el mínimo de \(S\) si
\[ \forall s\in S,\quad n\leq s. \]
La pertenencia \(n\in S\) es parte de la definición y distingue al mínimo de una cota inferior exterior.
En el Tratado: Definición 0.7.5 — Máximo y mínimo.
Véase también: Cota inferior, Ínfimo, Máximo.
Orden estricto
Idea. La versión estricta de un orden no estricto: compara sin admitir igualdad.
En este tratado. Si \(\leq\) es un orden parcial sobre \(A\), definimos
\[ a<b \quad\Longleftrightarrow\quad (a\leq b\ \text{y}\ a\neq b). \]
Este orden estricto asociado es irreflexivo y transitivo.
En el Tratado: Definición 0.7.2 — Orden estricto asociado y Proposición 0.7.3.
Véase también: Orden parcial, Orden total.
Orden parcial
Idea. Un orden en el que no es necesario que todos los pares de elementos sean comparables.
En este tratado. Una relación \(\leq\) sobre \(A\) es un orden parcial si es reflexiva, antisimétrica y transitiva.
En el Tratado: Definición 0.7.1 — Preorden, orden parcial y orden total.
Véase también: Preorden, Orden total, Antisimetría.
Orden total
Idea. Un orden parcial en el que cualesquiera dos elementos pueden compararse.
En este tratado. Una relación \(\leq\) sobre \(A\) es un orden total si es reflexiva, antisimétrica y transitiva, y además para cualesquiera \(a,b\in A\),
\[ a\leq b\quad\text{o}\quad b\leq a. \]
En el Tratado: Definición 0.7.1 — Preorden, orden parcial y orden total.
Véase también: Orden parcial, Totalidad (conexidad), Orden estricto.
Preorden
Idea. La estructura de orden más débil considerada aquí: permite reflexividad y transitividad, sin exigir antisimetría.
En este tratado. Una relación \(\leq\) sobre \(A\) es un preorden si es reflexiva y transitiva.
En el Tratado: Definición 0.7.1 — Preorden, orden parcial y orden total.
Véase también: Orden parcial, Reflexividad, Transitividad.
Supremo
Idea. La menor de todas las cotas superiores de un subconjunto.
En este tratado. Si \(S\subseteq A\), un elemento \(u\in A\) es el supremo de \(S\) si es cota superior de \(S\) y toda cota superior \(v\) satisface
\[ u\leq v. \]
La definición no garantiza existencia. Sólo cuando ésta haya sido demostrada escribiremos \(\sup S\).
En el Tratado: Definición 0.7.7 — Supremo e ínfimo y Corolario 0.7.9 — Notación legítima.
Véase también: Cota superior, Máximo, Ínfimo.
Axioma de infinito
Idea. El principio de ZF que garantiza que existe un conjunto suficientemente grande para iniciar una construcción infinita cerrada bajo sucesores.
En este tratado. El axioma de infinito pertenece al fundamento admitido de ZF. Una vez definidos \(0:=\varnothing\) y \(S(x):=x\cup\{x\}\), garantiza la existencia de al menos un conjunto \(I\) tal que
\[ 0\in I \qquad\text{y}\qquad x\in I\Rightarrow S(x)\in I. \]
En el Tratado: inventario axiomático del Capítulo 0 y Proposición 1.1.4 — Existencia de un conjunto inductivo.
Véase también: Conjunto inductivo, Sucesor, \(\omega\).
Cero
Idea. El primer número natural, representado conjuntistamente por el conjunto vacío.
En este tratado. Se define
\[ 0:=\varnothing. \]
La identificación no presupone aritmética: es la primera convención numérica después de haber construido previamente el conjunto vacío.
En el Tratado: Notación 1.1.1 — Cero.
Véase también: Conjunto vacío, Sucesor, Números naturales.
Conjunto inductivo
Idea. Un conjunto que contiene el punto inicial \(0\) y permanece cerrado al pasar de un elemento a su sucesor.
En este tratado. Un conjunto \(I\) es inductivo si
\[ 0\in I \]
y, para todo \(x\),
\[ x\in I\Rightarrow S(x)\in I. \]
En el Tratado: Definición 1.1.3 — Conjunto inductivo.
Véase también: Axioma de infinito, Núcleo inductivo, Principio de inducción.
Núcleo inductivo
Idea. La parte mínima de un conjunto inductivo que está forzada por contener \(0\) y ser cerrada bajo sucesor.
En este tratado. Si \(I\) es inductivo,
\[ \omega_I:=\{x\in I:\forall J\,[(J\subseteq I\text{ y }J\text{ inductivo})\Rightarrow x\in J]\}. \]
Se demuestra que \(\omega_I\) es inductivo, está contenido en todo conjunto inductivo y no depende del conjunto inductivo ambiente elegido.
En el Tratado: Definición 1.1.5 — Núcleo inductivo, Teorema 1.1.7 — Minimalidad y Teorema 1.1.8 — Independencia.
Véase también: Conjunto inductivo, \(\omega\), Números naturales.
Números naturales
Idea. El sistema numérico generado canónicamente desde \(0\) mediante sucesores.
En este tratado. Los naturales no se presuponen ni se postulan mediante axiomas de Peano. Se construyen en ZF definiendo
\[ \mathbb N:=\omega, \]
donde \(\omega\) es el núcleo inductivo canónico contenido en todo conjunto inductivo.
En el Tratado: Notación 1.1.9 — \(\omega\) y \(\mathbb N\).
Véase también: \(\omega\), Cero, Sucesor, Principio de inducción.
\(\omega\)
Idea. El menor conjunto inductivo: contiene exactamente lo que cualquier construcción inductiva está obligada a contener.
En este tratado. Para cada conjunto inductivo \(I\) se construye \(\omega_I\) y se demuestra que todos esos núcleos coinciden. El conjunto común se denota por \(\omega\) y se adopta
\[ \mathbb N:=\omega. \]
En el Tratado: Teorema 1.1.8 — Independencia del conjunto inductivo inicial y Notación 1.1.9 — \(\omega\) y \(\mathbb N\).
Véase también: Núcleo inductivo, Números naturales, Principio de inducción.
Principio de inducción
Idea. Para probar una propiedad de todos los naturales basta verificarla en \(0\) y demostrar que pasa de cada natural a su sucesor.
En este tratado. Si \(A\subseteq\mathbb N\), \(0\in A\) y
\[ n\in A\Rightarrow S(n)\in A, \]
entonces \(A=\mathbb N\). La forma usual para propiedades se obtiene aplicando este resultado al conjunto \(\{n\in\mathbb N:P(n)\}\).
En el Tratado: Teorema 1.1.10 — Principio de inducción.
Véase también: Conjunto inductivo, \(\omega\), Números naturales.
Sucesor
Idea. La operación que produce el siguiente estadio de la construcción de von Neumann.
En este tratado. Para todo conjunto \(x\),
\[ S(x):=x\cup\{x\}. \]
En particular, \(x\in S(x)\). Esta operación permite formular la noción de conjunto inductivo y, posteriormente, la estructura aritmética de \(\mathbb N\).
En el Tratado: Definición 1.1.2 — Sucesor.
Véase también: Cero, Conjunto inductivo, Números naturales.
Conjunto transitivo
Idea. Un conjunto que contiene, junto con cada uno de sus elementos, todos los elementos de ese elemento.
En este tratado. Un conjunto \(T\) es transitivo si
\[ x\in T\Rightarrow x\subseteq T. \]
Para los naturales de von Neumann, esta propiedad permite interpretar cada natural como el conjunto de sus predecesores.
En el Tratado: Definición 1.2.1 — Conjunto transitivo y Proposición 1.2.2 — Transitividad e irreflexividad.
Véase también: Números naturales, Sucesor, Predecesor.
Predecesor
Idea. El natural inmediatamente anterior a un natural no nulo.
En este tratado. Se demuestra que para todo \(n\in\mathbb N\),
\[ n=0 \quad\text{o}\quad \exists!m\in\mathbb N\;(n=S(m)). \]
Por tanto, todo natural distinto de cero posee un predecesor natural único.
En el Tratado: Teorema 1.2.7 — Predecesor de todo natural no nulo.
Véase también: Sucesor, Cero, Números naturales.
Propiedades de Peano
Idea. Las propiedades estructurales que caracterizan el comportamiento básico de cero, sucesor e inducción en los naturales.
En este tratado. No se adoptan como axiomas adicionales. Se demuestra que \((\mathbb N,0,S)\) satisface:
- \(0\in\mathbb N\);
- \(n\in\mathbb N\Rightarrow S(n)\in\mathbb N\);
- \(S(n)\neq0\);
- \(S(m)=S(n)\Rightarrow m=n\);
- el principio de inducción.
En el Tratado: Teorema 1.2.6 — Propiedades de Peano.
Véase también: Cero, Sucesor, Principio de inducción.
Uno
Idea. El primer sucesor del cero.
En este tratado. La unidad natural se define por
\[ \boxed{1:=S(0).} \]
No se presupone como símbolo numérico previo: aparece después de haber construido \(\mathbb N\) y demostrado su clausura por sucesor.
En el Tratado: Notación 1.2.8 — Unidad natural.
Véase también: Cero, Sucesor, Números naturales.
Aproximación finita de una recursión
Idea. Una solución parcial de una definición recursiva, válida sólo sobre un segmento inicial finito de los naturales.
En este tratado. Dados un conjunto \(X\), un punto inicial \(x_0\in X\), una función \(g:X\to X\) y \(n\in\mathbb N\), una \(n\)-aproximación es una función
\[ h:S(n)\to X \]
que satisface
\[ h(0)=x_0 \]
y, siempre que \(S(k)\in S(n)\),
\[ h(S(k))=g(h(k)). \]
Estas aproximaciones constituyen las piezas finitas con las que se construye después la función recursiva global.
En el Tratado: Definición 1.3.3 — Aproximación finita de una recursión, Lema 1.3.4 — Extensión y Lema 1.3.6 — Coherencia.
Véase también: Recursión, Restricción de una función, Principio de inducción.
Recursión
Idea. Un principio para definir una función sobre todos los naturales a partir de un valor inicial y una regla que determina el siguiente valor desde el anterior.
En este tratado. Si \(X\) es un conjunto, \(x_0\in X\) y \(g:X\to X\), existe una única función
\[ f:\mathbb N\to X \]
con
\[ f(0)=x_0, \qquad f(S(n))=g(f(n)). \]
La existencia se demuestra construyendo aproximaciones finitas compatibles y ensamblando sus valores en un único grafo; no se utiliza el axioma de elección.
En el Tratado: Teorema 1.3.7 — Teorema de recursión sobre \(\mathbb N\).
Véase también: Aproximación finita de una recursión, Recursión con parámetros, Principio de inducción.
Recursión con parámetros
Idea. Una versión uniforme de la recursión en la que los valores iniciales y la regla de paso pueden depender de un parámetro adicional.
En este tratado. Dados conjuntos \(P,X\), una función \(b:P\to X\) y una función \(r:P\times X\to X\), existe una única función
\[ F:P\times\mathbb N\to X \]
tal que
\[ F(p,0)=b(p), \qquad F(p,S(n))=r(p,F(p,n)). \]
Esta forma será la herramienta inmediata para definir operaciones binarias como la suma natural recursando en uno de sus argumentos.
En el Tratado: Corolario 1.3.8 — Recursión con parámetros.
Véase también: Recursión, Función, Números naturales.
Restricción de una función
Idea. La misma función observada únicamente sobre una parte de su dominio.
En este tratado. Si \(f:A\to B\) y \(C\subseteq A\), la restricción de \(f\) a \(C\) es la función
\[ f\upharpoonright C:C\to B \]
cuyo grafo es
\[ G_f\cap(C\times B). \]
La restricción permite comparar aproximaciones recursivas de distintas longitudes sobre la parte de sus dominios que comparten.
En el Tratado: Definición 1.3.1 — Restricción de una función y Proposición 1.3.2 — Existencia y unicidad.
Véase también: Función, Aproximación finita de una recursión, Recursión.
Adición natural
Idea. La operación que, fijado un natural \(m\), parte de \(m\) y aplica el sucesor tantas veces como indique un segundo natural.
En este tratado. La suma se define por recursión con parámetros como la única función
\[ +:\mathbb N\times\mathbb N\to\mathbb N \]
que satisface
\[ m+0=m, \qquad m+S(n)=S(m+n). \]
La definición recursa en el segundo argumento; la conmutatividad no forma parte de la definición y se demuestra después.
En el Tratado: Definición 1.4.1 — Adición.
Véase también: Recursión con parámetros, Sucesor, Números naturales.
Asociatividad de la suma
Idea. Al sumar tres naturales, la forma de agrupar los sumandos no altera el resultado.
En este tratado. Para \(a,b,c\in\mathbb N\),
\[ (a+b)+c=a+(b+c). \]
Esta propiedad es un teorema obtenido por inducción a partir de la definición recursiva de la suma.
En el Tratado: Teorema 1.4.4 — Asociatividad de la suma.
Véase también: Adición natural, Conmutatividad de la suma, Principio de inducción.
Cancelación aditiva
Idea. Un mismo sumando puede cancelarse de ambos lados de una igualdad.
En este tratado. Para \(a,b,c\in\mathbb N\),
\[ a+c=b+c\Rightarrow a=b. \]
La demostración reduce por inducción el caso sucesor a la inyectividad de \(S\).
En el Tratado: Proposición 1.4.6 — Cancelación aditiva.
Véase también: Adición natural, Sucesor, Inyectividad.
Conmutatividad de la suma
Idea. El orden de los dos sumandos no modifica la suma.
En este tratado. Para \(a,b\in\mathbb N\),
\[ a+b=b+a. \]
La conmutatividad no se incorpora a la definición de \(+\): se demuestra después por inducción.
En el Tratado: Teorema 1.4.5 — Conmutatividad de la suma.
Véase también: Adición natural, Asociatividad de la suma, Principio de inducción.
Suma nula
Idea. Dos naturales sólo pueden sumar cero cuando ambos son cero.
En este tratado. Para \(a,b\in\mathbb N\),
\[ a+b=0\iff a=0\text{ y }b=0. \]
En el Tratado: Proposición 1.4.7 — Suma nula.
Véase también: Adición natural, Cero, Predecesor.
Asociatividad del producto
Idea. Al multiplicar tres naturales, la forma de agrupar los factores no modifica el resultado.
En este tratado. Para \(a,b,c\in\mathbb N\),
\[ (ab)c=a(bc). \]
La propiedad se demuestra por inducción a partir de la definición recursiva del producto y de la distributividad.
En el Tratado: Teorema 1.5.6 — Asociatividad del producto.
Véase también: Multiplicación natural, Distributividad, Principio de inducción.
Conmutatividad del producto
Idea. El orden de los factores no altera el producto.
En este tratado. Para \(a,b\in\mathbb N\),
\[ ab=ba. \]
Como en la suma, la conmutatividad no forma parte de la definición recursiva: se obtiene después como teorema.
En el Tratado: Teorema 1.5.7 — Conmutatividad del producto.
Véase también: Multiplicación natural, Asociatividad del producto, Principio de inducción.
Distributividad
Idea. Multiplicar una suma equivale a distribuir el factor sobre cada uno de sus sumandos.
En este tratado. Para \(a,b,c\in\mathbb N\),
\[ a(b+c)=ab+ac, \qquad (a+b)c=ac+bc. \]
Primero se demuestra la distributividad en el segundo factor mediante inducción; la otra forma se obtiene después usando la conmutatividad del producto.
En el Tratado: Teorema 1.5.5 — Distributividad en el segundo factor y Corolario 1.5.8 — Distributividad en ambos lados.
Véase también: Multiplicación natural, Adición natural, Conmutatividad del producto.
Multiplicación natural
Idea. La operación que, fijado un natural \(m\), acumula una copia adicional de \(m\) cada vez que avanzamos un paso en el segundo argumento.
En este tratado. El producto se define por recursión con parámetros como la única función
\[ \cdot:\mathbb N\times\mathbb N\to\mathbb N \]
que satisface
\[ m\cdot0=0, \qquad m\cdot S(n)=m\cdot n+m. \]
La recursión se realiza en el segundo argumento; las leyes de unidad, distributividad, asociatividad y conmutatividad se demuestran posteriormente.
En el Tratado: Definición 1.5.1 — Multiplicación.
Véase también: Adición natural, Recursión con parámetros, Números naturales.
Producto nulo
Idea. Un producto de naturales es cero exactamente cuando alguno de sus factores es cero.
En este tratado. Para \(a,b\in\mathbb N\),
\[ ab=0\iff a=0\text{ o }b=0. \]
En el Tratado: Proposición 1.5.9 — Producto nulo.
Véase también: Multiplicación natural, Suma nula, Cero.
Unidad multiplicativa
Idea. El natural \(1\) no altera ningún natural al multiplicarlo, por cualquiera de los dos lados.
En este tratado. Para todo \(m\in\mathbb N\),
\[ m\cdot1=m, \qquad 1\cdot m=m. \]
En el Tratado: Proposición 1.5.4 — Leyes de la unidad.
Véase también: Multiplicación natural, Uno.
Alcanzabilidad aditiva
Idea. Comparar dos naturales preguntando si el segundo puede alcanzarse desde el primero mediante la suma de algún natural.
En este tratado. Para \(m,n\in\mathbb N\),
\[ m\leq n\iff\exists k\in\mathbb N\;(n=m+k). \]
Esta caracterización permite construir el orden sin presuponer previamente una relación de comparación sobre \(\mathbb N\).
En el Tratado: Definición 1.6.1 — Orden aritmético.
Véase también: Orden natural, Adición natural, Orden total.
Buen orden
Idea. Un orden en el que todo subconjunto no vacío posee un elemento mínimo.
En este tratado. El orden natural de \(\mathbb N\) satisface el principio
\[ A\subseteq\mathbb N,\ A\neq\varnothing \quad\Longrightarrow\quad A\text{ tiene mínimo}. \]
Este resultado permite, entre otras consecuencias, obtener la inducción fuerte mediante un argumento por mínimo contraejemplo.
En el Tratado: Teorema 1.6.12 — Principio de buen orden.
Véase también: Mínimo, Orden natural, Inducción fuerte.
Inducción fuerte
Idea. Para demostrar una propiedad en \(n\), se permite suponerla para todos los naturales estrictamente menores que \(n\).
En este tratado. Si para todo \(n\in\mathbb N\)
\[ [\forall m<n,\ P(m)]\Rightarrow P(n), \]
entonces \(P(n)\) vale para todo \(n\in\mathbb N\).
La demostración utiliza el principio de buen orden: si hubiera contraejemplos, el menor de ellos contradice la hipótesis inductiva fuerte.
En el Tratado: Corolario 1.6.13 — Inducción fuerte.
Véase también: Principio de inducción, Buen orden, Orden estricto.
Orden natural
Idea. El orden de los números naturales construido a partir de la propia aritmética de \(\mathbb N\).
En este tratado. Se define por alcanzabilidad aditiva:
\[ m\leq n\iff\exists k\in\mathbb N\;(n=m+k). \]
Después se demuestra que esta relación es un orden total y que, en la representación de von Neumann,
\[ m\leq n\iff m\subseteq n, \qquad m<n\iff m\in n. \]
Así, el orden aritmético y la estructura conjuntista de los naturales coinciden.
En el Tratado: Definición 1.6.1 — Orden aritmético, Teorema 1.6.5 — Orden total, Proposición 1.6.8 — El orden coincide con la inclusión y Teorema 1.6.11 — Orden estricto y pertenencia.
Véase también: Alcanzabilidad aditiva, Orden total, Orden estricto, Subconjunto.
Diferencia formal
Idea. Un par de números naturales usado para representar de manera provisional una diferencia antes de que la resta haya sido construida como operación.
En este tratado. Una diferencia formal es simplemente un elemento
\[ (a,b)\in\mathbb N\times\mathbb N. \]
La lectura heurística «\(a-b\)» sirve sólo como orientación. En las definiciones y demostraciones de esta etapa no se presupone que la resta exista en \(\mathbb N\).
En el Tratado: §2.1 — Diferencias formales.
Véase también: Producto cartesiano, Relación de equivalencia entera, Nivel objeto.
Relación de equivalencia entera
Idea. La relación que identifica dos diferencias formales cuando expresan el mismo valor entero potencial sin utilizar todavía la resta.
En este tratado. Sobre \(\mathbb N\times\mathbb N\) definimos
\[ (a,b)\sim_{\mathbb Z}(c,d) \iff a+d=b+c. \]
Se demuestra que \(\sim_{\mathbb Z}\) es reflexiva, simétrica y transitiva antes de formar el conjunto cociente que definirá \(\mathbb Z\).
En el Tratado: Definición 2.1.1 — Relación de equivalencia entera y Proposición 2.1.2 — \(\sim_{\mathbb Z}\) es una relación de equivalencia.
Véase también: Diferencia formal, Relación de equivalencia, Conjunto cociente.
Clase entera
Idea. El entero representado por una diferencia formal, considerado no como un par aislado sino como toda su clase de representantes equivalentes.
En este tratado. Para \((a,b)\in\mathbb N\times\mathbb N\), la clase entera de \((a,b)\) es
\[ [(a,b)]_{\mathbb Z}, \]
su clase de equivalencia módulo \(\sim_{\mathbb Z}\). Cuando no haya riesgo de confusión escribimos simplemente \([(a,b)]\).
Dos clases enteras son iguales exactamente cuando
\[ [(a,b)]=[(c,d)] \iff a+d=b+c. \]
En el Tratado: Notación 2.2.3 — Clases enteras y Proposición 2.2.4 — Criterio de igualdad de clases enteras.
Véase también: Clase de equivalencia, Diferencia formal, Relación de equivalencia entera, Número entero.
Número entero
Idea. Un elemento del nuevo sistema numérico obtenido al identificar diferencias formales que representan el mismo valor.
En este tratado. Definimos
\[ \mathbb Z=(\mathbb N\times\mathbb N)/{\sim_{\mathbb Z}}, \]
y un número entero es, por definición, un elemento de \(\mathbb Z\). Por tanto, cada entero es una clase de equivalencia de diferencias formales, no un par particular.
En el Tratado: Definición 2.2.2 — Conjunto de los números enteros.
Véase también: Clase entera, Conjunto cociente, Diferencia formal, Relación de equivalencia entera.
Principio de definición binaria sobre clases
Idea. Una regla de dos variables definida sobre representantes puede descender a pares de clases si su valor no cambia al sustituir cualquiera de los representantes por otro equivalente.
En este tratado. Si \(\sim\) es una relación de equivalencia sobre \(A\) y
\[ \psi:A\times A\to B \]
satisface
\[ a\sim a',\quad b\sim b' \Longrightarrow \psi(a,b)=\psi(a',b'), \]
entonces existe una única función
\[ \overline{\psi}:(A/{\sim})\times(A/{\sim})\to B \]
con
\[ \overline{\psi}([a],[b])=\psi(a,b). \]
En el Tratado: Teorema 2.3.1 — Principio de definición binaria sobre clases.
Véase también: Principio de definición sobre clases, Clase de equivalencia, Representante.
Suma entera
Idea. La operación aditiva de \(\mathbb Z\), obtenida haciendo descender a clases la suma componente a componente de diferencias formales.
En este tratado. Para clases enteras definimos
\[ [(a,b)]+_{\mathbb Z}[(c,d)] = [(a+c,b+d)]. \]
La fórmula representa una operación genuina sobre \(\mathbb Z\) porque se demuestra previamente que el resultado no depende de los representantes elegidos.
En el Tratado: Definición 2.3.4 — Suma en \(\mathbb Z\), apoyada en Proposición 2.3.3 — Compatibilidad de la suma con \(\sim_{\mathbb Z}\).
Véase también: Clase entera, Diferencia formal, Relación de equivalencia entera.
Cero entero
Idea. El elemento neutro para la suma en el sistema de los números enteros construido como cociente.
En este tratado. Definimos
\[ 0_{\mathbb Z}:=[(0,0)]. \]
Este objeto pertenece a \(\mathbb Z\) y todavía no se identifica literalmente con el natural \(0\).
En el Tratado: Notación 2.4.1 — Cero entero.
Véase también: Número entero, Suma entera, Clase entera.
Opuesto entero
Idea. El entero que, sumado a otro entero, produce el cero entero.
En este tratado. La operación de opuesto se obtiene haciendo descender a clases el intercambio de componentes de una diferencia formal:
\[ \boxed{-[(a,b)]=[(b,a)].} \]
La fórmula es legítima porque el intercambio respeta la relación de equivalencia entera.
En el Tratado: Definición 2.4.2 — Opuesto y Proposición 2.4.3 — Buena definición del opuesto.
Véase también: Cero entero, Suma entera, Principio de definición sobre clases.
Grupo abeliano
Idea. Una estructura con una operación asociativa y conmutativa, elemento neutro y opuesto para cada elemento.
En este tratado. Con la suma ya construida, el cero \(0_{\mathbb Z}\) y la operación de opuesto, se demuestra que para todo \(x,y,z\in\mathbb Z\) se cumplen asociatividad, conmutatividad, existencia de neutro y existencia de inverso aditivo. Por ello \((\mathbb Z,+)\) es un grupo abeliano.
En el Tratado: Proposición 2.4.4 — Leyes del grupo aditivo.
Véase también: Suma entera, Cero entero, Opuesto entero.
Sustracción entera
Idea. Restar un entero equivale a sumar su opuesto.
En este tratado. Una vez construida la operación de opuesto, definimos para \(x,y\in\mathbb Z\)
\[ \boxed{x-y:=x+(-y).} \]
Desde este punto la sustracción es una operación total sobre \(\mathbb Z\), y toda ecuación \(x+y=z\) posee la solución única \(y=z-x\).
En el Tratado: Definición 2.4.5 — Sustracción en \(\mathbb Z\) y Proposición 2.4.6 — Resolución universal de ecuaciones aditivas.
Véase también: Opuesto entero, Grupo abeliano, Suma entera.
Multiplicación entera
Idea. La operación multiplicativa de \(\mathbb Z\), construida a partir del producto de diferencias formales y descendida al cociente.
En este tratado. Para clases enteras definimos
\[ \boxed{ [(a,b)]\cdot_{\mathbb Z}[(c,d)] = [(ac+bd,\;ad+bc)]. } \]
La fórmula constituye una operación genuina sobre \(\mathbb Z\) porque previamente se demuestra que el resultado no cambia al sustituir cualquiera de los representantes por otro equivalente.
En el Tratado: Definición 2.5.3 — Multiplicación en \(\mathbb Z\), apoyada en Proposición 2.5.2 — Compatibilidad del producto con \(\sim_{\mathbb Z}\).
Véase también: Principio de definición binaria sobre clases, Número entero, Suma entera.
Unidad entera
Idea. El entero destinado a actuar como elemento neutro de la multiplicación en \(\mathbb Z\).
En este tratado. Definimos
\[ \boxed{1_{\mathbb Z}:=[(1,0)].} \]
En este punto \(1_{\mathbb Z}\) sigue siendo un objeto construido en \(\mathbb Z\) y no se identifica literalmente con el natural \(1\).
En el Tratado: Notación 2.5.4 — Unidad entera.
Véase también: Multiplicación entera, Número entero, Unidad multiplicativa.
Anillo
Idea. Una estructura con suma y multiplicación en la que la suma forma un grupo abeliano, la multiplicación es asociativa y distribuye sobre la suma, y existe una unidad multiplicativa.
En este tratado. Un anillo \(R\) viene provisto de \(+\), \(\cdot\), \(0_R\) y \(1_R\); \((R,+,0_R)\) es un grupo abeliano, la multiplicación es asociativa, \(1_R\) es unidad y se cumplen ambas leyes distributivas. Por convención, todos los anillos del tratado tienen unidad. La palabra «anillo» no implica por sí sola conmutatividad de la multiplicación.
En el Tratado: Convención 2.6.2 — Terminología algebraica.
Véase también: Grupo abeliano, Anillo conmutativo, Unidad entera.
Anillo conmutativo
Idea. Un anillo en el que el orden de los factores no altera el producto.
En este tratado. Un anillo conmutativo es un anillo cuya multiplicación satisface
\[ xy=yx \]
para todos sus elementos. En §2.6 se demuestra que
\[ (\mathbb Z,+,\cdot,0_{\mathbb Z},1_{\mathbb Z}) \]
posee esta estructura.
En el Tratado: Convención 2.6.2 — Terminología algebraica y Teorema 2.6.3 — Primera estructura de anillo de \(\mathbb Z\).
Véase también: Anillo, Multiplicación entera, Dominio de integridad.
Dominio de integridad
Idea. Un anillo conmutativo no trivial en el que un producto sólo puede ser cero si alguno de sus factores es cero.
En este tratado. Un dominio de integridad es un anillo conmutativo \(R\) tal que
\[ 0_R\neq1_R \]
y
\[ xy=0_R\Longrightarrow x=0_R\ \text{o}\ y=0_R. \]
La noción queda fijada en §2.6. En §2.8 se demuestra que \(\mathbb Z\) satisface estas condiciones: \(0_{\mathbb Z}\neq1_{\mathbb Z}\) y el producto de dos enteros sólo puede ser cero si alguno de sus factores es cero. Por tanto, \(\mathbb Z\) es un dominio de integridad.
En el Tratado: Convención 2.6.2 — Terminología algebraica y Teorema 2.8.4 — \(\mathbb Z\) es un dominio de integridad.
Véase también: Anillo, Anillo conmutativo, Producto nulo, Forma normal con signo.
Incrustación canónica
Idea. Una aplicación inyectiva que permite reconocer una estructura ya construida dentro de otra más amplia sin identificar inicialmente sus elementos como objetos literalmente iguales.
En este tratado. La incrustación canónica de los naturales en los enteros es
\[ \boxed{ \iota_{\mathbb N}^{\mathbb Z}:\mathbb N\to\mathbb Z, \qquad \iota_{\mathbb N}^{\mathbb Z}(n)=[(n,0)]. } \]
La aplicación es inyectiva y preserva los elementos \(0\) y \(1\), además de la suma y el producto:
\[ \iota(0)=0_{\mathbb Z}, \qquad \iota(1)=1_{\mathbb Z}, \]
\[ \iota(m+n)=\iota(m)+\iota(n), \qquad \iota(mn)=\iota(m)\iota(n). \]
Una vez construido el orden entero, también preserva y refleja el orden:
\[ m\leq n \iff \iota(m)\leq_{\mathbb Z}\iota(n). \]
Esto expresa que la aritmética natural se reproduce fielmente dentro de \(\mathbb Z\). En este punto no se identifica literalmente \(\mathbb N\) con un subconjunto de \(\mathbb Z\); la relación entre ambos sistemas queda mediada por \(\iota\).
En el Tratado: Definición 2.7.1 — Incrustación natural en los enteros, Proposición 2.7.2 — La incrustación es inyectiva y preserva la aritmética y Proposición 2.9.5 — La incrustación preserva y refleja el orden.
Véase también: Inyectividad, Número entero, Números naturales, Orden entero.
Forma normal con signo
Idea. Todo entero puede describirse de manera única como cero, como la imagen de un natural no nulo o como el opuesto de la imagen de un natural no nulo.
En este tratado. Para todo \(z\in\mathbb Z\), exactamente una de las siguientes alternativas ocurre:
\[ z=0_{\mathbb Z}, \]
\[ z=\iota(n) \quad\text{para un único }n\in\mathbb N,\ n\neq0, \]
o
\[ z=-\iota(n) \quad\text{para un único }n\in\mathbb N,\ n\neq0. \]
Esta forma normal separa rigurosamente el caso nulo y las dos formas no nulas \(\iota(n)\) y \(-\iota(n)\). Una vez construido el orden entero en §2.9, estas formas corresponden respectivamente a los enteros positivos y negativos. La forma normal es además la herramienta utilizada para demostrar que \(\mathbb Z\) no tiene divisores de cero.
En el Tratado: Teorema 2.8.1 — Forma normal con signo.
Véase también: Incrustación canónica, Opuesto entero, Dominio de integridad, Orden entero.
Orden entero
Idea. El orden de los enteros se construye a partir de la estructura aditiva ya disponible: \(x\) precede a \(y\) cuando \(y\) se obtiene sumando a \(x\) la imagen de algún natural.
En este tratado. Para \(x,y\in\mathbb Z\),
\[ \boxed{ x\leq_{\mathbb Z} y \iff \exists n\in\mathbb N\;\bigl(y=x+\iota(n)\bigr). } \]
Sobre representantes, esta definición equivale a
\[ [(a,b)]\leq_{\mathbb Z}[(c,d)] \iff a+d\leq c+b. \]
La relación \(\leq_{\mathbb Z}\) es un orden total, es compatible con la suma y con la multiplicación por enteros no negativos, y la incrustación canónica satisface
\[ m\leq n \iff \iota(m)\leq_{\mathbb Z}\iota(n). \]
En el Tratado: Definición 2.9.1 — Relación de orden entera, Teorema 2.9.3 — El orden entero es total y Proposición 2.9.5 — La incrustación preserva y refleja el orden.
Véase también: Orden natural, Orden total, Orden estricto, Incrustación canónica.
Tricotomía
Idea. En un orden total estricto, dos elementos sólo pueden estar en una de tres posiciones mutuamente excluyentes: el primero precede al segundo, son iguales, o el segundo precede al primero.
En este tratado. Para cualesquiera \(x,y\in\mathbb Z\), exactamente una de las siguientes alternativas es verdadera:
\[ x<_{\mathbb Z}y, \qquad x=y, \qquad y<_{\mathbb Z}x. \]
Es una consecuencia inmediata de que \(\leq_{\mathbb Z}\) es un orden total y de la definición del orden estricto asociado.
En el Tratado: Corolario 2.9.6 — Tricotomía en \(\mathbb Z\).
Véase también: Orden entero, Orden total, Orden estricto, Totalidad (conexidad).
Cancelación multiplicativa
Idea. En un sistema sin divisores de cero, un factor no nulo puede cancelarse de ambos lados de una igualdad multiplicativa.
En este tratado. Para \(r,x,y\in\mathbb Z\),
\[ r\neq0_{\mathbb Z} \quad\text{y}\quad rx=ry \quad\Longrightarrow\quad x=y. \]
En el Tratado: Lema 3.1.1 — Cancelación multiplicativa en \(\mathbb Z\).
Véase también: Dominio de integridad, Producto nulo.
Conjunto de representantes racionales
Idea. Antes de formar \(\mathbb Q\), trabajamos con pares de enteros cuyo segundo componente no es cero; esos pares son los datos concretos que la relación racional de equivalencia identifica cuando expresan el mismo cociente.
En este tratado. Definimos
\[ D_{\mathbb Q} := \mathbb Z\times\mathbb Z_{\neq0}. \]
En el Tratado: Definición 3.1.6 — Conjunto de representantes racionales.
Véase también: Enteros no nulos, Representante fraccionario, Relación de equivalencia racional, Producto cartesiano.
Enteros no nulos
Idea. Son los enteros distintos del cero; aparecen como posibles segundos componentes de los representantes racionales.
En este tratado. Escribimos
\[ \mathbb Z_{\neq0} := \{b\in\mathbb Z:b\neq0_{\mathbb Z}\}. \]
En el Tratado: Notación 3.1.5 — Enteros no nulos.
Véase también: Número entero, Conjunto de representantes racionales.
Representante fraccionario
Idea. Es un par de enteros \((a,b)\) con \(b\neq0\) que representa una clase racional; no debe confundirse con el número racional mismo.
En este tratado. Un elemento
\[ (a,b)\in D_{\mathbb Q} \]
se llama representante fraccionario. Dos representantes fraccionarios determinan el mismo racional exactamente cuando son equivalentes respecto de \(\sim_{\mathbb Q}\).
En el Tratado: Definición 3.1.6 — Conjunto de representantes racionales y Definición 3.2.1 — Relación de equivalencia racional.
Véase también: Representante, Conjunto de representantes racionales, Enteros no nulos, Relación de equivalencia racional, Clase racional.
Clase racional
Idea. Un racional no es uno de sus pares representantes, sino la clase completa de representantes fraccionarios que expresan el mismo cociente.
En este tratado. Para \((a,b)\in D_{\mathbb Q}\), escribimos
\[ [(a,b)]_{\mathbb Q} \]
para la clase de equivalencia de \((a,b)\) respecto de \(\sim_{\mathbb Q}\). Esa clase es un elemento de \(\mathbb Q\).
En el Tratado: Notación 3.2.5 — Clases racionales y notación fraccionaria.
Véase también: Clase de equivalencia, Representante fraccionario, Número racional, Notación fraccionaria.
Notación fraccionaria
Idea. La expresión \(a/b\) se introduce sólo después de construir el cociente racional; no designa el par \((a,b)\), sino su clase de equivalencia.
En este tratado. Para \((a,b)\in D_{\mathbb Q}\),
\[ \boxed{ \frac ab := [(a,b)]_{\mathbb Q}. } \]
La expresión está definida únicamente cuando \(b\neq0_{\mathbb Z}\). Además,
\[ \frac ab=\frac cd \iff ad=bc. \]
En el Tratado: Notación 3.2.5 — Clases racionales y notación fraccionaria y Proposición 3.2.6 — Criterio de igualdad de racionales.
Véase también: Clase racional, Representante fraccionario, Número racional.
Número racional
Idea. Un número racional es el objeto obtenido al identificar todos los pares de enteros con denominador no nulo que satisfacen la misma proporción cruzada.
En este tratado. Definimos
\[ \mathbb Q := D_{\mathbb Q}/{\sim_{\mathbb Q}}, \]
donde
\[ (a,b)\sim_{\mathbb Q}(c,d) \iff ad=bc. \]
Un número racional es un elemento de \(\mathbb Q\).
En el Tratado: Definición 3.2.4 — Conjunto de los números racionales.
Véase también: Conjunto cociente, Relación de equivalencia racional, Clase racional.
Relación de equivalencia racional
Idea. Dos representantes fraccionarios expresan el mismo racional cuando sus productos cruzados coinciden.
En este tratado. Sobre
\[ D_{\mathbb Q}=\mathbb Z\times\mathbb Z_{\neq0} \]
definimos
\[ \boxed{ (a,b)\sim_{\mathbb Q}(c,d) \iff ad=bc. } \]
Esta relación es reflexiva, simétrica y transitiva, y por tanto permite formar el cociente \(\mathbb Q\).
En el Tratado: Definición 3.2.1 — Relación de equivalencia racional y Proposición 3.2.2.
Véase también: Relación de equivalencia, Conjunto de representantes racionales, Número racional.
Cero racional
Idea. Es el elemento neutro de la suma racional.
En este tratado. Definimos
\[ \boxed{ 0_{\mathbb Q}:=\frac{0_{\mathbb Z}}{1_{\mathbb Z}}. } \]
Después se demuestra que, para todo \(x\in\mathbb Q\),
\[ x+0_{\mathbb Q}=x=0_{\mathbb Q}+x. \]
En el Tratado: Notación 3.3.4 — Cero racional y Proposición 3.3.8 — Leyes del grupo aditivo racional.
Véase también: Número racional, Suma racional, Opuesto racional.
Opuesto racional
Idea. Es el inverso aditivo de un número racional: el racional que, sumado con él, produce \(0_{\mathbb Q}\).
En este tratado. La operación se construye primero sobre representantes mediante
\[ (a,b)\longmapsto(-a,b), \]
y, después de demostrar compatibilidad con \(\sim_{\mathbb Q}\), desciende al cociente como
\[ \boxed{ -\frac ab=\frac{-a}{b}. } \]
En el Tratado: Definición 3.3.7 — Opuesto en \(\mathbb Q\).
Véase también: Cero racional, Suma racional, Sustracción racional.
Suma racional
Idea. La suma de racionales se obtiene haciendo descender al cociente una operación compatible definida primero sobre representantes fraccionarios.
En este tratado. Para representantes \((a,b),(c,d)\in D_{\mathbb Q}\) se define primero
\[ (ad+bc,bd). \]
La compatibilidad con \(\sim_{\mathbb Q}\) permite definir en \(\mathbb Q\)
\[ \boxed{ \frac ab+\frac cd = \frac{ad+bc}{bd}. } \]
La operación resultante es asociativa y conmutativa, posee neutro \(0_{\mathbb Q}\) y todo racional tiene opuesto aditivo.
En el Tratado: Definición 3.3.3 — Suma en \(\mathbb Q\) y Proposición 3.3.8 — Leyes del grupo aditivo racional.
Véase también: Número racional, Cero racional, Opuesto racional, Sustracción racional, Principio de definición sobre clases.
Sustracción racional
Idea. Restar un racional consiste en sumar su opuesto aditivo.
En este tratado. Para \(x,y\in\mathbb Q\) definimos
\[ \boxed{ x-y:=x+(-y). } \]
En el Tratado: Definición 3.3.9 — Sustracción racional.
Véase también: Suma racional, Opuesto racional, Sustracción entera.
Multiplicación racional
Idea. La multiplicación de números racionales se obtiene multiplicando numeradores entre sí y denominadores entre sí, pero esa fórmula sólo es legítima después de comprobar que no depende de los representantes elegidos.
En este tratado. La operación se construye primero sobre representantes mediante
\[ \mu_{\mathbb Q}\bigl((a,b),(c,d)\bigr):=(ac,bd), \]
y la compatibilidad con \(\sim_{\mathbb Q}\) permite hacerla descender al cociente. Así,
\[ \boxed{ \frac ab\cdot\frac cd = \frac{ac}{bd}. } \]
La multiplicación resultante es asociativa y conmutativa, posee unidad \(1_{\mathbb Q}\) y distribuye respecto de la suma racional.
En el Tratado: Definición 3.4.3 — Multiplicación en \(\mathbb Q\) y Proposición 3.4.5 — Leyes multiplicativas y distributivas.
Véase también: Número racional, Suma racional, Unidad racional, Principio de definición sobre clases.
Unidad racional
Idea. Es el elemento neutro de la multiplicación racional.
En este tratado. Definimos
\[ \boxed{ 1_{\mathbb Q}:=\frac{1_{\mathbb Z}}{1_{\mathbb Z}}. } \]
Para todo \(x\in\mathbb Q\),
\[ 1_{\mathbb Q}x=x=x1_{\mathbb Q}. \]
Además,
\[ 0_{\mathbb Q}\neq1_{\mathbb Q}. \]
En el Tratado: Notación 3.4.4 — Unidad racional, Proposición 3.4.5 y Proposición 3.4.6.
Véase también: Cero racional, Multiplicación racional, Unidad multiplicativa.
Cuerpo
Idea. Es una estructura algebraica en la que pueden realizarse suma, resta, multiplicación y división por elementos no nulos sin salir del sistema.
En este tratado. Un cuerpo es un anillo conmutativo \(F\) con \(0_F\neq1_F\) tal que todo elemento no nulo posee un inverso multiplicativo. En §3.6 se demuestra que
\[ (\mathbb Q,+,\cdot,0_{\mathbb Q},1_{\mathbb Q}) \]
satisface estas condiciones.
En el Tratado: Convención 3.6.7 — Terminología de cuerpo y Teorema 3.6.8 — \(\mathbb Q\) es un cuerpo.
Véase también: Anillo conmutativo, Recíproco racional, División racional.
División racional
Idea. Dividir por un racional no nulo equivale a multiplicar por su recíproco.
En este tratado. Para \(x\in\mathbb Q\) y \(y\in\mathbb Q_{\neq0}\) se define
\[ \boxed{ \frac{x}{y}:=xy^{-1}. } \]
Esta definición se demuestra compatible con la notación fraccionaria \(a/b\) usada para las clases racionales.
En el Tratado: Definición 3.6.6 — División racional.
Véase también: Recíproco racional, Notación fraccionaria, Cuerpo.
Racionales no nulos
Idea. Son los números racionales distintos de cero, precisamente aquellos para los que puede definirse un recíproco.
En este tratado. Se define
\[ \boxed{ \mathbb Q_{\neq0} := \{q\in\mathbb Q:q\neq0_{\mathbb Q}\}. } \]
El criterio de nulidad demuestra que una fracción \(a/b\) pertenece a \(\mathbb Q_{\neq0}\) exactamente cuando \(a\neq0_{\mathbb Z}\).
En el Tratado: Definición 3.6.2 — Racionales no nulos y Proposición 3.6.1 — Criterio de nulidad de una fracción.
Véase también: Número racional, Cero racional, Recíproco racional.
Recíproco racional
Idea. El recíproco de un racional no nulo es el elemento que, al multiplicarse por él, produce la unidad racional.
En este tratado. Para \(q\in\mathbb Q_{\neq0}\) se define \(q^{-1}\) mediante la única función bien definida que satisface
\[ \boxed{ \left(\frac ab\right)^{-1} = \frac ba } \]
cuando \(a,b\neq0\). Se demuestra que
\[ qq^{-1}=1_{\mathbb Q}=q^{-1}q. \]
En el Tratado: Proposición 3.6.3 — Construcción del recíproco, Notación 3.6.4 y Proposición 3.6.5.
Véase también: Racionales no nulos, Unidad racional, División racional, Cuerpo.
Orden racional
Idea. Es el orden total construido sobre \(\mathbb Q\) a partir del orden entero, comparando fracciones mediante productos cruzados una vez que sus denominadores se han elegido positivos.
En este tratado. Para \(q,r\in\mathbb Q\) se define
\[ q\leq_{\mathbb Q}r \]
cuando existen representaciones
\[ q=\frac ab, \qquad r=\frac cd, \qquad b,d>0, \]
tales que
\[ ad\leq_{\mathbb Z}bc. \]
La independencia respecto de los representantes positivos se demuestra antes de introducir la relación. Después se prueba que \(\leq_{\mathbb Q}\) es un orden total y que
\[ \frac ab<_{\mathbb Q}\frac cd \iff ad<_{\mathbb Z}bc \]
para denominadores positivos. Además, el orden es compatible con la suma y con la multiplicación por racionales no negativos, y la incrustación \(\jmath:\mathbb Z\hookrightarrow\mathbb Q\) preserva y refleja el orden.
En el Tratado: Definición 3.7.3 — Orden racional, Teorema 3.7.5 — El orden racional es total y Proposición 3.7.7 — Compatibilidad del orden con las operaciones.
Véase también: Orden entero, Orden estricto, Orden total, Número racional, Incrustación canónica.
Densidad del orden racional
Idea. Un orden es denso cuando entre dos elementos distintos siempre puede encontrarse un tercero estrictamente intermedio.
En este tratado. Para el orden construido sobre \(\mathbb Q\), si
\[ x<_{\mathbb Q}y, \]
existe \(z\in\mathbb Q\) tal que
\[ x<_{\mathbb Q}z<_{\mathbb Q}y. \]
La demostración utiliza representantes de denominador positivo y, para
\[ x=\frac ab, \qquad y=\frac cd, \]
construye explícitamente
\[ z=\frac{a+c}{b+d}. \]
En el Tratado: Teorema 3.8.3 — Densidad del orden racional.
Véase también: Orden racional, Orden estricto, Número racional.
Propiedad arquimediana
Idea. Expresa que los numerales naturales canónicos no quedan acotados superiormente dentro del cuerpo ordenado: por grande que sea un elemento dado, algún numeral natural lo supera.
En este tratado. Sea \(F\) un cuerpo ordenado y sea
\[ \nu_F:\mathbb N\to F \]
su aplicación canónica de numerales naturales. Diremos que \(F\) es arquimediano si
\[ \forall x\in F\; \exists n\in\mathbb N \quad x<\nu_F(n). \]
En la lógica clásica del tratado esto equivale a que \(\nu_F[\mathbb N]\) no esté acotada superiormente. Además, se demuestra la caracterización equivalente
\[ \forall \varepsilon>0\; \exists n\in\mathbb N, \quad n\neq0, \qquad 0<\nu_F(n)^{-1}<\varepsilon. \]
El caso \(F=\mathbb Q\) recupera exactamente la propiedad arquimediana demostrada previamente para la incrustación canónica \(\nu_{\mathbb N}^{\mathbb Q}\).
En el Tratado: Definición 4.4.1 — Cuerpo ordenado arquimediano, Proposición 4.4.2 — Caracterización por recíprocos pequeños y Teorema 3.8.5 — \(\mathbb Q\) es arquimediano.
Véase también: Aplicación canónica de numerales naturales, Cuerpo ordenado, Orden racional.
Incompletitud de \(\mathbb Q\)
Idea. Un sistema ordenado puede ser muy rico localmente y aun así carecer de ciertos puntos frontera determinados por subconjuntos acotados.
En este tratado. La incompletitud de \(\mathbb Q\) se exhibe construyendo
\[ S_2 := \{q\in\mathbb Q:0\leq q\ \text{y}\ q^2<2\}. \]
Se demuestra que \(S_2\) es no vacío y está acotado superiormente, pero no existe \(s\in\mathbb Q\) con
\[ s=\sup S_2. \]
Por tanto, la densidad y la propiedad arquimediana de \(\mathbb Q\) no bastan para garantizar la existencia de supremos dentro del propio sistema.
En el Tratado: Teorema 3.9.9 — \(S_2\) no posee supremo racional.
Véase también: Supremo, Cota superior, Densidad del orden racional, Propiedad arquimediana.
Paridad natural
Idea. La paridad clasifica los naturales según sean múltiplos de \(2\) o difieran en \(1\) de un múltiplo de \(2\).
En este tratado. Un natural \(n\) es par si existe \(k\in\mathbb N\) tal que
\[ n=2_{\mathbb N}k, \]
y es impar si existe \(k\in\mathbb N\) tal que
\[ n=2_{\mathbb N}k+1. \]
Se demuestra por inducción que todo natural es exactamente par o impar. Esta dicotomía se utiliza después para probar que, si \(n^2\) es par, entonces \(n\) es par, pieza central de la demostración de que no existe una raíz cuadrada racional de \(2\).
En el Tratado: Definición 3.9.2 — Paridad natural y Lema 3.9.3 — Dicotomía de paridad.
Véase también: Números naturales, Principio de inducción.
Aplicación canónica de numerales naturales
Idea. En un cuerpo ordenado, los naturales pueden representarse internamente sumando repetidamente la unidad multiplicativa.
En este tratado. Para todo cuerpo ordenado \(F\) se define por recursión una única función
\[ \nu_F:\mathbb N\to F \]
con
\[ \nu_F(0)=0_F, \qquad \nu_F(S(n))=\nu_F(n)+1_F. \]
No se identifica silenciosamente \(n\in\mathbb N\) con \(\nu_F(n)\in F\): la función \(\nu_F\) es el puente explícito entre ambos sistemas. Se demuestra que preserva suma, producto y orden y que es inyectiva.
En el Tratado: Definición 4.1.5 — Aplicación de numerales naturales en un cuerpo ordenado y Proposición 4.1.6 — Aritmética y orden de los numerales naturales.
Véase también: Números naturales, Recursión, Inyectividad.
Cuerpo ordenado
Idea. Un cuerpo ordenado combina las operaciones de un cuerpo con un orden total compatible con la suma y con el producto de elementos no negativos.
En este tratado. Un cuerpo
\[ (F,+,\cdot,0_F,1_F) \]
es ordenado cuando está provisto de un orden total \(\leq_F\) tal que
\[ x\leq_F y\Longrightarrow x+z\leq_F y+z \]
y
\[ 0_F\leq_F x,\quad0_F\leq_F y \Longrightarrow 0_F\leq_F xy. \]
Las reglas usuales de signos, la positividad de \(1_F\) y la inversión del orden al tomar recíprocos positivos se demuestran a partir de estas condiciones; no se añaden como axiomas separados.
En el Tratado: Definición 4.1.1 — Cuerpo ordenado.
Véase también: Cuerpo, Orden total, Orden estricto, Cuerpo ordenado completo.
Cuerpo ordenado completo
Idea. Un cuerpo ordenado es completo, en el sentido de orden usado en esta parte del tratado, cuando los subconjuntos no vacíos que tienen cotas superiores no dejan «fronteras faltantes»: cada uno posee una menor cota superior dentro del propio cuerpo.
En este tratado. Un cuerpo ordenado \(F\) es completo si tiene la propiedad del supremo, es decir, si todo subconjunto no vacío \(A\subseteq F\) acotado superiormente posee \(\sup A\in F\).
De esta propiedad se deduce también la existencia de ínfimos para subconjuntos no vacíos acotados inferiormente. En §4.7 se demuestra además que, en el desarrollo actual, esta condición es equivalente a la propiedad de separación y al principio de intersección de intervalos cerrados. Todo cuerpo ordenado completo es arquimediano y, en consecuencia, su subcuerpo primo es denso. El cuerpo ordenado \(\mathbb Q\) no es completo.
En el Tratado: Definición 4.6.1 — Propiedad del supremo y cuerpo ordenado completo, Proposición 4.6.2 — La propiedad del supremo implica la propiedad del ínfimo, Teorema 4.6.3 — Todo cuerpo ordenado completo es arquimediano y Corolario 4.7.5 — Cuatro formulaciones de completitud disponibles en esta etapa.
Véase también: Propiedad del supremo, Propiedad de separación, Principio de intersección de intervalos cerrados, Supremo, Ínfimo, Propiedad arquimediana, Incompletitud de \(\mathbb Q\).
Propiedad del supremo
Idea. La propiedad del supremo afirma que todo conjunto no vacío que esté acotado por arriba posee dentro del sistema una frontera superior óptima: la menor de sus cotas superiores.
En este tratado. Un cuerpo ordenado \(F\) tiene la propiedad del supremo cuando todo subconjunto \(A\subseteq F\) que sea no vacío y acotado superiormente posee un supremo en \(F\).
La definición cuantifica sobre subconjuntos arbitrarios de \(F\). En la base ZF del tratado es una afirmación de existencia, no un procedimiento computacional \(A\mapsto\sup A\). En §4.7 se demuestra que esta propiedad es equivalente, en el desarrollo actual, a la propiedad de separación y al principio de intersección de intervalos cerrados.
En el Tratado: Definición 4.6.1 — Propiedad del supremo y cuerpo ordenado completo y Teorema 4.7.2 — Equivalencia entre propiedad del supremo y separación.
Véase también: Cuerpo ordenado completo, Propiedad de separación, Principio de intersección de intervalos cerrados, Supremo, Cota superior, Acotado superiormente, Incompletitud de \(\mathbb Q\).
Propiedad de separación
Idea. Dos subconjuntos ordenados uno completamente a la izquierda del otro admiten un elemento del cuerpo situado entre ambos.
En este tratado. Un cuerpo ordenado \(F\) tiene la propiedad de separación cuando, para cualesquiera subconjuntos no vacíos \(A,B\subseteq F\) tales que
\[ a\leq b \qquad \text{para todo }a\in A,\ b\in B, \]
existe \(c\in F\) con
\[ a\leq c\leq b \qquad \text{para todo }a\in A,\ b\in B. \]
En esta etapa no se llama todavía «cortadura» a la pareja \((A,B)\). La propiedad es equivalente a la propiedad del supremo.
En el Tratado: Definición 4.7.1 — Propiedad de separación y Teorema 4.7.2 — Equivalencia entre propiedad del supremo y separación.
Véase también: Cuerpo ordenado completo, Propiedad del supremo, Principio de intersección de intervalos cerrados.
Principio de intersección de intervalos cerrados
Idea. Si todos los extremos izquierdos de una familia de intervalos cerrados quedan a la izquierda de todos sus extremos derechos, existe al menos un punto común a toda la familia.
En este tratado. Un cuerpo ordenado \(F\) satisface este principio si, para todo conjunto no vacío \(I\) y familias \((a_i)_{i\in I}\), \((b_i)_{i\in I}\) con
\[ a_i\leq b_j \qquad \text{para todos }i,j\in I, \]
se tiene
\[ \bigcap_{i\in I}[a_i,b_i]\neq\varnothing. \]
La hipótesis cruzada es esencial en esta formulación. En §4.7 se demuestra que este principio es equivalente a la completitud de orden.
En el Tratado: Definición 4.7.3 — Principio de intersección de intervalos cerrados y Teorema 4.7.4 — Equivalencia con el principio de intersección de intervalos.
Véase también: Cuerpo ordenado completo, Propiedad del supremo, Propiedad de separación, Intervalos acotados, Intersección.
Subcuerpo
Idea. Un subcuerpo es una parte de un cuerpo que contiene los elementos neutros y permanece cerrada bajo todas las operaciones necesarias para seguir siendo un cuerpo.
En este tratado. Un subconjunto \(K\subseteq F\) es subcuerpo de un cuerpo \(F\) cuando contiene \(0_F\) y \(1_F\), es cerrado bajo suma, producto y opuestos, y contiene \(x^{-1}\) siempre que \(x\in K\) sea no nulo. Con las operaciones restringidas, \(K\) es entonces un cuerpo.
Si además \(F\) es un cuerpo ordenado arquimediano, todo subcuerpo \(K\subseteq F\) es denso en \(F\): para cualesquiera \(x<y\) existe \(q\in K\) con \(x<q<y\).
En el Tratado: Definición 4.1.7 — Subcuerpo y Corolario 4.5.2 — Todo subcuerpo de un cuerpo arquimediano es denso.
Véase también: Cuerpo, Subconjunto, Subcuerpo primo, Propiedad arquimediana.
Subcuerpo primo
Idea. El subcuerpo primo es la parte mínima de un cuerpo que está forzada por las propias operaciones y los elementos \(0\) y \(1\).
En este tratado. Si \(\mathcal S_F\) es el conjunto de todos los subcuerpos de \(F\), se define
\[ P_F:=\bigcap_{K\in\mathcal S_F}K. \]
Se demuestra que \(P_F\) es un subcuerpo de \(F\) y que está contenido en todo subcuerpo de \(F\). En un cuerpo ordenado, todos los numerales \(\nu_F(n)\) pertenecen a \(P_F\). Si el cuerpo ordenado es además arquimediano, \(P_F\) es denso: entre cualesquiera \(x<y\) en \(F\) existe \(q\in P_F\) con \(x<q<y\).
Si \(F\) es completo, la arquimedianidad se obtiene como teorema y, por tanto, esta densidad del subcuerpo primo también vale en todo cuerpo ordenado completo.
En el Tratado: Definición 4.1.8 — Subcuerpo primo, Proposición 4.1.9 — Minimalidad del subcuerpo primo, Teorema 4.5.1 — Densidad del subcuerpo primo en un cuerpo arquimediano y Corolario 4.6.4 — El subcuerpo primo es denso en todo cuerpo ordenado completo.
Véase también: Subcuerpo, Aplicación canónica de numerales naturales, Propiedad arquimediana, Cuerpo ordenado completo.
Desigualdad triangular
Idea. La magnitud de una suma no supera la suma de las magnitudes.
En este tratado. En todo cuerpo ordenado \(F\), para \(x,y\in F\),
\[ |x+y|\leq |x|+|y|. \]
La demostración se obtiene encajando \(x\) e \(y\) entre sus valores absolutos y aplicando la caracterización de \(|z|\leq r\) mediante las dos desigualdades \(-r\leq z\leq r\).
En el Tratado: Teorema 4.2.3 — Desigualdad triangular.
Artículo transversal: Desigualdad triangular: demostraciones, variantes y aplicaciones (MA-ART-0003).
Véase también: Valor absoluto, Desigualdad triangular inversa.
Desigualdad triangular inversa
Idea. La diferencia entre dos magnitudes no puede exceder la magnitud de la diferencia entre los elementos originales.
En este tratado. Para \(x,y\) en un cuerpo ordenado,
\[ \bigl||x|-|y|\bigr|\leq |x-y|. \]
Se deduce de la desigualdad triangular aplicada a \(x=(x-y)+y\) y, simétricamente, a \(y=(y-x)+x\).
En el Tratado: Corolario 4.2.4 — Desigualdad triangular inversa.
Artículo transversal: Desigualdad triangular inversa: prueba y generalizaciones.
Véase también: Valor absoluto, Desigualdad triangular.
Valor absoluto
Idea. El valor absoluto mide la magnitud algebraica de un elemento prescindiendo de su signo.
En este tratado. Si \(F\) es un cuerpo ordenado y \(x\in F\), se define sin presuponer decidibilidad del signo mediante
\[ \boxed{|x|:=\max\{x,-x\}.} \]
La comparabilidad del orden total garantiza que el máximo existe y es único. De esta definición se deduce que \(|x|=x\) cuando \(0\leq x\) y que \(|x|=-x\) cuando \(x\leq0\); ambas descripciones coinciden en \(x=0\).
Se demuestra además que \(|x|\geq0\), que \(|x|=0\) exactamente cuando \(x=0\), que \(|-x|=|x|\), que \(|xy|=|x||y|\) y que, para \(r\geq0\),
\[ |x|\leq r \iff -r\leq x\leq r. \]
En el Tratado: Definición 4.2.1 — Valor absoluto y Proposición 4.2.2 — Propiedades elementales del valor absoluto.
Véase también: Cuerpo ordenado, Desigualdad triangular, Desigualdad triangular inversa.
Intervalos acotados
Idea. Un intervalo acotado recoge los elementos de un cuerpo ordenado situados entre dos extremos, incluyendo o excluyendo cada extremo según la notación utilizada.
En este tratado. Para \(a,b\) en un cuerpo ordenado \(F\) se definen
\[ [a,b]=\{x\in F:a\leq x\leq b\}, \]
\[ (a,b)=\{x\in F:a<x<b\}, \]
\[ [a,b)=\{x\in F:a\leq x<b\}, \qquad (a,b]=\{x\in F:a<x\leq b\}. \]
No se exige previamente \(a\leq b\); la propia condición de pertenencia determina cuándo el intervalo posee elementos.
En el Tratado: Definición 4.3.1 — Intervalos acotados y Proposición 4.3.2 — Habitabilidad y no vaciedad de intervalos.
Véase también: Cuerpo ordenado, Intervalos centrados.
Intervalos centrados
Idea. Un intervalo centrado describe los elementos cuya distancia algebraica a un centro no supera un radio dado.
En este tratado. Si \(a\in F\) y \(r\geq0\), el intervalo cerrado de centro \(a\) y radio \(r\) satisface
\[ x\in[a-r,a+r] \iff |x-a|\leq r. \]
Esta equivalencia enlaza directamente la notación de intervalos con el valor absoluto y será reutilizada posteriormente en formulaciones de proximidad.
En el Tratado: Proposición 4.3.3 — Intervalos centrados y valor absoluto.
Véase también: Intervalos acotados, Valor absoluto.
Cortadura de Dedekind
Idea. Una frontera racional puede representarse por todos los racionales situados a su izquierda.
En este tratado. Es un subconjunto no vacío y propio de \(\mathbb Q\), cerrado hacia abajo y sin elemento máximo.
En el Tratado: Definición 5.1.1.
Real de Dedekind
Idea. Un número real se representa mediante una cortadura racional.
En este tratado. Los elementos de \(\mathbb R_D\) son exactamente las cortaduras de Dedekind de \(\mathbb Q\).
En el Tratado: Definición 5.1.3.
Orden de Dedekind
Idea. Una cortadura es menor que otra cuando su región inferior está contenida en la otra.
En este tratado. Para \(\alpha,\beta\in\mathbb R_D\), se define \(\alpha\leq_D\beta\) mediante \(\alpha\subseteq\beta\).
En el Tratado: Definición 5.4.1.
Sucesión racional de Cauchy
Idea. Sus términos se aproximan entre sí de forma arbitrariamente precisa en las colas.
En este tratado. Para todo \(\varepsilon\in\mathbb Q\) positivo existe \(N\) tal que \(|q_m-q_n|<\varepsilon\) cuando \(m,n\geq N\).
En el Tratado: Definición 8.4.1.
Equivalencia de Cauchy
Idea. Dos sucesiones de Cauchy representan la misma posición asintótica cuando su diferencia tiende a cero.
En este tratado. La equivalencia se define sobre las sucesiones racionales de Cauchy mediante la nulidad de su diferencia.
En el Tratado: Definición 9.3.1.
Real de Cauchy
Idea. Un real puede representarse por una clase de sucesiones racionales de Cauchy equivalentes.
En este tratado. \(\mathbb R_C\) es el cociente de las sucesiones racionales de Cauchy por la equivalencia de Cauchy.
En el Tratado: Definición 9.4.2.
Completitud secuencial de los reales de Cauchy
Idea. Toda sucesión de Cauchy en el cuerpo construido tiene un límite en ese mismo cuerpo.
En este tratado. La propiedad se demuestra para \(\mathbb R_C\) después de construir un representante racional del límite.
En el Tratado: Definición 10.4.7 y demostración.
Isomorfismo de cuerpos ordenados
Idea. Dos cuerpos ordenados tienen la misma estructura cuando una biyección preserva sus operaciones y su orden.
En este tratado. La comparación entre los modelos de Dedekind y Cauchy se formula mediante un isomorfismo que respeta las copias racionales.
En el Tratado: Definición 11.9.1.
Sucesión real
Idea. Una lista de números reales indexada por los naturales.
En este tratado. Es una función de \(\mathbb N\) en \(\mathbb R\).
En el Tratado: Definición 13.1.1.
Serie numérica
Idea. La suma indefinida de una sucesión se estudia mediante sus sumas parciales.
En este tratado. Una serie real queda asociada a la sucesión de sumas parciales de sus términos; su convergencia es la convergencia de esa sucesión.
En el Tratado: Definiciones 14.1.1 y 14.1.4.
Convergencia absoluta
Idea. Una serie converge absolutamente cuando también converge la serie formada por los valores absolutos de sus términos.
En este tratado. Se distingue de la convergencia condicional mediante la serie de valores absolutos.
En el Tratado: Definición 14.8.1.
Bola abierta en la recta
Idea. Reúne los puntos cuya distancia al centro es menor que un radio positivo.
En este tratado. Para \(a\in\mathbb R\) y \(r>0\), la bola es \(\{x\in\mathbb R:|x-a|<r\}\).
En el Tratado: Definición 15.1.1.
Punto de acumulación
Idea. Todo entorno del punto contiene elementos del conjunto distintos del propio punto.
En este tratado. La condición se formula con bolas abiertas de radio positivo.
En el Tratado: Definición 15.5.1.
Subconjunto denso de la recta
Idea. Sus elementos aparecen arbitrariamente cerca de cualquier punto real.
En este tratado. La densidad se define mediante la clausura, equivalentemente mediante la intersección con cada intervalo abierto no vacío.
En el Tratado: Definición 15.9.1.
Límite de una función
Idea. Describe los valores de una función cuando la variable se aproxima a un punto.
En el Tratado: Definición 16.1.2.
Continuidad
Idea. El valor de la función coincide con su comportamiento límite.
En el Tratado: Capítulo 17.
Compacidad
Idea. Reduce ciertos controles abiertos a información finita.
En el Tratado: Capítulo 18.
Derivada
Idea. Mide la variación lineal local de una función.
En el Tratado: Capítulo 19.
Integral de Riemann
Idea. Asigna un valor límite a aproximaciones finitas mediante particiones.
En el Tratado: Capítulo 21.
Convergencia uniforme
Idea. Usa un mismo índice de control para todos los puntos del dominio.
En el Tratado: Capítulo 23.