Tratado de análisis — Glosario matemático
Glosario matemático
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Este glosario acompaña la publicación progresiva del Tratado de análisis. No se adelanta al texto: una entrada se incorpora cuando la noción correspondiente ya ha sido definida, construida o fijada en la edición pública.
Cada entrada distingue dos niveles:
- Idea: una orientación conceptual breve para recuperar rápidamente la intuición;
- En este tratado: la acepción precisa adoptada en la obra.
El enlace En el Tratado conduce al punto exacto donde la noción se introduce o queda justificada.
Índice actual
Antisimetría · Clase de equivalencia · Composición de relaciones · Conjunto cociente · Conjunto potencia · Conjunto vacío · Conjuntos disjuntos · Diferencia conjuntista · Dominio de una relación · Extensionalidad · Igualdad de clases · Intersección · Lógica clásica · Metanivel · Nivel objeto · Par de Kuratowski · Par no ordenado · Par ordenado · Partición · Producto cartesiano · Recorrido de una relación · Reflexividad · Relación binaria · Relación de equivalencia · Relación inversa · Representante · Separación restringida · Simetría · Singleton · Subconjunto · Totalidad (conexidad) · Transitividad · Tupla finita · Unión · ZF
Antisimetría
Idea. Una relación no puede relacionar mutuamente dos elementos distintos en ambos sentidos.
En este tratado. Una relación \(R\) sobre \(A\) es antisimétrica si
\[ (aRb\land bRa)\Longrightarrow a=b. \]
La antisimetría no significa que \(aRb\) impida \(bRa\); significa que, si ambas relaciones ocurren, entonces los elementos deben coincidir.
En el Tratado: Definición 0.4.6 — Propiedades de una relación.
Véase también: Simetría, Reflexividad, Transitividad.
Clase de equivalencia
Idea. El conjunto de todas las representaciones que la relación de equivalencia considera indistinguibles de una representación dada.
En este tratado. Si \(\sim\) es una relación de equivalencia sobre \(A\) y \(a\in A\), definimos
\[ [a]_{\sim}:=\{x\in A:x\sim a\}. \]
Cuando la relación esté clara por el contexto, escribiremos simplemente \([a]\).
En el Tratado: Definición 0.5.1 — Clase de equivalencia.
Véase también: Representante, Igualdad de clases, Relación de equivalencia, Conjunto cociente.
Composición de relaciones
Idea. Encadenar dos relaciones haciendo coincidir la salida intermedia de la primera con la entrada de la segunda.
En este tratado. Si \(R\subseteq A\times B\) y \(S\subseteq B\times C\), definimos
\[ S\circ R := \{\langle a,c\rangle\in A\times C:\exists b\in B\;(aRb\land bSc)\}. \]
La composición se lee de derecha a izquierda: primero \(R\), después \(S\).
En el Tratado: Definición 0.4.4 — Composición de relaciones.
Véase también: Relación binaria, Producto cartesiano.
Conjunto cociente
Idea. El nuevo conjunto cuyos elementos son las clases de equivalencia, no las representaciones individuales.
En este tratado. Si \(\sim\) es una relación de equivalencia sobre \(A\),
\[ A/{\sim} := \{C\in\mathcal P(A):\exists a\in A\;(C=[a])\}. \]
Equivalentemente,
\[ A/{\sim}=\{[a]:a\in A\}. \]
La primera expresión es la definición conjuntista canónica; la segunda es notación descriptiva.
En el Tratado: Definición 0.5.7 — Conjunto cociente.
Véase también: Clase de equivalencia, Partición, Representante.
Conjunto potencia
Idea. El conjunto que reúne todos los subconjuntos de un conjunto dado.
En este tratado. Para cada conjunto \(A\), \(\mathcal P(A)\) es el conjunto caracterizado por
\[ X\in\mathcal P(A) \quad\Longleftrightarrow\quad X\subseteq A. \]
Su existencia pertenece a los axiomas admitidos de ZF.
En el Tratado: Definición 0.2.12 — Conjunto potencia.
Véase también: Subconjunto, ZF.
Conjunto vacío
Idea. El conjunto que no contiene ningún elemento.
En este tratado. El símbolo \(\varnothing\) sólo se introduce después de demostrar que existe un único conjunto sin elementos. No se presupone su existencia como una notación anterior a esa prueba.
En el Tratado: existencia y unicidad y Notación 0.2.6 — Conjunto vacío.
Véase también: Extensionalidad, Separación restringida.
Conjuntos disjuntos
Idea. Dos conjuntos que no comparten elementos.
En este tratado. \(A\) y \(B\) son disjuntos cuando
\[ A\cap B=\varnothing. \]
En el Tratado: Definición 0.2.14 — Conjuntos disjuntos.
Véase también: Intersección, Conjunto vacío.
Diferencia conjuntista
Idea. Los elementos de un conjunto que no pertenecen a otro.
En este tratado.
\[ A\setminus B:=\{x\in A:x\notin B\}. \]
La notación \(A-B\) no se usa para diferencia de conjuntos, porque se reserva para contextos algebraicos posteriores.
En el Tratado: Definición 0.2.11 — Diferencia conjuntista.
Véase también: Separación restringida, Subconjunto.
Dominio de una relación
Idea. Los elementos que aparecen como primera componente de algún par perteneciente a la relación.
En este tratado. Si \(R\subseteq A\times B\),
\[ \operatorname{dom}R := \{a\in A:\exists b\in B\;(aRb)\}. \]
En el Tratado: Definición 0.4.2 — Dominio y recorrido de una relación.
Véase también: Recorrido de una relación, Relación binaria.
Extensionalidad
Idea. Un conjunto queda determinado por sus elementos.
En este tratado. El axioma de extensionalidad permite concluir \(A=B\) cuando \(A\) y \(B\) tienen exactamente los mismos elementos. Es el fundamento del criterio práctico de igualdad por doble inclusión.
En el Tratado: Axioma de extensionalidad.
Véase también: Subconjunto, ZF.
Igualdad de clases
Idea. Dos representantes determinan la misma clase exactamente cuando son equivalentes.
En este tratado. Para \(a,b\in A\),
\[ [a]=[b] \quad\Longleftrightarrow\quad a\sim b. \]
Este criterio permite dejar de depender de un representante particular: cambiar un elemento por otro equivalente no cambia la clase.
En el Tratado: Lema 0.5.3 — Igualdad de clases.
Véase también: Clase de equivalencia, Representante, Relación de equivalencia.
Intersección
Idea. La parte común de dos conjuntos.
En este tratado.
\[ A\cap B:=\{x\in A:x\in B\}. \]
Se construye por separación dentro de \(A\).
En el Tratado: Definición 0.2.10 — Intersección binaria.
Véase también: Unión, Separación restringida, Conjuntos disjuntos.
Lógica clásica
Idea. El marco lógico ordinario en el que se permiten, entre otros principios, el tercero excluido y la reducción al absurdo.
En este tratado. La lógica ambiente es lógica clásica de primer orden con igualdad. La igualdad es lógica y primitiva; \(\in\) es el único símbolo no lógico primitivo del lenguaje conjuntista.
En el Tratado: Convención 0.1.2 — Lógica ambiente.
Véase también: Metanivel, Nivel objeto, ZF.
Metanivel
Idea. El nivel desde el cual hablamos sobre las expresiones y demostraciones matemáticas.
En este tratado. En el metanivel hablamos de fórmulas, variables, demostraciones, definiciones, dependencias y numeración editorial. Los numerales de capítulos o resultados pertenecen a este nivel mientras los números naturales todavía no hayan sido construidos como objetos del tratado.
En el Tratado: Convención 0.1.1 — Metanivel y nivel objeto.
Véase también: Nivel objeto.
Nivel objeto
Idea. El nivel en el que viven los objetos matemáticos de los que habla la teoría.
En este tratado. En el nivel objeto, las variables del lenguaje conjuntista recorren conjuntos. Se distingue deliberadamente del metanivel editorial y lógico.
En el Tratado: Convención 0.1.1 — Metanivel y nivel objeto.
Par de Kuratowski
Idea. Una realización concreta de la noción de par ordenado mediante conjuntos ordinarios.
En este tratado. El par ordenado de \(a\) y \(b\) se codifica por
\[ \langle a,b\rangle := \bigl\{\{a\},\{a,b\}\bigr\}. \]
Esta elección es una implementación conjuntista. Su propiedad esencial es el criterio
\[ \langle a,b\rangle=\langle c,d\rangle \iff (a=c\ \text{y}\ b=d). \]
En el Tratado: Definición 0.3.1 — Par ordenado de Kuratowski.
Véase también: Par ordenado, Par no ordenado, Singleton.
Par no ordenado
Idea. Un conjunto que contiene exactamente dos objetos, sin distinguir cuál aparece “primero”.
En este tratado. \(\{a,b\}\) denota el único conjunto cuyos elementos son exactamente \(a\) y \(b\). La unicidad se sigue de extensionalidad. No debe confundirse con el par ordenado, que se introducirá más adelante.
En el Tratado: Notación 0.2.8 — Pares no ordenados y singletons.
Véase también: Singleton, Extensionalidad.
Par ordenado
Idea. Un objeto con dos componentes en el que importa cuál es la primera y cuál la segunda.
En este tratado. Los pares ordenados se realizan mediante la codificación de Kuratowski. Después de demostrar su teorema característico, la notación \(\langle a,b\rangle\) podrá usarse atendiendo a sus coordenadas y no a la implementación conjuntista subyacente.
En el Tratado: Definición 0.3.1 — Par ordenado de Kuratowski.
Véase también: Par de Kuratowski, Producto cartesiano.
Partición
Idea. Una descomposición de un conjunto en piezas no vacías que no se solapan y que, juntas, cubren todo el conjunto.
En este tratado. Una partición de \(A\) es un conjunto \(\mathscr P\) de subconjuntos de \(A\) tal que:
- \(\varnothing\notin\mathscr P\);
- si \(C,D\in\mathscr P\) y \(C\neq D\), entonces \(C\cap D=\varnothing\);
- todo \(a\in A\) pertenece a algún \(C\in\mathscr P\).
Las clases de cualquier relación de equivalencia sobre \(A\) forman una partición de \(A\).
En el Tratado: Definición 0.5.5 — Partición.
Véase también: Clase de equivalencia, Conjunto cociente, Conjuntos disjuntos.
Producto cartesiano
Idea. El conjunto de todos los pares ordenados cuya primera componente proviene de un conjunto y cuya segunda componente proviene de otro.
En este tratado. Para conjuntos \(A\) y \(B\),
\[ A\times B := \{\langle a,b\rangle:a\in A,\ b\in B\}. \]
La existencia de este conjunto se demuestra construyéndolo por separación dentro de \(\mathcal P(\mathcal P(A\cup B))\).
En el Tratado: Definición 0.3.6 — Producto cartesiano.
Véase también: Par ordenado, Conjunto potencia, Separación restringida.
Recorrido de una relación
Idea. Los elementos que aparecen como segunda componente de algún par perteneciente a la relación.
En este tratado. Si \(R\subseteq A\times B\),
\[ \operatorname{ran}R := \{b\in B:\exists a\in A\;(aRb)\}. \]
Usaremos ran para relaciones y reservaremos im para la imagen de un subconjunto bajo una función.
En el Tratado: Definición 0.4.2 — Dominio y recorrido de una relación.
Véase también: Dominio de una relación, Relación binaria.
Reflexividad
Idea. Cada elemento está relacionado consigo mismo.
En este tratado. Una relación \(R\) sobre \(A\) es reflexiva si
\[ \forall a\in A,\quad aRa. \]
En el Tratado: Definición 0.4.6 — Propiedades de una relación.
Véase también: Simetría, Transitividad, Relación de equivalencia.
Relación binaria
Idea. Una selección de pares ordenados que indica qué elementos de un conjunto se relacionan con elementos de otro.
En este tratado. Una relación binaria de \(A\) en \(B\) es un conjunto
\[ R\subseteq A\times B. \]
Cuando \(A=B\), hablamos de una relación sobre \(A\). La escritura \(aRb\) abrevia \(\langle a,b\rangle\in R\).
En el Tratado: Definición 0.4.1 — Relación binaria.
Véase también: Par ordenado, Producto cartesiano, Dominio de una relación.
Relación de equivalencia
Idea. Una relación que permite considerar como indistinguibles, para cierto propósito, elementos que pertenecen a una misma clase.
En este tratado. Una relación \(\sim\) sobre \(A\) es una relación de equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva.
La noción de clase de equivalencia se introducirá sólo en la sección siguiente.
En el Tratado: Definición 0.4.7 — Relación de equivalencia.
Véase también: Reflexividad, Simetría, Transitividad.
Relación inversa
Idea. La relación obtenida al intercambiar la primera y la segunda componente de cada par.
En este tratado. Si \(R\subseteq A\times B\),
\[ R^{-1} := \{\langle b,a\rangle\in B\times A:aRb\}. \]
Esta notación no presupone que \(R\) sea una función ni que exista una función inversa.
En el Tratado: Definición 0.4.3 — Relación inversa.
Véase también: Relación binaria, Par ordenado.
Representante
Idea. Un elemento usado para nombrar una clase de equivalencia, sin que la clase dependa de cuál de sus elementos elijamos para nombrarla.
En este tratado. Si \(a\in A\), entonces \(a\in[a]\). Llamamos representante de una clase a cualquiera de sus elementos. Si \(b\in[a]\), entonces \(b\sim a\) y, por el criterio de igualdad de clases,
\[ [b]=[a]. \]
Por eso ninguna construcción sobre clases deberá depender de escoger un representante privilegiado.
En el Tratado: Proposición 0.5.2 — Existencia y pertenencia del representante y Lema 0.5.3 — Igualdad de clases.
Véase también: Clase de equivalencia, Igualdad de clases, Conjunto cociente.
Separación restringida
Idea. Formar un subconjunto seleccionando, dentro de un conjunto ya existente, los elementos que satisfacen una propiedad.
En este tratado.
\[ \{x\in A:P(x)\} \]
denota el subconjunto de \(A\) formado por los \(x\) que satisfacen \(P(x)\). Esta notación no autoriza una comprensión irrestricta \(\{x:P(x)\}\) sin conjunto ambiente.
En el Tratado: Notación 0.1.3 — Separación restringida.
Véase también: Subconjunto, ZF.
Simetría
Idea. Si un elemento se relaciona con otro, la relación también vale en sentido contrario.
En este tratado. Una relación \(R\) sobre \(A\) es simétrica si
\[ aRb\Longrightarrow bRa. \]
En el Tratado: Definición 0.4.6 — Propiedades de una relación.
Véase también: Antisimetría, Reflexividad, Relación de equivalencia.
Singleton
Idea. Un conjunto con exactamente un elemento.
En este tratado.
\[ \{a\}:=\{a,a\}. \]
El singleton se obtiene como caso degenerado del par no ordenado.
En el Tratado: Notación 0.2.8 — Pares no ordenados y singletons.
Véase también: Par no ordenado.
Subconjunto
Idea. \(A\) está contenido en \(B\) cuando todo elemento de \(A\) también pertenece a \(B\).
En este tratado.
\[ A\subseteq B \quad\Longleftrightarrow\quad \forall x\,(x\in A\rightarrow x\in B). \]
La inclusión propia se escribe \(A\subsetneq B\) y exige además \(A\neq B\).
En el Tratado: Definición 0.2.1 — Subconjunto.
Véase también: Extensionalidad, Conjunto potencia.
Totalidad (conexidad)
Idea. Cualquier par de elementos puede compararse en al menos uno de los dos sentidos de la relación.
En este tratado. Una relación \(R\) sobre \(A\) es total o conexa si, para cualesquiera \(a,b\in A\),
\[ aRb\quad\text{o}\quad bRa. \]
En el Tratado: Definición 0.4.6 — Propiedades de una relación.
Véase también: Relación binaria, Antisimetría, Transitividad.
Transitividad
Idea. Dos pasos consecutivos de la relación pueden comprimirse en uno.
En este tratado. Una relación \(R\) sobre \(A\) es transitiva si
\[ (aRb\land bRc)\Longrightarrow aRc. \]
En el Tratado: Definición 0.4.6 — Propiedades de una relación.
Véase también: Reflexividad, Simetría, Relación de equivalencia.
Tupla finita
Idea. Una lista ordenada de un número finito de componentes.
En este tratado. Las tuplas de longitud mayor que dos se codifican mediante pares ordenados anidados. Salvo indicación contraria,
\[ \langle a,b,c\rangle := \langle a,\langle b,c\rangle\rangle. \]
La forma concreta de anidación es representacional y no se considera contenido matemático adicional.
En el Tratado: Convención 0.3.5 — Tuplas finitas.
Véase también: Par ordenado, Par de Kuratowski.
Unión
Idea. El conjunto formado por los elementos que pertenecen a uno u otro de dos conjuntos.
En este tratado.
\[ A\cup B:=\bigcup\{A,B\}, \]
de modo que
\[ x\in A\cup B \iff (x\in A\lor x\in B). \]
En el Tratado: Definición 0.2.9 — Unión binaria.
Véase también: Intersección, Par no ordenado.
ZF
Idea. La teoría axiomática de conjuntos de Zermelo–Fraenkel que sirve como suelo conjuntista del tratado.
En este tratado. ZF, junto con lógica clásica de primer orden con igualdad, constituye el fundamento ambiente. Los axiomas no se cuentan como teoremas internos. El axioma de elección no se presupone ni se utiliza silenciosamente.
En el Tratado: §0.1.1 — Inventario axiomático.
Véase también: Lógica clásica, Separación restringida, Extensionalidad.
Las próximas entradas se incorporarán al mismo ritmo que el Tratado. La publicación de §0.6 añadirá el vocabulario correspondiente a funciones, dominio, codominio, grafo, imagen y preimagen, sin adelantarse a las definiciones del manuscrito.