Tratado de análisis — Capítulo 15 — Topología de la recta real

Capítulo 15 — Topología de la recta real en el desarrollo progresivo del Tratado de análisis.

Capítulo 15 — Topología de la recta real

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Parte II — Núcleo del análisis real

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15.0. De las aproximaciones a la proximidad

El Capítulo 13 estudió el acercamiento de los términos de una sucesión real a un límite. El Capítulo 14 estudió cuándo las sumas parciales de una serie poseen un límite real. Ambas teorías utilizaron desigualdades de la forma

\[ |x-a|<r, \]

con \(x,a\in\mathbb R\) y \(r>0\). Hasta ahora tales desigualdades servían para controlar procesos indexados. Podemos considerarlas también como una descripción de todos los puntos de la recta que están suficientemente cerca de un punto dado.

Esta transición nos lleva a una nueva pregunta: ¿qué propiedades de un subconjunto de \(\mathbb R\) se pueden describir mediante la posibilidad de permanecer dentro de él al desplazarnos una distancia suficientemente pequeña?

Para responderla no introduciremos una topología abstracta, un espacio métrico arbitrario ni resultados sobre funciones continuas. Trabajaremos directamente con el cuerpo ordenado completo \(\mathbb R\), estructuralmente fijado en §12.9. La noción de distancia que aparecerá no es un nuevo objeto primitivo: es el valor absoluto de una diferencia, ya disponible desde §4.2. Los intervalos, definidos en §4.3, permitirán interpretar inmediatamente las primeras construcciones.

La ruta del capítulo será: proximidad y vecindades; interior y exterior; abiertos y cerrados; adherencia y acumulación; interior, clausura y frontera como operaciones sobre conjuntos; leyes de unión e intersección; descripciones secuenciales; densidad e intervalos. Los primeros pasos se desarrollarán antes de dar por supuesto cualquiera de los posteriores.

15.1. Bolas abiertas y vecindades

Definición 15.1.1 — Bola abierta en la recta

Fijados un centro \(a\in\mathbb R\) y un radio \(r\in\mathbb R\) estrictamente positivo, definimos la bola abierta de centro \(a\) y radio \(r\) como el subconjunto de la recta

\[ \boxed{B_r(a):=\{x\in\mathbb R:|x-a|<r\}.} \]

La existencia de este conjunto se obtiene por Separación sobre \(\mathbb R\): el valor absoluto y la relación de orden ya están definidos. La condición \(r>0\) es parte de la definición y no se omitirá. En particular, \(B_0(a)\) no queda definido por esta notación; si alguna vez necesitamos un radio nulo, habrá que extenderla explícitamente.

La palabra «abierta» es aquí el nombre tradicional de la bola. Todavía no se ha definido qué significa que un subconjunto arbitrario de \(\mathbb R\) sea abierto; más adelante demostraremos que las bolas satisfacen esa definición. Tampoco confundimos \(B_r(a)\), que es un conjunto, con el número real \(|x-a|\), que determina la pertenencia de cada punto.

Pregunta de lectura. ¿Pertenecen a \(B_r(a)\) los dos puntos cuya distancia al centro es exactamente \(r\)? No: la desigualdad definitoria es estricta. El siguiente resultado convierte esta observación en una identidad de conjuntos.

Proposición 15.1.2 — Las bolas son intervalos abiertos centrados

Para todo \(a\in\mathbb R\) y todo \(r>0\) se cumplen las siguientes afirmaciones:

\[ \boxed{B_r(a)=(a-r,a+r),} \]

\[ \boxed{a\in B_r(a),} \]

y, si \(0<s\le r\),

\[ \boxed{B_s(a)\subseteq B_r(a).} \]

Demostración.

Sea \(x\in\mathbb R\) y escribamos \(u=x-a\). Por la definición del valor absoluto Definición 4.2.1 — Valor absoluto, \(|u|=\max\{u,-u\}\). En un orden total, el máximo de dos números es menor que \(r\) si y sólo si ambos lo son. Así,

\[ \begin{aligned} |x-a|<r &\iff x-a<r\ \text{y}\ -(x-a)<r\\ &\iff -r<x-a<r\\ &\iff a-r<x<a+r\\ &\iff x\in(a-r,a+r). \end{aligned} \]

La última equivalencia usa exactamente la definición previa de intervalo abierto Definición 4.3.1 — Intervalos acotados. Como los dos conjuntos tienen los mismos elementos, el criterio extensional Teorema 0.2.4 — Criterio extensional por doble inclusión —o la extensionalidad de los conjuntos fijada en el fundamento— da \(B_r(a)=(a-r,a+r)\). El resultado Proposición 4.3.3 — Intervalos centrados y valor absoluto ya estableció la versión con extremos incluidos y desigualdad no estricta; aquí no intercambiamos ambas versiones.

Además, \(|a-a|=0<r\), de modo que \(a\in B_r(a)\). Finalmente, si \(0<s\le r\) y \(x\in B_s(a)\), entonces \(|x-a|<s\le r\), lo que prueba \(x\in B_r(a)\). Concluyen las tres afirmaciones. ∎

Interpretación. Una bola de la recta no es un objeto distinto de los intervalos que ya construimos: es un intervalo expresado mediante centro y radio. La ventaja de la descripción métrica es que se transportará con facilidad a argumentos de proximidad y, posteriormente, a otros espacios.

Proposición 15.1.3 — Una bola contiene una bola alrededor de cada uno de sus puntos

Sean \(a\in\mathbb R\), \(r>0\) y \(y\in B_r(a)\). Entonces el número

\[ \rho:=r-|y-a| \]

es estrictamente positivo y satisface

\[ \boxed{B_\rho(y)\subseteq B_r(a).} \]

Demostración.

La pertenencia \(y\in B_r(a)\) significa \(|y-a|<r\). Por compatibilidad del orden con la suma y la resta, \(\rho=r-|y-a|>0\); por tanto, \(B_\rho(y)\) está definida legítimamente.

Tomemos un punto arbitrario \(z\in B_\rho(y)\). La desigualdad triangular Teorema 4.2.3 — Desigualdad triangular, aplicada a \((z-y)+(y-a)=z-a\), da

\[ \begin{aligned} |z-a| &\le |z-y|+|y-a|\\ &<\rho+|y-a|\\ &=r. \end{aligned} \]

Luego \(z\in B_r(a)\). Como \(z\) era arbitrario, se obtiene la inclusión. ∎

La elección del radio no ha sido arbitraria ni simultánea para una familia de puntos: para cada \(y\) se dispone de la fórmula explícita \(r-|y-a|\). Este hecho elemental será la herramienta principal para verificar que las bolas son conjuntos abiertos cuando esa noción se introduzca.

Definición 15.1.4 — Vecindad de un punto

Sea \(a\in\mathbb R\). Un conjunto \(V\subseteq\mathbb R\) se denomina vecindad de \(a\) si contiene alguna bola abierta centrada en \(a\); es decir,

\[ \boxed{V\text{ es vecindad de }a \iff\exists r\in\mathbb R\;(r>0\ \text{y}\ B_r(a)\subseteq V).} \]

No exigimos que \(V\) sea una bola ni, por ahora, que sea un conjunto abierto: sólo debe contener un margen positivo alrededor de \(a\). En particular, la pertenencia aislada \(a\in V\) no basta para que \(V\) sea vecindad de \(a\). Esta distinción será indispensable al definir puntos interiores.

La noción está tipada sobre subconjuntos de la recta; si se necesita el conjunto de todas las vecindades de un punto fijo, puede obtenerse por Separación dentro de \(\mathcal P(\mathbb R)\). No introducimos todavía un símbolo nuevo para tal familia.

Proposición 15.1.5 — Propiedades elementales de las vecindades

Sea \(a\in\mathbb R\). Se cumplen las siguientes propiedades:

1. Toda bola \(B_r(a)\), con \(r>0\), es una vecindad de \(a\).
2. Toda vecindad de \(a\) contiene a \(a\).
3. Si \(V\) es vecindad de \(a\) y \(V\subseteq W\subseteq\mathbb R\), entonces \(W\) también es vecindad de \(a\).
4. Si \(V\) y \(W\) son vecindades de \(a\), también lo es \(V\cap W\).

Demostración.

Para (1), la propia bola \(B_r(a)\) proporciona el testigo de radio \(r\): por reflexividad de la inclusión, \(B_r(a)\subseteq B_r(a)\). Para (2), la definición de vecindad proporciona algún \(r>0\) con \(B_r(a)\subseteq V\). Por Proposición 15.1.2 — Las bolas son intervalos abiertos centrados, \(a\in B_r(a)\); así, \(a\in V\).

En (3) conservamos el mismo testigo \(r\) de la vecindad \(V\). La transitividad de la inclusión produce \(B_r(a)\subseteq V\subseteq W\) y, por definición, \(W\) es vecindad.

Para (4), de que \(V\) y \(W\) son vecindades obtenemos dos testigos \(r,s>0\), tales que \(B_r(a)\subseteq V\) y \(B_s(a)\subseteq W\). Definamos \(t:=\min\{r,s\}\), cuyo significado y unicidad provienen del orden total y de la teoría de mínimos ya establecida. Como \(r>0\) y \(s>0\), también \(t>0\); además, \(t\le r\) y \(t\le s\). La inclusión entre bolas concéntricas de Proposición 15.1.2 — Las bolas son intervalos abiertos centrados da

\[ B_t(a)\subseteq B_r(a)\cap B_s(a)\subseteq V\cap W. \]

Por tanto \(V\cap W\) contiene una bola de radio positivo centrada en \(a\) y es una vecindad de \(a\). La prueba elimina únicamente dos cuantificadores existenciales finitos y no introduce ningún axioma de elección. ∎

No-ejemplo. El conjunto \(\{a\}\) contiene su único punto, pero no es vecindad de \(a\): para cualquier \(r>0\), el punto \(a+r/(1+1)\) es distinto de \(a\) y pertenece a \(B_r(a)\), por lo que ninguna bola centrada en \(a\) está contenida en el singleton. Aquí \(1+1\) y su inverso son operaciones del cuerpo real; no se identifica ningún natural con un real por inclusión literal.

Las vecindades formalizan así una exigencia más fuerte que la mera pertenencia: deben proporcionar un margen completo de puntos alrededor del centro. La siguiente unidad utilizará esta distinción para definir puntos interiores y conjuntos abiertos sin circularidad.

15.2. Puntos interiores y conjuntos abiertos

La propiedad de ser vecindad pertenece, en principio, a un conjunto respecto de un punto. La convertiremos ahora en dos nociones distintas. Primero preguntaremos si un punto dispone de espacio suficiente dentro de un conjunto dado. Después exigiremos que esa condición se cumpla para todos los puntos del conjunto. No intercambiaremos ambos niveles de cuantificación.

Definición 15.2.1 — Punto interior de un conjunto

Sean \(A\subseteq\mathbb R\) y \(a\in\mathbb R\). Diremos que \(a\) es un punto interior de \(A\) cuando existe un número real \(r>0\) tal que la bola centrada en \(a\) está contenida en \(A\):

\[ \boxed{a\text{ es interior a }A\iff\exists r\in\mathbb R\ (r>0\ \text{y}\ B_r(a)\subseteq A).} \]

Por Proposición 15.1.2 — Las bolas son intervalos abiertos centrados, el centro pertenece a cualquier bola de radio positivo. En consecuencia, la condición implica \(a\in A\): no es necesario imponer esa pertenencia como una hipótesis adicional. El radio puede depender del punto \(a\) y del conjunto \(A\); no postulamos un radio común para todos los puntos.

Lectura de cuantificadores. «\(a\) es interior a \(A\)» significa que existe un margen positivo para ese punto y que todos los puntos suficientemente próximos permanecen en \(A\). No significa que baste con encontrar un punto próximo que pertenezca a \(A\).

Definición 15.2.2 — Interior de un conjunto

Para \(A\subseteq\mathbb R\), llamaremos interior de \(A\) al conjunto de sus puntos interiores y escribiremos

\[ \boxed{A^\circ:=\{a\in A:\exists r\in\mathbb R\ (r>0\ \text{y}\ B_r(a)\subseteq A)\}.} \]

Este conjunto existe por Separación sobre \(A\): en su fórmula sólo figuran el orden, el valor absoluto, las bolas y la inclusión, todos previamente definidos. El símbolo \(A^\circ\) denota un conjunto, no un punto ni un radio. Además, la asignación \(A\mapsto A^\circ\) determina una función \(\mathcal P(\mathbb R)\to\mathcal P(\mathbb R)\): su grafo se obtiene por Separación dentro del producto de esos dos conjuntos, y para cada \(A\) el conjunto definido es único por extensionalidad. No hay elección de radios para definirla.

Proposición 15.2.3 — Interior y vecindades

Si \(A\subseteq\mathbb R\) y \(a\in\mathbb R\), entonces

\[ \boxed{a\in A^\circ\iff A\text{ es una vecindad de }a.} \]

En particular, \(A^\circ\subseteq A\).

Demostración.

Si \(a\in A^\circ\), la definición del interior proporciona \(r>0\) con \(B_r(a)\subseteq A\); exactamente esto afirma que \(A\) es vecindad de \(a\). Recíprocamente, si \(A\) es vecindad de \(a\), existe \(r>0\) con \(B_r(a)\subseteq A\). Como \(a\in B_r(a)\) por Proposición 15.1.2 — Las bolas son intervalos abiertos centrados, también \(a\in A\); satisface por tanto la condición que define \(A^\circ\). Finalmente, cada elemento de \(A^\circ\) pertenece a \(A\) por la propia Separación que lo define. ∎

La equivalencia explica por qué se introdujo primero la noción de vecindad: un punto es interior a \(A\) precisamente cuando \(A\) ofrece una vecindad de ese punto.

Definición 15.2.4 — Conjunto abierto de la recta

Un subconjunto \(U\subseteq\mathbb R\) se llama abierto (en \(\mathbb R\)) si cada uno de sus puntos es interior a él:

\[ \boxed{U\text{ es abierto}\iff \forall x\in U\ \exists r\in\mathbb R\ (r>0\ \text{y}\ B_r(x)\subseteq U).} \]

El alcance de «abierto» es el ambiente \(\mathbb R\): no se ha definido aún ninguna topología de subespacio. La condición es universal sobre \(x\in U\); cuando \(U\) es vacío no existe ningún punto para el cual verificarla, y esta observación tendrá una consecuencia precisa. La palabra «bola abierta», usada en §15.1 como nombre del objeto, recibe ahora su justificación matemática.

Teorema 15.2.5 — Toda bola abierta es un conjunto abierto

Para cualquier \(a\in\mathbb R\) y cualquier \(r>0\), el conjunto \(B_r(a)\) es abierto en \(\mathbb R\).

Demostración.

Fijemos \(y\in B_r(a)\), sin presuponer una fórmula para todos los demás puntos. La proposición Proposición 15.1.3 — Una bola contiene una bola alrededor de cada uno de sus puntos demuestra que \(\rho=r-|y-a|\) es estrictamente positivo y que

\[ B_\rho(y)\subseteq B_r(a). \]

Hemos encontrado una bola centrada en el punto arbitrario \(y\) y contenida en el conjunto considerado. Esto verifica exactamente la definición de abierto. ∎

La diferencia \(r-|y-a|\) es el margen que queda hasta la frontera de la bola original. La prueba no usa completitud ni Choice: reutiliza la desigualdad triangular del Capítulo 4 y un radio explícito.

Proposición 15.2.6 — Caracterización de los abiertos mediante el interior

Para todo \(A\subseteq\mathbb R\),

\[ \boxed{A\text{ es abierto}\iff A^\circ=A.} \]

Demostración.

Siempre tenemos \(A^\circ\subseteq A\) por Proposición 15.2.3 — Interior y vecindades. Si \(A\) es abierto, todo \(x\in A\) dispone de un radio positivo con \(B_r(x)\subseteq A\), por lo que \(x\in A^\circ\) y \(A\subseteq A^\circ\). La doble inclusión da \(A=A^\circ\). Recíprocamente, si \(A=A^\circ\), cada \(x\in A\) pertenece al interior; la definición de este último proporciona una bola \(B_r(x)\subseteq A\). Por tanto, \(A\) es abierto. ∎

El interior permite reconocer un abierto sin volver a repetir verbalmente todos los cuantificadores: un conjunto es abierto exactamente cuando no le faltan puntos interiores entre sus propios puntos.

Teorema 15.2.7 — Leyes fundamentales de los conjuntos abiertos

Se cumplen las propiedades siguientes:

1. \(\varnothing\) y \(\mathbb R\) son abiertos.
2. Si \(I\) es cualquier conjunto y \((U_i)_{i\in I}\) es una familia de subconjuntos abiertos de \(\mathbb R\), entonces \(\bigcup_{i\in I}U_i\) es abierto, también para \(I=\varnothing\).
3. Si \(U,V\subseteq\mathbb R\) son abiertos, entonces \(U\cap V\) es abierto. En consecuencia, toda intersección finita de abiertos es abierta, entendiendo la intersección de una familia vacía respecto del ambiente \(\mathbb R\) como \(\mathbb R\).

Demostración.

(1) Para \(\varnothing\), el enunciado «para todo \(x\in\varnothing\)» es verdadero porque no hay elementos en ese conjunto. Para \(\mathbb R\), fijemos \(x\in\mathbb R\): el radio real \(1>0\) está disponible en el cuerpo fijado, y \(B_1(x)\subseteq\mathbb R\) por definición. Ambos conjuntos son abiertos.

(2) La unión indexada existe como conjunto por Definición 0.6.16 — Familia indexada, y sus elementos pertenecen a \(\mathbb R\). Sea \(x\in\bigcup_{i\in I}U_i\). Por la definición de unión existe un índice \(i\in I\) tal que \(x\in U_i\). Como ese \(U_i\) es abierto, existe \(r>0\) con \(B_r(x)\subseteq U_i\). Por pertenencia a la unión, \(U_i\subseteq\bigcup_{j\in I}U_j\); luego

\[ B_r(x)\subseteq\bigcup_{j\in I}U_j. \]

El punto \(x\) era arbitrario. Si \(I=\varnothing\), la unión es \(\varnothing\) y ya está cubierta por (1). En esta prueba se eliminan dos existenciales para un punto fijo; no se elige simultáneamente un índice o un radio para todos los puntos.

(3) Fijemos \(x\in U\cap V\). Hay radios \(r,s>0\) con \(B_r(x)\subseteq U\) y \(B_s(x)\subseteq V\). Por Proposición 15.1.5 — Propiedades elementales de las vecindades, la intersección de estas dos vecindades es una vecindad de \(x\), o, explícitamente, tomando \(t=\min\{r,s\}>0\), obtenemos

\[ B_t(x)\subseteq B_r(x)\cap B_s(x)\subseteq U\cap V. \]

Así \(U\cap V\) es abierto. Para una familia de abiertos indexada por cualquier número natural \(n\) de índices, induzcamos sobre \(n\): con cero índices su intersección en \(\mathbb R\) es \(\mathbb R\), abierta por (1); al añadir un conjunto al paso sucesor, se intersecta el abierto ya obtenido con el nuevo abierto y se aplica el caso binario. Toda intersección finita queda cubierta, incluida la vacía. ∎

La asimetría esencial. En el caso de las uniones basta hallar un abierto que contenga al punto. En una intersección, en cambio, necesitamos una bola contenida en todos los conjuntos involucrados; la operación de tomar el mínimo de dos radios funciona para un número finito de ellos, pero no demuestra por sí sola que una intersección infinita sea abierta. No anticiparemos tal afirmación.

Teorema 15.2.8 — El interior es el mayor abierto contenido en el conjunto

Sea \(A\subseteq\mathbb R\). Entonces \(A^\circ\) es abierto, está contenido en \(A\) y satisface

\[ \boxed{U\subseteq A\ \text{y}\ U\text{ abierto}\implies U\subseteq A^\circ.} \]

Es decir: \(A^\circ\) es el mayor —respecto de la inclusión— entre los conjuntos abiertos contenidos en \(A\).

Demostración.

Ya sabemos por Proposición 15.2.3 — Interior y vecindades que \(A^\circ\subseteq A\). Para probar que es abierto, sea \(x\in A^\circ\). Existe \(r>0\) tal que \(B_r(x)\subseteq A\). Afirmamos que, más precisamente,

\[ B_r(x)\subseteq A^\circ. \]

En efecto, dado cualquier \(y\in B_r(x)\), Proposición 15.1.3 — Una bola contiene una bola alrededor de cada uno de sus puntos produce el radio positivo \(\rho=r-|y-x|\) para el cual

\[ B_\rho(y)\subseteq B_r(x)\subseteq A. \]

Esto hace a \(y\) interior a \(A\), es decir, \(y\in A^\circ\). La inclusión afirmada muestra que \(x\) dispone de una bola contenida en \(A^\circ\); puesto que \(x\) era arbitrario, el interior es abierto.

Sea ahora \(U\subseteq A\) cualquier abierto y tomemos \(x\in U\). Por apertura existe \(s>0\) con \(B_s(x)\subseteq U\). La transitividad de la inclusión da \(B_s(x)\subseteq A\) y por tanto \(x\in A^\circ\). Queda probado \(U\subseteq A^\circ\). La existencia del mayor abierto no exige escoger uno entre todos los abiertos: el conjunto \(A^\circ\) se construyó explícitamente por Separación en Definición 15.2.2 — Interior de un conjunto. ∎

La propiedad de maximalidad será la justificación estructural de las leyes del interior. Por ejemplo, como \(A^\circ\) ya es abierto, la proposición Proposición 15.2.6 — Caracterización de los abiertos mediante el interior permite concluir \((A^\circ)^\circ=A^\circ\); esta igualdad es una consecuencia inmediata de resultados ya demostrados, no una nueva definición.

Proposición 15.2.9 — Ejemplos: intervalos abiertos y singletons

Para cualesquiera \(a,b\in\mathbb R\) con \(a<b\), el intervalo \((a,b)\) es abierto. En cambio, para todo \(a\in\mathbb R\), el conjunto \(\{a\}\) no es abierto en \(\mathbb R\).

Demostración.

Sea \(x\in(a,b)\), de modo que \(a<x<b\). Ambos números \(x-a\) y \(b-x\) son positivos. Definamos

\[ r:=\min\{x-a,b-x\}>0. \]

Si \(y\in B_r(x)\), la igualdad bola–intervalo de Proposición 15.1.2 — Las bolas son intervalos abiertos centrados da \(x-r<y<x+r\). Como \(r\le x-a\) y \(r\le b-x\), se tiene \(a\le x-r<y<x+r\le b\); luego \(a<y<b\). Así \(B_r(x)\subseteq(a,b)\) y, al ser \(x\) arbitrario, \((a,b)\) es abierto.

Para el singleton, supongamos que \(\{a\}\) fuese abierto. La definición produciría \(r>0\) con \(B_r(a)\subseteq\{a\}\). Puesto que \(a<a+r\) y el cuerpo ordenado real es densamente ordenado por Teorema 4.1.11 — Todo cuerpo ordenado es densamente ordenado, existe \(y\) tal que \(a<y<a+r\). Como \(a-r<a<y\), la igualdad \(B_r(a)=(a-r,a+r)\) implica \(y\in B_r(a)\), pero \(y\ne a\); contradicción. Por consiguiente \(\{a\}\) no es abierto. ∎

Contraste decisivo. La expresión «intervalo abierto» coincide con la noción de conjunto abierto que acabamos de definir; en cambio, que un conjunto contenga un punto no garantiza que ese punto sea interior. En la siguiente sección estudiaremos qué sucede fuera de \(A\) y cómo el complemento permite definir los conjuntos cerrados, sin confundir «no abierto» con «cerrado».

15.3. Puntos exteriores y conjuntos cerrados

En §15.2 describimos el interior de un conjunto: un punto es interior cuando podemos movernos ligeramente a su alrededor sin salir del conjunto. Ahora examinaremos la condición simétrica, pero debemos formularla con cuidado: estar fuera de \(A\) no equivale necesariamente a poder permanecer fuera al efectuar cualquier desplazamiento suficientemente pequeño. La distinción conducirá a los puntos exteriores y, mediante el complemento, a los conjuntos cerrados.

Definición 15.3.1 — Punto exterior de un conjunto

Sean \(A\subseteq\mathbb R\) y \(a\in\mathbb R\). Diremos que \(a\) es exterior a \(A\) si existe un radio real estrictamente positivo tal que la bola centrada en \(a\) no contiene ningún punto de \(A\):

\[ \boxed{a\text{ es exterior a }A\iff \exists r\in\mathbb R\ \bigl(r>0\ \text{y}\ B_r(a)\cap A=\varnothing\bigr).} \]

Como \(a\in B_r(a)\) para cada \(r>0\) (Proposición 15.1.2 — Las bolas son intervalos abiertos centrados), la condición implica \(a\notin A\). No vale la implicación inversa en general: de \(a\notin A\) sólo conocemos la posición del centro, no la de los restantes puntos de una bola. Tampoco se define aquí un punto «de frontera» por exclusión: esa noción necesitará primero el estudio de los puntos adherentes.

Definición 15.3.2 — Exterior de un conjunto

Definimos el exterior de \(A\subseteq\mathbb R\) como el conjunto de sus puntos exteriores:

\[ \boxed{\operatorname{Ext}(A):= \bigl\{x\in\mathbb R\setminus A: \exists r\in\mathbb R\ (r>0\ \text{y}\ B_r(x)\cap A=\varnothing)\bigr\}.} \]

La existencia se obtiene por Separación sobre \(\mathbb R\setminus A\), que existe por Definición 0.2.11 — Diferencia conjuntista. Restringir la comprensión al complemento hace visible la condición de tipo \(\operatorname{Ext}(A)\subseteq\mathbb R\setminus A\), aunque la definición anterior ya implica que todo punto exterior está fuera de \(A\). Para cada \(A\) este conjunto es único por extensionalidad; por Separación dentro de \(\mathcal P(\mathbb R)\times\mathcal P(\mathbb R)\), la asignación \(A\mapsto\operatorname{Ext}(A)\) determina asimismo una función total de \(\mathcal P(\mathbb R)\) en sí mismo. No escogemos radios para construir dicha función.

Proposición 15.3.3 — El exterior es el interior del complemento

Para todo \(A\subseteq\mathbb R\) se cumple

\[ \boxed{\operatorname{Ext}(A)=(\mathbb R\setminus A)^\circ.} \]

En particular, \(\operatorname{Ext}(A)\) es abierto.

Demostración.

Fijemos \(x\in\mathbb R\). Si \(x\in\operatorname{Ext}(A)\), existe \(r>0\) con \(B_r(x)\cap A=\varnothing\). Para cada \(y\in B_r(x)\), la pertenencia \(y\in A\) contradiría esa intersección vacía; por tanto \(y\in\mathbb R\setminus A\). Así \(B_r(x)\subseteq\mathbb R\setminus A\) y, puesto que \(x\) pertenece a su propia bola, \(x\in(\mathbb R\setminus A)^\circ\).

Recíprocamente, si \(x\in(\mathbb R\setminus A)^\circ\), algún \(r>0\) satisface \(B_r(x)\subseteq\mathbb R\setminus A\). Ningún elemento de la bola pertenece a \(A\), de modo que \(B_r(x)\cap A=\varnothing\); en particular \(x\) es exterior a \(A\) y pertenece a \(\operatorname{Ext}(A)\). Las dos inclusiones prueban la igualdad. Finalmente, Teorema 15.2.8 — El interior es el mayor abierto contenido en el conjunto garantiza que el interior de cualquier subconjunto de \(\mathbb R\) es abierto. Aplicándolo al complemento, obtenemos que \(\operatorname{Ext}(A)\) es abierto. ∎

Interpretación. El exterior no necesita una teoría distinta del interior: es el interior obtenido después de tomar el complemento. Este hecho no autoriza a identificarlo con todo el complemento; los puntos que estén fuera pero no posean una bola enteramente exterior quedarán fuera de \(\operatorname{Ext}(A)\).

Proposición 15.3.4 — Separación y antitonicidad del exterior

Para \(A,C\subseteq\mathbb R\) se cumplen:

1. \(\operatorname{Ext}(A)\cap A=\varnothing\) y, en consecuencia, \(\operatorname{Ext}(A)\cap A^\circ=\varnothing\).
2. Si \(A\subseteq C\), entonces \(\operatorname{Ext}(C)\subseteq\operatorname{Ext}(A)\).

Demostración.

Por definición, \(\operatorname{Ext}(A)\subseteq\mathbb R\setminus A\): ningún elemento suyo pertenece a \(A\), de donde la primera intersección es vacía. Puesto que \(A^\circ\subseteq A\) por Proposición 15.2.3 — Interior y vecindades, también es vacía la intersección con el interior.

Supongamos \(A\subseteq C\) y fijemos \(x\in\operatorname{Ext}(C)\). Existe \(r>0\) tal que \(B_r(x)\cap C=\varnothing\). Si algún \(y\) perteneciera a \(B_r(x)\cap A\), de \(A\subseteq C\) deduciríamos \(y\in B_r(x)\cap C\), contradicción. Luego \(B_r(x)\cap A=\varnothing\) y \(x\in\operatorname{Ext}(A)\). Esto demuestra la segunda inclusión. ∎

La inclusión se invierte: a mayor conjunto, menor exterior. No se afirma que cada punto de la recta sea necesariamente interior o exterior; una tercera posibilidad será estudiada después.

Definición 15.3.5 — Conjunto cerrado de la recta

Un conjunto \(F\subseteq\mathbb R\) se denomina cerrado (en \(\mathbb R\)) cuando su complemento en la recta es abierto:

\[ \boxed{F\text{ es cerrado}\iff\mathbb R\setminus F\text{ es abierto}.} \]

La palabra «cerrado» no significa «no abierto». La definición afirma una propiedad positiva del complemento: cada punto exterior a \(F\) en el sentido conjuntista deberá disponer de un margen completo fuera de \(F\). El ambiente es siempre \(\mathbb R\) y no se presupone ninguna noción de cerrado relativo a un subespacio.

Proposición 15.3.6 — Criterio de cerradura mediante puntos exteriores

Para cualquier \(F\subseteq\mathbb R\) son equivalentes las afirmaciones siguientes:

1. \(F\) es cerrado.
2. \(\operatorname{Ext}(F)=\mathbb R\setminus F\).
3. Para cada \(x\in\mathbb R\setminus F\) existe \(r>0\) tal que \(B_r(x)\cap F=\varnothing\).

Demostración.

Por Proposición 15.3.3 — El exterior es el interior del complemento, \(\operatorname{Ext}(F)=(\mathbb R\setminus F)^\circ\). El criterio de abiertos Proposición 15.2.6 — Caracterización de los abiertos mediante el interior, aplicado al conjunto \(\mathbb R\setminus F\), afirma que este complemento es abierto si y sólo si coincide con su interior. Por la definición de cerrado, esto demuestra la equivalencia entre (1) y (2).

Si vale (2) y \(x\in\mathbb R\setminus F\), entonces \(x\in\operatorname{Ext}(F)\); la definición de punto exterior proporciona el radio requerido en (3). Si vale (3), cada punto del complemento pertenece al exterior. Por ello \(\mathbb R\setminus F\subseteq\operatorname{Ext}(F)\); la inclusión inversa forma parte de Definición 15.3.2 — Exterior de un conjunto. La doble inclusión da (2). ∎

Lectura de cuantificadores. Para que un conjunto sea cerrado se exige un radio para cada punto de su complemento. El radio puede variar con el punto; no afirmamos la existencia de un radio uniforme ni de una función que seleccione simultáneamente todos esos radios.

Teorema 15.3.7 — Leyes fundamentales de los conjuntos cerrados

Se cumplen las siguientes propiedades:

1. \(\varnothing\) y \(\mathbb R\) son cerrados.
2. Si \(I\) es un conjunto cualquiera y \((F_i)_{i\in I}\) es una familia de cerrados de la recta, su intersección \(\bigcap_{i\in I}F_i\) es cerrada, incluido el caso \(I=\varnothing\), cuya intersección relativa a \(\mathbb R\) es \(\mathbb R\).
3. Si \(F,G\subseteq\mathbb R\) son cerrados, \(F\cup G\) es cerrado. En consecuencia, toda unión finita de cerrados es cerrada, incluida la unión vacía.

Demostración.

(1) Por Teorema 15.2.7 — Leyes fundamentales de los conjuntos abiertos, tanto \(\mathbb R\) como \(\varnothing\) son abiertos. Sus complementos en \(\mathbb R\) son, respectivamente, \(\varnothing\) y \(\mathbb R\); por la definición de cerrado, ambos son cerrados.

(2) La intersección indexada existe con ambiente \(\mathbb R\) por Definición 0.6.16 — Familia indexada. Denotémosla localmente por \(F\). Si \(I=\varnothing\), entonces \(F=\mathbb R\) y se aplica (1). Supongamos \(I\ne\varnothing\) y tomemos \(x\in\mathbb R\setminus F\). La pertenencia a \(F\) significa \(\forall i\in I,\ x\in F_i\); su negación, por la lógica clásica del contrato fundacional, da un índice \(i\in I\) con \(x\notin F_i\). Como \(F_i\) es cerrado, Proposición 15.3.6 — Criterio de cerradura mediante puntos exteriores proporciona \(r>0\) con \(B_r(x)\cap F_i=\varnothing\). Dado que \(F\subseteq F_i\), también \(B_r(x)\cap F=\varnothing\). Cada punto del complemento posee tal radio; el mismo criterio prueba que \(F\) es cerrado. El índice y el radio se obtienen para el punto fijado, sin construir una función de elección sobre \(I\).

(3) Sea \(x\in\mathbb R\setminus(F\cup G)\). Entonces \(x\notin F\) y \(x\notin G\). Como ambos son cerrados, encontramos radios \(r,s>0\) con \(B_r(x)\cap F=\varnothing\) y \(B_s(x)\cap G=\varnothing\). Tomemos \(t=\min\{r,s\}>0\). Por la inclusión entre bolas concéntricas de Proposición 15.1.2 — Las bolas son intervalos abiertos centrados,

\[ B_t(x)\subseteq B_r(x)\cap B_s(x). \]

Así \(B_t(x)\) no contiene puntos de \(F\) ni de \(G\), por lo que \(B_t(x)\cap(F\cup G)=\varnothing\). El criterio de Proposición 15.3.6 — Criterio de cerradura mediante puntos exteriores prueba que \(F\cup G\) es cerrado. La unión de cero cerrados es \(\varnothing\), cerrada por (1); por inducción sobre el número natural de miembros, el caso binario extiende el resultado a toda unión finita. ∎

Las reglas son duales a las de los abiertos, pero no idénticas: los cerrados admiten intersecciones arbitrarias y uniones finitas. El calificativo «finita» no puede eliminarse de la segunda operación en general; demostraremos un contraejemplo explícito antes de terminar la sección.

Proposición 15.3.8 — Las dos semirrectas estrictas son abiertas

Para cada \(c\in\mathbb R\), los conjuntos

\[ L_c:=\{x\in\mathbb R:x<c\},\qquad R_c:=\{x\in\mathbb R:c<x\} \]

son abiertos en \(\mathbb R\). Las letras \(L_c,R_c\) son abreviaturas locales para conjuntos existentes por Separación; no incorporamos símbolos de infinito ni suponemos una definición previa de intervalos no acotados.

Demostración.

Sea \(x\in L_c\), de manera que \(x<c\). Definamos \(r=c-x>0\). Para cualquier \(y\in B_r(x)\), la identidad bola–intervalo de Proposición 15.1.2 — Las bolas son intervalos abiertos centrados da \(y<x+r=c\); por tanto \(y\in L_c\) y \(B_r(x)\subseteq L_c\). Como \(x\) es arbitrario, \(L_c\) es abierto.

Análogamente, si \(x\in R_c\), el radio \(s=x-c>0\) cumple que todo \(y\in B_s(x)\) satisface \(y>x-s=c\). Luego \(B_s(x)\subseteq R_c\), y \(R_c\) también es abierto. ∎

Corolario 15.3.9 — Los intervalos cerrados y los singletons son cerrados

Si \(a,b\in\mathbb R\) y \(a\le b\), el intervalo \([a,b]\) es cerrado. Para cualquier \(a\in\mathbb R\), el singleton \(\{a\}\) es cerrado, aunque no es abierto. Los conjuntos \(\varnothing\) y \(\mathbb R\) son simultáneamente abiertos y cerrados.

Demostración.

Con la notación local de Proposición 15.3.8 — Las dos semirrectas estrictas son abiertas tenemos, por orden total y por la definición de intervalo acotado,

\[ \mathbb R\setminus[a,b]=L_a\cup R_b. \]

En efecto, un real está fuera de \([a,b]\) precisamente cuando es menor que \(a\) o mayor que \(b\). Ambos conjuntos de la derecha son abiertos; su unión es abierta por Teorema 15.2.7 — Leyes fundamentales de los conjuntos abiertos. El complemento de \([a,b]\) es, pues, abierto, y \([a,b]\) es cerrado.

De modo idéntico, \(\mathbb R\setminus\{a\}=L_a\cup R_a\), abierto, luego \(\{a\}\) es cerrado. Su falta de apertura ya fue demostrada en Proposición 15.2.9 — Ejemplos: intervalos abiertos y singletons. Por último, \(\varnothing\) y \(\mathbb R\) son abiertos por Teorema 15.2.7 — Leyes fundamentales de los conjuntos abiertos y cerrados por Teorema 15.3.7 — Leyes fundamentales de los conjuntos cerrados. ∎

Advertencia terminológica. No hay contradicción en que un conjunto sea abierto y cerrado a la vez. Tampoco hay contradicción en que no sea ninguno de los dos: las definiciones se aplican independientemente al conjunto y a su complemento.

Proposición 15.3.10 — Un conjunto que no es ni abierto ni cerrado

Sean \(a,b\in\mathbb R\) con \(a<b\), y definamos por Separación el conjunto

\[ H:=\{x\in\mathbb R:a\le x<b\}. \]

Entonces \(H\) no es abierto ni cerrado en \(\mathbb R\).

Demostración.

Como \(a<b\), tenemos \(a\in H\). Sea \(r>0\) arbitrario. El punto \(y=a-r/(1+1)\) satisface \(y<a\) y \(|y-a|=r/(1+1)<r\): pertenece a \(B_r(a)\) pero no a \(H\). Ninguna bola de radio positivo centrada en \(a\) queda contenida en \(H\); por la definición de abierto, \(H\) no es abierto.

Para negar la cerradura observemos que \(b\notin H\). Fijemos cualquier \(r>0\) y pongamos

\[ t:=\min\left\{\frac{r}{1+1},\frac{b-a}{1+1}\right\}>0, \qquad z:=b-t. \]

Como \(0<t\le(b-a)/(1+1)<b-a\), resulta \(a<z<b\), y por tanto \(z\in H\). Además, \(t\le r/(1+1)<r\) y \(|z-b|=t\), de modo que \(z\in B_r(b)\). Así, toda bola centrada en \(b\) intersecta \(H\), aunque \(b\notin H\). Por Proposición 15.3.6 — Criterio de cerradura mediante puntos exteriores, \(H\) no es cerrado. ∎

No hemos recurrido a la noción aún no definida de «punto adherente»: basta negar directamente la condición cuantificada de punto exterior. El ejemplo distingue rigurosamente «no abierto» de «cerrado».

Proposición 15.3.11 — Las restricciones de finitud son necesarias

Existen una familia de abiertos cuya intersección no es abierta y una familia de cerrados cuya unión no es cerrada. En ambos casos las familias están explícitamente determinadas, sin ninguna selección de representantes o radios.

Demostración.

Fijemos \(a\in\mathbb R\) y consideremos el conjunto de radios positivos

\[ I:=\{r\in\mathbb R:r>0\}. \]

Existe por Separación y es no vacío, pues \(1\in I\). La asignación \(r\mapsto B_r(a)\) determina una función \(I\to\mathcal P(\mathbb R)\): su grafo se obtiene por Separación dentro de \(I\times\mathcal P(\mathbb R)\), y para cada \(r\in I\) la bola ya existe y es única. Todos sus valores son abiertos por Teorema 15.2.5 — Toda bola abierta es un conjunto abierto.

Afirmamos que

\[ \boxed{\bigcap_{r\in I}B_r(a)=\{a\}.} \]

En efecto, \(a\in B_r(a)\) para cada \(r>0\), luego pertenece a la intersección. Si \(x\ne a\), entonces \(r:=|x-a|>0\) por las propiedades del valor absoluto. Este \(r\) pertenece a \(I\), pero \(x\notin B_r(a)\): la desigualdad definitoria \(|x-a|<r=|x-a|\) es falsa. Por ello ningún \(x\ne a\) está en la intersección. La igualdad sigue por extensionalidad. Como \(\{a\}\) no es abierto (Proposición 15.2.9 — Ejemplos: intervalos abiertos y singletons), acabamos de exhibir una intersección arbitraria de abiertos que no es abierta.

Definamos ahora, para cada \(r\in I\), \(F_r:=\mathbb R\setminus B_r(a)\). Son cerrados por definición y, de nuevo, la familia está determinada por un grafo único obtenido por Separación, sin Choice. Para \(x\in\mathbb R\), las leyes de pertenencia y la equivalencia elemental de De Morgan dan

\[ \begin{aligned} x\in\bigcup_{r\in I}F_r &\iff \exists r\in I\ \bigl(x\notin B_r(a)\bigr)\\ &\iff x\notin\bigcap_{r\in I}B_r(a)\\ &\iff x\in\mathbb R\setminus\{a\}. \end{aligned} \]

Así \(\bigcup_{r\in I}F_r=\mathbb R\setminus\{a\}\). Esta unión no es cerrada: si lo fuese, su complemento \(\{a\}\) sería abierto por Definición 15.3.5 — Conjunto cerrado de la recta, contra Proposición 15.2.9 — Ejemplos: intervalos abiertos y singletons. Quedan probados ambos contraejemplos. ∎

Balance conceptual. La dualidad entre abiertos y cerrados fija exactamente la forma de sus leyes: uniones arbitrarias e intersecciones finitas para abiertos; intersecciones arbitrarias y uniones finitas para cerrados. Ni la palabra «abierto» ni la palabra «cerrado» se deducen de incluir o excluir individualmente un punto.

El siguiente paso consistirá en estudiar los puntos cuya toda vecindad encuentra al conjunto. Esa condición —distinta de ser interior o exterior— permitirá introducir la adherencia y construir la clausura sin circularidad en §15.4.

15.4. Puntos adherentes y clausura

En §15.3 vimos que un punto exterior a \(A\) dispone de una bola completamente separada de \(A\). Negar esta condición conduce a una relación de proximidad que no exige pertenecer al conjunto: ninguna bola centrada en el punto puede evitar \(A\). Esta será la noción de adherencia. Primero construiremos el conjunto de todos esos puntos; sólo después probaremos su relación con los cerrados. La noción de punto de acumulación, que impone además una condición sobre puntos distintos del centro, queda reservada para la sección siguiente.

Definición 15.4.1 — Punto adherente de un conjunto

Sean \(A\subseteq\mathbb R\) y \(x\in\mathbb R\). Diremos que \(x\) es adherente a \(A\) cuando toda bola abierta de radio positivo centrada en \(x\) contiene al menos un punto de \(A\):

\[ \boxed{x\text{ es adherente a }A\iff \forall r\in\mathbb R\;\bigl(r>0\implies B_r(x)\cap A\ne\varnothing\bigr).} \]

La negación de «la intersección es vacía» equivale a que existe algún \(y\in A\) con \(|y-x|<r\). El testigo \(y\) puede depender de \(r\); no se afirma que exista un punto de \(A\) que sirva simultáneamente para todos los radios. Tampoco exigimos \(y\ne x\): cuando \(x\in A\), el propio centro proporcionará un testigo para cada bola. La condición distinta \(y\ne x\) se estudiará al definir la acumulación, no aquí.

Pregunta de lectura. ¿Puede un punto adherente quedar fuera de \(A\)? Sí: el extremo \(b\) del conjunto \(H=\{x\in\mathbb R:a\le x<b\}\) de §15.3 no pertenece a \(H\), pero la prueba de Proposición 15.3.10 — Un conjunto que no es ni abierto ni cerrado exhibe un elemento de \(B_r(b)\cap H\) para cada \(r>0\).

Definición 15.4.2 — Clausura de un conjunto

Para \(A\subseteq\mathbb R\), definimos su clausura como el conjunto de todos los puntos adherentes a \(A\):

\[ \boxed{\overline A:=\{x\in\mathbb R: \forall r\in\mathbb R\;(r>0\implies B_r(x)\cap A\ne\varnothing)\}.} \]

El conjunto existe por Separación sobre \(\mathbb R\): no estamos intentando reunir puntos sin un conjunto ambiente. La extensionalidad asegura su unicidad. En particular, la asignación \(A\mapsto\overline A\) define una operación total \(\mathcal P(\mathbb R)\to\mathcal P(\mathbb R)\): su grafo se obtiene por Separación dentro de \(\mathcal P(\mathbb R)\times\mathcal P(\mathbb R)\), utilizando la fórmula anterior, y cada argumento tiene una única imagen. No se construye una función de elección de puntos de las intersecciones, porque la definición sólo cuantifica su existencia por cada radio.

La barra superior se aplica a subconjuntos de \(\mathbb R\); no se confunde con la barra de una función inducida en un cociente ni se interpreta como límite de una sucesión. «Clausura» nombra inicialmente este conjunto definido por bolas: todavía falta demostrar que es cerrado.

Proposición 15.4.3 — La adherencia es la negación de la exterioridad

Para todo \(A\subseteq\mathbb R\) y todo \(x\in\mathbb R\),

\[ \boxed{x\in\overline A\iff x\notin\operatorname{Ext}(A).} \]

En consecuencia,

\[ \boxed{\overline A=\mathbb R\setminus\operatorname{Ext}(A), \qquad\mathbb R\setminus\overline A=\operatorname{Ext}(A).} \]

Demostración.

Por la definición de clausura, \(x\in\overline A\) significa que, para todo \(r>0\), la intersección \(B_r(x)\cap A\) es no vacía. En cambio, ser exterior significa que existe \(r>0\) para el cual esa intersección es vacía. Estas dos afirmaciones son negaciones lógicas una de otra: si todas las intersecciones son no vacías, no existe el radio exterior; y, recíprocamente, si no existe tal radio, la lógica clásica permite concluir que cada intersección es no vacía. La condición adicional \(x\in\mathbb R\setminus A\) en la definición conjuntista de \(\operatorname{Ext}(A)\) es redundante gracias a Definición 15.3.1 — Punto exterior de un conjunto y a que \(x\in B_r(x)\) para \(r>0\).

Hemos probado la equivalencia para un \(x\in\mathbb R\) arbitrario. Por extensionalidad, los puntos de \(\overline A\) son exactamente los del complemento de \(\operatorname{Ext}(A)\) dentro de \(\mathbb R\). Al tomar de nuevo complementos relativos a \(\mathbb R\) obtenemos la segunda identidad. ∎

La equivalencia también muestra que interioridad, exterioridad y adherencia responden a preguntas diferentes. El punto \(x\) es interior si una bola está contenida en \(A\); es exterior si una bola evita \(A\); es adherente si ninguna bola evita \(A\).

Proposición 15.4.4 — Extensividad y monotonía de la clausura

Para cualesquiera \(A,B\subseteq\mathbb R\) se cumplen:

\[ \boxed{A\subseteq\overline A,} \]

\[ \boxed{A\subseteq B\implies\overline A\subseteq\overline B.} \]

Demostración.

Para la primera inclusión fijemos \(x\in A\) y un radio arbitrario \(r>0\). La proposición Proposición 15.1.2 — Las bolas son intervalos abiertos centrados afirma que \(x\in B_r(x)\). Como también \(x\in A\), tenemos \(x\in B_r(x)\cap A\), de modo que esa intersección no es vacía. Esto vale para cada \(r>0\), luego \(x\in\overline A\). No fue necesario seleccionar testigos: el mismo \(x\) sirve para todos los radios.

Para la monotonía, supongamos \(A\subseteq B\) y fijemos \(x\in\overline A\). Sea \(r>0\) cualquiera. Por adherencia, existe un punto \(y\in B_r(x)\cap A\). La inclusión \(A\subseteq B\) implica \(y\in B_r(x)\cap B\). Por tanto, toda bola centrada en \(x\) intersecta \(B\) y \(x\in\overline B\). El punto y el radio eran arbitrarios, así que \(\overline A\subseteq\overline B\). ∎

Interpretación. La clausura no descarta puntos del conjunto inicial. Además, al añadir elementos a \(A\) no se pierden puntos adherentes; la operación respeta la inclusión.

Teorema 15.4.5 — La clausura es un conjunto cerrado

Para todo \(A\subseteq\mathbb R\), el conjunto \(\overline A\) es cerrado.

Demostración.

La proposición anterior Proposición 15.4.3 — La adherencia es la negación de la exterioridad estableció la identidad

\[ \mathbb R\setminus\overline A=\operatorname{Ext}(A). \]

Por Proposición 15.3.3 — El exterior es el interior del complemento, el exterior de cualquier conjunto es abierto. En consecuencia, el complemento de \(\overline A\) es abierto. La definición Definición 15.3.5 — Conjunto cerrado de la recta de conjunto cerrado, aplicada después de haber construido la clausura, demuestra que \(\overline A\) es cerrado. ∎

No hemos definido la clausura como «el cerrado más pequeño»: esta propiedad aparecerá ahora como un teorema y no como una petición circular de existencia.

Teorema 15.4.6 — La clausura es el menor cerrado que contiene al conjunto

Sea \(A\subseteq\mathbb R\). La clausura \(\overline A\) es cerrada, contiene a \(A\) y, para todo \(F\subseteq\mathbb R\) cerrado,

\[ \boxed{A\subseteq F\implies\overline A\subseteq F.} \]

Equivalentemente, si definimos

\[ \mathcal F_A:=\{F\in\mathcal P(\mathbb R):A\subseteq F\ \text{y}\ F\text{ es cerrado}\}, \]

entonces esta familia es un conjunto no vacío y

\[ \boxed{\overline A=\bigcap_{F\in\mathcal F_A}F.} \]

Demostración.

La inclusión \(A\subseteq\overline A\) está demostrada en Proposición 15.4.4 — Extensividad y monotonía de la clausura, y Teorema 15.4.5 — La clausura es un conjunto cerrado asegura que \(\overline A\) es cerrado. Falta verificar su minimalidad.

Sea \(F\) cerrado con \(A\subseteq F\) y fijemos \(x\in\overline A\). Si \(x\notin F\), el criterio Proposición 15.3.6 — Criterio de cerradura mediante puntos exteriores aplicado a ese punto del complemento de \(F\) proporciona un radio \(r>0\) tal que \(B_r(x)\cap F=\varnothing\). Como \(A\subseteq F\), también \(B_r(x)\cap A=\varnothing\). Esto contradice que \(x\in\overline A\), pues cada bola de radio positivo centrada en \(x\) debe intersectar \(A\). Por consiguiente, \(x\in F\). La arbitrariedad de \(x\) demuestra \(\overline A\subseteq F\).

Para justificar la fórmula final sin hablar de una «intersección de todos los cerrados» como si fuese una clase irrestricta, definimos \(\mathcal F_A\) por Separación sobre \(\mathcal P(\mathbb R)\). Este conjunto no es vacío: \(\mathbb R\) es cerrado por Teorema 15.3.7 — Leyes fundamentales de los conjuntos cerrados y contiene a \(A\). La familia identidad \(F\mapsto F\), con dominio \(\mathcal F_A\) y codominio \(\mathcal P(\mathbb R)\), está definida por restricción de la identidad ya disponible; su intersección existe con ambiente \(\mathbb R\) conforme a Definición 0.6.16 — Familia indexada.

La minimalidad recién probada implica \(\overline A\subseteq F\) para cada \(F\in\mathcal F_A\), por lo que \(\overline A\subseteq\bigcap_{F\in\mathcal F_A}F\). A la inversa, \(\overline A\in\mathcal F_A\), al ser cerrado y contener a \(A\); por definición de intersección, \(\bigcap_{F\in\mathcal F_A}F\subseteq\overline A\). La doble inclusión prueba la igualdad. Ningún paso requiere elegir un cerrado de manera arbitraria para cada punto ni escoger radios simultáneamente. ∎

La caracterización por intersección concuerda con las leyes de cerrados de §15.3: una intersección de cerrados es cerrada. La demostración anterior es además una prueba de existencia del mínimo: no se ha supuesto que tal mínimo exista para después denominarlo clausura.

Corolario 15.4.7 — Un conjunto es cerrado si y sólo si coincide con su clausura

Para todo \(A\subseteq\mathbb R\),

\[ \boxed{A\text{ es cerrado}\iff\overline A=A.} \]

Demostración.

Si \(A\) es cerrado, se puede usar \(F=A\) en la propiedad de minimalidad de Teorema 15.4.6 — La clausura es el menor cerrado que contiene al conjunto. La inclusión \(A\subseteq F\) es reflexiva y se obtiene \(\overline A\subseteq A\). La inclusión opuesta \(A\subseteq\overline A\) es Proposición 15.4.4 — Extensividad y monotonía de la clausura; por extensionalidad, \(\overline A=A\).

Recíprocamente, si \(\overline A=A\), el teorema Teorema 15.4.5 — La clausura es un conjunto cerrado dice que \(\overline A\) es cerrado; sustituyendo conjuntos iguales, \(A\) también es cerrado. ∎

Proposición 15.4.8 — Idempotencia de la clausura

Para cualquier \(A\subseteq\mathbb R\),

\[ \boxed{\overline{\overline A}=\overline A.} \]

Demostración.

La primera clausura \(\overline A\) es cerrada por Teorema 15.4.5 — La clausura es un conjunto cerrado. Aplicamos el criterio Corolario 15.4.7 — Un conjunto es cerrado si y sólo si coincide con su clausura al conjunto ya construido \(\overline A\), que es un subconjunto de \(\mathbb R\). Todo cerrado coincide con su clausura, de donde \(\overline{\overline A}=\overline A\). Alternativamente, la extensividad y la minimalidad proporcionan respectivamente las inclusiones opuestas. ∎

El operador no añade nuevos puntos al repetirse: el resultado de la primera aplicación ya es cerrado.

Proposición 15.4.9 — Clausura del vacío, de la recta y de un singleton

Para todo \(a\in\mathbb R\),

\[ \boxed{\overline{\varnothing}=\varnothing,\qquad \overline{\mathbb R}=\mathbb R,\qquad \overline{\{a\}}=\{a\}.} \]

Demostración.

Por Teorema 15.3.7 — Leyes fundamentales de los conjuntos cerrados, \(\varnothing\) y \(\mathbb R\) son cerrados. Por Corolario 15.3.9 — Los intervalos cerrados y los singletons son cerrados, también lo es \(\{a\}\). Apliquemos a cada uno, por separado, Corolario 15.4.7 — Un conjunto es cerrado si y sólo si coincide con su clausura: al ser cerrados coinciden con sus clausuras, lo que proporciona exactamente las tres identidades. En particular, el vacío no posee puntos adherentes; no se interpreta la clausura como una operación que necesariamente agregue nuevos elementos. ∎

Teorema 15.4.10 — Clausura de uniones e intersecciones

Sean \(A,B\subseteq\mathbb R\). Entonces

\[ \boxed{\overline{A\cup B}=\overline A\cup\overline B,} \]

\[ \boxed{\overline{A\cap B}\subseteq\overline A\cap\overline B.} \]

Más generalmente, para cualquier conjunto de índices \(I\) y cualquier familia \((A_i)_{i\in I}\) de subconjuntos de \(\mathbb R\),

\[ \boxed{\bigcup_{i\in I}\overline{A_i}\subseteq \overline{\bigcup_{i\in I}A_i},\qquad \overline{\bigcap_{i\in I}A_i}\subseteq \bigcap_{i\in I}\overline{A_i}.} \]

Se admiten \(I=\varnothing\), usando la convención previa de que la unión vacía es \(\varnothing\) y la intersección vacía en el ambiente \(\mathbb R\) es \(\mathbb R\). Las dos inclusiones indexadas no se anuncian como igualdades generales.

Demostración.

Unión binaria. Por la inclusión \(A\subseteq A\cup B\) y la monotonía Proposición 15.4.4 — Extensividad y monotonía de la clausura, \(\overline A\subseteq\overline{A\cup B}\). Del mismo modo, \(\overline B\subseteq\overline{A\cup B}\). Reuniendo ambas inclusiones obtenemos

\[ \overline A\cup\overline B\subseteq\overline{A\cup B}. \]

Para la inclusión inversa, \(\overline A\) y \(\overline B\) son cerrados por Teorema 15.4.5 — La clausura es un conjunto cerrado. Su unión es cerrada por la ley binaria de Teorema 15.3.7 — Leyes fundamentales de los conjuntos cerrados y contiene a \(A\cup B\), porque \(A\subseteq\overline A\) y \(B\subseteq\overline B\). La minimalidad de la clausura Teorema 15.4.6 — La clausura es el menor cerrado que contiene al conjunto implica entonces

\[ \overline{A\cup B}\subseteq\overline A\cup\overline B. \]

Las dos inclusiones demuestran la igualdad.

Intersección binaria. Como \(A\cap B\subseteq A\) y \(A\cap B\subseteq B\), la monotonía produce \(\overline{A\cap B}\subseteq\overline A\) y \(\overline{A\cap B}\subseteq\overline B\). La conjunción de ambas afirmaciones equivale a \(\overline{A\cap B}\subseteq\overline A\cap\overline B\).

Familias arbitrarias. Como la aplicación de clausura es una función total \(\mathcal P(\mathbb R)\to\mathcal P(\mathbb R)\), su composición con la familia \(i\mapsto A_i\) proporciona, sin selección, la familia bien definida \(i\mapsto\overline{A_i}\). Ambas uniones e intersecciones existen por Definición 0.6.16 — Familia indexada. Escribamos \(U:=\bigcup_{i\in I}A_i\). Para cada \(i\in I\) tenemos \(A_i\subseteq U\) y, por monotonía, \(\overline{A_i}\subseteq\overline U\). Si un punto pertenece a \(\bigcup_i\overline{A_i}\), pertenece a una de esas clausuras y, por tanto, a \(\overline U\). Queda probada la primera inclusión.

Para la segunda, escribamos \(V:=\bigcap_{i\in I}A_i\), con ambiente \(\mathbb R\). Cada \(i\in I\) satisface \(V\subseteq A_i\); por monotonía, \(\overline V\subseteq\overline{A_i}\). Así, todos los puntos de \(\overline V\) pertenecen a todas las clausuras y, por definición de intersección, \(\overline V\subseteq\bigcap_i\overline{A_i}\). Si \(I=\varnothing\), la primera inclusión se reduce a \(\varnothing\subseteq\overline\varnothing\) y la segunda a \(\overline{\mathbb R}\subseteq\mathbb R\), válidas por Proposición 15.4.9 — Clausura del vacío, de la recta y de un singleton. Ninguna parte seleccionó simultáneamente un índice o un punto para todos los radios. ∎

Lectura conceptual. La clausura conserva exactamente las uniones finitas; para intersecciones siempre se obtiene al menos una inclusión. En familias arbitrarias, las dos leyes anteriores sólo proporcionan inclusiones. La siguiente proposición muestra por qué ninguna de esas dos inclusiones puede convertirse automáticamente en igualdad.

Proposición 15.4.11 — Dos inclusiones que pueden ser estrictas

Existen \(A,B\subseteq\mathbb R\) para los que

\[ \overline{A\cap B}\subsetneq\overline A\cap\overline B, \]

y existe una familia de conjuntos cerrados \((F_r)_{r\in I}\) tal que

\[ \bigcup_{r\in I}\overline{F_r}\subsetneq \overline{\bigcup_{r\in I}F_r}. \]

Demostración.

Primera afirmación. Fijemos \(a\in\mathbb R\) y formemos por Separación las semirrectas estrictas

\[ A:=\{x\in\mathbb R:x<a\},\qquad B:=\{x\in\mathbb R:a<x\}, \]

ya estudiadas en Proposición 15.3.8 — Las dos semirrectas estrictas son abiertas. Son disjuntas, así que \(A\cap B=\varnothing\) y \(\overline{A\cap B}=\varnothing\) por Proposición 15.4.9 — Clausura del vacío, de la recta y de un singleton. No obstante, para cada \(r>0\) el punto \(a-r/(1+1)\) pertenece a \(A\) y a \(B_r(a)\): su distancia a \(a\) es \(r/(1+1)<r\). De igual modo, \(a+r/(1+1)\in B\cap B_r(a)\). Por la definición de adherencia, \(a\in\overline A\cap\overline B\). Esta intersección no es vacía, mientras que \(\overline{A\cap B}\) sí lo es. La inclusión de Teorema 15.4.10 — Clausura de uniones e intersecciones es estricta.

Segunda afirmación. Reutilicemos la familia explícita construida en Proposición 15.3.11 — Las restricciones de finitud son necesarias: \(I:=\{r\in\mathbb R:r>0\}\) y \(F_r:=\mathbb R\setminus B_r(a)\). Allí se probaron tanto la existencia de esta familia como la identidad

\[ \bigcup_{r\in I}F_r=\mathbb R\setminus\{a\}. \]

Cada \(F_r\) es cerrado, por lo que Corolario 15.4.7 — Un conjunto es cerrado si y sólo si coincide con su clausura da \(\overline{F_r}=F_r\). En consecuencia,

\[ \bigcup_{r\in I}\overline{F_r}=\mathbb R\setminus\{a\}. \]

Por extensividad, todos los puntos distintos de \(a\) pertenecen a la clausura del conjunto \(\mathbb R\setminus\{a\}\). También pertenece \(a\): para cada radio \(s>0\), el punto \(a+s/(1+1)\) está en \(B_s(a)\) y es distinto de \(a\), de modo que

\[ B_s(a)\cap(\mathbb R\setminus\{a\})\ne\varnothing. \]

Luego \(a\) es adherente al complemento del singleton y su clausura es toda la recta. Hemos obtenido

\[ \bigcup_{r\in I}\overline{F_r}=\mathbb R\setminus\{a\} \subsetneq\mathbb R =\overline{\bigcup_{r\in I}F_r}, \]

como queríamos. Toda la familia está determinada por una fórmula, sin seleccionar radios ni usar un axioma de elección. ∎

La clausura puede entenderse, por tanto, tanto mediante bolas como mediante cerrados: es el conjunto de los puntos cuya proximidad con \(A\) resulta inevitable y, simultáneamente, el menor cerrado que contiene a \(A\). La siguiente unidad distinguirá ahora los puntos de acumulación de los meramente adherentes; en particular, deberá exigir que las bolas contengan puntos de \(A\) diferentes del propio centro.

15.5. Puntos de acumulación y puntos aislados

Un punto adherente puede encontrarse en todas las bolas centradas en él por una razón trivial: él mismo pertenece al conjunto. Para captar una proximidad que no dependa de esa coincidencia, excluiremos expresamente el centro. La acumulación es, por tanto, una condición más fuerte que la adherencia, aun cuando el centro no pertenezca al conjunto.

Definición 15.5.1 — Punto de acumulación

Sean \(A\subseteq\mathbb R\) y \(x\in\mathbb R\). Decimos que \(x\) es punto de acumulación de \(A\) si toda bola abierta de radio positivo centrada en \(x\) contiene un punto de \(A\) distinto de \(x\):

\[ \boxed{\forall r\in\mathbb R\ \bigl(r>0\implies (B_r(x)\setminus\{x\})\cap A\ne\varnothing\bigr).} \]

Equivalentemente, para todo \(r>0\) existe \(y\in A\) tal que \(0<|y-x|<r\): la primera desigualdad equivale a \(y\ne x\) y la segunda equivale a \(y\in B_r(x)\). Los conjuntos involucrados ya existen por las operaciones de diferencia e intersección. El punto \(x\) no tiene por qué pertenecer a \(A\). Cada radio puede aportar un testigo diferente; no se pide escoger una función de testigos indexada por los radios.

Distinción lógica. Adherencia exige \(B_r(x)\cap A\ne\varnothing\) para todo \(r>0\); acumulación exige además un testigo diferente del centro. La diferencia entre ambas nociones es significativa precisamente cuando \(x\in A\).

Definición 15.5.2 — Conjunto derivado o conjunto de puntos de acumulación

Para cada \(A\subseteq\mathbb R\) definimos su conjunto derivado mediante

\[ \boxed{\operatorname{Acc}(A):=\{x\in\mathbb R: \forall r\in\mathbb R\ (r>0\implies (B_r(x)\setminus\{x\})\cap A\ne\varnothing)\}.} \]

La Separación sobre \(\mathbb R\) proporciona este conjunto; la extensionalidad lo determina de manera única. También queda definida una función total \(\operatorname{Acc}:\mathcal P(\mathbb R)\to\mathcal P(\mathbb R)\): se separan en \(\mathcal P(\mathbb R)\times\mathcal P(\mathbb R)\) los pares cuyo segundo componente satisface exactamente la fórmula exhibida para el primero. No se selecciona ningún punto de las intersecciones que aparecen en ella.

Escribimos \(\operatorname{Acc}(A)\) en vez de introducir aquí \(A'\): la abreviatura evita anticipar la notación de derivadas de funciones. La expresión designa un conjunto, no una operación de diferenciación.

Proposición 15.5.3 — Acumulación implica adherencia y respeta la inclusión

Para cualesquiera \(A,B\subseteq\mathbb R\) se tiene

\[ \boxed{\operatorname{Acc}(A)\subseteq\overline A,\qquad A\subseteq B\implies\operatorname{Acc}(A)\subseteq\operatorname{Acc}(B).} \]

Demostración.

Sea \(x\in\operatorname{Acc}(A)\) y fijemos \(r>0\). Por definición existe \(y\in(B_r(x)\setminus\{x\})\cap A\). En particular, \(y\in B_r(x)\cap A\), luego esta última intersección es no vacía. Como el radio era arbitrario, \(x\in\overline A\).

Supongamos ahora \(A\subseteq B\) y fijemos \(x\in\operatorname{Acc}(A)\). Dado cualquier \(r>0\), el testigo \(y\in B_r(x)\setminus\{x\}\) anterior pertenece a \(A\) y, por la inclusión, también a \(B\). Por consiguiente \((B_r(x)\setminus\{x\})\cap B\ne\varnothing\) para cada radio positivo; así \(x\in\operatorname{Acc}(B)\). ∎

La primera inclusión puede ser estricta: un punto que pertenece a un singleton es adherente a él, pero veremos que no puede ser punto de acumulación de ese singleton.

Teorema 15.5.4 — Descomposición de la clausura y criterio de cerradura

Para todo \(A\subseteq\mathbb R\),

\[ \boxed{\overline A=A\cup\operatorname{Acc}(A).} \]

Además, la condición de ser cerrado admite la caracterización

\[ \boxed{A\text{ es cerrado}\iff\operatorname{Acc}(A)\subseteq A.} \]

Demostración.

La extensividad de Proposición 15.4.4 — Extensividad y monotonía de la clausura proporciona \(A\subseteq\overline A\); Proposición 15.5.3 — Acumulación implica adherencia y respeta la inclusión proporciona \(\operatorname{Acc}(A)\subseteq\overline A\). Por tanto, su unión también está incluida en \(\overline A\).

Para la otra inclusión fijemos \(x\in\overline A\). Distinguimos mediante lógica clásica dos casos. Si \(x\in A\), ya pertenece a \(A\cup\operatorname{Acc}(A)\). Si \(x\notin A\), consideremos cualquier \(r>0\). Por adherencia, hay \(y\in B_r(x)\cap A\). Como \(x\notin A\), necesariamente \(y\ne x\), de modo que \(y\in(B_r(x)\setminus\{x\})\cap A\). Esto vale para todo radio positivo; luego \(x\in\operatorname{Acc}(A)\) y, de nuevo, \(x\) pertenece a la unión. La doble inclusión y extensionalidad prueban la identidad.

Si \(A\) es cerrado, Corolario 15.4.7 — Un conjunto es cerrado si y sólo si coincide con su clausura afirma que \(\overline A=A\). Como \(\operatorname{Acc}(A)\subseteq\overline A\), deducimos \(\operatorname{Acc}(A)\subseteq A\). Recíprocamente, si \(\operatorname{Acc}(A)\subseteq A\), la identidad recién probada da \(\overline A=A\cup\operatorname{Acc}(A)=A\); el mismo criterio Corolario 15.4.7 — Un conjunto es cerrado si y sólo si coincide con su clausura implica que \(A\) es cerrado. ∎

Lectura del resultado. La clausura reúne los puntos que ya están en \(A\) y los puntos que no pueden separarse de él mediante bolas perforadas. No afirma que \(\operatorname{Acc}(A)\) esté incluido en \(A\): esa inclusión es precisamente una caracterización de los conjuntos cerrados.

Definición 15.5.5 — Punto aislado

Un punto \(x\) es aislado en \(A\subseteq\mathbb R\) si \(x\in A\) y existe un radio \(r>0\) tal que

\[ \boxed{B_r(x)\cap A=\{x\}.} \]

La pertenencia \(x\in A\) es indispensable: una bola que no encuentre ningún punto de \(A\) describe un punto exterior, no un punto aislado de \(A\). La igualdad exige que dentro de cierta bola el único punto del conjunto sea el centro; otros puntos de \(A\) pueden existir fuera de ella.

Proposición 15.5.6 — Los puntos aislados son los puntos propios no acumulativos

Para \(x\in\mathbb R\) y \(A\subseteq\mathbb R\),

\[ \boxed{x\text{ es aislado en }A\iff x\in A\ \text{y}\ x\notin\operatorname{Acc}(A).} \]

En particular, el conjunto de los puntos aislados de \(A\) es exactamente \(A\setminus\operatorname{Acc}(A)\).

Demostración.

Supongamos que \(x\) es aislado. Entonces \(x\in A\) y existe \(r>0\) con \(B_r(x)\cap A=\{x\}\). Al retirar \(x\) de esa intersección resulta \((B_r(x)\setminus\{x\})\cap A=\varnothing\). La condición universal que define la acumulación falla para ese radio; por ello \(x\notin\operatorname{Acc}(A)\).

Recíprocamente, supongamos \(x\in A\) y \(x\notin\operatorname{Acc}(A)\). La negación clásica de la condición universal de Definición 15.5.1 — Punto de acumulación proporciona un \(r>0\) tal que \((B_r(x)\setminus\{x\})\cap A=\varnothing\). Como \(x\in A\) y, por Proposición 15.1.2 — Las bolas son intervalos abiertos centrados, \(x\in B_r(x)\), tenemos \(x\in B_r(x)\cap A\). Si \(y\) es cualquier otro elemento de esta intersección, \(y\ne x\) lo situaría en la intersección perforada vacía, contradicción. Por tanto \(B_r(x)\cap A=\{x\}\) y \(x\) es aislado. La descripción del conjunto de puntos aislados se obtiene por Separación en \(A\). ∎

La oposición entre «aislado» y «de acumulación» concierne a los puntos que pertenecen a \(A\): un punto exterior también puede no ser de acumulación, pero nunca se le llamará aislado en \(A\).

Teorema 15.5.7 — El conjunto de puntos de acumulación es cerrado

Para todo \(A\subseteq\mathbb R\), el conjunto \(\operatorname{Acc}(A)\) es cerrado en \(\mathbb R\).

Demostración.

Aplicaremos el criterio Proposición 15.3.6 — Criterio de cerradura mediante puntos exteriores: basta mostrar que cada punto del complemento de \(\operatorname{Acc}(A)\) posee una bola disjunta de ese conjunto. Fijemos \(x\notin\operatorname{Acc}(A)\). La negación de la definición de acumulación proporciona un radio \(r>0\) tal que

\[ (B_r(x)\setminus\{x\})\cap A=\varnothing. \tag{*} \]

Afirmamos que \(B_r(x)\cap\operatorname{Acc}(A)=\varnothing\). El centro \(x\) no pertenece a \(\operatorname{Acc}(A)\) por hipótesis. Sea entonces \(y\in B_r(x)\) con \(y\ne x\). Los dos reales \(r-|y-x|\) y \(|y-x|\) son positivos; definamos explícitamente

\[ \delta:=\frac{\min\{r-|y-x|,\,|y-x|\}}{1+1}>0. \]

Si \(z\in B_\delta(y)\), las desigualdades triangular e inversa dan

\[ |z-x|\le |z-y|+|y-x|<\delta+|y-x|<r \]

y

\[ |z-x|\ge |y-x|-|z-y|>|y-x|-\delta>0. \]

Por tanto \(z\in B_r(x)\setminus\{x\}\), y así \(B_\delta(y)\subseteq B_r(x)\setminus\{x\}\). La intersección de esta última región con \(A\) es vacía por (*); en particular \(B_\delta(y)\cap A=\varnothing\). El punto \(y\) no es de acumulación, porque para el radio \(\delta\) ni siquiera hay un punto de \(A\) en la bola. En consecuencia, ningún \(y\in B_r(x)\) pertenece a \(\operatorname{Acc}(A)\).

Hemos hallado para cada \(x\notin\operatorname{Acc}(A)\) un radio positivo \(r\) con \(B_r(x)\cap\operatorname{Acc}(A)=\varnothing\). El criterio de cerradura Proposición 15.3.6 — Criterio de cerradura mediante puntos exteriores completa la demostración. ∎

La prueba es local: una única bola que evita a \(A\) salvo, eventualmente, por su centro también evita a todos los puntos de acumulación de \(A\). No se extrajeron sucesiones de puntos, por lo que tampoco se requirió elección numerable.

Teorema 15.5.8 — El conjunto derivado conserva las uniones binarias

Para cualesquiera \(A,B\subseteq\mathbb R\),

\[ \boxed{\operatorname{Acc}(A\cup B) =\operatorname{Acc}(A)\cup\operatorname{Acc}(B).} \]

Para una familia indexada arbitraria sólo afirmamos, por monotonía,

\[ \boxed{\bigcup_{i\in I}\operatorname{Acc}(A_i) \subseteq\operatorname{Acc}\left(\bigcup_{i\in I}A_i\right).} \]

Demostración.

Como \(A\subseteq A\cup B\) y \(B\subseteq A\cup B\), la monotonía Proposición 15.5.3 — Acumulación implica adherencia y respeta la inclusión implica que cada conjunto derivado de la derecha está incluido en \(\operatorname{Acc}(A\cup B)\). Esto da la inclusión de derecha a izquierda.

Para la inclusión opuesta, fijemos \(x\in\operatorname{Acc}(A\cup B)\) y supongamos, por contradicción, que \(x\notin\operatorname{Acc}(A)\) y \(x\notin\operatorname{Acc}(B)\). Negando clásicamente ambas condiciones universales, obtenemos radios \(r,s>0\) tales que

\[ (B_r(x)\setminus\{x\})\cap A=\varnothing, \qquad (B_s(x)\setminus\{x\})\cap B=\varnothing. \]

El número \(t=\min\{r,s\}\) es positivo. Puesto que \(B_t(x)\subseteq B_r(x)\cap B_s(x)\), ningún punto de \(B_t(x)\setminus\{x\}\) pertenece a \(A\) ni a \(B\), y por lo tanto

\[ (B_t(x)\setminus\{x\})\cap(A\cup B)=\varnothing. \]

Esto contradice \(x\in\operatorname{Acc}(A\cup B)\). Por lógica clásica, \(x\) pertenece a \(\operatorname{Acc}(A)\) o a \(\operatorname{Acc}(B)\) y queda demostrada la igualdad. Para la familia, cada \(A_i\) está contenido en su unión; la monotonía aporta \(\operatorname{Acc}(A_i)\subseteq\operatorname{Acc}(\bigcup_j A_j)\) para cada \(i\), y la definición de unión entrega la inclusión solicitada. El caso \(I=\varnothing\) es inmediato. No se han escogido puntos para todos los radios ni índices simultáneamente. ∎

Una unión finita de conjuntos derivados se trata por inducción a partir de la igualdad binaria y del caso vacío que verificaremos enseguida. Para uniones arbitrarias, la inclusión inversa puede fallar.

Proposición 15.5.9 — Ejemplos y límite de la ley de unión

Dados \(a,b\in\mathbb R\) con \(a<b\), se tienen las identidades

\[ \boxed{\operatorname{Acc}(\varnothing)=\varnothing, \quad \operatorname{Acc}(\{a\})=\varnothing, \quad\operatorname{Acc}((a,b))=[a,b].} \]

Existe, además, una familia de conjuntos cuyo conjunto derivado no conserva la unión arbitraria como igualdad.

Demostración.

Vacío y singleton. Ninguna bola perforada puede intersectar \(\varnothing\). Si \(x=a\), la intersección \((B_r(a)\setminus\{a\})\cap\{a\}\) es vacía para todo \(r>0\). Si \(x\ne a\), tomemos \(r=|x-a|/(1+1)>0\). Para el único candidato \(a\) se tiene \(|a-x|>r\), por lo que \(a\notin B_r(x)\) y la intersección perforada también es vacía. Ningún punto acumula al singleton, y las dos primeras identidades siguen por extensionalidad.

Intervalo abierto: inclusión \([a,b]\subseteq\operatorname{Acc}((a,b))\). Sea \(x\in(a,b)\) y \(r>0\). El número

\[ \eta:=\frac{\min\{r,b-x\}}{1+1}>0 \]

satisface \(0<\eta<r\) y \(0<\eta<b-x\), de modo que \(y:=x+\eta\) pertenece a \((a,b)\), es distinto de \(x\) y está en \(B_r(x)\). Por ello \(x\) es de acumulación. Si \(x=a\), elijamos explícitamente \(y=a+\min\{r,b-a\}/(1+1)\); si \(x=b\), tomemos \(y=b-\min\{r,b-a\}/(1+1)\). En cada caso \(y\in(a,b)\), \(y\ne x\) y \(|y-x|<r\). Así, también los dos extremos son de acumulación.

Inclusión inversa. Si \(x<a\), fijemos \(r=(a-x)/(1+1)>0\). Cada \(y\in B_r(x)\) satisface \(y<x+r<a\), por lo que \(B_r(x)\cap(a,b)=\varnothing\). Si \(x>b\), el radio \((x-b)/(1+1)\) garantiza análogamente \(B_r(x)\cap(a,b)=\varnothing\). Estos puntos no acumulan al intervalo. Por totalidad del orden, todo real fuera de \([a,b]\) satisface una de esas dos desigualdades; así, \(\operatorname{Acc}((a,b))\subseteq[a,b]\). Las inclusiones prueban la tercera igualdad.

Por qué la unión infinita es distinta. Sea \(I=(0,1)\), conjunto existente de índices reales, y para cada \(t\in I\) definamos \(F_t=\{t\}\). Su grafo funcional se obtiene por Separación en \(I\times\mathcal P(\mathbb R)\) a partir de la fórmula \(F_t=\{t\}\); no interviene Choice. Cada \(\operatorname{Acc}(F_t)\) es vacío por el caso singleton, por lo que

\[ \bigcup_{t\in I}\operatorname{Acc}(F_t)=\varnothing. \]

Pero \(\bigcup_{t\in I}F_t=(0,1)\), cuyo conjunto derivado es \([0,1]\) por la tercera identidad (entendiendo ahora \(0,1\) como elementos del cuerpo real). En particular, \(0\) pertenece al derivado de la unión y no a la unión de los derivados. La inclusión indexada de Teorema 15.5.8 — El conjunto derivado conserva las uniones binarias puede ser estricta. ∎

Los ejemplos fijan el alcance de la noción: una pertenencia solitaria no produce acumulación, mientras que los extremos de un intervalo pueden acumular puntos aun sin pertenecer al intervalo. El próximo paso será estudiar los puntos de frontera mediante la relación simultánea con un conjunto y su complemento, sin confundir frontera con conjunto derivado.

15.6. Frontera de un conjunto

El interior de \(A\) reúne los puntos alrededor de los cuales cabe permanecer enteramente en \(A\); su exterior reúne aquellos alrededor de los cuales cabe permanecer enteramente fuera de \(A\). Pero estas dos posibilidades no agotan necesariamente la recta. Puede ocurrir que cada bola centrada en un punto encuentre simultáneamente puntos de \(A\) y de su complemento. Ése será nuestro criterio para reconocer la frontera.

La definición no exige que el centro pertenezca a \(A\) y tampoco debe confundirse con la acumulación: allí se excluye el centro al buscar otro punto de \(A\); aquí se exige proximidad con dos conjuntos diferentes, sin perforar ninguna bola.

Definición 15.6.1 — Punto de frontera

Sean \(A\subseteq\mathbb R\) y \(x\in\mathbb R\). Diremos que \(x\) es un punto de frontera de \(A\) si, para cada \(r\in\mathbb R\) con \(r>0\), se cumplen simultáneamente

\[ \boxed{B_r(x)\cap A\ne\varnothing \qquad\text{y}\qquad B_r(x)\cap(\mathbb R\setminus A)\ne\varnothing.} \]

Los dos cuantificadores existenciales implícitos en las intersecciones no vacías se refieren a un radio fijado. No se pide una función que asigne testigos a todos los radios. Tampoco se exige \(x\in A\): el centro puede pertenecer al conjunto o a su complemento. En ambos casos debe haber puntos de los dos lados tan próximos como se quiera.

Definición 15.6.2 — Frontera de un conjunto

Para \(A\subseteq\mathbb R\), definimos su frontera como el conjunto de todos sus puntos de frontera:

\[ \boxed{\partial A:=\left\{x\in\mathbb R: \forall r\in\mathbb R\,\bigl(r>0\Rightarrow [B_r(x)\cap A\ne\varnothing\ \land\ B_r(x)\cap(\mathbb R\setminus A)\ne\varnothing]\bigr)\right\}.} \]

El complemento \(\mathbb R\setminus A\) ya existe; la fórmula está definida para cada \(x\in\mathbb R\) y el conjunto \(\partial A\) existe por Separación sobre \(\mathbb R\). La extensionalidad garantiza su unicidad. Puesto que \(\mathcal P(\mathbb R)\) es un conjunto y para cada \(A\in\mathcal P(\mathbb R)\) se determina un único \(\partial A\in\mathcal P(\mathbb R)\), el grafo

\[ \{\langle A,F\rangle\in\mathcal P(\mathbb R)\times\mathcal P(\mathbb R):F=\partial A\} \]

existe por Separación dentro de ese producto y define una función total de \(\mathcal P(\mathbb R)\) en sí mismo. La escritura \(\partial A\) queda reservada a esta operación sobre subconjuntos de la recta; no designa la derivada de una función ni presupone una topología abstracta. Ninguna de las dos construcciones selecciona puntos de las intersecciones.

Teorema 15.6.3 — Caracterización de la frontera por dos clausuras

Para cualquier \(A\subseteq\mathbb R\),

\[ \boxed{\partial A=\overline A\cap\overline{\mathbb R\setminus A}.} \]

Demostración.

Tomemos \(x\in\partial A\). Para cada radio \(r>0\), la definición proporciona una intersección no vacía \(B_r(x)\cap A\); por la definición de adherencia de §15.4, \(x\in\overline A\). Para esos mismos radios se tiene además \(B_r(x)\cap(\mathbb R\setminus A)\ne\varnothing\), de donde \(x\in\overline{\mathbb R\setminus A}\). Así,

\[ \partial A\subseteq\overline A\cap\overline{\mathbb R\setminus A}. \]

Para la inclusión inversa, sea \(x\in\overline A\cap\overline{\mathbb R\setminus A}\). Fijemos un radio arbitrario \(r>0\). La primera pertenencia afirma que \(B_r(x)\cap A\ne\varnothing\); la segunda afirma que \(B_r(x)\cap(\mathbb R\setminus A)\ne\varnothing\). Ambas condiciones se cumplen para el mismo radio arbitrario, luego \(x\) es fronterizo y pertenece a \(\partial A\). La doble inclusión y la extensionalidad completan la prueba. ∎

Interpretación. La frontera no es simplemente el conjunto de puntos que están fuera de \(A\) ni su conjunto derivado. Es el lugar donde la adherencia a \(A\) y la adherencia a su complemento coinciden.

Teorema 15.6.4 — Descomposición de la recta en interior, frontera y exterior

Para todo \(A\subseteq\mathbb R\) se tienen las identidades

\[ \boxed{\partial A=\overline A\setminus A^\circ,} \qquad \boxed{\overline A=A^\circ\cup\partial A,} \]

así como la descomposición

\[ \boxed{\mathbb R=A^\circ\cup\partial A\cup\operatorname{Ext}(A).} \]

Las tres partes de la última unión son disjuntas dos a dos.

Demostración.

Apliquemos Proposición 15.4.3 — La adherencia es la negación de la exterioridad al complemento \(C:=\mathbb R\setminus A\). Allí se demostró que \(\overline C=\mathbb R\setminus\operatorname{Ext}(C)\). A su vez, Proposición 15.3.3 — El exterior es el interior del complemento, junto con la doble complementación relativa a \(\mathbb R\), da

\[ \operatorname{Ext}(C) =(\mathbb R\setminus C)^\circ=A^\circ. \]

En consecuencia,

\[ \overline{\mathbb R\setminus A}=\mathbb R\setminus A^\circ. \]

Sustituyendo en Teorema 15.6.3 — Caracterización de la frontera por dos clausuras y aplicando la ley de intersección con un complemento, obtenemos por extensionalidad

\[ \partial A=\overline A\cap(\mathbb R\setminus A^\circ) =\overline A\setminus A^\circ. \]

Como \(A^\circ\subseteq A\subseteq\overline A\) (Proposición 15.2.3 — Interior y vecindades y Proposición 15.4.4 — Extensividad y monotonía de la clausura), todo punto de \(\overline A\) pertenece a \(A^\circ\) o a \(\overline A\setminus A^\circ\) por distinción clásica de casos. Recíprocamente, ambos conjuntos están contenidos en \(\overline A\). Esto demuestra \(\overline A=A^\circ\cup\partial A\) y prueba también \(A^\circ\cap\partial A=\varnothing\).

Finalmente, Proposición 15.4.3 — La adherencia es la negación de la exterioridad proporciona \(\mathbb R\setminus\overline A=\operatorname{Ext}(A)\). Todo punto real está en \(\overline A\) o en su complemento; utilizando la identidad precedente obtenemos la unión anunciada. La parte exterior no intersecta \(A^\circ\) ni \(\partial A\), porque ambas están contenidas en \(\overline A\). Así, las tres partes son disjuntas dos a dos y cubren exactamente \(\mathbb R\). ∎

Esta descomposición no dice que \(A\) coincida con su interior unido a la frontera: lo que coincide con esa unión es la clausura de \(A\). Según cómo se hayan incluido sus puntos fronterizos, dos conjuntos distintos pueden tener la misma clausura y la misma frontera.

Proposición 15.6.5 — La frontera es cerrada y no cambia al tomar el complemento

Para todo \(A\subseteq\mathbb R\),

\[ \boxed{\partial A\text{ es cerrado},} \qquad \boxed{\partial(\mathbb R\setminus A)=\partial A.} \]

Demostración.

Por Teorema 15.4.5 — La clausura es un conjunto cerrado, los conjuntos \(\overline A\) y \(\overline{\mathbb R\setminus A}\) son cerrados. Su intersección también lo es por la ley de intersecciones de cerrados Teorema 15.3.7 — Leyes fundamentales de los conjuntos cerrados; la identidad de Teorema 15.6.3 — Caracterización de la frontera por dos clausuras identifica esta intersección con \(\partial A\), lo que demuestra la primera afirmación.

Para la segunda, apliquemos la misma identidad al complemento \(C=\mathbb R\setminus A\):

\[ \partial C=\overline C\cap\overline{\mathbb R\setminus C} =\overline{\mathbb R\setminus A}\cap\overline A =\partial A. \]

La doble complementación tiene lugar siempre dentro de \(\mathbb R\). La conmutatividad de la intersección, demostrable por pertenencia a ambos factores, concluye la prueba. ∎

La simetría expresa que una frontera no privilegia ninguno de los dos lados: intercambiar \(A\) con su complemento no modifica la región en la que ambos se aproximan.

Teorema 15.6.6 — Criterios de apertura y cerradura mediante la frontera

Sea \(A\subseteq\mathbb R\). Entonces

\[ \boxed{A\text{ es abierto}\iff A\cap\partial A=\varnothing,} \]

\[ \boxed{A\text{ es cerrado}\iff\partial A\subseteq A.} \]

Demostración.

Apertura, implicación directa. Si \(A\) es abierto, Proposición 15.2.6 — Caracterización de los abiertos mediante el interior da \(A=A^\circ\). Por la descomposición disjunta de Teorema 15.6.4 — Descomposición de la recta en interior, frontera y exterior, \(A^\circ\cap\partial A=\varnothing\); luego \(A\cap\partial A=\varnothing\).

Apertura, implicación recíproca. Supongamos \(A\cap\partial A=\varnothing\) y tomemos \(x\in A\). Por extensividad, \(x\in\overline A\). La igualdad \(\overline A=A^\circ\cup\partial A\) implica que \(x\in A^\circ\) o \(x\in\partial A\). La segunda posibilidad contradice \(x\in A\) y la disjunción supuesta; por tanto \(x\in A^\circ\). Hemos probado \(A\subseteq A^\circ\), y la inclusión inversa figura en Proposición 15.2.3 — Interior y vecindades. Así \(A=A^\circ\), de donde \(A\) es abierto por Proposición 15.2.6 — Caracterización de los abiertos mediante el interior.

Cerradura, implicación directa. Si \(A\) es cerrado, Corolario 15.4.7 — Un conjunto es cerrado si y sólo si coincide con su clausura asegura \(\overline A=A\). La identidad \(\partial A\subseteq\overline A\), inmediata de Teorema 15.6.4 — Descomposición de la recta en interior, frontera y exterior, da \(\partial A\subseteq A\).

Cerradura, implicación recíproca. Supongamos \(\partial A\subseteq A\). Dado \(x\in\overline A\), la descomposición \(\overline A=A^\circ\cup\partial A\) proporciona dos casos. En el primero, \(x\in A^\circ\subseteq A\); en el segundo, \(x\in\partial A\subseteq A\). Luego \(\overline A\subseteq A\), mientras que \(A\subseteq\overline A\) siempre. Por extensionalidad, \(A=\overline A\) y el criterio Corolario 15.4.7 — Un conjunto es cerrado si y sólo si coincide con su clausura concluye que \(A\) es cerrado. ∎

La apertura exige que ningún punto del propio conjunto sea fronterizo; la cerradura exige, por el contrario, que todos los puntos fronterizos estén incluidos en él. No se deduce de aquí que todo conjunto sea abierto o cerrado: puede no satisfacer ninguna de las dos exigencias.

Corolario 15.6.7 — Frontera vacía y conjuntos abiertos y cerrados

Para \(A\subseteq\mathbb R\),

\[ \boxed{\partial A=\varnothing\iff A\text{ es abierto y cerrado}.} \]

Demostración.

Si \(\partial A=\varnothing\), tanto \(A\cap\partial A=\varnothing\) como \(\partial A\subseteq A\) se cumplen; las dos equivalencias de Teorema 15.6.6 — Criterios de apertura y cerradura mediante la frontera hacen a \(A\) abierto y cerrado. Recíprocamente, si \(A\) es abierto y cerrado, esas equivalencias dan \(A\cap\partial A=\varnothing\) y \(\partial A\subseteq A\). Cualquier \(x\in\partial A\) pertenecería entonces a \(A\cap\partial A\), contradicción. Por tanto, \(\partial A\) no tiene elementos y es vacío por extensionalidad. ∎

Todavía no afirmamos que los únicos subconjuntos simultáneamente abiertos y cerrados de \(\mathbb R\) sean \(\varnothing\) y \(\mathbb R\): tal afirmación necesita su propia demostración y no se obtiene sólo de las definiciones anteriores.

Proposición 15.6.8 — Ejemplos: extremos, singletons y falta de monotonía

Para \(a,b\in\mathbb R\) con \(a<b\) se tienen las identidades

\[ \boxed{\partial\varnothing=\partial\mathbb R=\varnothing,\qquad \partial\{a\}=\{a\},} \]

\[ \boxed{\partial(a,b)=\partial[a,b]=\{a,b\}.} \]

La operación frontera no es monótona respecto de la inclusión: pueden existir \(A\subseteq B\) con \(\partial A\not\subseteq\partial B\).

Demostración.

Vacío y recta. Por Proposición 15.4.9 — Clausura del vacío, de la recta y de un singleton, \(\overline\varnothing=\varnothing\) y \(\overline{\mathbb R}=\mathbb R\). Aplicando la caracterización de Teorema 15.6.3 — Caracterización de la frontera por dos clausuras a \(\varnothing\) y a \(\mathbb R\), con sus complementos relativos intercambiados, ambas fronteras resultan ser \(\varnothing\cap\mathbb R=\varnothing\).

Singleton. El conjunto \(\{a\}\) es cerrado por Corolario 15.3.9 — Los intervalos cerrados y los singletons son cerrados y, por Corolario 15.4.7 — Un conjunto es cerrado si y sólo si coincide con su clausura, su clausura es \(\{a\}\). Su interior es vacío: si \(a\) fuera interior, habría un \(r>0\) con \(B_r(a)\subseteq\{a\}\); pero \(a+r/(1+1)\) pertenece a esa bola y es distinto de \(a\). Como \(A^\circ\subseteq A\), ningún otro punto puede ser interior al singleton. Por consiguiente, la identidad \(\partial A=\overline A\setminus A^\circ\) de Teorema 15.6.4 — Descomposición de la recta en interior, frontera y exterior da \(\partial\{a\}=\{a\}\).

Intervalo abierto. Proposición 15.2.9 — Ejemplos: intervalos abiertos y singletons prueba que \((a,b)\) es abierto y, por Proposición 15.2.6 — Caracterización de los abiertos mediante el interior, su interior es \((a,b)\). La proposición Proposición 15.5.9 — Ejemplos y límite de la ley de unión establece \(\operatorname{Acc}((a,b))=[a,b]\); combinada con \(\overline A=A\cup\operatorname{Acc}(A)\) de Teorema 15.5.4 — Descomposición de la clausura y criterio de cerradura, implica \(\overline{(a,b)}=[a,b]\). En consecuencia,

\[ \partial(a,b)=[a,b]\setminus(a,b)=\{a,b\}, \]

pues \(a<b\) y el orden total determina exactamente qué extremos agrega el intervalo cerrado.

Intervalo cerrado. Corolario 15.3.9 — Los intervalos cerrados y los singletons son cerrados demuestra que \([a,b]\) es cerrado, y por ello \(\overline{[a,b]}=[a,b]\). Probemos que su interior es precisamente \((a,b)\). Cada \(x\in(a,b)\) es interior a \((a,b)\) por apertura; una bola contenida en \((a,b)\) también está contenida en \([a,b]\). De modo que \((a,b)\subseteq[a,b]^\circ\). A la inversa, cualquier punto interior a \([a,b]\) pertenece al propio intervalo. El extremo \(a\) no puede ser interior: para todo \(r>0\), el punto \(a-r/(1+1)\) pertenece a \(B_r(a)\) y queda fuera de \([a,b]\). Análogamente, \(b+r/(1+1)\) demuestra que \(b\) no es interior. Todo punto restante de \([a,b]\) está estrictamente entre \(a\) y \(b\), por totalidad del orden. Así, \([a,b]^\circ=(a,b)\) y

\[ \partial[a,b]=[a,b]\setminus(a,b)=\{a,b\}. \]

Ausencia de monotonía. Tomemos \(A=\{a\}\) y \(B=\mathbb R\). Ciertamente \(A\subseteq B\), pero acabamos de demostrar \(\partial A=\{a\}\) y \(\partial B=\varnothing\). La inclusión \(\partial A\subseteq\partial B\) es falsa. ∎

Estos ejemplos muestran por qué «frontera» no significa «puntos exteriores» ni «puntos de acumulación»: la frontera de un singleton contiene a su centro, aunque Proposición 15.5.9 — Ejemplos y límite de la ley de unión prueba que dicho singleton no tiene puntos de acumulación. Asimismo, un intervalo abierto y su versión cerrada tienen idéntica frontera, aun cuando difieren en la pertenencia de los extremos. Más adelante estudiaremos las leyes de la frontera bajo operaciones de conjuntos y su relación con otras caracterizaciones de proximidad; ninguna de ellas ha sido supuesta en esta unidad.

15.7. Operaciones de interior, clausura y frontera

Las secciones anteriores construyeron tres aplicaciones de \(\mathcal P(\mathbb R)\) en sí mismo: \(A\mapsto A^\circ\), \(A\mapsto\overline A\) y \(A\mapsto\partial A\). Hemos probado por separado que el interior es el mayor abierto incluido en \(A\) (Teorema 15.2.8 — El interior es el mayor abierto contenido en el conjunto), que la clausura es el menor cerrado que lo contiene (Teorema 15.4.6 — La clausura es el menor cerrado que contiene al conjunto) y que la frontera reúne los puntos adherentes a \(A\) y a su complemento (Teorema 15.6.3 — Caracterización de la frontera por dos clausuras). Podemos ahora examinar sus leyes sin volver a definirlas.

Conviene separar dos problemas: cómo se comporta cada operación al ampliar el conjunto y cómo interactúa con las operaciones conjuntistas. La clausura ya dispone de una teoría completa de uniones e intersecciones en §15.4 (Teorema 15.4.10 — Clausura de uniones e intersecciones y Proposición 15.4.11 — Dos inclusiones que pueden ser estrictas); aquí no duplicaremos esas pruebas. Completaremos primero las leyes del interior y después deduciremos las de la frontera.

Proposición 15.7.1 — Monotonía y leyes del interior

Para \(A,B\subseteq\mathbb R\) se tienen

\[ \boxed{A\subseteq B\ \Longrightarrow\ A^\circ\subseteq B^\circ,} \]

\[ \boxed{\varnothing^\circ=\varnothing,\quad (\mathbb R)^\circ=\mathbb R,\quad (A^\circ)^\circ=A^\circ,} \]

\[ \boxed{(A\cap B)^\circ=A^\circ\cap B^\circ,\qquad A^\circ\cup B^\circ\subseteq(A\cup B)^\circ.} \]

Para toda familia \((A_i)_{i\in I}\) de subconjuntos de \(\mathbb R\), con \(I\) un conjunto de índices, valen además

\[ \boxed{\bigcup_{i\in I}A_i^\circ\subseteq \left(\bigcup_{i\in I}A_i\right)^\circ,\qquad \left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)^\circ\subseteq \bigcap_{i\in I}A_i^\circ.} \]

La intersección vacía está referida al ambiente \(\mathbb R\) y la unión vacía es \(\varnothing\). La igualdad para intersecciones se afirma aquí sólo para familias finitas; la igualdad binaria, junto con inducción, cubre también la intersección finita vacía.

Demostración.

Monotonía. Si \(x\in A^\circ\), existe \(r>0\) con \(B_r(x)\subseteq A\). Bajo la hipótesis \(A\subseteq B\), ese mismo radio da \(B_r(x)\subseteq B\), de modo que \(x\in B^\circ\). No se necesitan radios seleccionados simultáneamente.

Vacío, recta e idempotencia. El interior está contenido en el conjunto original (Proposición 15.2.3 — Interior y vecindades), así que \(\varnothing^\circ=\varnothing\). La recta es abierta por Teorema 15.2.7 — Leyes fundamentales de los conjuntos abiertos, luego \((\mathbb R)^\circ=\mathbb R\) por Proposición 15.2.6 — Caracterización de los abiertos mediante el interior. El interior \(A^\circ\) es abierto por Teorema 15.2.8 — El interior es el mayor abierto contenido en el conjunto; el mismo criterio aplicado a \(A^\circ\) da \((A^\circ)^\circ=A^\circ\).

Intersección binaria. Como \(A\cap B\subseteq A,B\), la monotonía recién probada implica \((A\cap B)^\circ\subseteq A^\circ\cap B^\circ\). En sentido inverso, \(A^\circ\) y \(B^\circ\) son abiertos (Teorema 15.2.8 — El interior es el mayor abierto contenido en el conjunto), y su intersección es abierta (Teorema 15.2.7 — Leyes fundamentales de los conjuntos abiertos). Está contenida en \(A\cap B\) porque cada interior está contenido en su conjunto. La maximalidad de \((A\cap B)^\circ\) (Teorema 15.2.8 — El interior es el mayor abierto contenido en el conjunto) produce \(A^\circ\cap B^\circ\subseteq(A\cap B)^\circ\). Ambas inclusiones prueban la igualdad.

Unión binaria y familias. De \(A\subseteq A\cup B\) y \(B\subseteq A\cup B\) se deduce por monotonía que ambos interiores están contenidos en \((A\cup B)^\circ\); lo mismo vale para su unión. Para una familia general, las operaciones \(A\mapsto A^\circ\) y \(i\mapsto A_i\) son funciones ya construidas; su composición determina \(i\mapsto A_i^\circ\) sin elegir radios. Si \(x\in\bigcup_i A_i^\circ\), existe un índice particular \(i\) con \(x\in A_i^\circ\), y \(A_i\subseteq\bigcup_j A_j\) permite aplicar monotonía. Para la intersección, sea \(V=\bigcap_i A_i\subseteq\mathbb R\). Para cada \(i\in I\), \(V\subseteq A_i\) implica \(V^\circ\subseteq A_i^\circ\); por tanto \(V^\circ\subseteq\bigcap_i A_i^\circ\). Si \(I=\varnothing\), las afirmaciones se reducen respectivamente a \(\varnothing\subseteq\varnothing\) y \(\mathbb R\subseteq\mathbb R\).

Por último, la igualdad de intersecciones para cualquier número finito de conjuntos se obtiene por inducción sobre ese número, utilizando el caso binario y el caso vacío ya establecidos. ∎

La asimetría es deliberada: el interior preserva intersecciones finitas, pero una unión puede crear puntos interiores que no lo eran en ninguno de los sumandos. En una intersección infinita puede ocurrir lo contrario: los márgenes positivos disponibles para cada factor pueden desaparecer al exigirlos todos a la vez.

Proposición 15.7.2 — Dos inclusiones del interior pueden ser estrictas

Existen conjuntos \(A,B\subseteq\mathbb R\) tales que

\[ \boxed{A^\circ\cup B^\circ\subsetneq(A\cup B)^\circ,} \]

y una familia de conjuntos abiertos \((U_r)_{r\in I}\) tal que

\[ \boxed{\left(\bigcap_{r\in I}U_r\right)^\circ \subsetneq\bigcap_{r\in I}U_r^\circ.} \]

Demostración.

Para la unión, fijemos \(a<b<c\) en \(\mathbb R\) y consideremos \(A=[a,b]\) y \(B=[b,c]\). La demostración de Proposición 15.6.8 — Ejemplos: extremos, singletons y falta de monotonía estableció que el interior de un intervalo cerrado no degenerado es el correspondiente intervalo abierto. Así,

\[ A^\circ\cup B^\circ=(a,b)\cup(b,c), \qquad (A\cup B)^\circ=[a,c]^\circ=(a,c). \]

El punto \(b\) pertenece al conjunto de la derecha, pero no al de la izquierda. La inclusión es, pues, propia.

Para la intersección, fijemos \(a\in\mathbb R\) y reutilicemos el conjunto de índices \(I:=\{r\in\mathbb R:r>0\}\) y la familia explícita \(U_r:=B_r(a)\) de Proposición 15.3.11 — Las restricciones de finitud son necesarias. Allí se probó que \(\bigcap_{r\in I}U_r=\{a\}\). Toda bola es abierta (Teorema 15.2.5 — Toda bola abierta es un conjunto abierto), por lo que \(U_r^\circ=U_r\); en cambio \(\{a\}^\circ=\varnothing\), ya que ninguna bola positiva está contenida en el singleton, como se verificó en Proposición 15.6.8 — Ejemplos: extremos, singletons y falta de monotonía. En consecuencia,

\[ \left(\bigcap_{r\in I}U_r\right)^\circ=\varnothing \subsetneq\{a\}=\bigcap_{r\in I}U_r^\circ. \]

El índice \(I\), la familia de bolas y su intersección están definidos por fórmulas anteriores: no hay selección de radios ni elección numerable. ∎

Síntesis de las dos primeras operaciones. Por Proposición 15.4.4 — Extensividad y monotonía de la clausura y Proposición 15.4.8 — Idempotencia de la clausura, la clausura es extensiva, monótona e idempotente. Por Proposición 15.7.1 — Monotonía y leyes del interior, el interior es contractivo, monótono e idempotente. La clausura conserva las uniones finitas y satisface las inclusiones indexadas de Teorema 15.4.10 — Clausura de uniones e intersecciones, cuyos límites exactos se demostraron en Proposición 15.4.11 — Dos inclusiones que pueden ser estrictas. La dualidad ya obtenida en §15.4 toma la forma

\[ A^\circ=\mathbb R\setminus\overline{\mathbb R\setminus A}, \qquad \overline A=\mathbb R\setminus(\mathbb R\setminus A)^\circ. \]

Estas igualdades expresan una correspondencia entre interior y clausura mediante complementos relativos a \(\mathbb R\). No las usamos para reemplazar las demostraciones anteriores ni introducimos una topología abstracta.

Teorema 15.7.3 — Frontera de uniones e intersecciones binarias

Para cualesquiera \(A,B\subseteq\mathbb R\) se cumplen las inclusiones

\[ \boxed{\partial(A\cup B)\subseteq\partial A\cup\partial B,} \]

\[ \boxed{\partial(A\cap B)\subseteq\partial A\cup\partial B.} \]

No se afirma, en general, ninguna de las dos igualdades.

Demostración.

Escribamos \(C=\mathbb R\setminus A\) y \(D=\mathbb R\setminus B\). Todas las operaciones siguientes están definidas sobre subconjuntos de \(\mathbb R\).

Unión. Supongamos \(x\in\partial(A\cup B)\). La caracterización de frontera de Teorema 15.6.3 — Caracterización de la frontera por dos clausuras y la ley de clausura de uniones binarias Teorema 15.4.10 — Clausura de uniones e intersecciones dan

\[ x\in\overline{A\cup B}=\overline A\cup\overline B. \]

Por De Morgan, el complemento de \(A\cup B\) es \(C\cap D\). La otra condición fronteriza y la ley de clausura de intersecciones proporcionan

\[ x\in\overline{C\cap D}\subseteq\overline C\cap\overline D. \]

Si \(x\in\overline A\), entonces \(x\in\overline A\cap\overline C=\partial A\). Si, por el contrario, la pertenencia a la unión inicial se verifica mediante \(x\in\overline B\), tenemos \(x\in\overline B\cap\overline D=\partial B\). En ambos casos \(x\in\partial A\cup\partial B\).

Intersección. Sea ahora \(x\in\partial(A\cap B)\). Por la ley de clausura de intersecciones,

\[ x\in\overline{A\cap B}\subseteq\overline A\cap\overline B. \]

El complemento de \(A\cap B\) es \(C\cup D\). La otra condición fronteriza, junto con la ley de clausura de uniones, implica

\[ x\in\overline{C\cup D}=\overline C\cup\overline D. \]

En el primer caso, \(x\in\overline C\) y también \(x\in\overline A\), de donde \(x\in\partial A\). En el segundo, \(x\in\overline D\cap\overline B=\partial B\). Así queda probada la segunda inclusión. Los casos son finitos y se consideran para un \(x\) arbitrario ya fijado: no hay función de elección ni selección simultánea de testigos de bolas. ∎

La frontera de una unión o intersección no puede surgir fuera de las fronteras de los conjuntos iniciales; sin embargo, algunas fronteras pueden desaparecer cuando dos conjuntos se unen o se intersectan.

Proposición 15.7.4 — Las dos inclusiones fronterizas pueden ser estrictas

Existen \(A,B\subseteq\mathbb R\) para los cuales ambas inclusiones de Teorema 15.7.3 — Frontera de uniones e intersecciones binarias son propias.

Demostración.

Tomemos \(a<b<c\) y definamos \(A=[a,b]\), \(B=[b,c]\). Por las definiciones de intervalos,

\[ A\cup B=[a,c],\qquad A\cap B=\{b\}. \]

Los cálculos de frontera de Proposición 15.6.8 — Ejemplos: extremos, singletons y falta de monotonía se aplican a los tres intervalos cerrados y al singleton:

\[ \partial A\cup\partial B =\{a,b\}\cup\{b,c\}=\{a,b,c\}, \]

\[ \partial(A\cup B)=\partial[a,c]=\{a,c\}, \qquad \partial(A\cap B)=\partial\{b\}=\{b\}. \]

Como \(a<b<c\), tanto \(\{a,c\}\) como \(\{b\}\) están propiamente incluidos en \(\{a,b,c\}\). El mismo par de conjuntos certifica la estrictez de las dos inclusiones. ∎

Corolario 15.7.5 — Frontera de una diferencia de conjuntos

Para \(A,B\subseteq\mathbb R\),

\[ \boxed{\partial(A\setminus B)\subseteq\partial A\cup\partial B.} \]

Demostración.

La diferencia se expresa, dentro del ambiente \(\mathbb R\), como \(A\setminus B=A\cap(\mathbb R\setminus B)\). Aplicamos la inclusión para fronteras de intersecciones de Teorema 15.7.3 — Frontera de uniones e intersecciones binarias y luego la simetría de la frontera bajo complemento de Proposición 15.6.5 — La frontera es cerrada y no cambia al tomar el complemento:

\[ \partial(A\setminus B) \subseteq\partial A\cup\partial(\mathbb R\setminus B) =\partial A\cup\partial B. \]

Concluye la prueba. ∎

Proposición 15.7.6 — La frontera después de tomar interior o clausura

Para todo \(A\subseteq\mathbb R\) se verifica

\[ \boxed{\partial(A^\circ)\subseteq\partial A, \qquad\partial(\overline A)\subseteq\partial A.} \]

Las dos inclusiones pueden ser estrictas, aunque no necesariamente para el mismo conjunto.

Demostración.

Frontera del interior. Fijemos \(x\in\partial(A^\circ)\). La identidad \(\partial E=\overline E\setminus E^\circ\) de Teorema 15.6.4 — Descomposición de la recta en interior, frontera y exterior, aplicada a \(E=A^\circ\), implica

\[ x\in\overline{A^\circ} \quad\text{y}\quad x\notin(A^\circ)^\circ=A^\circ, \]

donde usamos la idempotencia de Proposición 15.7.1 — Monotonía y leyes del interior. Como \(A^\circ\subseteq A\), la monotonía de clausura (Proposición 15.4.4 — Extensividad y monotonía de la clausura) da \(\overline{A^\circ}\subseteq\overline A\). Así \(x\in\overline A\setminus A^\circ=\partial A\).

Frontera de la clausura. Si \(x\in\partial(\overline A)\), la misma identidad y la idempotencia de la clausura (Proposición 15.4.8 — Idempotencia de la clausura) dan \(x\in\overline A\) y \(x\notin(\overline A)^\circ\). Por \(A\subseteq\overline A\) y monotonía del interior (Proposición 15.7.1 — Monotonía y leyes del interior), tenemos \(A^\circ\subseteq(\overline A)^\circ\). Por tanto \(x\notin A^\circ\), lo que de nuevo implica \(x\in\partial A\).

Estrictez de la primera inclusión. Para \(A=\{a\}\), Proposición 15.6.8 — Ejemplos: extremos, singletons y falta de monotonía establece \(A^\circ=\varnothing\) y \(\partial A=\{a\}\). La misma proposición prueba \(\partial(A^\circ)=\partial\varnothing=\varnothing\subsetneq\{a\}\).

Estrictez de la segunda inclusión. Tomemos \(A=\mathbb R\setminus\{a\}\). Proposición 15.4.11 — Dos inclusiones que pueden ser estrictas probó explícitamente \(\overline A=\mathbb R\), de modo que \(\partial(\overline A)=\partial\mathbb R=\varnothing\) por Proposición 15.6.8 — Ejemplos: extremos, singletons y falta de monotonía. En cambio, por la simetría bajo complemento de Proposición 15.6.5 — La frontera es cerrada y no cambia al tomar el complemento, \(\partial A=\partial\{a\}=\{a\}\). La inclusión es estricta. ∎

Interpretación. Interior y clausura disponen de leyes de monotonía e idempotencia; la frontera no. Sin embargo, las tres están ligadas por \(\partial A=\overline A\setminus A^\circ\): tomar primero interior o clausura puede eliminar parte de la frontera original, pero no crea puntos fronterizos fuera de ella. Estos resultados son relativos a la recta real; las descripciones mediante sucesiones y las cuestiones de densidad siguen pendientes en las unidades posteriores.

15.8. Descripciones secuenciales y el alcance de la elección

Las sucesiones reales se construyeron en el Capítulo 13, antes de definir la topología de la recta. Podemos conectar ahora ambos lenguajes: si todos los términos de una sucesión pertenecen a un conjunto, ¿dónde puede situarse su límite? La dirección desde una sucesión ya dada hasta una propiedad topológica es inmediata. La dirección contraria exige mayor cuidado: de la afirmación «cada bola contiene algún punto de \(A\)» no se obtiene automáticamente, en ZF, una función que elija un punto de \(A\) para cada uno de infinitos radios.

Desarrollaremos primero las caracterizaciones que sólo utilizan cuantificadores sobre puntos individuales. Después introduciremos los límites efectivamente representados por sucesiones y demostraremos cuándo una enumeración previa permite construir una sucesión de aproximantes. Los teoremas generales habituales se presentarán, al final, sólo bajo una hipótesis de elección numerable expresamente declarada. Esa hipótesis no forma parte del fundamento de este tratado.

Lema 15.8.1 — Una escala numerable cofinal de radios positivos

Para cada \(n\in\mathbb N\), definamos, como abreviatura local,

\[ \eta_n:=\bigl(\nu_{\mathbb R}(S(n))\bigr)^{-1}. \]

Entonces \(\eta_n>0\) para todo \(n\) y

\[ \boxed{\forall r\in\mathbb R\;(r>0\ \Longrightarrow\ \exists N\in\mathbb N\ \forall n\ge N\ (0<\eta_n<r)).} \]

Demostración.

El sucesor \(S(n)\) es un natural positivo. La aplicación de numerales \(\nu_{\mathbb R}\) preserva el orden, de modo que su imagen es un real positivo y su inverso existe y es positivo. El lema Lema 13.10.2 — Los recíprocos de los numerales positivos tienden a cero, especializado al cuerpo real estructural, prueba precisamente que la sucesión de estos recíprocos converge a cero. Dado \(r>0\), su definición de convergencia proporciona \(N\in\mathbb N\) tal que \(n\ge N\) implica \(|\eta_n-0|<r\). Como \(\eta_n>0\), esto equivale a \(0<\eta_n<r\). ∎

La sucesión \(\eta\) está determinada término a término por una fórmula. No hemos elegido un radio de cada una de una familia de conjuntos: hemos definido una única escala numérica, disponible para todas las pruebas de esta sección.

Teorema 15.8.2 — Pruebas de proximidad con radios numerables

Sea \(A\subseteq\mathbb R\) y \(x\in\mathbb R\). Con la escala \(\eta_n\) del lema anterior se verifican las cinco equivalencias siguientes:

\[ \boxed{x\in\overline A\iff\ \forall n\in\mathbb N\ \exists a\in A\ (|a-x|<\eta_n);} \]

\[ \boxed{x\in\operatorname{Acc}(A)\iff\ \forall n\in\mathbb N\ \exists a\in A\ (a\ne x\ \land\ |a-x|<\eta_n);} \]

\[ \boxed{x\in\partial A\iff \begin{cases} \forall n\in\mathbb N\ \exists a\in A\ (|a-x|<\eta_n),\\ \forall n\in\mathbb N\ \exists b\in\mathbb R\setminus A\ (|b-x|<\eta_n); \end{cases}} \]

\[ \boxed{x\in A^\circ\iff\exists n\in\mathbb N\ (B_{\eta_n}(x)\subseteq A),} \]

\[ \boxed{x\in\operatorname{Ext}(A)\iff\exists n\in\mathbb N\ (B_{\eta_n}(x)\cap A=\varnothing).} \]

Demostración.

Adherencia. Si \(x\in\overline A\), toda bola positiva centrada en \(x\) corta a \(A\); en particular lo hace \(B_{\eta_n}(x)\), pues \(\eta_n>0\). Para cada \(n\) fijo, la pertenencia a esa intersección proporciona un \(a\in A\) con \(|a-x|<\eta_n\). Recíprocamente, supongamos la condición cuantificada sobre \(n\) y fijemos un radio arbitrario \(r>0\). El lema anterior proporciona un índice \(n\) con \(\eta_n<r\). Por hipótesis, existe un punto \(a\in A\) a distancia menor que \(\eta_n\); ese mismo punto pertenece a \(B_r(x)\). Como \(r\) era arbitrario, \(x\) es adherente.

Acumulación. Repetimos exactamente el argumento, sustituyendo \(A\) por \(A\setminus\{x\}\) en las intersecciones de bolas. La desigualdad \(a\ne x\) permanece explícita: no basta con permitir que el centro actúe como testigo.

Frontera. Su definición exige que cada bola corte tanto a \(A\) como a \(\mathbb R\setminus A\). Aplicamos por separado el razonamiento de adherencia a los dos conjuntos. No exigimos que ambos testigos sean el mismo punto; de hecho, pertenecen a conjuntos disjuntos.

Interior. Si \(x\in A^\circ\), existe \(r>0\) con \(B_r(x)\subseteq A\). Tomamos \(n\) tal que \(\eta_n<r\) y usamos la inclusión de bolas concéntricas para obtener \(B_{\eta_n}(x)\subseteq A\). La implicación inversa usa directamente el radio positivo \(\eta_n\) como testigo de interioridad.

Exterior. Un punto es exterior si alguna bola positiva centrada en él es disjunta de \(A\). Una bola de radio \(\eta_n\) suficientemente pequeño está contenida en ella; recíprocamente, una bola de radio \(\eta_n\) disjunta ya proporciona un radio legítimo. ∎

Distinción lógica. Las primeras condiciones tienen la forma \(\forall n\,\exists a\,P(n,a)\). No dicen \(\exists(a_n)\,\forall n\,P(n,a_n)\). La segunda fórmula afirma la existencia de una función sobre \(\mathbb N\) y es más fuerte en ZF. Ninguna de las cinco equivalencias anteriores necesita convertir la primera fórmula en la segunda.

Definición 15.8.3 — Clausura secuencial de un conjunto

Para \(A\subseteq\mathbb R\), definimos su clausura secuencial como

\[ \boxed{\operatorname{SCl}(A):= \{x\in\mathbb R:\exists s\in\mathbb R^{\mathbb N}\; [\,\forall n\in\mathbb N\ (s_n\in A)\ \land\ s_n\to x\,]\}.} \]

La expresión \(s_n\to x\) conserva el significado y el tipo fijados en §13.3. La separación se efectúa sobre el conjunto ya existente \(\mathbb R\); el cuantificador sobre sucesiones está restringido al conjunto \(\mathbb R^{\mathbb N}\), construido en el Capítulo 13. Como la condición determina un subconjunto único para cada \(A\), el grafo

\[ \{\langle A,C\rangle\in\mathcal P(\mathbb R)\times\mathcal P(\mathbb R):C=\operatorname{SCl}(A)\} \]

existe por Separación y define una función \(\mathcal P(\mathbb R)\to\mathcal P(\mathbb R)\). Su definición cuantifica sobre sucesiones que ya existen; no fabrica una a partir de testigos separados ni utiliza elección.

La notación \(\operatorname{SCl}(A)\) distingue esta operación de \(\overline A\), cuya definición sigue siendo la de adherencia mediante todas las bolas.

Proposición 15.8.4 — Propiedades elementales de la clausura secuencial

Para \(A,B\subseteq\mathbb R\) se cumplen

\[ \boxed{A\subseteq\operatorname{SCl}(A)\subseteq\overline A,} \]

\[ \boxed{A\subseteq B\Longrightarrow \operatorname{SCl}(A)\subseteq\operatorname{SCl}(B),} \]

\[ \boxed{\operatorname{SCl}(\varnothing)=\varnothing, \quad\operatorname{SCl}(\mathbb R)=\mathbb R,} \]

\[ \boxed{\operatorname{SCl}(A\cup B)= \operatorname{SCl}(A)\cup\operatorname{SCl}(B).} \]

No afirmamos aquí que \(\operatorname{SCl}(A)=\overline A\) ni que la clausura secuencial sea idempotente.

Demostración.

Inclusiones. Si \(x\in A\), la sucesión constante \(s_n=x\) tiene todos sus términos en \(A\) y converge a \(x\) por Proposición 13.3.4 — Las sucesiones constantes convergen a su valor; luego \(x\in\operatorname{SCl}(A)\). Si \(x\in\operatorname{SCl}(A)\), existe una sucesión \(s_n\in A\) convergente a \(x\). Para un radio arbitrario \(r>0\), la convergencia suministra algún \(N\) con \(|s_N-x|<r\); por consiguiente \(B_r(x)\cap A\ne\varnothing\) y \(x\in\overline A\). La monotonía se deduce conservando una sucesión testigo al pasar de \(A\) a un conjunto mayor. Ninguna sucesión puede tener todos sus términos en \(\varnothing\) porque \(0\in\mathbb N\); para \(A=\mathbb R\) basta la inclusión ya probada y el hecho de que el codominio de la operación es \(\mathcal P(\mathbb R)\).

Unión, primera inclusión. Por monotonía, \(\operatorname{SCl}(A)\) y \(\operatorname{SCl}(B)\) están contenidos en \(\operatorname{SCl}(A\cup B)\); también lo está su unión.

Unión, inclusión inversa. Sea \(x\in\operatorname{SCl}(A\cup B)\) y fijemos una sucesión \(s\in\mathbb R^{\mathbb N}\) tal que \(s_n\in A\cup B\) para cada \(n\) y \(s_n\to x\). El conjunto definido por Separación

\[ I:=\{n\in\mathbb N:s_n\in A\} \]

satisface una de dos alternativas clásicas. Si tiene índices arbitrariamente grandes, el buen orden y la recursión ordinaria sobre los naturales permiten definir \(\phi(0):=\min I\) y \(\phi(k+1):=\min\{n\in I:n>\phi(k)\}\). El segundo mínimo existe porque \(I\) tiene índices arbitrariamente grandes; la función recursiva es estrictamente creciente y satisface \(\phi(k)\in I\) para todo \(k\). Este es el procedimiento de extracción por mínimos empleado en Proposición 13.10.3 — Criterio de visitas arbitrariamente tardías. La subsucesión \(s\circ\phi\) pertenece término a término a \(A\) y converge a \(x\) por Teorema 13.9.5 — Toda subsucesión de una sucesión convergente converge al mismo límite. Así, \(x\in\operatorname{SCl}(A)\).

Si \(I\) no tiene índices arbitrariamente grandes, existe \(N\) tal que \(n\ge N\) implica \(s_n\notin A\). Dado que \(s_n\in A\cup B\), todos esos términos pertenecen a \(B\). La sucesión \(t_k:=s_{N+k}\) es una función real sobre \(\mathbb N\), pertenece enteramente a \(B\) y converge a \(x\): para una tolerancia \(r>0\) tomamos un índice de convergencia \(M\) de \(s\), y entonces \(k\ge M\) implica \(N+k\ge M\). De ello se sigue \(x\in\operatorname{SCl}(B)\). Los dos casos agotan las posibilidades y prueban la igualdad. ∎

La extracción anterior no elige puntos de conjuntos reales arbitrarios: parte de una sucesión existente y escoge los menores índices de un subconjunto de \(\mathbb N\). Es una utilización legítima del buen orden de los naturales.

Proposición 15.8.5 — Qué prueban las sucesiones convergentes sobre acumulación y frontera

Sean \(A\subseteq\mathbb R\) y \(x\in\mathbb R\).

1. Si existe una sucesión \(s\in\mathbb R^{\mathbb N}\) con \(s_n\in A\setminus\{x\}\) para todo \(n\) y \(s_n\to x\), entonces \(x\in\operatorname{Acc}(A)\).
2. Si existen sucesiones \(s,t\in\mathbb R^{\mathbb N}\) con \(s_n\in A\) y \(t_n\in\mathbb R\setminus A\) para todo \(n\), ambas convergentes a \(x\), entonces \(x\in\partial A\).

Demostración.

Para (1), fijemos \(r>0\). Por convergencia existe \(N\in\mathbb N\) con \(|s_N-x|<r\). Dado que \(s_N\in A\setminus\{x\}\), este término pertenece a la intersección perforada \(B_r(x)\cap(A\setminus\{x\})\), que es, por tanto, no vacía. Esto vale para cada \(r>0\): \(x\) es punto de acumulación.

Para (2), dado \(r>0\), la convergencia de \(s\) proporciona un índice \(N\) con \(s_N\in B_r(x)\cap A\); independientemente, la convergencia de \(t\) da un índice \(M\) con \(t_M\in B_r(x)\cap(\mathbb R\setminus A)\). Ambas intersecciones son no vacías, luego \(x\in\partial A\). Los índices se obtienen para el único radio fijado y no se construye ninguna sucesión adicional. ∎

Estas implicaciones no tienen una recíproca general demostrable con los axiomas actualmente admitidos. La siguiente proposición muestra cómo recuperarla cuando disponemos de una enumeración efectiva como función matemática, aunque no presupongamos que sea computable.

Teorema 15.8.6 — Caracterizaciones completas para conjuntos enumerados

Sea \(A\subseteq\mathbb R\) y supongamos dada una sobreyección \(e:\mathbb N\to A\). Entonces, para cada \(x\in\mathbb R\),

\[ \boxed{x\in\overline A\iff \exists s\in\mathbb R^{\mathbb N}\; [\,\forall n\ (s_n\in A)\ \land\ s_n\to x\,],} \]

\[ \boxed{x\in\operatorname{Acc}(A)\iff \exists s\in\mathbb R^{\mathbb N}\; [\,\forall n\ (s_n\in A\setminus\{x\})\ \land\ s_n\to x\,].} \]

La sobreyectividad de \(e\) implica \(A\ne\varnothing\). La hipótesis no se extiende a una enumeración simultánea de todo el complemento: ello conduciría a enumerar la recta, como se probará en Lema 15.8.10 — La recta real no admite una enumeración. La caracterización no vacua de la frontera con dos subconjuntos densos provistos de enumeraciones se establece en Teorema 15.8.11 — Caracterización fronteriza mediante dos lados densamente enumerados.

Demostración.

Las implicaciones de derecha a izquierda resultan de Proposición 15.8.4 — Propiedades elementales de la clausura secuencial y Proposición 15.8.5 — Qué prueban las sucesiones convergentes sobre acumulación y frontera. Para las recíprocas describimos una construcción que depende sólo de las sobreyecciones ya dadas.

Supongamos \(x\in\overline A\). Para cada \(n\in\mathbb N\) consideremos el subconjunto de los naturales

\[ I_n:=\{k\in\mathbb N:|e(k)-x|<\eta_n\}. \]

Por el criterio de Teorema 15.8.2 — Pruebas de proximidad con radios numerables, la bola \(B_{\eta_n}(x)\) contiene algún \(a\in A\). La sobreyectividad de \(e\) da un índice \(k\) con \(e(k)=a\), así que \(I_n\) es no vacío. El principio de buen orden de \(\mathbb N\) (Teorema 1.6.13 — Principio de buen orden) le asigna un mínimo único \(k_n:=\min I_n\). La fórmula que expresa esta unicidad define, por Separación sobre \(\mathbb N\times\mathbb N\), el grafo de una función \(n\mapsto k_n\). Componiéndola con \(e\) obtenemos la sucesión \(s_n=e(k_n)\in A\), con

\[ |s_n-x|<\eta_n\qquad(n\in\mathbb N). \]

Dado \(r>0\), tomamos \(N\) de Lema 15.8.1 — Una escala numerable cofinal de radios positivos; para \(n\ge N\) tenemos \(|s_n-x|<\eta_n<r\). Por definición, \(s_n\to x\).

Si \(x\in\operatorname{Acc}(A)\), repetimos el mismo procedimiento con el conjunto no vacío

\[ J_n:=\{k\in\mathbb N:e(k)\ne x\ \land\ |e(k)-x|<\eta_n\}. \]

Sus mínimos determinan una sucesión cuyos términos pertenecen a \(A\setminus\{x\}\) y convergen a \(x\). La no vaciedad de \(J_n\) proviene específicamente de la condición perforada; sería incorrecto sustituirla por la sola adherencia.

La construcción de las dos clases de aproximantes se realiza únicamente dentro del conjunto ya enumerado \(A\). Estas son exactamente las dos equivalencias del enunciado, y no necesitan enumerar su complemento. ∎

Importancia de la hipótesis. La enumeración no surge de la frase «\(A\) es un subconjunto de la recta». Se entrega como dato estructural. El buen orden selecciona índices naturales dentro de una función disponible, no puntos arbitrarios de una familia de subconjuntos de \(\mathbb R\).

Proposición 15.8.7 — Un abierto proporciona aproximantes racionales canónicos

Si \(U\subseteq\mathbb R\) es abierto, entonces

\[ \boxed{\operatorname{SCl}(U)=\overline U.} \]

Más precisamente, para cada \(x\in\overline U\) existe una sucesión \(s_n\to x\) cuyos términos pertenecen a

\[ U\cap\jmath_{\mathbb Q}^{\mathbb R}[\mathbb Q]. \]

Demostración.

La inclusión \(\operatorname{SCl}(U)\subseteq\overline U\) ya está probada. Fijemos \(x\in\overline U\). Para cada \(n\), la bola \(B_{\eta_n}(x)\) corta a \(U\). Probaremos que contiene también un punto de la copia racional situado en \(U\). Sea \(y\) un punto de esa intersección, fijado únicamente para esta demostración local. La apertura de \(U\) proporciona \(r>0\) con \(B_r(y)\subseteq U\), y Proposición 15.1.3 — Una bola contiene una bola alrededor de cada uno de sus puntos proporciona \(d=\eta_n-|y-x|>0\) con \(B_d(y)\subseteq B_{\eta_n}(x)\). Tomando \(h:=\min\{r,d\}>0\), tenemos

\[ B_h(y)\subseteq U\cap B_{\eta_n}(x). \]

Por densidad de la copia racional (Corolario 12.3.2 — Densidad racional en todo cuerpo ordenado completo), existe \(q\in\mathbb Q\) tal que \(\jmath_{\mathbb Q}^{\mathbb R}(q)\in B_h(y)\). Concluye la existencia de un racional situado simultáneamente en \(U\) y en la bola original. No hemos elegido los puntos \(y\) ni los radios \(r\) para todos los índices: sólo hemos establecido, para un \(n\) arbitrario, que el conjunto siguiente es no vacío:

\[ K_n:=\{k\in\mathbb N: \jmath_{\mathbb Q}^{\mathbb R}(e_{\mathbb Q}(k))\in U\cap B_{\eta_n}(x)\}. \]

La sobreyectividad de la enumeración racional canónica \(e_{\mathbb Q}\) (Proposición 10.2.6 — La enumeración racional es sobreyectiva) garantiza su no vaciedad. Definimos ahora \(k_n=\min K_n\), de forma única por buen orden, y

\[ s_n:=\jmath_{\mathbb Q}^{\mathbb R}(e_{\mathbb Q}(k_n)). \]

La definición funcional sobre \(\mathbb N\) se obtiene por Separación y composición. Para todos los \(n\), \(s_n\in U\) y \(|s_n-x|<\eta_n\). El lema de la escala prueba \(s_n\to x\). Por tanto, \(x\in\operatorname{SCl}(U)\), que establece la igualdad. ∎

Este argumento ofrece aproximantes concretamente definidos a partir de una enumeración canónica preexistente de los racionales. No implica que un conjunto arbitrario \(A\) contenga racionales ni permite aplicar el mismo procedimiento a un conjunto sin apertura.

Teorema 15.8.8 — Criterios secuenciales de cerradura y apertura: alcance exacto

Sea \(A\subseteq\mathbb R\). Sin hipótesis adicional de elección se tienen las implicaciones:

1. Si \(A\) es cerrado, toda sucesión \(s\in\mathbb R^{\mathbb N}\) con \(s_n\in A\) para todo \(n\) y \(s_n\to x\) satisface \(x\in A\).
2. Si \(A\) es abierto y \(s_n\to x\in A\), entonces existe \(N\in\mathbb N\) tal que \(s_n\in A\) para todo \(n\ge N\).

Además, la primera implicación es una equivalencia si se dispone de una sobreyección \(e:\mathbb N\to A\); la segunda lo es si se dispone de una sobreyección \(f:\mathbb N\to\mathbb R\setminus A\). Los casos \(A=\varnothing\) en (1) y \(A=\mathbb R\) en (2) se verifican directamente, sin enumeración.

Demostración.

Cerradura, dirección general. Una sucesión con todos sus términos en \(A\) y límite \(x\) demuestra \(x\in\operatorname{SCl}(A)\subseteq\overline A\) por Proposición 15.8.4 — Propiedades elementales de la clausura secuencial. Si \(A\) es cerrado, Corolario 15.4.7 — Un conjunto es cerrado si y sólo si coincide con su clausura proporciona \(\overline A=A\), luego \(x\in A\).

Apertura, dirección general. Si \(x\in A\) y \(A\) es abierto, existe \(r>0\) tal que \(B_r(x)\subseteq A\). Por \(s_n\to x\), existe \(N\) tal que \(n\ge N\) implica \(|s_n-x|<r\). Cada término de esa cola está, pues, en \(A\).

Recíproca de cerradura con enumeración. Supongamos que \(e:\mathbb N\to A\) es sobreyectiva y que todo límite de una sucesión contenida en \(A\) pertenece a \(A\). Si \(x\in\overline A\), el teorema Teorema 15.8.6 — Caracterizaciones completas para conjuntos enumerados construye una sucesión en \(A\) que converge a \(x\). Por hipótesis \(x\in A\). Así \(\overline A\subseteq A\); la inclusión inversa siempre vale, de modo que \(\overline A=A\) y el conjunto es cerrado.

Recíproca de apertura con complemento enumerado. Supongamos que está dada \(f:\mathbb N\to C\), donde \(C=\mathbb R\setminus A\), y que toda sucesión real convergente a un punto \(x\in A\) está eventualmente en \(A\). Si \(A\) no fuese abierto, existiría \(x\in A\) que no es interior. La dualidad de clausura e interior ya establecida implica entonces \(x\in\overline C\). Por Teorema 15.8.6 — Caracterizaciones completas para conjuntos enumerados, aplicado a \(C\) y a su enumeración \(f\), existe una sucesión \(t_n\in C\) convergente a \(x\). La propiedad eventual exigiría que una cola de esa sucesión perteneciera a \(A\), contradiciendo \(A\cap C=\varnothing\). Por tanto \(A\) es abierto. Las afirmaciones para el vacío y la recta siguen de sus definiciones de abierto y cerrado y de la inexistencia de sucesiones con términos en \(\varnothing\). ∎

Precisión. El criterio «todos los límites de sucesiones de \(A\) siguen en \(A\)» define la cerradura secuencial de un conjunto en sentido de propiedad. Sin elección numerable no debe identificarse silenciosamente esa propiedad con ser cerrado en la topología construida mediante bolas.

Teorema 15.8.9 — Formulaciones habituales bajo una hipótesis de elección explícita

Consideremos exclusivamente como hipótesis de este teorema el siguiente principio, denotado aquí por \(\mathrm{CC}(\mathbb R)\):

Para toda función \(E:\mathbb N\to\mathcal P(\mathbb R)\) cuyos valores son no vacíos, existe una función \(c:\mathbb N\to\mathbb R\) tal que \(c(n)\in E(n)\) para todo \(n\).

Si se supone \(\mathrm{CC}(\mathbb R)\), entonces, para todo \(A\subseteq\mathbb R\) y todo \(x\in\mathbb R\), se obtienen las equivalencias generales

\[ \boxed{x\in\overline A\iff \exists s\in\mathbb R^{\mathbb N}\ [\,\forall n\ (s_n\in A)\land s_n\to x\,],} \]

\[ \boxed{x\in\operatorname{Acc}(A)\iff \exists s\in\mathbb R^{\mathbb N}\ [\,\forall n\ (s_n\in A\setminus\{x\})\land s_n\to x\,],} \]

\[ \boxed{x\in\partial A\iff \exists s,t\in\mathbb R^{\mathbb N}\ [\, \forall n\ (s_n\in A\land t_n\notin A),\ s_n\to x,\ t_n\to x\,].} \]

También se obtiene \(\operatorname{SCl}(A)=\overline A\); un conjunto es cerrado si y sólo si contiene los límites de todas sus sucesiones convergentes, y es abierto si y sólo si toda sucesión convergente a uno de sus puntos permanece eventualmente en él.

Demostración condicional.

Fijemos \(A\) y \(x\in\overline A\). Para cada \(n\), el conjunto

\[ E_n:=A\cap B_{\eta_n}(x) \]

existe por intersección de conjuntos y es no vacío por Teorema 15.8.2 — Pruebas de proximidad con radios numerables. Los valores determinan una función \(E:\mathbb N\to\mathcal P(\mathbb R)\) mediante su fórmula y Separación. Aquí, y sólo aquí, invocamos la hipótesis \(\mathrm{CC}(\mathbb R)\): obtenemos una función \(s\) con \(s_n\in E_n\) para todo \(n\). Puesto que \(|s_n-x|<\eta_n\) y \(\eta_n\to0\), se tiene \(s_n\to x\). La recíproca de adherencia ya es un teorema sin elección (Proposición 15.8.4 — Propiedades elementales de la clausura secuencial).

Para acumulación repetimos el argumento con \(E_n=(A\setminus\{x\})\cap B_{\eta_n}(x)\); para frontera, lo aplicamos por separado a \(A\) y a \(\mathbb R\setminus A\), formando después un par finito de sucesiones. Los sentidos inversos están demostrados en Proposición 15.8.5 — Qué prueban las sucesiones convergentes sobre acumulación y frontera. La igualdad \(\operatorname{SCl}(A)=\overline A\) sigue del primer criterio y de su definición. Para cerradura empleamos \(A=\overline A\); para apertura, aplicamos el primer criterio al complemento de \(A\) y la caracterización \(A^\circ=\mathbb R\setminus\overline{\mathbb R\setminus A}\), reproduciendo el argumento eventual de Teorema 15.8.8 — Criterios secuenciales de cerradura y apertura: alcance exacto. ∎

Estado fundacional. Este teorema tiene la forma demostrada en ZF «\(\mathrm{CC}(\mathbb R)\Rightarrow\) caracterizaciones secuenciales», y no introduce \(\mathrm{CC}(\mathbb R)\) como axioma. Herrlich y Strecker demostraron incluso que la caracterización universal de adherencia mediante sucesiones es equivalente a dicho principio sobre conjuntos de reales. Por ello, promover sin hipótesis esa caracterización a teorema de nuestro sistema alteraría indebidamente el contrato fundacional. La referencia se registra como countercheck metamatemático, no como demostración importada en los resultados internos.

Lema 15.8.10 — La recta real no admite una enumeración

No existe ninguna sobreyección \(h:\mathbb N\to\mathbb R\). En particular, no pueden existir simultáneamente, para un mismo \(A\subseteq\mathbb R\), sobreyecciones \(e:\mathbb N\to A\) y \(f:\mathbb N\to\mathbb R\setminus A\).

Demostración.

Supongamos dada una función \(h:\mathbb N\to\mathbb R\). Construiremos, sin escoger intervalos arbitrariamente, una sucesión de intervalos cerrados no degenerados \(J_n=[a_n,b_n]\) tal que

\[ J_0=[0,1],\qquad J_{n+1}\subseteq J_n,\qquad h(n)\notin J_{n+1}. \]

Si ya está determinado \(J_n=[a_n,b_n]\) con \(a_n<b_n\), escribamos \(d_n:=(b_n-a_n)/(1+1+1)>0\) y consideremos los intervalos cerrados

\[ L_n=[a_n,a_n+d_n],\qquad R_n=[b_n-d_n,b_n]. \]

Ambos son no vacíos, están contenidos en \(J_n\) y son disjuntos: \(a_n+d_n<b_n-d_n\), pues \(b_n-a_n=(1+1+1)d_n\). Definimos mediante una regla unívoca

\[ J_{n+1}:= \begin{cases} R_n,&h(n)\in L_n,\\ L_n,&h(n)\notin L_n. \end{cases} \]

En el primer caso el nuevo intervalo evita \(h(n)\) por disjunción; en el segundo lo evita por definición. Su longitud positiva es \(d_n\). El teorema de recursión Teorema 1.3.7 — Teorema de recursión sobre \(\mathbb N\), seguido de inducción, determina toda la sucesión con las propiedades indicadas. La distinción de pertenencia es clásica, pero la regla define un único intervalo en cada etapa; no utiliza elección.

El conjunto \(S:=\{a_n:n\in\mathbb N\}\) existe como imagen de la sucesión de extremos izquierdos, es no vacío y está acotado superiormente por \(b_0\). La propiedad del supremo proporciona \(x:=\sup S\in\mathbb R\). Fijado \(n\), tenemos \(a_n\le x\). Además, cada \(a_m\le b_n\): si \(m\ge n\), por \(J_m\subseteq J_n\); si \(m<n\), por \(a_m\le a_n\le b_n\). Así, \(b_n\) es cota superior de \(S\) y \(x\le b_n\). Concluimos \(x\in J_n\) para todo \(n\).

Como \(x\in J_{n+1}\) mientras que \(h(n)\notin J_{n+1}\), se obtiene \(x\ne h(n)\) para todo \(n\in\mathbb N\). La función \(h\) no es sobreyectiva. Puesto que era arbitraria, no existe una sobreyección de \(\mathbb N\) sobre \(\mathbb R\).

Finalmente, si se dispusiera de ambas sobreyecciones \(e\) y \(f\) del enunciado, la función dada por \(g(2n)=e(n)\) y \(g(2n+1)=f(n)\) estaría bien definida: los índices pares e impares son disjuntos y cubren \(\mathbb N\), por la dicotomía de paridad Lema 3.9.3 — Dicotomía de paridad, y cada número par o impar posee su índice \(n\) único por compatibilidad del orden con la multiplicación por dos. Así, la regla determina una función total con dominio \(\mathbb N\). Cada real pertenece a \(A\) o a su complemento y sería imagen de \(g\), contradiciendo lo demostrado. ∎

Alcance del resultado. No podemos caracterizar la frontera pidiendo enumeraciones completas y simultáneas de un conjunto y de su complemento: esa condición no tiene instancias en la recta. Para obtener un criterio aplicable bastará enumerar subconjuntos que sean densos dentro de cada uno de los dos lados.

Teorema 15.8.11 — Caracterización fronteriza mediante dos lados densamente enumerados

Sea \(A\subseteq\mathbb R\) y escribamos \(C:=\mathbb R\setminus A\). Supongamos que están dados subconjuntos \(D\subseteq A\) y \(E\subseteq C\), junto con sobreyecciones \(e:\mathbb N\to D\) y \(f:\mathbb N\to E\), tales que

\[ A\subseteq\overline D,\qquad C\subseteq\overline E. \]

Entonces, para cada \(x\in\mathbb R\),

\[ \boxed{x\in\partial A\iff \begin{gathered} \exists s,t\in\mathbb R^{\mathbb N}\ \text{tales que}\\ \forall n\in\mathbb N\ (s_n\in A\land t_n\in C),\\ s_n\to x\quad\text{y}\quad t_n\to x. \end{gathered}} \]

Demostración.

Por \(D\subseteq A\), la monotonía de clausura proporciona \(\overline D\subseteq\overline A\). La inclusión contraria resulta de \(A\subseteq\overline D\), la monotonía y la idempotencia: \(\overline A\subseteq\overline{\overline D}=\overline D\). Por tanto \(\overline A=\overline D\). El mismo argumento demuestra \(\overline C=\overline E\).

Si \(x\in\partial A\), la caracterización Teorema 15.6.3 — Caracterización de la frontera por dos clausuras proporciona \(x\in\overline A\cap\overline C=\overline D\cap\overline E\). Aplicamos por separado Teorema 15.8.6 — Caracterizaciones completas para conjuntos enumerados al conjunto \(D\) y a la sobreyección \(e\), y luego al conjunto \(E\) y a la sobreyección \(f\). Obtenemos sucesiones \(s_n\in D\subseteq A\) y \(t_n\in E\subseteq C\) que convergen a \(x\). Son dos aplicaciones ya determinadas por mínimos de índices naturales; no se escoge una familia adicional de aproximantes. La implicación inversa es exactamente Proposición 15.8.5 — Qué prueban las sucesiones convergentes sobre acumulación y frontera: las dos sucesiones ya existentes hacen que toda bola centrada en \(x\) encuentre ambos lados. ∎

Las hipótesis sí son realizables. Por ejemplo, tomemos \(A=\{0\}\) y \(D=A\), enumerado por la sucesión constante. Para \(C=\mathbb R\setminus\{0\}\), abreviemos localmente \(j:=\jmath_{\mathbb Q}^{\mathbb R}\) y consideremos \(E=j[\mathbb Q\setminus\{0_{\mathbb Q}\}]\). La enumeración racional canónica \(e_{\mathbb Q}\) permite enumerar \(E\) reemplazando por \(1_{\mathbb Q}\) cada aparición de \(0_{\mathbb Q}\) y aplicando después \(j\). Todo intervalo abierto no vacío contiene una imagen racional distinta de cero: basta tomar dentro de él un subintervalo abierto no vacío que no contenga cero y aplicar Corolario 12.3.2 — Densidad racional en todo cuerpo ordenado completo. Así \(\overline E=\mathbb R\) por la definición de adherencia, y las hipótesis se verifican. A diferencia de la doble enumeración de \(A\) y todo su complemento, este caso no implica que la recta sea numerable.

La sección deja así una frontera deductiva precisa. Para un subconjunto arbitrario de \(\mathbb R\), las definiciones con bolas y los criterios de radios numerables son incondicionales en ZF; los límites de sucesiones que ya existen aportan información topológica; los conjuntos enumerados y los abiertos poseen procedimientos canónicos adicionales; el criterio fronterizo tiene hipótesis realizables de densidad de ambos lados; las equivalencias para todos los subconjuntos requieren una hipótesis de elección que no hemos adoptado. Pasaremos a la densidad utilizando las definiciones originales de adherencia y las incrustaciones racionales ya construidas, sin apoyarnos en la recíproca secuencial condicional.

15.9. Densidad e intervalos

La palabra denso apareció anteriormente al demostrar que entre dos números reales distintos hay una imagen racional (Corolario 12.3.2 — Densidad racional en todo cuerpo ordenado completo). Ahora le daremos un significado topológico aplicable a cualquier subconjunto de la recta. El resultado central identificará la densidad con el encuentro de todos los intervalos abiertos no degenerados. Después distinguiremos densidad e interioridad, mostraremos que los abiertos se reconstruyen con intervalos de extremos racionales y completaremos la descripción de los intervalos semiabiertos.

En toda la sección, \(\mathbb R\) es el cuerpo ordenado completo estructural de §12.9. Escribiremos \(j:=\jmath_{\mathbb Q}^{\mathbb R}:\mathbb Q\to\mathbb R\) para su incrustación racional canónica (Definición 12.2.3 — Copia canónica de los racionales en un cuerpo ordenado, Teorema 12.2.5 — La copia racional es una incrustación de cuerpos ordenados). La abreviatura local \(D_{\mathbb Q}:=j[\mathbb Q]\) designa un subconjunto genuino de \(\mathbb R\); no supone la igualdad conjuntista \(\mathbb Q\subseteq\mathbb R\).

Definición 15.9.1 — Subconjunto denso de la recta

Un conjunto \(D\subseteq\mathbb R\) se llama denso en la recta real si su clausura coincide con toda la recta:

\[ \boxed{D\text{ es denso en }\mathbb R\iff\overline D=\mathbb R.} \]

Equivalentemente, cada punto de la recta es adherente a \(D\). La definición no dice que \(D=\mathbb R\), que tenga puntos interiores ni que haya una sucesión de elementos de \(D\) convergente a cada real. Esta última formulación no se importará indebidamente de la sección anterior.

Teorema 15.9.2 — Tres caracterizaciones de la densidad

Sea \(D\subseteq\mathbb R\). Son equivalentes las siguientes afirmaciones:

1. \(D\) es denso en \(\mathbb R\).
2. Todo abierto \(U\subseteq\mathbb R\) no vacío satisface \(U\cap D\ne\varnothing\).
3. Para cualesquiera \(a,b\in\mathbb R\) con \(a<b\), se cumple \((a,b)\cap D\ne\varnothing\).

Demostración.

(1) implica (2). Sea \(U\) abierto y no vacío. Fijemos un \(x\in U\). Por apertura existe \(r>0\) tal que \(B_r(x)\subseteq U\). Como \(\overline D=\mathbb R\), el punto \(x\) es adherente a \(D\); en consecuencia \(B_r(x)\cap D\ne\varnothing\). La inclusión de la bola en \(U\) proporciona \(U\cap D\ne\varnothing\).

(2) implica (3). Para \(a<b\), el intervalo \((a,b)\) es abierto por Proposición 15.2.9 — Ejemplos: intervalos abiertos y singletons y no vacío por densidad del orden real Teorema 4.1.11 — Todo cuerpo ordenado es densamente ordenado (por ejemplo, contiene el punto medio). Aplicamos (2) a ese abierto.

(3) implica (1). Fijemos \(x\in\mathbb R\) y \(r>0\). La igualdad Proposición 15.1.2 — Las bolas son intervalos abiertos centrados da \(B_r(x)=(x-r,x+r)\); sus extremos están estrictamente ordenados porque \(r>0\). Por (3), esta bola corta a \(D\). Como \(r\) era arbitrario, \(x\in\overline D\). Hemos probado \(\mathbb R\subseteq\overline D\); la inclusión inversa forma parte del tipo de la clausura. Concluimos \(\overline D=\mathbb R\) por extensionalidad. ∎

Lectura de cuantificadores. El criterio de intervalos afirma \(\forall a\,\forall b\,(a<b\Rightarrow\exists d\in D\ (a<d<b))\). No proporciona una única función que escoja simultáneamente un punto para cada intervalo; tampoco es necesaria para demostrar densidad.

Proposición 15.9.3 — Densidad de la copia racional canónica

Sea \(D_{\mathbb Q}=j[\mathbb Q]\). Entonces

\[ \boxed{\overline{D_{\mathbb Q}}=\mathbb R.} \]

En particular, todo abierto no vacío de la recta contiene la imagen de algún número racional.

Demostración.

El corolario Corolario 12.3.2 — Densidad racional en todo cuerpo ordenado completo, ya cerrado en §12.3, establece que para cada par \(a<b\) de reales existe \(q\in\mathbb Q\) con \(a<j(q)<b\). Por tanto, todo intervalo abierto no degenerado corta a \(D_{\mathbb Q}\), que satisface la condición (3) de Teorema 15.9.2 — Tres caracterizaciones de la densidad. El mismo teorema concluye que \(D_{\mathbb Q}\) es denso y que corta todos los abiertos no vacíos. No estamos volviendo a probar la densidad de orden del Capítulo 12: la utilizamos para obtener su caracterización topológica. ∎

Proposición 15.9.4 — Densidad, interior del complemento y frontera

Para todo \(A\subseteq\mathbb R\) se tiene

\[ \boxed{A\text{ es denso}\iff(\mathbb R\setminus A)^\circ=\varnothing.} \]

Además, si \(A\) es denso, su frontera se caracteriza por

\[ \boxed{\partial A=\mathbb R\setminus A^\circ.} \]

En particular, si tanto \(A\) como su complemento son densos, ambos tienen interior vacío y \(\partial A=\mathbb R\).

Demostración.

La dualidad de §15.4, obtenida a partir de Proposición 15.3.3 — El exterior es el interior del complemento y Proposición 15.4.3 — La adherencia es la negación de la exterioridad, dice que

\[ \overline A=\mathbb R\setminus(\mathbb R\setminus A)^\circ. \]

Por doble complementación relativa a \(\mathbb R\), esta clausura es toda la recta si y sólo si el interior del complemento es vacío. Aplicamos Definición 15.9.1 — Subconjunto denso de la recta para obtener la primera equivalencia. Si \(A\) es denso, sustituimos \(\overline A=\mathbb R\) en \(\partial A=\overline A\setminus A^\circ\), identidad de Teorema 15.6.4 — Descomposición de la recta en interior, frontera y exterior; se obtiene la segunda fórmula. Finalmente, aplicando la primera equivalencia sucesivamente a \(A\) y a su complemento, la densidad de ambos da \((\mathbb R\setminus A)^\circ=A^\circ=\varnothing\); la segunda identidad concluye \(\partial A=\mathbb R\). ∎

Advertencia. Un conjunto denso puede tener interior no vacío: \(A=\mathbb R\) es un ejemplo inmediato. La densidad de \(A\) sólo fuerza el vacío del interior de su complemento. Las dos propiedades no deben confundirse.

Proposición 15.9.5 — Intersección de un denso con un abierto

Si \(D\subseteq\mathbb R\) es denso y \(U\subseteq\mathbb R\) es abierto, entonces

\[ \boxed{\overline{U\cap D}=\overline U.} \]

Si además \(U\ne\varnothing\), necesariamente \(U\cap D\ne\varnothing\).

Demostración.

Por inclusión \(U\cap D\subseteq U\) y monotonía de la clausura (Proposición 15.4.4 — Extensividad y monotonía de la clausura),

\[ \overline{U\cap D}\subseteq\overline U. \]

Para obtener la otra inclusión, fijemos \(x\in U\) y un radio cualquiera \(s>0\). Como \(U\) es abierto, existe \(r>0\) tal que \(B_r(x)\subseteq U\). El número \(t=\min\{r,s\}\) es positivo y \(B_t(x)\subseteq B_s(x)\cap U\). Por densidad, \(B_t(x)\cap D\ne\varnothing\), así que \(B_s(x)\cap(U\cap D)\ne\varnothing\). Al variar \(s\), esto demuestra \(x\in\overline{U\cap D}\) y, por tanto,

\[ U\subseteq\overline{U\cap D}. \]

Tomamos clausuras a ambos lados: la monotonía y la idempotencia (Proposición 15.4.8 — Idempotencia de la clausura) proporcionan \(\overline U\subseteq\overline{U\cap D}\). Ambas inclusiones prueban la igualdad. Si \(U\) es no vacío, su intersección con \(D\) es no vacía por Teorema 15.9.2 — Tres caracterizaciones de la densidad. El argumento cubre también \(U=\varnothing\): ambas clausuras son vacías. ∎

La igualdad expresa con precisión que, dentro de cualquier región abierta, los puntos de un conjunto denso se aproximan a todos los puntos de esa región y, por clausura, a sus puntos adherentes.

Definición 15.9.6 — Familia de intervalos con extremos racionales

Denotemos por \(\mathcal B_{\mathbb Q}\) la siguiente familia de subconjuntos de la recta:

\[ \boxed{\mathcal B_{\mathbb Q}:= \{V\in\mathcal P(\mathbb R):\exists p,q\in\mathbb Q\, [p<q\ \land\ V=(j(p),j(q))]\}.} \]

Cada intervalo de esta familia es abierto y no vacío. El conjunto \(\mathcal B_{\mathbb Q}\) existe por Separación dentro de \(\mathcal P(\mathbb R)\); no es una colección irrestricta. Sus extremos son imágenes de racionales y por ello pertenecen a \(\mathbb R\). No se ha añadido una nueva topología ni se identifica \(\mathbb Q\) con su imagen.

Teorema 15.9.7 — Todo abierto es unión de intervalos con extremos racionales

Para todo conjunto abierto \(U\subseteq\mathbb R\),

\[ \boxed{U=\bigcup\{V\in\mathcal B_{\mathbb Q}:V\subseteq U\}.} \]

La unión se toma sobre una familia que es un conjunto. Si \(U=\varnothing\), la familia de intervalos contenidos en él es vacía y la unión es \(\varnothing\).

Demostración.

Definamos \(\mathcal F_U:=\{V\in\mathcal B_{\mathbb Q}:V\subseteq U\}\) mediante Separación sobre la familia existente \(\mathcal B_{\mathbb Q}\). Su unión existe como conjunto y está contenida en \(U\), ya que cada miembro de \(\mathcal F_U\) lo está.

Para la inclusión inversa, tomemos \(x\in U\). La apertura produce un radio \(r>0\) con

\[ B_r(x)=(x-r,x+r)\subseteq U. \]

Los dos intervalos \((x-r,x)\) y \((x,x+r)\) tienen extremos estrictamente ordenados. Por la densidad de orden Corolario 12.3.2 — Densidad racional en todo cuerpo ordenado completo, existen racionales \(p,q\in\mathbb Q\) con

\[ x-r<j(p)<x<j(q)<x+r. \]

Hemos utilizado dos instancias finitas de un teorema existencial para el único \(x\) fijado; no se asignan pares de extremos a todos los puntos de \(U\). Sea \(V:=(j(p),j(q))\). Entonces \(p<q\) porque \(j\) refleja el orden (Teorema 12.2.5 — La copia racional es una incrustación de cuerpos ordenados), así que \(V\in\mathcal B_{\mathbb Q}\). Además,

\[ x\in V\subseteq(x-r,x+r)\subseteq U. \]

Luego \(V\in\mathcal F_U\) y \(x\in\bigcup\mathcal F_U\). Como \(x\) era arbitrario, \(U\subseteq\bigcup\mathcal F_U\) y concluimos por doble inclusión. ∎

Por qué no interviene Choice. Sería incorrecto deducir sin más una función global \(x\mapsto r_x\) a partir de que cada \(x\in U\) posee algún radio. En lugar de escoger radios o intervalos, construimos el conjunto de todos los intervalos racionales que caben en \(U\). Cada punto pertenece localmente a alguno y eso basta para la igualdad.

Proposición 15.9.8 — Interior, clausura y frontera de los intervalos semiabiertos

Sean \(a,b\in\mathbb R\) con \(a<b\) y sea \(H\) cualquiera de los dos intervalos \([a,b)\) o \((a,b]\). Entonces

\[ \boxed{H^\circ=(a,b),\qquad \overline H=[a,b],\qquad \partial H=\{a,b\}.} \]

Demostración.

Para cualquiera de las dos formas, las definiciones de intervalos proporcionan

\[ (a,b)\subseteq H\subseteq[a,b]. \]

La monotonía del interior Proposición 15.7.1 — Monotonía y leyes del interior da \((a,b)^\circ\subseteq H^\circ\subseteq[a,b]^\circ\). Las demostraciones de Proposición 15.6.8 — Ejemplos: extremos, singletons y falta de monotonía ya establecieron \((a,b)^\circ=[a,b]^\circ=(a,b)\); luego \(H^\circ=(a,b)\) por doble inclusión.

Análogamente, la monotonía de la clausura da

\[ \overline{(a,b)}\subseteq\overline H\subseteq\overline{[a,b]}. \]

Por Proposición 15.6.8 — Ejemplos: extremos, singletons y falta de monotonía y los resultados de cierre reutilizados allí, las clausuras de ambos extremos de esta cadena son \([a,b]\). Por ello \(\overline H=[a,b]\). La identidad ya cerrada Teorema 15.6.4 — Descomposición de la recta en interior, frontera y exterior concluye

\[ \partial H=\overline H\setminus H^\circ=[a,b]\setminus(a,b)=\{a,b\}. \]

No hemos redefinido intervalos ni repetido las pruebas de los casos abierto y cerrado: las dos cadenas de inclusiones completan los casos semiabiertos. ∎

Proposición 15.9.9 — Dos subconjuntos densos disjuntos

El conjunto \(D_{\mathbb Q}=j[\mathbb Q]\) y su complemento

\[ I_{\mathbb R}:=\mathbb R\setminus D_{\mathbb Q} \]

son disjuntos y ambos densos en \(\mathbb R\). En consecuencia,

\[ \boxed{D_{\mathbb Q}^\circ=I_{\mathbb R}^\circ=\varnothing, \qquad\partial D_{\mathbb Q}=\partial I_{\mathbb R}=\mathbb R.} \]

Demostración.

Existencia de un real fuera de la copia racional. En el modelo de Dedekind, Proposición 5.3.3 — \(\alpha_2\) no es una cortadura racional y Corolario 5.5.4 — La copia racional no agota \(\mathbb R_D\) proporcionan una cortadura \(\alpha_2\in\mathbb R_D\) que no pertenece a \(\iota_D[\mathbb Q]\). La unicidad estructural de la completación (Teorema 12.7.2 — Unicidad del isomorfismo entre completaciones ordenadas–Teorema 12.8.1 — Existencia y caracterización única de la completación ordenada de \(\mathbb Q\)) proporciona un isomorfismo de cuerpos ordenados \(\Phi:\mathbb R_D\to\mathbb R\) que conmuta con las incrustaciones racionales: \(\Phi\circ\iota_D=j\). Fijemos \(\xi:=\Phi(\alpha_2)\). Si \(\xi=j(q)\) para algún \(q\in\mathbb Q\), la inyectividad de \(\Phi\) implicaría \(\alpha_2=\iota_D(q)\), contradicción. Por tanto \(\xi\notin D_{\mathbb Q}\); en particular, \(\xi\ne0\).

Un elemento del complemento en cada intervalo. Sean \(a<b\). También \(a-\xi<b-\xi\); por la densidad racional de orden Corolario 12.3.2 — Densidad racional en todo cuerpo ordenado completo, existe \(q\in\mathbb Q\) tal que

\[ a-\xi<j(q)<b-\xi. \]

Sumando \(\xi\) obtenemos \(y:=j(q)+\xi\in(a,b)\). Este punto no pertenece a \(D_{\mathbb Q}\): si \(y=j(t)\) para algún \(t\in\mathbb Q\), la incrustación de cuerpos ordenados Teorema 12.2.5 — La copia racional es una incrustación de cuerpos ordenados y el carácter de subcuerpo de su imagen (Lema 12.2.6 — La imagen de la copia racional es un subcuerpo) darían

\[ \xi=j(t)-j(q)=j(t-q)\in D_{\mathbb Q}, \]

contradicción. Por tanto, todo intervalo no degenerado corta a \(I_{\mathbb R}\). La traslación por el irracional fijo \(\xi\) ha bastado: no se necesita elegir una sucesión de aproximantes ni emplear arquimedianidad de nuevo.

El intervalo \((a,b)\) era arbitrario. Por Teorema 15.9.2 — Tres caracterizaciones de la densidad, \(I_{\mathbb R}\) es denso. La densidad de \(D_{\mathbb Q}\) ya quedó demostrada en Proposición 15.9.3 — Densidad de la copia racional canónica. Ambos conjuntos son disjuntos por la definición del complemento, y Proposición 15.9.4 — Densidad, interior del complemento y frontera aplicada en ambos sentidos muestra que sus interiores son vacíos. Como uno de ellos es denso y tiene interior vacío, su frontera es toda la recta; la simetría Proposición 15.6.5 — La frontera es cerrada y no cambia al tomar el complemento da lo mismo para el otro. ∎

Consecuencia conceptual. Dos conjuntos disjuntos pueden ser densos simultáneamente. No debemos confundir «todo intervalo contiene elementos del conjunto» con «algún intervalo está contenido en el conjunto». La primera condición es densidad; la segunda, existencia de interior no vacío.

Las definiciones y leyes topológicas básicas de la recta quedan así conectadas con su orden y con la copia racional construida en la Parte I. La sección se apoya exclusivamente en las condiciones con bolas y en los teoremas racionales ya cerrados: no utiliza la caracterización secuencial condicional de §15.8, no introduce espacios topológicos abstractos y no exige una elección de puntos para una familia de intervalos.

El Capítulo 16 utilizará esta estructura local para estudiar los límites de funciones. Su punto de partida será un punto de acumulación del dominio: allí se examinará el comportamiento de los valores de una función cuando la variable se aproxima al punto sin exigir que coincida con él. La distinción entre adherencia y acumulación construida aquí evitará imponer un límite donde sólo existe una pertenencia aislada.