Tratado de análisis — Capítulo 14 — Series numéricas

Capítulo 14 — Series numéricas en el desarrollo progresivo del Tratado de análisis.

Capítulo 14 — Series numéricas

← Volver al Tratado de análisis · Capítulo anterior · Capítulo siguiente

Parte II — Núcleo del análisis real

---

14.0. De una sucesión de términos a una sucesión de sumas

En el capítulo anterior estudiamos cuándo una sucesión real tiene límite. Podemos ahora preguntar qué ocurre al sumar, en orden, los términos de una sucesión

\[ a=(a_n)_{n\in\mathbb N},\qquad a:\mathbb N\longrightarrow\mathbb R. \]

Para cada índice finito podemos efectuar una suma ordinaria:

\[ a_0,\qquad a_0+a_1,\qquad a_0+a_1+a_2,\quad\ldots \]

Estas expresiones no constituyen todavía una «suma infinita». Constituyen, para cada índice natural, una operación finita, cuya existencia se obtiene de la aritmética real. La cuestión propiamente analítica consiste en estudiar la sucesión formada por esos resultados.

La arquitectura conceptual del capítulo comienza con tres niveles diferentes:

\[ \boxed{ \text{términos }(a_n) \quad\longrightarrow\quad \text{sumas parciales }(s_n) \quad\longrightarrow\quad \text{posible límite }\ell. } \]

Los términos \(a_n\) son los datos; los números \(s_n\) son sumas finitas; el número \(\ell\) sólo podrá llamarse suma de la serie después de demostrar que \(s_n\to\ell\). Si no hay convergencia, los dos primeros niveles siguen estando perfectamente definidos, pero no aparece una suma real.

Pregunta de lectura. Que todas las sumas parciales existan no significa que exista su límite. ¿En cuál de los tres niveles se formula la convergencia? La respuesta será siempre: en la sucesión de sumas parciales, no en la mera existencia de cada suma finita.

Trabajaremos con la realización estructural de \(\mathbb R\) fijada en §12.9 y con la noción de sucesión real cerrada en el Capítulo 13. No identificaremos el conjunto \(\mathbb Q\) con un subconjunto literal de \(\mathbb R\) ni confundiremos una sucesión de términos con su sucesión de sumas parciales.

14.1. Serie, sumas parciales y convergencia

Definición 14.1.1 — Sucesión de sumas parciales y serie numérica

Sea \(a=(a_n)_{n\in\mathbb N}\) una sucesión real. Definimos su sucesión de sumas parciales como la única sucesión real

\[ \operatorname{PS}(a)=s^a=(s^a_n)_{n\in\mathbb N} \]

que satisface las ecuaciones recursivas

\[ \boxed{ \begin{aligned} s^a_0&=a_0,\\ s^a_{n+1}&=s^a_n+a_{n+1} \qquad(n\in\mathbb N). \end{aligned} } \]

La serie numérica de términos \(a\) es el proceso de sumación representado por esta sucesión \(\operatorname{PS}(a)\). Por tanto, una serie existe como objeto secuencial antes de saber si converge. El calificativo «serie» indica aquí cuál es el objeto que se someterá al estudio de límites, no un número real ya obtenido.

Verifiquemos la existencia y unicidad de la construcción sin reforzar el teorema de recursión previamente cerrado. Su paso tiene la forma \(g:X\to X\) y no puede depender de un índice externo. Por ello incorporaremos el índice al estado recursivo. Fijado \(a\), tomemos

\[ X:=\mathbb N\times\mathbb R, \qquad H_a:X\longrightarrow X, \qquad H_a(\langle m,x\rangle):= \langle m+1,x+a_{m+1}\rangle. \]

El grafo de \(H_a\) se obtiene por Separación dentro de \(X\times X\). Es funcional y total: \(m+1\in\mathbb N\), \(a_{m+1}\in\mathbb R\), y las operaciones natural y real utilizadas están definidas y son unívocas. Aplicamos exactamente Teorema 1.3.7 — Teorema de recursión sobre \(\mathbb N\) al conjunto \(X\), al estado inicial \(\langle0,a_0\rangle\) y a la función \(H_a\). Obtenemos una única función

\[ r:\mathbb N\longrightarrow X, \qquad r(0)=\langle0,a_0\rangle, \qquad r(n+1)=H_a(r(n)). \]

Por inducción sobre \(n\), la primera componente de \(r(n)\) es \(n\): lo es en \(0\) y el paso \(H_a\) incrementa exactamente en una unidad esa componente. Denotemos por \(s^a_n\) la segunda componente de \(r(n)\). El grafo \(\{\langle n,x\rangle\in\mathbb N\times\mathbb R:r(n)=\langle n,x\rangle\}\) existe por Separación; su funcionalidad y totalidad se siguen de las propiedades de \(r\). La ecuación inicial y el paso de \(r\) entregan ahora

\[ s^a_0=a_0, \qquad s^a_{n+1}=s^a_n+a_{n+1}. \]

Si otra sucesión satisficiera ambas ecuaciones, una inducción sobre \(n\) probaría su igualdad término a término con \(s^a\), por lo que la sucesión de sumas parciales es única.

También queda determinada una operación genuina sobre el conjunto de sucesiones:

\[ \boxed{ \operatorname{PS}:\mathbb R^{\mathbb N} \longrightarrow\mathbb R^{\mathbb N}, \qquad a\longmapsto s^a. } \]

En efecto, su grafo se obtiene por Separación dentro de \(\mathbb R^{\mathbb N}\times\mathbb R^{\mathbb N}\) imponiendo las ecuaciones recursivas anteriores. La existencia y unicidad para cada \(a\) aseguran que se trata del grafo de una función.

Notación 14.1.2 — Suma finita de términos consecutivos

Para todo \(n\in\mathbb N\) escribiremos

\[ \boxed{ \sum_{k=0}^{n}a_k:=s^a_n. } \]

En particular,

\[ \sum_{k=0}^{0}a_k=a_0, \qquad \sum_{k=0}^{n+1}a_k =\left(\sum_{k=0}^{n}a_k\right)+a_{n+1}. \]

El símbolo de suma finita abrevia la recursión ya legitimada; no es una operación primitiva ni presupone una suma infinita. La convención inicial es \(k=0\) porque \(\mathbb N\) contiene \(0\). Todavía no utilizamos la notación para una suma vacía ni para límites inferiores arbitrarios: se definirán cuando resulten necesarios.

Proposición 14.1.3 — Recuperación de los términos y unicidad del proceso de sumación

Sean \(a,b\) sucesiones reales y escribamos \(s=\operatorname{PS}(a)\). Entonces

\[ \boxed{ a_0=s_0,\qquad a_{n+1}=s_{n+1}-s_n \quad(n\in\mathbb N). } \]

En consecuencia,

\[ \boxed{ \operatorname{PS}(a)=\operatorname{PS}(b) \Longrightarrow a=b. } \]

Demostración.

La ecuación inicial de Definición 14.1.1 — Sucesión de sumas parciales y serie numérica establece \(s_0=a_0\). Para cada \(n\in\mathbb N\), la segunda ecuación da

\[ s_{n+1}=s_n+a_{n+1}. \]

Restando \(s_n\) a ambos miembros y aplicando las leyes del grupo aditivo del cuerpo real obtenemos

\[ s_{n+1}-s_n=a_{n+1}. \]

Si \(\operatorname{PS}(a)=\operatorname{PS}(b)=s\), las fórmulas anteriores dan \(a_0=b_0\) y \(a_{n+1}=b_{n+1}\) para todo \(n\). Todo natural es \(0\) o el sucesor de otro natural (Teorema 1.2.7 — Predecesor de todo natural no nulo, o directamente el principio de inducción Teorema 1.1.10 — Principio de inducción); por ello \(a_n=b_n\) para todo \(n\in\mathbb N\). Proposición 13.1.2 — Criterio término a término para la igualdad de sucesiones reales demuestra \(a=b\). ∎

Interpretación. Los términos y las sumas parciales cumplen funciones distintas, aunque cada sucesión de sumas parciales determina inequívocamente los términos que la generaron. Una sucesión de valores no se transforma en una suma real por cambiarle el nombre: necesitamos todavía una condición de convergencia.

Definición 14.1.4 — Convergencia, divergencia y suma de una serie

Sea \(a\in\mathbb R^{\mathbb N}\) y sea \(s=\operatorname{PS}(a)\).

Diremos que la serie de términos \(a\) converge si la sucesión real \(s\) converge en el sentido de Definición 13.3.1 — Convergencia de una sucesión real; diremos que diverge si no es convergente. Es decir,

\[ \boxed{ \text{la serie de términos }a\text{ converge} \iff \exists\ell\in\mathbb R,\quad s_n\to\ell. } \]

Cuando la serie converge, el teorema de unicidad del límite Teorema 13.3.5 — Unicidad del límite real garantiza que existe un único \(\ell\in\mathbb R\) al que convergen las sumas parciales. Llamamos a ese número la suma de la serie y lo denotamos, cuando se necesite como función parcial, por

\[ \operatorname{sum}(a):=\lim_{n\to\infty}\operatorname{PS}(a)_n. \]

El dominio natural de \(\operatorname{sum}\) es el conjunto

\[ \mathcal C_{\mathrm{ser}} :=\{a\in\mathbb R^{\mathbb N}: \operatorname{PS}(a)\text{ converge}\}, \]

que existe por Separación. La relación

\[ \left\{\langle a,\ell\rangle \in\mathcal C_{\mathrm{ser}}\times\mathbb R: \operatorname{PS}(a)_n\to\ell\right\} \]

existe por Separación y es funcional por unicidad del límite. Por tanto determina una función legítima

\[ \boxed{ \operatorname{sum}:\mathcal C_{\mathrm{ser}}\longrightarrow\mathbb R. } \]

Si \(a\notin\mathcal C_{\mathrm{ser}}\), la sucesión de sumas parciales sigue existiendo, pero \(\operatorname{sum}(a)\) no está definida. En particular, no le asignamos por defecto los símbolos \(+\infty\) o \(-\infty\), que no son elementos del cuerpo real considerado.

Prueba de estrés. «La serie converge» no significa «cada término es una suma bien definida», porque esa propiedad se cumple para cualquier sucesión real. Significa que la sucesión completa de sumas parciales tiene un límite real. La definición tampoco exige que todos los términos sean no negativos o que la sucesión original sea convergente: esas serán cuestiones separadas, cuya relación precisa demostraremos más adelante.

Notación 14.1.5 — Símbolo de serie y valor de una suma infinita

La expresión

\[ \sum_{k=0}^{\infty}a_k \]

identifica formalmente la serie de términos \(a\), incluso cuando no se haya establecido su convergencia. El signo \(\infty\) en el límite superior es parte de una notación convencional: no representa un índice natural ni el último término de una suma finita.

Cuando ya se sabe que la serie converge, la misma expresión puede utilizarse, por convención explícita, para su valor real. Así, la igualdad

\[ \boxed{ \sum_{k=0}^{\infty}a_k=\ell } \]

significa precisamente

\[ \lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=0}^{n}a_k\right)=\ell. \]

No escribiremos una igualdad numérica con \(\sum_{k=0}^{\infty}a_k\) si la convergencia no ha sido demostrada. La expresión puede nombrar una serie divergente, pero en ese caso no denota un número real.

Proposición 14.1.6 — Estabilización de sumas parciales cuando los términos tardíos son nulos

Sea \(a\) una sucesión real. Si existe \(N\in\mathbb N\) tal que

\[ a_n=0 \qquad\text{para todo }n\ge N+1, \]

entonces

\[ \boxed{ \sum_{k=0}^{\infty}a_k =\sum_{k=0}^{N}a_k. } \]

En concreto, sus sumas parciales son constantes a partir del índice \(N\).

Demostración.

Escribamos \(s=\operatorname{PS}(a)\). Demostraremos por inducción sobre \(j\in\mathbb N\) que

\[ s_{N+j}=s_N. \]

Para \(j=0\) es una identidad. Supongamos válida la igualdad para \(j\). Por la recursión de las sumas parciales,

\[ s_{N+(j+1)} =s_{N+j}+a_{N+j+1}. \]

Por asociatividad y conmutatividad de la suma natural (Teorema 1.4.4 — Asociatividad de la suma y Teorema 1.4.5 — Conmutatividad de la suma), \(N+j+1=(N+1)+j\); por la definición del orden natural, \(N+1\le (N+1)+j\). La hipótesis sobre los términos da entonces \(a_{N+j+1}=0\). La hipótesis inductiva produce entonces

\[ s_{N+(j+1)}=s_N+0=s_N. \]

Por el principio de inducción Teorema 1.1.10 — Principio de inducción, la igualdad vale para todo \(j\). Si \(n\ge N\), la definición del orden natural Definición 1.6.1 — Orden aritmético proporciona \(j\in\mathbb N\) con \(n=N+j\), y así \(s_n=s_N\). La sucesión \(s\) coincide eventualmente con la sucesión constante \(\underline{s_N}\); esta converge a \(s_N\) por Proposición 13.3.4 — Las sucesiones constantes convergen a su valor, y la coincidencia eventual preserva el límite por Proposición 13.3.7 — Invariancia de la convergencia bajo coincidencia eventual. De acuerdo con Definición 14.1.4 — Convergencia, divergencia y suma de una serie y las notaciones ya establecidas,

\[ \sum_{k=0}^{\infty}a_k =s_N =\sum_{k=0}^{N}a_k. \]

∎

Por ejemplo, si \(a_0=c\), \(a_1=d\) y \(a_n=0\) para todo \(n\ge2\), entonces las sumas parciales son \(c,c+d,c+d,\ldots\) y la serie tiene suma \(c+d\). En cambio, para la sucesión constante de términos \(a_n=1_{\mathbb R}\), las ecuaciones recursivas y la aritmética de los numerales (Proposición 4.1.6 — Aritmética y orden de los numerales naturales) dan \(s_n=\nu_{\mathbb R}(n+1)\). Esta sucesión es no acotada por la arquimedianidad de \(\mathbb R\) (Teorema 4.6.3 — Todo cuerpo ordenado completo es arquimediano) y, por Teorema 13.4.5 — Toda sucesión real convergente es acotada, no puede converger. Por consiguiente, la serie de términos todos iguales a \(1_{\mathbb R}\) diverge, aunque cada suma parcial está perfectamente definida.

Dos controles cognitivos. Una serie puede converger porque sus sumas parciales llegan a estabilizarse exactamente; también puede divergir aunque cada suma parcial sea un número real. En los siguientes apartados estudiaremos criterios que permitan decidir entre ambas situaciones sin calcular explícitamente todas las sumas parciales.

La definición de suma de serie transforma el problema en uno secuencial. En §14.2 aplicaremos primero el criterio de Cauchy del Capítulo 13 a las sumas parciales y deduciremos de él la condición necesaria de que los términos tiendan a cero. Ninguno de esos resultados ha sido supuesto en la presente construcción.

14.2. Criterio de Cauchy para series y condición necesaria de convergencia

Una serie se definió como una sucesión de sumas parciales. Por ello, el criterio de Cauchy del Capítulo 13 puede aplicarse sin introducir una nueva noción de completitud. Sin embargo, necesitamos traducir la diferencia entre dos sumas parciales al lenguaje natural de una suma de términos consecutivos. Éste es el contenido de la primera notación.

Notación 14.2.1 — Suma de un bloque finito posterior

Sea \(a=(a_n)\) una sucesión real y sea \(s=\operatorname{PS}(a)\). Para naturales \(n<m\), definimos la suma del bloque de términos posterior a \(n\) y terminado en \(m\) por

\[ \boxed{ \sum_{k=n+1}^{m}a_k:=s_m-s_n. } \]

El bloque comienza en \(n+1\), no en \(n\): el término \(a_n\) ya está contenido en \(s_n\). Esta notación sólo se utiliza aquí cuando \(n<m\), por lo que el bloque contiene al menos un término. No definimos todavía sumas vacías ni intervalos arbitrarios de índices. La igualdad precedente es una definición de una cantidad real finita, no una serie infinita.

Proposición 14.2.2 — Identidades de los bloques de sumación

Si \(a\) es una sucesión real, \(s=\operatorname{PS}(a)\) y \(n<m\) son naturales, entonces:

1. el primer bloque tiene un solo término: \[ \boxed{\sum_{k=n+1}^{n+1}a_k=a_{n+1};} \]
2. prolongar el extremo derecho añade exactamente el siguiente término: \[ \boxed{\sum_{k=n+1}^{m+1}a_k =\left(\sum_{k=n+1}^{m}a_k\right)+a_{m+1};} \]
3. las sumas parciales se recuperan del bloque: \[ \boxed{s_m=s_n+\sum_{k=n+1}^{m}a_k;} \]
4. si \(n<r<m\), podemos partir el bloque en dos: \[ \boxed{\sum_{k=n+1}^{m}a_k =\sum_{k=n+1}^{r}a_k+\sum_{k=r+1}^{m}a_k.} \]

Demostración.

La recursión Definición 14.1.1 — Sucesión de sumas parciales y serie numérica y la recuperación de términos Proposición 14.1.3 — Recuperación de los términos y unicidad del proceso de sumación dan

\[ \sum_{k=n+1}^{n+1}a_k=s_{n+1}-s_n=a_{n+1}. \]

Para el segundo punto, por la misma recursión,

\[ \begin{aligned} \sum_{k=n+1}^{m+1}a_k &=s_{m+1}-s_n\\ &=(s_m+a_{m+1})-s_n\\ &=(s_m-s_n)+a_{m+1}\\ &=\sum_{k=n+1}^{m}a_k+a_{m+1}. \end{aligned} \]

La tercera identidad resulta de sumar \(s_n\) a \(s_m-s_n\). Para la cuarta, la asociatividad y las leyes de opuesto en \(\mathbb R\) permiten escribir

\[ \begin{aligned} s_m-s_n &=(s_r-s_n)+(s_m-s_r)\\ &=\sum_{k=n+1}^{r}a_k+\sum_{k=r+1}^{m}a_k. \end{aligned} \]

Por definición, el miembro izquierdo es el bloque completo. ∎

Las dos primeras identidades verifican además que nuestra notación reproduce exactamente la adición finita ordinaria de los términos \(a_{n+1},\ldots,a_m\): empieza por el primero y incorpora sucesivamente los restantes. No hemos introducido una suma infinita encubierta.

Teorema 14.2.3 — Criterio de Cauchy para una serie numérica

Sea \(a=(a_n)\) una sucesión real. Son equivalentes:

1. la serie \(\sum_{k=0}^{\infty}a_k\) converge en \(\mathbb R\);
2. para cada \(\varepsilon\in\mathbb R\) con \(\varepsilon>0\) existe \(N\in\mathbb N\) tal que, para todos los naturales \(n,m\), \[ \boxed{ N\le n<m \quad\Longrightarrow\quad \left|\sum_{k=n+1}^{m}a_k\right|<\varepsilon. } \]

Demostración.

Escribamos \(s=\operatorname{PS}(a)\). Por Definición 14.1.4 — Convergencia, divergencia y suma de una serie, la afirmación (1) significa que \(s\) converge. El criterio de Cauchy real Corolario 13.8.8 — Criterio de Cauchy en \(\mathbb R\) proporciona la equivalencia

\[ s\text{ converge} \iff \forall\varepsilon>0\;\exists N\in\mathbb N\; \forall m,n\ge N: |s_m-s_n|<\varepsilon. \]

Si vale esta última condición y \(N\le n<m\), entonces la definición del bloque da directamente

\[ \left|\sum_{k=n+1}^{m}a_k\right| =|s_m-s_n|<\varepsilon. \]

Recíprocamente, supongamos (2) y fijemos \(\varepsilon>0\). Tomemos el umbral \(N\) que proporciona (2). Sean \(m,n\ge N\). La tricotomía natural ya cerrada en Proposición 1.6.7 — Tricotomía decidible de los naturales permite distinguir tres posibilidades. Si \(n<m\), la identidad del bloque entrega \(|s_m-s_n|<\varepsilon\). Si \(m<n\), aplicamos (2) al par ordenado \(m<n\) y utilizamos \(|s_m-s_n|=|s_n-s_m|\), propiedad ya probada en Proposición 4.2.2 — Propiedades elementales del valor absoluto (3). Si \(m=n\), obtenemos \(|s_m-s_n|=0<\varepsilon\). Por consiguiente, \(s\) es de Cauchy según Definición 13.8.1 — Sucesión real de Cauchy y converge en \(\mathbb R\) por Corolario 13.8.8 — Criterio de Cauchy en \(\mathbb R\). La definición de serie concluye (1). ∎

Qué mide el criterio. No pide que una sola suma parcial sea pequeña ni que los términos individuales se hagan pequeños: exige que cada bloque finito completo suficientemente alejado del origen tenga suma de valor absoluto menor que la tolerancia. Los dos extremos \(n,m\) se cuantifican después de elegir un único umbral \(N\).

Teorema 14.2.4 — Condición necesaria de convergencia: el término general tiende a cero

Si la serie de términos \(a=(a_n)\) converge, entonces

\[ \boxed{a_n\longrightarrow0.} \]

Demostración.

Sea \(\varepsilon>0\). Sea \(s=\operatorname{PS}(a)\). Su convergencia es la hipótesis por Definición 14.1.4 — Convergencia, divergencia y suma de una serie. El teorema Teorema 13.8.2 — Toda sucesión real convergente es de Cauchy demuestra directamente —sin utilizar completitud— que \(s\) es de Cauchy: existe \(N\in\mathbb N\) tal que

\[ m,n\ge N\Longrightarrow |s_m-s_n|<\varepsilon. \]

En particular, para cada \(n\ge N\), tomemos \(m=n+1\). La identidad de un bloque con un término (Proposición 14.2.2 — Identidades de los bloques de sumación) da

\[ \boxed{|a_{n+1}|<\varepsilon\qquad(n\ge N).} \]

Para verificar la definición de convergencia de la sucesión original —que empieza en \(a_0\), no en \(a_1\)—, establezcamos el umbral \(N':=N+1\). Si \(k\ge N'\), la definición del orden natural da un \(j\in\mathbb N\) con

\[ k=(N+1)+j=(N+j)+1. \]

La última igualdad utiliza asociatividad y conmutatividad de la suma natural. Pongamos \(n:=N+j\); entonces \(n\ge N\) y \(k=n+1\). Por la estimación anterior,

\[ |a_k-0|=|a_{n+1}|<\varepsilon. \]

Hemos probado que para cada \(\varepsilon>0\) existe un umbral \(N'\) que sirve para todos los índices \(k\ge N'\). Por Definición 13.3.1 — Convergencia de una sucesión real, \(a_n\to0\). ∎

Una implicación, no una equivalencia. El resultado demuestra que los términos de una serie convergente se anulan asintóticamente. No afirma que la mera anulación asintótica controle la suma de bloques con un número arbitrariamente grande de términos.

Corolario 14.2.5 — Criterio de divergencia por el término general

Si \(a_n\) no converge a cero, entonces la serie \(\sum_{k=0}^{\infty}a_k\) diverge. En particular, si \(a_n\to\ell\) para algún \(\ell\in\mathbb R\) con \(\ell\ne0\), la serie diverge.

Demostración.

Si la serie convergiera, Teorema 14.2.4 — Condición necesaria de convergencia: el término general tiende a cero implicaría \(a_n\to0\), en contradicción con la hipótesis. Para la segunda afirmación, si además \(a_n\to\ell\) y la serie convergiera, la unicidad del límite Teorema 13.3.5 — Unicidad del límite real produciría \(\ell=0\), contra \(\ell\ne0\). ∎

Por ejemplo, recuperamos inmediatamente la divergencia de la serie de términos constantes iguales a \(1_{\mathbb R}\), ya mostrada en §14.1. El corolario permite detectarla mirando los términos. No debemos, sin embargo, invertir esta regla lógica: para decidir si una sucesión de términos que sí tiende a cero genera una serie convergente, necesitamos información adicional.

Lema 14.2.6 — Cota inferior para un bloque de términos acotados inferiormente

Sean \(a\) una sucesión real, \(n\in\mathbb N\), \(d\in\mathbb N\) con \(d\ne0\) y \(c\in\mathbb R\). Si

\[ \forall k\in\mathbb N, \quad n<k\le n+d\Longrightarrow c\le a_k, \]

entonces

\[ \boxed{ \sum_{k=n+1}^{n+d}a_k\ge\nu_{\mathbb R}(d)\,c. } \]

Demostración.

La suma tiene sentido porque \(d\ne0\) implica \(n<n+d\), por las propiedades ya demostradas del orden y la suma natural. Demostraremos por inducción sobre \(j\in\mathbb N\) la afirmación del enunciado para \(d=j+1\). Esta formulación cubre todos los naturales no nulos por Teorema 1.2.7 — Predecesor de todo natural no nulo.

Para \(j=0\), la hipótesis proporciona \(a_{n+1}\ge c\). Por la identidad del bloque de un término,

\[ \sum_{k=n+1}^{n+1}a_k=a_{n+1} \ge c=\nu_{\mathbb R}(1)c. \]

Supongamos ahora válida la afirmación para \(d=j+1\) y consideremos un bloque terminado en \(n+(j+2)\) cuyos términos son todos mayores o iguales que \(c\). Sus primeros \(j+1\) términos satisfacen la misma cota. La hipótesis inductiva da

\[ \sum_{k=n+1}^{n+(j+1)}a_k \ge\nu_{\mathbb R}(j+1)c. \]

El término nuevo satisface \(a_{n+(j+2)}\ge c\). Por la identidad de prolongación de Proposición 14.2.2 — Identidades de los bloques de sumación y la compatibilidad aditiva de los numerales (Proposición 4.1.6 — Aritmética y orden de los numerales naturales),

\[ \begin{aligned} \sum_{k=n+1}^{n+(j+2)}a_k &=\sum_{k=n+1}^{n+(j+1)}a_k+a_{n+(j+2)}\\ &\ge\nu_{\mathbb R}(j+1)c+c\\ &=\nu_{\mathbb R}(j+2)c. \end{aligned} \]

El paso usa sólo que sumar desigualdades preserva el orden en el cuerpo real; no se exige \(c\ge0\). La inducción concluye el resultado para cada \(d\ge1\). ∎

Lectura de la estimación. Una cota inferior para cada término de un bloque produce una cota para la suma que depende también de cuántos términos tiene. Ese número de términos será precisamente lo que impida invertir el teorema anterior.

Proposición 14.2.7 — La condición \(a_n\to0\) no es suficiente: la serie armónica

Definamos para cada \(n\in\mathbb N\)

\[ \boxed{ h_n:=\nu_{\mathbb R}(n+1)^{-1}. } \]

Entonces \(h=(h_n)\) es una sucesión real positiva tal que \(h_n\to0\), pero la serie

\[ \sum_{k=0}^{\infty}h_k \]

diverge. Ésta es la serie armónica, escrita con índices desde cero y numerales reales explícitos.

Demostración.

El lema cerrado Lema 13.10.2 — Los recíprocos de los numerales positivos tienden a cero demuestra, exactamente para los recíprocos de los numerales positivos \(\nu_{\mathbb R}(n+1)\), que \(h\) es una sucesión real, \(h_n>0\) y

\[ h_n\longrightarrow0. \]

Demostraremos que sus sumas parciales no son de Cauchy. Fijemos un natural arbitrario \(N\) y pongamos

\[ d:=N+1, \qquad m:=N+d. \]

Así \(N<m\) y, por las leyes de suma natural,

\[ m+1=d+d. \]

Escribamos \(r:=\nu_{\mathbb R}(d)\). Como \(d>0\), la preservación del orden por los numerales Proposición 4.1.6 — Aritmética y orden de los numerales naturales asegura \(r>0\). Para cada índice \(k\) del bloque \(N<k\le m\), tenemos \(k+1\le m+1\) y, por tanto,

\[ 0<\nu_{\mathbb R}(k+1) \le\nu_{\mathbb R}(m+1)=r+r. \]

La inversión revierte el orden de los positivos. Para justificar aquí la versión no estricta sin separar artificialmente casos de igualdad, podemos multiplicar la desigualdad anterior por el producto positivo de los dos recíprocos: de \(0<x\le y\) obtenemos \(y^{-1}\le x^{-1}\). Aplicándolo a los numerales precedentes resulta

\[ h_k=\nu_{\mathbb R}(k+1)^{-1} \ge(r+r)^{-1}=:c. \]

Hay exactamente \(d\) términos entre los índices \(N+1\) y \(N+d=m\). El lema Lema 14.2.6 — Cota inferior para un bloque de términos acotados inferiormente aplicado al bloque proporciona

\[ \sum_{k=N+1}^{m}h_k \ge\nu_{\mathbb R}(d)c =r(r+r)^{-1}. \]

Como \(r+r=(1+1)r\) y \(r\ne0\), las leyes del cuerpo real dan

\[ \boxed{ \sum_{k=N+1}^{m}h_k \ge(1+1)^{-1}. } \]

El número \(\eta:=(1+1)^{-1}\) es positivo. Si la serie convergiera, su sucesión de sumas parciales sería de Cauchy por Teorema 13.8.2 — Toda sucesión real convergente es de Cauchy y la definición Definición 14.1.4 — Convergencia, divergencia y suma de una serie. Para la tolerancia \(\varepsilon:=\eta\) existiría un umbral \(N_0\) tal que todos los pares \(m>n\ge N_0\) verificaran \(|s_m-s_n|<\eta\). Pero tomando \(N=N_0\) en la construcción precedente, y recordando que el bloque es \(s_m-s_N\), obtenemos

\[ |s_m-s_N| \ge\eta, \]

pues la suma del bloque es al menos \(\eta>0\). Esto contradice la condición de Cauchy. Por tanto la serie armónica diverge. ∎

Prueba de estrés de la condición necesaria. Cada término \(h_n\) se vuelve pequeño; sin embargo, para cualquier lugar desde el que comencemos podemos sumar suficientes términos posteriores —en este caso, desde \(N+1\) hasta \(2N+1\)— y obtener una cantidad al menos igual a \((1+1)^{-1}\). La diferencia entre controlar un término y controlar todos los bloques no es una sutileza notacional: es la razón exacta por la que la implicación del teorema 14.2.4 no admite conversa.

Frontera deductiva. La prueba no usa logaritmos, potencias naturales generales, el criterio de comparación ni la condensación de Cauchy; todos ellos quedan fuera de esta unidad. Los recíprocos de numerales y la arquimedianidad se importan de Lema 13.10.2 — Los recíprocos de los numerales positivos tienden a cero. No se presupone una suma infinita real para la serie armónica: precisamente demostramos que no existe.

La sección nos deja una distinción operacional: la convergencia de una serie es una propiedad de sus sumas parciales; el criterio de Cauchy la mide mediante bloques enteros; y la anulación del término general es sólo una consecuencia necesaria. El siguiente apartado podrá estudiar series geométricas a partir de identidades finitas, sin confundir una fórmula para sumas parciales con una suma infinita ya existente.

14.3. Series geométricas

La serie geométrica es el primer ejemplo en el que una fórmula cerrada para las sumas parciales permite transformar el problema de convergencia en el estudio de una sola sucesión auxiliar. Antes de hablar de una suma infinita debemos construir, sin embargo, las potencias naturales y demostrar una identidad finita. Este primer tramo no afirma todavía que ninguna serie geométrica converja.

Definición 14.3.1 — Potencias naturales de un número real

Sea \(r\in\mathbb R\). Definimos la potencia natural de base \(r\) como la única sucesión

\[ p^{(r)}:\mathbb N\longrightarrow\mathbb R \]

que satisface

\[ \boxed{ p^{(r)}_0=1, \qquad p^{(r)}_{n+1}=p^{(r)}_n\,r \quad(n\in\mathbb N). } \]

Su existencia y unicidad son una aplicación directa del teorema de recursión Teorema 1.3.7 — Teorema de recursión sobre \(\mathbb N\) al conjunto \(\mathbb R\), al elemento inicial \(1\in\mathbb R\) y a la función

\[ M_r:\mathbb R\longrightarrow\mathbb R, \qquad M_r(x):=xr. \]

El grafo de \(M_r\) existe por Separación dentro de \(\mathbb R\times\mathbb R\) y es funcional y total porque la multiplicación es una operación del cuerpo real. Escribiremos

\[ \boxed{r^n:=p^{(r)}_n.} \]

Por tanto,

\[ \boxed{ r^0=1, \qquad r^{n+1}=r^n r. } \]

La asignación \((r,n)\mapsto r^n\) determina además una función

\[ \operatorname{pow}_{\mathbb R}:\mathbb R\times\mathbb N\longrightarrow\mathbb R, \]

pues su grafo se obtiene por Separación y, para cada par \((r,n)\), la recursión anterior determina un único valor.

Adoptamos en particular

\[ 0^0=1, \]

como consecuencia de la cláusula recursiva inicial. Esta convención no expresa una operación de división ni un paso al límite; sólo fija el valor de la potencia de exponente cero.

Control de lectura. La expresión \(r^n\) acaba de adquirir significado para todo \(r\in\mathbb R\) y \(n\in\mathbb N\). No estamos usando una potencia previamente disponible de manera informal: la hemos construido por recursión.

Proposición 14.3.2 — Identidad finita de la suma geométrica

Para todo \(r\in\mathbb R\) y todo \(n\in\mathbb N\),

\[ \boxed{ (1-r)\sum_{k=0}^{n}r^k =1-r^{n+1}. } \]

Demostración.

Fijemos \(r\in\mathbb R\) e induzcamos sobre \(n\).

Para \(n=0\), por la definición de suma finita y de potencia natural,

\[ \sum_{k=0}^{0}r^k=r^0=1. \]

Por tanto

\[ (1-r)\sum_{k=0}^{0}r^k =(1-r)\cdot1 =1-r =1-r^1. \]

Supongamos ahora que

\[ (1-r)\sum_{k=0}^{n}r^k =1-r^{n+1}. \]

La recurrencia de las sumas parciales da

\[ \sum_{k=0}^{n+1}r^k =\left(\sum_{k=0}^{n}r^k\right)+r^{n+1}. \]

Multiplicando por \(1-r\) y usando distributividad,

\[ \begin{aligned} (1-r)\sum_{k=0}^{n+1}r^k &=(1-r)\sum_{k=0}^{n}r^k+(1-r)r^{n+1}\\ &=1-r^{n+1}+r^{n+1}-r\,r^{n+1}\\ &=1-r^{n+2}. \end{aligned} \]

En el último paso usamos la conmutatividad del producto real y la ecuación recursiva

\[ r^{n+2}=r^{n+1}r. \]

El principio de inducción Teorema 1.1.10 — Principio de inducción concluye la identidad para todo \(n\in\mathbb N\). ∎

Frontera deductiva. Esta proposición es puramente algebraica y finita. No se ha tomado ningún límite y no se ha dividido por \(1-r\). En particular, el caso \(r=1\) está incluido y produce la identidad trivial \(0=0\). La convergencia de la serie geométrica y la fórmula de su suma requerirán un argumento adicional, que constituirá el siguiente tramo de §14.3.

Lema 14.3.3 — El valor absoluto conmuta con las potencias naturales

Para todo \(r\in\mathbb R\) y todo \(n\in\mathbb N\),

\[ \boxed{|r^n|=|r|^n.} \]

Demostración.

Fijemos \(r\in\mathbb R\) e induzcamos sobre \(n\). Para \(n=0\),

\[ |r^0|=|1|=1=|r|^0. \]

Si \(|r^n|=|r|^n\), la recurrencia de las potencias y la multiplicatividad del valor absoluto Proposición 4.2.2 — Propiedades elementales del valor absoluto dan

\[ \begin{aligned} |r^{n+1}| &=|r^nr|\\ &=|r^n|\,|r|\\ &=|r|^n|r|\\ &=|r|^{n+1}. \end{aligned} \]

El principio de inducción Teorema 1.1.10 — Principio de inducción concluye la igualdad para todo \(n\in\mathbb N\). ∎

Teorema 14.3.4 — Las potencias de una base de módulo menor que uno tienden a cero

Sea \(r\in\mathbb R\). Si

\[ \boxed{|r|<1,} \]

entonces

\[ \boxed{r^n\longrightarrow0.} \]

Demostración.

Pongamos \(q:=|r|\). Entonces \(0\le q<1\) y consideremos

\[ p_n:=q^n. \]

Por inducción, \(p_n\ge0\) para todo \(n\). Además, \(q\le1\), y por compatibilidad del orden con el producto por un elemento no negativo,

\[ p_{n+1}=p_nq\le p_n. \]

Así \(p\) es decreciente y está acotada inferiormente por \(0\). Por el teorema de convergencia monótona Teorema 13.7.3 — Teorema de convergencia monótona, existe \(L\in\mathbb R\) tal que

\[ p_n\longrightarrow L. \]

La cola reindexada \(p^{\langle1\rangle}\) es una subsucesión de \(p\) por Proposición 13.9.4 — Las colas son subsucesiones y las subsucesiones se componen, de modo que Teorema 13.9.5 — Toda subsucesión de una sucesión convergente converge al mismo límite da

\[ p_{1+n}\longrightarrow L. \]

Por la aritmética natural y la recurrencia de las potencias,

\[ p_{1+n}=p_{n+1}=q^{n+1}=q\,q^n=qp_n. \]

Por Corolario 13.5.4 — Compatibilidad con la multiplicación por una constante,

\[ qp_n\longrightarrow qL. \]

La unicidad del límite Teorema 13.3.5 — Unicidad del límite real obliga a que \(L=qL\), luego

\[ (1-q)L=0. \]

Como \(q<1\), el factor \(1-q\) es estrictamente positivo y, en particular, no nulo. Multiplicando por su inverso concluimos \(L=0\). Por tanto

\[ |r|^n\longrightarrow0. \]

Finalmente, Lema 14.3.3 — El valor absoluto conmuta con las potencias naturales da

\[ |r^n-0|=|r^n|=|r|^n. \]

La definición de convergencia prueba entonces

\[ r^n\longrightarrow0. \]

∎

Lectura estructural. La completitud se usa para garantizar la existencia del límite de la sucesión monótona \(|r|^n\). No se construye un módulo efectivo de convergencia; la ecuación satisfecha por el límite es la que permite identificarlo como \(0\).

Teorema 14.3.5 — Convergencia y suma de la serie geométrica para \(|r|<1\)

Sea \(r\in\mathbb R\) y supongamos \(|r|<1\). Entonces la serie geométrica

\[ \sum_{k=0}^{\infty}r^k \]

converge y

\[ \boxed{ \sum_{k=0}^{\infty}r^k=(1-r)^{-1}. } \]

Equivalentemente,

\[ \boxed{ \sum_{k=0}^{\infty}r^k=\frac1{1-r}. } \]

Demostración.

Sea

\[ s_n:=\sum_{k=0}^{n}r^k. \]

De \(|r|<1\) se deduce \(r\ne1\), pues \(r=1\) implicaría \(|r|=1\). Por tanto \(1-r\ne0\) y existe \((1-r)^{-1}\).

La identidad finita Proposición 14.3.2 — Identidad finita de la suma geométrica da

\[ (1-r)s_n=1-r^{n+1}, \]

y multiplicando por \((1-r)^{-1}\) obtenemos

\[ \boxed{ s_n=(1-r)^{-1}(1-r^{n+1}). } \]

Por Teorema 14.3.4 — Las potencias de una base de módulo menor que uno tienden a cero, \(r^n\to0\). Como \(r^{n+1}=rr^n\), Corolario 13.5.4 — Compatibilidad con la multiplicación por una constante da

\[ r^{n+1}\longrightarrow0. \]

La sucesión constante de valor \(1\) converge a \(1\) por Proposición 13.3.4 — Las sucesiones constantes convergen a su valor; aplicando Proposición 13.5.2 — Límite del opuesto y de una diferencia,

\[ 1-r^{n+1}\longrightarrow1. \]

Otra aplicación de Corolario 13.5.4 — Compatibilidad con la multiplicación por una constante, ahora con la constante \((1-r)^{-1}\), produce

\[ s_n\longrightarrow(1-r)^{-1}. \]

Por Definición 14.1.4 — Convergencia, divergencia y suma de una serie, la serie geométrica converge y su suma es \((1-r)^{-1}\). ∎

Frontera del tramo B. Hemos probado \[ |r|<1 \Longrightarrow \sum_{k=0}^{\infty}r^k\text{ converge}. \] Los casos \(|r|\ge1\) se resuelven a continuación, usando la condición necesaria sobre el término general ya cerrada en §14.2.

Proposición 14.3.6 — Si \(|r|\ge1\), las potencias no tienden a cero

Sea \(r\in\mathbb R\) y supongamos \(|r|\ge1\). Entonces

\[ \boxed{\forall n\in\mathbb N,\quad |r^n|\ge1,} \]

y, en particular, la sucesión \((r^n)\) no converge a cero.

Demostración.

Escribamos \(q:=|r|\), de modo que \(q\ge1>0\). Demostraremos por inducción que \(q^n\ge1\) para todo natural \(n\).

En \(n=0\), la definición de potencia natural da \(q^0=1\). Si \(q^n\ge1\), entonces \(q^n\ge0\) y, como \(q\ge1\), la compatibilidad del producto con el orden entrega

\[ q^{n+1}=q^nq\ge q^n\cdot1=q^n\ge1. \]

La inducción está completa. Por Lema 14.3.3 — El valor absoluto conmuta con las potencias naturales,

\[ |r^n|=|r|^n=q^n\ge1 \qquad(n\in\mathbb N). \]

Supongamos, buscando una contradicción, que \(r^n\to0\). Aplicando la definición de convergencia con la tolerancia real positiva \(\varepsilon=1\), existiría \(N\in\mathbb N\) tal que

\[ |r^n-0|<1\qquad(n\ge N). \]

En particular, para \(n=N\) tendríamos simultáneamente \(1\le|r^N|<1\), contradicción. Por consiguiente, \(r^n\not\to0\). ∎

Control de casos fronterizos. El argumento incluye \(r=1\) y \(r=-1\), además de toda base con \(|r|>1\). No necesita demostrar que las potencias crezcan sin cota: basta la cota inferior uniforme de su módulo. No se ha usado completitud ni Choice.

Teorema 14.3.7 — Clasificación completa de la serie geométrica

Para todo \(r\in\mathbb R\), la serie geométrica cumple

\[ \boxed{ \sum_{k=0}^{\infty}r^k\text{ converge en }\mathbb R \quad\Longleftrightarrow\quad |r|<1. } \]

Cuando converge, su suma es

\[ \boxed{\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}r^k=\frac1{1-r}.} \]

Si \(|r|\ge1\), la serie diverge y la expresión \(\sum_{k=0}^{\infty}r^k\) no tiene valor real como suma.

Demostración.

Si \(|r|<1\), Teorema 14.3.5 — Convergencia y suma de la serie geométrica para \(|r|<1\) demuestra que la serie converge y que su suma es \((1-r)^{-1}=1/(1-r)\).

Si \(|r|\ge1\), Proposición 14.3.6 — Si \(|r|\ge1\), las potencias no tienden a cero establece que sus términos \(a_n:=r^n\) no tienden a cero. El criterio de divergencia por el término general Corolario 14.2.5 — Criterio de divergencia por el término general implica que la serie diverge.

Recíprocamente, supongamos que la serie converge. No puede cumplirse \(|r|\ge1\), pues acabamos de demostrar que esa hipótesis entraña divergencia. Por la totalidad del orden del cuerpo real, \(|r|<1\). Queda demostrada la equivalencia y la fórmula de la suma en todos los casos en que ésta existe. ∎

Interpretación. La fórmula \(1/(1-r)\) sólo representa la suma de la serie cuando \(|r|<1\). Para \(r=-1\), el denominador es no nulo y el cociente algebraico existe, pero la serie \(1-1+1-1+\cdots\) diverge: no está permitido atribuirle ese cociente como suma ordinaria. Para \(r=1\), además de divergir, el cociente ni siquiera está definido.

La serie geométrica nos ha permitido distinguir una fórmula finita, una condición de convergencia y el valor de la suma. En §14.4 pasaremos a las series de términos no negativos, donde la monotonía de las sumas parciales conducirá al primer criterio estructural de convergencia para una clase amplia de series.

14.4. Series de términos no negativos

Para una serie arbitraria, una suma parcial puede aumentar o disminuir: el signo de \(a_{n+1}\) decide la variación entre \(s_n\) y \(s_{n+1}\). La situación se simplifica si todos los términos son no negativos. En ese caso, sumar un término nuevo nunca reduce el total. La existencia de un límite deja entonces de depender de oscilaciones y se convierte en un problema de acotación.

Aquí «serie de términos no negativos» significa exactamente que \(a:\mathbb N\to\mathbb R\) satisface \(a_n\ge0\) para todo \(n\in\mathbb N\). No creamos una nueva clase de objetos ni suponemos que la serie converja.

Proposición 14.4.1 — Monotonía de las sumas parciales de una serie no negativa

Sea \(a=(a_n)_{n\in\mathbb N}\) una sucesión real tal que \(a_n\ge0\) para todo \(n\). Entonces su sucesión de sumas parciales \(s=\operatorname{PS}(a)\) es creciente en el sentido no estricto fijado en §13.7. Más precisamente,

\[ \boxed{0\le s_0\le s_n\le s_m\qquad(n\le m).} \]

Demostración.

La definición recursiva Definición 14.1.1 — Sucesión de sumas parciales y serie numérica da \(s_0=a_0\ge0\) y, para cada \(j\in\mathbb N\),

\[ s_{j+1}=s_j+a_{j+1}\ge s_j, \]

pues \(a_{j+1}\ge0\) y la suma del cuerpo ordenado respeta el orden. No basta, sin embargo, con escribir esta desigualdad entre índices consecutivos: la definición de sucesión creciente exige comparar cualquier par \(n\le m\).

Fijemos \(n\in\mathbb N\) y probemos por inducción en \(d\in\mathbb N\) que \(s_n\le s_{n+d}\). Para \(d=0\) tenemos \(s_{n+0}=s_n\). Si \(s_n\le s_{n+d}\), la asociatividad de la suma natural y la desigualdad anterior permiten concluir

\[ s_n\le s_{n+d}\le s_{(n+d)+1}=s_{n+(d+1)}. \]

La inducción prueba la afirmación para todo \(d\). Dados \(n\le m\), por la definición del orden natural existe \(d\in\mathbb N\) tal que \(m=n+d\); por tanto, \(s_n\le s_m\). En particular, como \(0\le n\), se obtiene \(0\le s_0\le s_n\) para cada índice. Es exactamente la monotonía requerida. ∎

Clave de lectura. El signo de los términos controla la dirección de las sumas parciales, pero no garantiza por sí solo un límite: una sucesión creciente todavía puede carecer de cota superior.

Teorema 14.4.2 — Criterio de convergencia para series de términos no negativos

Sea \(a=(a_n)_{n\in\mathbb N}\) una sucesión real con \(a_n\ge0\) para todo \(n\), y pongamos

\[ s=\operatorname{PS}(a),\qquad S:=s[\mathbb N]=\left\{\sum_{k=0}^{n}a_k:n\in\mathbb N\right\}. \]

El conjunto de valores \(S\subseteq\mathbb R\) es no vacío, pues contiene \(s_0\). Entonces las condiciones siguientes son equivalentes:

1. la serie \(\sum_{k=0}^{\infty}a_k\) converge en \(\mathbb R\);
2. \(S\) está acotado superiormente, es decir, existe \(M\in\mathbb R\) tal que \(s_n\le M\) para todo \(n\in\mathbb N\).

Cuando se cumplen, su suma es exactamente el supremo de las sumas parciales:

\[ \boxed{\sum_{k=0}^{\infty}a_k =\lim_{n\to\infty}s_n =\sup S.} \]

Demostración.

La imagen \(S=s[\mathbb N]\) existe por la teoría de imágenes de funciones ya desarrollada (Definición 0.6.9 — Imagen y preimagen); es un subconjunto de \(\mathbb R\) y contiene \(s_0\). Por Proposición 14.4.1 — Monotonía de las sumas parciales de una serie no negativa, \(s\) es creciente.

(1) implica (2). Si la serie converge, la definición Definición 14.1.4 — Convergencia, divergencia y suma de una serie afirma que \(s\) converge a un real. Toda sucesión real convergente es acotada por Teorema 13.4.5 — Toda sucesión real convergente es acotada; en particular, existe una cota superior \(M\) para todos los \(s_n\). Como todo elemento de \(S\) es algún \(s_n\), ese mismo \(M\) acota superiormente \(S\).

(2) implica (1). Si \(S\) está acotado superiormente, la sucesión creciente \(s\) está acotada superiormente. Aplicamos el teorema de convergencia monótona Teorema 13.7.3 — Teorema de convergencia monótona (1), que, usando la completitud real, garantiza tanto la existencia de \(\sup S\in\mathbb R\) como

\[ s_n\longrightarrow\sup S. \]

Por la definición de convergencia de una serie, ésta converge; la unicidad del límite y la convención de suma infinita identifican su valor con \(\sup S\). ∎

Interpretación. Una cota superior para todas las sumas parciales es suficiente; no hace falta adivinar la suma. Si no existe tal cota, la serie no puede converger a un real, pero no introducimos aquí \(+\infty\) como supuesto valor de la serie. El ejemplo armónico de §14.2 muestra, además, que \(a_n\to0\) puede coexistir con sumas parciales no acotadas.

Dependencias y fundamento. La monotonía se deduce de la recursión y del orden, sin completitud. La implicación de convergencia a acotación usa sólo la acotación de sucesiones convergentes. La recíproca y la identificación con el supremo importan exactamente la completitud y la lógica clásica documentadas en Teorema 13.7.3 — Teorema de convergencia monótona. No se seleccionan elementos, cotas o índices mediante Choice ni se afirma computabilidad del supremo.

La convergencia queda así reducida, para términos no negativos, a una pregunta de orden. En §14.5 estudiaremos cómo usar cotas entre términos de dos series distintas para trasladar conclusiones de convergencia o divergencia: será el punto de partida de los criterios de comparación.

14.5. Criterio de comparación directa para series

El criterio anterior transforma la convergencia de una serie de términos no negativos en una cuestión sobre cotas de sus sumas parciales. Para aprovecharlo, compararemos dos sucesiones de términos \(a=(a_n)\) y \(b=(b_n)\), con sus respectivas sucesiones de sumas parciales

\[ s=\operatorname{PS}(a),\qquad t=\operatorname{PS}(b). \]

Una desigualdad entre términos individuales no es todavía una comparación de series: debemos probar que se conserva al efectuar cada suma finita. Sólo después podremos emplear el criterio de §14.4. Además, distinguiremos una desigualdad válida desde el primer término de otra que comienza tras un número finito de términos.

Proposición 14.5.1 — Comparación de sumas finitas y de bloques

Sean \(a,b:\mathbb N\to\mathbb R\) sucesiones reales, y escribamos \(s=\operatorname{PS}(a)\) y \(t=\operatorname{PS}(b)\). Valen las afirmaciones siguientes, sin imponer todavía que los términos sean no negativos.

1. Si \(a_k\le b_k\) para todo \(k\in\mathbb N\), entonces, para cada \(n\in\mathbb N\),

   \[ \boxed{\sum_{k=0}^{n}a_k\le\sum_{k=0}^{n}b_k,\quad\text{es decir, }s_n\le t_n.} \]

2. Si \(N\in\mathbb N\) y \(a_k\le b_k\) para todo \(k\ge N\), entonces, para todo \(m\ge N\),

   \[ \boxed{s_m-s_N\le t_m-t_N.} \]

   Cuando \(m>N\), la última desigualdad equivale, con la notación de bloques ya definida, a

   \[ \sum_{k=N+1}^{m}a_k\le\sum_{k=N+1}^{m}b_k. \]

Demostración.

Primera afirmación. Procedemos por inducción sobre \(n\). Para \(n=0\), las ecuaciones de las sumas parciales dan \(s_0=a_0\le b_0=t_0\). Si \(s_n\le t_n\), la compatibilidad de la suma con el orden real y la hipótesis \(a_{n+1}\le b_{n+1}\) implican

\[ s_{n+1}=s_n+a_{n+1}\le t_n+b_{n+1}=t_{n+1}. \]

Por inducción, \(s_n\le t_n\) para cada \(n\). La notación de sumas finitas reproduce exactamente esta desigualdad.

Segunda afirmación. Fijemos \(N\) como en el enunciado. Demostraremos por inducción en \(j\in\mathbb N\) que

\[ s_{N+j}-s_N\le t_{N+j}-t_N. \]

En \(j=0\) ambos miembros son \(0\). Supongamos la desigualdad para \(j\) y pongamos \(m=N+j\). Por la aritmética y el orden naturales, \(m+1\ge N\); de hecho, \(m+1=N+(j+1)\). La hipótesis permite, por tanto, utilizar \(a_{m+1}\le b_{m+1}\). Las identidades recursivas y las leyes aditivas del cuerpo real dan

\[ \begin{aligned} s_{m+1}-s_N &=(s_m-s_N)+a_{m+1}\\ &\le(t_m-t_N)+b_{m+1}\\ &=t_{m+1}-t_N. \end{aligned} \]

La inducción queda completa. Todo \(m\ge N\) puede escribirse \(m=N+j\) para algún \(j\in\mathbb N\), por la definición del orden natural. Para \(m>N\) aplicamos Notación 14.2.1 — Suma de un bloque finito posterior y obtenemos la comparación de bloques; no hemos usado una notación de bloque vacío en el caso \(m=N\). ∎

Lo que se ha probado, y lo que no. Las desigualdades entre términos se transfieren a las sumas finitas por inducción. La proposición no supone convergencia ni compara todavía valores de sumas infinitas. Tampoco usa completitud.

Teorema 14.5.2 — Criterio de comparación directa

Sean \(a,b:\mathbb N\to\mathbb R\) sucesiones tales que

\[ \boxed{0\le a_n\le b_n\qquad(n\in\mathbb N).} \]

Entonces:

1. si la serie \(\sum_{n=0}^{\infty}b_n\) converge, también converge \(\sum_{n=0}^{\infty}a_n\) y sus sumas reales satisfacen

   \[ \boxed{0\le\sum_{n=0}^{\infty}a_n\le\sum_{n=0}^{\infty}b_n;} \]

2. si la serie \(\sum_{n=0}^{\infty}a_n\) diverge, también diverge \(\sum_{n=0}^{\infty}b_n\).

Demostración.

Sean \(s=\operatorname{PS}(a)\) y \(t=\operatorname{PS}(b)\). La primera parte de Proposición 14.5.1 — Comparación de sumas finitas y de bloques da

\[ \boxed{s_n\le t_n\qquad(n\in\mathbb N).} \]

Además, todos los términos de ambas sucesiones son no negativos: \(a_n\ge0\) por hipótesis y \(b_n\ge a_n\ge0\). Por Proposición 14.4.1 — Monotonía de las sumas parciales de una serie no negativa, sus sumas parciales son no negativas y crecientes.

Primera afirmación. Supongamos que la serie de términos \(b\) converge. El teorema Teorema 14.4.2 — Criterio de convergencia para series de términos no negativos afirma que el conjunto \(t[\mathbb N]\) tiene supremo real y que éste es la suma \(B:=\sum_{n=0}^{\infty}b_n\). En particular,

\[ 0\le s_n\le t_n\le B\qquad(n\in\mathbb N). \]

Así, \(B\) es una cota superior del conjunto no vacío \(s[\mathbb N]\). Aplicamos nuevamente Teorema 14.4.2 — Criterio de convergencia para series de términos no negativos, esta vez a los términos \(a\), y concluimos que su serie converge. Sólo ahora, estando definida su suma real, escribimos

\[ A:=\sum_{n=0}^{\infty}a_n=\sup s[\mathbb N]. \]

Como \(0\le s_n\le B\) para cada \(n\), tanto \(0\) como cota inferior de los valores de \(s\) y \(B\) como cota superior implican \(0\le A\le B\) por las propiedades definitorias del supremo. Se obtiene la primera conclusión.

Segunda afirmación. Supongamos que la serie de términos \(a\) diverge. Si la serie de términos \(b\) convergiera, la primera afirmación demostraría que la de términos \(a\) también converge, contradicción. Luego la serie de términos \(b\) diverge. Es la contraposición de la implicación de convergencia ya demostrada, no un criterio independiente. ∎

Direcciones de uso. Una cota superior por una serie convergente prueba convergencia de la serie menor. Una cota inferior por una serie divergente prueba divergencia de la serie mayor. No cabe invertir esas flechas: saber que converge la serie menor o que diverge la mayor, sin otras hipótesis, no resuelve el comportamiento de la otra.

Corolario 14.5.3 — Comparación válida a partir de cierto índice

Sean \(a,b:\mathbb N\to\mathbb R\) sucesiones de términos no negativos, y supongamos que existe \(N\in\mathbb N\) para el cual

\[ a_n\le b_n\qquad\text{para todo }n\ge N. \]

Entonces siguen siendo válidas las dos implicaciones del criterio directo:

\[ \boxed{ \sum_{n=0}^{\infty}b_n\text{ converge} \Longrightarrow \sum_{n=0}^{\infty}a_n\text{ converge}, } \]

\[ \boxed{ \sum_{n=0}^{\infty}a_n\text{ diverge} \Longrightarrow \sum_{n=0}^{\infty}b_n\text{ diverge}. } \]

La comparación eventual no implica, sin una condición adicional sobre los términos iniciales, que la suma real de \(a\) sea menor o igual que la de \(b\).

Demostración.

Fijemos un testigo \(N\) de la hipótesis; esta instanciación de un cuantificador existencial no constituye una selección simultánea ni utiliza Choice. Pongamos \(s=\operatorname{PS}(a)\) y \(t=\operatorname{PS}(b)\).

Supongamos primero que la serie de términos \(b\) converge y llamemos \(B\) a su suma real. Puesto que \(b\) es no negativa, Teorema 14.4.2 — Criterio de convergencia para series de términos no negativos asegura \(t_m\le B\) para todo \(m\). Por la segunda parte de Proposición 14.5.1 — Comparación de sumas finitas y de bloques, para \(m\ge N\),

\[ s_m-s_N\le t_m-t_N, \]

luego

\[ s_m\le s_N+B-t_N=:K. \]

Como \(t_N\le B\), tenemos \(s_N\le K\). Para los índices \(m\le N\), la monotonía Proposición 14.4.1 — Monotonía de las sumas parciales de una serie no negativa de \(s\) proporciona \(s_m\le s_N\le K\). Si \(m\ge N\), ya establecimos \(s_m\le K\). La totalidad del orden natural cubre todos los casos: por tanto \(K\in\mathbb R\) es una cota superior global de \(s[\mathbb N]\). El criterio Teorema 14.4.2 — Criterio de convergencia para series de términos no negativos demuestra que la serie de términos \(a\) converge.

Si la serie de términos \(a\) diverge, la convergencia de la de términos \(b\) contradiría la implicación recién probada. Se obtiene la segunda afirmación por contraposición. ∎

Por qué no se comparan directamente las sumas. Consideremos las sucesiones definidas por \(a_0=1\), \(b_0=0\) y \(a_n=b_n=0\) para todo \(n\ge1\). Existen como funciones mediante separación de los grafos determinados por esos valores. Son no negativas, y la desigualdad \(a_n\le b_n\) se cumple para \(n\ge1\). Por Proposición 14.1.6 — Estabilización de sumas parciales cuando los términos tardíos son nulos, ambas series convergen, pero

\[ \sum_{n=0}^{\infty}a_n=1>0=\sum_{n=0}^{\infty}b_n. \]

Los primeros términos pueden alterar el valor total aunque no alteren la conclusión comparativa sobre convergencia. La prueba no ha necesitado definir sumas vacías, asignar un valor \(+\infty\) a una serie divergente ni convertir una comparación eventual en una desigualdad global falsa.

Las dos versiones del criterio permiten sustituir la búsqueda de una suma exacta por la comparación con una serie conocida. La serie geométrica del §14.3 proporciona ya una familia de referencia cuando su razón tiene módulo menor que uno; el criterio no autoriza, sin embargo, a inferir el resultado inverso a partir de una sola desigualdad. En §14.6 estudiaremos la comparación por límite, que exige precisar cómo una razón entre términos conserva —o deja de conservar— estas cotas.

14.6. Criterio de comparación por límite

La comparación directa exige desigualdades entre los términos de dos series. A menudo, sin embargo, las expresiones de sus términos son complicadas y resulta más accesible estudiar su cociente. Si éste se aproxima a un número real estrictamente positivo, podremos obtener dos desigualdades eventuales: cada sucesión de términos quedará acotada por un múltiplo positivo de la otra. Este paso, que convierte un límite en cotas útiles para sumas parciales, es el núcleo del criterio.

Hay tres precauciones previas. El cociente \(a_n/b_n\) sólo existe cuando \(b_n\ne0\); su límite, si se utiliza como número real, debe estar justificado; y la comparación de términos no equivale a una igualdad de las sumas. Separaremos estas cuestiones antes de formular el teorema.

Proposición 14.6.1 — Multiplicación de una serie por un escalar no nulo

Sea \(a:\mathbb N\to\mathbb R\) una sucesión y sea \(c\in\mathbb R\). Denotemos por \(ca\) la sucesión real definida término a término por \((ca)_n:=ca_n\). Entonces, para todo \(n\in\mathbb N\),

\[ \boxed{\operatorname{PS}(ca)_n=c\,\operatorname{PS}(a)_n.} \]

Si \(c\ne0\), la serie de términos \(ca\) converge si y sólo si converge la de términos \(a\). En ese caso, ambas sumas están definidas y

\[ \boxed{\sum_{n=0}^{\infty}ca_n =c\sum_{n=0}^{\infty}a_n.} \]

Demostración.

La definición de operaciones puntuales Definición 13.1.3 — Operaciones puntuales sobre sucesiones reales garantiza que \(ca\) es una sucesión real. Escribamos \(s=\operatorname{PS}(a)\) y \(u=\operatorname{PS}(ca)\). Demostraremos por inducción que \(u_n=cs_n\) para todo \(n\). En \(n=0\) tenemos

\[ u_0=(ca)_0=ca_0=cs_0. \]

Si \(u_n=cs_n\), las ecuaciones recursivas y la distributividad del cuerpo real implican

\[ \begin{aligned} u_{n+1}&=u_n+(ca)_{n+1}\\ &=cs_n+ca_{n+1}\\ &=c(s_n+a_{n+1})=cs_{n+1}. \end{aligned} \]

La identidad finita queda probada, incluso para \(c=0\). Supongamos ahora que \(c\ne0\). Si la serie de términos \(a\) converge a la suma real \(A\), entonces \(s_n\to A\) y la compatibilidad del límite con la multiplicación por una constante (Corolario 13.5.4 — Compatibilidad con la multiplicación por una constante) da

\[ u_n=cs_n\longrightarrow cA. \]

Por la definición de suma de una serie y la unicidad del límite, la serie de términos \(ca\) converge y su suma es \(cA\). Recíprocamente, si la serie de términos \(ca\) converge, aplicamos lo ya demostrado a esa serie y al escalar real \(c^{-1}\), que existe porque \(c\ne0\). Sus términos son \(c^{-1}(ca_n)=a_n\), de modo que converge la serie original. La fórmula de las sumas se aplica cuando ambas convergencias están establecidas. ∎

Lectura del alcance. Para \(c=0\) sigue siendo correcta la identidad entre sumas parciales, y la serie de términos nulos converge; no es válida la equivalencia de convergencia: multiplicar por cero borra toda información sobre la serie inicial. Utilizaremos únicamente escalares estrictamente positivos al comparar términos no negativos, para conservar la dirección de las desigualdades.

Definición 14.6.2 — Cociente secuencial totalizado y cociente eventual

Para dos sucesiones reales \(a,b\in\mathbb R^{\mathbb N}\) definimos su cociente totalizado \(\operatorname{quo}_0(a,b)\in\mathbb R^{\mathbb N}\), con valores

\[ \boxed{ \operatorname{quo}_0(a,b)_n:= \begin{cases} a_n b_n^{-1},& b_n\ne0,\\ 0,&b_n=0. \end{cases}} \]

La segunda rama es una convención de definición y no una división por cero. El grafo se obtiene por Separación dentro de \(\mathbb N\times\mathbb R\): para cada índice, la disyunción \(b_n=0\) o \(b_n\ne0\) determina un único valor real; en el segundo caso el inverso existe por las leyes del cuerpo. No se escoge una sucesión de cocientes mediante Choice: queda definida de forma unívoca. No se afirma que la prueba clásica de igualdad con cero sea un procedimiento efectivo uniforme.

Si existe \(N_0\in\mathbb N\) tal que \(b_n>0\) para todo \(n\ge N_0\), entonces

\[ \operatorname{quo}_0(a,b)_n=\frac{a_n}{b_n} \qquad(n\ge N_0). \]

En ese supuesto, la escritura

\[ \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\ell \]

significará exclusivamente que la sucesión real total \(\operatorname{quo}_0(a,b)\) converge a \(\ell\). La convención \(0\) en los índices anteriores a \(N_0\) no afecta a la convergencia: cualquier otra sucesión real que coincida con esos cocientes desde \(N_0\) es eventualmente igual a \(\operatorname{quo}_0(a,b)\), y Proposición 13.3.7 — Invariancia de la convergencia bajo coincidencia eventual conserva exactamente su límite. No se interpreta esta notación cuando el denominador pueda anularse arbitrariamente tarde sin una hipótesis adicional que legitime los cocientes.

Control de tipos. \(a\), \(b\) y \(\operatorname{quo}_0(a,b)\) son funciones \(\mathbb N\to\mathbb R\); \(a_n/b_n\) es un número real únicamente si \(b_n\ne0\). La función totalizada facilita formular límites sin dejar indefinido el objeto secuencial, pero no sustituye la condición de denominador eventualmente positivo del criterio que sigue.

Lema 14.6.3 — Un límite positivo proporciona dos cotas multiplicativas

Sean \(a,b:\mathbb N\to\mathbb R\) sucesiones reales. Supongamos que existe \(N_0\) tal que \(b_n>0\) para todo \(n\ge N_0\), y que

\[ \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\ell>0. \]

Entonces existen constantes reales \(c,C\) con \(0<c<C\) y un índice \(N\) tales que

\[ \boxed{cb_n\le a_n\le Cb_n\qquad(n\ge N).} \]

En concreto, pueden utilizarse \(c=\ell/2\) y \(C=3\ell/2\).

Demostración.

Sea \(q=\operatorname{quo}_0(a,b)\). La hipótesis significa \(q_n\to\ell\). Como \(\ell>0\), el número real \(\varepsilon:=\ell/2\) es positivo. Por la definición de convergencia existe un índice \(N_1\) tal que

\[ |q_n-\ell|<\frac\ell2\qquad(n\ge N_1). \]

La caracterización elemental del valor absoluto permite escribir

\[ -\frac\ell2<q_n-\ell<\frac\ell2, \]

y, sumando \(\ell\),

\[ \frac\ell2<q_n<\frac{3\ell}{2} \qquad(n\ge N_1). \]

Tomemos \(N\) igual al mayor de los dos naturales \(N_0,N_1\); su existencia resulta del orden total de \(\mathbb N\), sin una elección de infinitos índices. Para \(n\ge N\) se cumplen a la vez \(b_n>0\) y \(q_n=a_nb_n^{-1}\). Multiplicar las desigualdades por \(b_n\) conserva su sentido, precisamente porque es positivo. Así,

\[ \frac\ell2\,b_n<a_n<\frac{3\ell}{2}\,b_n. \]

Las desigualdades no estrictas requeridas se deducen inmediatamente. Como \(\ell>0\), las constantes \(c=\ell/2\) y \(C=3\ell/2\) satisfacen \(0<c<C\). ∎

Por qué importa \(\ell>0\). La cota inferior útil procede de una vecindad del límite que no alcance el cero. Si el límite fuese cero, no existiría por este argumento una constante \(c>0\) que garantizase \(cb_n\le a_n\); sólo se conservaría la cota superior.

Teorema 14.6.4 — Criterio de comparación por límite positivo

Sean \(a,b:\mathbb N\to\mathbb R\) sucesiones cuyos términos son no negativos. Supongamos que \(b_n>0\) para todo \(n\) suficientemente grande y que, en el sentido preciso de la definición anterior,

\[ \boxed{\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\ell, \qquad \ell\in\mathbb R,\ \ell>0.} \]

La última expresión significa que \(\ell\) es un número real positivo y finito; no introduce un elemento \(\infty\) en el cuerpo real. Entonces

\[ \boxed{ \sum_{n=0}^{\infty}a_n\ \text{converge} \quad\Longleftrightarrow\quad \sum_{n=0}^{\infty}b_n\ \text{converge}.} \]

Por negación de ambas condiciones equivalentes, las dos series también divergen simultáneamente, en el sentido de divergencia real adoptado en §14.1.

Demostración.

Aplicamos Lema 14.6.3 — Un límite positivo proporciona dos cotas multiplicativas a la hipótesis de límite positivo. Obtenemos un índice \(N\) y constantes reales positivas \(c,C\) tales que

\[ \boxed{0\le cb_n\le a_n\le Cb_n \qquad(n\ge N).} \]

Las desigualdades son válidas entre términos no negativos; no intentaremos deducir de ellas el orden de las sumas totales, pues sólo sabemos que se cumplen desde cierto índice.

Si converge la serie de términos \(b\). Por Proposición 14.6.1 — Multiplicación de una serie por un escalar no nulo, multiplicarla por el escalar no nulo \(C\) conserva su convergencia: \(\sum Cb_n\) converge. Como \(0\le a_n\le Cb_n\) para \(n\ge N\), el corolario de comparación eventual Corolario 14.5.3 — Comparación válida a partir de cierto índice establece que converge \(\sum a_n\).

Si converge la serie de términos \(a\). Usamos ahora la cota inferior \(0\le cb_n\le a_n\) para \(n\ge N\). El mismo corolario demuestra que converge \(\sum cb_n\). Puesto que \(c>0\) es no nulo, Proposición 14.6.1 — Multiplicación de una serie por un escalar no nulo permite recuperar la convergencia de \(\sum b_n\) multiplicando por \(c^{-1}\).

Se han demostrado ambas implicaciones. Si una serie divergiese mientras la otra convergiese, contradiría la equivalencia; por tanto la divergencia también se comparte. ∎

Qué no afirma el teorema. El límite \(\ell\) compara términos, no determina la razón entre las sumas de las series. Tampoco decide por sí solo cuál de las dos series converge: suministra una equivalencia y requiere una serie de referencia cuyo comportamiento ya esté establecido. En particular, si \(a_n=b_n=1\) ambas divergen con cociente igual a \(1\); si \(a_n=b_n=(1/2)^n\), ambas convergen con el mismo cociente, por el criterio geométrico de §14.3.

Corolario 14.6.5 — Límite nulo y comparación unilateral

Sean \(a,b\) sucesiones de términos no negativos y supongamos que \(b_n>0\) eventualmente. Si

\[ \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=0, \]

entonces

\[ \boxed{ \sum_{n=0}^{\infty}b_n\text{ converge} \Longrightarrow \sum_{n=0}^{\infty}a_n\text{ converge}.} \]

Por contraposición, si la serie de términos \(a\) diverge, también diverge la de términos \(b\). Sin embargo, de la divergencia de la serie \(b\) no puede deducirse la convergencia ni la divergencia de la serie \(a\).

Demostración.

Sea \(q=\operatorname{quo}_0(a,b)\). Tenemos \(q_n\to0\). Apliquemos la definición de límite a la tolerancia real \(\varepsilon=1\). Existe \(N_1\) tal que \(|q_n|<1\) para \(n\ge N_1\). Elijamos un índice \(N\) posterior tanto a \(N_1\) como al índice de positividad del denominador. Para todo \(n\ge N\),

\[ 0\le q_n=\frac{a_n}{b_n}<1, \]

pues \(a_n\ge0\) y \(b_n>0\). La multiplicación por \(b_n\) produce \(0\le a_n<b_n\). En particular, \(0\le a_n\le b_n\) eventualmente, de modo que Corolario 14.5.3 — Comparación válida a partir de cierto índice demuestra la implicación de convergencia. La afirmación sobre divergencia de \(a\) es su contraposición.

Para comprobar que no existe una conclusión recíproca general, fijemos \(b_n=1\) para todos los índices. Su serie diverge porque sus términos constantes no tienden a cero (Corolario 14.2.5 — Criterio de divergencia por el término general). Construyamos dos sucesiones no negativas diferentes:

• Primera: \(a_n=(1/2)^n\). Por Teorema 14.3.7 — Clasificación completa de la serie geométrica, la serie de \(a\) converge. Como \(b_n=1\), el cociente es \((1/2)^n\to0\) por Teorema 14.3.4 — Las potencias de una base de módulo menor que uno tienden a cero.
• Segunda: \(a_n=(\nu_{\mathbb R}(n+1))^{-1}\), cuyos términos constituyen la serie armónica de §14.2. Ésta diverge por Proposición 14.2.7 — La condición \(a_n\to0\) no es suficiente: la serie armónica, aunque \(a_n\to0\) por Lema 13.10.2 — Los recíprocos de los numerales positivos tienden a cero. Nuevamente, \(a_n/b_n=a_n\to0\).

Las dos parejas cumplen las mismas hipótesis del corolario, incluida la divergencia de la serie \(b\), pero en un caso la de \(a\) converge y en el otro diverge. La afirmación de que no se puede concluir ninguno de los dos comportamientos queda verificada. ∎

Mapa lógico del criterio. Si el cociente tiende a un real estrictamente positivo, hay cotas superior e inferior por múltiplos positivos y se obtiene equivalencia. Si tiende a cero, sólo se deduce la comparación eventual \(a_n\le b_n\) y queda una implicación de convergencia. Para términos no negativos y denominador eventualmente positivo, un límite real del cociente no puede ser negativo: los cocientes son eventualmente no negativos y el paso al límite conserva ese orden (Teorema 13.6.2 — Preservación del orden en el paso al límite). El caso de cocientes sin límite, o de crecimiento no acotado sin límite real, no entra en este teorema; no anticipamos límites infinitos.

Esta distinción entre comparación bilateral y unilateral será esencial al elegir series de referencia. Hemos necesitado sólo el límite real de sucesiones, las reglas de orden y la comparación directa de §14.5. En §14.7 abordaremos la condensación de Cauchy, que organiza los términos de una serie monótona no negativa en bloques de longitud creciente y requiere justificar cuidadosamente la indexación de esos bloques antes de comparar sus sumas.

14.7. Condensación de Cauchy

Comparar términos uno a uno no siempre revela por qué una serie converge. En una sucesión decreciente y no negativa podemos reunir cantidades cada vez mayores de términos sin perder el control de sus valores: dentro de un bloque, todos quedan comprendidos entre sus extremos. Si duplicamos sucesivamente la longitud del bloque, obtenemos una nueva serie que retiene exactamente la información necesaria para decidir la convergencia.

La fórmula usual del criterio presenta términos \(2^k a_{2^k}\). Aquí debemos atender a los tipos: un subíndice pertenece a \(\mathbb N\), mientras que el factor multiplicativo pertenece a \(\mathbb R\). La potencia natural de base real ya fue construida en §14.3, pero todavía no hemos definido una operación general de potenciación en \(\mathbb N\). Construiremos por recursión los índices diádicos y aplicaremos a ellos la función de numerales reales. Así, el símbolo informal \(2^k\) no ocultará una coerción inexistente.

Definición 14.7.1 — Índices diádicos y sucesión condensada

Definimos la sucesión de índices diádicos \(d:\mathbb N\to\mathbb N\) como la única función que satisface

\[ \boxed{d_0=1,\qquad d_{k+1}=d_k+d_k\quad(k\in\mathbb N).} \]

Su existencia y unicidad se siguen del teorema de recursión Teorema 1.3.7 — Teorema de recursión sobre \(\mathbb N\), aplicado a \(X=\mathbb N\), al elemento inicial \(1\) y a la función \(g(m)=m+m\). Esta última es una función total de \(\mathbb N\) en sí mismo; su grafo es un subconjunto definible de \(\mathbb N\times\mathbb N\). En particular, \(d_0=1\), \(d_1=2\), \(d_2=4\), \(d_3=8\), donde estas cifras son naturales, no elementos identificados literalmente con los reales.

Para cada sucesión real \(a:\mathbb N\to\mathbb R\) definimos su sucesión condensada \(\operatorname{Cond}(a)=b:\mathbb N\to\mathbb R\) mediante

\[ \boxed{b_k:=\nu_{\mathbb R}(d_k)\,a_{d_k}\qquad(k\in\mathbb N).} \]

La aplicación de numerales \(\nu_{\mathbb R}:\mathbb N\to\mathbb R\) y la multiplicación real están disponibles. El grafo de \(b\) se obtiene por Separación dentro de \(\mathbb N\times\mathbb R\), imponiendo para cada \(k\) el valor único indicado. Esto construye una sola función completa, sin elecciones de términos. La serie condensada es la serie numérica de términos \(b\) en el sentido de §14.1; no afirmamos todavía que converja.

Control de tipos. \(d_k\) es un índice natural; \(\nu_{\mathbb R}(d_k)\) es su numeral real. La expresión usual \(2^k a_{2^k}\) abrevia aquí \(\nu_{\mathbb R}(d_k)a_{d_k}\), una vez verificada la relación de \(d_k\) con las potencias reales de dos. No se declara una inclusión literal \(\mathbb N\subseteq\mathbb R\).

Proposición 14.7.2 — Crecimiento y aritmética de los índices diádicos

Para todo \(k\in\mathbb N\) se verifican las siguientes propiedades:

\[ \boxed{1\le d_k,\qquad k+1\le d_k,\qquad d_k<d_{k+1},\qquad \nu_{\mathbb R}(d_k)=(1+1)^k.} \]

En la última igualdad, \(1+1\) y su potencia son reales. En particular, \(d_k\) crece sin quedar confinado a ningún segmento inicial de \(\mathbb N\): dado \(N\in\mathbb N\), el índice \(d_{N+1}\) es mayor que \(N\).

Demostración.

Probemos por inducción que \(k+1\le d_k\). Para \(k=0\) la igualdad \(d_0=1\) lo establece. Supongamos \(k+1\le d_k\). En particular \(1\le d_k\); la compatibilidad del orden natural con la adición da

\[ (k+1)+1\le d_k+1\le d_k+d_k=d_{k+1}. \]

El miembro izquierdo es el sucesor de \(k+1\). Queda demostrado \((k+1)+1\le d_{k+1}\) y, con ello, la inducción. Se obtiene simultáneamente \(1\le d_k\) para todo \(k\). El incremento positivo \(d_k<d_k+1\le d_{k+1}\) prueba el crecimiento estricto, usando las propiedades naturales de orden ya cerradas.

Apliquemos ahora la compatibilidad de los numerales con la suma (Proposición 4.1.6 — Aritmética y orden de los numerales naturales):

\[ \nu_{\mathbb R}(d_0)=1,\qquad \nu_{\mathbb R}(d_{k+1}) =\nu_{\mathbb R}(d_k)+\nu_{\mathbb R}(d_k) =\nu_{\mathbb R}(d_k)(1+1). \]

Estas son exactamente las ecuaciones recursivas que definen, por Definición 14.3.1 — Potencias naturales de un número real, las potencias reales \((1+1)^k\). La unicidad por inducción da \(\nu_{\mathbb R}(d_k)=(1+1)^k\) para cada \(k\). Por último, tomando \(k=N+1\) en la cota ya probada, \(d_{N+1}\ge N+2>N\). ∎

Interpretación. Ahora podemos leer legítimamente \(b_k\) como el término convencional \(2^k a_{2^k}\), con el subíndice \(2^k\) entendido como el natural \(d_k\) y el coeficiente como su numeral real. La estricta monotonía impide repetir bloques; la desigualdad \(d_k\ge k+1\) garantiza que sus extremos llegan arbitrariamente lejos.

Lema 14.7.3 — Cotas bilaterales de un bloque diádico

Sea \(a:\mathbb N\to\mathbb R\) una sucesión no negativa y decreciente en sentido no estricto:

\[ \forall n\in\mathbb N\quad a_n\ge0, \qquad \forall m,n\in\mathbb N\quad(m\le n\Longrightarrow a_n\le a_m). \]

Escribamos \(s=\operatorname{PS}(a)\) y \(b=\operatorname{Cond}(a)\). Para cada \(k\) llamemos \(T_k\) a la suma del bloque de índices estrictamente posteriores a \(d_k\) y no posteriores a \(d_{k+1}\):

\[ T_k:=\sum_{j=d_k+1}^{d_{k+1}}a_j =s_{d_{k+1}}-s_{d_k}. \]

La expresión de bloque es lícita porque \(d_k<d_{k+1}\). Se cumple

\[ \boxed{0\le\frac12\,b_{k+1}\le T_k\le b_k \qquad(k\in\mathbb N),} \]

donde \(\frac12\) es el inverso real de \(1+1\).

Demostración.

Fijemos \(k\). Tenemos \(d_{k+1}=d_k+d_k\) y \(d_k\ne0\) por Proposición 14.7.2 — Crecimiento y aritmética de los índices diádicos. Para cualquier índice \(j\) del bloque,

\[ d_k<j\le d_{k+1} \quad\Longrightarrow\quad 0\le a_{d_{k+1}}\le a_j\le a_{d_k}, \]

por la monotonía decreciente. El bloque posee precisamente \(d_k\) términos, en el sentido de que su extremo superior es \(d_k+d_k\) y comienza después de \(d_k\); no se presupone ninguna noción informal de suma infinita.

Aplicando la cota inferior para bloques Lema 14.2.6 — Cota inferior para un bloque de términos acotados inferiormente, con \(n=d_k\), \(d=d_k\) y \(c=a_{d_{k+1}}\), obtenemos

\[ T_k\ge\nu_{\mathbb R}(d_k)\,a_{d_{k+1}}. \]

Para la cota superior consideremos la sucesión real \(-a\), bien definida por operaciones puntuales. La desigualdad \(a_j\le a_{d_k}\) equivale a \(-a_j\ge-a_{d_k}\). El mismo lema aplicado al bloque correspondiente de \(-a\) da

\[ \sum_{j=d_k+1}^{d_{k+1}}(-a_j) \ge-\nu_{\mathbb R}(d_k)a_{d_k}. \]

La identidad de sumas parciales bajo multiplicación por \(-1\), válida incluso para este escalar por Proposición 14.6.1 — Multiplicación de una serie por un escalar no nulo, y la definición del bloque convierten el miembro izquierdo en \(-T_k\). Cambiando de signo resulta

\[ T_k\le\nu_{\mathbb R}(d_k)a_{d_k}=b_k. \]

La aritmética de numerales demuestra

\[ \nu_{\mathbb R}(d_{k+1}) =\nu_{\mathbb R}(d_k)+\nu_{\mathbb R}(d_k) =(1+1)\nu_{\mathbb R}(d_k). \]

Como \(1+1\) es un real estrictamente positivo, multiplicar por su inverso proporciona

\[ \nu_{\mathbb R}(d_k)a_{d_{k+1}} =\frac12\nu_{\mathbb R}(d_{k+1})a_{d_{k+1}} =\frac12\,b_{k+1}. \]

Ésta es la cota inferior anunciada. Su no negatividad procede de \(b_{k+1}\ge0\) y \(\frac12>0\). ∎

Pregunta de lectura. ¿Por qué los extremos de la estimación llevan índices distintos? Dentro del bloque, el término mayor está cerca de su comienzo y el menor en su extremo final; por eso la cota superior utiliza \(a_{d_k}\) y la inferior utiliza \(a_{d_{k+1}}\). El desplazamiento de un índice en \(b_{k+1}\) será esencial al sumar las desigualdades.

Proposición 14.7.4 — Telescopía y comparación de los bloques

Bajo las hipótesis del lema anterior, sean \(s=\operatorname{PS}(a)\) y \(B=\operatorname{PS}(b)\); denotemos por \(T=(T_k)_{k\in\mathbb N}\) la sucesión de sumas de bloques. Para cada \(m\in\mathbb N\),

\[ \boxed{\sum_{k=0}^{m}T_k=s_{d_{m+1}}-s_1,} \]

\[ \boxed{B_{m+1}=b_0+\sum_{k=0}^{m}b_{k+1},} \]

y, en consecuencia,

\[ \boxed{ \frac12\bigl(B_{m+1}-b_0\bigr) \le s_{d_{m+1}}-s_1\le B_m. } \]

Demostración.

La sucesión \(T\) está bien definida: para cada \(k\), sus extremos naturales satisfacen \(d_k<d_{k+1}\) y, por consiguiente, \(T_k=s_{d_{k+1}}-s_{d_k}\) es un real único. Su grafo se forma por Separación en \(\mathbb N\times\mathbb R\). De igual modo, \((b_{k+1})_{k\in\mathbb N}\) es una sucesión real total, obtenida componiendo \(b\) con la función sucesor. Son, por tanto, legítimas ambas sumas finitas que aparecen en el enunciado.

Para la primera identidad, en \(m=0\) tenemos \(T_0=s_{d_1}-s_{d_0}=s_{d_1}-s_1\), pues \(d_0=1\). Supongamos

\[ \sum_{k=0}^{m}T_k=s_{d_{m+1}}-s_1. \]

La prolongación de la suma finita y la identidad del bloque siguiente dan

\[ \begin{aligned} \sum_{k=0}^{m+1}T_k &=\sum_{k=0}^{m}T_k+T_{m+1}\\ &=(s_{d_{m+1}}-s_1) +(s_{d_{m+2}}-s_{d_{m+1}})\\ &=s_{d_{m+2}}-s_1. \end{aligned} \]

La segunda identidad se demuestra también por inducción: para \(m=0\), \(B_1=b_0+b_1\); si \(B_{m+1}=b_0+\sum_{k=0}^{m}b_{k+1}\), entonces

\[ \begin{aligned} B_{m+2}&=B_{m+1}+b_{m+2}\\ &=b_0+\sum_{k=0}^{m}b_{k+1}+b_{m+2}\\ &=b_0+\sum_{k=0}^{m+1}b_{k+1}. \end{aligned} \]

Finalmente, el lema precedente establece para cada \(k\) que \(\frac12b_{k+1}\le T_k\le b_k\). La comparación de sumas finitas Proposición 14.5.1 — Comparación de sumas finitas y de bloques, junto con la identidad finita de escalamiento Proposición 14.6.1 — Multiplicación de una serie por un escalar no nulo, entrega

\[ \frac12\sum_{k=0}^{m}b_{k+1} \le\sum_{k=0}^{m}T_k \le\sum_{k=0}^{m}b_k=B_m. \]

Sustituyendo las dos identidades recién probadas obtenemos exactamente la estimación final. ∎

Qué se ha hecho. No hemos reordenado una serie infinita ni intercambiado límites: hemos sumado un número finito de bloques consecutivos y cancelado las sumas parciales intermedias. La serie de bloques \(T\) es distinta de la serie condensada \(b\), y el desplazamiento \(b_{k+1}\) no se elimina sin compensarlo mediante el término inicial \(b_0\).

Teorema 14.7.5 — Criterio de condensación de Cauchy

Sea \(a:\mathbb N\to\mathbb R\) una sucesión tal que, para todos los naturales \(n\le m\),

\[ \boxed{0\le a_m\le a_n.} \]

Sea \(d\) la sucesión de índices diádicos y definamos \(b_k=\nu_{\mathbb R}(d_k)a_{d_k}\). Entonces

\[ \boxed{ \sum_{n=0}^{\infty}a_n\text{ converge en }\mathbb R \quad\Longleftrightarrow\quad \sum_{k=0}^{\infty}b_k\text{ converge en }\mathbb R. } \]

Equivalente en la notación tradicional: una serie de términos no negativos y decrecientes converge si y sólo si converge su condensada \(\sum_{k=0}^{\infty}2^k a_{2^k}\), interpretada con los tipos precisados arriba. Ambas series divergen simultáneamente cuando se incumple la condición equivalente.

Demostración.

Escribamos \(s=\operatorname{PS}(a)\) y \(B=\operatorname{PS}(b)\). La hipótesis proporciona \(a_n\ge0\); asimismo \(b_k\ge0\) porque \(\nu_{\mathbb R}(d_k)>0\). Ambos criterios de convergencia se reducen, por Teorema 14.4.2 — Criterio de convergencia para series de términos no negativos, a la existencia de una cota superior para las respectivas sucesiones de sumas parciales. Por Proposición 14.4.1 — Monotonía de las sumas parciales de una serie no negativa, \(s\) es creciente. Disponemos además, para todo \(m\), de

\[ \boxed{ \frac12(B_{m+1}-b_0) \le s_{d_{m+1}}-s_1\le B_m. } \tag{14.7.1} \]

Primera implicación: convergencia de la condensada \(\Rightarrow\) convergencia de la original. Supongamos que la serie de \(b\) converge. Existe un real \(K\) tal que \(B_m\le K\) para todo \(m\), por Teorema 14.4.2 — Criterio de convergencia para series de términos no negativos. De la cota derecha de (14.7.1) resulta

\[ s_{d_{m+1}}\le s_1+K \qquad(m\in\mathbb N). \]

Debemos acotar todas las sumas parciales \(s_n\), no sólo las de subíndices diádicos. Fijado cualquier \(n\in\mathbb N\), tomemos el índice explícito \(m=n\). La proposición 14.7.2 establece \(n\le d_{n+1}\). Como \(s\) es creciente,

\[ \boxed{s_n\le s_{d_{n+1}}\le s_1+K.} \]

Por tanto \(s\) está acotada superiormente y el criterio de §14.4 demuestra la convergencia de la serie original.

Segunda implicación: convergencia de la original \(\Rightarrow\) convergencia de la condensada. Supongamos que converge la serie de \(a\). Existe un real \(M\) con \(s_n\le M\) para todos los índices. En particular, \(s_1\le M\). De la cota izquierda de (14.7.1),

\[ \frac12(B_{m+1}-b_0) \le s_{d_{m+1}}-s_1 \le M-s_1. \]

Multiplicamos por el real positivo \(1+1\) y obtenemos

\[ \boxed{B_{m+1}\le b_0+(1+1)(M-s_1) \qquad(m\in\mathbb N).} \]

La misma constante acota \(B_0=b_0\), pues \(M-s_1\ge0\). Por tanto acota todas las sumas parciales de la condensada: todo natural es \(0\) o el sucesor de otro. El criterio para series no negativas demuestra su convergencia.

Las dos implicaciones establecen la equivalencia. Puesto que divergencia significa ausencia de convergencia real, también comparten la divergencia. ∎

Corolario 14.7.6 — Nueva demostración de la divergencia armónica

La serie armónica del §14.2, cuyos términos son

\[ h_n:=\nu_{\mathbb R}(n+1)^{-1}, \]

es divergente. Su divergencia se deduce también del criterio de condensación, de manera independiente de la prueba por bloques dada en §14.2.

Demostración.

Los numerales \(\nu_{\mathbb R}(n+1)\) son positivos y crecen con \(n\); invertirlos invierte el orden. Por tanto \(h_n>0\) y \(h\) es decreciente. Su condensada tiene términos

\[ b_k=\nu_{\mathbb R}(d_k)\,h_{d_k} =\frac{\nu_{\mathbb R}(d_k)}{\nu_{\mathbb R}(d_k+1)}. \]

Como \(d_k\ge1\), la compatibilidad de la suma con los numerales da

\[ 0<\nu_{\mathbb R}(d_k+1) =\nu_{\mathbb R}(d_k)+1 \le(1+1)\nu_{\mathbb R}(d_k). \]

Al dividir por el producto positivo correspondiente, obtenemos

\[ \boxed{b_k\ge\frac12>0\qquad(k\in\mathbb N).} \]

Por la definición de límite, una sucesión cuyos términos están todos por encima de \(1/2\) no converge a cero: la tolerancia \(\varepsilon=1/2\) contradice cualquier umbral de convergencia. El criterio de divergencia por el término general Corolario 14.2.5 — Criterio de divergencia por el término general muestra que la serie condensada diverge. Por Teorema 14.7.5 — Criterio de condensación de Cauchy, la serie armónica original también diverge. ∎

Dos demostraciones, una misma conclusión. La prueba de §14.2 construía bloques de suma uniformemente grande y violaba el criterio de Cauchy. La condensación reúne esos bloques en una nueva sucesión, cuyos términos ni siquiera tienden a cero. La segunda demostración no reutiliza la conclusión de divergencia de Proposición 14.2.7 — La condición \(a_n\to0\) no es suficiente: la serie armónica.

Proposición 14.7.7 — La monotonía es una hipótesis esencial

Existen sucesiones de términos no negativos para las que la serie condensada converge y la original diverge. En consecuencia, la hipótesis de monotonía no puede suprimirse del teorema 14.7.5.

Demostración.

Definamos el conjunto de índices

\[ E:=\{n\in\mathbb N:\exists k\in\mathbb N\, (k\ge1\ \text{y}\ n=d_k+1)\}. \]

Existe por Separación de \(\mathbb N\). Definamos la sucesión real \(c\) por \(c_n=1\) si \(n\in E\) y \(c_n=0\) en caso contrario. Su grafo es un subconjunto funcional y total de \(\mathbb N\times\mathbb R\), obtenido por Separación; la dicotomía de pertenencia es lógica clásica y no es un test efectivo afirmado.

Ningún índice diádico pertenece a \(E\). Fijemos \(k\ge1\). Por la proposición 14.7.2, \(d_k\ge k+1\ge2\). Si \(j\le k\), el crecimiento de \(d\) implica \(d_j\le d_k<d_k+1\). Si \(j\ge k+1\), el mismo crecimiento da

\[ d_j\ge d_{k+1}=d_k+d_k>d_k+1, \]

ya que \(d_k\ge2\). Por tanto \(d_k+1\ne d_j\) para cualquier \(j\in\mathbb N\). Se sigue que \(E\) no contiene ningún \(d_j\): el caso de \(d_0=1\) también queda excluido, pues cada elemento de \(E\) vale al menos \(d_1+1\ge3\). Así, \(c_{d_j}=0\) para todo \(j\), y su condensada satisface

\[ \operatorname{Cond}(c)_j=\nu_{\mathbb R}(d_j)c_{d_j}=0. \]

Esta serie condensada converge, pues sus sumas parciales son constantemente cero (Proposición 14.1.6 — Estabilización de sumas parciales cuando los términos tardíos son nulos).

La serie original diverge. Para cada \(k\ge1\), el índice \(d_k+1\) pertenece a \(E\) y \(c_{d_k+1}=1\). Esos índices superan cualquier umbral natural: dado \(N\), el índice explícito \(k=N+1\) satisface \(d_k+1\ge k+2>N\). En consecuencia, para la tolerancia \(\varepsilon=1/2\), después de cualquier supuesto umbral de convergencia a cero aparece un término \(c_{d_k+1}=1\) cuyo valor absoluto no es menor que \(\varepsilon\). Por tanto \(c_n\not\to0\); el criterio Corolario 14.2.5 — Criterio de divergencia por el término general fuerza la divergencia de su serie. Además \(c\) no es decreciente, pues \(c_{d_1}=0<1=c_{d_1+1}\). ∎

Alcance exacto. La condensación no es un muestreo válido para cualquier sucesión no negativa. Sin monotonía se pueden ocultar términos grandes entre los índices diádicos: la condensada ve ceros, mientras que la serie original conserva infinitos términos de valor uno. La conclusión del criterio se aplica exclusivamente bajo sus hipótesis.

Los bloques diádicos transforman un problema de suma infinita en dos familias de desigualdades finitas, y la completitud decide después la convergencia. Para avanzar convendrá distinguir otra forma de estabilidad: si los términos de una serie pueden cambiar de signo, la convergencia de sus valores absolutos ofrece un control que la mera convergencia no proporciona. Éste será el tema de §14.8, convergencia absoluta y condicional.

14.8. Convergencia absoluta y condicional

Hasta ahora, la comparación y la condensación han trabajado fundamentalmente con términos no negativos. Una serie con signos variables plantea un problema adicional: la cancelación puede hacer pequeñas las sumas de bloques aun cuando las sumas de las magnitudes de esos mismos términos sean grandes. Debemos distinguir, por consiguiente, entre controlar la suma con sus signos y controlar la suma de los valores absolutos. La desigualdad triangular conecta ambos controles, pero sólo en una dirección.

Definición 14.8.1 — Serie de valores absolutos; convergencia absoluta y condicional

Para una sucesión real \(a=(a_n)_{n\in\mathbb N}\), definimos su sucesión de magnitudes por

\[ \boxed{\operatorname{Abs}(a)_n:=|a_n|\qquad(n\in\mathbb N).} \]

Es una sucesión real total: su grafo se obtiene por Separación dentro de \(\mathbb N\times\mathbb R\) imponiendo el valor único \(|a_n|\) en cada índice. Así queda determinada también una función \(\operatorname{Abs}:\mathbb R^{\mathbb N}\to\mathbb R^{\mathbb N}\); no hay elección de valores. Todos sus términos son no negativos. La serie de valores absolutos de \(a\) es la serie cuyos términos son \(\operatorname{Abs}(a)\):

\[ \sum_{n=0}^{\infty}|a_n|. \]

Decimos que la serie de \(a\) converge absolutamente si converge esta serie de magnitudes. Decimos que converge condicionalmente si converge la serie original y diverge la serie de magnitudes. En términos de conjuntos de sucesiones de términos, establecemos

\[ \boxed{ \begin{aligned} \mathcal A_{\mathrm{ser}} &:=\{a\in\mathbb R^{\mathbb N}:\operatorname{Abs}(a)\in\mathcal C_{\mathrm{ser}}\},\\ \mathcal K_{\mathrm{ser}} &:=\{a\in\mathcal C_{\mathrm{ser}}:\operatorname{Abs}(a)\notin\mathcal C_{\mathrm{ser}}\}. \end{aligned}} \]

Ambos conjuntos existen por Separación en los conjuntos indicados. Por definición, \(\mathcal K_{\mathrm{ser}}\) está contenido en \(\mathcal C_{\mathrm{ser}}\); que también \(\mathcal A_{\mathrm{ser}}\) esté contenido en \(\mathcal C_{\mathrm{ser}}\) será un teorema, no una parte de la definición. La expresión «converge condicionalmente» no se aplica a una serie divergente, y no designa un valor numérico distinto de su suma ordinaria.

Tres preguntas distintas. ¿Converge \(\sum a_n\)? ¿Converge \(\sum|a_n|\)? Si convergen ambas, ¿se relacionan sus sumas mediante una desigualdad? La primera y la segunda se deciden aplicando a dos sucesiones diferentes la definición de §14.1; la tercera requiere un argumento adicional.

Lema 14.8.2 — Desigualdad triangular para sumas finitas y bloques

Sea \(a\) una sucesión real, y pongamos \(s=\operatorname{PS}(a)\) y \(u=\operatorname{PS}(\operatorname{Abs}(a))\). Entonces se cumplen las desigualdades siguientes:

\[ \boxed{|s_n|\le u_n\qquad(n\in\mathbb N),} \]

\[ \boxed{|s_m-s_n|\le u_m-u_n \qquad(n,m\in\mathbb N,\ n<m).} \]

El segundo miembro de la desigualdad de bloques es no negativo, pues los términos de \(\operatorname{Abs}(a)\) son no negativos y \(u\) es creciente.

Demostración.

La primera estimación se prueba por inducción. Para \(n=0\),

\[ |s_0|=|a_0|=u_0. \]

Si \(|s_n|\le u_n\), la recursión de las sumas parciales y la desigualdad triangular Teorema 4.2.3 — Desigualdad triangular dan

\[ \begin{aligned} |s_{n+1}|&=|s_n+a_{n+1}|\\ &\le|s_n|+|a_{n+1}|\\ &\le u_n+|a_{n+1}|=u_{n+1}. \end{aligned} \]

La inducción proporciona la estimación para todo \(n\).

Para los bloques, fijemos \(n\) y procedamos por inducción sobre su longitud positiva. El caso de un término, \(m=n+1\), se sigue de Proposición 14.2.2 — Identidades de los bloques de sumación:

\[ |s_{n+1}-s_n|=|a_{n+1}|=u_{n+1}-u_n. \]

Supongamos ahora que, para cierto \(m>n\), vale \(|s_m-s_n|\le u_m-u_n\). La recursión y la desigualdad triangular producen

\[ \begin{aligned} |s_{m+1}-s_n| &=|(s_m-s_n)+a_{m+1}|\\ &\le|s_m-s_n|+|a_{m+1}|\\ &\le(u_m-u_n)+|a_{m+1}|\\ &=u_{m+1}-u_n. \end{aligned} \]

La inducción cubre todos los extremos \(m=n+d\) con \(d\ge1\), pues todo natural no nulo es un sucesor y el orden natural proporciona esa representación. Finalmente, \(u\) es creciente por Proposición 14.4.1 — Monotonía de las sumas parciales de una serie no negativa, lo que justifica \(u_m-u_n\ge0\). ∎

Lectura de la desigualdad. En un bloque, las cancelaciones pueden disminuir \(|s_m-s_n|\); nunca pueden hacerla mayor que la suma de los valores absolutos de sus términos. No hemos supuesto que ninguna de las dos series converja: las desigualdades son finitas.

Teorema 14.8.3 — La convergencia absoluta implica convergencia ordinaria

Si la serie de valores absolutos de \(a\) converge, entonces la serie de \(a\) converge. Más precisamente, si ambas tienen sumas reales \(A\) y \(S\), respectivamente, se verifica

\[ \boxed{ \sum_{n=0}^{\infty}|a_n|\text{ converge} \quad\Longrightarrow\quad \sum_{n=0}^{\infty}a_n\text{ converge}, \qquad |S|\le A. } \]

En consecuencia, \(\mathcal A_{\mathrm{ser}}\subseteq\mathcal C_{\mathrm{ser}}\).

Demostración.

Denotemos por \(u\) las sumas parciales de \(\operatorname{Abs}(a)\) y por \(s\) las de \(a\). Por hipótesis, \(u\) converge. Dado \(\varepsilon>0\), el criterio de Cauchy para series Teorema 14.2.3 — Criterio de Cauchy para una serie numérica, aplicado a \(\operatorname{Abs}(a)\), proporciona un natural \(N\) tal que

\[ N\le n<m\quad\Longrightarrow\quad|u_m-u_n|<\varepsilon. \]

La sucesión \(u\) es creciente porque sus incrementos son \(|a_{n+1}|\ge0\). En consecuencia, \(u_m-u_n=|u_m-u_n|\) cuando \(n<m\). Por el lema precedente,

\[ \boxed{ |s_m-s_n|\le u_m-u_n<\varepsilon \qquad(N\le n<m). } \]

Ésta es exactamente la condición del criterio Teorema 14.2.3 — Criterio de Cauchy para una serie numérica para la serie original. Por tanto \(s\) converge a algún \(S\in\mathbb R\). La hipótesis proporciona también \(u_n\to A\in\mathbb R\).

Para obtener la desigualdad entre las sumas, el primer apartado del lema establece \(|s_n|\le u_n\) para cada \(n\). La continuidad secuencial del valor absoluto Proposición 13.5.5 — El valor absoluto preserva límites da \(|s_n|\to|S|\), y la preservación del orden al pasar al límite Teorema 13.6.2 — Preservación del orden en el paso al límite permite concluir \(|S|\le A\). Las notaciones de suma infinita se han usado como valores numéricos sólo después de haber demostrado ambas convergencias. Por la definición de \(\mathcal A_{\mathrm{ser}}\) y \(\mathcal C_{\mathrm{ser}}\), también resulta la inclusión anunciada. ∎

Alcance exacto. La desigualdad \(|S|\le A\) no afirma que \(S=A\), ni que los términos deban ser no negativos. La prueba controla todos los bloques tardíos con un solo umbral; no basta observar que \(|a_n|\to0\). La recíproca de la implicación se pondrá a prueba al final de la sección.

Corolario 14.8.4 — Dominación absoluta eventual

Sean \(a,b\) sucesiones reales y supongamos que \(b_n\ge0\) para todo \(n\).

1. Si existe \(N\in\mathbb N\) tal que \(|a_n|\le b_n\) para todo \(n\ge N\), y la serie \(\sum b_n\) converge, entonces \(\sum a_n\) converge absolutamente y, en particular, converge.
2. Si existe \(N\in\mathbb N\) tal que \(b_n\le |a_n|\) para todo \(n\ge N\), y la serie \(\sum b_n\) diverge, entonces \(\sum a_n\) no converge absolutamente. Esta segunda afirmación no determina por sí sola si la serie original converge o diverge.

Demostración.

Para la primera afirmación, fijemos su umbral \(N\). La sucesión \(c=\operatorname{Abs}(a)\) cumple \(0\le c_n=|a_n|\) para cada índice y \(c_n\le b_n\) para \(n\ge N\). La comparación eventual Corolario 14.5.3 — Comparación válida a partir de cierto índice, aplicada a las series no negativas de \(c\) y \(b\), demuestra que la convergencia de la segunda implica la de la primera. Por definición, esto es convergencia absoluta de \(a\), y Teorema 14.8.3 — La convergencia absoluta implica convergencia ordinaria da la convergencia ordinaria.

Para la segunda afirmación, tomemos su umbral, posiblemente distinto del anterior, supongamos \(b_n\le c_n\) para todos los índices desde él y que la serie de \(b\) diverge. La contraposición divergente de la misma comparación eventual establece que la serie de \(c\) diverge. Así \(a\notin\mathcal A_{\mathrm{ser}}\). No se ha establecido nada más sobre la convergencia de la serie con signos \(a\): ésta será una distinción efectiva, no meramente lógica, en el ejemplo de §14.8.6. ∎

Proposición 14.8.5 — Estabilidad de la convergencia absoluta bajo suma y producto por escalares

Si las series de \(a\) y \(b\) convergen absolutamente y \(c\in\mathbb R\), entonces las series con términos \(a_n+b_n\) y \(ca_n\) también convergen absolutamente.

Demostración.

Sean \(x=\operatorname{Abs}(a)\) e \(y=\operatorname{Abs}(b)\). Por hipótesis, las series de \(x\) e \(y\) convergen. Definamos la sucesión no negativa \(q_n:=x_n+y_n\) mediante operaciones puntuales ya disponibles. Si \(X=\operatorname{PS}(x)\), \(Y=\operatorname{PS}(y)\) y \(Q=\operatorname{PS}(q)\), las ecuaciones recursivas dan \(Q_0=x_0+y_0=X_0+Y_0\) y, suponiendo \(Q_n=X_n+Y_n\),

\[ \begin{aligned} Q_{n+1}&=Q_n+(x_{n+1}+y_{n+1})\\ &=(X_n+x_{n+1})+(Y_n+y_{n+1})\\ &=X_{n+1}+Y_{n+1}. \end{aligned} \]

Por inducción, \(Q_n=X_n+Y_n\) para todo \(n\). La suma de dos sucesiones reales convergentes converge por Proposición 13.5.1 — Límite de una suma, de modo que \(\sum q_n\) converge. Para cada \(n\), la desigualdad triangular implica

\[ 0\le|a_n+b_n|\le|a_n|+|b_n|=q_n. \]

El criterio de comparación directa Teorema 14.5.2 — Criterio de comparación directa prueba la convergencia de \(\sum |a_n+b_n|\). Esto es la primera afirmación.

Para el escalar \(c\), la multiplicatividad del valor absoluto (Proposición 4.2.2 — Propiedades elementales del valor absoluto) da

\[ |ca_n|=|c|\,|a_n|. \]

Si \(c\ne0\), entonces \(|c|>0\), y Proposición 14.6.1 — Multiplicación de una serie por un escalar no nulo preserva la convergencia de la serie de \(x\) al multiplicarla por \(|c|\). Si \(c=0\), todos los términos \(|ca_n|\) son cero y las sumas parciales correspondientes son constantemente cero, caso cubierto por Proposición 14.1.6 — Estabilización de sumas parciales cuando los términos tardíos son nulos. Concluimos en ambos casos que la serie de \(ca\) converge absolutamente. ∎

Interpretación algebraica. Las sucesiones cuyos términos generan series absolutamente convergentes son estables bajo suma y multiplicación por escalares reales. No afirmamos todavía que la convergencia condicional tenga una estabilidad análoga ni introducimos aquí reordenamientos de series.

Teorema 14.8.6 — Existe una serie condicionalmente convergente

Existe una sucesión real \(a\) cuya serie converge a cero, pero cuya serie de valores absolutos diverge. Por tanto,

\[ \boxed{\mathcal K_{\mathrm{ser}}\ne\varnothing \quad\text{y}\quad \mathcal A_{\mathrm{ser}}\subsetneq\mathcal C_{\mathrm{ser}}.} \]

Demostración.

Recuperemos la sucesión armónica ya construida en §14.2:

\[ h_k:=\nu_{\mathbb R}(k+1)^{-1}\quad(k\in\mathbb N). \]

Los resultados Lema 13.10.2 — Los recíprocos de los numerales positivos tienden a cero y Proposición 14.2.7 — La condición \(a_n\to0\) no es suficiente: la serie armónica aseguran, respectivamente, que \(h_k>0\) y \(h_k\to0\), pero que su serie diverge. Construyamos la sucesión \(a\) por parejas de términos:

\[ \boxed{a_{2k}:=h_k,\qquad a_{2k+1}:=-h_k \qquad(k\in\mathbb N).} \tag{14.8.1} \]

Aquí \(2k\) y \(2k+1\) son índices naturales; el \(2\) es el natural de Notación 3.9.1 — El número dos en los tres sistemas, y \(h_k\) pertenece a \(\mathbb R\). La dicotomía de paridad Lema 3.9.3 — Dicotomía de paridad asegura que todo índice natural es par o impar y que esos casos son disjuntos. En cada caso el índice \(k\) es único: si \(2k=2j\) o \(2k+1=2j+1\), cancelamos la suma final cuando procede y utilizamos que la multiplicación por el natural positivo \(2\) es estrictamente creciente (Proposición 1.6.8 — Compatibilidad con el producto); si \(k\ne j\), la totalidad del orden natural produciría una desigualdad estricta entre \(2k\) y \(2j\), contradiciendo su igualdad. Por tanto (14.8.1) asigna exactamente un real a cada índice. Su grafo existe por Separación en \(\mathbb N\times\mathbb R\); no se eligen representantes ni se invoca Choice.

Primero: convergencia de la serie original. Escribamos \(s=\operatorname{PS}(a)\). Una inducción sobre \(k\) muestra que

\[ \boxed{s_{2k}=h_k,\qquad s_{2k+1}=0 \qquad(k\in\mathbb N).} \tag{14.8.2} \]

En efecto, para \(k=0\) las sumas parciales son \(s_0=a_0=h_0\) y \(s_1=a_0+a_1=h_0-h_0=0\). Si \(s_{2k+1}=0\), la recursión y las igualdades naturales \(2(k+1)=2k+2\) y \(2(k+1)+1=2k+3\) dan

\[ \begin{aligned} s_{2(k+1)}&=s_{2k+1}+a_{2k+2}=0+h_{k+1}=h_{k+1},\\ s_{2(k+1)+1}&=s_{2(k+1)}+a_{2k+3}=h_{k+1}-h_{k+1}=0. \end{aligned} \]

Demostremos la convergencia de toda \(s\), y no sólo de la subsucesión de índices impares. Dado \(\varepsilon>0\), de \(h_k\to0\) obtenemos un \(K\in\mathbb N\) tal que \(k\ge K\) implica \(0<h_k<\varepsilon\). Tomemos el único umbral natural \(N:=2K+1\). Si \(n\ge N\), la dicotomía de paridad escribe \(n=2k\) o \(n=2k+1\). En el primer caso, \(2k\ge2K+1\) excluye \(k\le K\) por el crecimiento del producto y, por tanto, \(k\ge K\); entonces \(|s_n|=h_k<\varepsilon\). En el segundo caso, \(2k+1\ge2K+1\) implica \(k\ge K\) por cancelación y crecimiento, y \(|s_n|=0<\varepsilon\). En ambos casos, \(|s_n-0|<\varepsilon\) para todo \(n\ge N\); así \(s_n\to0\) y

\[ \boxed{\sum_{n=0}^{\infty}a_n=0.} \]

Segundo: divergencia de la serie de magnitudes. Como \(h_k>0\) y \(|-h_k|=h_k\), los términos de \(\operatorname{Abs}(a)\) satisfacen

\[ |a_{2k}|=|a_{2k+1}|=h_k. \]

Sea \(u=\operatorname{PS}(\operatorname{Abs}(a))\) y sea \(H=\operatorname{PS}(h)\) la sucesión armónica de sumas parciales. Por recursión, \(u_1=h_0+h_0=(1+1)H_0\). Si \(u_{2k+1}=(1+1)H_k\), la adición de los términos de la pareja siguiente entrega

\[ \begin{aligned} u_{2(k+1)+1} &=u_{2k+1}+|a_{2k+2}|+|a_{2k+3}|\\ &=(1+1)H_k+h_{k+1}+h_{k+1}\\ &=(1+1)H_{k+1}. \end{aligned} \]

Por inducción,

\[ \boxed{u_{2k+1}=(1+1)H_k\qquad(k\in\mathbb N).} \tag{14.8.3} \]

La serie armónica tiene términos no negativos y diverge (Proposición 14.2.7 — La condición \(a_n\to0\) no es suficiente: la serie armónica). Su criterio de convergencia Teorema 14.4.2 — Criterio de convergencia para series de términos no negativos implica, por contraposición, que \(H\) no está acotada superiormente. Si la serie de \(|a_n|\) convergiera, su sucesión \(u\) estaría acotada superiormente por el mismo criterio, digamos \(u_n\le M\) para todos los índices. Pero (14.8.3) daría

\[ H_k\le (1+1)^{-1}M\qquad(k\in\mathbb N), \]

contradicción: el factor \((1+1)^{-1}\) es positivo. Por tanto la serie de magnitudes diverge. Hemos construido una serie convergente que no converge absolutamente, es decir, \(a\in\mathcal K_{\mathrm{ser}}\). Junto con Teorema 14.8.3 — La convergencia absoluta implica convergencia ordinaria, esto establece la inclusión propia anunciada. ∎

Por qué funciona el ejemplo. Cada pareja suma exactamente cero, mientras que las magnitudes de sus dos términos suman \(h_k+h_k\). Los valores absolutos destruyen la cancelación que estabiliza la suma original. El ejemplo se ha construido directamente con la armónica cerrada: no depende del criterio para series alternadas ni de un teorema de reordenamiento, ambos reservados para más adelante.

Un contraste adicional. La presencia de signos alternados tampoco basta para concluir que una serie es sólo condicionalmente convergente. Para \(r=-(1+1)^{-1}\) tenemos \(|r|=(1+1)^{-1}<1\). El teorema geométrico Teorema 14.3.5 — Convergencia y suma de la serie geométrica para \(|r|<1\) prueba la convergencia de \(\sum r^n\), mientras que Lema 14.3.3 — El valor absoluto conmuta con las potencias naturales da \(|r^n|=|r|^n\) y el mismo teorema prueba que la serie de magnitudes converge. Por tanto esta serie con signos alternados converge absolutamente. No se utiliza ninguna regla nueva de intercambio de sumas infinitas.

14.9. Criterios de razón y raíz

La comparación por límite de §14.6 relaciona dos series ya dadas. Los criterios de este apartado buscan un patrón geométrico dentro de una sola sucesión: la razón compara magnitudes consecutivas; la raíz enésima mide el tamaño de un término frente a una potencia de exponente igual a su índice. Las dos pruebas remitirán a la serie geométrica de §14.3 y a la convergencia absoluta de §14.8. No afirmaremos que un límite igual a \(1\) decida la convergencia.

El cociente secuencial ya existe (Definición 14.6.2 — Cociente secuencial totalizado y cociente eventual) y permite precisar dónde puede anularse el denominador. No ocurre lo mismo con la raíz enésima: todavía no la hemos definido. Antes de utilizar el segundo criterio demostraremos su existencia, unicidad y dominio, directamente a partir de la completitud real y de las potencias naturales construidas en §14.3.

Lema 14.9.1 — Monotonía de las potencias positivas y cota de variación finita

Dados \(k\in\mathbb N\) y \(0\le u\le v\le M\) en \(\mathbb R\), se verifican

\[ \boxed{0\le v^{k+1}-u^{k+1} \le\nu_{\mathbb R}(k+1)M^k(v-u).} \tag{14.9.1} \]

Si \(0\le u<v\), entonces \(u^{k+1}<v^{k+1}\). Por tanto, para cada exponente natural positivo, la potenciación es estrictamente creciente en los reales no negativos.

Demostración.

La positividad de \(t^j\) para \(t\ge0\) y \(j\in\mathbb N\) se obtiene inmediatamente por inducción usando \(t^0=1\) y \(t^{j+1}=t^jt\). Igualmente, si \(0\le s\le t\), la inducción da \(s^j\le t^j\) para todo \(j\). Fijados \(u,v,M\) como en el enunciado, probaremos (14.9.1) por inducción sobre \(k\).

Para \(k=0\) la diferencia es \(v-u\), y el factor derecho es \(\nu_{\mathbb R}(1)M^0=1\), incluso si \(M=0\). Supongamos válida la estimación para \(k\) y escribamos, con \(\delta=v-u\ge0\),

\[ \begin{aligned} v^{k+2}-u^{k+2} &=v^{k+1}(v-u)+u(v^{k+1}-u^{k+1})\\ &\le M^{k+1}\delta +M\,\nu_{\mathbb R}(k+1)M^k\delta\\ &=\nu_{\mathbb R}(k+2)M^{k+1}\delta. \end{aligned} \]

Ambos sumandos de la primera línea son no negativos. La última igualdad utiliza la preservación de la suma natural por \(\nu_{\mathbb R}\) (Proposición 4.1.6 — Aritmética y orden de los numerales naturales), y completa la inducción.

Para la versión estricta, el caso \(k=0\) es \(u<v\). Si \(u^{k+1}<v^{k+1}\) y \(0\le u<v\), entonces \(v^{k+1}>0\) y

\[ v^{k+2}=v^{k+1}v>v^{k+1}u\ge u^{k+1}u=u^{k+2}. \]

El principio de inducción concluye también este segundo aserto. ∎

Uso de la cota. La desigualdad (14.9.1) controla una potencia al modificar ligeramente su base. No presupone continuidad de funciones, derivadas, un binomio general ni raíces previamente definidas. El exponente se escribe \(k+1\) para no utilizar una resta natural que no hemos introducido como operación total.

Teorema 14.9.2 — Existencia y unicidad de la raíz no negativa de índice positivo

Para cada \(k\in\mathbb N\) y cada real \(x\ge0\) existe un único \(r\ge0\) tal que

\[ \boxed{r^{k+1}=x.} \tag{14.9.2} \]

Además, \(x>0\) implica \(r>0\); y para \(0\le x\le y\), sus respectivas raíces no negativas de un mismo índice conservan el orden.

Demostración.

Fijemos \(k\) y \(x\ge0\), y escribamos \(m:=k+1\). Por Separación existe

\[ S:=\{t\in\mathbb R:0\le t\ \text{y}\ t^m\le x\}. \]

Es no vacío: \(0\in S\), pues \(m\) es positivo y \(0^m=0\). También está acotado superiormente por \(B:=1+x\). En efecto, si \(t>B\), entonces \(t>1\) y \(t>x\); por inducción \(t^m\ge t>x\), de modo que \(t\notin S\). El orden total muestra que ningún elemento de \(S\) supera \(B\). La completitud proporciona el real \(r:=\sup S\), y \(0\le r\le B\).

La clave es verificar que \(r^m=x\); ser supremo por sí solo no da esa igualdad. Para aplicar (14.9.1) sin exponentes negativos, fijemos

\[ K:=\nu_{\mathbb R}(m)(r+1)^k>0. \]

Caso \(r^m<x\). Sea \(g:=x-r^m>0\). Tomemos el número real determinado

\[ \delta:=\frac{g}{(1+1)(K+g+1)}. \]

El denominador es positivo y \(0<\delta<1\), mientras que \(K\delta<g\). Aplicando (14.9.1) a \(u=r\), \(v=r+\delta\), \(M=r+1\) obtenemos

\[ (r+\delta)^m-r^m\le K\delta<g, \]

luego \((r+\delta)^m<x\) y \(r+\delta\in S\). Esto contradice que \(r\) sea cota superior de \(S\).

Caso \(r^m>x\). Necesariamente \(r>0\); pongamos \(g:=r^m-x>0\) y fijemos

\[ \delta:=\min\left\{\frac r2,\frac{g}{(1+1)(K+1)}\right\}>0. \]

Aquí \(0<\delta<r\), \(K\delta<g\) y \(0\le r-\delta<r\le r+1\). Por (14.9.1), ahora con \(u=r-\delta\), \(v=r\) y \(M=r+1\),

\[ (r-\delta)^m\ge r^m-K\delta>x. \]

Todo \(t\in S\) satisface \(t<r-\delta\): de lo contrario, la monotonía de las potencias positivas daría \(t^m\ge(r-\delta)^m>x\), contrario a la definición de \(S\). Así, \(r-\delta\) sería una cota superior de \(S\) estrictamente menor que su supremo. Contradicción.

La tricotomía excluye ambos casos y entrega \(r^m=x\). Si \(0\le r<s\) fueran dos soluciones, la estricta monotonía de Lema 14.9.1 — Monotonía de las potencias positivas y cota de variación finita daría \(r^m<s^m\), imposible. La solución es única. Si \(x>0\) no puede ser \(r=0\). Finalmente, si \(x\le y\) y sus raíces fueran \(r>s\), la misma monotonía produciría \(x=r^m>s^m=y\), contradicción. ∎

Notación 14.9.3 — Raíz enésima real no negativa

Si \(m\in\mathbb N\) es positivo y \(x\in\mathbb R\) satisface \(x\ge0\), denotamos por

\[ \boxed{\sqrt[m]{x}} \]

el único real no negativo cuya potencia \(m\)-ésima es \(x\). La asignación \((m,x)\mapsto\sqrt[m]{x}\) es una función sobre el conjunto \(\mathbb N_{\ge1}\times\mathbb R_{\ge0}\): su grafo existe por Separación dentro de \((\mathbb N_{\ge1}\times\mathbb R_{\ge0})\times\mathbb R\), y el teorema precedente garantiza existencia y unicidad para cada entrada. Aquí \(\mathbb N_{\ge1}\) es el segmento final ya definido en §13.2 y \(\mathbb R_{\ge0}:=\{x\in\mathbb R:x\ge0\}\) es una abreviatura conjuntista explícita.

No definimos \(\sqrt[0]{x}\), raíces reales de radicandos negativos ni raíces complejas. La raíz conserva el orden para cada índice fijo y, si \(c\ge0\), cumple \(\sqrt[m]{c^m}=c\) por unicidad. Los índices pertenecen a \(\mathbb N\), mientras que radicandos y raíces pertenecen a \(\mathbb R\).

Definición 14.9.4 — Sucesión de raíces asociada a una serie

Para cada sucesión real \(a\) definimos una nueva sucesión real \(R(a)\) mediante

\[ \boxed{R(a)_0:=0, \qquad R(a)_n:=\sqrt[n]{|a_n|}\quad(n\ge1).} \tag{14.9.3} \]

Para cada índice positivo el radicando es no negativo y la raíz existe y es única; en \(n=0\) se asigna expresamente \(0\), sin escribir una raíz de índice cero. El grafo de \(R(a)\) existe por Separación dentro de \(\mathbb N\times\mathbb R\) y es total y funcional. Asimismo existe el operador \(R:\mathbb R^{\mathbb N}\to\mathbb R^{\mathbb N}\) por Separación en el producto de conjuntos de sucesiones.

Todos los términos de \(R(a)\) son no negativos. Su posible límite es, pues, no negativo por la preservación del orden al límite (Teorema 13.6.2 — Preservación del orden en el paso al límite). El valor convencional de \(R(a)_0\) no afecta a la convergencia. No presupone que \(a_n\) sea positivo ni que la serie de \(a\) converja.

Lema 14.9.5 — Las raíces enésimas de una constante positiva tienden a uno

Para cada real \(C>0\), la sucesión definida en los índices positivos por \(c_n:=\sqrt[n]{C}\) (y, por convención, \(c_0:=1\)) satisface

\[ \boxed{c_n\longrightarrow1.} \tag{14.9.4} \]

Además, para \(C>0\), \(q>0\) y \(n\ge1\),

\[ \boxed{\sqrt[n]{Cq^n}=\sqrt[n]{C}\,q.} \tag{14.9.5} \]

Demostración.

Primero comprobemos dos identidades algebraicas que no supondremos implícitas. Una inducción con la recursión de Definición 14.3.1 — Potencias naturales de un número real da \((uv)^j=u^jv^j\) para \(u,v\in\mathbb R\) y \(j\in\mathbb N\). Si \(u,v>0\) y \(j\ge1\), entonces \(u^j,v^j>0\). Por tanto,

\[ \bigl(\sqrt[n]{C}\,q\bigr)^n =\bigl(\sqrt[n]{C}\bigr)^n q^n=Cq^n. \]

La base es no negativa, y la unicidad de la raíz prueba (14.9.5).

Para la convergencia, demostremos por inducción la desigualdad de Bernoulli elemental

\[ (1+\eta)^n\ge1+\nu_{\mathbb R}(n)\eta \qquad(\eta>0,\ n\in\mathbb N). \tag{14.9.6} \]

El caso \(n=0\) es igualdad. Multiplicar el paso inductivo por \(1+\eta>0\) da, además del término \(\nu_{\mathbb R}(n+1)\eta\), un sumando no negativo \(\nu_{\mathbb R}(n)\eta^2\). Con esto queda demostrada la desigualdad.

Si \(C=1\), todas sus raíces son \(1\). Si \(C>1\), fijemos \(\varepsilon>0\). La arquimedianidad de \(\mathbb R\) (Teorema 4.6.3 — Todo cuerpo ordenado completo es arquimediano) permite encontrar \(N\ge1\) con \(\nu_{\mathbb R}(N)\varepsilon>C-1\). Para todo \(n\ge N\), la monotonía de los numerales y (14.9.6) dan \((1+\varepsilon)^n>C\). Por la estricta monotonía de las potencias positivas,

\[ 1<\sqrt[n]{C}<1+\varepsilon. \]

Esto demuestra \(\sqrt[n]{C}\to1\).

Si \(0<C<1\), apliquemos el caso anterior a \(C^{-1}>1\). La identidad de potencias producto y la unicidad de raíz implican

\[ \sqrt[n]{C}\,\sqrt[n]{C^{-1}}=1, \]

porque el producto es positivo y su potencia \(n\)-ésima vale \(1\). Para un \(\varepsilon>0\), elijamos \(0<\eta<\min\{\varepsilon,1\}\). Eventualmente \(1<\sqrt[n]{C^{-1}}<1+\eta\), luego

\[ 1-\varepsilon<\frac1{1+\eta} <\sqrt[n]{C}<1. \]

La primera desigualdad se deduce de \((1+\eta)(1-\eta)=1-\eta^2<1\) y \(\eta<\varepsilon\). Así también \(\sqrt[n]{C}\to1\). El valor elegido en el índice cero carece de efecto. ∎

Teorema 14.9.6 — Criterio de la raíz

Sea \(a\in\mathbb R^{\mathbb N}\) y supongamos que la sucesión \(R(a)\) converge a un número real \(L\). Entonces \(L\ge0\) y:

1. Si \(L<1\), la serie \(\sum_{n=0}^{\infty}a_n\) converge absolutamente.
2. Si \(L>1\), la serie \(\sum_{n=0}^{\infty}a_n\) diverge: sus términos no tienden a cero.
3. Si \(L=1\), estas hipótesis no bastan para decidir. En §14.9.9 construiremos series de ambos comportamientos con este mismo límite.

La prueba establece también las versiones útiles sin presuponer un límite: basta que existan \(0<q<1\) y \(N\ge1\) con \(R(a)_n\le q\) para todo \(n\ge N\) para concluir convergencia absoluta; basta que existan \(r>1\) y \(N\ge1\) con \(R(a)_n\ge r\) para todo \(n\ge N\) para concluir divergencia.

Demostración.

Todos los \(R(a)_n\) son no negativos, por lo que \(L\ge0\). Si \(L<1\), fijemos \(q:=(1+L)/2\). Se cumple \(0<q<1\) y \(L<q\). La definición de límite aplicada a la tolerancia \(q-L\) proporciona \(N\ge1\) tal que \(R(a)_n<q\) para \(n\ge N\). Elevando a la potencia natural positiva \(n\), la monotonía del lema inicial muestra

\[ |a_n|=R(a)_n^{\,n}<q^n\quad(n\ge N). \]

Los términos \(q^n\) forman una serie geométrica convergente por Teorema 14.3.5 — Convergencia y suma de la serie geométrica para \(|r|<1\); la dominación absoluta eventual Corolario 14.8.4 — Dominación absoluta eventual prueba la convergencia absoluta de la serie original. La misma comparación funciona si la cota \(R(a)_n\le q\) se da directamente, sin límite.

Si \(L>1\), tomemos \(r:=(1+L)/2>1\). Eventualmente \(R(a)_n>r\) y, por monotonía,

\[ |a_n|>r^n\ge1\qquad(n\ge N), \]

pues \(r^0=1\) y la recurrencia de las potencias conserva la cota \(r^n\ge1\). Por definición, \(a_n\not\to0\) (basta la tolerancia \(1\)), así que la condición necesaria Corolario 14.2.5 — Criterio de divergencia por el término general implica divergencia. La versión con \(R(a)_n\ge r\) es idéntica, usando \(|a_n|\ge1\). El valor \(L=1\) no permite obtener de la sola convergencia ninguna de las dos cotas estrictas que acabamos de utilizar; los contraejemplos de §14.9.9 establecen formalmente la indecisión anunciada. ∎

Lectura del criterio. La raíz compara \(|a_n|\) con \(q^n\) para el mismo índice \(n\). No exige que cada término sea no nulo: \(\sqrt[n]{0}=0\) está definida para \(n\ge1\). Si la sucesión de raíces carece de límite, las dos versiones de cota eventual siguen siendo válidas; el teorema no inventa un límite superior extendido \(+\infty\).

Teorema 14.9.7 — Criterio de la razón con denominadores eventualmente no nulos

Sea \(a\in\mathbb R^{\mathbb N}\) y supongamos que existe \(N_0\) tal que \(a_n\ne0\) para todo \(n\ge N_0\). Definimos la sucesión total

\[ q:=\operatorname{quo}_0\bigl(\operatorname{Abs}(a)^{\langle1\rangle}, \operatorname{Abs}(a)\bigr). \]

Desde \(N_0\), y sólo desde allí, \(q_n=|a_{n+1}|/|a_n|\). Si \(q_n\to L\in\mathbb R\), entonces \(L\ge0\) y:

1. Si \(L<1\), la serie \(\sum a_n\) converge absolutamente.
2. Si \(L>1\), la serie \(\sum a_n\) diverge porque \(a_n\not\to0\).
3. Si \(L=1\), el criterio no determina la convergencia (véase §14.9.9).

Sin requerir la existencia de \(L\), las conclusiones siguen siendo válidas cuando se cuenta, respectivamente, con una cota eventual \(q_n\le c<1\) con \(c>0\), o con \(q_n\ge d>1\), siempre manteniendo la hipótesis de no anulación desde \(N_0\).

Demostración.

La sucesión \(q\) existe por Definición 14.6.2 — Cociente secuencial totalizado y cociente eventual y es no negativa en todos los índices: en los denominadores nulos se asigna cero, y los demás son cocientes de magnitudes no negativas por números positivos. De ahí \(L\ge0\). Para \(L<1\), escojamos \(c:=(1+L)/2\); satisface \(0<c<1\) y \(L<c\). Existe \(N\ge N_0\) tal que \(q_n<c\) para todo \(n\ge N\), y por tanto

\[ |a_{n+1}|\le c|a_n|\qquad(n\ge N). \tag{14.9.7} \]

La inducción sobre \(j\) aplicada a (14.9.7) da \(|a_{N+j}|\le|a_N|c^j\). Como \(c>0\), \(c^N>0\), y definimos el real no negativo \(C:=|a_N|(c^N)^{-1}\). La identidad \(c^{N+j}=c^Nc^j\), obtenida por inducción desde la recurrencia de las potencias, permite escribir para todos los \(n\ge N\) (con \(n=N+j\)):

\[ \boxed{|a_n|\le Cc^n.} \tag{14.9.8} \]

La serie geométrica de \(c^n\) converge (Teorema 14.3.5 — Convergencia y suma de la serie geométrica para \(|r|<1\)), y también la de \(Cc^n\): si \(C>0\), por escalamiento no nulo Proposición 14.6.1 — Multiplicación de una serie por un escalar no nulo; si \(C=0\), por la serie nula Proposición 14.1.6 — Estabilización de sumas parciales cuando los términos tardíos son nulos. La dominación absoluta eventual Corolario 14.8.4 — Dominación absoluta eventual concluye. Este argumento prueba igualmente la versión con cota \(q_n\le c\) sin límite.

Si \(L>1\), elijamos \(d:=(1+L)/2>1\). Eventualmente \(q_n>d\) y, con \(N\ge N_0\) apropiado,

\[ |a_{N+j}|\ge|a_N|d^j\ge|a_N|>0 \qquad(j\in\mathbb N). \]

La desigualdad se prueba por inducción; la segunda usa \(d^j\ge1\), y la última la hipótesis \(a_N\ne0\). La tolerancia \(\varepsilon=|a_N|\) impide que \(a_n\to0\), así que la serie diverge por Corolario 14.2.5 — Criterio de divergencia por el término general. El mismo razonamiento cubre la cota eventual \(q_n\ge d>1\). La frontera \(L=1\) queda resuelta por los ejemplos de §14.9.9, no por este argumento. ∎

Hipótesis insustituible. No se permite dividir por \(|a_n|\) cuando pueda ser cero arbitrariamente tarde. Si una serie tiene términos nulos en índices no acotados, el criterio de la razón en esta forma no se aplica, pero la serie podría converger o divergir. La definición totalizada del cociente no debe ocultar esa restricción.

Proposición 14.9.8 — Un límite de razones determina el límite de las raíces

En las hipótesis de no anulación eventual del teorema anterior, si

\[ \lim_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=L \qquad(L\in\mathbb R), \]

entonces

\[ \boxed{\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=L,} \]

entendiendo el segundo límite mediante la sucesión total \(R(a)\) de (14.9.3). En particular, el criterio de razón con límite existente nunca produce un límite de raíz distinto: ambos entregan el mismo umbral \(L\).

Demostración.

Sea \(q_n=|a_{n+1}|/|a_n|\) en la cola legítima y \(q_n\to L\). Por no negatividad, \(L\ge0\). Fijemos dos constantes positivas \(r,R\) tales que

\[ 0<r<L<R \]

si \(L>0\). Por convergencia existe un índice \(N\ge1\) a partir del cual todos los cocientes están entre \(r\) y \(R\). Las mismas inducciones de §14.9.7, aplicadas a ambas desigualdades, proporcionan constantes positivas

\[ C:=|a_N|(r^N)^{-1}, \qquad D:=|a_N|(R^N)^{-1}, \]

para las cuales

\[ Cr^n\le|a_n|\le DR^n\qquad(n\ge N). \]

Por monotonía de la raíz y la identidad (14.9.5), para \(n\ge N\),

\[ \boxed{r\sqrt[n]{C}\le R(a)_n\le R\sqrt[n]{D}.} \tag{14.9.9} \]

El lema Lema 14.9.5 — Las raíces enésimas de una constante positiva tienden a uno y la compatibilidad del límite con multiplicación por una constante hacen converger las cotas izquierda y derecha a \(r\) y \(R\). Para verificar exactamente \(R(a)_n\to L\), demos un \(\varepsilon>0\): elegimos \(r,R>0\) tales que \(L-\varepsilon/2<r<L<R<L+\varepsilon/2\) (si \(\varepsilon\) es grande, la condición \(r>0\) sigue siendo posible porque \(L>0\)). A partir de un índice suficientemente grande, los términos de las cotas en (14.9.9) difieren de \(r,R\), respectivamente, en menos de \(\varepsilon/2\). Se obtiene entonces \(L-\varepsilon<R(a)_n<L+\varepsilon\), como exige la definición de límite.

Si \(L=0\), sea \(\varepsilon>0\) y elijamos \(0<c<\min\{1,\varepsilon/2\}\). Eventualmente \(0\le q_n<c\); la inducción anterior aporta un \(D>0\) con \(|a_n|\le Dc^n\) para todos los índices de una cola. La monotonía de la raíz da \(0\le R(a)_n\le c\sqrt[n]{D}\). Como \(\sqrt[n]{D}\to1\), eventualmente \(\sqrt[n]{D}<2\), y \(0\le R(a)_n<2c<\varepsilon\). Por tanto también \(R(a)_n\to0=L\). No se ha requerido calcular logaritmos ni utilizar una forma extendida de \(\limsup\). ∎

Proposición 14.9.9 — La frontera de ambos criterios es indecisiva

Existen dos series de términos estrictamente positivos que tienen, simultáneamente, límite de razones igual a \(1\) y límite de raíces igual a \(1\), pero comportamientos opuestos: una diverge y la otra converge.

Demostración.

Ejemplo divergente. Utilicemos la sucesión armónica ya cerrada,

\[ h_n:=\nu_{\mathbb R}(n+1)^{-1}>0. \]

Su serie diverge por Proposición 14.2.7 — La condición \(a_n\to0\) no es suficiente: la serie armónica, pero \(h_n\to0\) por Lema 13.10.2 — Los recíprocos de los numerales positivos tienden a cero. Sus razones están definidas para todo \(n\) y la aritmética del cuerpo y de los numerales da

\[ \frac{h_{n+1}}{h_n} =\frac{\nu_{\mathbb R}(n+1)}{\nu_{\mathbb R}(n+2)} =1-h_{n+1}\longrightarrow1. \]

La convergencia de la cola \(h_{n+1}\) se obtiene de Definición 13.2.3 — Cola reindexada de una sucesión y la conservación de los límites de sucesiones por desplazamiento. Proposición 14.9.8 — Un límite de razones determina el límite de las raíces concluye que \(\sqrt[n]{h_n}\to1\) en los índices positivos.

Ejemplo convergente. Definamos, por Separación en \(\mathbb N\times\mathbb R\), la sucesión positiva

\[ \boxed{b_n:=h_nh_{n+1} =\frac1{\nu_{\mathbb R}(n+1)\nu_{\mathbb R}(n+2)}.} \]

De la identidad \(\nu_{\mathbb R}(n+2)-\nu_{\mathbb R}(n+1)=1\) se sigue, por multiplicación por los inversos de ambos numerales, que

\[ b_n=h_n-h_{n+1}. \]

La recursión de sumas parciales prueba por inducción, sin ninguna permutación infinita,

\[ \sum_{k=0}^{N}b_k=h_0-h_{N+1}=1-h_{N+1} \qquad(N\in\mathbb N). \]

Como \(h_{N+1}\to0\), las sumas parciales convergen a \(1\), y así \(\sum_{k=0}^{\infty}b_k=1\). Por otra parte, la cancelación de factores positivos da

\[ \frac{b_{n+1}}{b_n} =\frac{\nu_{\mathbb R}(n+1)}{\nu_{\mathbb R}(n+3)} =1-(1+1)h_{n+2}\longrightarrow1. \]

De nuevo Proposición 14.9.8 — Un límite de razones determina el límite de las raíces proporciona \(\sqrt[n]{b_n}\to1\). En los dos ejemplos se satisfacen las hipótesis de ambos criterios y sus límites son idénticos a \(1\), pero sólo la segunda serie converge. Esto demuestra que ninguno de los criterios permite concluir nada en la frontera \(L=1\). ∎

Diagnóstico pedagógico. El cociente mide un cambio entre términos consecutivos; la raíz compara la magnitud del término con una escala geométrica desde el origen. Que ambos límites den \(1\) expresa la ausencia de una separación exponencial estricta respecto de esa escala; no significa que las sumas parciales se comporten igual.

Los criterios de razón y raíz están ahora fundamentados sin notación de raíces anterior a su teorema de existencia, sin divisiones por cero y sin confundir la frontera \(1\) con una conclusión de convergencia. El siguiente frente, §14.10 — Reordenamientos y estabilidad de la suma bajo convergencia absoluta, deberá distinguir expresamente una permutación de índices de una partición meramente finita: modificar el orden de una suma infinita exige un teorema, no una aplicación informal de la conmutatividad finita.

14.10. Reordenamientos y estabilidad de la suma bajo convergencia absoluta

La suma finita de números reales es conmutativa. En cambio, una serie no se define como la suma de un conjunto de términos: se define como el límite de una sucesión de sumas en un orden fijado. Un cambio de orden produce, en principio, una nueva sucesión de sumas parciales. ¿Cuándo podemos garantizar que tiene el mismo límite?

La convergencia absoluta proporciona la respuesta. Su condición cuantifica el tamaño total de las colas, de modo que cualquier colección finita de términos tardíos puede ser controlada aunque sus índices se presenten en otro orden. El argumento exigirá primero justificar una identidad finita para índices distintos; sólo después tomaremos límites.

Definición 14.10.1 — Permutación de índices y serie reordenada

Una permutación de los índices naturales es una biyección

\[ \pi:\mathbb N\longrightarrow\mathbb N. \]

Dada una sucesión real \(a\), su sucesión reordenada es la composición \(a\circ\pi\), cuyos términos son

\[ \boxed{b_j:=a_{\pi(j)}\qquad(j\in\mathbb N).} \tag{14.10.1} \]

La serie reordenada es la serie de términos \(b\); sus sumas parciales son

\[ t_m:=\operatorname{PS}(b)_m=\sum_{j=0}^{m}a_{\pi(j)}. \]

La composición de funciones ya construida hace existir \(b\) como elemento de \(\mathbb R^{\mathbb N}\). La biyección garantiza que cada término de la sucesión original aparece exactamente una vez, pero no garantiza por definición ni la convergencia ni la igualdad de las sumas. Una agrupación de términos consecutivos es una operación distinta: no se definirá aquí como si fuera una permutación.

Lema 14.10.2 — Identidad de suma finita sobre índices distintos

Sean \(m,K\in\mathbb N\) y sea \(f:\mathbb N\to\mathbb N\) una función cuyos valores \(f(0),\ldots,f(m)\) son distintos dos a dos y satisfacen \(f(j)\le K\) para \(0\le j\le m\). Para cualquier sucesión real \(a\) definamos

\[ c_k:=\begin{cases} a_k,&\text{si existe }j\le m\text{ con }f(j)=k,\\ 0,&\text{en caso contrario.} \end{cases} \]

Entonces

\[ \boxed{\sum_{j=0}^{m}a_{f(j)}=\sum_{k=0}^{K}c_k.} \tag{14.10.2} \]

En particular, se obtiene la estimación

\[ \boxed{\sum_{j=0}^{m}|a_{f(j)}|\le\sum_{k=0}^{K}|a_k|.} \tag{14.10.3} \]

Demostración.

Comencemos por dos hechos sobre sumas finitas que derivaremos de su recursión. Si \(v_k=0\) para todos los \(k\) entre \(P+1\) y \(K\), con \(P\le K\), la inducción sobre \(K-P\) da \(\sum_{k=0}^{K}v_k=\sum_{k=0}^{P}v_k\). Además, si dos sucesiones \(v,w\) sólo difieren en un índice \(r\le K\), entonces

\[ \sum_{k=0}^{K}w_k-\sum_{k=0}^{K}v_k=w_r-v_r. \tag{14.10.4} \]

Para comprobar esta última identidad, una inducción sobre el extremo superior \(K\) distingue \(K<r\), cuando las sumas coinciden; \(K=r\), cuando se incorpora exactamente la diferencia indicada; y \(K>r\), cuando se agrega a ambas sumas el mismo término. El caso \(K<r\) comienza en \(K=0\) con las ecuaciones iniciales; alternativamente puede probarse por inducción directa a partir del índice \(0\). Todo ello es aritmética finita del grupo aditivo real.

Demostremos (14.10.2) por inducción sobre la longitud \(m+1\) de la lista, para todos los \(K\) que acoten sus índices. En \(m=0\), la sucesión \(c\) es nula salvo en \(r=f(0)\). Aplicando (14.10.4) a la sucesión nula, cuya suma finita es cero por inducción, obtenemos \(\sum_{k=0}^{K}c_k=a_r\), como se requiere.

Supongamos la identidad para \(f(0),\ldots,f(m)\) y consideremos un índice adicional \(r=f(m+1)\) distinto de todos ellos. Sea \(c'\) la sucesión auxiliar correspondiente a los primeros \(m+1\) índices, sin incluir \(r\), y sea \(c\) la correspondiente a la lista ampliada. Por inyectividad, \(c'\) y \(c\) sólo difieren en \(r\): allí sus valores son \(0\) y \(a_r\). La identidad (14.10.4) proporciona

\[ \sum_{k=0}^{K}c_k =\sum_{k=0}^{K}c'_k+a_r =\sum_{j=0}^{m}a_{f(j)}+a_{f(m+1)} =\sum_{j=0}^{m+1}a_{f(j)}. \]

Las sucesiones auxiliares existen por Separación en \(\mathbb N\times\mathbb R\): cada condición de pertenencia es una fórmula sobre el conjunto finito de índices \(j\le m\), y el valor asignado es único. No hemos elegido un orden de un conjunto arbitrario ni invocado conmutatividad infinita.

Finalmente, repitamos (14.10.2) con los pesos \(|a_k|\). La sucesión auxiliar correspondiente satisface \(0\le c_k\le|a_k|\) para todo \(k\). La comparación finita Proposición 14.5.1 — Comparación de sumas finitas y de bloques implica \(\sum_{k=0}^{K}c_k\le\sum_{k=0}^{K}|a_k|\), que, mediante (14.10.2), es (14.10.3). ∎

Punto lógico. La desigualdad (14.10.3) no afirma que los índices elegidos sean consecutivos. Cada índice aparece como máximo una vez, y los pesos son no negativos. Ambas condiciones intervienen en la demostración.

Lema 14.10.3 — Captura de un prefijo y cota de la cola reordenada

Sean \(a\) una sucesión real, \(\pi\) una permutación y \(s,t,u\) las sumas parciales, respectivamente, de \(a\), \(a\circ\pi\) y \(\operatorname{Abs}(a)\). Fijado \(N\in\mathbb N\), existe \(M\in\mathbb N\) tal que para todo \(m\ge M\) existe \(K\ge N\) con

\[ \boxed{|t_m-s_N|\le u_K-u_N.} \tag{14.10.5} \]

Además, podemos tomar \(K\ge\pi(j)\) para todos los \(j\le m\), y vale \(u_K-u_N\ge0\).

Demostración.

Por ser biyectiva, \(\pi\) tiene inversa funcional Teorema 0.6.7 — Caracterización de las funciones invertibles. Para cada \(k\le N\) hay, por tanto, un índice único \(j_k=\pi^{-1}(k)\). Construimos un límite común \(M\) por recursión finita: \(M_0=j_0\) y \(M_{k+1}\) es el mayor de \(M_k\) y \(j_{k+1}\), donde el mayor existe y es único por el orden total de \(\mathbb N\). Ponemos \(M=M_N\). Una inducción muestra que \(j_k\le M\) para cada \(k\le N\); no se ha escogido simultáneamente ningún testigo no canónico.

Fijemos \(m\ge M\). Los índices \(\pi(0),\ldots,\pi(m)\) contienen, pues, todos los naturales \(0,\ldots,N\). Construyamos de la misma manera un máximo finito \(K\) de \(N,\pi(0),\ldots,\pi(m)\). Definamos \(c_k=a_k\) si \(k\) está entre esos valores de \(\pi\), y \(c_k=0\) en otro caso. El lema anterior, aplicado a la lista inyectiva \(f(j)=\pi(j)\), da

\[ t_m=\sum_{k=0}^{K}c_k, \qquad c_k=a_k\quad(0\le k\le N). \]

Si \(K=N\), ambas sumas finitas coinciden y \(t_m=s_N\); la cota (14.10.5) es \(0\le0\). Si \(K>N\), la partición finita Proposición 14.2.2 — Identidades de los bloques de sumación y la desigualdad triangular de bloques Lema 14.8.2 — Desigualdad triangular para sumas finitas y bloques, aplicadas a \(c\), dan

\[ |t_m-s_N| =\left|\sum_{k=N+1}^{K}c_k\right| \le\sum_{k=N+1}^{K}|c_k| \le\sum_{k=N+1}^{K}|a_k| =u_K-u_N. \]

La penúltima desigualdad usa \(|c_k|\le|a_k|\) y la comparación finita de bloques; la última igualdad es la definición de bloque de las magnitudes. La monotonía de \(u\) proporciona \(u_K-u_N\ge0\). Todos los pasos anteriores son finitos. ∎

Interpretación. Después de cierto lugar de la nueva lista, ya han aparecido todos los términos del prefijo original que queríamos conservar. Lo que se añade o se omite hasta un extremo finito \(K\) sólo puede proceder de la cola posterior a \(N\).

Teorema 14.10.4 — Invariancia de la suma bajo reordenamientos absolutamente convergentes

Si \(a\in\mathcal A_{\mathrm{ser}}\) y \(\pi:\mathbb N\to\mathbb N\) es una biyección, entonces \(a\circ\pi\in\mathcal A_{\mathrm{ser}}\), y las sumas ordinaria y absoluta se conservan:

\[ \boxed{ \sum_{j=0}^{\infty}a_{\pi(j)} =\sum_{k=0}^{\infty}a_k, \qquad \sum_{j=0}^{\infty}|a_{\pi(j)}| =\sum_{k=0}^{\infty}|a_k|. } \tag{14.10.6} \]

Las igualdades son numéricas porque las cuatro series que aparecen convergen.

Demostración.

Escribamos

\[ s_n:=\sum_{k=0}^{n}a_k, \quad u_n:=\sum_{k=0}^{n}|a_k|, \quad t_m:=\sum_{j=0}^{m}a_{\pi(j)}. \]

Por convergencia absoluta y Teorema 14.8.3 — La convergencia absoluta implica convergencia ordinaria, existen números reales \(S,A\) tales que \(s_n\to S\) y \(u_n\to A\). Puesto que \(u\) es creciente, \(u_n\le A\) para todo \(n\): si algún \(u_n>A\), la monotonía impediría que su límite fuese \(A\) (también se deduce de la conservación del orden bajo límites). Por tanto

\[ 0\le u_K-u_N\le A-u_N\qquad(K\ge N). \tag{14.10.7} \]

Sea \(\varepsilon>0\). La convergencia de ambas sucesiones da un índice común \(N\) suficientemente grande para que

\[ |s_N-S|<\varepsilon/2, \qquad 0\le A-u_N<\varepsilon/2. \]

El índice común se obtiene tomando el mayor de los dos umbrales naturales; no se construye una función de elección para todas las tolerancias. El lema Lema 14.10.3 — Captura de un prefijo y cota de la cola reordenada entrega \(M\) tal que, para todo \(m\ge M\), hay \(K\ge N\) con \(|t_m-s_N|\le u_K-u_N\). En consecuencia,

\[ |t_m-S| \le |t_m-s_N|+|s_N-S| \le A-u_N+|s_N-S|<\varepsilon. \]

Esto prueba directamente \(t_m\to S\). En particular, la serie reordenada converge y tiene suma \(S\).

Repetimos el argumento ya demostrado con la sucesión de términos \(x_k:=|a_k|\). La serie de \(x\) converge a \(A\), y su serie de magnitudes es la misma, pues \(||a_k||=|a_k|\). La misma estimación, ahora con \(x\), muestra que las sumas parciales de \(x\circ\pi\) convergen a \(A\). Pero \(x_{\pi(j)}=|a_{\pi(j)}|\) para todo \(j\), de modo que se obtiene la segunda igualdad y, por definición, la convergencia absoluta de la serie reordenada. No se ha intercambiado ningún límite con una suma infinita ni se ha supuesto que la conmutatividad finita bastaba por sí sola. ∎

Lectura estructural. La absoluta convergencia garantiza una cota para la masa completa de cualquier cola. La biyección sólo asegura que cada prefijo finito acaba apareciendo. Al combinar ambos hechos, el nuevo orden se vuelve irrelevante para el límite.

Proposición 14.10.5 — Una permutación de soporte finito preserva cualquier suma convergente

Sea \(\pi\) una permutación para la que existe \(N\) con \(\pi(n)=n\) para todo \(n\ge N\). Entonces, para cualquier serie convergente \(\sum a_n\), la serie \(\sum a_{\pi(n)}\) converge y tiene la misma suma, aunque no se presuponga convergencia absoluta.

Demostración.

Aumentemos \(N\), si hace falta, para que sea al menos \(1\). La biyección lleva el conjunto \(\{0,\ldots,N\}\) sobre sí mismo. En efecto, si \(j\le N\) y \(\pi(j)>N\), el índice \(\pi(j)\) está fijo y tendría dos preimágenes distintas, \(j\) y \(\pi(j)\), contradiciendo la inyectividad; así la imagen está contenida en el prefijo. Recíprocamente, para \(k\le N\) su preimagen no puede exceder \(N\), pues todo índice superior está fijo y no puede tener imagen \(k\). Por tanto la imagen coincide con el prefijo.

El lema de suma finita Lema 14.10.2 — Identidad de suma finita sobre índices distintos, aplicado a la lista \(\pi(0),\ldots,\pi(N)\) con \(K=N\), da \(t_N=s_N\). Como \(\pi(n)=n\) para todo \(n>N\), las recurrencias de sumas parciales permiten concluir por inducción que \(t_m=s_m\) para cada \(m\ge N\). Ambas sucesiones tienen, por ello, el mismo límite. ∎

Contraste. Cambiar sólo un número finito de posiciones no modifica el valor de una serie convergente. Lo que exige absoluta convergencia en el teorema anterior es la garantía para toda permutación, incluidas las que siguen alterando el orden a índices arbitrariamente grandes.

Proposición 14.10.6 — Una serie condicional puede cambiar de suma por reordenamiento

Existe una serie condicionalmente convergente cuya suma original es \(0\) y una permutación de sus índices cuya serie reordenada converge a un número estrictamente positivo. No afirmamos aquí el teorema general que permite prescribir una suma arbitraria a toda serie condicional: basta un contraejemplo explícito para delimitar el teorema anterior.

Demostración.

Recuperemos la sucesión positiva \(h_k:=\nu_{\mathbb R}(k+1)^{-1}\) de §14.2 y la serie por parejas de Teorema 14.8.6 — Existe una serie condicionalmente convergente:

\[ a_{2k}=h_k,\qquad a_{2k+1}=-h_k. \]

Ya está demostrado que \(\sum a_n=0\) y que \(\sum|a_n|\) diverge. Definamos otra enumeración de sus índices:

\[ \boxed{ \pi(3k)=4k,\qquad \pi(3k+1)=4k+2,\qquad \pi(3k+2)=2k+1.} \tag{14.10.8} \]

Todos los coeficientes e índices de estas tres expresiones son naturales. Verifiquemos que (14.10.8) define una biyección, en lugar de suponerlo por su aspecto. Una inducción, que pasa sucesivamente de los residuos \(0\) a \(1\), de \(1\) a \(2\) y de \(2\) al siguiente múltiplo de \(3\), muestra que todo natural es \(3k\), \(3k+1\) o \(3k+2\). La representación es única: si \(3k+r=3\ell+s\) con \(r,s\in\{0,1,2\}\) y \(k<\ell\), entonces \(3k+r\le3k+2<3(k+1)\le3\ell\le3\ell+s\), contradicción; el caso simétrico excluye \(\ell<k\), y la cancelación da \(r=s\). Los tres valores de (14.10.8) pertenecen respectivamente a los índices pares de la forma \(4k\), a los pares de la forma \(4k+2\) y a los impares. Esas familias son disjuntas y cada una es inyectivamente parametrizada, según las leyes de orden y cancelación naturales. Todo natural impar es \(2k+1\); todo par es \(2j\), donde la dicotomía de paridad de \(j\) escribe \(j=2k\) o \(j=2k+1\). Así, cada natural aparece una vez y sólo una vez como valor de \(\pi\). Su grafo, definido por los tres casos exclusivos, existe por Separación en \(\mathbb N\times\mathbb N\).

Sea \(t_m=\sum_{j=0}^{m}a_{\pi(j)}\) y sea \(H_k=\sum_{j=0}^{k}h_j\). Cada triple del nuevo orden contiene dos términos positivos y un término negativo:

\[ b_{3k}=h_{2k},\qquad b_{3k+1}=h_{2k+1},\qquad b_{3k+2}=-h_k. \]

Por inducción sobre \(k\) y por partición finita de sumas, obtenemos

\[ \boxed{t_{3k+2}=D_k:=H_{2k+1}-H_k =\sum_{j=k+1}^{2k+1}h_j.} \tag{14.10.9} \]

Para \(k=0\) los tres términos dan \(h_0+h_1-h_0=h_1=H_1-H_0\). Si la identidad vale para \(k\), agregar el triple siguiente suma \(h_{2k+2}+h_{2k+3}-h_{k+1}\), exactamente la diferencia entre \(H_{2k+3}-H_{k+1}\) y \(H_{2k+1}-H_k\).

La sucesión \(D\) es creciente, pues

\[ D_{k+1}-D_k=h_{2k+2}+h_{2k+3}-h_{k+1} =\frac1{\nu_{\mathbb R}(2k+3)}-\frac1{\nu_{\mathbb R}(2k+4)}>0. \]

También está acotada y separada de cero: en el bloque (14.10.9) hay \(k+1\) términos, y sus denominadores están entre \(k+2\) y \(2k+2\). Las comparaciones finitas, con los numerales correctamente tipados, proporcionan

\[ \boxed{\frac12=\frac{\nu_{\mathbb R}(k+1)}{\nu_{\mathbb R}(2k+2)} \le D_k\le\frac{\nu_{\mathbb R}(k+1)}{\nu_{\mathbb R}(k+2)}<1.} \tag{14.10.10} \]

La convergencia monótona Teorema 13.7.3 — Teorema de convergencia monótona garantiza \(D_k\to B\in\mathbb R\); al pasar al límite en (14.10.10), \(B\ge1/2>0\).

Resta comprobar que converge la sucesión completa \(t\), no solamente \(t_{3k+2}\). Las dos sumas parciales siguientes son

\[ t_{3k+3}=D_k+h_{2k+2},\qquad t_{3k+4}=D_k+h_{2k+2}+h_{2k+3}. \]

Como \(h_n\to0\), ambos términos añadidos tienden a cero. Todo índice \(n\ge2\) es de una de las formas \(3k+2\), \(3k+3\) o \(3k+4\), por una inducción sobre \(n\) que recorre cíclicamente esos tres casos; para \(n\to\infty\) el correspondiente \(k\to\infty\), ya que para cada \(K\) los tres índices con \(k<K\) son menores que \(3K+2\). Dado \(\varepsilon>0\), fijamos \(K\) para que \(|D_k-B|<\varepsilon/3\) y \(h_{2k+2},h_{2k+3}<\varepsilon/3\) para todo \(k\ge K\); las tres fórmulas muestran entonces \(|t_n-B|<\varepsilon\) cuando \(n\ge3K+2\). Por tanto la serie reordenada converge a \(B>0\), mientras que la original suma \(0\). ∎

Advertencia conceptual. Este ejemplo no cambia ni duplica términos: cambia únicamente el orden de aparición. La hipótesis de convergencia absoluta en Teorema 14.10.4 — Invariancia de la suma bajo reordenamientos absolutamente convergentes no puede omitirse de una afirmación universal de invariancia. Eso no significa que toda permutación de toda serie condicional cambie su suma; las de soporte finito siguen sometidas a la proposición anterior.

La convergencia absoluta garantiza invariancia frente a permutaciones; la convergencia ordinaria, por sí sola, no. En §14.11 estudiaremos un mecanismo diferente de convergencia basado precisamente en la alternancia de signos y el decrecimiento de las magnitudes: el criterio de Leibniz y su estimación del resto.

14.11. Series alternadas, criterio de Leibniz y estimación del resto

El ejemplo condicional de §14.8 se construyó cancelando exactamente cada pareja de términos; el reordenamiento de §14.10 mostró que esa cancelación no autoriza cambiar libremente el orden. Ahora estudiaremos una situación más regular: los signos se alternan y las magnitudes, aun sin formar una serie convergente, disminuyen hacia cero. La clave no será acotar una cola por la suma de sus valores absolutos, sino encerrar las sumas parciales entre dos sucesiones monótonas.

Conviene distinguir tres hipótesis. La alternancia prescribe los signos; el decrecimiento controla la comparación entre términos contiguos; la tendencia a cero obliga a que desaparezca la separación entre las dos familias de sumas parciales. Ninguna de esas tres funciones debe confundirse con las demás.

Definición 14.11.1 — Serie alternada asociada a una sucesión de magnitudes

Sea \(b:\mathbb N\to\mathbb R\) una sucesión con \(b_n\ge0\) para todo \(n\). Definimos la sucesión alternada que comienza con signo positivo por

\[ \boxed{a_n:=(-1)^n b_n\qquad(n\in\mathbb N).} \tag{14.11.1} \]

Aquí \(-1\) es un elemento de \(\mathbb R\) y la potencia \((-1)^n\) es la potencia de exponente natural definida en Definición 14.3.1 — Potencias naturales de un número real; no es una operación sobre índices enteros ni una potencia real de exponente arbitrario. Por la recursión de las potencias y las leyes del cuerpo,

\[ (-1)^{2k}=1,\qquad (-1)^{2k+1}=-1. \]

Por tanto \(a_{2k}=b_{2k}\) y \(a_{2k+1}=-b_{2k+1}\). La dicotomía de paridad Lema 3.9.3 — Dicotomía de paridad establece que estas dos fórmulas determinan todos los índices. El grafo de \(a\) se obtiene por Separación dentro de \(\mathbb N\times\mathbb R\) porque a cada \(n\) le corresponde exactamente un producto real. La serie alternada es la serie de términos \(a\) en el sentido de §14.1; que sea alternada no presupone su convergencia.

Si deseamos comenzar con signo negativo, tomaremos el opuesto de esta sucesión; no modificaremos silenciosamente la convención (14.11.1). Admitimos magnitudes nulas y, por consiguiente, no exigimos que cada término tenga signo estrictamente positivo o negativo.

Lema 14.11.2 — Las sumas parciales pares decrecen y las impares crecen

Supongamos que \(b_n\ge0\) y \(b_{n+1}\le b_n\) para todo \(n\in\mathbb N\). Sean \(a_n=(-1)^n b_n\) y \(s=\operatorname{PS}(a)\). Definamos, sólo como abreviaturas de sucesiones reales ya determinadas,

\[ E_k:=s_{2k},\qquad O_k:=s_{2k+1}\qquad(k\in\mathbb N). \]

Entonces \(E\) es decreciente, \(O\) es creciente y, para todo \(k\),

\[ \boxed{O_k\le E_{k+1}\le E_k,\qquad O_k\le O_{k+1},} \tag{14.11.2} \]

\[ \boxed{E_k-O_k=b_{2k+1}.} \tag{14.11.3} \]

En particular, \(O_0\le E_k\le E_0\) y \(O_0\le O_k\le E_0\) para todo \(k\): ambas sucesiones son acotadas. Sus límites existen, y cada uno de los valores \(O_k\) es menor o igual que el límite de \(O\), mientras cada \(E_k\) es mayor o igual que el límite de \(E\).

Demostración.

Las ecuaciones recursivas de las sumas parciales y la paridad de las potencias dan

\[ \begin{aligned} O_k&=E_k-b_{2k+1},\\ E_{k+1}&=O_k+b_{2k+2},\\ O_{k+1}&=E_{k+1}-b_{2k+3}. \end{aligned} \tag{14.11.4} \]

La no negatividad asegura \(O_k\le E_{k+1}\) y \(O_k\le E_k\). Además,

\[ E_{k+1}-E_k=-b_{2k+1}+b_{2k+2}\le0, \]

\[ O_{k+1}-O_k=b_{2k+2}-b_{2k+3}\ge0, \]

pues \(b\) es decreciente. Esto prueba (14.11.2); la primera ecuación de (14.11.4) prueba (14.11.3). La disminución de \(E\) y el crecimiento de \(O\), junto con \(O_0\le E_k\) y \(O_k\le E_k\le E_0\), muestran las cotas anunciadas sin recurrir a ninguna suma infinita.

Apliquemos ahora el teorema de convergencia monótona Teorema 13.7.3 — Teorema de convergencia monótona por separado a \(E\) y \(O\). Existen \(U,V\in\mathbb R\) con \(E_k\to U\) y \(O_k\to V\). La monotonía y el orden en el límite (Teorema 13.6.2 — Preservación del orden en el paso al límite) justifican \(E_k\ge U\) y \(O_k\le V\) para cada índice fijo: por ejemplo, \(E_j\le E_k\) para todo \(j\ge k\), y al pasar al límite de \(j\) obtenemos \(U\le E_k\); análogamente para \(O\). No se afirma aún que \(U=V\); eso necesitará \(b_n\to0\). ∎

Lectura geométrica. Las sumas de índice par descienden por escalones; las de índice impar ascienden. En cada etapa el intervalo \([O_k,E_k]\) tiene longitud \(b_{2k+1}\). Si esa longitud tiende a cero, los dos límites no pueden seguir siendo distintos.

Teorema 14.11.3 — Criterio de Leibniz

Sea \(b:\mathbb N\to\mathbb R\) una sucesión tal que, para todo \(n\in\mathbb N\),

\[ \boxed{0\le b_{n+1}\le b_n,\qquad b_n\longrightarrow0.} \tag{14.11.5} \]

Entonces la serie alternada

\[ \boxed{\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n b_n} \]

converge a un número real \(S\). Si \(s\) es su sucesión de sumas parciales, se verifica además

\[ \boxed{s_{2k+1}\le S\le s_{2k}\qquad(k\in\mathbb N).} \tag{14.11.6} \]

Demostración.

El lema Lema 14.11.2 — Las sumas parciales pares decrecen y las impares crecen proporciona los límites \(E_k\to U\) y \(O_k\to V\). Como \(2k+1\ge k\), la hipótesis \(b_n\to0\) implica \(b_{2k+1}\to0\): dado \(\varepsilon>0\), basta tomar el mismo umbral para \(k\) que el proporcionado para \(n\). La identidad finita (14.11.3) da

\[ E_k-O_k=b_{2k+1}\longrightarrow0. \]

El álgebra de límites del Capítulo 13 (Proposición 13.5.2 — Límite del opuesto y de una diferencia) muestra a la vez que \(E_k-O_k\to U-V\); por unicidad del límite, \(U-V=0\) y \(U=V\). Escribamos \(S:=U=V\). Las cotas individuales del lema se convierten inmediatamente en

\[ O_k\le S\le E_k. \]

Debemos comprobar aún la convergencia de la sucesión completa \(s\), no sólo la de sus dos familias de índices. Sea \(\varepsilon>0\). Como \(E_k\to S\) y \(O_k\to S\), existen índices \(K_E,K_O\) a partir de los cuales sus diferencias con \(S\) son menores que \(\varepsilon\). Tomemos \(K\) igual al mayor de estos dos naturales y \(N:=2K\). Si \(n\ge N\), la dicotomía de paridad escribe \(n=2k\) o \(n=2k+1\). En cualquiera de los dos casos \(k\ge K\): si \(k<K\), el crecimiento estricto de la multiplicación natural por \(2\) produciría \(2k+1<2K\), incompatible con \(n\ge2K\). Por ello

\[ |s_n-S|= \begin{cases} |E_k-S|<\varepsilon,&n=2k,\\ |O_k-S|<\varepsilon,&n=2k+1. \end{cases} \]

Hemos probado \(s_n\to S\), que es exactamente la definición de convergencia de la serie. La desigualdad (14.11.6) ya se obtuvo de los límites monótonos. El razonamiento sólo escoge dos umbrales para una tolerancia fijada, no una familia de testigos mediante el axioma de elección. ∎

Alcance. «Decreciente» significa aquí no creciente: se permiten igualdades y ceros. El teorema no declara que la serie de magnitudes \(\sum b_n\) converja. Precisamente por eso será útil para reconocer convergencia condicional.

Corolario 14.11.4 — Encierro de la suma y cota del primer término omitido

Bajo las hipótesis del criterio de Leibniz, escribamos \(S=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k b_k\) y \(s_n=\sum_{k=0}^{n}(-1)^k b_k\). Para todo \(n\in\mathbb N\),

\[ \boxed{\begin{cases}s_{n+1}\le S\le s_n,&n\text{ par},\\s_n\le S\le s_{n+1},&n\text{ impar}.\end{cases}} \tag{14.11.7} \]

\[ \boxed{0\le(-1)^n(s_n-S)\le b_{n+1},\qquad |S-s_n|\le b_{n+1}.} \tag{14.11.8} \]

La expresión \(R_n:=S-s_n\) designará localmente, sólo para esta serie ya convergente, el resto después de sumar hasta el índice \(n\). La desigualdad anterior estima ese número real, no una «suma infinita de cola» presupuesta sin demostración.

Demostración.

La paridad separa exhaustivamente los casos. Si \(n=2k\), por (14.11.6) tenemos \(O_k\le S\le E_k=s_n\) y \(O_k=s_{n+1}\). Restando \(S\) y utilizando (14.11.3),

\[ 0\le s_n-S\le E_k-O_k=b_{2k+1}=b_{n+1}. \]

Si \(n=2k+1\), entonces \(s_n=O_k\le S\). La demostración de Lema 14.11.2 — Las sumas parciales pares decrecen y las impares crecen dio \(S\le E_j\) para cada \(j\); en particular \(S\le E_{k+1}=s_{n+1}\). Como \(E_{k+1}=O_k+b_{2k+2}\),

\[ 0\le S-s_n\le E_{k+1}-O_k=b_{2k+2}=b_{n+1}. \]

En ambos casos \(S\) se encuentra entre las dos sumas parciales consecutivas. El signo de \(s_n-S\) es \((-1)^n\), de donde se obtiene la primera desigualdad de (14.11.8); la segunda se sigue de la definición de valor absoluto y de \(b_{n+1}\ge0\). ∎

Uso práctico de la estimación. Para garantizar \(|S-s_n|<\varepsilon\), basta encontrar un índice con \(b_{n+1}<\varepsilon\). La mera afirmación \(b_n\to0\) asegura que existen tales índices, pero no proporciona automáticamente un algoritmo para calcularlos a partir de una sucesión dada sin información efectiva.

La cota es óptima como constante universal. Con \(b_0=b_1=1\) y \(b_n=0\) para \(n\ge2\), la suma de la serie es \(0\), mientras \(s_0=1\) y \(b_1=1\); por tanto \(|S-s_0|=b_1\). No puede reemplazarse el factor \(1\) por una constante estrictamente menor válida para todas las series del teorema.

Corolario 14.11.5 — Caracterización para magnitudes decrecientes

Si \(b_n\ge0\) y \(b_{n+1}\le b_n\) para todos los naturales, entonces

\[ \boxed{\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n b_n\text{ converge} \iff b_n\longrightarrow0.} \tag{14.11.9} \]

Demostración.

La implicación de derecha a izquierda es Teorema 14.11.3 — Criterio de Leibniz. Para la recíproca, la convergencia de la serie implica \(a_n=(-1)^n b_n\to0\) por Teorema 14.2.4 — Condición necesaria de convergencia: el término general tiende a cero. Como \(|(-1)^n|=|-1|^n=1\) (potencias y Lema 14.3.3 — El valor absoluto conmuta con las potencias naturales) y \(b_n\ge0\), tenemos \(|a_n|=b_n\). El valor absoluto preserva límites (Proposición 13.5.5 — El valor absoluto preserva límites), de modo que \(b_n=|a_n|\to|0|=0\). ∎

El resultado no debe leerse como un criterio universal para series con signos mezclados: presupone exactamente la forma alternada y la monotonía de \(b\). Tampoco da una condición necesaria y suficiente de convergencia absoluta; esa última pregunta se refiere, por definición, a \(\sum b_n\).

Proposición 14.11.6 — La serie armónica alternada converge condicionalmente

Sea \(h_n:=\nu_{\mathbb R}(n+1)^{-1}\) la sucesión armónica de §14.2. La serie

\[ \boxed{\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\,\nu_{\mathbb R}(n+1)^{-1}} \tag{14.11.10} \]

converge, pero no converge absolutamente; es, por tanto, condicionalmente convergente.

Demostración.

Los numerales \(\nu_{\mathbb R}(n+1)\) son estrictamente positivos y \(\nu_{\mathbb R}(n+2)>\nu_{\mathbb R}(n+1)\) por la preservación del orden natural (Proposición 4.1.6 — Aritmética y orden de los numerales naturales). En un cuerpo ordenado, si \(0<x<y\), entonces \(0<y^{-1}<x^{-1}\): multiplicar \(x<y\) por el producto positivo \(x^{-1}y^{-1}\) da \(y^{-1}<x^{-1}\). En consecuencia \(h_n>0\) y \(h_{n+1}<h_n\). Además \(h_n\to0\) por Lema 13.10.2 — Los recíprocos de los numerales positivos tienden a cero. El criterio de Leibniz prueba la convergencia de (14.11.10).

En cambio, \(|(-1)^n h_n|=h_n\), y la serie armónica \(\sum h_n\) diverge por Proposición 14.2.7 — La condición \(a_n\to0\) no es suficiente: la serie armónica. Por definición de §14.8, la convergencia es condicional. No asignamos aquí un valor cerrado a la suma: su existencia se ha demostrado sin logaritmos ni integración. ∎

Contraste con §14.8. Allí construimos una serie condicional cuyo par de términos consecutivos se cancela exactamente. Aquí no hay cancelación exacta de todas las parejas, pero las sumas pares e impares quedan encajadas y su separación tiende a cero. Son dos demostraciones distintas de convergencia, no dos justificaciones intercambiables.

Proposición 14.11.7 — Alternancia y anulación sin decrecimiento no bastan

Existe una sucesión de magnitudes \(b:\mathbb N\to\mathbb R\) tal que \(b_n\ge0\) y \(b_n\to0\), pero \(b\) no es decreciente y la serie \(\sum(-1)^n b_n\) diverge. Por tanto el decrecimiento no puede suprimirse de Teorema 14.11.3 — Criterio de Leibniz dejando intactas las otras dos hipótesis.

Demostración.

Definamos por paridad, utilizando la sucesión armónica \(h\),

\[ \boxed{b_{2k}:=h_k,\qquad b_{2k+1}:=0.} \tag{14.11.11} \]

La dicotomía de paridad y la unicidad de su parámetro hacen de (14.11.11) una función total cuyo grafo existe por Separación en \(\mathbb N\times\mathbb R\). Sus valores son no negativos. Para cualquier \(\varepsilon>0\), el límite \(h_k\to0\) da \(K\) tal que \(h_k<\varepsilon\) para \(k\ge K\). Si \(n\ge2K\), la paridad obliga a escribir \(n=2k\) o \(n=2k+1\) con \(k\ge K\); en ambos casos \(|b_n|<\varepsilon\). Por tanto \(b_n\to0\).

No es decreciente: \(b_{2k+1}=0<h_{k+1}=b_{2k+2}\) para todo \(k\). Al formar \(a_n=(-1)^n b_n\), obtenemos

\[ a_{2k}=h_k,\qquad a_{2k+1}=0. \]

Si \(H_k=\sum_{j=0}^{k}h_j\), la definición recursiva de las sumas parciales y una inducción prueban

\[ \operatorname{PS}(a)_{2k}=\operatorname{PS}(a)_{2k+1}=H_k. \]

La serie armónica de términos no negativos diverge (Proposición 14.2.7 — La condición \(a_n\to0\) no es suficiente: la serie armónica). Si \(\operatorname{PS}(a)\) convergiera a \(S\), dado \(\varepsilon>0\) habría un umbral \(N\) para el que \(|\operatorname{PS}(a)_n-S|<\varepsilon\) siempre que \(n\ge N\); tomando \(n=2k+1\) y \(k\ge N\), deduciríamos \(H_k\to S\), contradicción. La serie alternada construida diverge. ∎

Dos errores que conviene evitar. Con \(b_n=1\) los signos alternan y las magnitudes decrecen en sentido no estricto, pero los términos no tienden a cero: la serie diverge por Corolario 14.2.5 — Criterio de divergencia por el término general. Con (14.11.11), en cambio, las magnitudes sí tienden a cero, pero un término nulo alterna con uno positivo; se pierde la monotonía y las sumas acumulan toda la serie armónica.

El criterio de Leibniz completa un segundo mecanismo de convergencia junto a la convergencia absoluta: una serie puede converger por cancelación controlada, aunque la serie de magnitudes diverja. La cota del resto cuantifica esta cancelación sin presuponer una suma infinita de cola. Las permutaciones estudiadas en §14.10 no deben confundirse con una teoría general de agrupaciones consecutivas, que no hemos introducido.

El último asunto pendiente concierne a los criterios de crecimiento: ¿qué podemos concluir si las raíces de los términos no tienen límite ordinario? El límite superior finito desarrollado para sucesiones acotadas permitirá formular una respuesta exacta.

14.12. Criterio de la raíz y límite superior finito

Los criterios precedentes se formularon primero mediante un límite ordinario de las raíces o, sin presuponer ese límite, mediante cotas que valen a partir de cierto índice. Hay sucesiones de raíces que oscilan y no tienen límite ordinario; para ellas, la frontera superior asintótica puede contener información decisiva. El Capítulo 13 ya construyó esa frontera mediante los supremos de las colas, pero únicamente para sucesiones acotadas. Mantendremos exactamente esa condición de dominio.

Teorema 14.12.1 — Criterio de la raíz mediante límite superior finito

Sea \(a\in\mathbb R^{\mathbb N}\) y sea \(r=R(a)\) la sucesión de raíces de Definición 14.9.4 — Sucesión de raíces asociada a una serie: \(r_0=0\) y, para cada natural \(n\ge1\),

\[ r_n=\sqrt[n]{|a_n|},\qquad r_n^{\,n}=|a_n|. \]

Supongamos que \(r\) es una sucesión real acotada. En virtud de Definición 13.12.2 — Límite inferior y límite superior existe el número real finito

\[ \boxed{L:=\limsup_{n\to\infty}r_n =\lim_{N\to\infty}U_N(r) =\inf\{U_N(r):N\in\mathbb N\}.} \tag{14.12.1} \]

Entonces \(L\ge0\) y se cumplen estas afirmaciones:

1. Si \(L<1\), la serie \(\sum_{n=0}^{\infty}a_n\) converge absolutamente.
2. Si \(L>1\), la serie \(\sum_{n=0}^{\infty}a_n\) diverge, porque \(a_n\) no tiende a cero.
3. Si \(L=1\), no se sigue ninguna de las dos conclusiones: existen series con raíces acotadas y límite superior igual a uno que, respectivamente, convergen y divergen.

Demostración.

La hipótesis de acotación legitima todas las envolventes \(U_N(r)=\sup T_N(r)\), y Teorema 13.12.1 — Convergencia de las envolventes de colas demuestra que convergen al número \(L\) de (14.12.1). Como \(r_n\ge0\) para todo \(n\), sus colas tienen a cero como cota inferior; por consiguiente \(U_N(r)\ge0\). La preservación del orden bajo límites (Teorema 13.6.2 — Preservación del orden en el paso al límite) da \(L\ge0\).

Caso \(L<1\). Definamos \(q:=(1+L)/2\). De \(0\le L<1\) obtenemos \(0<q<1\) y \(L<q\). La convergencia \(U_N(r)\to L\) implica que existe un índice natural \(N_0\) tal que

\[ U_N(r)<q\qquad(N\ge N_0). \]

Tomemos \(N\ge\max\{N_0,1\}\). Como \(r_n\in T_N(r)\) para todo \(n\ge N\), la definición del supremo asegura

\[ 0\le r_n\le U_N(r)<q \qquad(n\ge N). \tag{14.12.2} \]

Ésta es precisamente la cota eventual estrictamente subunitaria que autoriza la versión sin límite de Teorema 14.9.6 — Criterio de la raíz. Por tanto \(\sum |a_n|\) converge y la serie original converge absolutamente. En particular, no ha sido necesario que \(r_n\) tenga límite ordinario.

Caso \(L>1\). Fijemos \(c:=(1+L)/2\), de modo que \(1<c<L\). Para todo \(N\ge1\), la identidad \(L=\inf\{U_M(r):M\in\mathbb N\}\) garantiza

\[ U_N(r)\ge L>c. \]

Por la propiedad característica del supremo, existe un término de la cola \(T_N(r)\) estrictamente mayor que \(c\): de lo contrario, \(c\) sería cota superior de esa cola y \(U_N(r)\le c\), contradicción. Así,

\[ \forall N\ge1\quad\exists n\ge N:\quad r_n>c>1. \tag{14.12.3} \]

Para cada uno de estos índices, la identidad definitoria de la raíz y la monotonía de las potencias positivas de Lema 14.9.1 — Monotonía de las potencias positivas y cota de variación finita proporcionan

\[ |a_n|=r_n^{\,n}>c^n\ge1. \]

La desigualdad \(c^n\ge1\) se prueba por inducción a partir de \(c>1\) y \(c^0=1\). Si \(a_n\to0\), la definición de límite con tolerancia \(1\) obligaría a \(|a_n|<1\) para todos los índices suficientemente grandes, contradiciendo (14.12.3). Luego \(a_n\not\to0\), y el criterio de divergencia por el término general Corolario 14.2.5 — Criterio de divergencia por el término general concluye que la serie diverge. El razonamiento prueba directamente una afirmación con cuantificadores \(\forall N\,\exists n\); no se construye una sucesión de índices elegidos ni se utiliza Choice.

Caso \(L=1\). Proposición 14.9.9 — La frontera de ambos criterios es indecisiva construyó dos sucesiones positivas, la armónica \(h\) y la telescópica \(b\), cuyas respectivas series divergen y convergen, mientras sus sucesiones de raíces tienen ambas límite ordinario igual a \(1\). Toda sucesión convergente de números reales es acotada (resultado del Capítulo 13), por lo que las raíces de ambos ejemplos cumplen la presente hipótesis. Para una sucesión convergente a \(1\), los supremos de sus colas también convergen a \(1\): dado \(\varepsilon>0\), todos los términos de una cola están entre \(1-\varepsilon\) y \(1+\varepsilon\), luego también lo está su supremo. Así su límite superior vale \(1\). Los dos ejemplos satisfacen, pues, exactamente la frontera de este teorema y tienen comportamientos opuestos. ∎

Lectura de los cuantificadores. La desigualdad \(\limsup r_n<1\) proporciona una única cota \(q<1\) válida eventualmente para todos los índices. En cambio, \(\limsup r_n>1\) obliga a encontrar raíces mayores que una constante \(c>1\) arbitrariamente tarde, aunque otras raíces puedan ser pequeñas. En ambos casos la información basta; cuando el límite superior es uno, no basta.

Alcance fundacional. Este resultado no atribuye un valor \(+\infty\) a \(\limsup r_n\) si \(r\) no está acotada. Para sucesiones no acotadas siguen vigentes las versiones de cotas eventuales del criterio de §14.9; no extendemos aquí el dominio de Definición 13.12.2 — Límite inferior y límite superior. Los supremos de las colas son únicos: no se realiza una elección de valores, y tampoco se obtiene un procedimiento efectivo general para decidir la convergencia.

La teoría de series ha mostrado que el comportamiento de una sucesión de sumas depende de las cotas de sus términos, de la estructura de las colas y, en el caso de las series condicionales, también de su orden. El capítulo siguiente trasladará estas herramientas de límite y orden al estudio de los conjuntos de puntos de la recta real: comenzaremos por precisar, mediante el valor absoluto, qué significa que un punto esté cerca de otro.