Tratado de análisis — Capítulo 2: Los números enteros
Capítulo 2 — Los números enteros
← Volver al Tratado de análisis · Capítulo anterior · Capítulo siguiente
Parte I — Fundamentos y construcción de los reales
2.0. Por qué necesitamos los enteros
Los números naturales nos permiten contar y sumar cantidades, y su multiplicación y su orden han sido construidos sin apelar a ningún sistema numérico anterior. Sin embargo, la aritmética obtenida en el capítulo precedente posee una limitación esencial: la sustracción no está siempre disponible.
Si \(a,b\in\mathbb N\), una ecuación
\[ a+x=b \]
tiene solución natural precisamente cuando \(a\leq b\). En particular, no existe \(x\in\mathbb N\) que satisfaga
\[ 1+x=0. \]
No queremos remediar esta deficiencia introduciendo símbolos nuevos de manera puramente formal y declarando después, por decreto, cómo deben operar. Queremos construir un nuevo conjunto cuyos elementos contengan a la aritmética natural mediante una incrustación canónica y en el cual toda ecuación aditiva
\[ x+y=z \]
admita una solución única para \(y\).
La idea heurística es familiar. Una diferencia como \(a-b\) puede ser representada por el par \((a,b)\). Pero en este punto del tratado la expresión \(a-b\) no tiene todavía significado general en \(\mathbb N\). Por ello no la utilizaremos en ninguna definición. El par
\[ (a,b)\in\mathbb N\times\mathbb N \]
será solamente un candidato a representar una diferencia formal.
Hay, sin embargo, un problema inmediato: distintos pares deben representar la misma diferencia. Intuitivamente,
\[ (5,2),\qquad(4,1),\qquad(3,0) \]
deberían describir el mismo entero. La igualdad adecuada entre pares no puede expresarse recurriendo a la resta que precisamente estamos tratando de construir. Debe formularse únicamente con la suma natural ya disponible.
La construcción seguirá, por tanto, la cadena
\[ \mathbb N \longrightarrow \mathbb N\times\mathbb N \longrightarrow \text{diferencias formales} \longrightarrow \text{relación de equivalencia} \longrightarrow \mathbb Z \longrightarrow +,-,\cdot,\leq_{\mathbb Z}. \]
En ningún momento utilizaremos el axioma de elección.
2.1. Diferencias formales
Llamaremos diferencia formal a un elemento de \(\mathbb N\times\mathbb N\). Esta expresión es interpretativa: no introduce aún una operación de resta.
Si \((a,b)\) es una diferencia formal, pensaremos heurísticamente en ella como «\(a-b\)». Dos pares \((a,b)\) y \((c,d)\) deben representar el mismo valor cuando la igualdad
\[ a-b=c-d \]
sería válida en una aritmética donde la resta ya existiera. Trasladando todos los términos a sumas, la condición se convierte en
\[ a+d=b+c. \]
Ésta sí es una igualdad legítima en \(\mathbb N\).
Definición 2.1.1 — Relación de equivalencia entera
Sobre \(\mathbb N\times\mathbb N\) definimos la relación de equivalencia entera \(\sim_{\mathbb Z}\) por
\[ \boxed{ (a,b)\sim_{\mathbb Z}(c,d) \iff a+d=b+c. } \]
La notación \((a,b)\) es aquí una abreviatura tipográfica del par ordenado fijado en el capítulo fundacional.
La definición anterior produce la noción correcta de igualdad entre diferencias formales sólo si realmente es una relación de equivalencia. Esto debe demostrarse antes de formar el cociente.
Proposición 2.1.2 — \(\sim_{\mathbb Z}\) es una relación de equivalencia
La relación \(\sim_{\mathbb Z}\) es reflexiva, simétrica y transitiva sobre \(\mathbb N\times\mathbb N\).
Demostración.
Reflexividad. Para \(a,b\in\mathbb N\),
\[ a+b=b+a \]
por conmutatividad de la suma natural. Luego
\[ (a,b)\sim_{\mathbb Z}(a,b). \]
Simetría. Si
\[ (a,b)\sim_{\mathbb Z}(c,d), \]
entonces
\[ a+d=b+c. \]
Por simetría de la igualdad,
\[ c+b=d+a, \]
después de reordenar las sumas mediante conmutatividad. Por tanto
\[ (c,d)\sim_{\mathbb Z}(a,b). \]
Transitividad. Supongamos
\[ (a,b)\sim_{\mathbb Z}(c,d) \qquad\text{y}\qquad (c,d)\sim_{\mathbb Z}(e,f). \]
Entonces
\[ a+d=b+c \]
y
\[ c+f=d+e. \]
Sumando ambas igualdades y reordenando por asociatividad y conmutatividad,
\[ (a+f)+(c+d)=(b+e)+(c+d). \]
La cancelación aditiva en \(\mathbb N\) da
\[ a+f=b+e. \]
Por definición,
\[ (a,b)\sim_{\mathbb Z}(e,f). \]
Así \(\sim_{\mathbb Z}\) es una relación de equivalencia. ∎
La prueba merece una observación. En la transitividad no hemos escrito
\[ a-b=c-d=e-f, \]
porque esas restas todavía no existen en el nivel objeto. Todo el argumento se realiza con las operaciones ya construidas en \(\mathbb N\).
2.2. Construcción del conjunto \(\mathbb Z\)
Ahora sí podemos formar el cociente. Antes de hacerlo conviene verificar que todos los conjuntos involucrados existen dentro de ZF.
Proposición 2.2.1 — Existencia del cociente entero
Existe el conjunto cociente
\[ (\mathbb N\times\mathbb N)/{\sim_{\mathbb Z}}. \]
Demostración.
El producto cartesiano \(\mathbb N\times\mathbb N\) existe por la construcción general establecida en el capítulo fundacional. En §2.1 demostramos que \(\sim_{\mathbb Z}\) es una relación de equivalencia sobre ese conjunto. La existencia del cociente es entonces una instancia de la construcción general de conjuntos cociente desarrollada en el Capítulo 0. No interviene el axioma de elección. ∎
Definición 2.2.2 — Conjunto de los números enteros
Definimos
\[ \boxed{ \mathbb Z:= (\mathbb N\times\mathbb N)/{\sim_{\mathbb Z}}. } \]
Un número entero es, por definición, un elemento de \(\mathbb Z\).
Notación 2.2.3 — Clases enteras
Para \((a,b)\in\mathbb N\times\mathbb N\) escribiremos
\[ [(a,b)]_{\mathbb Z} \]
para su clase entera, es decir, su clase de equivalencia módulo \(\sim_{\mathbb Z}\). Cuando no haya riesgo de confusión, abreviaremos a
\[ [(a,b)]. \]
La notación \([(a,b)]\) no designa el par \((a,b)\): designa el conjunto de todas las diferencias formales equivalentes a él.
Proposición 2.2.4 — Criterio de igualdad de clases enteras
Para \(a,b,c,d\in\mathbb N\),
\[ \boxed{ [(a,b)]=[(c,d)] \iff a+d=b+c. } \]
Demostración.
Por el teorema general de igualdad de clases de equivalencia,
\[ [(a,b)]=[(c,d)] \iff (a,b)\sim_{\mathbb Z}(c,d). \]
La definición de \(\sim_{\mathbb Z}\) transforma la condición de la derecha exactamente en
\[ a+d=b+c. \]
∎
Tenemos ya el conjunto de los enteros, pero todavía no una aritmética sobre él. Las operaciones deberán definirse sobre clases, y esto exige demostrar que no dependen del representante escogido.
2.3. Suma de enteros
En los representantes, la suma natural de diferencias formales es la operación esperable:
\[ (a,b)+(c,d)\leadsto(a+c,b+d). \]
La intuición proviene de la identidad informal
\[ (a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d), \]
pero la definición real utilizará solamente suma de naturales.
Antes de descender la operación al cociente, necesitaremos una versión binaria del principio de definición sobre clases.
Teorema 2.3.1 — Principio de definición binaria sobre clases
Glosario: principio de definición binaria sobre clases
Sea \(\sim\) una relación de equivalencia sobre un conjunto \(A\), sea \(B\) un conjunto y sea
\[ \psi:A\times A\to B \]
una función tal que, siempre que
\[ a\sim a' \qquad\text{y}\qquad b\sim b', \]
se tenga
\[ \psi(a,b)=\psi(a',b'). \]
Entonces existe una única función
\[ \overline{\psi}: (A/{\sim})\times(A/{\sim})\to B \]
tal que
\[ \boxed{ \overline{\psi}([a],[b])=\psi(a,b). } \]
Demostración.
Sea
\[ Q:=A/{\sim}. \]
Como \(Q\) y \(B\) son conjuntos, también existen \(Q\times Q\) y \((Q\times Q)\times B\).
Definimos \(G\subseteq(Q\times Q)\times B\) por
\[ \langle\langle C,D\rangle,y\rangle\in G \]
si y sólo si existen \(a,b\in A\) tales que
\[ C=[a],\qquad D=[b],\qquad y=\psi(a,b). \]
La existencia de \(G\) se obtiene por separación.
Debemos probar que \(G\) es el grafo de una función con dominio \(Q\times Q\).
Sea \(\langle C,D\rangle\in Q\times Q\). Por definición de cociente existen \(a,b\in A\) con
\[ C=[a], \qquad D=[b]. \]
Entonces
\[ \langle\langle C,D\rangle,\psi(a,b)\rangle\in G, \]
así que existe al menos un valor.
Para la unicidad, supongamos
\[ C=[a]=[a'], \qquad D=[b]=[b']. \]
Por el criterio general de igualdad de clases de equivalencia,
\[ a\sim a', \qquad b\sim b'. \]
La hipótesis de invariancia da
\[ \psi(a,b)=\psi(a',b'). \]
Por tanto el valor asociado a \(\langle C,D\rangle\) es único. Así \(G\) es el grafo de una función
\[ \overline{\psi}:Q\times Q\to B. \]
La fórmula
\[ \overline{\psi}([a],[b])=\psi(a,b) \]
es inmediata de la definición de \(G\).
Finalmente, cualquier otra función \(F:Q\times Q\to B\) que satisfaga esa misma fórmula coincide con \(\overline{\psi}\) en todo par de clases, y por el criterio de igualdad de funciones es igual a ella. ∎
Este teorema no crea ninguna elección de representantes. Precisamente evita tener que escoger uno de manera global.
Definición 2.3.2 — Suma de diferencias formales
Definimos
\[ \sigma_{\mathbb Z}: (\mathbb N\times\mathbb N)\times(\mathbb N\times\mathbb N) \to \mathbb N\times\mathbb N \]
por
\[ \boxed{ \sigma_{\mathbb Z}\bigl((a,b),(c,d)\bigr) := (a+c,b+d). } \]
Proposición 2.3.3 — Compatibilidad de la suma con \(\sim_{\mathbb Z}\)
Si
\[ (a,b)\sim_{\mathbb Z}(a',b') \]
y
\[ (c,d)\sim_{\mathbb Z}(c',d'), \]
entonces
\[ (a+c,b+d)\sim_{\mathbb Z}(a'+c',b'+d'). \]
Demostración.
Las hipótesis son
\[ a+b'=b+a', \]
\[ c+d'=d+c'. \]
Queremos demostrar
\[ (a+c)+(b'+d')=(b+d)+(a'+c'). \]
Por asociatividad y conmutatividad,
\[ (a+c)+(b'+d') = (a+b')+(c+d'). \]
Sustituyendo las igualdades anteriores,
\[ (a+b')+(c+d') = (b+a')+(d+c'). \]
Reordenando nuevamente,
\[ (b+a')+(d+c') = (b+d)+(a'+c'). \]
Ésta es exactamente la condición requerida. ∎
Definición 2.3.4 — Suma en \(\mathbb Z\)
Glosario: suma entera
La composición de \(\sigma_{\mathbb Z}\) con la proyección canónica
\[ \pi_{\mathbb Z}: \mathbb N\times\mathbb N\to\mathbb Z \]
es invariante bajo cambio de representantes en ambos argumentos. Por el Teorema 2.3.1 induce una única función
\[ +_{\mathbb Z}:\mathbb Z\times\mathbb Z\to\mathbb Z \]
tal que
\[ \boxed{ [(a,b)]+_{\mathbb Z}[(c,d)] = [(a+c,b+d)]. } \]
Cuando el tipo sea inequívoco escribiremos simplemente \(x+y\).
La buena definición no está contenida en la fórmula: está contenida en la Proposición 2.3.3 y en el principio binario de descenso. Desde este punto la expresión \(x+y\) para \(x,y\in\mathbb Z\) es una operación genuina sobre clases.
2.4. Cero, opuesto y sustracción
Notación 2.4.1 — Cero entero
Glosario: cero entero
Definimos
\[ \boxed{ 0_{\mathbb Z}:=[(0,0)]. } \]
No identificamos todavía este objeto con el \(0\in\mathbb N\). Son objetos pertenecientes a sistemas distintos.
Definición 2.4.2 — Opuesto
Glosario: opuesto entero
Sobre representantes consideramos la función de intercambio
\[ \tau:\mathbb N\times\mathbb N\to\mathbb N\times\mathbb N, \qquad \tau(a,b):=(b,a). \]
La operación de opuesto en \(\mathbb Z\) será la función inducida por \(\tau\) después de proyectar al cociente.
Proposición 2.4.3 — Buena definición del opuesto
Si
\[ (a,b)\sim_{\mathbb Z}(c,d), \]
entonces
\[ (b,a)\sim_{\mathbb Z}(d,c). \]
Por tanto existe una única función
\[ -:\mathbb Z\to\mathbb Z \]
satisfaciendo
\[ \boxed{ -[(a,b)]=[(b,a)]. } \]
Demostración.
La hipótesis
\[ (a,b)\sim_{\mathbb Z}(c,d) \]
equivale a
\[ a+d=b+c. \]
La condición
\[ (b,a)\sim_{\mathbb Z}(d,c) \]
exige
\[ b+c=a+d, \]
que es la misma igualdad escrita en el orden contrario.
Para aplicar con precisión el principio de definición sobre clases, sea
\[ \pi_{\mathbb Z}:\mathbb N\times\mathbb N\to\mathbb Z, \qquad \pi_{\mathbb Z}(a,b):=[(a,b)] \]
la proyección canónica, y definamos
\[ \varphi:=\pi_{\mathbb Z}\circ\tau. \]
Entonces
\[ \varphi(a,b)=[(b,a)]. \]
La compatibilidad que acabamos de demostrar dice exactamente que
\[ (a,b)\sim_{\mathbb Z}(c,d) \quad\Longrightarrow\quad \varphi(a,b)=\varphi(c,d). \]
Por el principio general de definición sobre clases existe una única función
\[ -:\mathbb Z\to\mathbb Z \]
tal que
\[ -([(a,b)])=\varphi(a,b)=[(b,a)]. \]
Ésta es la operación de opuesto anunciada. ∎
Proposición 2.4.4 — Leyes del grupo aditivo
Glosario: grupo abeliano
Para todos \(x,y,z\in\mathbb Z\):
- \((x+y)+z=x+(y+z)\);
- \(x+y=y+x\);
- \(x+0_{\mathbb Z}=x=0_{\mathbb Z}+x\);
- \(x+(-x)=0_{\mathbb Z}=(-x)+x\).
En consecuencia, la suma convierte a \(\mathbb Z\) en un grupo abeliano.
Demostración.
Sean
\[ x=[(a,b)],\qquad y=[(c,d)],\qquad z=[(e,f)]. \]
Para la asociatividad,
\[ (x+y)+z = [(a+c,b+d)]+[(e,f)] = [(a+c)+e,(b+d)+f], \]
mientras que
\[ x+(y+z) = [(a,b)]+[(c+e,d+f)] = [(a+(c+e),b+(d+f))]. \]
Las dos clases son iguales porque la suma natural es asociativa.
Para la conmutatividad,
\[ x+y=[(a+c,b+d)]=[(c+a,d+b)]=y+x. \]
Para el neutro,
\[ x+0_{\mathbb Z} = [(a+0,b+0)] = [(a,b)] = x, \]
y el otro lado se sigue de conmutatividad.
Finalmente,
\[ x+(-x) = [(a,b)]+[(b,a)] = [(a+b,b+a)]. \]
Por conmutatividad natural,
\[ a+b=b+a, \]
de modo que el criterio de igualdad de clases enteras da
\[ [(a+b,b+a)]=[(0,0)]=0_{\mathbb Z}. \]
La igualdad \((-x)+x=0_{\mathbb Z}\) se sigue de conmutatividad. ∎
Éste es el primer punto en que la construcción cumple la promesa que motivó al capítulo: todo entero posee un opuesto aditivo construido, no postulado.
Definición 2.4.5 — Sustracción en \(\mathbb Z\)
Glosario: sustracción entera
Para \(x,y\in\mathbb Z\) definimos
\[ \boxed{ x-y:=x+(-y). } \]
Ahora, y sólo ahora, el símbolo de sustracción queda disponible como operación total sobre \(\mathbb Z\).
Proposición 2.4.6 — Resolución universal de ecuaciones aditivas
Para cualesquiera \(x,z\in\mathbb Z\) existe un único \(y\in\mathbb Z\) tal que
\[ x+y=z. \]
Ese entero es
\[ \boxed{ y=z-x. } \]
Demostración.
Por definición,
\[ z-x=z+(-x). \]
Entonces, usando asociatividad y conmutatividad,
\[ x+(z-x) = x+(z+(-x)) = z+(x+(-x)) = z+0_{\mathbb Z} = z. \]
Existe, por tanto, una solución.
Si \(x+y=z\), sumamos \(-x\) a ambos lados:
\[ (-x)+(x+y)=(-x)+z. \]
Por asociatividad,
\[ ((-x)+x)+y=(-x)+z, \]
y entonces
\[ y=(-x)+z=z+(-x)=z-x. \]
La solución es única. ∎
La sustracción ha dejado de ser una operación parcial. Esto es exactamente lo que \(\mathbb N\) no podía proporcionar.
2.5. Multiplicación de enteros
La multiplicación debe ser compatible con la interpretación heurística de los pares como diferencias. Formalmente, la identidad
\[ (a-b)(c-d) = (ac+bd)-(ad+bc) \]
sugiere la regla
\[ (a,b)(c,d):=(ac+bd,ad+bc). \]
La fórmula utiliza sólo suma y producto de naturales, por lo que es legítima en nuestro nivel actual.
Definición 2.5.1 — Producto de diferencias formales
Definimos
\[ \mu_{\mathbb Z}: (\mathbb N\times\mathbb N)\times(\mathbb N\times\mathbb N) \to \mathbb N\times\mathbb N \]
por
\[ \boxed{ \mu_{\mathbb Z}\bigl((a,b),(c,d)\bigr) = (ac+bd,\;ad+bc). } \]
Proposición 2.5.2 — Compatibilidad del producto con \(\sim_{\mathbb Z}\)
Si
\[ (a,b)\sim_{\mathbb Z}(a',b') \]
y
\[ (c,d)\sim_{\mathbb Z}(c',d'), \]
entonces
\[ (ac+bd,ad+bc) \sim_{\mathbb Z} (a'c'+b'd',a'd'+b'c'). \]
Demostración.
Demostraremos primero compatibilidad al modificar solamente el primer factor.
Supongamos
\[ (a,b)\sim_{\mathbb Z}(a',b'), \]
de modo que
\[ a+b'=b+a'. \]
Fijemos \((c,d)\). Debemos probar
\[ (ac+bd,ad+bc) \sim_{\mathbb Z} (a'c+b'd,a'd+b'c). \]
Por definición de \(\sim_{\mathbb Z}\) esto equivale a
\[ (ac+bd)+(a'd+b'c) = (ad+bc)+(a'c+b'd). \]
El miembro izquierdo puede reagruparse como
\[ c(a+b')+d(b+a'), \]
mientras que el derecho se reagrupa como
\[ d(a+b')+c(b+a'). \]
Como \(a+b'=b+a'\), ambos miembros son iguales a
\[ c(a+b')+d(a+b') \]
salvo el orden de los sumandos. Por conmutatividad de la suma, son iguales. Así el producto es compatible con cambio de representante en el primer factor.
La regla \(\mu_{\mathbb Z}\) es simétrica en sus dos argumentos:
\[ \mu_{\mathbb Z}((a,b),(c,d)) = \mu_{\mathbb Z}((c,d),(a,b)), \]
pues el producto y la suma naturales son conmutativos. Por tanto la compatibilidad en el segundo factor se reduce al caso recién demostrado.
Partiendo ahora de
\[ (a,b)\sim_{\mathbb Z}(a',b') \]
y
\[ (c,d)\sim_{\mathbb Z}(c',d'), \]
obtenemos sucesivamente
\[ \mu_{\mathbb Z}((a,b),(c,d)) \sim_{\mathbb Z} \mu_{\mathbb Z}((a',b'),(c,d)) \]
y
\[ \mu_{\mathbb Z}((a',b'),(c,d)) \sim_{\mathbb Z} \mu_{\mathbb Z}((a',b'),(c',d')). \]
La transitividad de \(\sim_{\mathbb Z}\) concluye la prueba. ∎
Definición 2.5.3 — Multiplicación en \(\mathbb Z\)
Glosario: multiplicación entera
Por el principio binario de definición sobre clases existe una única función
\[ \cdot_{\mathbb Z}:\mathbb Z\times\mathbb Z\to\mathbb Z \]
tal que
\[ \boxed{ [(a,b)]\cdot_{\mathbb Z}[(c,d)] = [(ac+bd,\;ad+bc)]. } \]
Cuando el contexto determine el sistema numérico, escribiremos \(xy\) o \(x\cdot y\).
Notación 2.5.4 — Unidad entera
Glosario: unidad entera
Definimos
\[ \boxed{ 1_{\mathbb Z}:=[(1,0)]. } \]
De nuevo, \(1_{\mathbb Z}\) y el natural \(1\) no han sido identificados.
2.6. Estructura algebraica
Ya hemos construido la suma y la multiplicación de enteros como operaciones genuinas sobre clases. Falta demostrar que estas operaciones satisfacen las leyes algebraicas que permitirán reconocer la estructura obtenida.
Proposición 2.6.1 — Leyes multiplicativas y distributivas
Para todos \(x,y,z\in\mathbb Z\):
- \((xy)z=x(yz)\);
- \(xy=yx\);
- \(1_{\mathbb Z}x=x=x1_{\mathbb Z}\);
- \(x(y+z)=xy+xz\);
- \((x+y)z=xz+yz\).
Demostración.
Sean
\[ x=[(a,b)],\qquad y=[(c,d)],\qquad z=[(e,f)]. \]
Conmutatividad. Directamente,
\[ xy = [(ac+bd,ad+bc)] = [(ca+db,cb+da)] = yx. \]
Unidad. Tenemos
\[ 1_{\mathbb Z}x = [(1,0)][(a,b)] = [(1a+0b,1b+0a)] = [(a,b)] = x, \]
y el otro lado se sigue de conmutatividad.
Asociatividad. El primer componente de \((xy)z\) es
\[ (ac+bd)e+(ad+bc)f = ace+bde+adf+bcf, \]
mientras que el primer componente de \(x(yz)\) es
\[ a(ce+df)+b(cf+de) = ace+adf+bcf+bde. \]
Son iguales por las leyes de \(\mathbb N\).
El segundo componente de \((xy)z\) es
\[ (ac+bd)f+(ad+bc)e = acf+bdf+ade+bce, \]
y el segundo componente de \(x(yz)\) es
\[ a(cf+de)+b(ce+df) = acf+ade+bce+bdf. \]
También son iguales. Por tanto las dos clases coinciden.
Distributividad. Es suficiente probar la distributividad por un lado; la otra se deducirá de conmutatividad.
Como
\[ y+z=[(c+e,d+f)], \]
tenemos
\[ x(y+z) = [(a(c+e)+b(d+f),\;a(d+f)+b(c+e))]. \]
Distribuyendo en \(\mathbb N\),
\[ x(y+z) = [(ac+ae+bd+bf,\;ad+af+bc+be)]. \]
Por otra parte,
\[ xy+xz = [(ac+bd,ad+bc)]+[(ae+bf,af+be)] \]
\[ = [(ac+bd+ae+bf,\;ad+bc+af+be)], \]
que es la misma clase, incluso con componentes literalmente iguales después de reordenar sumas naturales. La distributividad por el otro lado se sigue de la conmutatividad del producto. ∎
Convención 2.6.2 — Terminología algebraica
Para evitar que la terminología estructural introduzca hipótesis silenciosas, fijamos aquí las convenciones que se usarán en el tratado.
Un grupo abeliano es un conjunto \(G\) provisto de una operación binaria \(+\) y de un elemento \(0_G\) tales que la operación es asociativa y conmutativa, \(0_G\) es neutro y todo elemento \(x\in G\) posee un opuesto aditivo \(-x\).
Un anillo será un conjunto \(R\) provisto de dos operaciones binarias \(+\) y \(\cdot\), y de elementos \(0_R\) y \(1_R\), tal que \((R,+,0_R)\) es un grupo abeliano, la multiplicación es asociativa, \(1_R\) es unidad multiplicativa y la multiplicación distribuye respecto de la suma por ambos lados. En particular, en este tratado los anillos tienen unidad.
Un anillo conmutativo es un anillo cuya multiplicación es conmutativa.
Un dominio de integridad es un anillo conmutativo tal que \(0_R\neq1_R\) y
\[ xy=0_R\Longrightarrow x=0_R\ \text{o}\ y=0_R. \]
La conmutatividad de la multiplicación no queda incluida en la palabra «anillo» y se enunciará cuando corresponda.
Teorema 2.6.3 — Primera estructura de anillo de \(\mathbb Z\)
Con las operaciones ya construidas, y con \(0_{\mathbb Z}\) y \(1_{\mathbb Z}\), el sistema
\[ \boxed{ (\mathbb Z,+,\cdot,0_{\mathbb Z},1_{\mathbb Z}) } \]
es un anillo conmutativo con identidad.
Demostración.
Las leyes del grupo aditivo demostradas en §2.4 establecen que \((\mathbb Z,+,0_{\mathbb Z})\) es un grupo abeliano. La Proposición 2.6.1 demuestra asociatividad y conmutatividad del producto, existencia de la unidad multiplicativa y distributividad respecto de la suma. Éstas son exactamente las leyes exigidas por la convención anterior. ∎
Este teorema resume una estructura, pero no reemplaza sus pruebas. La información matemática está en las proposiciones que lo preceden.
2.7. Incrustación canónica de \(\mathbb N\)
Hasta ahora \(\mathbb N\) y \(\mathbb Z\) son conjuntos distintos. Para demostrar que los enteros extienden realmente a los naturales debemos construir una función que preserve su aritmética.
Definición 2.7.1 — Incrustación natural en los enteros
Glosario: incrustación canónica
Definimos
\[ \iota_{\mathbb N}^{\mathbb Z}:\mathbb N\to\mathbb Z \]
por
\[ \boxed{ \iota_{\mathbb N}^{\mathbb Z}(n):=[(n,0)]. } \]
Abreviaremos \(\iota_{\mathbb N}^{\mathbb Z}\) a \(\iota\) cuando no haya ambigüedad.
Proposición 2.7.2 — La incrustación es inyectiva y preserva la aritmética
Para \(m,n\in\mathbb N\):
- \(\iota\) es inyectiva;
- \(\iota(0)=0_{\mathbb Z}\);
- \(\iota(1)=1_{\mathbb Z}\);
- \(\iota(m+n)=\iota(m)+\iota(n)\);
- \(\iota(mn)=\iota(m)\iota(n)\).
Demostración.
Si
\[ \iota(m)=\iota(n), \]
entonces
\[ [(m,0)]=[(n,0)]. \]
Por el criterio de igualdad de clases enteras,
\[ m+0=0+n, \]
y por las leyes de la suma natural,
\[ m=n. \]
Así \(\iota\) es inyectiva.
Además,
\[ \iota(0)=[(0,0)]=0_{\mathbb Z}, \]
\[ \iota(1)=[(1,0)]=1_{\mathbb Z}. \]
Para la suma,
\[ \iota(m)+\iota(n) = [(m,0)]+[(n,0)] = [(m+n,0)] = \iota(m+n). \]
Para el producto,
\[ \iota(m)\iota(n) = [(m,0)][(n,0)] = [(mn+0,\;0+0)] = [(mn,0)] = \iota(mn). \]
∎
Hemos demostrado ahora, y no antes, que la aritmética natural se reproduce fielmente dentro de \(\mathbb Z\). Todavía no escribiremos literalmente
\[ \mathbb N\subseteq\mathbb Z. \]
La relación canónica entre ambos sistemas es la función inyectiva \(\iota\).
2.8. Forma normal con signo y ausencia de divisores de cero
La representación de un entero por un par no es única, pero todo entero puede reducirse a una forma especialmente simple: o bien \([(n,0)]\), o bien \([(0,n)]\). Este resultado convierte la intuición de «positivo o negativo» en un teorema.
Teorema 2.8.1 — Forma normal con signo
Glosario: forma normal con signo
Para todo \(z\in\mathbb Z\), exactamente una de las siguientes alternativas es verdadera:
- \(z=0_{\mathbb Z}\);
- existe un único \(n\in\mathbb N\) con \(n\neq0\) tal que \(z=\iota(n)\);
- existe un único \(n\in\mathbb N\) con \(n\neq0\) tal que \(z=-\iota(n)\).
Demostración.
Sea
\[ z=[(a,b)]. \]
Aplicamos la tricotomía decidible de los naturales a \(a\) y \(b\).
Caso \(a=b\). El criterio de igualdad de clases da
\[ [(a,b)]=[(0,0)]=0_{\mathbb Z}. \]
Caso \(b<a\). Entonces \(b\leq a\), de modo que existe \(n\in\mathbb N\) con
\[ a=b+n. \]
Además \(n\neq0\): si \(n=0\), tendríamos \(a=b\), contradicción. El criterio de igualdad de clases da
\[ [(a,b)]=[(n,0)]=\iota(n). \]
Caso \(a<b\). Existe \(n\in\mathbb N\) con
\[ b=a+n, \]
y nuevamente \(n\neq0\). Entonces
\[ [(a,b)]=[(0,n)]=-\iota(n). \]
Queda la unicidad dentro de las dos formas no nulas y su exclusión mutua. Si \(\iota(m)=\iota(n)\), la inyectividad de \(\iota\) da \(m=n\). Si \(-\iota(m)=-\iota(n)\), el criterio de igualdad de clases aplicado a \([(0,m)]\) y \([(0,n)]\) da \(m=n\).
Si \(\iota(n)=0_{\mathbb Z}\) o \(-\iota(n)=0_{\mathbb Z}\), el mismo criterio fuerza \(n=0\). Finalmente, si \(m,n\neq0\) y
\[ \iota(m)=-\iota(n), \]
entonces \([(m,0)]=[(0,n)]\), y por tanto \(m+n=0\). La propiedad de suma nula en \(\mathbb N\) fuerza \(m=n=0\), contradicción.
Como la tricotomía de \(a,b\) es decidible y exhaustiva, las tres formas anteriores son exhaustivas y mutuamente excluyentes. ∎
Proposición 2.8.2 — \(0_{\mathbb Z}\neq1_{\mathbb Z}\)
Se tiene
\[ 0_{\mathbb Z}\neq1_{\mathbb Z}. \]
Demostración.
Si \([(0,0)]=[(1,0)]\), el criterio de igualdad daría
\[ 0+0=0+1, \]
es decir,
\[ 0=1. \]
Pero \(1=S(0)\) y las propiedades de Peano afirman que \(0\) no es sucesor. Contradicción. ∎
Proposición 2.8.3 — Ausencia de divisores de cero
Para \(x,y\in\mathbb Z\),
\[ xy=0_{\mathbb Z} \quad\Longrightarrow\quad x=0_{\mathbb Z} \ \text{o}\ y=0_{\mathbb Z}. \]
Demostración.
Supongamos \(xy=0_{\mathbb Z}\) y apliquemos el Teorema 2.8.1 a \(x\) y a \(y\).
Si alguna de las dos formas normales es \(0_{\mathbb Z}\), la conclusión es inmediata. Quedan sólo los cuatro casos en que existen \(m,n\in\mathbb N\), ambos no nulos, y
\[ x\in\{\iota(m),-\iota(m)\}, \qquad y\in\{\iota(n),-\iota(n)\}. \]
Por la definición del producto entero, en esos cuatro casos \(xy\) es respectivamente una de las clases
\[ \iota(mn) \qquad\text{o}\qquad -\iota(mn). \]
Como \(m\neq0\) y \(n\neq0\), el producto nulo en \(\mathbb N\) da \(mn\neq0\). La forma normal implica entonces que ni \(\iota(mn)\) ni \(-\iota(mn)\) es \(0_{\mathbb Z}\), contradiciendo \(xy=0_{\mathbb Z}\).
Por tanto los cuatro casos no nulos son imposibles y necesariamente
\[ x=0_{\mathbb Z} \quad\text{o}\quad y=0_{\mathbb Z}. \]
∎
Teorema 2.8.4 — \(\mathbb Z\) es un dominio de integridad
El anillo conmutativo \(\mathbb Z\) es un dominio de integridad.
Demostración.
En §2.6 demostramos que \(\mathbb Z\) es un anillo conmutativo con identidad. La Proposición 2.8.2 demuestra \(0_{\mathbb Z}\neq1_{\mathbb Z}\) y la Proposición 2.8.3 demuestra la ausencia de divisores de cero. Éstas son exactamente las condiciones fijadas en la convención de dominio de integridad. ∎
2.9. Orden de los enteros
No definiremos el orden de \(\mathbb Z\) recurriendo a una noción previa de «número positivo» no construida. Utilizaremos la incrustación de \(\mathbb N\) y la estructura aditiva ya demostrada.
La idea es la misma que en los naturales:
\[ m\leq n \iff \exists k\in\mathbb N\;(n=m+k). \]
En \(\mathbb Z\) diremos que \(x\) precede a \(y\) cuando la diferencia de \(y\) respecto de \(x\) es la imagen de algún natural.
Definición 2.9.1 — Relación de orden entera
Glosario: orden entero
Para \(x,y\in\mathbb Z\) definimos
\[ \boxed{ x\leq_{\mathbb Z} y \iff \exists n\in\mathbb N\; \bigl(y=x+\iota(n)\bigr). } \]
La relación acaba de ser definida; todavía debemos demostrar que es un orden total.
Proposición 2.9.2 — Criterio de orden mediante representantes
Para \(a,b,c,d\in\mathbb N\),
\[ \boxed{ [(a,b)]\leq_{\mathbb Z}[(c,d)] \iff a+d\leq c+b. } \]
El orden del miembro derecho es el orden ya construido en \(\mathbb N\).
Demostración.
Supongamos primero
\[ [(a,b)]\leq_{\mathbb Z}[(c,d)]. \]
Por definición existe \(n\in\mathbb N\) tal que
\[ [(c,d)]=[(a,b)]+\iota(n). \]
Por la fórmula de la suma y la definición de \(\iota\),
\[ [(c,d)]=[(a+n,b)]. \]
El criterio de igualdad de clases da
\[ c+b=(a+n)+d. \]
Reordenando,
\[ c+b=(a+d)+n. \]
Por definición del orden natural,
\[ a+d\leq c+b. \]
Recíprocamente, supongamos
\[ a+d\leq c+b. \]
Existe entonces \(n\in\mathbb N\) tal que
\[ c+b=(a+d)+n. \]
Por asociatividad y conmutatividad,
\[ c+b=(a+n)+d. \]
El criterio de igualdad de clases produce
\[ [(c,d)]=[(a+n,b)]. \]
Pero
\[ [(a+n,b)] = [(a,b)]+[(n,0)] = [(a,b)]+\iota(n). \]
Por definición,
\[ [(a,b)]\leq_{\mathbb Z}[(c,d)]. \]
∎
Esta caracterización muestra, en particular, que el orden es independiente de los representantes. No se ha definido una condición sobre pares para luego confiar en que descienda al cociente: el orden se definió directamente en \(\mathbb Z\), y ahora hemos demostrado el criterio equivalente sobre cualquier representación.
Nota de decidibilidad. Para representantes \([(a,b)]\) y \([(c,d)]\), tanto la igualdad como el orden entero se reducen a comparaciones de naturales:
\[ [(a,b)]=[(c,d)]\iff a+d=b+c, \]
\[ [(a,b)]\leq_{\mathbb Z}[(c,d)]\iff a+d\leq c+b. \]
Como igualdad y orden en \(\mathbb N\) son decidibles por la Proposición 1.6.7, igualdad y orden en \(\mathbb Z\) son decidibles sobre estos nombres finitos.
Teorema 2.9.3 — El orden entero es total
La relación \(\leq_{\mathbb Z}\) es un orden total sobre \(\mathbb Z\).
Demostración.
Reflexividad. Como
\[ \iota(0)=0_{\mathbb Z}, \]
para todo \(x\in\mathbb Z\),
\[ x=x+0_{\mathbb Z}=x+\iota(0). \]
Luego \(x\leq_{\mathbb Z}x\).
Transitividad. Si \(x\leq_{\mathbb Z}y\) y \(y\leq_{\mathbb Z}z\), existen \(m,n\in\mathbb N\) tales que
\[ y=x+\iota(m), \qquad z=y+\iota(n). \]
Entonces
\[ z=x+\iota(m)+\iota(n)=x+\iota(m+n), \]
porque \(\iota\) preserva la suma. Así \(x\leq_{\mathbb Z}z\).
Antisimetría. Supongamos \(x\leq_{\mathbb Z}y\) y \(y\leq_{\mathbb Z}x\). Existen \(m,n\in\mathbb N\) con
\[ y=x+\iota(m), \qquad x=y+\iota(n). \]
Sustituyendo,
\[ x=x+\iota(m+n). \]
Sumando \(-x\) y usando la inyectividad de \(\iota\),
\[ m+n=0. \]
La suma nula en \(\mathbb N\) da \(m=n=0\), y por tanto \(y=x\).
Totalidad. Sean
\[ x=[(a,b)], \qquad y=[(c,d)]. \]
Por totalidad del orden natural, al menos una de
\[ a+d\leq c+b, \qquad c+b\leq a+d \]
se cumple. Por la Proposición 2.9.2, esto equivale a \(x\leq_{\mathbb Z}y\) o \(y\leq_{\mathbb Z}x\). ∎
A partir de este teorema, \(<_{\mathbb Z}\) es el orden estricto asociado a \(\leq_{\mathbb Z}\).
Proposición 2.9.4 — Compatibilidad del orden con suma y producto
Para \(x,y,z\in\mathbb Z\):
- si \(x\leq_{\mathbb Z}y\), entonces \[ x+z\leq_{\mathbb Z}y+z; \]
- si \(x\leq_{\mathbb Z}y\) y \(0_{\mathbb Z}\leq_{\mathbb Z}z\), entonces \[ xz\leq_{\mathbb Z}yz. \]
Demostración.
Si \(x\leq_{\mathbb Z}y\), existe \(n\in\mathbb N\) tal que
\[ y=x+\iota(n). \]
Entonces
\[ y+z=(x+\iota(n))+z=(x+z)+\iota(n), \]
por asociatividad y conmutatividad. Así \(x+z\leq_{\mathbb Z}y+z\).
Supongamos además \(0_{\mathbb Z}\leq_{\mathbb Z}z\). Por definición existe \(m\in\mathbb N\) tal que
\[ z=0_{\mathbb Z}+\iota(m)=\iota(m). \]
Por distributividad,
\[ yz=(x+\iota(n))z=xz+\iota(n)z. \]
Como \(z=\iota(m)\) y \(\iota\) preserva productos,
\[ \iota(n)z=\iota(nm). \]
Luego \(yz=xz+\iota(nm)\) y, por definición, \(xz\leq_{\mathbb Z}yz\). ∎
Proposición 2.9.5 — La incrustación preserva y refleja el orden
Para \(m,n\in\mathbb N\),
\[ \boxed{ m\leq n \iff \iota(m)\leq_{\mathbb Z}\iota(n). } \]
Demostración.
Si \(m\leq n\), existe \(k\in\mathbb N\) tal que \(n=m+k\). Aplicando \(\iota\) y usando preservación de suma,
\[ \iota(n)=\iota(m)+\iota(k), \]
de modo que \(\iota(m)\leq_{\mathbb Z}\iota(n)\).
Recíprocamente, si \(\iota(m)\leq_{\mathbb Z}\iota(n)\), existe \(k\in\mathbb N\) tal que
\[ \iota(n)=\iota(m)+\iota(k)=\iota(m+k). \]
La inyectividad de \(\iota\) da \(n=m+k\), y por definición del orden natural, \(m\leq n\). ∎
La incrustación canónica preserva ahora \(0\), \(1\), suma, producto y orden. Éste es el sentido preciso en que la aritmética natural vive dentro de la aritmética entera.
Corolario 2.9.6 — Tricotomía decidible en \(\mathbb Z\)
Glosario: tricotomía
Para cualesquiera \(x,y\in\mathbb Z\), exactamente una de las siguientes alternativas es verdadera:
\[ x<_{\mathbb Z}y, \qquad x=y, \qquad y<_{\mathbb Z}x. \]
Además, la alternativa correcta es decidible a partir de representantes finitos de \(x\) e \(y\).
Demostración.
Escribamos
\[ x=[(a,b)], \qquad y=[(c,d)]. \]
La tricotomía decidible de los naturales aplicada a
\[ a+d \qquad\text{y}\qquad c+b \]
determina exactamente una de las relaciones
\[ a+d<c+b, \qquad a+d=c+b, \qquad c+b<a+d. \]
Por el criterio de igualdad de clases y la Proposición 2.9.2, estas tres alternativas equivalen respectivamente a
\[ x<_{\mathbb Z}y, \qquad x=y, \qquad y<_{\mathbb Z}x. \]
La exclusión mutua se hereda de la tricotomía natural, y el procedimiento es finito porque sólo requiere suma y comparación decidible en \(\mathbb N\). ∎
2.10. Qué hemos construido
La construcción partió únicamente de \(\mathbb N\), sus operaciones y la infraestructura conjuntista del Capítulo 0. El objeto obtenido es
\[ \boxed{ \mathbb Z=(\mathbb N\times\mathbb N)/{\sim_{\mathbb Z}}, } \]
donde
\[ (a,b)\sim_{\mathbb Z}(c,d) \iff a+d=b+c. \]
Sobre este cociente hemos definido
\[ [(a,b)]+[(c,d)]=[(a+c,b+d)], \]
\[ -[(a,b)]=[(b,a)], \]
\[ [(a,b)][(c,d)] = [(ac+bd,ad+bc)]. \]
La sustracción se define por
\[ x-y=x+(-y), \]
y toda ecuación
\[ x+y=z \]
posee una única solución.
La función canónica
\[ \iota_{\mathbb N}^{\mathbb Z}(n)=[(n,0)] \]
es inyectiva y satisface
\[ \iota(0)=0_{\mathbb Z}, \qquad \iota(1)=1_{\mathbb Z}, \]
\[ \iota(m+n)=\iota(m)+\iota(n), \]
\[ \iota(mn)=\iota(m)\iota(n). \]
El orden entero está definido por
\[ x\leq_{\mathbb Z}y \iff \exists n\in\mathbb N\; \bigl(y=x+\iota(n)\bigr), \]
y puede reconocerse sobre representantes mediante
\[ [(a,b)]\leq_{\mathbb Z}[(c,d)] \iff a+d\leq c+b. \]
Además,
\[ m\leq n \iff \iota(m)\leq_{\mathbb Z}\iota(n). \]
En consecuencia, \(\mathbb Z\) es un dominio de integridad totalmente ordenado y la incrustación \(\iota\) preserva la estructura aritmética construida en \(\mathbb N\).
Conviene subrayar lo que no hemos hecho. No hemos declarado que
\[ \mathbb N\subseteq\mathbb Z. \]
Los dos sistemas siguen siendo, conjuntísticamente, objetos diferentes. Lo que hemos construido es una incrustación canónica que justifica una futura convención de identificación con la imagen cuando esa convención resulte útil y sea declarada explícitamente.
2.11. Por qué la construcción funciona
El paso de \(\mathbb N\) a \(\mathbb Z\) ilustra un patrón que reaparecerá varias veces en el tratado.
Primero identificamos una operación que no está cerrada en el sistema disponible: la resta. Después representamos formalmente los resultados deseados mediante objetos construidos con material ya existente: pares de naturales. Como esa representación es redundante, imponemos una relación de equivalencia. Sólo entonces pasamos al cociente.
La estructura algebraica no se supone en el cociente. Cada operación se define primero sobre representantes, se prueba compatible con la equivalencia y finalmente desciende a las clases.
El esquema es
\[ \boxed{ \text{representantes} \to \text{equivalencia} \to \text{cociente} \to \text{buena definición} \to \text{estructura}. } \]
Esta disciplina será decisiva en el capítulo siguiente. Los números racionales volverán a construirse mediante un cociente, esta vez para hacer posible la división por todo entero no nulo.
2.12. Notas bibliográficas
Este capítulo no importa ningún teorema externo; las demostraciones son propias.
- Landau sirve como referencia de disciplina en la extensión de la aritmética desde naturales a enteros y en el control de dependencias.
- Tao sirve como contraste para el principio de construir primero la extensión y demostrar después que las operaciones heredadas están bien definidas.
- Garling permanece como referencia de arquitectura global y continuidad hacia los sistemas numéricos posteriores.
- La construcción se formula enteramente dentro del marco fundacional fijado al comienzo del tratado y utiliza la teoría general de cocientes desarrollada en el Capítulo 0.
No se ha utilizado el axioma de elección.
2.13. Hacia los números racionales
La construcción de \(\mathbb Z\) ha eliminado la obstrucción de la sustracción: todo entero posee ahora un opuesto aditivo. Permanece, sin embargo, una limitación multiplicativa. Una ecuación como
\[ (1_{\mathbb Z}+1_{\mathbb Z})x=1_{\mathbb Z} \]
no tiene solución entera.
Para superar esta nueva obstrucción construiremos los racionales a partir de pares \((a,b)\) de enteros con \(b\neq0\). Como ocurrió con las diferencias formales, distintos pares deberán representar un mismo número; la igualdad adecuada se expresará sin utilizar todavía la división. El cociente resultante será \(\mathbb Q\).
Así, el mismo método constructivo reaparecerá bajo una forma nueva:
\[ \mathbb Z \longrightarrow \text{pares de enteros con segundo componente no nulo} \longrightarrow \text{representantes fraccionarios} \longrightarrow \mathbb Q. \]