Tratado de análisis — Capítulo 2: Los números enteros
Capítulo 2 — Los números enteros
← Volver al Tratado de análisis
Parte I — Fundamentos y construcción de los números reales
2.0. Por qué necesitamos los enteros
Los números naturales nos permiten contar y sumar cantidades, y su multiplicación y su orden han sido construidos sin apelar a ningún sistema numérico anterior. Sin embargo, la aritmética obtenida en el capítulo precedente posee una limitación esencial: la sustracción no está siempre disponible.
Si \(a,b\in\mathbb N\), una ecuación
\[ a+x=b \]
tiene solución natural precisamente cuando \(a\leq b\). En particular, no existe \(x\in\mathbb N\) que satisfaga
\[ 1+x=0. \]
No queremos remediar esta deficiencia introduciendo símbolos nuevos de manera puramente formal y declarando después, por decreto, cómo deben operar. Queremos construir un nuevo conjunto cuyos elementos contengan a la aritmética natural mediante una incrustación canónica y en el cual toda ecuación aditiva
\[ x+y=z \]
admita una solución única para \(y\).
La idea heurística es familiar. Una diferencia como \(a-b\) puede ser representada por el par \((a,b)\). Pero en este punto del tratado la expresión \(a-b\) no tiene todavía significado general en \(\mathbb N\). Por ello no la utilizaremos en ninguna definición. El par
\[ (a,b)\in\mathbb N\times\mathbb N \]
será solamente un candidato a representar una diferencia formal.
Hay, sin embargo, un problema inmediato: distintos pares deben representar la misma diferencia. Intuitivamente,
\[ (5,2),\qquad(4,1),\qquad(3,0) \]
deberían describir el mismo entero. La igualdad adecuada entre pares no puede expresarse recurriendo a la resta que precisamente estamos tratando de construir. Debe formularse únicamente con la suma natural ya disponible.
La construcción seguirá, por tanto, la cadena
\[ \mathbb N \longrightarrow \mathbb N\times\mathbb N \longrightarrow \text{diferencias formales} \longrightarrow \text{relación de equivalencia} \longrightarrow \mathbb Z \longrightarrow +,-,\cdot,\leq_{\mathbb Z}. \]
En ningún momento utilizaremos el axioma de elección.
2.1. Diferencias formales
Llamaremos diferencia formal a un elemento de \(\mathbb N\times\mathbb N\). Esta expresión es interpretativa: no introduce aún una operación de resta.
Si \((a,b)\) es una diferencia formal, pensaremos heurísticamente en ella como «\(a-b\)». Dos pares \((a,b)\) y \((c,d)\) deben representar el mismo valor cuando la igualdad
\[ a-b=c-d \]
sería válida en una aritmética donde la resta ya existiera. Trasladando todos los términos a sumas, la condición se convierte en
\[ a+d=b+c. \]
Ésta sí es una igualdad legítima en \(\mathbb N\).
Definición 2.1.1 — Relación de equivalencia entera
Sobre \(\mathbb N\times\mathbb N\) definimos la relación de equivalencia entera \(\sim_{\mathbb Z}\) por
\[ \boxed{ (a,b)\sim_{\mathbb Z}(c,d) \iff a+d=b+c. } \]
La notación \((a,b)\) es aquí una abreviatura tipográfica del par ordenado fijado en el capítulo fundacional.
La definición anterior produce la noción correcta de igualdad entre diferencias formales sólo si realmente es una relación de equivalencia. Esto debe demostrarse antes de formar el cociente.
Proposición 2.1.2 — \(\sim_{\mathbb Z}\) es una relación de equivalencia
La relación \(\sim_{\mathbb Z}\) es reflexiva, simétrica y transitiva sobre \(\mathbb N\times\mathbb N\).
Demostración.
Reflexividad. Para \(a,b\in\mathbb N\),
\[ a+b=b+a \]
por conmutatividad de la suma natural. Luego
\[ (a,b)\sim_{\mathbb Z}(a,b). \]
Simetría. Si
\[ (a,b)\sim_{\mathbb Z}(c,d), \]
entonces
\[ a+d=b+c. \]
Por simetría de la igualdad,
\[ c+b=d+a, \]
después de reordenar las sumas mediante conmutatividad. Por tanto
\[ (c,d)\sim_{\mathbb Z}(a,b). \]
Transitividad. Supongamos
\[ (a,b)\sim_{\mathbb Z}(c,d) \qquad\text{y}\qquad (c,d)\sim_{\mathbb Z}(e,f). \]
Entonces
\[ a+d=b+c \]
y
\[ c+f=d+e. \]
Sumando ambas igualdades y reordenando por asociatividad y conmutatividad,
\[ (a+f)+(c+d)=(b+e)+(c+d). \]
La cancelación aditiva en \(\mathbb N\) da
\[ a+f=b+e. \]
Por definición,
\[ (a,b)\sim_{\mathbb Z}(e,f). \]
Así \(\sim_{\mathbb Z}\) es una relación de equivalencia. ∎
La prueba merece una observación. En la transitividad no hemos escrito
\[ a-b=c-d=e-f, \]
porque esas restas todavía no existen en el nivel objeto. Todo el argumento se realiza con las operaciones ya construidas en \(\mathbb N\).
2.2. Construcción del conjunto \(\mathbb Z\)
Ahora sí podemos formar el cociente. Antes de hacerlo conviene verificar que todos los conjuntos involucrados existen dentro de ZF.
Proposición 2.2.1 — Existencia del cociente entero
Existe el conjunto cociente
\[ (\mathbb N\times\mathbb N)/{\sim_{\mathbb Z}}. \]
Demostración.
El producto cartesiano \(\mathbb N\times\mathbb N\) existe por la construcción general establecida en el capítulo fundacional. En §2.1 demostramos que \(\sim_{\mathbb Z}\) es una relación de equivalencia sobre ese conjunto. La existencia del cociente es entonces una instancia de la construcción general de conjuntos cociente desarrollada en el Capítulo 0. No interviene el axioma de elección. ∎
Definición 2.2.2 — Conjunto de los números enteros
Definimos
\[ \boxed{ \mathbb Z:= (\mathbb N\times\mathbb N)/{\sim_{\mathbb Z}}. } \]
Un número entero es, por definición, un elemento de \(\mathbb Z\).
Notación 2.2.3 — Clases enteras
Para \((a,b)\in\mathbb N\times\mathbb N\) escribiremos
\[ [(a,b)]_{\mathbb Z} \]
para su clase entera, es decir, su clase de equivalencia módulo \(\sim_{\mathbb Z}\). Cuando no haya riesgo de confusión, abreviaremos a
\[ [(a,b)]. \]
La notación \([(a,b)]\) no designa el par \((a,b)\): designa el conjunto de todas las diferencias formales equivalentes a él.
Proposición 2.2.4 — Criterio de igualdad de clases enteras
Para \(a,b,c,d\in\mathbb N\),
\[ \boxed{ [(a,b)]=[(c,d)] \iff a+d=b+c. } \]
Demostración.
Por el teorema general de igualdad de clases de equivalencia,
\[ [(a,b)]=[(c,d)] \iff (a,b)\sim_{\mathbb Z}(c,d). \]
La definición de \(\sim_{\mathbb Z}\) transforma la condición de la derecha exactamente en
\[ a+d=b+c. \]
∎
Tenemos ya el conjunto de los enteros, pero todavía no una aritmética sobre él. Las operaciones deberán definirse sobre clases, y esto exige demostrar que no dependen del representante escogido.
2.3. Suma de enteros
En los representantes, la suma natural de diferencias formales es la operación esperable:
\[ (a,b)+(c,d)\leadsto(a+c,b+d). \]
La intuición proviene de la identidad informal
\[ (a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d), \]
pero la definición real utilizará solamente suma de naturales.
Antes de descender la operación al cociente, necesitaremos una versión binaria del principio de definición sobre clases.
Teorema 2.3.1 — Principio de definición binaria sobre clases
Glosario: principio de definición binaria sobre clases
Sea \(\sim\) una relación de equivalencia sobre un conjunto \(A\), sea \(B\) un conjunto y sea
\[ \psi:A\times A\to B \]
una función tal que, siempre que
\[ a\sim a' \qquad\text{y}\qquad b\sim b', \]
se tenga
\[ \psi(a,b)=\psi(a',b'). \]
Entonces existe una única función
\[ \overline{\psi}: (A/{\sim})\times(A/{\sim})\to B \]
tal que
\[ \boxed{ \overline{\psi}([a],[b])=\psi(a,b). } \]
Demostración.
Sea
\[ Q:=A/{\sim}. \]
Como \(Q\) y \(B\) son conjuntos, también existen \(Q\times Q\) y \((Q\times Q)\times B\).
Definimos \(G\subseteq(Q\times Q)\times B\) por
\[ \langle\langle C,D\rangle,y\rangle\in G \]
si y sólo si existen \(a,b\in A\) tales que
\[ C=[a],\qquad D=[b],\qquad y=\psi(a,b). \]
La existencia de \(G\) se obtiene por separación.
Debemos probar que \(G\) es el grafo de una función con dominio \(Q\times Q\).
Sea \(\langle C,D\rangle\in Q\times Q\). Por definición de cociente existen \(a,b\in A\) con
\[ C=[a], \qquad D=[b]. \]
Entonces
\[ \langle\langle C,D\rangle,\psi(a,b)\rangle\in G, \]
así que existe al menos un valor.
Para la unicidad, supongamos
\[ C=[a]=[a'], \qquad D=[b]=[b']. \]
Por el criterio general de igualdad de clases de equivalencia,
\[ a\sim a', \qquad b\sim b'. \]
La hipótesis de invariancia da
\[ \psi(a,b)=\psi(a',b'). \]
Por tanto el valor asociado a \(\langle C,D\rangle\) es único. Así \(G\) es el grafo de una función
\[ \overline{\psi}:Q\times Q\to B. \]
La fórmula
\[ \overline{\psi}([a],[b])=\psi(a,b) \]
es inmediata de la definición de \(G\).
Finalmente, cualquier otra función \(F:Q\times Q\to B\) que satisfaga esa misma fórmula coincide con \(\overline{\psi}\) en todo par de clases, y por el criterio de igualdad de funciones es igual a ella. ∎
Este teorema no crea ninguna elección de representantes. Precisamente evita tener que escoger uno de manera global.
Definición 2.3.2 — Suma de diferencias formales
Definimos
\[ \sigma_{\mathbb Z}: (\mathbb N\times\mathbb N)\times(\mathbb N\times\mathbb N) \to \mathbb N\times\mathbb N \]
por
\[ \boxed{ \sigma_{\mathbb Z}\bigl((a,b),(c,d)\bigr) := (a+c,b+d). } \]
Proposición 2.3.3 — Compatibilidad de la suma con \(\sim_{\mathbb Z}\)
Si
\[ (a,b)\sim_{\mathbb Z}(a',b') \]
y
\[ (c,d)\sim_{\mathbb Z}(c',d'), \]
entonces
\[ (a+c,b+d)\sim_{\mathbb Z}(a'+c',b'+d'). \]
Demostración.
Las hipótesis son
\[ a+b'=b+a', \]
\[ c+d'=d+c'. \]
Queremos demostrar
\[ (a+c)+(b'+d')=(b+d)+(a'+c'). \]
Por asociatividad y conmutatividad,
\[ (a+c)+(b'+d') = (a+b')+(c+d'). \]
Sustituyendo las igualdades anteriores,
\[ (a+b')+(c+d') = (b+a')+(d+c'). \]
Reordenando nuevamente,
\[ (b+a')+(d+c') = (b+d)+(a'+c'). \]
Ésta es exactamente la condición requerida. ∎
Definición 2.3.4 — Suma en \(\mathbb Z\)
Glosario: suma entera
La composición de \(\sigma_{\mathbb Z}\) con la proyección canónica
\[ \pi_{\mathbb Z}: \mathbb N\times\mathbb N\to\mathbb Z \]
es invariante bajo cambio de representantes en ambos argumentos. Por el Teorema 2.3.1 induce una única función
\[ +_{\mathbb Z}:\mathbb Z\times\mathbb Z\to\mathbb Z \]
tal que
\[ \boxed{ [(a,b)]+_{\mathbb Z}[(c,d)] = [(a+c,b+d)]. } \]
Cuando el tipo sea inequívoco escribiremos simplemente \(x+y\).
La buena definición no está contenida en la fórmula: está contenida en la Proposición 2.3.3 y en el principio binario de descenso. Desde este punto la expresión \(x+y\) para \(x,y\in\mathbb Z\) es una operación genuina sobre clases.
2.4. Cero, opuesto y sustracción
Notación 2.4.1 — Cero entero
Glosario: cero entero
Definimos
\[ \boxed{ 0_{\mathbb Z}:=[(0,0)]. } \]
No identificamos todavía este objeto con el \(0\in\mathbb N\). Son objetos pertenecientes a sistemas distintos.
Definición 2.4.2 — Opuesto
Glosario: opuesto entero
Sobre representantes consideramos la función de intercambio
\[ \tau:\mathbb N\times\mathbb N\to\mathbb N\times\mathbb N, \qquad \tau(a,b):=(b,a). \]
La operación de opuesto en \(\mathbb Z\) será la función inducida por \(\tau\) después de proyectar al cociente.
Proposición 2.4.3 — Buena definición del opuesto
Si
\[ (a,b)\sim_{\mathbb Z}(c,d), \]
entonces
\[ (b,a)\sim_{\mathbb Z}(d,c). \]
Por tanto existe una única función
\[ -:\mathbb Z\to\mathbb Z \]
satisfaciendo
\[ \boxed{ -[(a,b)]=[(b,a)]. } \]
Demostración.
La hipótesis
\[ (a,b)\sim_{\mathbb Z}(c,d) \]
equivale a
\[ a+d=b+c. \]
La condición
\[ (b,a)\sim_{\mathbb Z}(d,c) \]
exige
\[ b+c=a+d, \]
que es la misma igualdad escrita en el orden contrario.
Para aplicar con precisión el principio de definición sobre clases, sea
\[ \pi_{\mathbb Z}:\mathbb N\times\mathbb N\to\mathbb Z, \qquad \pi_{\mathbb Z}(a,b):=[(a,b)] \]
la proyección canónica, y definamos
\[ \varphi:=\pi_{\mathbb Z}\circ\tau. \]
Entonces
\[ \varphi(a,b)=[(b,a)]. \]
La compatibilidad que acabamos de demostrar dice exactamente que
\[ (a,b)\sim_{\mathbb Z}(c,d) \quad\Longrightarrow\quad \varphi(a,b)=\varphi(c,d). \]
Por el principio general de definición sobre clases existe una única función
\[ -:\mathbb Z\to\mathbb Z \]
tal que
\[ -([(a,b)])=\varphi(a,b)=[(b,a)]. \]
Ésta es la operación de opuesto anunciada. ∎
Proposición 2.4.4 — Leyes del grupo aditivo
Glosario: grupo abeliano
Para todos \(x,y,z\in\mathbb Z\):
- \((x+y)+z=x+(y+z)\);
- \(x+y=y+x\);
- \(x+0_{\mathbb Z}=x=0_{\mathbb Z}+x\);
- \(x+(-x)=0_{\mathbb Z}=(-x)+x\).
En consecuencia, la suma convierte a \(\mathbb Z\) en un grupo abeliano.
Demostración.
Sean
\[ x=[(a,b)],\qquad y=[(c,d)],\qquad z=[(e,f)]. \]
Para la asociatividad,
\[ (x+y)+z = [(a+c,b+d)]+[(e,f)] = [(a+c)+e,(b+d)+f], \]
mientras que
\[ x+(y+z) = [(a,b)]+[(c+e,d+f)] = [(a+(c+e),b+(d+f))]. \]
Las dos clases son iguales porque la suma natural es asociativa.
Para la conmutatividad,
\[ x+y=[(a+c,b+d)]=[(c+a,d+b)]=y+x. \]
Para el neutro,
\[ x+0_{\mathbb Z} = [(a+0,b+0)] = [(a,b)] = x, \]
y el otro lado se sigue de conmutatividad.
Finalmente,
\[ x+(-x) = [(a,b)]+[(b,a)] = [(a+b,b+a)]. \]
Por conmutatividad natural,
\[ a+b=b+a, \]
de modo que el criterio de igualdad de clases enteras da
\[ [(a+b,b+a)]=[(0,0)]=0_{\mathbb Z}. \]
La igualdad \((-x)+x=0_{\mathbb Z}\) se sigue de conmutatividad. ∎
Éste es el primer punto en que la construcción cumple la promesa que motivó al capítulo: todo entero posee un opuesto aditivo construido, no postulado.
Definición 2.4.5 — Sustracción en \(\mathbb Z\)
Glosario: sustracción entera
Para \(x,y\in\mathbb Z\) definimos
\[ \boxed{ x-y:=x+(-y). } \]
Ahora, y sólo ahora, el símbolo de sustracción queda disponible como operación total sobre \(\mathbb Z\).
Proposición 2.4.6 — Resolución universal de ecuaciones aditivas
Para cualesquiera \(x,z\in\mathbb Z\) existe un único \(y\in\mathbb Z\) tal que
\[ x+y=z. \]
Ese entero es
\[ \boxed{ y=z-x. } \]
Demostración.
Por definición,
\[ z-x=z+(-x). \]
Entonces, usando asociatividad y conmutatividad,
\[ x+(z-x) = x+(z+(-x)) = z+(x+(-x)) = z+0_{\mathbb Z} = z. \]
Existe, por tanto, una solución.
Si \(x+y=z\), sumamos \(-x\) a ambos lados:
\[ (-x)+(x+y)=(-x)+z. \]
Por asociatividad,
\[ ((-x)+x)+y=(-x)+z, \]
y entonces
\[ y=(-x)+z=z+(-x)=z-x. \]
La solución es única. ∎
La sustracción ha dejado de ser una operación parcial. Esto es exactamente lo que \(\mathbb N\) no podía proporcionar.
2.5. Multiplicación de enteros
La multiplicación debe ser compatible con la interpretación heurística de los pares como diferencias. Formalmente, la identidad
\[ (a-b)(c-d) = (ac+bd)-(ad+bc) \]
sugiere la regla
\[ (a,b)(c,d):=(ac+bd,ad+bc). \]
La fórmula utiliza sólo suma y producto de naturales, por lo que es legítima en nuestro nivel actual.
Definición 2.5.1 — Producto de diferencias formales
Definimos
\[ \mu_{\mathbb Z}: (\mathbb N\times\mathbb N)\times(\mathbb N\times\mathbb N) \to \mathbb N\times\mathbb N \]
por
\[ \boxed{ \mu_{\mathbb Z}\bigl((a,b),(c,d)\bigr) = (ac+bd,\;ad+bc). } \]
Proposición 2.5.2 — Compatibilidad del producto con \(\sim_{\mathbb Z}\)
Si
\[ (a,b)\sim_{\mathbb Z}(a',b') \]
y
\[ (c,d)\sim_{\mathbb Z}(c',d'), \]
entonces
\[ (ac+bd,ad+bc) \sim_{\mathbb Z} (a'c'+b'd',a'd'+b'c'). \]
Demostración.
Demostraremos primero compatibilidad al modificar solamente el primer factor.
Supongamos
\[ (a,b)\sim_{\mathbb Z}(a',b'), \]
de modo que
\[ a+b'=b+a'. \]
Fijemos \((c,d)\). Debemos probar
\[ (ac+bd,ad+bc) \sim_{\mathbb Z} (a'c+b'd,a'd+b'c). \]
Por definición de \(\sim_{\mathbb Z}\) esto equivale a
\[ (ac+bd)+(a'd+b'c) = (ad+bc)+(a'c+b'd). \]
El miembro izquierdo puede reagruparse como
\[ c(a+b')+d(b+a'), \]
mientras que el derecho se reagrupa como
\[ d(a+b')+c(b+a'). \]
Como \(a+b'=b+a'\), ambos miembros son iguales a
\[ c(a+b')+d(a+b') \]
salvo el orden de los sumandos. Por conmutatividad de la suma, son iguales. Así el producto es compatible con cambio de representante en el primer factor.
La regla \(\mu_{\mathbb Z}\) es simétrica en sus dos argumentos:
\[ \mu_{\mathbb Z}((a,b),(c,d)) = \mu_{\mathbb Z}((c,d),(a,b)), \]
pues el producto y la suma naturales son conmutativos. Por tanto la compatibilidad en el segundo factor se reduce al caso recién demostrado.
Partiendo ahora de
\[ (a,b)\sim_{\mathbb Z}(a',b') \]
y
\[ (c,d)\sim_{\mathbb Z}(c',d'), \]
obtenemos sucesivamente
\[ \mu_{\mathbb Z}((a,b),(c,d)) \sim_{\mathbb Z} \mu_{\mathbb Z}((a',b'),(c,d)) \]
y
\[ \mu_{\mathbb Z}((a',b'),(c,d)) \sim_{\mathbb Z} \mu_{\mathbb Z}((a',b'),(c',d')). \]
La transitividad de \(\sim_{\mathbb Z}\) concluye la prueba. ∎
Definición 2.5.3 — Multiplicación en \(\mathbb Z\)
Glosario: multiplicación entera
Por el principio binario de definición sobre clases existe una única función
\[ \cdot_{\mathbb Z}:\mathbb Z\times\mathbb Z\to\mathbb Z \]
tal que
\[ \boxed{ [(a,b)]\cdot_{\mathbb Z}[(c,d)] = [(ac+bd,\;ad+bc)]. } \]
Cuando el contexto determine el sistema numérico, escribiremos \(xy\) o \(x\cdot y\).
Notación 2.5.4 — Unidad entera
Glosario: unidad entera
Definimos
\[ \boxed{ 1_{\mathbb Z}:=[(1,0)]. } \]
De nuevo, \(1_{\mathbb Z}\) y el natural \(1\) no han sido identificados.
Con §2.5 queda construida la multiplicación de enteros como una operación bien definida sobre clases, junto con su unidad \(1_{\mathbb Z}\). La siguiente entrega será §2.6 — Estructura algebraica.