Tratado de análisis — Capítulo 23 — Sucesiones y series de funciones

Capítulo 23 — Sucesiones y series de funciones en el desarrollo progresivo del Tratado de análisis.

Capítulo 23 — Sucesiones y series de funciones

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Parte II — Núcleo del análisis real

23.0. Del límite de números al límite de funciones

En el Capítulo 13 estudiamos sucesiones cuyos términos son números reales. Ahora cada término será una función, y su valor dependerá tanto de un índice natural como de un argumento real. Si \(f_n:E\to\mathbb R\), con un dominio \(E\subseteq\mathbb R\) que permanece fijo, hay dos preguntas distintas: ¿converge la sucesión numérica \(f_n(x)\) una vez fijado \(x\)?, ¿puede imponerse una única etapa de aproximación que funcione simultáneamente para todos los puntos de \(E\)? La primera conduce a la convergencia puntual; la segunda, a la uniforme.

La diferencia se manifiesta antes de tomar derivadas o integrales. Una sucesión de funciones continuas puede converger puntualmente a una función discontinua; una hipótesis de uniformidad impedirá precisamente ese fenómeno. Más adelante probaremos bajo qué condiciones se permiten los intercambios de límite e integral, y de límite y derivada; ninguna regla de intercambio se adoptará como axioma.

La arquitectura de la segunda parte reserva a este capítulo el criterio uniforme de Cauchy, continuidad de límites uniformes, integración, diferenciación con anclaje, series de funciones y criterio \(M\) de Weierstrass. No introduciremos aún la completitud abstracta de espacios normados, las series de potencias ni el radio de convergencia: corresponden a otro marco o al Capítulo 24. Reutilizaremos sólo las construcciones cerradas de sucesiones reales, valor absoluto, continuidad e integral. La elección numerable CC(\mathbb R) no será una hipótesis silenciosa.

23.1. Dos órdenes de cuantificadores

Definición 23.1.1 — Sucesión de funciones reales sobre un dominio común

Fijemos un conjunto \(E\subseteq\mathbb R\), posiblemente vacío. Por Definición §0.6.11 — Conjunto de funciones y Proposición §0.6.12 — Existencia de \(B^A\), existe el conjunto \(\mathbb R^E\) de todas las funciones de dominio exacto \(E\) y codominio \(\mathbb R\). Una sucesión de funciones reales sobre \(E\) es una función

\[ \mathbf f:\mathbb N\longrightarrow\mathbb R^E, \qquad n\longmapsto f_n:=\mathbf f(n). \tag{23.1.1} \]

Por consiguiente, para todo \(n\in\mathbb N\) está determinada una función \(f_n:E\to\mathbb R\). La familia \(\mathbf f\) pertenece a \((\mathbb R^E)^{\mathbb N}\); no es su conjunto de valores, y dos términos iguales en diferentes índices siguen teniendo lugares distintos en la sucesión. Se trata de una única función ya dada, no de la instrucción de escoger arbitrariamente una función para cada natural. En este capítulo, la expresión \((f_n)_{n\in\mathbb N}\) es una escritura de \(\mathbf f\), no una nueva estructura.

Cuando comparemos \(\mathbf f\) con una función límite \(f\), exigiremos siempre \(f:E\to\mathbb R\) con el mismo dominio y codominio. No se entenderá que los dominios de los \(f_n\) puedan variar sin una construcción adicional.

Proposición 23.1.2 — Evaluación en un punto y sucesión real inducida

Sea \(\mathbf f:\mathbb N\to\mathbb R^E\) una sucesión de funciones y sea \(x\in E\) un punto fijo. Entonces existe una única sucesión real \(a^{(x)}:\mathbb N\to\mathbb R\) que satisface

\[ \boxed{a^{(x)}_n=f_n(x)\qquad(n\in\mathbb N).} \tag{23.1.2} \]

Demostración. Por (23.1.1), cada \(f_n\) es función con dominio \(E\); de \(x\in E\) se sigue que existe un único \(r\in\mathbb R\) igual a \(f_n(x)\). El producto \(\mathbb N\times\mathbb R\) existe (Proposición §0.3.7 — Existencia del producto cartesiano), por lo que Separación determina el conjunto

\[ G_x:=\{\langle n,r\rangle\in\mathbb N\times\mathbb R:r=f_n(x)\}. \]

La existencia y unicidad para cada \(n\) hacen de \(G_x\) el grafo de una función de dominio exacto \(\mathbb N\) y codominio \(\mathbb R\). Es una sucesión real en el sentido de Definición §13.1.1 — Sucesión real, y la igualdad de grafos, dominios y codominios (Proposición §0.6.3 — Criterio de igualdad de funciones) demuestra su unicidad. No se escogió ningún valor: todos proceden de evaluaciones únicas de funciones dadas. \(\square\)

Lectura. Fijar \(x\) transforma una sucesión de funciones en una sucesión de números; todavía no relaciona entre sí las etapas necesarias para puntos distintos.

Definición 23.1.3 — Convergencia puntual

Sean \(\mathbf f=(f_n)_{n\in\mathbb N}\) una sucesión de funciones sobre \(E\) y \(f:E\to\mathbb R\). Diremos que \(f_n\) converge puntualmente a \(f\) en \(E\) si, para todo \(x\in E\), la sucesión real (23.1.2) converge a \(f(x)\) en el sentido de Definición §13.3.1 — Convergencia de una sucesión real. En cuantificadores explícitos:

\[ \boxed{\forall x\in E\;\forall\varepsilon>0\; \exists N\in\mathbb N\;\forall n\in\mathbb N\; \bigl(n\ge N\Rightarrow |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon\bigr).} \tag{23.1.3} \]

En estas fórmulas, \(\varepsilon>0\) significa que \(\varepsilon\) recorre los reales positivos. También escribiremos en el alcance de esta definición \(f_n(x)\to f(x)\) para cada \(x\in E\). Una escritura abreviada \(f_n\to f\) sin calificativo queda descartada para evitar confusión con el modo uniforme.

En (23.1.3), el testigo \(N\) puede depender tanto de \(x\) como de \(\varepsilon\). Esta definición no produce automáticamente una función que elija un índice \(N(x,\varepsilon)\) para todos los pares: no necesitamos esa selección y no la postulamos.

Proposición 23.1.4 — Unicidad del límite puntual como función tipada

Si \(f,g:E\to\mathbb R\) son dos límites puntuales de la misma sucesión \(\mathbf f\), entonces \(f=g\) como funciones.

Demostración. Tomemos \(x\in E\) arbitrario. La sucesión real única \(a^{(x)}=(f_n(x))\) de Proposición §23.1.2 — Evaluación en un punto y sucesión real inducida converge a \(f(x)\) y a \(g(x)\) por hipótesis. La unicidad del límite real Teorema §13.3.5 — Unicidad del límite real implica \(f(x)=g(x)\). Así, ambas funciones coinciden punto por punto; como también tienen el mismo dominio \(E\) y codominio \(\mathbb R\), el criterio Proposición §0.6.3 — Criterio de igualdad de funciones concluye \(f=g\). Si \(E=\varnothing\), la igualdad resulta igualmente del grafo vacío y los tipos comunes, sin evaluar un punto inexistente. \(\square\)

Definición 23.1.5 — Convergencia uniforme

Con los mismos tipos, diremos que \(f_n\) converge uniformemente a \(f\) en \(E\) si

\[ \boxed{\forall\varepsilon>0\; \exists N\in\mathbb N\;\forall n\in\mathbb N\;\forall x\in E\; \bigl(n\ge N\Rightarrow |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon\bigr).} \tag{23.1.4} \]

El índice \(N\) depende de la tolerancia, pero no del punto. La definición es válida para un \(E\) no acotado o vacío: no presupone la existencia de \(\sup_{x\in E}|f_n(x)-f(x)|\), que podría no existir como real finito. En el caso \(E=\varnothing\), (23.1.3) y (23.1.4) son vacuamente verdaderas para la única función de dominio vacío y codominio real.

Las expresiones «puntual» y «uniforme» nombran relaciones entre una sucesión de funciones, un candidato a límite y un dominio especificado. La convergencia uniforme en un subconjunto no implica, por pura definición, uniformidad sobre un conjunto mayor.

Proposición 23.1.6 — La convergencia uniforme implica la puntual

Sean \(\mathbf f\) y \(f\) como antes. Si \(f_n\) converge uniformemente a \(f\) en \(E\), entonces converge puntualmente a \(f\) en \(E\).

Demostración. Sea \(x\in E\) arbitrario y sea \(\varepsilon>0\). La uniformidad (23.1.4) proporciona un natural \(N\) tal que para todos \(n\ge N\) y todos \(y\in E\) se tiene \(|f_n(y)-f(y)|<\varepsilon\). En particular, poniendo \(y=x\), obtenemos la estimación requerida para la convergencia de la sucesión real \(a^{(x)}\) hacia \(f(x)\). Como \(x\) y \(\varepsilon\) eran arbitrarios, vale (23.1.3). Si \(E=\varnothing\), la conclusión se satisface directamente por vacuidad. \(\square\)

La implicación inversa requeriría intercambiar \(\forall x\in E\) con \(\exists N\). No existe una regla lógica general que permita ese intercambio: el ejemplo siguiente muestra por qué no es un teorema de análisis.

Proposición 23.1.7 — Contraejemplo: potencias puntualmente convergentes sin convergencia uniforme

En \(E=[0,1]\) consideremos las funciones tipadas \(f_n:E\to\mathbb R\) definidas, para cada \(n\in\mathbb N\), por

\[ f_n(x):=x^n, \qquad x\in[0,1], \tag{23.1.5} \]

donde la potencia natural está construida en Definición §14.3.1 — Potencias naturales de un número real y, por esa misma definición, \(0^0=1\). La expresión determina una sucesión de funciones: el grafo de cada \(f_n\) es el subconjunto definible de \(E\times\mathbb R\) dado por \(r=x^n\), y el grafo de \(n\mapsto f_n\) se obtiene por Separación en el conjunto existente \(\mathbb N\times\mathbb R^E\), utilizando la operación total de potencia. Su límite puntual es

\[ \boxed{f(x)=\begin{cases}0,&0\le x<1,\\1,&x=1.\end{cases}} \tag{23.1.6} \]

La sucesión no converge uniformemente a \(f\) sobre \([0,1]\); además, cada \(f_n\) es continua en el intervalo y \(f\) no es continua en \(1\).

Demostración. Convergencia puntual. Si \(x=1\), se cumple \(f_n(1)=1\) para todo \(n\), así que la sucesión numérica es constante y converge a \(1\). Si \(0\le x<1\), entonces \(|x|<1\) y Teorema §14.3.4 — Las potencias de una base de módulo menor que uno tienden a cero demuestra que \(x^n\to0\). Por Definición §23.1.3 — Convergencia puntual, estos dos casos prueban que el límite puntual es exactamente la función (23.1.6); su unicidad está cubierta por Proposición §23.1.4 — Unicidad del límite puntual como función tipada.

Cota elemental. Demostremos por inducción natural, para cada \(u\in[0,1]\) fijo y \(m\in\mathbb N\), la desigualdad de Bernoulli

\[ (1-u)^m\ge 1-\nu_{\mathbb R}(m)u. \tag{23.1.7} \]

En \(m=0\), ambos lados valen \(1\). Si vale para \(m\), como \(1-u\ge0\), al multiplicar y desarrollar obtenemos

\[ (1-u)^{m+1}\ge(1-\nu_{\mathbb R}(m)u)(1-u) =1-\nu_{\mathbb R}(m+1)u+\nu_{\mathbb R}(m)u^2 \ge 1-\nu_{\mathbb R}(m+1)u. \]

El último paso utiliza \(\nu_{\mathbb R}(m)\ge0\) y \(u^2\ge0\). Queda probado (23.1.7) para todos los naturales, sin elegir una familia de testigos.

Falla de uniformidad. Supongamos (23.1.4) y fijemos \(\varepsilon=1/4\). Sea \(N\) el índice que proporcionaría esa condición. Tomemos explícitamente \(n:=N+1\) —entonces \(n\ge N\) y \(n\ge1\)— y el punto

\[ x_n:=1-\frac{1}{2\nu_{\mathbb R}(n)}\in[1/2,1). \]

La división es legítima, pues \(\nu_{\mathbb R}(n)>0\). En particular, \(f(x_n)=0\). La estimación (23.1.7), aplicada a \(u=1/(2\nu_{\mathbb R}(n))\), proporciona

\[ |f_n(x_n)-f(x_n)|=x_n^n \ge 1-\nu_{\mathbb R}(n)\frac{1}{2\nu_{\mathbb R}(n)} =\frac12>\frac14. \tag{23.1.8} \]

Esto contradice la exigencia de que todos los puntos satisfagan un error estrictamente menor que \(1/4\) a partir de \(N\). No hay convergencia uniforme.

Continuidad. Para cada \(n\) fijo, \(x\mapsto x^n\) es una función polinómica, continua por Teorema §17.5.3 — Todo polinomio real es continuo en la recta (y por restricción al intervalo). La función \(f\), en cambio, toma el valor \(1\) en el extremo \(1\) y el valor \(0\) en todo punto de \([0,1)\). Para cualquier radio \(\delta>0\), el punto explícito \(x=1-\frac12\min\{\delta,1\}\) pertenece a \([0,1)\), satisface \(|x-1|<\delta\), pero \(|f(x)-f(1)|=1>1/2\). La definición relativa de continuidad Definición §17.1.1 — Continuidad relativa al dominio en un punto fracasa en \(1\). \(\square\)

Interpretación. Fijado un punto \(x<1\), las potencias acaban por hacerse pequeñas; sin embargo, a medida que crece el índice podemos desplazarnos hacia \(1\) y encontrar puntos donde el error continúa siendo grande. En convergencia puntual no hay obligación de controlar esos puntos móviles con un mismo índice. La pérdida de continuidad demuestra que esa distinción tiene consecuencias matemáticas y prepara el problema de §23.3.

Contraste con un caso uniforme. Para \(h_n:[0,1]\to\mathbb R\), \(h_n(x)=x/\nu_{\mathbb R}(n+1)\), vale \(|h_n(x)|\le1/\nu_{\mathbb R}(n+1)\) para todo \(x\). Dada \(\varepsilon>0\), la propiedad arquimediana de los reales (Teorema §4.6.3 — Todo cuerpo ordenado completo es arquimediano) suministra \(N\in\mathbb N\) con \(\nu_{\mathbb R}(N+1)>1/\varepsilon\); para \(n\ge N\), la monotonía de los numerales implica \(1/\nu_{\mathbb R}(n+1)<\varepsilon\). El mismo \(N\) sirve para todos los puntos; así \(h_n\to0\) uniformemente. En ninguno de los ejemplos se ha supuesto que los puntos de máxima desviación existan o que puedan elegirse globalmente.

Transición. Hasta aquí la sucesión posee un límite candidato y comparamos dos formas de aproximarlo. El próximo paso será formular un criterio de Cauchy directamente uniforme —sin conocer de antemano el límite— y demostrar su equivalencia con la convergencia uniforme usando la completitud de \(\mathbb R\) sin elección numerable oculta.

23.2. Criterio uniforme de Cauchy

La definición de convergencia uniforme de §23.1 compara cada término con una función límite ya conocida. El criterio que sigue sólo compara entre sí términos suficientemente avanzados. Su fuerza reside en exigir un mismo índice para todos los argumentos; la existencia de la función límite será una conclusión, no una premisa encubierta.

Definición 23.2.1 — Sucesión uniformemente de Cauchy

Sea \(E\subseteq\mathbb R\), posiblemente vacío, y sea \(\mathbf f=(f_n)_{n\in\mathbb N}:\mathbb N\to\mathbb R^E\) una sucesión de funciones. Diremos que \(\mathbf f\) es uniformemente de Cauchy sobre \(E\) si

\[ \boxed{\forall\varepsilon>0\;\exists N\in\mathbb N\; \forall n,m\in\mathbb N\;\forall x\in E:\quad (n\ge N\ \land\ m\ge N)\Longrightarrow |f_n(x)-f_m(x)|<\varepsilon.} \tag{23.2.1} \]

Los índices \(n,m\) varían independientemente; el mismo umbral \(N\) sirve para todos los pares de términos de la cola y todos los puntos de \(E\). No exigimos que \(E\) sea compacto o acotado, ni definimos un supremo de errores que pudiera carecer de valor real finito. Para \(E=\varnothing\), la condición es verdadera por vacuidad; trataremos también ese caso al construir el límite.

La condición de Cauchy numérica Definición §13.8.1 — Sucesión real de Cauchy se obtiene de (23.2.1) fijando un punto \(x\), pero la recíproca de esa observación no queda autorizada: los índices numéricos podrían depender del punto.

Proposición 23.2.2 — Toda sucesión uniformemente convergente es uniformemente de Cauchy

Si \(f_n:E\to\mathbb R\) converge uniformemente a \(f:E\to\mathbb R\), entonces \((f_n)\) es uniformemente de Cauchy en \(E\).

Demostración. Dado \(\varepsilon>0\), la convergencia uniforme aplicada a \(\varepsilon/2\) proporciona \(N\in\mathbb N\) tal que

\[ |f_k(x)-f(x)|<\frac\varepsilon2 \quad\text{para todo }k\ge N\text{ y todo }x\in E. \]

Tomemos ahora \(n,m\ge N\) y \(x\in E\) cualesquiera. Por la desigualdad triangular Teorema §4.2.3 — Desigualdad triangular y la simetría del valor absoluto,

\[ \begin{aligned} |f_n(x)-f_m(x)| &\le |f_n(x)-f(x)|+|f(x)-f_m(x)|\\ &<\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2=\varepsilon. \end{aligned} \]

El índice \(N\) inicial no cambió con \(n\), \(m\) ni \(x\); esto es exactamente (23.2.1). Si \(E\) es vacío, la conclusión es inmediata por vacuidad. \(\square\)

Lema 23.2.3 — Construcción de un único límite puntual desde la condición uniforme de Cauchy

Sea \(\mathbf f:\mathbb N\to\mathbb R^E\) uniformemente de Cauchy. Existe una única función tipada \(f:E\to\mathbb R\) tal que \(f_n\) converge puntualmente a \(f\) en \(E\).

Demostración. Primero, un punto arbitrario. Fijemos \(x\in E\) y una tolerancia \(\varepsilon>0\). El índice \(N\) de (23.2.1) satisface

\[ |f_n(x)-f_m(x)|<\varepsilon\qquad(n,m\ge N). \]

La sucesión real \(a^{(x)}=(f_n(x))\), construida en Proposición §23.1.2 — Evaluación en un punto y sucesión real inducida, es pues de Cauchy en el sentido de Definición §13.8.1 — Sucesión real de Cauchy. El teorema de completitud secuencial Teorema §13.8.7 — Toda sucesión real de Cauchy converge asegura que existe \(\ell\in\mathbb R\) con \(f_n(x)\to\ell\). Su unicidad se sigue de Teorema §13.3.5 — Unicidad del límite real. Por tanto, para cada \(x\in E\) existe exactamente un real \(\ell\) que es límite de \((f_n(x))\); la afirmación es universal y no especifica ni solicita una elección de testigos para diferentes puntos.

Segundo, una función y no sólo una correspondencia informal. El producto \(E\times\mathbb R\) existe porque ambos factores son conjuntos. Mediante Separación formamos

\[ G:=\bigl\{\langle x,r\rangle\in E\times\mathbb R:\ \forall\varepsilon>0\;\exists N\in\mathbb N\;\forall n\ge N, \ |f_n(x)-r|<\varepsilon\bigr\}. \tag{23.2.2} \]

El predicado de la derecha es una fórmula conjuntista con la sucesión dada como parámetro. La existencia y unicidad del límite numérico para cada \(x\) hacen que \(G\) sea el grafo de una función \(f\) con dominio exacto \(E\) y codominio \(\mathbb R\). Su definición establece (23.1.3), y por ello \(f_n\) converge puntualmente a \(f\). Cualquier otra función tipada con la misma propiedad coincide con \(f\) por Proposición §23.1.4 — Unicidad del límite puntual como función tipada.

Si \(E=\varnothing\), el producto y el grafo son vacíos: existe una única función de dominio vacío y codominio \(\mathbb R\), y la convergencia puntual se cumple por vacuidad. Este caso no requiere tomar un \(x\in E\) inexistente. \(\square\)

Alcance lógico. Del enunciado \(\forall x\in E\;\exists!\ell\in\mathbb R\) obtenemos la función por un predicado de valor único, no por una selección arbitraria \(x\mapsto\ell_x\). La completitud se aplica a cada sucesión numérica ya definida; no se introduce \(CC(\mathbb R)\).

Teorema 23.2.4 — Criterio uniforme de Cauchy

Para cualquier \(E\subseteq\mathbb R\) y cualquier sucesión \(\mathbf f:\mathbb N\to\mathbb R^E\), son equivalentes:

1. existe una función \(f:E\to\mathbb R\) tal que \(f_n\to f\) uniformemente en \(E\);
2. la sucesión \((f_n)\) satisface la condición uniforme de Cauchy (23.2.1).

Cuando estas condiciones se cumplen, la función límite uniforme es única.

Demostración. La implicación 1 \(\Rightarrow\) 2 es Proposición §23.2.2 — Toda sucesión uniformemente convergente es uniformemente de Cauchy.

Para 2 \(\Rightarrow\) 1, Lema §23.2.3 — Construcción de un único límite puntual desde la condición uniforme de Cauchy proporciona una función \(f:E\to\mathbb R\) construida por su grafo y tal que, para cada \(x\in E\), la sucesión \(f_n(x)\) converge a \(f(x)\). Resta demostrar la uniformidad: la convergencia puntual, por sí sola, no bastaría.

Fijemos \(\varepsilon>0\). La condición (23.2.1), aplicada a \(\varepsilon/2\), da un único umbral \(N\in\mathbb N\) tal que

\[ |f_n(x)-f_m(x)|<\frac\varepsilon2 \qquad(n,m\ge N,\ x\in E). \tag{23.2.3} \]

Sean ahora \(n\ge N\) y \(x\in E\) arbitrarios. La convergencia numérica de \(f_k(x)\) hacia \(f(x)\), con la tolerancia \(\varepsilon/2\), suministra un índice \(M\in\mathbb N\) para este punto fijo. Definamos expresamente \(m:=\max\{N,M\}\). Así \(m\ge N\) y \(m\ge M\), luego (23.2.3), la convergencia puntual y la desigualdad triangular dan

\[ \begin{aligned} |f_n(x)-f(x)| &\le |f_n(x)-f_m(x)|+|f_m(x)-f(x)|\\ &<\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2=\varepsilon. \end{aligned} \tag{23.2.4} \]

Es importante el orden de la prueba: \(M\) puede depender de \(x\), pero sólo se utiliza para establecer la desigualdad correspondiente a ese punto. El umbral final es el mismo \(N\), obtenido antes de fijar \(n\) y \(x\). Por universalización, (23.2.4) vale para todos \(n\ge N\) y todos \(x\in E\): ésta es la convergencia uniforme (23.1.4). En el caso vacío, el límite del lema anterior es la función vacía tipada y la condición uniforme es vacuamente verdadera.

Si \(g:E\to\mathbb R\) fuese otro límite uniforme, Proposición §23.1.6 — La convergencia uniforme implica la puntual aplicado a ambas convergencias daría dos límites puntuales; Proposición §23.1.4 — Unicidad del límite puntual como función tipada implica \(g=f\). \(\square\)

Lectura de la estrategia. Completitud proporciona los límites numéricos y unicidad permite ensamblarlos en una función. La condición uniforme de Cauchy hace lo que la mera convergencia puntual no puede hacer: conserva un único umbral al pasar desde las diferencias \(f_n-f_m\) a las diferencias \(f_n-f\).

Aplicación al ejemplo anterior. Las funciones \(x\mapsto x^n\) de Proposición §23.1.7 — Contraejemplo: potencias puntualmente convergentes sin convergencia uniforme no son uniformemente de Cauchy sobre \([0,1]\). En efecto, si lo fueran, el teorema les daría un límite uniforme; la proposición Proposición §23.1.6 — La convergencia uniforme implica la puntual y la unicidad Proposición §23.1.4 — Unicidad del límite puntual como función tipada obligarían a que fuese la función discontinua (23.1.6), pero Proposición §23.1.7 — Contraejemplo: potencias puntualmente convergentes sin convergencia uniforme ya probó que no hay convergencia uniforme hacia ella. No hemos usado aquí el teorema todavía pendiente sobre continuidad de límites uniformes.

Corolario 23.2.5 — Control por dos subconjuntos que cubren el dominio

Supongamos \(E=A\cup B\subseteq\mathbb R\), con \(A,B\subseteq E\) (se admiten conjuntos vacíos). Una sucesión \(f_n:E\to\mathbb R\) es uniformemente de Cauchy en \(E\) si y sólo si las sucesiones de restricciones \(f_n\upharpoonright A:A\to\mathbb R\) y \(f_n\upharpoonright B:B\to\mathbb R\) lo son en sus dominios respectivos. En consecuencia, \((f_n)\) converge uniformemente sobre \(E\) si y sólo si ambas sucesiones de restricciones son uniformemente de Cauchy.

Demostración. Por Definición §1.3.1 — Restricción de una función y Proposición §1.3.2 — Existencia y unicidad de la restricción, cada restricción está unívocamente determinada con el dominio indicado y codominio \(\mathbb R\). Separación dentro de \(\mathbb N\times\mathbb R^A\) y \(\mathbb N\times\mathbb R^B\) define las respectivas sucesiones indexadas, sin escoger funciones.

Si \((f_n)\) es uniformemente de Cauchy en \(E\), el mismo \(N\) de (23.2.1) satisface la condición en \(A\) y en \(B\), pues ambos son subconjuntos de \(E\).

Recíprocamente, fijemos \(\varepsilon>0\). Las dos condiciones proporcionan dos índices \(N_A,N_B\in\mathbb N\). Pongamos \(N:=\max\{N_A,N_B\}\). Para \(n,m\ge N\) y \(x\in E=A\cup B\), se tiene \(x\in A\) o \(x\in B\); en el primer caso aplicamos el umbral \(N_A\) y en el segundo \(N_B\). En ambos casos \(|f_n(x)-f_m(x)|<\varepsilon\), independientemente de \(x\). Hemos demostrado la equivalencia de Cauchy. Aplicando Teorema §23.2.4 — Criterio uniforme de Cauchy a \(E\), a \(A\) y a \(B\) se deduce la última afirmación. Sólo se combinaron dos testigos mediante un máximo finito, no una familia infinita de elecciones. \(\square\)

Transición. El criterio de Cauchy produce una función límite uniforme sin presuponerla. En §23.3 utilizaremos el umbral común para demostrar que, si los términos son continuos en un punto, también lo es su límite allí. La función discontinua de (23.1.6) quedará entonces excluida como límite uniforme de funciones continuas por una segunda vía, independiente del cálculo explícito del error.

23.3. Continuidad de los límites uniformes

El ejemplo de las potencias de §23.1 mostró que el límite puntual de funciones continuas puede ser discontinuo. La convergencia uniforme introduce justamente el control que faltaba: un término suficientemente avanzado aproxima a la función límite en todos los puntos antes de que fijemos un entorno del punto de continuidad. Primero probaremos la transmisión de continuidad en un punto; después distinguiremos continuidad global, control uniforme sólo en un entorno y continuidad uniforme sobre todo el dominio. Ninguno de estos resultados presupone que el dominio sea abierto, compacto o siquiera no vacío.

Teorema 23.3.1 — Continuidad de un límite uniforme en un punto

Sean \(E\subseteq\mathbb R\), \(\mathbf f=(f_n)_{n\in\mathbb N}:\mathbb N\to\mathbb R^E\) y \(f:E\to\mathbb R\). Supongamos que \(f_n\) converge uniformemente a \(f\) en \(E\). Si \(a\in E\) y cada \(f_n\) es continua en \(a\) relativamente a \(E\), entonces \(f\) es continua en \(a\) relativamente a \(E\).

Demostración. Fijemos \(a\in E\) y \(\varepsilon>0\). La convergencia uniforme aplicada a \(\varepsilon/3\) proporciona \(N\in\mathbb N\) tal que

\[ |f_n(y)-f(y)|<\frac\varepsilon3 \quad\text{para todo }n\ge N\text{ y todo }y\in E. \tag{23.3.1} \]

En particular, seleccionamos el término ya determinado \(f_N\), que es continuo en \(a\) por hipótesis. Con tolerancia \(\varepsilon/3\), su continuidad relativa suministra \(\delta>0\) tal que

\[ x\in E,\quad |x-a|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f_N(x)-f_N(a)|<\frac\varepsilon3. \tag{23.3.2} \]

Para cualquier \(x\in E\) con \(|x-a|<\delta\), la desigualdad triangular aplicada dos veces, junto con (23.3.1) en \(y=x\) y en \(y=a\), y con (23.3.2), da

\[ \begin{aligned} |f(x)-f(a)| &\le |f(x)-f_N(x)|+|f_N(x)-f_N(a)| +|f_N(a)-f(a)|\\ &<\frac\varepsilon3+\frac\varepsilon3+\frac\varepsilon3 =\varepsilon. \end{aligned} \tag{23.3.3} \]

El radio \(\delta\) funciona para todos los puntos de \(E\) suficientemente cercanos a \(a\), como requiere Definición §17.1.1 — Continuidad relativa al dominio en un punto. El orden de las operaciones es esencial: \(N\) se obtiene uniformemente, sin depender de \(x\); sólo después recurrimos a la continuidad de esa función concreta. No hemos elegido una sucesión de radios ni intercambiado dos límites. \(\square\)

Lectura de la prueba. Los errores de los extremos de (23.3.3) se controlan con la convergencia uniforme; el error central se controla con la continuidad de un solo término. La partición \(\varepsilon/3\) es una elección explícita de tolerancias y no una propiedad adicional de las funciones.

Corolario 23.3.2 — Continuidad del límite uniforme en todo el dominio

Si todas las funciones \(f_n:E\to\mathbb R\) son continuas en cada punto de \(E\) y \(f_n\) converge uniformemente a \(f:E\to\mathbb R\) en \(E\), entonces \(f\) es continua en cada punto de \(E\).

Demostración. Sea \(a\in E\) arbitrario. Cada \(f_n\) es continua en \(a\) y la convergencia es uniforme en \(E\), por lo que Teorema §23.3.1 — Continuidad de un límite uniforme en un punto afirma que \(f\) es continua en \(a\). La arbitrariedad del punto prueba el enunciado global. Si \(E=\varnothing\), la conclusión es una afirmación universal vacía sobre la única función de dominio vacío y codominio \(\mathbb R\); no fijamos un punto inexistente. \(\square\)

Consecuencia para las potencias. En Proposición §23.1.7 — Contraejemplo: potencias puntualmente convergentes sin convergencia uniforme ya se construyó una sucesión de funciones continuas \(x\mapsto x^n\) sobre \([0,1]\) cuyo límite puntual no es continuo en \(1\). El corolario demuestra de nuevo que aquella convergencia no puede ser uniforme: si lo fuera, su límite puntual único sería continuo. Este segundo argumento utiliza una propiedad estructural del límite, en lugar de calcular directamente su error máximo.

Proposición 23.3.3 — Basta la convergencia uniforme cerca del punto

Sean \(E\subseteq\mathbb R\), \(a\in E\), \(f_n:E\to\mathbb R\) y \(f:E\to\mathbb R\). Supongamos que cada \(f_n\) es continua en \(a\) relativamente a \(E\) y que existe \(r>0\) para el cual, en el conjunto

\[ V:=E\cap(a-r,a+r), \tag{23.3.4} \]

la sucesión de restricciones \(f_n\upharpoonright V:V\to\mathbb R\) converge uniformemente a \(f\upharpoonright V:V\to\mathbb R\). Entonces \(f\) es continua en \(a\) relativamente al dominio original \(E\). No se exige convergencia uniforme fuera de \(V\).

Demostración. El conjunto \(V\) existe por Separación, \(V\subseteq E\) y \(a\in V\), pues \(|a-a|=0<r\). Por Definición §1.3.1 — Restricción de una función y Proposición §1.3.2 — Existencia y unicidad de la restricción, las restricciones indicadas están determinadas de manera única y tienen dominio exacto \(V\), codominio \(\mathbb R\). La sucesión de restricciones también está determinada término a término por su grafo en \(\mathbb N\times\mathbb R^V\); no se elige ninguna función.

Para comprobar la continuidad de \(f_n\upharpoonright V\) en \(a\) relativa a \(V\), fijemos \(\eta>0\). La continuidad de \(f_n\) relativa a \(E\) proporciona un radio \(\delta_n>0\) que controla todos los \(x\in E\) cercanos a \(a\), y por tanto los \(x\in V\). Esto vale para cada \(n\) fijado sin construir una familia de radios. El teorema Teorema §23.3.1 — Continuidad de un límite uniforme en un punto, aplicado ahora al dominio \(V\) y a las funciones restringidas, demuestra que \(f\upharpoonright V\) es continua en \(a\) relativamente a \(V\).

Sea \(\varepsilon>0\) y tomemos un radio \(\rho>0\) de esa última continuidad. Definamos explícitamente

\[ \delta:=\frac12\min\{r,\rho\}>0. \]

Si \(x\in E\) y \(|x-a|<\delta\), entonces \(|x-a|<r\), luego \(x\in V\); también \(|x-a|<\rho\), así que

\[ |f(x)-f(a)| =|(f\upharpoonright V)(x)-(f\upharpoonright V)(a)| <\varepsilon. \]

Se ha producido un radio para la continuidad de \(f\) relativa a \(E\), sin imponer ninguna condición sobre el comportamiento de la sucesión lejos de \(a\). \(\square\)

Alcance. La continuidad en un punto es una propiedad local, mientras que «converger uniformemente» siempre debe referirse a un dominio explícito. La proposición evita confundir ambos alcances.

Teorema 23.3.4 — La continuidad uniforme se conserva por límites uniformes

Sean \(E\subseteq\mathbb R\), \(f_n:E\to\mathbb R\) y \(f:E\to\mathbb R\). Si cada \(f_n\) es uniformemente continua en \(E\) y \(f_n\) converge uniformemente a \(f\) en \(E\), entonces \(f\) es uniformemente continua en \(E\). No se requiere que \(E\) sea compacto o acotado.

Demostración. Supongamos primero \(E\ne\varnothing\) y fijemos \(\varepsilon>0\). De la convergencia uniforme, con tolerancia \(\varepsilon/3\), obtenemos un natural \(N\) tal que

\[ |f_N(z)-f(z)|<\frac\varepsilon3 \qquad(z\in E). \tag{23.3.5} \]

La función \(f_N\), uniformemente continua por hipótesis, proporciona para esa misma tolerancia un radio \(\delta>0\) independiente de los puntos, que verifica

\[ x,y\in E,\quad |x-y|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f_N(x)-f_N(y)|<\frac\varepsilon3. \tag{23.3.6} \]

Dados ahora cualesquiera \(x,y\in E\) con \(|x-y|<\delta\), aplicamos dos veces la desigualdad triangular:

\[ \begin{aligned} |f(x)-f(y)| &\le |f(x)-f_N(x)|+|f_N(x)-f_N(y)| +|f_N(y)-f(y)|\\ &<\varepsilon. \end{aligned} \tag{23.3.7} \]

El mismo \(\delta\) funciona para todas las parejas \(x,y\in E\), exactamente como exige Definición §17.6.1 — Continuidad uniforme relativa a un dominio. Si \(E=\varnothing\), el radio explícito \(\delta=1\) verifica por vacuidad esa definición y no necesitamos seleccionar puntos. Tampoco escogimos radios \(\delta_n\) para todos los índices: sólo utilizamos el radio de una función determinada \(f_N\). \(\square\)

Interpretación. La continuidad ordinaria se transmite punto por punto mediante Teorema §23.3.1 — Continuidad de un límite uniforme en un punto; la continuidad uniforme exige un único radio para cualquier pareja del dominio. El nuevo teorema conserva también esa exigencia porque el término elegido \(f_N\) tiene un radio que no depende de la pareja. La convergencia simplemente puntual no proporciona el primer control uniforme y no autoriza la conclusión, como ilustra Proposición §23.1.7 — Contraejemplo: potencias puntualmente convergentes sin convergencia uniforme.

Transición. Ya sabemos que la convergencia uniforme permite conservar una propiedad local (continuidad) e incluso una propiedad global (continuidad uniforme). En §23.4 examinaremos un intercambio distinto: cuándo puede pasarse el límite de una sucesión de funciones a través de una integral de Riemann sobre un intervalo cerrado. Allí habrá que justificar por separado la integrabilidad del límite y una cota de la diferencia de integrales.

23.4. Intercambio del límite y la integral de Riemann

Una función acotada no tiene por qué ser integrable, como mostró Proposición §21.4.6 — Una función acotada que no es integrable. Por eso, incluso si todos los términos de una sucesión son integrables, no es lícito escribir la integral del límite antes de probar su existencia. La demostración utilizará primero la estabilidad cuantitativa de las sumas de Darboux ante una perturbación uniformemente pequeña. Solamente después de establecer la integrabilidad de la función límite podremos comparar las integrales. En esta sección \(a,b\) son reales con \(a\le b\); cada integral sobre un intervalo no degenerado conserva la definición del Capítulo 21 y el caso \(a=b\) se rige exclusivamente por Definición §21.6.5 — Integración en un intervalo degenerado.

Lema 23.4.1 — Control de las sumas de Darboux bajo perturbación uniforme

Sean \(a<b\), \(g:[a,b]\to\mathbb R\) una función acotada y \(h:[a,b]\to\mathbb R\) otra función. Si \(\eta\ge0\) verifica

\[ |h(t)-g(t)|\le\eta\qquad(t\in[a,b]), \tag{23.4.1} \]

entonces \(h\) es acotada y, para toda partición \(P\) del intervalo, se cumplen

\[ \begin{aligned} |L(h,P)-L(g,P)|&\le\eta(b-a),\\ |U(h,P)-U(g,P)|&\le\eta(b-a), \end{aligned} \tag{23.4.2} \]

\[ \boxed{0\le U(h,P)-L(h,P) \le U(g,P)-L(g,P)+2\eta(b-a).} \tag{23.4.3} \]

Demostración. Elijamos una pareja de cotas globales \(A\le g(t)\le B\), cuya existencia procede de la acotación de \(g\). De (23.4.1) resulta

\[ A-\eta\le h(t)\le B+\eta\qquad(t\in[a,b]), \]

así que \(h\) también está acotada. Fijemos ahora una partición \(P\) y una de sus celdas cerradas no vacías \(I\). Por Lema §21.2.2 — Existencia de las cotas extremas locales y comparación por inclusión, están definidos los cuatro extremos finitos

\[ m_g(I)=\inf g[I],\quad M_g(I)=\sup g[I],\quad m_h(I)=\inf h[I],\quad M_h(I)=\sup h[I]. \]

Las desigualdades \(g-\eta\le h\le g+\eta\) implican, por las propiedades definitorias del ínfimo y del supremo,

\[ m_g(I)-\eta\le m_h(I)\le m_g(I)+\eta, \qquad M_g(I)-\eta\le M_h(I)\le M_g(I)+\eta. \tag{23.4.4} \]

Para justificar también los extremos derechos sin suponer máximos o mínimos alcanzados, escribimos la comparación equivalente \(h-\eta\le g\le h+\eta\) e intercambiamos los papeles de ambas funciones; ya sabemos que las dos están acotadas. Multiplicamos (23.4.4) por la anchura positiva de cada celda y sumamos sobre las celdas de \(P\). La identidad finita de anchuras Proposición §21.1.2 — Existencia, anchuras positivas y suma de longitudes da \(\sum_k\Delta_k(P)=b-a\). Así,

\[ L(g,P)-\eta(b-a)\le L(h,P)\le L(g,P)+\eta(b-a), \]

con las dos desigualdades análogas para \(U\). Se sigue (23.4.2). Restando la cota inferior de \(L(h,P)\) de la cota superior de \(U(h,P)\) obtenemos (23.4.3); su primer miembro es no negativo por Proposición §21.2.5 — Encierro global e identidad de la brecha. No se escoge un punto que realice ninguno de los extremos: sólo se utilizan sus propiedades de orden. \(\square\)

Lectura. Una perturbación de tamaño a lo sumo \(\eta\) puede desplazar cada suma inferior y superior a lo sumo \(\eta(b-a)\). El factor \(2\) aparece al comparar simultáneamente ambos extremos; todavía no representa una cota para diferencias de integrales, porque \(h\) podría no ser integrable.

Teorema 23.4.2 — El límite uniforme de funciones integrables es integrable

Sea \(a\le b\), y sea \((f_n)_{n\in\mathbb N}\) una sucesión de funciones tipadas \(f_n:[a,b]\to\mathbb R\). Si cada \(f_n\) es integrable y \(f_n\) converge uniformemente a \(f:[a,b]\to\mathbb R\), entonces \(f\) es integrable en \([a,b]\).

Demostración. Si \(a=b\), toda función \([a,a]\to\mathbb R\) es integrable por Definición §21.6.5 — Integración en un intervalo degenerado; esto incluye a \(f\) sin construir una partición imposible del singleton.

Supongamos \(a<b\) y pongamos \(\ell:=b-a>0\). Fijemos una tolerancia arbitraria \(\varepsilon>0\) y definamos expresamente \(\eta:=\varepsilon/(4\ell)>0\). La convergencia uniforme proporciona un \(N\in\mathbb N\) tal que

\[ |f(t)-f_N(t)|<\eta\qquad(t\in[a,b]). \tag{23.4.5} \]

El término \(f_N\) es integrable y, por tanto, acotado según Definición §21.4.1 — Integrabilidad de Darboux por igualdad de integrales extremas. El lema anterior, con \(g=f_N\) y \(h=f\), demuestra primero que \(f\) está acotada; además, para cualquier partición \(P\),

\[ U(f,P)-L(f,P) \le U(f_N,P)-L(f_N,P)+2\eta\ell. \tag{23.4.6} \]

Apliquemos el criterio de Darboux Teorema §21.4.2 — Criterio de Darboux y estabilidad por refinamiento a ese término fijo \(f_N\), con tolerancia \(\varepsilon/2\). Existe una partición \(P\) tal que

\[ U(f_N,P)-L(f_N,P)<\frac\varepsilon2. \]

Como \(2\eta\ell=\varepsilon/2\), (23.4.6) implica

\[ 0\le U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon. \]

La función \(f\) ya está demostrada acotada y posee, para cada \(\varepsilon>0\), una partición con brecha inferior a \(\varepsilon\). Por el criterio de Darboux es integrable. La prueba no forma una sucesión \(P_N\) ni elige simultáneamente particiones para infinitos índices o tolerancias: fija una tolerancia, obtiene un término y encuentra una sola partición. \(\square\)

Interpretación. Este resultado es más fuerte que la continuidad del límite uniforme: los términos no han de ser continuos. Basta que sus integrales de Riemann existan, incluso cuando presenten discontinuidades.

Teorema 23.4.3 — Intercambio del límite y la integral

Bajo las hipótesis del teorema anterior, existe la sucesión real de integrales

\[ I:\mathbb N\to\mathbb R, \qquad I(n):=\int_a^b f_n, \]

y satisface

\[ \boxed{\lim_{n\to\infty}\int_a^b f_n =\int_a^b f.} \tag{23.4.7} \]

Demostración. Teorema §23.4.2 — El límite uniforme de funciones integrables es integrable asegura que \(f\) es integrable. Como cada \(f_n\) también lo es, sólo ahora tienen sentido todas las integrales de (23.4.7). Cada integral es un real unívocamente determinado por Definición §21.4.3 — Integral de Riemann–Darboux para funciones integrables si \(a<b\), o por Definición §21.6.5 — Integración en un intervalo degenerado si \(a=b\). El grafo

\[ \bigl\{\langle n,r\rangle\in\mathbb N\times\mathbb R: r=\textstyle\int_a^b f_n\bigr\} \]

existe por Separación y define la sucesión real \(I\); no requiere elegir valores entre múltiples candidatos.

Si \(a=b\), todas las integrales del enunciado son cero por definición, de modo que (23.4.7) es la convergencia de una sucesión constante. Supongamos \(a<b\) y escribamos \(\ell=b-a>0\). Fijemos \(\varepsilon>0\) y usemos uniformidad con \(\eta:=\varepsilon/(2\ell)\). Obtenemos \(N\) tal que, para \(n\ge N\) y \(t\in[a,b]\),

\[ -\eta\le f_n(t)-f(t)\le\eta. \]

Las funciones \(f_n\) y \(f\) son integrables, así que su diferencia puntual \(d_n:=f_n-f\) también es integrable por la linealidad Corolario §21.5.7 — Linealidad para combinaciones finitas de dos funciones. La estimación por cotas constantes Corolario §21.5.8 — Positividad y estimaciones por cotas constantes, ahora aplicada a \(d_n\), implica

\[ -\eta\ell\le\int_a^b d_n\le\eta\ell. \]

Por la misma linealidad,

\[ \left|\int_a^b f_n-\int_a^b f\right| =\left|\int_a^b d_n\right| \le\eta\ell=\frac\varepsilon2<\varepsilon. \tag{23.4.8} \]

El umbral \(N\) vale para todos los índices de la cola y demuestra precisamente la convergencia numérica de \(I\) a \(\int_a^b f\) (Definición §13.3.1 — Convergencia de una sucesión real). No hemos supuesto que una integral conmute con un límite: lo acabamos de deducir de una cota previamente legitimada. \(\square\)

Corolario 23.4.4 — Convergencia uniforme de las integrales acumuladas

Sean \(a<b\) y \((f_n)\) como en el teorema anterior. Para cada \(n\), denotemos por \(F_n:=F_{f_n,a}:[a,b]\to\mathbb R\) la acumulada de Definición §22.1.1 — Función integral acumulada, y por \(F:=F_{f,a}\) la acumulada del límite. Entonces \((F_n)_{n\in\mathbb N}\) es una sucesión de funciones bien definida y converge uniformemente a \(F\) sobre \([a,b]\).

Demostración. Todas las integrandas \(f_n\), así como \(f\) por Teorema §23.4.2 — El límite uniforme de funciones integrables es integrable, son integrables. Definición §22.1.1 — Función integral acumulada produce para cada una su única acumulada, con dominio exacto \([a,b]\) y codominio \(\mathbb R\). El predicado «\(H=F_{f_n,a}\)» tiene valor único en el conjunto existente \(\mathbb R^{[a,b]}\); mediante Separación en \(\mathbb N\times\mathbb R^{[a,b]}\) construimos el grafo de \(n\mapsto F_n\), sin escoger funciones.

Fijemos \(\varepsilon>0\) y pongamos \(\ell=b-a>0\), \(\eta=\varepsilon/(2\ell)\). La convergencia uniforme de \(f_n\) a \(f\) proporciona \(N\) tal que \(|f_n(t)-f(t)|<\eta\) para todos \(n\ge N\) y \(t\in[a,b]\). Sea \(x\in[a,b]\) arbitrario. Si \(x=a\), ambas acumuladas valen cero por la convención singleton. Si \(a<x\le b\), Corolario §21.6.6 — Aditividad para todo punto del intervalo cerrado garantiza la integrabilidad de las restricciones de \(f_n\) y \(f\) a \([a,x]\); su diferencia también es integrable por Corolario §21.5.7 — Linealidad para combinaciones finitas de dos funciones. La linealidad y la estimación de Corolario §21.5.8 — Positividad y estimaciones por cotas constantes en este subintervalo dan

\[ \begin{aligned} |F_n(x)-F(x)| &=\left|\int_a^x\bigl((f_n-f)\upharpoonright[a,x]\bigr)\right|\\ &\le\eta(x-a)\le\eta(b-a)=\frac\varepsilon2<\varepsilon. \end{aligned} \tag{23.4.9} \]

La restricción de la diferencia coincide punto a punto y por tipo con la diferencia de las restricciones. Puesto que el mismo \(N\) precede a la elección de \(x\), (23.4.9) demuestra la uniformidad de la convergencia sobre todo \([a,b]\). El corolario no pretende extender la definición de acumulada a un intervalo degenerado. \(\square\)

Interpretación. El teorema 23.4.3 compara dos números correspondientes a un extremo final fijo. El corolario controla simultáneamente todos los extremos variables y prepara el anclaje necesario para estudiar límites de derivadas en §23.5.

Proposición 23.4.5 — La convergencia puntual no basta para intercambiar límite e integral

Existe una sucesión de funciones continuas \(u_n:[0,1]\to\mathbb R\) que converge puntualmente a la función nula, mientras que todas sus integrales son iguales a \(1\). Por tanto, aun cuando todos los términos y el límite sean integrables, la convergencia puntual no garantiza (23.4.7).

Demostración. Sea \(m_n:=\nu_{\mathbb R}(n+2)\ge2\) el numeral real correspondiente al natural \(n+2\). Para \(x\in[0,1]\) definimos

\[ u_n(x):= \begin{cases} m_n^2x,&0\le x\le 1/m_n,\\ 2m_n-m_n^2x,&1/m_n<x\le 2/m_n,\\ 0,&2/m_n<x\le1. \end{cases} \tag{23.4.10} \]

Cada condición corresponde a uno de tres casos disjuntos y exhaustivos, con divisores no nulos. Por Separación en \([0,1]\times\mathbb R\) obtenemos el grafo de una función tipada \(u_n\) y, mediante la fórmula conjunta en \(\mathbb N\times\mathbb R^{[0,1]}\), el de la sucesión \((u_n)\). Los dos polinomios de la fórmula coinciden en \(x=1/m_n\), donde valen \(m_n\), y el segundo coincide con la función cero en \(x=2/m_n\), donde vale \(0\); si \(m_n=2\), el último tramo es vacío. Cada rama es continua en su subintervalo por los resultados de continuidad de polinomios del Capítulo 17. En cada punto de unión, las continuidades relativas de las dos ramas proporcionan, para una tolerancia fija, dos radios que combinamos con un mínimo finito. Como sus valores en la unión coinciden, este radio prueba la continuidad de \(u_n\) allí. Fuera de las uniones, la continuidad es la de una sola rama. Así \(u_n\) es continua en \([0,1]\) y, por Corolario §21.7.4 — Toda función continua en un intervalo cerrado es integrable, integrable.

Para \(x=0\) tenemos \(u_n(0)=0\) para todo \(n\). Si \(x>0\) está fijo, la propiedad arquimediana Teorema §4.6.3 — Todo cuerpo ordenado completo es arquimediano permite tomar \(N\) tal que \(m_n>2/x\) para \(n\ge N\); entonces \(x>2/m_n\) y \(u_n(x)=0\). En consecuencia,

\[ u_n(x)\longrightarrow0\qquad\text{para cada }x\in[0,1]. \tag{23.4.11} \]

Calculemos ahora las integrales. Las primitivas polinómicas \(p_n(t)=m_n^2t^2/2\) y \(q_n(t)=2m_nt-m_n^2t^2/2\) tienen por derivadas, respectivamente, las dos primeras expresiones de (23.4.10). El teorema fundamental del cálculo, aplicado a esas funciones continuas en sus intervalos tipados, proporciona

\[ \int_0^{1/m_n}u_n =\left[\frac{m_n^2t^2}{2}\right]_{0}^{1/m_n} =\frac12, \qquad \int_{1/m_n}^{2/m_n}u_n =\left[2m_nt-\frac{m_n^2t^2}{2}\right]_{1/m_n}^{2/m_n} =\frac12. \tag{23.4.12} \]

En estas expresiones, las integrales sobre los subintervalos designan las de las correspondientes restricciones tipadas. El tramo \([2/m_n,1]\), si tiene longitud positiva, es idénticamente nulo y posee integral cero; si sus extremos coinciden, su integral también es cero por Definición §21.6.5 — Integración en un intervalo degenerado. La aditividad Corolario §21.6.6 — Aditividad para todo punto del intervalo cerrado, aplicada sucesivamente en \(1/m_n\) y \(2/m_n\), concluye

\[ \boxed{\int_0^1u_n=\frac12+\frac12+0=1\quad(n\in\mathbb N).} \tag{23.4.13} \]

La función límite \(u(x)=0\) es integrable, pero \(\int_0^1u=0\) por Proposición §21.5.1 — Acotación de las operaciones y cálculo de las constantes. Por ello, la sucesión de integrales constante igual a \(1\) no converge a la integral del límite. Más aún, la convergencia no es uniforme: en el punto determinado \(x_n:=1/m_n\) se tiene \(|u_n(x_n)-u(x_n)|=m_n\ge2\), lo que contradice el requisito uniforme para \(\varepsilon=1\). No se ha elegido ningún punto mediante un principio de elección: \(x_n\) viene dado por una fórmula. \(\square\)

Lectura del contraejemplo. Los triángulos se estrechan hacia el origen, de manera que cada punto fijo termina fuera de sus soportes; al mismo tiempo, su altura crece y su área permanece igual a uno. La convergencia puntual sólo detecta lo primero. La estimación uniforme de (23.4.8) impide lo segundo cuando existe convergencia uniforme.

Transición. La integración se comporta de manera estable ante convergencia uniforme, y también lo hacen las acumuladas. Para la diferenciación, en cambio, la convergencia uniforme de las funciones por sí sola no será suficiente. En §23.5 estudiaremos la convergencia uniforme de las derivadas y una condición de anclaje que permita recuperar los valores de las funciones.

23.5. Convergencia uniforme de derivadas y condición de anclaje

Una convergencia uniforme de funciones controla sus valores, pero no necesariamente las pendientes de sus gráficas. Tampoco basta conocer los límites de las derivadas para recuperar los valores: una derivada es incapaz de distinguir dos funciones que difieren en una constante. Para obtener un teorema correcto añadiremos un punto de anclaje, en el que converjan los valores de las funciones, y utilizaremos el teorema del valor medio para propagar ese control a todo el intervalo.

Fijaremos siempre \(a<b\) e \(I:=[a,b]\). Cada \(f_n:I\to\mathbb R\) será continua en \(I\) relativamente a su dominio y derivable en cada punto del interior \(J:=(a,b)\), también relativamente a \(I\). La sucesión de derivadas estará definida exclusivamente en \(J\); no atribuiremos derivadas bilaterales a \(a\) ni a \(b\). En esta sección no supondremos que las derivadas sean continuas, acotadas por separado o integrables: bastarán las hipótesis formuladas a continuación y el teorema del valor medio ya demostrado.

Definición 23.5.1 — Sucesión de derivadas interiores de una sucesión dada

Dadas las hipótesis anteriores, la sucesión de derivadas interiores de \((f_n)\) es la función \(\mathbf d:\mathbb N\to\mathbb R^J\) cuyos términos son las funciones tipadas

\[ d_n:J\longrightarrow\mathbb R,\qquad d_n(t)=f_n'(t)\quad(t\in J). \tag{23.5.1} \]

Esta definición requiere justificar su existencia. Para un \(n\) fijo, cada \(t\in J\) es punto de acumulación de \(I\), \(f_n\) es derivable allí y Proposición §19.1.4 — Unicidad y criterio cuantificado de la derivada garantiza un único valor \(f_n'(t)\). El conjunto

\[ G_n=\{\langle t,r\rangle\in J\times\mathbb R:\ r\text{ es la derivada de }f_n\text{ en }t\text{ relativa a }I\} \]

existe por Separación y es el grafo de una función \(d_n:J\to\mathbb R\). El predicado que determina \(d_n\) tiene un único valor para cada \(n\); por Separación en \(\mathbb N\times\mathbb R^J\) obtenemos el grafo de \(\mathbf d\). Por tanto, (23.5.1) no consiste en elegir libremente una función derivada para cada índice. Si \(d_n\) converge uniformemente a una función \(g:J\to\mathbb R\), esta última será un límite en el interior, sin extensión automática a los extremos.

Lema 23.5.2 — Control de incrementos mediante diferencias de derivadas

Sean \(n,m\in\mathbb N\) y \(\eta\ge0\). Si

\[ |d_n(t)-d_m(t)|\le\eta\qquad(t\in J), \tag{23.5.2} \]

entonces, para cualesquiera \(x,y\in I\),

\[ \boxed{|(f_n(x)-f_m(x))-(f_n(y)-f_m(y))|\le\eta|x-y|.} \tag{23.5.3} \]

Demostración. Construyamos la diferencia puntual tipada \(h:=f_n-f_m:I\to\mathbb R\) mediante Proposición §16.3.2 — Existencia y tipado de las operaciones puntuales. Por la estabilidad algebraica de la continuidad (Teorema §17.4.3 — Estabilidad de la continuidad bajo operaciones algebraicas y valor absoluto), \(h\) es continua sobre \(I\). La regla de la diferencia Corolario §19.4.2 — Multiplicación por escalares, opuestos y diferencias demuestra que es derivable en cada \(t\in J\) y \(h'(t)=d_n(t)-d_m(t)\).

Si \(x=y\), ambos miembros de (23.5.3) son cero. Si \(x<y\), aplicamos Corolario §20.3.3 — Valor medio en un subintervalo del dominio original a la función \(h\) y al subintervalo \([x,y]\subseteq I\): existe \(\xi\in(x,y)\subseteq J\) para el cual

\[ h(y)-h(x)=h'(\xi)(y-x). \]

Por (23.5.2), \(|h(y)-h(x)|\le\eta(y-x)=\eta|y-x|\), que es (23.5.3) tras sustituir \(h=f_n-f_m\) y usar la simetría del valor absoluto. Para \(y<x\) se intercambian los argumentos. El punto \(\xi\) es un testigo local de una única aplicación del teorema del valor medio; no se construye una función que seleccione puntos intermedios para todos los pares. \(\square\)

Teorema 23.5.3 — El anclaje y las derivadas uniformemente convergentes producen un límite uniforme

Bajo las hipótesis de la Definición 23.5.1, supongamos que existe \(g:J\to\mathbb R\) tal que \(d_n\) converge uniformemente a \(g\) en \(J\). Supongamos, además, que para algún punto fijo \(c\in I\) la sucesión real \((f_n(c))_{n\in\mathbb N}\) converge a un número \(\lambda\in\mathbb R\). Entonces existe una única función \(f:I\to\mathbb R\) tal que \(f_n\) converge uniformemente a \(f\) en \(I\), y satisface \(f(c)=\lambda\).

Demostración. Escribamos \(\ell:=b-a>0\). Fijemos \(\varepsilon>0\). Como \(d_n\) converge uniformemente a \(g\), Proposición §23.2.2 — Toda sucesión uniformemente convergente es uniformemente de Cauchy afirma que \((d_n)\) es uniformemente de Cauchy sobre \(J\). Con tolerancia \(\eta:=\varepsilon/(4\ell)>0\), existe un índice \(N_1\) tal que

\[ |d_n(t)-d_m(t)|<\eta \qquad(n,m\ge N_1,\ t\in J). \tag{23.5.4} \]

Por otra parte, la convergencia numérica de \(f_n(c)\) a \(\lambda\) implica su condición de Cauchy (Teorema §13.8.2 — Toda sucesión real convergente es de Cauchy): existe \(N_0\) tal que

\[ |f_n(c)-f_m(c)|<\frac\varepsilon2 \qquad(n,m\ge N_0). \tag{23.5.5} \]

Pongamos \(N:=\max\{N_0,N_1\}\). Fijados \(n,m\ge N\) y \(x\in I\), el lema anterior aplicado a (23.5.4), con los puntos \(x,c\), produce

\[ \begin{aligned} |f_n(x)-f_m(x)| &\le |f_n(c)-f_m(c)|\\ &\quad+|(f_n(x)-f_m(x))-(f_n(c)-f_m(c))|\\ &<\frac\varepsilon2+\eta|x-c|\\ &\le\frac\varepsilon2+\eta\ell =\frac{3\varepsilon}{4}<\varepsilon. \end{aligned} \tag{23.5.6} \]

Aquí \(|x-c|\le b-a=\ell\) porque ambos puntos pertenecen a \([a,b]\). El índice \(N\) no depende de \(x\) ni de los dos índices de la cola: (23.5.6) es la condición uniforme de Cauchy. El criterio Teorema §23.2.4 — Criterio uniforme de Cauchy construye mediante su grafo una única función \(f:I\to\mathbb R\) que es límite uniforme de \(f_n\).

Finalmente, la convergencia uniforme implica convergencia puntual en \(c\) por Proposición §23.1.6 — La convergencia uniforme implica la puntual, mientras que la hipótesis dice que \(f_n(c)\to\lambda\). La unicidad del límite numérico Teorema §13.3.5 — Unicidad del límite real da \(f(c)=\lambda\). Se han reunido sólo los dos testigos \(N_0,N_1\), sin seleccionar puntos, derivadas o límites simultáneamente. \(\square\)

Lectura. El teorema del valor medio transporta desde \(c\) a cualquier \(x\) el control de las derivadas. El factor \(b-a\) permite usar un mismo índice para todo el intervalo. La convergencia de un único valor fija la constante que la derivada no distingue.

Teorema 23.5.4 — Diferenciación bajo límite uniforme de derivadas

Sean \(f_n\), \(d_n\), \(g\), \(c\) y \(\lambda\) como en el teorema anterior, y sea \(f:I\to\mathbb R\) el límite uniforme allí construido. Entonces \(f\) es continua sobre \(I\), derivable en todos los puntos de \(J=(a,b)\) relativamente a \(I\), y

\[ \boxed{f'(x)=g(x)=\lim_{n\to\infty}f_n'(x) \qquad(x\in(a,b)).} \tag{23.5.7} \]

La última expresión indica convergencia puntual de la sucesión numérica de derivadas en cada \(x\); la convergencia de las funciones derivadas hacia \(g\) es, por hipótesis, uniforme en \(J\). No se afirma aquí que \(f\) posea derivadas en \(a\) o \(b\).

Demostración. La continuidad de \(f\) en todo \(I\) se sigue de Corolario §23.3.2 — Continuidad del límite uniforme en todo el dominio, pues cada \(f_n\) es continua y la convergencia de las funciones es uniforme. Fijemos ahora \(x\in J\) y \(\varepsilon>0\). Por la convergencia uniforme de \(d_n\) a \(g\), con tolerancia \(\varepsilon/4\), elegimos \(N\) tal que

\[ |d_k(t)-g(t)|<\frac\varepsilon4 \qquad(k\ge N,\ t\in J). \tag{23.5.8} \]

Para cualquier \(m\ge N\) y cualquier \(t\in J\), la desigualdad triangular da

\[ |d_m(t)-d_N(t)| \le|d_m(t)-g(t)|+|g(t)-d_N(t)| <\frac\varepsilon2. \]

Apliquemos Lema §23.5.2 — Control de incrementos mediante diferencias de derivadas a \(f_m\) y \(f_N\), con \(\eta=\varepsilon/2\). Para todo \(y\in I\) distinto de \(x\) obtenemos, tras dividir por \(|y-x|>0\),

\[ \left|\frac{f_m(y)-f_m(x)}{y-x} -\frac{f_N(y)-f_N(x)}{y-x}\right| \le\frac\varepsilon2. \tag{23.5.9} \]

Mantengamos fijos este \(x\) y este \(y\ne x\) y hagamos \(m\to\infty\). La convergencia uniforme de \(f_m\) a \(f\) implica convergencia de ambos valores \(f_m(y)\) y \(f_m(x)\), por lo que sus cocientes, con denominador fijo no nulo, convergen al cociente de \(f\). Como todos los términos de (23.5.9) están en el intervalo cerrado de radio \(\varepsilon/2\) alrededor del cociente de \(f_N\), su límite pertenece al mismo intervalo (por la preservación del orden al pasar al límite Teorema §13.6.2 — Preservación del orden en el paso al límite). Así,

\[ \left|\frac{f(y)-f(x)}{y-x} -\frac{f_N(y)-f_N(x)}{y-x}\right| \le\frac\varepsilon2 \quad(y\in I,\ y\ne x). \tag{23.5.10} \]

El índice \(N\) de esta desigualdad no depende de \(y\). Puesto que \(f_N\) es derivable en \(x\) relativamente a \(I\), la definición Definición §19.1.3 — Derivabilidad en un punto aplicada con tolerancia \(\varepsilon/4\) proporciona un radio \(\delta>0\) tal que, si \(y\in I\) y \(0<|y-x|<\delta\),

\[ \left|\frac{f_N(y)-f_N(x)}{y-x}-d_N(x)\right|<\frac\varepsilon4. \tag{23.5.11} \]

Combinando (23.5.10), (23.5.11) y (23.5.8) para \(t=x\), hallamos

\[ \begin{aligned} \left|\frac{f(y)-f(x)}{y-x}-g(x)\right| &\le\left|\frac{f(y)-f(x)}{y-x} -\frac{f_N(y)-f_N(x)}{y-x}\right|\\ &\quad+\left|\frac{f_N(y)-f_N(x)}{y-x}-d_N(x)\right| +|d_N(x)-g(x)|\\ &<\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon4+\frac\varepsilon4 =\varepsilon. \end{aligned} \tag{23.5.12} \]

El punto \(x\) es interior y, por ello, pertenece a \(\operatorname{Acc}(I)\); (23.5.12) prueba que el cociente incremental de \(f\) tiende a \(g(x)\). La definición de derivabilidad y la unicidad de la derivada (Proposición §19.1.4 — Unicidad y criterio cuantificado de la derivada) concluyen \(f'(x)=g(x)\). La arbitrariedad de \(x\) establece (23.5.7) sobre todo \(J\). Ninguna etapa ha presupuesto la integrabilidad o la continuidad de \(g\) o de las derivadas. \(\square\)

Alcance. El argumento no intercambia formalmente dos límites sin justificación: primero obtiene una estimación uniforme de cocientes de incrementos con el teorema del valor medio y sólo entonces toma el límite en el índice. El radio local se elige después, para una función \(f_N\) ya determinada.

Proposición 23.5.5 — Las derivadas no controlan las constantes: necesidad del anclaje

Existe una sucesión de funciones continuas en \([0,1]\) y derivables en \((0,1)\) cuyas derivadas convergen uniformemente a cero, aunque las funciones no convergen puntualmente en ningún punto.

Demostración. Para \(n\in\mathbb N\) sea \(f_n:[0,1]\to\mathbb R\) la función constante \(f_n(x)=\nu_{\mathbb R}(n)\), donde \(\nu_{\mathbb R}:\mathbb N\to\mathbb R\) es la incrustación de numerales reales de Definición §4.1.5 — Aplicación de numerales naturales en un cuerpo ordenado. Sus grafos y la función \(n\mapsto f_n\) se construyen por Separación, con valores únicos. Cada \(f_n\) es continua y derivable en el interior; por el cálculo de la derivada de una función constante (Proposición §19.1.6 — Primeros cálculos: funciones afines y función cuadrática), \(d_n(t)=0\) en \((0,1)\) para todo \(n\). Por tanto, las derivadas convergen uniformemente a la función nula: todos los errores son exactamente cero.

Sin embargo, fijado cualquier \(c\in[0,1]\), la sucesión \(f_n(c)=\nu_{\mathbb R}(n)\) no es de Cauchy: para cualquier \(N\), los índices explícitos \(n=N\) y \(m=N+1\) verifican \(|f_m(c)-f_n(c)|=1\), contra la tolerancia \(1/2\) de Definición §13.8.1 — Sucesión real de Cauchy. Toda sucesión real convergente es de Cauchy (Teorema §13.8.2 — Toda sucesión real convergente es de Cauchy), así que no existe límite en \(c\). La falta de anclaje no puede suprimirse del teorema general. \(\square\)

Proposición 23.5.6 — La convergencia uniforme de funciones no garantiza la de sus derivadas

Existe una sucesión \(f_n:[-1,1]\to\mathbb R\) de funciones continuas en todo el intervalo y derivables en su interior que converge uniformemente a la función nula \(f\), pero sus derivadas no convergen uniformemente a \(f'\); de hecho, ni siquiera convergen a \(f'(0)\) en el punto interior \(0\).

Demostración. Pongamos \(m_n:=\nu_{\mathbb R}(n+1)\ge1\) y definamos

\[ f_n(x):=\frac{x}{1+m_n^2x^2},\qquad x\in[-1,1]. \tag{23.5.13} \]

El denominador es mayor o igual que \(1\), así que nunca se anula. Separación construye los grafos tipados y la sucesión como en los ejemplos anteriores. Los polinomios son continuos y derivables; la continuidad de los cocientes y su regla de derivación (Corolario §17.5.4 — Continuidad de las funciones racionales en su dominio natural, Teorema §19.5.4 — Regla de derivación del cociente) muestran que cada \(f_n\) es continua en el intervalo y derivable en todo su interior.

Para \(t:=m_n|x|\ge0\) tenemos \((t-1)^2\ge0\), de donde \(2t\le1+t^2\). Como \(m_n>0\),

\[ |f_n(x)|=\frac{|x|}{1+m_n^2x^2} \le\frac{1}{2m_n}\qquad(x\in[-1,1]). \tag{23.5.14} \]

La propiedad arquimediana implica \(1/m_n\to0\). Para cada \(\varepsilon>0\) existe un índice \(N\) tal que \(1/(2m_n)<\varepsilon\) para todo \(n\ge N\). La cota (23.5.14), válida para todo \(x\), demuestra \(f_n\to f=0\) uniformemente.

Pero \(f_n(0)=0\) y, si \(h\ne0\) pertenece al intervalo,

\[ \frac{f_n(h)-f_n(0)}{h}= \frac1{1+m_n^2h^2}\longrightarrow1\quad(h\to0), \]

pues \(m_n\) es una constante fija al derivar cada término. Por definición, \(f_n'(0)=1\) para todo \(n\), mientras que \(f'(0)=0\) porque \(f\) es constante. La sucesión numérica de derivadas en \(0\) es constantemente igual a \(1\) y no converge a \(0\). En particular, no existe convergencia uniforme de \(d_n\) a \(f'\upharpoonright(-1,1)\). Este contraejemplo no contradice el teorema anterior: precisamente falta la hipótesis de convergencia uniforme de las derivadas hacia una función. \(\square\)

Transición. Ya conocemos una condición suficiente para diferenciar el límite y dos hipótesis que no pueden confundirse: el anclaje controla las constantes, mientras que la uniformidad de las derivadas controla la variación local. En §23.6 pasaremos de sucesiones a series de funciones mediante sus sucesiones de sumas parciales. Sólo después tendrá sentido formular el criterio \(M\) de Weierstrass, sin introducir prematuramente la teoría de series de potencias del capítulo siguiente.

23.6. Series de funciones: sumas parciales y convergencia

Una serie numérica no es un número al que se haya concedido de antemano existencia: en el Capítulo 14 la definimos a partir de una sucesión de sumas parciales. Para una serie de funciones la misma distinción resulta imprescindible y aparece una dificultad adicional: la suma parcial debe ser una función completa sobre el dominio común, mientras que el límite de esas funciones puede ser puntual o uniforme. No bastará comprobar que cada suma finita está definida; tampoco bastará que los términos individuales tiendan a cero.

Fijemos un conjunto \(E\subseteq\mathbb R\), que puede ser vacío, y una sucesión dada \(\mathbf f=(f_n)_{n\in\mathbb N}:\mathbb N\to\mathbb R^E\). Todos los términos tienen dominio exacto \(E\) y codominio \(\mathbb R\). Conservaremos la convención del Capítulo 14: los índices comienzan en \(0\), la suma parcial de índice \(n\) contiene los términos \(0,\ldots,n\) y un bloque posterior a \(n\) comienza en \(n+1\).

Definición 23.6.1 — Sucesión de sumas parciales de funciones

La sucesión de sumas parciales de funciones de \(\mathbf f\) es la única sucesión \(\mathbf S=(S_n)_{n\in\mathbb N}:\mathbb N\to\mathbb R^E\) tal que

\[ \boxed{S_0=f_0,\qquad S_{n+1}=S_n+f_{n+1}\quad(n\in\mathbb N),} \tag{23.6.1} \]

donde las sumas del lado derecho son operaciones puntuales sobre funciones con el mismo dominio y codominio. Escribimos

\[ \operatorname{PS}_E(\mathbf f):=\mathbf S, \qquad \sum_{k=0}^{n}f_k:=S_n. \tag{23.6.2} \]

Existencia, tipado y unicidad. Para cada \(x\in E\), Proposición §23.1.2 — Evaluación en un punto y sucesión real inducida construye una única sucesión real \(a^{(x)}\) con \(a^{(x)}_n=f_n(x)\). La operación numérica Definición §14.1.1 — Sucesión de sumas parciales y serie numérica produce una única sucesión \(\operatorname{PS}(a^{(x)})\). Para cada \(n\) fijado, Separación en \(E\times\mathbb R\) forma

\[ G_n:=\{\langle x,r\rangle\in E\times\mathbb R: r=\operatorname{PS}(a^{(x)})_n\}. \tag{23.6.3} \]

Cada \(G_n\) es el grafo de una función \(S_n:E\to\mathbb R\): para cada \(x\) hay exactamente un valor \(r\). La relación \(\{\langle n,H\rangle\in\mathbb N\times\mathbb R^E:H=S_n\}\) existe igualmente por Separación, pues \(S_n\) está caracterizada de manera única por (23.6.3), y determina la sucesión \(\mathbf S\). Las ecuaciones numéricas de Definición §14.1.1 — Sucesión de sumas parciales y serie numérica dicen \(S_0(x)=f_0(x)\) y \(S_{n+1}(x)=S_n(x)+f_{n+1}(x)\) para todo \(x\). La igualdad tipada de funciones Proposición §0.6.3 — Criterio de igualdad de funciones implica (23.6.1). Si otra sucesión satisficiera esas ecuaciones, para cada \(x\) sus evaluaciones serían las mismas sumas parciales numéricas, luego todos sus términos serían las funciones \(S_n\). Queda probada la unicidad. Para \(E=\varnothing\), cada grafo es vacío y la misma construcción funciona sin fijar un punto inexistente.

De hecho, Separación en el conjunto existente \((\mathbb R^E)^{\mathbb N}\times(\mathbb R^E)^{\mathbb N}\) y la unicidad precedente legitiman \(\operatorname{PS}_E\) como función total sobre el conjunto de sucesiones de funciones. Una serie de funciones es el proceso secuencial representado por \(\operatorname{PS}_E(\mathbf f)\), tanto si converge como si no. La construcción no elige independientemente sumas para infinitos índices: utiliza las sucesiones numéricas recursivas ya definidas y grafos de valor único.

Definición 23.6.2 — Convergencia puntual, convergencia uniforme y función suma de una serie

Sea \(\mathbf S=\operatorname{PS}_E(\mathbf f)\). Diremos que la serie \(\sum_{k=0}^{\infty}f_k\) converge puntualmente en \(E\) si existe \(F:E\to\mathbb R\) a la cual \(S_n\) converge puntualmente, es decir,

\[ \boxed{\forall x\in E\;\forall\varepsilon>0\;\exists N\in\mathbb N\; \forall n\ge N:\quad |S_n(x)-F(x)|<\varepsilon.} \tag{23.6.4} \]

Diremos que converge uniformemente en \(E\) si existe \(F:E\to\mathbb R\) tal que

\[ \boxed{\forall\varepsilon>0\;\exists N\in\mathbb N\; \forall n\ge N\;\forall x\in E:\quad |S_n(x)-F(x)|<\varepsilon.} \tag{23.6.5} \]

La expresión \(\sum_{k=0}^{\infty}f_k\) designa la serie, definida aun sin convergencia. Sólo después de establecer convergencia puntual puede denotar su función suma \(F\) y escribirse una igualdad \(\sum_{k=0}^{\infty}f_k=F\), entendida como igualdad de funciones de dominio \(E\) y codominio \(\mathbb R\). Si la convergencia es uniforme, lo indicaremos expresamente; no se sobreentiende por el signo de suma.

La función suma, cuando existe, es única por Proposición §23.1.4 — Unicidad del límite puntual como función tipada. Más aún, la convergencia de la serie numérica \(\sum_{k=0}^{\infty}f_k(x)\) para cada \(x\in E\) basta para construir la función suma: Definición §14.1.4 — Convergencia, divergencia y suma de una serie y la unicidad del límite real Teorema §13.3.5 — Unicidad del límite real aseguran que para cada \(x\) existe exactamente un real \(r\) que es límite de \(\operatorname{PS}(a^{(x)})\). Separación en \(E\times\mathbb R\) determina el grafo

\[ G_F:=\{\langle x,r\rangle\in E\times\mathbb R: \operatorname{PS}(a^{(x)})_n\longrightarrow r\}. \tag{23.6.6} \]

Su totalidad y valor único proporcionan \(F:E\to\mathbb R\), y (23.6.3) identifica su límite en cada punto con el de \(S_n(x)\). Por Proposición §23.1.6 — La convergencia uniforme implica la puntual, la convergencia uniforme de la serie implica la puntual. Si \(E=\varnothing\), todos los términos y sus sumas parciales son la única función vacía tipada, ambas convergencias se cumplen por vacuidad y la función suma es esa misma función vacía. No se introduce una suma real sobre un dominio vacío ni se elige una familia de límites mediante Choice.

Distinción de lectura. La convergencia puntual permite que \(N\) dependa de \(x\); la uniforme exige fijarlo antes de recorrer el dominio. Una serie de funciones puede tener una función suma sin converger uniformemente a ella.

Proposición 23.6.3 — Identidades de los bloques finitos de funciones

Sean \(n,m\in\mathbb N\) con \(n<m\). Definimos el bloque posterior a \(n\) y terminado en \(m\) como la función tipada

\[ \boxed{\sum_{k=n+1}^{m}f_k:=S_m-S_n:E\longrightarrow\mathbb R.} \tag{23.6.7} \]

Para cada \(x\in E\) valen las identidades

\[ \boxed{\left(\sum_{k=n+1}^{m}f_k\right)(x) =\sum_{k=n+1}^{m}f_k(x)=S_m(x)-S_n(x),} \tag{23.6.8} \]

\[ \sum_{k=n+1}^{n+1}f_k=f_{n+1},\qquad S_m=S_n+\sum_{k=n+1}^{m}f_k. \tag{23.6.9} \]

En particular, el bloque representa exactamente la suma finita de los términos consecutivos \(f_{n+1},\ldots,f_m\), sin definir una suma vacía.

Demostración. Las funciones \(S_m\) y \(S_n\) tienen el mismo dominio \(E\) y codominio \(\mathbb R\); su diferencia puntual existe como función tipada por Proposición §16.3.2 — Existencia y tipado de las operaciones puntuales. Fijemos \(x\in E\). La construcción de (23.6.3) identifica \(S_j(x)\) con la suma parcial numérica de \(a^{(x)}\) para cada \(j\). La notación y las identidades del bloque numérico Notación §14.2.1 — Suma de un bloque finito posterior y Proposición §14.2.2 — Identidades de los bloques de sumación dan precisamente (23.6.8), incluido el hecho de que el primer término del bloque es \(f_{n+1}(x)\). La recursión (23.6.1) y las leyes aditivas reales proporcionan \(S_{n+1}(x)-S_n(x)=f_{n+1}(x)\) y \(S_n(x)+(S_m(x)-S_n(x))=S_m(x)\). La igualdad de las funciones en (23.6.9) resulta de la coincidencia en cada punto y de sus tipos comunes (Proposición §0.6.3 — Criterio de igualdad de funciones). Si \(E\) es vacío, todas estas igualdades son igualdades de funciones con grafo vacío. \(\square\)

Teorema 23.6.4 — Criterio uniforme de Cauchy para series de funciones

Para una sucesión dada \(f_n:E\to\mathbb R\), son equivalentes:

1. La serie \(\sum_{k=0}^{\infty}f_k\) converge uniformemente en \(E\).
2. Para todo \(\varepsilon>0\) existe \(N\in\mathbb N\) tal que, para cualesquiera naturales \(n,m\) y cualquier \(x\in E\),

\[ \boxed{N\le n<m\quad\Longrightarrow\quad \left|\left(\sum_{k=n+1}^{m}f_k\right)(x)\right|<\varepsilon.} \tag{23.6.10} \]

Cuando estas condiciones se cumplen, la función suma es única. El criterio vale para conjuntos \(E\) arbitrarios, incluidos los vacíos o no acotados; no presupone la existencia de una norma supremo finita.

Demostración. Sea \(\mathbf S=\operatorname{PS}_E(\mathbf f)\). La primera condición significa, por definición, que la sucesión \(\mathbf S\) converge uniformemente hacia alguna función \(F:E\to\mathbb R\). El criterio uniforme de Cauchy Teorema §23.2.4 — Criterio uniforme de Cauchy afirma que esto equivale a

\[ \forall\varepsilon>0\;\exists N\in\mathbb N\; \forall n,m\ge N\;\forall x\in E: |S_m(x)-S_n(x)|<\varepsilon. \tag{23.6.11} \]

Si se satisface (23.6.11) y \(N\le n<m\), (23.6.8) transforma inmediatamente el error en el módulo del bloque de (23.6.10). En sentido inverso, fijemos \(\varepsilon>0\) y el \(N\) de (23.6.10). Para \(n,m\ge N\), la tricotomía natural Proposición §1.6.7 — Tricotomía decidible de los naturales distingue \(n<m\), \(m<n\) y \(m=n\). En el primer caso aplicamos la hipótesis; en el segundo intercambiamos ambos índices y utilizamos \(|S_m(x)-S_n(x)|=|S_n(x)-S_m(x)|\) (Proposición §4.2.2 — Propiedades elementales del valor absoluto); en el tercero la diferencia vale \(0<\varepsilon\). Como el mismo \(N\) sirve para todos los puntos, resulta (23.6.11). El teorema Teorema §23.2.4 — Criterio uniforme de Cauchy proporciona entonces la función límite uniforme única, que es la suma de la serie por Definición §23.6.2 — Convergencia puntual, convergencia uniforme y función suma de una serie.

Si \(E=\varnothing\), tanto el control de bloques como la convergencia uniforme a la única función vacía son verdaderos por vacuidad. No se escogió un punto del dominio ni una función límite entre varios candidatos. \(\square\)

Interpretación. El criterio no solicita que un término aislado sea pequeño: exige que cualquier número finito de términos consecutivos y suficientemente tardíos tenga suma pequeña, de manera simultánea para todos los puntos. El orden \(\exists N\,\forall n,m\,\forall x\) es esencial.

Corolario 23.6.5 — La convergencia uniforme de una serie obliga a la anulación uniforme de sus términos

Si \(\sum_{k=0}^{\infty}f_k\) converge uniformemente en \(E\), entonces la sucesión de términos \(f_n\) converge uniformemente a la función nula \(0_E:E\to\mathbb R\), \(0_E(x)=0\).

Demostración. La función nula existe como grafo \(\{\langle x,0\rangle:x\in E\}\subseteq E\times\mathbb R\), definido por Separación. Fijemos \(\varepsilon>0\) y obtengamos del criterio (23.6.10) un índice \(N\). Para cada \(n\ge N\) y todo \(x\in E\), el bloque con extremos \(n<n+1\) tiene un solo término. Por (23.6.9),

\[ |f_{n+1}(x)-0_E(x)| =\left|\left(\sum_{k=n+1}^{n+1}f_k\right)(x)\right| <\varepsilon. \tag{23.6.12} \]

El umbral \(N+1\) sirve entonces para todos los índices \(k\ge N+1\): en los naturales, cada tal \(k\) es \(n+1\) con \(n\ge N\). Es exactamente la convergencia uniforme \(f_k\to0_E\). El caso de dominio vacío también se satisface por vacuidad. \(\square\)

Este resultado es una condición necesaria, no un criterio suficiente. La diferencia se aprecia ya en una serie de funciones constantes.

Proposición 23.6.6 — Términos uniformemente nulos con serie divergente

Existe una sucesión de funciones continuas \(f_n:[0,1]\to\mathbb R\) que converge uniformemente a cero, mientras que su serie \(\sum_{k=0}^{\infty}f_k\) no converge en ningún punto de \([0,1]\).

Demostración. Tomemos la sucesión armónica numérica del Capítulo 14:

\[ h_n:=\nu_{\mathbb R}(n+1)^{-1},\qquad f_n(x):=h_n\quad(x\in[0,1]). \tag{23.6.13} \]

Cada numerador y denominador está tipado en \(\mathbb R\); \(\nu_{\mathbb R}(n+1)>0\), así que su inverso existe. Los grafos de las funciones constantes y el de la familia \(n\mapsto f_n\) existen por Separación, pues la fórmula da un único valor para cada par \((n,x)\). Cada \(f_n\) es continua. Lema §13.10.2 — Los recíprocos de los numerales positivos tienden a cero demuestra que \(h_n\to0\); como \(|f_n(x)|=|h_n|\) independientemente de \(x\), un único índice numérico para cada tolerancia verifica la convergencia uniforme de \(f_n\) hacia \(0_{[0,1]}\).

Sin embargo, en cualquier \(x\in[0,1]\), las sumas parciales \(S_n(x)\) coinciden, por (23.6.3), con las sumas parciales numéricas de la serie armónica. Proposición §14.2.7 — La condición \(a_n\to0\) no es suficiente: la serie armónica prueba que esa serie diverge. No existe, pues, un límite de \(S_n(x)\) en ningún punto; en particular, no hay función suma ni convergencia uniforme. Se ha demostrado que la condición necesaria del corolario anterior no es suficiente. \(\square\)

Proposición 23.6.7 — Una serie de funciones continuas puede converger puntualmente sin hacerlo uniformemente

Existe una serie de funciones continuas en \([0,1]\) que converge puntualmente a una función discontinua, pero no converge uniformemente.

Demostración. Sean \(g_n:[0,1]\to\mathbb R\), \(g_n(x)=x^n\), las funciones tipadas de Proposición §23.1.7 — Contraejemplo: potencias puntualmente convergentes sin convergencia uniforme; recordemos que \(x^0=1\), también para \(x=0\). Definimos los términos de una nueva sucesión por

\[ f_0:=g_0,\qquad f_{n+1}:=g_{n+1}-g_n \quad(n\in\mathbb N). \tag{23.6.14} \]

Las diferencias existen como funciones por Proposición §16.3.2 — Existencia y tipado de las operaciones puntuales; la fórmula da un único término en cada índice y, por Separación en \(\mathbb N\times\mathbb R^{[0,1]}\), construye la sucesión \(\mathbf f\). Cada función \(f_n\) es continua porque las potencias lo son (Teorema §17.5.3 — Todo polinomio real es continuo en la recta) y la continuidad se conserva bajo restas (Teorema §17.4.3 — Estabilidad de la continuidad bajo operaciones algebraicas y valor absoluto). Escribamos \(\mathbf S=\operatorname{PS}_{[0,1]}(\mathbf f)\). Demostraremos por inducción que

\[ \boxed{S_n=g_n\qquad(n\in\mathbb N).} \tag{23.6.15} \]

En \(n=0\), \(S_0=f_0=g_0\). Si \(S_n=g_n\), la recursión y (23.6.14) dan, como igualdad de funciones tipadas sobre \([0,1]\),

\[ S_{n+1}=S_n+f_{n+1} =g_n+(g_{n+1}-g_n)=g_{n+1}. \]

Por inducción queda probada (23.6.15): se ha realizado una cancelación finita, no un reordenamiento de sumas infinitas. La proposición Proposición §23.1.7 — Contraejemplo: potencias puntualmente convergentes sin convergencia uniforme establece que \(g_n=x^n\) converge puntualmente a

\[ F(x)=\begin{cases}0,&0\le x<1,\\1,&x=1,\end{cases} \]

pero no converge uniformemente en \([0,1]\), y que \(F\) no es continua en el extremo \(1\). Por (23.6.15) y la Definición 23.6.2, la serie de términos \(f_n\) tiene exactamente la misma función suma puntual \(F\), sin convergencia uniforme. \(\square\)

Transición. Hemos legitimado las series como sucesiones de sumas parciales, caracterizado su convergencia uniforme por bloques y separado tres hechos diferentes: los términos tienden a cero, la serie converge puntualmente y la serie converge uniformemente. El próximo paso es estudiar la convergencia absoluta de una serie de funciones y demostrar el criterio \(M\) de Weierstrass, comparando sus bloques con los de una serie numérica convergente. No utilizaremos una norma supremo sin demostrar previamente que sus valores son finitos, ni anticiparemos las series de potencias del Capítulo 24.

23.7. Convergencia absoluta y criterio \(M\) de Weierstrass

El criterio de §23.6 controla directamente las sumas de bloques de funciones. Pero una cancelación puede hacer pequeño un bloque aunque sus términos, considerados por separado, tengan magnitudes considerables. La convergencia absoluta permite formular un control más fuerte: sumar primero los valores absolutos de los términos. La comparación con una única serie numérica convergente dará después un criterio que funciona simultáneamente para todos los puntos del dominio.

Como antes, \(E\subseteq\mathbb R\) es un conjunto fijo, eventualmente vacío, y \(\mathbf f=(f_n)_{n\in\mathbb N}:\mathbb N\to\mathbb R^E\) es una sucesión dada. Ninguna conclusión dependerá de que \(E\) sea acotado o de que una función alcance un máximo.

Definición 23.7.1 — Serie de magnitudes y convergencia absoluta puntual y uniforme

Para cada \(n\in\mathbb N\) definimos la función de magnitudes \(A_n:E\to\mathbb R\) por

\[ \boxed{A_n(x):=|f_n(x)|\qquad(x\in E).} \tag{23.7.1} \]

Cada grafo \(\{\langle x,r\rangle\in E\times\mathbb R:r=|f_n(x)|\}\) existe por Separación y tiene un valor único en cada \(x\). Como la propiedad «\(H(x)=|f_n(x)|\) para todo \(x\in E\)» caracteriza una única función tipada \(H\in\mathbb R^E\), Separación en \(\mathbb N\times\mathbb R^E\) determina una única sucesión \(\mathbf A=(A_n):\mathbb N\to\mathbb R^E\). La serie de magnitudes es la serie de funciones \(\sum_{k=0}^{\infty}A_k\), también escrita \(\sum_{k=0}^{\infty}|f_k|\) con esta interpretación punto a punto.

Diremos que \(\sum f_k\) converge absolutamente en cada punto de \(E\) si \(\sum A_k\) converge puntualmente en \(E\) en el sentido de Definición §23.6.2 — Convergencia puntual, convergencia uniforme y función suma de una serie. Diremos que \(\sum f_k\) converge absolutamente de manera uniforme en \(E\) si \(\sum A_k\) converge uniformemente en \(E\). Esta segunda propiedad no se reduce a que, en cada punto por separado, converja la serie numérica \(\sum|f_k(x)|\): exige un umbral independiente del punto. Aún no se afirma que la serie original converja; ambas implicaciones se probarán más abajo.

Para \(E=\varnothing\), la sucesión de magnitudes es la familia de funciones vacías y ambas nociones se satisfacen por vacuidad. No usamos el supremo de las magnitudes sobre un dominio arbitrario.

Lema 23.7.2 — Comparación de bloques con magnitudes y mayorantes

Escribamos \(\mathbf S=\operatorname{PS}_E(\mathbf f)\) y \(\mathbf T=\operatorname{PS}_E(\mathbf A)\). Para todo \(n<m\) y todo \(x\in E\) se cumple

\[ \boxed{|S_m(x)-S_n(x)|\le T_m(x)-T_n(x) =\sum_{k=n+1}^{m}|f_k(x)|.} \tag{23.7.2} \]

Además, supongamos dada una sucesión real \(M:\mathbb N\to\mathbb R\) cuyos términos satisfacen \(0\le |f_k(x)|\le M_k\) para todo \(k\in\mathbb N\) y todo \(x\in E\). Sean \(U=\operatorname{PS}(M)\) sus sumas parciales numéricas. Entonces

\[ \boxed{0\le T_m(x)-T_n(x)\le U_m-U_n =\sum_{k=n+1}^{m}M_k.} \tag{23.7.3} \]

Demostración. Fijemos \(n<m\) y \(x\in E\). Las sucesiones numéricas \(a_k=f_k(x)\) y \(b_k=|a_k|\) están definidas por evaluación, y sus sumas parciales son respectivamente \(S_k(x)\) y \(T_k(x)\) por (23.6.3). La desigualdad de bloques numéricos Lema §14.8.2 — Desigualdad triangular para sumas finitas y bloques da \(|S_m(x)-S_n(x)|\le T_m(x)-T_n(x)\) y, como cada \(b_k\ge0\), el segundo miembro es una suma no negativa. La identidad con la suma finita sigue de Proposición §23.6.3 — Identidades de los bloques finitos de funciones.

Para (23.7.3), consideremos los bloques numéricos \(\sum_{k=n+1}^{m}b_k\) y \(\sum_{k=n+1}^{m}M_k\). Si \(m=n+1\), la desigualdad es \(b_{n+1}\le M_{n+1}\). Si vale para un extremo \(m>n\), la recursión de bloques Proposición §14.2.2 — Identidades de los bloques de sumación y la hipótesis \(b_{m+1}\le M_{m+1}\) permiten añadir los términos respectivos y obtenerla para \(m+1\). Por inducción alcanza todos los \(m>n\), sin definir sumas vacías. De la no negatividad de los \(M_k\) y \(b_k\) se obtienen las cotas inferiores. Como \(x,n,m\) eran arbitrarios, ambas estimaciones valen simultáneamente en sus dominios de cuantificación; no se han elegido puntos extremos ni familias de testigos. \(\square\)

Teorema 23.7.3 — La convergencia absoluta produce convergencia ordinaria

Para una serie de funciones sobre \(E\) se verifican las dos implicaciones siguientes:

1. Si converge absolutamente en cada punto de \(E\), entonces converge puntualmente en \(E\).
2. Si converge absolutamente de manera uniforme en \(E\), entonces converge uniformemente en \(E\).

En ambos casos, la función suma original sólo se utiliza una vez probada su existencia; no tiene por qué coincidir con la función suma de las magnitudes.

Demostración. Para la primera afirmación, fijemos \(x\in E\). La serie numérica de términos \(a_k=f_k(x)\) tiene serie de magnitudes \(\sum|a_k|=\sum A_k(x)\), convergente por hipótesis. El resultado numérico Teorema §14.8.3 — La convergencia absoluta implica convergencia ordinaria demuestra que \(\sum a_k\) converge. Esto vale para cada \(x\) y Definición §23.6.2 — Convergencia puntual, convergencia uniforme y función suma de una serie construye la función suma mediante el grafo de límites únicos; no seleccionamos simultáneamente números límite.

Para la segunda, fijemos \(\varepsilon>0\). Aplicamos el criterio uniforme de Cauchy Teorema §23.6.4 — Criterio uniforme de Cauchy para series de funciones a la serie de magnitudes, que converge uniformemente: existe \(N\) tal que para \(N\le n<m\) y todo \(x\in E\),

\[ |T_m(x)-T_n(x)|<\varepsilon. \]

Los términos de magnitudes son no negativos y, por (23.7.2), \(0\le|S_m(x)-S_n(x)|\le T_m(x)-T_n(x)<\varepsilon\). El mismo \(N\) verifica el criterio Teorema §23.6.4 — Criterio uniforme de Cauchy para series de funciones para la serie original; ésta converge uniformemente. El caso vacío satisface ambas conclusiones por las definiciones de §23.6. \(\square\)

Advertencia. Ni el teorema ni la definición identifican «absoluta en cada punto» con «absoluta uniforme». La primera afirmación aplica un resultado numérico para cada \(x\); la segunda necesita además un único umbral para todos los puntos.

Teorema 23.7.4 — Criterio \(M\) de Weierstrass y estimación del resto

Sea \(M=(M_n):\mathbb N\to\mathbb R\) una sucesión real dada, con \(M_n\ge0\) para todo \(n\), y supongamos que la serie numérica \(\sum_{n=0}^{\infty}M_n\) converge. Si

\[ \boxed{|f_n(x)|\le M_n\qquad(n\in\mathbb N,\ x\in E),} \tag{23.7.4} \]

entonces la serie \(\sum_{n=0}^{\infty}f_n\) converge absolutamente de manera uniforme y, por tanto, converge uniformemente a una única función \(F:E\to\mathbb R\).

Más precisamente, si \(U_n=\sum_{k=0}^{n}M_k\) y \(B:=\sum_{k=0}^{\infty}M_k\in\mathbb R\), se tiene para cada \(n\in\mathbb N\) y cada \(x\in E\) la cota del resto

\[ \boxed{\left|F(x)-S_n(x)\right|\le B-U_n.} \tag{23.7.5} \]

El número del lado derecho es no negativo y tiende a cero. No se exige que \(E\) sea compacto, no se toma un máximo de \(|f_n|\) ni se postula la existencia de \(\sup_{x\in E}|f_n(x)|\).

Demostración. Sean \(\mathbf A\) la sucesión de magnitudes y \(\mathbf T=\operatorname{PS}_E(\mathbf A)\). Puesto que la serie numérica \(\sum M_n\) converge, Teorema §14.2.3 — Criterio de Cauchy para una serie numérica proporciona, para cualquier \(\varepsilon>0\), un índice \(N\) tal que

\[ N\le n<m\quad\Longrightarrow\quad |U_m-U_n|<\varepsilon. \tag{23.7.6} \]

Los \(M_n\) son no negativos, por lo que \(U_m-U_n\ge0\) cuando \(n<m\). Aplicando (23.7.3), para todo \(x\in E\) y los mismos \(N\le n<m\), obtenemos

\[ 0\le T_m(x)-T_n(x)\le U_m-U_n<\varepsilon. \tag{23.7.7} \]

El criterio Teorema §23.6.4 — Criterio uniforme de Cauchy para series de funciones aplicado a la serie de magnitudes demuestra su convergencia uniforme. Por Teorema §23.7.3 — La convergencia absoluta produce convergencia ordinaria, la serie original también converge uniformemente y tiene una función suma única \(F:E\to\mathbb R\).

Para la estimación cuantitativa, fijemos ahora \(n\) y \(x\). La combinación de (23.7.2) y (23.7.3) proporciona, para todo \(m>n\),

\[ |S_m(x)-S_n(x)|\le U_m-U_n. \tag{23.7.8} \]

Como \(S_m(x)\to F(x)\) y \(U_m\to B\), la continuidad del valor absoluto Proposición §13.5.5 — El valor absoluto preserva límites y la preservación de desigualdades al pasar al límite Teorema §13.6.2 — Preservación del orden en el paso al límite dan \(|F(x)-S_n(x)|\le B-U_n\). De \(U_m\ge U_n\) para todo \(m>n\) y la misma preservación del orden resulta \(B-U_n\ge0\). La convergencia numérica \(U_n\to B\) implica \(B-U_n\to0\). Así (23.7.5) es una estimación uniforme en \(x\) mediante una sucesión de errores puramente numérica. Si \(E\) es vacío, la desigualdad es vacua y la prueba de convergencia permanece válida. \(\square\)

Cómo se utiliza. No necesitamos conocer \(F\) para demostrar que existe. Basta construir una serie numérica mayorante convergente y verificar (23.7.4); el resto se controla después por la cola de esa serie mayorante, nunca por una supuesta suma infinita no definida.

Corolario 23.7.5 — Continuidad de una serie dominada

Supongamos las hipótesis del criterio \(M\). Si cada \(f_n:E\to\mathbb R\) es continua relativamente a \(E\), entonces su función suma \(F:E\to\mathbb R\) es continua en todo \(E\).

Demostración. La suma parcial \(S_0=f_0\) es continua. Si \(S_n\) lo es, la ecuación \(S_{n+1}=S_n+f_{n+1}\) y la estabilidad algebraica de la continuidad Teorema §17.4.3 — Estabilidad de la continuidad bajo operaciones algebraicas y valor absoluto establecen que \(S_{n+1}\) también es continua. Por inducción, todas las \(S_n\) son continuas sobre el mismo dominio. El teorema Teorema §23.7.4 — Criterio \(M\) de Weierstrass y estimación del resto garantiza \(S_n\to F\) uniformemente; Corolario §23.3.2 — Continuidad del límite uniforme en todo el dominio entrega la continuidad de \(F\) en cada punto del dominio. Si \(E=\varnothing\), ambas nociones son vacuas y la misma conclusión rige. \(\square\)

Corolario 23.7.6 — Integración término a término de una serie dominada

Sean \(a,b\in\mathbb R\), \(a\le b\), y sea \(E=[a,b]\). Supongamos que cada \(f_n:E\to\mathbb R\) es integrable en el sentido del Capítulo 21 y que se cumplen las hipótesis del criterio \(M\). Entonces la función suma \(F\) es integrable, la serie numérica de las integrales de los términos converge y

\[ \boxed{\int_a^b F=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\int_a^b f_n\right).} \tag{23.7.9} \]

El símbolo del lado derecho denota una suma real sólo después de haber establecido su convergencia.

Demostración. Por inducción, \(S_0=f_0\) es integrable; si \(S_n\) lo es, también \(S_{n+1}=S_n+f_{n+1}\) por la linealidad finita Corolario §21.5.7 — Linealidad para combinaciones finitas de dos funciones. Así todas las sumas parciales son integrables. El criterio \(M\) demuestra que \(S_n\to F\) uniformemente. El teorema Teorema §23.4.2 — El límite uniforme de funciones integrables es integrable implica que \(F\) es integrable, antes de escribir su integral.

Cada integral \(\int_a^b f_n\) existe y es única, utilizando la definición ordinaria si \(a<b\) (Definición §21.4.3 — Integral de Riemann–Darboux para funciones integrables) o la convención para \(a=b\) (Definición §21.6.5 — Integración en un intervalo degenerado). Separación en \(\mathbb N\times\mathbb R\) construye la sucesión real \(c_n:=\int_a^b f_n\). Por inducción, la linealidad finita y la recursión (23.6.1) prueban

\[ \boxed{\int_a^b S_n=\sum_{k=0}^{n}c_k \qquad(n\in\mathbb N).} \tag{23.7.10} \]

No se ha usado linealidad de ninguna suma infinita. El intercambio de límite e integral ya demostrado (Teorema §23.4.3 — Intercambio del límite y la integral), aplicado a la sucesión integrable \((S_n)\), da \(\lim_n\int_a^bS_n=\int_a^bF\). Por (23.7.10), las sumas parciales numéricas de \((c_n)\) tienen ese límite: de ahí la convergencia de la serie numérica y la identidad (23.7.9). Cuando \(a=b\), todas las integrales son cero y la convención del singleton verifica igualmente el argumento. \(\square\)

Proposición 23.7.7 — El criterio \(M\) es suficiente, pero no necesario

Existe una serie que converge absolutamente de manera uniforme sobre un dominio real \(E\), pero para la cual no existe ninguna sucesión \(M_n\ge0\) con \(|f_n(x)|\le M_n\) para todo \(n,x\) y con \(\sum M_n\) convergente.

Demostración. Sea \(\nu_{\mathbb R}:\mathbb N\to\mathbb R\) la aplicación de numerales reales, inyectiva por Proposición §4.1.6 — Aritmética y orden de los numerales naturales, y definamos mediante Separación

\[ E:=\{x\in\mathbb R:\exists j\in\mathbb N,\ x=\nu_{\mathbb R}(j)\}. \]

Para cada \(k\in\mathbb N\) establezcamos la función \(f_k:E\to\mathbb R\) por

\[ f_k(x):=\begin{cases} \bigl(\nu_{\mathbb R}(k+1)\bigr)^{-1},&x=\nu_{\mathbb R}(k),\\ 0,&x\ne\nu_{\mathbb R}(k). \end{cases} \tag{23.7.11} \]

Los denominadores son estrictamente positivos. Esta fórmula define un único valor para cada \(k,x\) y los grafos de \(f_k\) y de \(k\mapsto f_k\) existen por Separación en \(E\times\mathbb R\) y \(\mathbb N\times\mathbb R^E\). Cada \(f_k\) es no negativa, por lo que su serie de magnitudes coincide con ella. La inyectividad de \(\nu_{\mathbb R}\) asegura que, para cualquier \(x\in E\), a lo sumo uno de los términos \(f_k(x)\) es distinto de cero.

Fijemos \(n<m\). El bloque de magnitudes \(T_m(x)-T_n(x)\) es, por tanto, cero o igual a \(1/\nu_{\mathbb R}(k+1)\) para un único \(k\) con \(n+1\le k\le m\). Por monotonía de los numerales y del recíproco positivo,

\[ 0\le T_m(x)-T_n(x) \le\frac{1}{\nu_{\mathbb R}(n+2)} \qquad(x\in E). \tag{23.7.12} \]

La sucesión de recíprocos tiende a cero por Lema §13.10.2 — Los recíprocos de los numerales positivos tienden a cero. Dado \(\varepsilon>0\), obtenemos un \(N\) para el que \(1/\nu_{\mathbb R}(n+2)<\varepsilon\) para todo \(n\ge N\). La cota (23.7.12) verifica el criterio uniforme Teorema §23.6.4 — Criterio uniforme de Cauchy para series de funciones para la serie de magnitudes: converge absolutamente de manera uniforme.

Ahora supongamos que una sucesión mayorante \(M\) como la del criterio \(M\) existiese. Al evaluar en el punto explícito \(x=\nu_{\mathbb R}(k)\) tendríamos

\[ M_k\ge |f_k(\nu_{\mathbb R}(k))| =\frac1{\nu_{\mathbb R}(k+1)}. \]

El criterio de comparación directa Teorema §14.5.2 — Criterio de comparación directa implicaría que la convergencia de \(\sum M_k\) fuerza la convergencia de la serie armónica \(\sum1/\nu_{\mathbb R}(k+1)\); esto contradice Proposición §14.2.7 — La condición \(a_n\to0\) no es suficiente: la serie armónica. Por lo tanto, el criterio \(M\) no es una caracterización de la convergencia absoluta uniforme, aunque siempre la garantiza cuando sus hipótesis se cumplen. \(\square\)

Transición. La teoría precedente parte de una sucesión arbitraria de funciones y separa rigurosamente la convergencia de sus sumas parciales de la convergencia de los términos. El Capítulo 24 estudiará la familia especial de las series de potencias: habrá que determinar dónde convergen, introducir y justificar su radio de convergencia y demostrar, con las hipótesis apropiadas, las operaciones de continuidad, derivación e integración de sus funciones suma. El criterio \(M\) y la diferenciación bajo convergencia uniforme de derivadas estarán disponibles como herramientas, pero no convertirán esas conclusiones en axiomas ni autorizarán operaciones fuera de los conjuntos de convergencia probados.