Tratado de análisis — Capítulo 22 — Teorema fundamental del cálculo

Capítulo 22 — Teorema fundamental del cálculo en el desarrollo progresivo del Tratado de análisis.
Autor/a

Gustav A. Tachek

Fecha de última modificación

21 de septiembre de 2026

Capítulo 22 — Teorema fundamental del cálculo

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Parte II — Núcleo del análisis real

22.0. La pregunta por el vínculo entre acumulación y variación

El capítulo anterior construyó la integral de Riemann–Darboux partiendo de particiones y supremos e ínfimos. La diferenciación, en cambio, se definió mediante cocientes incrementales antes de que existiera ninguna integral. Podemos preguntar ahora si ambas operaciones se relacionan. Esta relación deberá demostrarse: no forma parte de la definición de integral ni de la de derivada.

La primera construcción será una función: mantendremos fijo el extremo inferior \(a\) y dejaremos variar el extremo superior \(x\). Su valor registrará la integral sobre \([a,x]\). Antes de derivarla hay dos obligaciones previas: justificar que la integral existe para cada \(x\), incluido \(x=a\), y demostrar una identidad exacta para sus incrementos. A continuación obtendremos estimaciones locales y continuidad sin suponer siquiera que la función integranda es continua. Sólo después abordaremos la primera parte del teorema fundamental bajo la hipótesis adicional pertinente.

Durante esta construcción fijaremos \(a,b\in\mathbb R\) con \(a<b\). No escribiremos integrales con los límites invertidos: la convención de §21.6 únicamente autoriza intervalos ordenados y el caso de extremos coincidentes. Las funciones y sus restricciones conservarán dominio y codominio explícitos.

22.1. La función integral acumulada

Definición 22.1.1 — Función integral acumulada

Sea \(f:[a,b]\to\mathbb R\) integrable. Por el corolario Corolario §21.6.6 — Aditividad para todo punto del intervalo cerrado, para cada \(x\in[a,b]\) su restricción tipada

\[ f_x:=f\upharpoonright[a,x]:[a,x]\longrightarrow\mathbb R \]

es integrable. Si \(x=a\), la integral de \(f_a\) existe por la convención de intervalo degenerado Definición §21.6.5 — Integración en un intervalo degenerado y vale cero. Si \(a<x\le b\), su integral existe en el sentido de Definición §21.4.3 — Integral de Riemann–Darboux para funciones integrables. Definimos la función integral acumulada de \(f\) con origen \(a\) como

\[ \boxed{F_{f,a}:[a,b]\longrightarrow\mathbb R,\qquad F_{f,a}(x):=\int_a^x f_x.} \tag{22.1.1} \]

La fórmula define efectivamente una función: por lo anterior, para cada \(x\) existe exactamente un real \(z=\int_a^x f_x\). Por Separación en el conjunto ya existente \([a,b]\times\mathbb R\) se obtiene el grafo

\[ G_{F_{f,a}}:=\{\langle x,z\rangle\in[a,b]\times\mathbb R: z=\int_a^x (f\upharpoonright[a,x])\}. \tag{22.1.2} \]

El predicado de (22.1.2) comprende por casos la definición de §21.4 para \(x>a\) y la de §21.6 para \(x=a\); en ningún caso apela a una integral indefinida ni a una orientación no definida. La existencia y unicidad de \(z\) hacen del grafo una función de dominio exacto \([a,b]\) y codominio \(\mathbb R\); no se elige simultáneamente una familia de integrales.

Proposición 22.1.2 — Valores extremos e identidad exacta de los incrementos

Sea \(F_{f,a}\) la función anterior. Se cumplen

\[ \boxed{F_{f,a}(a)=0_{\mathbb R},\qquad F_{f,a}(b)=\int_a^b f.} \tag{22.1.3} \]

Para cualesquiera \(a\le x\le y\le b\), la restricción \(f\upharpoonright[x,y]\) es integrable y

\[ \boxed{F_{f,a}(y)-F_{f,a}(x) =\int_x^y\bigl(f\upharpoonright[x,y]\bigr).} \tag{22.1.4} \]

Demostración. En \(x=a\), la definición (22.1.1) y Definición §21.6.5 — Integración en un intervalo degenerado dan la primera igualdad de (22.1.3). Para \(x=b\), la restricción \(f\upharpoonright[a,b]\) coincide con \(f\) por igualdad de dominio, codominio y grafo (Proposición §1.3.2 — Existencia y unicidad de la restricción), de donde se deduce la segunda.

Fijemos ahora \(a\le x\le y\le b\). La restricción \(f_y:=f\upharpoonright[a,y]\) es integrable, incluso cuando \(y=a\). Aplicamos Corolario §21.6.6 — Aditividad para todo punto del intervalo cerrado a \(f_y\) con el punto de corte \(x\). El resultado garantiza la integrabilidad de sus dos restricciones y la identidad

\[ \int_a^y f_y =\int_a^x(f_y\upharpoonright[a,x]) +\int_x^y(f_y\upharpoonright[x,y]). \]

Las restricciones sucesivas son, como funciones tipadas, respectivamente \(f\upharpoonright[a,x]\) y \(f\upharpoonright[x,y]\): tienen iguales dominios, codominio real y grafos. Las dos primeras integrales son entonces \(F_{f,a}(y)\) y \(F_{f,a}(x)\). Restarlas en el cuerpo real da (22.1.4). Si \(x=y\), el último término es cero por §21.6; no se divide por \(y-x\) ni se utiliza una partición estricta de un singleton. \(\square\)

Lectura. El cambio de la acumulación entre dos extremos ordenados es la integral sobre el tramo que los separa. La igualdad es anterior a cualquier afirmación acerca de la derivada y no necesita continuidad de \(f\).

Proposición 22.1.3 — Encierro del incremento y de su cociente medio

Sean \(a\le x<y\le b\) y sean \(m,M\in\mathbb R\) tales que

\[ m\le f(t)\le M\qquad(t\in[x,y]). \]

Entonces

\[ \boxed{m(y-x)\le F_{f,a}(y)-F_{f,a}(x)\le M(y-x).} \tag{22.1.5} \]

En particular, los extremos locales existen y se obtiene

\[ \boxed{ \inf fx,y\ \le\ \frac{F_{f,a}(y)-F_{f,a}(x)}{y-x} \ \le\ \sup fx,y.} \tag{22.1.6} \]

Aquí \(fx,y\) denota la imagen directa del subintervalo \([x,y]\) por la función \(f\), conforme a la convención \(f[X]\); los corchetes dobles no representan intervalos anidados. El cociente sólo se escribe cuando \(x<y\).

Demostración. Por Proposición §22.1.2 — Valores extremos e identidad exacta de los incrementos, la función \(g:=f\upharpoonright[x,y]\) es integrable y su integral coincide con \(F_{f,a}(y)-F_{f,a}(x)\). Tiene las cotas globales \(m,M\) sobre su propio dominio, de modo que Corolario §21.5.8 — Positividad y estimaciones por cotas constantes aplicado a \(g\) proporciona

\[ m(y-x)\le\int_x^y g\le M(y-x). \]

Esto prueba (22.1.5). Como \([x,y]\) es no vacío y \(f\) está acotada, Lema §21.2.2 — Existencia de las cotas extremas locales y comparación por inclusión permite tomar las cotas particulares \(m=\inf fx,y\) y \(M=\sup fx,y\). Dado que \(y-x>0\), dividir (22.1.5) por esta anchura conserva ambas desigualdades y produce (22.1.6). No se selecciona un punto donde \(f\) alcance alguno de los dos extremos; tales puntos pueden no existir. \(\square\)

La proposición expresa el control local necesario para el futuro teorema fundamental: el cociente incremental de la acumulación está entre el ínfimo y el supremo de los valores de \(f\) en el pequeño tramo, antes de tomar límite alguno.

Teorema 22.1.4 — Acotación global, condición de Lipschitz y continuidad uniforme

Si \(f:[a,b]\to\mathbb R\) es integrable y \(F_{f,a}\) es su función integral acumulada, existe un real \(K\ge0\) tal que

\[ \boxed{|F_{f,a}(y)-F_{f,a}(x)|\le K|y-x| \qquad(x,y\in[a,b]).} \tag{22.1.7} \]

Por tanto \(F_{f,a}\) es uniformemente continua —y, en particular, continua en cada punto de su dominio— aun si \(f\) no es continua.

Demostración. La integrabilidad implica acotación (Definición §21.4.1 — Integrabilidad de Darboux por igualdad de integrales extremas, Definición §21.2.1 — Función acotada en el intervalo), por lo que existen dos reales \(A,B\) con \(A\le f(t)\le B\) en \([a,b]\). Fijemos una sola vez tales testigos. Por el orden total de \(\mathbb R\) uno de \(|A|\) y \(|B|\) es el mayor; designémoslo \(K\). Así \(K\ge0\) y

\[ -K\le f(t)\le K\qquad(t\in[a,b]). \]

Si \(x<y\), aplicamos (22.1.5) a las cotas \(m=-K\) y \(M=K\):

\[ -K(y-x)\le F_{f,a}(y)-F_{f,a}(x)\le K(y-x). \]

La definición de valor absoluto convierte esta doble desigualdad en (22.1.7), pues \(|y-x|=y-x\). Para \(y<x\) intercambiamos los nombres de los extremos y usamos la simetría del valor absoluto; si \(x=y\), ambos miembros de (22.1.7) son cero.

Ahora sea \(\varepsilon>0\) y construyamos el radio positivo

\[ \delta:=\frac{\varepsilon}{K+1_{\mathbb R}}>0. \]

Para cualquier par \(x,y\in[a,b]\) con \(|x-y|<\delta\),

\[ |F_{f,a}(y)-F_{f,a}(x)|\le K|y-x| <K\delta\le\varepsilon \]

cuando \(K>0\); si \(K=0\), la primera desigualdad ya da \(|F_{f,a}(y)-F_{f,a}(x)|=0<\varepsilon\). En ambos casos queda satisfecho el orden de cuantificadores de la continuidad uniforme Definición §17.6.1 — Continuidad uniforme relativa a un dominio: el mismo \(\delta\) sirve para todos los pares de puntos. La continuidad relativa en cada punto se deduce de Proposición §17.6.2 — La uniformidad implica continuidad puntual y pasa a las restricciones. No se invocó la derivabilidad de \(F_{f,a}\), ni un teorema del valor medio para integrales. \(\square\)

Una distinción crucial. La continuidad de la función acumulada no implica la continuidad de la integranda. La función escalón de §21.8, integrable a pesar de su salto, proporciona un ejemplo que se puede reutilizar aquí: su función acumulada es continua por (22.1.7). La pregunta más fuerte de si \(F_{f,a}'(x)=f(x)\) requiere hipótesis locales adicionales y será el objeto de §22.2. La demostración no interpretará una derivada en un extremo como si fuera una derivada bilateral.

Nota de consulta y contraste. Jacob y Evans, A Course in Analysis, vol. I (2015), cap. 26, teorema 26.1, p. 369, formulan para integrandas continuas la derivabilidad de la función acumulada y recurren en su prueba a un teorema del valor medio para integrales. Hemos conservado la motivación del vínculo entre ambas operaciones, pero separado aquí un resultado previo más general: la continuidad de la acumulada sólo necesita que \(f\) sea integrable y acotada. Nuestro encierro (22.1.6) se obtiene directamente de la estimación de integrales del Capítulo 21 y no presupone el valor medio integral.

Transición. Si \(f\) es continua en un punto interior \(x\), su oscilación en intervalos cortos que contienen \(x\) puede hacerse arbitrariamente pequeña. La desigualdad (22.1.6) permitirá entonces probar que el cociente incremental de \(F_{f,a}\) converge a \(f(x)\); habrá que tratar separadamente los incrementos positivos y negativos sin invertir límites de integración.

22.2. Primera parte del teorema fundamental del cálculo

Una función integrable puede ser discontinua; aun así, su acumulada es continua (§22.1). La afirmación que ahora buscamos es distinta: en cada punto interior donde la integranda sí sea continua, la acumulada resulta derivable y su derivada recupera el valor de la integranda en ese punto. Separaremos una estimación algebraica que vale sin continuidad del argumento de límite que utiliza esa hipótesis.

Lema 22.2.1 — Estimación del cociente incremental por la oscilación alrededor de un valor

Sea \(f:[a,b]\to\mathbb R\) integrable y sea \(F:=F_{f,a}\). Fijemos \(x,y\in[a,b]\) con \(x\ne y\) y \(\eta\ge0\). Supongamos que

\[ |f(t)-f(x)|\le\eta \qquad\text{para todo }t\text{ comprendido entre }x\text{ e }y, \tag{22.2.1} \]

incluidos ambos extremos. Entonces el cociente está bien definido y satisface

\[ \boxed{\left|\frac{F(y)-F(x)}{y-x}-f(x)\right|\le\eta.} \tag{22.2.2} \]

Demostración. La hipótesis equivale, por la definición de valor absoluto, a

\[ f(x)-\eta\le f(t)\le f(x)+\eta \tag{22.2.3} \]

sobre el subintervalo cuyos extremos son \(x,y\). Si \(x<y\), aplicamos (22.1.5) a \([x,y]\) con las cotas constantes \(m=f(x)-\eta\) y \(M=f(x)+\eta\); como \(y-x>0\), obtenemos

\[ f(x)-\eta\le\frac{F(y)-F(x)}{y-x}\le f(x)+\eta. \tag{22.2.4} \]

Si \(y<x\), aplicamos la misma estimación, pero al intervalo legítimo \([y,x]\). Al dividir por \(x-y>0\) se obtiene

\[ f(x)-\eta\le\frac{F(x)-F(y)}{x-y}\le f(x)+\eta. \]

La identidad algebraica

\[ \frac{F(x)-F(y)}{x-y}=\frac{F(y)-F(x)}{y-x} \]

transforma esta última desigualdad en (22.2.4). En ninguno de los casos escribimos una integral con extremos invertidos; sólo se cambian de signo numerador y denominador de un cociente de reales. Finalmente, (22.2.4) equivale a (22.2.2). \(\square\)

Lectura del lema. No hay aquí un punto escogido donde la función alcance un máximo ni una aplicación del teorema del valor medio integral. Basta una cota puntual uniforme sobre el tramo que une los dos argumentos; la cota del cociente es igualmente válida a derecha e izquierda.

Teorema 22.2.2 — Primera parte del teorema fundamental del cálculo: continuidad puntual

Sean \(a<b\), \(f:[a,b]\to\mathbb R\) integrable y \(x\in(a,b)\). Si \(f\) es continua en \(x\) relativamente a \([a,b]\), entonces la función acumulada \(F_{f,a}:[a,b]\to\mathbb R\) es derivable en \(x\) y

\[ \boxed{F_{f,a}'(x)=f(x).} \tag{22.2.5} \]

Demostración. Escribamos \(F:=F_{f,a}\). Primero verificamos el dominio de la derivada. Puesto que \(a<x<b\), para cada \(r>0\) el número

\[ s_r:=\frac12\min\{r,x-a,b-x\}>0 \]

satisface \(x-s_r,x+s_r\in[a,b]\) y \(0<|x\pm s_r-x|=s_r<r\). Así \(x\in\operatorname{Acc}([a,b])\); ambos lados acumulan en \(x\). El cociente incremental de Definición §19.1.1 — Cociente incremental en un punto está por tanto definido en \([a,b]\setminus\{x\}\) y tiene un dominio que acumula en \(x\), como exige Definición §19.1.3 — Derivabilidad en un punto.

Fijemos ahora una tolerancia arbitraria \(\varepsilon>0\). La continuidad de \(f\) en \(x\) (Definición §17.1.1 — Continuidad relativa al dominio en un punto), aplicada a \(\varepsilon/2\), suministra un único radio testigo para esta tolerancia \(\rho>0\) tal que

\[ t\in[a,b],\quad |t-x|<\rho \quad\Longrightarrow\quad |f(t)-f(x)|<\frac\varepsilon2. \tag{22.2.6} \]

Definamos, sin efectuar ninguna elección adicional,

\[ \delta:=\min\left\{\rho,\frac{x-a}{2},\frac{b-x}{2}\right\}>0. \tag{22.2.7} \]

Consideremos cualquier \(y\in[a,b]\) con \(0<|y-x|<\delta\). Si \(y>x\), cada \(t\in[x,y]\) cumple \(|t-x|\le y-x=|y-x|<\delta\le\rho\). Si \(y<x\), para cada \(t\in[y,x]\) se cumple \(|t-x|\le x-y=|y-x|<\delta\le\rho\). En ambos casos (22.2.6) proporciona, sobre todo el intervalo comprendido entre \(x\) e \(y\),

\[ |f(t)-f(x)|<\frac\varepsilon2 \quad\Longrightarrow\quad |f(t)-f(x)|\le\frac\varepsilon2. \]

El lema Lema §22.2.1 — Estimación del cociente incremental por la oscilación alrededor de un valor, con \(\eta=\varepsilon/2\), da entonces

\[ \left|\frac{F(y)-F(x)}{y-x}-f(x)\right| \le\frac\varepsilon2<\varepsilon. \tag{22.2.8} \]

El mismo \(\delta\) funciona para todos los argumentos admisibles, tanto por la izquierda como por la derecha. Ésta es exactamente la condición cuantificada de derivabilidad Definición §19.1.3 — Derivabilidad en un punto con candidato \(L=f(x)\). La unicidad Proposición §19.1.4 — Unicidad y criterio cuantificado de la derivada legitima la notación puntual Notación §19.1.5 — Valor de la derivada y demuestra (22.2.5). No se aplicaron Rolle, el valor medio diferencial, un teorema del valor medio integral, sucesiones de puntos escogidos ni ninguna forma de Choice. \(\square\)

Interpretación. La integral recoge incrementos globales y la derivada examina el comportamiento infinitesimal de esos incrementos. La continuidad en \(x\) obliga a que todos los valores de \(f\) en un tramo suficientemente corto estén próximos a \(f(x)\); por ello también lo está su promedio integral. La continuidad exigida es puntual, no una condición global adicional.

Corolario 22.2.3 — Integranda continua sobre todo el intervalo

Si \(f:[a,b]\to\mathbb R\) es continua en todos los puntos de \([a,b]\), entonces es integrable y su función acumulada está definida en todo \([a,b]\). Además,

\[ \boxed{F_{f,a}'(x)=f(x)\qquad\text{para cada }x\in(a,b).} \tag{22.2.9} \]

Demostración. La continuidad en el intervalo cerrado implica integrabilidad por Corolario §21.7.4 — Toda función continua en un intervalo cerrado es integrable, de modo que Definición §22.1.1 — Función integral acumulada construye \(F_{f,a}\) con dominio y codominio explícitos. Tomemos ahora un \(x\in(a,b)\) arbitrario. La hipótesis de continuidad global incluye la continuidad relativa de \(f\) en ese \(x\), por lo que Teorema §22.2.2 — Primera parte del teorema fundamental del cálculo: continuidad puntual proporciona su derivabilidad y (22.2.9). La cuantificación universal sobre los puntos interiores concluye la prueba. No hemos afirmado una derivada bilateral en \(a\) o \(b\). \(\square\)

Proposición 22.2.4 — Necesidad de una hipótesis local: el escalón y su acumulada

Sea \(a<c<b\) y retomemos la función escalón \(s_c:[a,b]\to\mathbb R\) construida en (21.8.8): vale cero en \([a,c)\) y uno en \([c,b]\). Es integrable, pero discontinua en \(c\) (Proposición §21.8.4 — Ejemplo explícito: una función monótona integrable con un salto). Su función acumulada es

\[ \boxed{F_{s_c,a}(x)= \begin{cases} 0, &a\le x\le c,\\ x-c,&c\le x\le b. \end{cases}} \tag{22.2.10} \]

Las dos fórmulas coinciden en \(x=c\). Esta acumulada es continua en todo \([a,b]\) por §22.1, pero no es derivable en \(c\).

Demostración. Si \(a\le x<c\), la restricción de \(s_c\) a \([a,x]\) es la función constante cero y Proposición §21.5.1 — Acotación de las operaciones y cálculo de las constantes da \(F_{s_c,a}(x)=0\) (si \(x=a\), vale además la definición de intervalo degenerado). Para \(x=c\), la identidad de incremento Proposición §22.1.2 — Valores extremos e identidad exacta de los incrementos y la aditividad sobre el punto \(c\) producen

\[ \int_a^b s_c=F_{s_c,a}(c)+\int_c^b(s_c\upharpoonright[c,b]). \]

La integral de la izquierda vale \(b-c\) por Proposición §21.8.5 — Cálculo directo de la integral de la función escalón; la restricción de la derecha es la constante uno y tiene integral \(b-c\) por Proposición §21.5.1 — Acotación de las operaciones y cálculo de las constantes. En consecuencia, \(F_{s_c,a}(c)=0\). Para \(c<x\le b\), la identidad de incrementos en \([c,x]\), donde \(s_c\) es constante uno, da

\[ F_{s_c,a}(x)-F_{s_c,a}(c) =\int_c^x(s_c\upharpoonright[c,x])=x-c. \]

Esto demuestra (22.2.10), sin atribuir longitud positiva al singleton \(\{c\}\).

Para \(y<c\) y \(y>c\), respectivamente, los cocientes incrementales de esta misma función en \(c\) son

\[ \frac{F_{s_c,a}(y)-F_{s_c,a}(c)}{y-c}=0, \qquad \frac{F_{s_c,a}(y)-F_{s_c,a}(c)}{y-c}=1. \tag{22.2.11} \]

Supongamos que existe una derivada \(L\) en \(c\). La condición cuantificada de Definición §19.1.3 — Derivabilidad en un punto con tolerancia \(\varepsilon=1/3\) produce \(\delta>0\) tal que todo argumento distinto de \(c\) a distancia menor que \(\delta\) tiene su cociente a distancia estrictamente menor que \(1/3\) de \(L\). Pero el real

\[ r:=\frac12\min\{\delta,c-a,b-c\}>0 \]

determina los dos puntos admisibles \(c-r\) y \(c+r\), ambos a distancia \(r<\delta\) de \(c\). Por (22.2.11), tendríamos simultáneamente \(|L|<1/3\) y \(|1-L|<1/3\). La desigualdad triangular de Teorema §4.2.3 — Desigualdad triangular implicaría

\[ 1=|L+(1-L)|\le|L|+|1-L|<2/3<1, \]

contradicción. La derivada en \(c\) no existe. El fracaso no contradice el teorema anterior: precisamente en ese punto \(s_c\) no es continua. \(\square\)

Nota de contraste bibliográfico. Jacob y Evans, A Course in Analysis, vol. I, cap. 26, teorema 26.1, p. 369, presentan el vínculo para integrandas continuas sobre el intervalo. Nuestra formulación puntual separa la hipótesis necesaria para cada punto de derivación de la hipótesis global más fuerte del corolario. El ejemplar y la localización ya fueron cotejados y registrados en el control de §22.1; esta unidad no importa ni reproduce una demostración externa.

Transición. Hemos obtenido una función cuya derivada recupera la integranda donde ésta es continua, y hemos comprobado qué puede fallar en un salto. A continuación estudiaremos las primitivas y estableceremos la regla de Newton–Leibniz, cuidando que la existencia de una primitiva y las condiciones de continuidad o integrabilidad se enuncien por separado.

22.3. Primitivas y regla de Newton–Leibniz

La primera parte del teorema construyó una primitiva de cada integranda continua, aunque todavía no le habíamos dado ese nombre. El problema inverso admite un enunciado más amplio: si conocemos una función cuya derivada interior coincide con una integranda ya integrable, ¿podemos recuperar la integral a partir de sus valores extremos? Debemos separar las condiciones: la mera existencia de una primitiva no proporciona, por sí sola, la integrabilidad de su derivada. Asimismo, la continuidad de la primitiva en los extremos es indispensable para aplicar el teorema del valor medio allí.

Definición 22.3.1 — Primitiva sobre un intervalo cerrado

Sean \(a<b\) y \(f:[a,b]\to\mathbb R\). Llamaremos primitiva de \(f\) en \([a,b]\) a una función \(H:[a,b]\to\mathbb R\) que cumpla conjuntamente:

  1. \(H\) es continua en cada punto de \([a,b]\), con la topología relativa del dominio;
  2. \(H\) es derivable en cada \(x\in(a,b)\) y \(H'(x)=f(x)\).

La igualdad de derivadas se exige solamente en el interior. Los valores \(f(a)\) y \(f(b)\) no se recuperan de derivadas bilaterales inexistentes en los extremos. Tampoco incluimos la integrabilidad de \(f\) en esta definición: será una hipótesis separada cuando usemos el símbolo \(\int_a^b f\).

Lema 22.3.2 — El incremento de una primitiva queda encerrado entre las sumas de Darboux

Sea \(f:[a,b]\to\mathbb R\) acotada, sin suponer todavía su integrabilidad, y sea \(H\) una primitiva suya. Para toda partición \(P\in\operatorname{Part}[a,b]\) se cumple

\[ \boxed{L(f,P)\le H(b)-H(a)\le U(f,P).} \tag{22.3.1} \]

Demostración. Fijemos una partición \(P=\langle n,p\rangle\) y usemos la notación ya definida \(x_k:=p(k)\), \(\Delta_k:=x_{k+1}-x_k>0\) e \(I_k:=[x_k,x_{k+1}]\) para \(k<n\). Los extremos locales \(m_k:=\inf f[I_k]\) y \(M_k:=\sup f[I_k]\) existen por acotación y por la no vacuidad de \(I_k\) (Lema §21.2.2 — Existencia de las cotas extremas locales y comparación por inclusión). Por definición,

\[ m_k\le f(t)\le M_k\qquad(t\in I_k). \tag{22.3.2} \]

Consideremos un índice arbitrario y fijo \(k<n\). La continuidad de \(H\) en todo el dominio contiene la continuidad relativa en \(I_k\); su derivabilidad interior contiene la derivabilidad en \((x_k,x_{k+1})\). Por el valor medio en subintervalos Corolario §20.3.3 — Valor medio en un subintervalo del dominio original, existe \(c\in(x_k,x_{k+1})\) con

\[ H(x_{k+1})-H(x_k)=H'(c)\Delta_k=f(c)\Delta_k. \]

Como \(c\in I_k\), (22.3.2), multiplicada por \(\Delta_k>0\), demuestra

\[ m_k\Delta_k\le H(x_{k+1})-H(x_k)\le M_k\Delta_k. \tag{22.3.3} \]

El punto \(c\) ya no aparece en (22.3.3). Por tanto, para cada índice \(k<n\) hemos probado directamente una proposición universal, sin formar una función \(k\mapsto c_k\) ni elegir testigos de manera simultánea. La monotonía de las sumas finitas, demostrable por inducción a partir de las propiedades del orden real y de Proposición §14.2.2 — Identidades de los bloques de sumación, permite sumar (22.3.3):

\[ \sum_{k=0}^{n-1}m_k\Delta_k \le\sum_{k=0}^{n-1}\bigl(H(x_{k+1})-H(x_k)\bigr) \le\sum_{k=0}^{n-1}M_k\Delta_k. \]

La suma central es telescópica: por asociatividad y cancelación de términos adyacentes, o por inducción sobre el número finito de subintervalos, vale \(H(x_n)-H(x_0)=H(b)-H(a)\). Las sumas externas son precisamente \(L(f,P)\) y \(U(f,P)\) según Definición §21.2.4 — Sumas inferior y superior de Darboux. Resulta (22.3.1). \(\square\)

Lectura. El teorema del valor medio entrega un testigo por intervalo, pero la prueba sólo retiene desigualdades que no dependen del testigo. El encierro tiene sentido incluso antes de conocer si \(f\) es integrable.

Teorema 22.3.3 — Regla de Newton–Leibniz para integrandas integrables que admiten primitiva

Sean \(a<b\), sea \(f:[a,b]\to\mathbb R\) integrable y sea \(H:[a,b]\to\mathbb R\) una primitiva de \(f\) en el sentido de Definición §22.3.1 — Primitiva sobre un intervalo cerrado. Entonces

\[ \boxed{\int_a^b f(t)\,dt=H(b)-H(a).} \tag{22.3.4} \]

No se exige que \(f\) sea continua: bastan su integrabilidad, la continuidad de \(H\) en el cerrado y la identidad \(H'=f\) en el interior.

Demostración. La integrabilidad de \(f\) incorpora su acotación y legitima las sumas de Darboux. Escribamos \(D:=H(b)-H(a)\). El lema Lema §22.3.2 — El incremento de una primitiva queda encerrado entre las sumas de Darboux asegura que, para toda partición \(P\),

\[ L(f,P)\le D\le U(f,P). \]

Por consiguiente, \(D\) es una cota superior del conjunto no vacío de las sumas inferiores y una cota inferior del conjunto no vacío de las sumas superiores. Los extremos de estos conjuntos ya existen por Proposición §21.3.4 — Orden y encierro de las integrales extremas y están definidos en Definición §21.3.3 — Integrales inferior y superior de Darboux; sus propiedades características dan

\[ \underline{\int_a^b}f\le D\le\overline{\int_a^b}f. \tag{22.3.5} \]

La integrabilidad significa, exactamente, que los dos extremos coinciden. Su valor común es \(\int_a^b f\) por Definición §21.4.3 — Integral de Riemann–Darboux para funciones integrables. Así (22.3.5) se convierte en \(\int_a^b f\le D\le\int_a^b f\). La antisimetría del orden real obliga a \(D=\int_a^b f\), que prueba (22.3.4). No usamos Teorema §22.2.2 — Primera parte del teorema fundamental del cálculo: continuidad puntual: el resultado no depende de la continuidad de \(f\) en ninguno de sus puntos. \(\square\)

Proposición 22.3.4 — Dos primitivas difieren en una constante

Si \(H,K:[a,b]\to\mathbb R\) son primitivas de una misma función \(f:[a,b]\to\mathbb R\), existe un único real \(C\) tal que

\[ \boxed{H(x)=K(x)+C\quad\text{para todo }x\in[a,b].} \tag{22.3.6} \]

Recíprocamente, para cada \(C\in\mathbb R\) la función tipada \(x\mapsto K(x)+C\) también es primitiva de \(f\).

Demostración. Por Proposición §16.3.2 — Existencia y tipado de las operaciones puntuales existe la función diferencia \(G:=H-K:[a,b]\to\mathbb R\). Es continua en todo el intervalo por la estabilidad algebraica de la continuidad (Teorema §17.4.3 — Estabilidad de la continuidad bajo operaciones algebraicas y valor absoluto). Las reglas de derivación de las diferencias (Corolario §19.4.2 — Multiplicación por escalares, opuestos y diferencias) garantizan, para todo \(x\in(a,b)\),

\[ G'(x)=H'(x)-K'(x)=f(x)-f(x)=0. \]

El corolario Corolario §20.5.4 — Derivada idénticamente nula si y sólo si la función es constante afirma entonces que \(G\) es constante también en los extremos. Definimos el real determinado \(C:=G(a)=H(a)-K(a)\); así \(G(x)=C\) para cada \(x\), lo que equivale a (22.3.6). Si \(C'\) verificase la misma fórmula, evaluar en \(a\) daría \(C'=H(a)-K(a)=C\).

Para la recíproca, fijemos un real \(C\) y construyamos la función \(J(x):=K(x)+C\), mediante operaciones puntuales tipadas. Es continua en \([a,b]\) por Teorema §17.4.3 — Estabilidad de la continuidad bajo operaciones algebraicas y valor absoluto y derivable en el interior con \(J'(x)=K'(x)+0=f(x)\) por Corolario §19.4.2 — Multiplicación por escalares, opuestos y diferencias. Cumple, pues, ambas cláusulas de la definición de primitiva. \(\square\)

Corolario 22.3.5 — Existencia de primitivas para integrandas continuas y fórmula clásica

Si \(f:[a,b]\to\mathbb R\) es continua en todo \([a,b]\), entonces admite una primitiva \(F_{f,a}\) en el sentido anterior. Además, para cualquier primitiva \(H\) de \(f\),

\[ \boxed{\int_a^b f=F_{f,a}(b)=H(b)-H(a).} \tag{22.3.7} \]

Todas las primitivas se obtienen de la acumulada sumándole una constante real; en particular, \(F_{f,a}\) es la única primitiva que se anula en \(a\).

Demostración. Corolario §21.7.4 — Toda función continua en un intervalo cerrado es integrable establece que \(f\) es integrable; por tanto la función \(F_{f,a}:[a,b]\to\mathbb R\) está definida. Teorema §22.1.4 — Acotación global, condición de Lipschitz y continuidad uniforme prueba su continuidad uniforme en el cerrado, y Corolario §22.2.3 — Integranda continua sobre todo el intervalo prueba su derivabilidad y la identidad \(F_{f,a}'=f\) en el interior. Satisface, pues, las dos condiciones de Definición §22.3.1 — Primitiva sobre un intervalo cerrado. Si \(H\) es otra primitiva, el teorema Teorema §22.3.3 — Regla de Newton–Leibniz para integrandas integrables que admiten primitiva se aplica a \(H\) y da la primera igualdad de (22.3.7), mientras que Proposición §22.1.2 — Valores extremos e identidad exacta de los incrementos da \(F_{f,a}(b)=\int_a^b f\). Por Proposición §22.3.4 — Dos primitivas difieren en una constante, \(H=F_{f,a}+C\) con \(C=H(a)-F_{f,a}(a)=H(a)\), ya que \(F_{f,a}(a)=0\). En particular, \(H(a)=0\) equivale a \(C=0\), luego \(H=F_{f,a}\) como funciones tipadas. \(\square\)

Corolario 22.3.6 — Newton–Leibniz en cualquier subintervalo ordenado

Supongamos \(f:[a,b]\to\mathbb R\) integrable y \(H:[a,b]\to\mathbb R\) primitiva suya. Entonces, para cualesquiera \(a\le u\le v\le b\),

\[ \boxed{\int_u^v(f\upharpoonright[u,v])=H(v)-H(u).} \tag{22.3.8} \]

Demostración. Si \(u=v\), la integral de la restricción tipada al singleton es \(0\) por Definición §21.6.5 — Integración en un intervalo degenerado y \(H(v)-H(u)=0\) por igualdad de argumentos. Supongamos \(u<v\). La integrabilidad de \(g:=f\upharpoonright[u,v]:[u,v]\to\mathbb R\) se deduce de Corolario §21.6.6 — Aditividad para todo punto del intervalo cerrado. La función \(J:=H\upharpoonright[u,v]\) es continua en el cerrado por Corolario §17.4.6 — Clausura global, restricciones y cocientes y derivable en cada punto interior por Proposición §19.5.2 — Restricción de una función derivable, con \(J'(x)=H'(x)=f(x)=g(x)\). Luego \(J\) es primitiva de \(g\), y Teorema §22.3.3 — Regla de Newton–Leibniz para integrandas integrables que admiten primitiva proporciona \(\int_u^v g=J(v)-J(u)=H(v)-H(u)\). Sólo se usan extremos ordenados; no queda introducida una integral con \(u>v\). \(\square\)

Síntesis deductiva. La continuidad global de la integranda proporciona integrabilidad y una primitiva concreta (§§21.7 y 22.2); la integrabilidad más una primitiva ya existente proporciona Newton–Leibniz sin exigir continuidad de la integranda (§22.3). La regla de Newton–Leibniz no es una definición alternativa de integral ni sustituye su construcción por Darboux.

Nota de fuentes. Jacob y Evans, A Course in Analysis, vol. I, cap. 26, es una referencia de contraste para la articulación de las dos partes del teorema fundamental, conforme al cotejo bibliográfico registrado en §§22.1–22.2. La demostración de (22.3.4) es interna al tratado, por encierro Darboux–Lagrange, y no importa una prueba ajena.

Transición. La regla de Newton–Leibniz convierte el conocimiento de una primitiva en un cálculo de valores extremos. En la siguiente unidad combinaremos esta relación con la regla de derivación de un producto para deducir rigurosamente la integración por partes, verificando por separado que todas las integrandas estén integradas legítimamente.

22.4. Integración por partes

La regla de derivación de un producto, ya demostrada en §19.4, afirma que la derivada interior de \(uv\) se descompone en \(u'v+uv'\). Para convertir esa igualdad en una identidad de integrales necesitamos algo más: las expresiones que vamos a integrar han de ser funciones definidas sobre todo el intervalo cerrado e integrables. No confundiremos la existencia de las derivadas en \((a,b)\) con su prolongación automática a los extremos, ni deduciremos de la mera derivabilidad que una derivada es Riemann-integrable.

Formularemos primero la regla con dos funciones auxiliares \(p,q:[a,b]\to\mathbb R\) cuyos valores interiores son las derivadas respectivas; sus valores extremos quedan especificados como parte de las funciones dadas. Después obtendremos la versión usual cuando tales prolongaciones son continuas y, finalmente, una fórmula para subintervalos y un cálculo elemental.

Teorema 22.4.1 — Integración por partes bajo hipótesis exactas de integrabilidad

Sean \(a<b\) y sean \(u,v,p,q:[a,b]\to\mathbb R\) funciones tipadas. Supongamos que:

  1. \(u\) y \(v\) son continuas en todo \([a,b]\) y derivables en todo \((a,b)\);
  2. \(u'(x)=p(x)\) y \(v'(x)=q(x)\) para cada \(x\in(a,b)\);
  3. las funciones \(A,B:[a,b]\to\mathbb R\), definidas por \(A(t)=u(t)q(t)\) y \(B(t)=p(t)v(t)\), son Riemann-integrables en \([a,b]\).

Entonces el producto \(H:=uv:[a,b]\to\mathbb R\) es continuo en el cerrado, derivable en el interior, y la integración por partes toma la forma

\[ \boxed{\int_a^b A(t)\,dt =u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int_a^b B(t)\,dt.} \tag{22.4.1} \]

Es decir, con las abreviaturas puntuales ya justificadas,

\[ \boxed{\int_a^b u(t)q(t)\,dt =[uv]_a^b-\int_a^b p(t)v(t)\,dt,\qquad [uv]_a^b:=u(b)v(b)-u(a)v(a).} \tag{22.4.2} \]

La expresión \([uv]_a^b\) es una abreviatura local para la diferencia explícita de los valores extremos de una función; no es una definición de integral ni autoriza invertir extremos. Se permite que \(p\) y \(q\) no sean continuas. La integrabilidad se exige a los productos \(uq\) y \(pv\), no necesariamente a cada factor por separado.

Demostración. Proposición §16.3.2 — Existencia y tipado de las operaciones puntuales garantiza que los productos puntuales \(H=uv\), \(A=uq\) y \(B=pv\), así como la suma \(G:=A+B\), son funciones reales con el mismo dominio \([a,b]\). Por estabilidad algebraica de la continuidad Teorema §17.4.3 — Estabilidad de la continuidad bajo operaciones algebraicas y valor absoluto, \(H\) es continua en cada punto del cerrado, incluidos los extremos. Si \(x\in(a,b)\), la regla del producto Teorema §19.4.3 — Regla de derivación del producto da

\[ H'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) =p(x)v(x)+u(x)q(x)=B(x)+A(x)=G(x). \tag{22.4.3} \]

La hipótesis tercera afirma la integrabilidad de \(A\) y \(B\). La clausura aditiva Teorema §21.5.4 — La suma de funciones integrables es integrable y su integral es aditiva prueba, antes de escribir su integral, que \(G=A+B\) también es integrable y que

\[ \int_a^b G=\int_a^b A+\int_a^b B. \tag{22.4.4} \]

Por (22.4.3) y la continuidad de \(H\) en el cerrado, \(H\) es una primitiva de \(G\) según Definición §22.3.1 — Primitiva sobre un intervalo cerrado. La regla de Newton–Leibniz Teorema §22.3.3 — Regla de Newton–Leibniz para integrandas integrables que admiten primitiva, aplicable porque \(G\) es integrable, proporciona

\[ \int_a^b G=H(b)-H(a)=u(b)v(b)-u(a)v(a). \tag{22.4.5} \]

Igualando (22.4.4) y (22.4.5), y restando en el cuerpo real el término \(\int_a^b B\), obtenemos (22.4.1). La fórmula (22.4.2) es solamente su reescritura. Todas las integrales tienen extremos ordenados y funciones tipadas ya demostradas integrables. No se han presupuesto derivadas en \(a\) ni en \(b\), ni seleccionado puntos o aproximaciones mediante elección. \(\square\)

Lectura deductiva. La prueba tiene tres eslabones distintos: regla del producto \(\Rightarrow\) primitiva del sumando \(\Rightarrow\) Newton–Leibniz y linealidad. Si se suprime la integrabilidad de las expresiones \(uq\) y \(pv\), el segundo eslabón puede escribirse formalmente como una derivada, pero el tercero carece de justificación.

Corolario 22.4.2 — Versión para derivadas con prolongaciones continuas

Sean \(u,v:[a,b]\to\mathbb R\) continuas en el cerrado y derivables en \((a,b)\). Supongamos que existen funciones continuas en el cerrado \(p,q:[a,b]\to\mathbb R\) tales que

\[ p(x)=u'(x),\qquad q(x)=v'(x) \quad\text{para todo }x\in(a,b). \tag{22.4.6} \]

Entonces los productos \(uq\) y \(pv\) son integrables, y se cumple (22.4.1). Ésta es la formulación habitual de integración por partes para funciones continuamente derivables, entendiendo rigurosamente la derivada en los extremos por sus prolongaciones continuas, sin atribuirle allí una derivada bilateral.

Demostración. Proposición §16.3.2 — Existencia y tipado de las operaciones puntuales construye las funciones \(A:=uq\) y \(B:=pv\) sobre \([a,b]\). Cada factor es continuo en el cerrado, por lo que \(A\) y \(B\) son continuas allí por Teorema §17.4.3 — Estabilidad de la continuidad bajo operaciones algebraicas y valor absoluto. El corolario Corolario §21.7.4 — Toda función continua en un intervalo cerrado es integrable demuestra su integrabilidad. Quedan verificadas todas las hipótesis de Teorema §22.4.1 — Integración por partes bajo hipótesis exactas de integrabilidad; su conclusión es precisamente (22.4.1). No hemos tomado límites laterales para fabricar nuevos valores de las derivadas: \(p(a),p(b),q(a),q(b)\) forman parte de las funciones suministradas por la hipótesis. \(\square\)

Corolario 22.4.3 — Integración por partes en subintervalos ordenados

Con las hipótesis del teorema Teorema §22.4.1 — Integración por partes bajo hipótesis exactas de integrabilidad, para todos los reales \(r,s\) con \(a\le r\le s\le b\) se cumple

\[ \boxed{\int_r^s(A\upharpoonright[r,s]) =u(s)v(s)-u(r)v(r) -\int_r^s(B\upharpoonright[r,s]).} \tag{22.4.7} \]

Demostración. Si \(r=s\), ambas integrales son cero por la convención tipada Definición §21.6.5 — Integración en un intervalo degenerado y la diferencia de productos extremos también es cero. Si \(r<s\), Corolario §21.6.6 — Aditividad para todo punto del intervalo cerrado proporciona la integrabilidad de las restricciones de \(A\) y \(B\) a \([r,s]\). Las restricciones de \(u,v\) son continuas en el nuevo cerrado por Corolario §17.4.6 — Clausura global, restricciones y cocientes; son derivables en \((r,s)\) con derivadas dadas por las restricciones de \(p,q\), respectivamente, según Proposición §19.5.2 — Restricción de una función derivable. La igualdad de funciones tipadas asegura que los productos puntuales de las restricciones coinciden con \(A\upharpoonright[r,s]\) y \(B\upharpoonright[r,s]\). Aplicar Teorema §22.4.1 — Integración por partes bajo hipótesis exactas de integrabilidad a estas cuatro funciones restringidas produce (22.4.7). No aparece en ningún paso una integral con extremo superior menor que el inferior. \(\square\)

Proposición 22.4.4 — Primer cálculo por integración por partes: la función identidad

Para todo intervalo no degenerado \([a,b]\) y la función identidad tipada \(\iota:[a,b]\to\mathbb R\), \(\iota(t)=t\), se tiene

\[ \boxed{\int_a^b\iota(t)\,dt=\frac{b^2-a^2}{2}.} \tag{22.4.8} \]

Demostración. Por Teorema §17.5.3 — Todo polinomio real es continuo en la recta, la identidad y las constantes son continuas en la recta; sus restricciones tipadas a \([a,b]\) son continuas por Corolario §17.4.6 — Clausura global, restricciones y cocientes. Proposición §19.1.6 — Primeros cálculos: funciones afines y función cuadrática prueba que la derivada de la identidad en cada punto interior vale \(1_{\mathbb R}\); la función constante uno en el cerrado sirve de prolongación continua. En el corolario Corolario §22.4.2 — Versión para derivadas con prolongaciones continuas tomemos \(u=v=\iota\) y \(p=q=1\), donde \(1\) significa aquí la función constante de valor \(1_{\mathbb R}\). Los productos \(A=u q\) y \(B=pv\) coinciden, como funciones tipadas, con \(\iota\). El corolario prueba su integrabilidad, también obtenible por Corolario §21.7.4 — Toda función continua en un intervalo cerrado es integrable, y (22.4.1) queda

\[ I=b^2-a^2-I,\qquad I:=\int_a^b\iota. \]

Sumando \(I\) a ambos miembros y dividiendo por el real no nulo \(2_{\mathbb R}\) resulta \(I=(b^2-a^2)/2\), según (22.4.8). Si \(a=b\), la convención de §21.6 da también ambos miembros iguales a cero, pero ese caso no requiere invocar un teorema formulado para \(a<b\). \(\square\)

Nota de fuentes. Jacob y Evans, A Course in Analysis, vol. I (2015), cap. 26, proposición 26.5, p. 371, enuncian la regla para dos funciones continuamente derivables. Nuestra prueba usa esa formulación como contraste y explicita, antes de presentar el corolario clásico, la hipótesis más débil de integrabilidad de los dos productos; los argumentos deductivos proceden de resultados ya demostrados en §§19.4, 21.5 y 22.3.

Transición. Una integración por partes transforma la derivada de un producto en una identidad entre dos integrales. La siguiente unidad estudiará otra transformación: el cambio de variable. Allí habrá que controlar el dominio de la composición, el signo de la derivada de la función de cambio y, de manera especial, el orden de sus imágenes extremas antes de escribir una integral transformada.

22.5. Cambio de variable

En una integral definida, la sustitución de una variable no consiste únicamente en reemplazar letras. La composición \(f\circ\varphi\) debe tener dominio efectivo comprobado, el producto con la derivada debe ser integrable y los extremos transformados deben ordenarse antes de escribir otra integral. Además, una función diferenciable puede recorrer varias veces un mismo tramo: la monotonía no será una hipótesis de nuestra regla básica.

Fijaremos \(a<b\), \(c<d\), una función continua \(f:[c,d]\to\mathbb R\) y una función \(\varphi:[a,b]\to[c,d]\) continua en el cerrado y derivable en \((a,b)\). Construiremos primero la composición de \(\varphi\) con la acumulada de \(f\). Esa acumulada puede no tener derivada bilateral en \(c\) o \(d\); resolveremos expresamente el caso en que \(\varphi\) alcanza uno de esos extremos en un punto interior. Después separaremos la hipótesis necesaria de integrabilidad del producto transformado de una condición suficiente de continuidad.

Lema 22.5.1 — Regla de la cadena para la acumulada, incluidos los extremos de su dominio

Sean \(c<d\), \(f:[c,d]\to\mathbb R\) continua en todo el cerrado y \(F:=F_{f,c}:[c,d]\to\mathbb R\) su acumulada. Sean \(a<b\) y \(\varphi:[a,b]\to[c,d]\) continua en \([a,b]\) y derivable en \((a,b)\). La composición tipada

\[ H:=F\circ\varphi:[a,b]\longrightarrow\mathbb R \tag{22.5.1} \]

es continua en el cerrado y, para cada \(x\in(a,b)\), es derivable y satisface

\[ \boxed{H'(x)=f(\varphi(x))\,\varphi'(x).} \tag{22.5.2} \]

La igualdad vale también si \(\varphi(x)=c\) o \(\varphi(x)=d\); no atribuye a \(F\) una derivada bilateral en esos extremos.

Demostración. La continuidad de \(f\) implica integrabilidad por Corolario §21.7.4 — Toda función continua en un intervalo cerrado es integrable; por tanto Definición §22.1.1 — Función integral acumulada define \(F\) sobre todo \([c,d]\). La estimación Teorema §22.1.4 — Acotación global, condición de Lipschitz y continuidad uniforme proporciona un real fijo \(K\ge0\) tal que

\[ |F(v)-F(u)|\le K|v-u|\qquad(u,v\in[c,d]). \tag{22.5.3} \]

La composición está definida en todo \([a,b]\) porque \(\varphia,b\subseteq[c,d]\): Proposición §16.4.1 — Dominio efectivo y tipado de la composición controla su dominio efectivo y Teorema §17.4.5 — Composición en el dominio efectivo prueba su continuidad, incluidos los extremos \(a,b\).

Fijemos \(x\in(a,b)\). Si \(c<\varphi(x)<d\), la continuidad de \(f\) en \(\varphi(x)\) y la primera parte del teorema fundamental Teorema §22.2.2 — Primera parte del teorema fundamental del cálculo: continuidad puntual dan \(F'(\varphi(x))=f(\varphi(x))\). Aplicando la regla de la cadena Teorema §19.6.2 — Regla de la cadena en el dominio efectivo en el dominio efectivo resulta (22.5.2).

Supongamos ahora \(\varphi(x)=c\). Como \(\varphi(t)\ge c=\varphi(x)\) para todo \(t\in[a,b]\), \(\varphi\) presenta un mínimo local en el punto interior \(x\); por Fermat Corolario §20.1.5 — Fermat en puntos interiores de un intervalo cerrado se sigue \(\varphi'(x)=0\). Si \(\varphi(x)=d\), el mismo argumento, mediante un máximo local, vuelve a dar \(\varphi'(x)=0\). En cualquiera de los dos casos, sea \(\varepsilon>0\). La definición de la derivada de \(\varphi\) con valor cero proporciona \(\delta>0\) tal que, para todo \(y\in[a,b]\) con \(0<|y-x|<\delta\),

\[ \left|\frac{\varphi(y)-\varphi(x)}{y-x}\right|<\frac{\varepsilon}{K+1_{\mathbb R}}. \]

Como ambos valores de \(\varphi\) pertenecen a \([c,d]\), (22.5.3) implica

\[ \left|\frac{H(y)-H(x)}{y-x}\right| \le K\left|\frac{\varphi(y)-\varphi(x)}{y-x}\right| \le\frac{K\varepsilon}{K+1_{\mathbb R}}<\varepsilon. \tag{22.5.4} \]

La última desigualdad es válida también para \(K=0\), cuando el miembro anterior es cero. Como \(x\) es interior al dominio, el cociente tiene puntos admisibles arbitrariamente próximos por ambos lados. Se ha probado, directamente por la definición de derivada, que \(H'(x)=0=f(\varphi(x))\varphi'(x)\). Los tres casos agotan \([c,d]\); no hemos derivado \(F\) en \(c\) ni en \(d\), ni escogido una sucesión de puntos. \(\square\)

Lectura. La cadena ordinaria se aplica cuando el valor intermedio es interior. Si el valor intermedio alcanza un extremo, Fermat anula la derivada interior de \(\varphi\) y la condición de Lipschitz de la acumulada anula el cociente incremental de la composición. Ambos mecanismos desembocan en la misma fórmula.

Teorema 22.5.2 — Cambio de variable con integrabilidad explícita y extremos ordenados

Bajo las hipótesis del lema anterior, sea además \(p:[a,b]\to\mathbb R\) una función tal que

\[ p(x)=\varphi'(x)\qquad(x\in(a,b)), \tag{22.5.5} \]

y definamos, por composición y producto puntuales tipados,

\[ g:[a,b]\longrightarrow\mathbb R,\qquad g(t):=f(\varphi(t))\,p(t). \tag{22.5.6} \]

Supongamos explícitamente que \(g\) es Riemann-integrable. Escribamos \(u:=\varphi(a)\) y \(v:=\varphi(b)\); ambos pertenecen a \([c,d]\). Entonces

\[ \boxed{\int_a^b g=F_{f,c}(v)-F_{f,c}(u).} \tag{22.5.7} \]

En particular, ésta es una identidad de integrales con límites siempre ordenados en cada uno de los tres casos:

\[ \boxed{ \begin{array}{ll} u<v:&\displaystyle \int_a^b g=\int_u^v(f\upharpoonright[u,v]),\\[4pt] u=v:&\displaystyle \int_a^b g=0,\\[4pt] u>v:&\displaystyle \int_a^b g=-\int_v^u(f\upharpoonright[v,u]). \end{array}} \tag{22.5.8} \]

No se presupone que \(\varphi\) sea inyectiva o monótona; el factor \(p\) conserva su signo y no se reemplaza por \(|p|\). Tampoco se presume la integrabilidad de \(g\) a partir de la sola derivabilidad de \(\varphi\).

Demostración. Por Proposición §16.4.1 — Dominio efectivo y tipado de la composición, la composición \(f\circ\varphi\) es una función de dominio exacto \([a,b]\) y codominio real. El producto con \(p\) existe con el mismo tipado por Proposición §16.3.2 — Existencia y tipado de las operaciones puntuales, de modo que (22.5.6) define efectivamente \(g\). El lema Lema §22.5.1 — Regla de la cadena para la acumulada, incluidos los extremos de su dominio asegura que \(H=F_{f,c}\circ\varphi\) es continua sobre \([a,b]\) y, en cada \(x\in(a,b)\), satisface

\[ H'(x)=f(\varphi(x))\varphi'(x)=f(\varphi(x))p(x)=g(x). \]

Así, \(H\) es primitiva de \(g\) en el sentido de Definición §22.3.1 — Primitiva sobre un intervalo cerrado. Sólo ahora, porque la integrabilidad de \(g\) es una hipótesis expresa, podemos aplicar Newton–Leibniz Teorema §22.3.3 — Regla de Newton–Leibniz para integrandas integrables que admiten primitiva:

\[ \int_a^b g=H(b)-H(a)=F_{f,c}(v)-F_{f,c}(u). \]

Esto prueba (22.5.7). Para obtener (22.5.8), si \(u<v\), Proposición §22.1.2 — Valores extremos e identidad exacta de los incrementos identifica la diferencia de la acumulada con la integral de la restricción a \([u,v]\), cuya integrabilidad está garantizada por Corolario §21.6.6 — Aditividad para todo punto del intervalo cerrado. Si \(u=v\), la diferencia es cero; la integral sobre \([u,u]\), cuando se escribe, vale igualmente cero por Definición §21.6.5 — Integración en un intervalo degenerado. Si \(u>v\), aplicamos Proposición §22.1.2 — Valores extremos e identidad exacta de los incrementos a los extremos ordenados \(v<u\), obteniendo \(F_{f,c}(u)-F_{f,c}(v)=\int_v^u(f\upharpoonright[v,u])\); tomamos el opuesto de ambos miembros en el cuerpo real. En ningún punto se define \(\int_u^v\) cuando \(u>v\). \(\square\)

Interpretación. La derivada del cambio registra las variaciones con signo. Una trayectoria que regresa al mismo valor extremo produce una diferencia nula de la acumulada, aunque recorra puntos intermedios y la integranda transformada no sea idénticamente cero.

Corolario 22.5.3 — Versión de uso corriente con derivada prolongable continuamente

Sean \(f:[c,d]\to\mathbb R\) y \(\varphi:[a,b]\to[c,d]\) como en el lema. Si además existe una función continua \(p:[a,b]\to\mathbb R\) que satisface \(p=\varphi'\) en \((a,b)\), entonces la función \(g(t)=f(\varphi(t))p(t)\) es integrable y valen (22.5.7) y los tres casos (22.5.8). En particular, si \(\varphi(a)\le\varphi(b)\), la sustitución toma la forma usual con una integral a la derecha cuyo intervalo está ordenado.

Demostración. El dominio efectivo de \(f\circ\varphi\) es \([a,b]\) porque \(\varphi\) toma sus valores en \([c,d]\) (Proposición §16.4.1 — Dominio efectivo y tipado de la composición); dicha composición es continua en todo el cerrado por Teorema §17.4.5 — Composición en el dominio efectivo. El producto puntual con la función continua \(p\) es continuo por Teorema §17.4.3 — Estabilidad de la continuidad bajo operaciones algebraicas y valor absoluto y existe como función tipada por Proposición §16.3.2 — Existencia y tipado de las operaciones puntuales. Resulta integrable por Corolario §21.7.4 — Toda función continua en un intervalo cerrado es integrable. Verificadas las hipótesis, se aplica Teorema §22.5.2 — Cambio de variable con integrabilidad explícita y extremos ordenados, sin imponer monotonía ni invertir el orden de integración. \(\square\)

Corolario 22.5.4 — La sustitución en cada subintervalo ordenado

Con las hipótesis del teorema Teorema §22.5.2 — Cambio de variable con integrabilidad explícita y extremos ordenados, para cada \(a\le r\le s\le b\) se cumple

\[ \boxed{\int_r^s(g\upharpoonright[r,s]) =F_{f,c}(\varphi(s))-F_{f,c}(\varphi(r)).} \tag{22.5.9} \]

La diferencia de la derecha se convierte en la integral de \(f\) restringida al intervalo cuyos extremos son \(\varphi(r)\) y \(\varphi(s)\) si están ordenados de menor a mayor, y en el opuesto de esa integral si aparecen en orden contrario. Si coinciden, el resultado es cero.

Demostración. Si \(r=s\), la integral del singleton es cero por Definición §21.6.5 — Integración en un intervalo degenerado y la diferencia de valores de la acumulada también es cero. Si \(r<s\), la restricción tipada \(\varphi\upharpoonright[r,s]\) es continua por Corolario §17.4.6 — Clausura global, restricciones y cocientes y derivable en \((r,s)\) con derivada \(p\) allí por Proposición §19.5.2 — Restricción de una función derivable. La integrabilidad de \(g\upharpoonright[r,s]\) proviene de Corolario §21.6.6 — Aditividad para todo punto del intervalo cerrado. Los productos y las composiciones de las restricciones coinciden punto a punto con la restricción de \(g\) y tienen los mismos dominio \([r,s]\) y codominio \(\mathbb R\) (Proposición §1.3.2 — Existencia y unicidad de la restricción). Aplicamos Teorema §22.5.2 — Cambio de variable con integrabilidad explícita y extremos ordenados a este intervalo y obtenemos (22.5.9). Las tres alternativas para los nuevos extremos se deducen de (22.5.8). \(\square\)

Proposición 22.5.5 — Dos ejemplos: retorno no monótono e inversión de extremos

(a) Retorno. En \([-1,1]\) fijemos \(\varphi(t)=t^2\), como función \([-1,1]\to[0,1]\), \(p(t)=2t\), y en \([0,1]\) la función identidad \(f(u)=u\). La integranda transformada \(g(t)=2t\cdot t^2\) es continua e integrable, pero

\[ \boxed{\int_{-1}^{1} 2t\,t^2\,dt=0.} \tag{22.5.10} \]

La función \(\varphi\) no es monótona en \([-1,1]\), pues \(\varphi(-1)=1\), \(\varphi(0)=0\) y \(\varphi(1)=1\).

(b) Extremos invertidos. En \([0,1]\) tomemos \(\varphi(t)=1-t\), \(p(t)=-1\) y \(f(u)=u\). La integranda transformada es \(g(t)=-(1-t)\), y

\[ \boxed{\int_0^1 -(1-t)\,dt =-\int_0^1 u\,du=-\frac12.} \tag{22.5.11} \]

Demostración. Para (a), de \(-1\le t\le1\) se sigue \(0\le t^2\le1\) por la compatibilidad del orden real con el producto; la función es, por ello, una aplicación tipada hacia \([0,1]\). Su continuidad y la de \(p\) y \(f\) se deducen de las operaciones polinómicas ya disponibles (Teorema §17.5.3 — Todo polinomio real es continuo en la recta y restricción Corolario §17.4.6 — Clausura global, restricciones y cocientes); la regla de derivación del producto, o la regla del producto Teorema §19.4.3 — Regla de derivación del producto junto con Proposición §19.1.6 — Primeros cálculos: funciones afines y función cuadrática, proporciona \(\varphi'(t)=2t\) para \(t\in(-1,1)\). El corolario Corolario §22.5.3 — Versión de uso corriente con derivada prolongable continuamente demuestra la integrabilidad de \(g\). Como \(\varphi(-1)=\varphi(1)=1\), el caso intermedio de (22.5.8) da (22.5.10). La triple evaluación indicada en el enunciado descarta ambas alternativas de monotonía.

Para (b), la función afín \(\varphi:[0,1]\to[0,1]\) tiene derivada interior \(-1\) por las reglas de suma y multiplicación por escalares (Teorema §19.4.1 — Regla de derivación de la suma, Corolario §19.4.2 — Multiplicación por escalares, opuestos y diferencias) y la derivada de la identidad (Proposición §19.1.6 — Primeros cálculos: funciones afines y función cuadrática), con prolongación continua constante \(p=-1\). La función \(g\) es integrable por Corolario §22.5.3 — Versión de uso corriente con derivada prolongable continuamente; como \(\varphi(0)=1>0=\varphi(1)\), aplicamos el tercer caso de (22.5.8). Proposición §22.4.4 — Primer cálculo por integración por partes: la función identidad, para la identidad sobre \([0,1]\), da \(\int_0^1 u\,du=(1^2-0^2)/2=1/2\). La igualdad (22.5.11) se sigue sin escribir ninguna integral con extremos invertidos. \(\square\)

Nota de fuentes. Jacob y Evans, A Course in Analysis, vol. I (2015), cap. 13, teorema 13.7, p. 186, ofrecen una versión clásica del cambio de variable para una integranda continua y un cambio diferenciable con derivada continua; el teorema 13.12, p. 188, introduce una formulación alternativa con inversión de un cambio estrictamente monótono. Estas localizaciones se han cotejado en la extracción textual del ejemplar bibliográfico. La demostración precedente es propia: separa integrabilidad de continuidad de la derivada, considera los valores intermedios extremos mediante Fermat y Lipschitz y no exige monotonía ni una inversa.

Transición. El teorema fundamental permite evaluar las integrales de dos maneras complementarias: una primitiva puede conocerse directamente o construirse mediante acumulación. La siguiente unidad distinguirá las consecuencias estructurales de esa dualidad de las simples técnicas de cálculo, antes de iniciar la auditoría global de cierre del capítulo.

22.6. Consecuencias estructurales: normalización, linealidad y determinación

La integral definida y las primitivas no son dos nombres para un mismo objeto. La primera es un número asociado a una función integrable y a un intervalo ordenado; una primitiva, cuando existe, es una función determinada sólo hasta una constante. La acumulación permite relacionarlas fijando el valor en el extremo inicial. Esta última unidad estudia tres propiedades de esa construcción —normalización, linealidad y cambio de origen— y precisa en qué sentido recupera la integranda.

Fijaremos de nuevo \(a<b\). Todas las funciones de esta sección tienen dominios y codominios explícitos; el símbolo \(F_{f,a}\) conserva la definición de §22.1. La afirmación de que una función integrable tiene una acumulada no se confundirá con la afirmación, en general falsa, de que toda acumulada sea una primitiva de su integranda.

Proposición 22.6.1 — Reconstrucción de la acumulada desde cualquier primitiva

Sea \(f:[a,b]\to\mathbb R\) integrable y supongamos que se ha dado una primitiva \(H:[a,b]\to\mathbb R\) de \(f\). Entonces, para todo \(x\in[a,b]\),

\[ \boxed{F_{f,a}(x)=H(x)-H(a).} \tag{22.6.1} \]

En particular, \(F_{f,a}\) es una primitiva de \(f\) y es la única que se anula en \(a\). No se afirma la existencia de una primitiva cuando solamente se conoce la integrabilidad de \(f\).

Demostración. Sea \(x\in[a,b]\) arbitrario. Por Corolario §22.3.6 — Newton–Leibniz en cualquier subintervalo ordenado, aplicada al intervalo ordenado \([a,x]\), la restricción tipada de \(f\) es integrable y

\[ \int_a^x(f\upharpoonright[a,x])=H(x)-H(a). \]

El miembro izquierdo es precisamente \(F_{f,a}(x)\) por Definición §22.1.1 — Función integral acumulada; cuando \(x=a\) vale cero conforme a Definición §21.6.5 — Integración en un intervalo degenerado, coincidiendo con la diferencia de valores. Esto demuestra (22.6.1) para cada argumento y, por igualdad de dominio, codominio y grafo (Proposición §0.6.3 — Criterio de igualdad de funciones), determina la función completa. Como \(H\) es primitiva, la recíproca de Proposición §22.3.4 — Dos primitivas difieren en una constante demuestra que restarle la constante \(H(a)\) conserva esa propiedad. La nueva función se anula en \(a\); si \(K\) fuera otra primitiva con \(K(a)=0\), la diferencia entre \(K\) y \(F_{f,a}\) sería la constante \(K(a)-F_{f,a}(a)=0\), de nuevo por Proposición §22.3.4 — Dos primitivas difieren en una constante. Por tanto \(K=F_{f,a}\). No seleccionamos una primitiva de cada función: trabajamos con la única \(H\) suministrada como hipótesis. \(\square\)

Lectura. Newton–Leibniz permite calcular la acumulada utilizando una primitiva ya conocida; la normalización fija la ambigüedad aditiva. La existencia de una primitiva para cualquier integranda continua es el resultado anterior Corolario §22.3.5 — Existencia de primitivas para integrandas continuas y fórmula clásica, no una consecuencia de la mera integrabilidad.

Teorema 22.6.2 — Linealidad de la acumulación para funciones integrables

Sean \(f,g:[a,b]\to\mathbb R\) integrables y \(\alpha,\beta\in\mathbb R\). La combinación puntual tipada

\[ h:[a,b]\longrightarrow\mathbb R,\qquad h(t):=\alpha f(t)+\beta g(t) \]

es integrable y sus acumuladas satisfacen la identidad de funciones

\[ \boxed{F_{h,a}=\alpha F_{f,a}+\beta F_{g,a}.} \tag{22.6.2} \]

El miembro derecho designa la función \([a,b]\to\mathbb R\) definida punto a punto por la combinación indicada; ninguna de las tres funciones tiene por qué ser primitiva de su integranda.

Demostración. La construcción puntual de \(h\) es legítima por Proposición §16.3.2 — Existencia y tipado de las operaciones puntuales, y su integrabilidad procede de Corolario §21.5.7 — Linealidad para combinaciones finitas de dos funciones. En consecuencia las tres acumuladas están definidas por Definición §22.1.1 — Función integral acumulada y son funciones tipadas \([a,b]\to\mathbb R\). Fijemos \(x\in[a,b]\). Si \(x=a\), las tres acumuladas valen cero por la convención Definición §21.6.5 — Integración en un intervalo degenerado, así que (22.6.2) se verifica en ese argumento.

Si \(a<x\le b\), Corolario §21.6.6 — Aditividad para todo punto del intervalo cerrado garantiza previamente que las restricciones de \(f\), \(g\) y \(h\) a \([a,x]\) son integrables. La restricción de \(h\) coincide como función tipada con \(\alpha(f\upharpoonright[a,x])+\beta(g\upharpoonright[a,x])\), por coincidencia de dominio, codominio y valores (Proposición §1.3.2 — Existencia y unicidad de la restricción). La linealidad de la integral, aplicada ahora sobre el intervalo no degenerado \([a,x]\), da

\[ \begin{aligned} F_{h,a}(x) &=\int_a^x(h\upharpoonright[a,x])\\ &=\alpha\int_a^x(f\upharpoonright[a,x]) +\beta\int_a^x(g\upharpoonright[a,x])\\ &=\alpha F_{f,a}(x)+\beta F_{g,a}(x). \end{aligned} \]

Todos los argumentos de \([a,b]\) quedan cubiertos. La igualdad puntual y la igualdad de tipos prueban (22.6.2) por Proposición §0.6.3 — Criterio de igualdad de funciones. No se dedujo la integrabilidad de una suma a partir de una fórmula escrita anticipadamente, ni se eligió una familia de particiones para todos los valores de \(x\). \(\square\)

Interpretación. La integración sobre un intervalo fijo era lineal (§21.5). La acumulación hereda esa estructura simultáneamente en todos sus extremos superiores porque la igualdad de integrales se aplica a cada restricción ya legitimada.

Proposición 22.6.3 — Cambio del origen de acumulación

Sea \(f:[a,b]\to\mathbb R\) integrable y sea \(c\in[a,b)\) un nuevo origen. La restricción \(f_c:=f\upharpoonright[c,b]:[c,b]\to\mathbb R\) es integrable. Para todo \(x\in[c,b]\) se tiene

\[ \boxed{F_{f_c,c}(x)=F_{f,a}(x)-F_{f,a}(c).} \tag{22.6.3} \]

La condición \(c<b\) garantiza que la definición de acumulada de §22.1 se aplica a \(f_c\); el argumento variable \(x=c\) sí está permitido y su integral es la de un singleton.

Demostración. Corolario §21.6.6 — Aditividad para todo punto del intervalo cerrado, aplicado al corte \(c\), asegura que \(f_c\) es integrable, de modo que \(F_{f_c,c}\) existe por Definición §22.1.1 — Función integral acumulada. Sean \(c\le x\le b\). La identidad exacta de incrementos Proposición §22.1.2 — Valores extremos e identidad exacta de los incrementos, aplicada a la acumulada original y a los dos extremos ordenados \(c,x\), proporciona

\[ F_{f,a}(x)-F_{f,a}(c) =\int_c^x(f\upharpoonright[c,x]). \]

Las restricciones sucesivas dan la misma función tipada \(f_c\upharpoonright[c,x]=f\upharpoonright[c,x]\) (Proposición §1.3.2 — Existencia y unicidad de la restricción), y la integral de ésta es, por definición, \(F_{f_c,c}(x)\). Si \(x=c\), la igualdad afirma \(0=0\) y se apoya exclusivamente en la integral degenerada Definición §21.6.5 — Integración en un intervalo degenerado. No se reorienta ningún intervalo ni se construye una función diferente para cada punto mediante elección. \(\square\)

Lectura. El origen de acumulación sólo modifica la función acumulada en una constante. Este desplazamiento algebraico no afecta los incrementos posteriores; es la misma estructura que explica por qué las primitivas difieren en una constante, aunque el enunciado actual requiere únicamente integrabilidad.

Corolario 22.6.4 — Determinación de una integranda continua por su acumulada

Sean \(f,g:[a,b]\to\mathbb R\) continuas en todos los puntos de \([a,b]\), donde \(a<b\). Si sus acumuladas son iguales como funciones tipadas,

\[ F_{f,a}=F_{g,a}, \]

entonces \(f=g\) en todo \([a,b]\), incluidos sus extremos.

Demostración. La continuidad de \(f\) y \(g\) implica su integrabilidad por Corolario §21.7.4 — Toda función continua en un intervalo cerrado es integrable, de modo que ambas acumuladas están definidas. Sea \(x\in(a,b)\). Por Corolario §22.2.3 — Integranda continua sobre todo el intervalo son derivables en \(x\) y satisfacen \(F_{f,a}'(x)=f(x)\) y \(F_{g,a}'(x)=g(x)\). Como las acumuladas son la misma función, sus cocientes incrementales son idénticos y la unicidad de la derivada Proposición §19.1.4 — Unicidad y criterio cuantificado de la derivada obliga a \(f(x)=g(x)\). Hemos demostrado la igualdad en todo el interior.

Quedan los extremos; no los trataremos mediante derivadas bilaterales. Supongamos \(f(a)\ne g(a)\) y pongamos \(D:=|f(a)-g(a)|>0\), \(\varepsilon:=D/3\). La continuidad relativa de cada función en \(a\), aplicada a esta tolerancia, proporciona radios positivos \(\delta_f,\delta_g\) para los cuales

\[ |t-a|<\delta_f\Longrightarrow |f(t)-f(a)|<\varepsilon, \qquad |t-a|<\delta_g\Longrightarrow |g(t)-g(a)|<\varepsilon \]

si \(t\in[a,b]\). Definamos explícitamente

\[ r:=\tfrac12\min\{\delta_f,\delta_g,b-a\}>0, \qquad t:=a+r\in(a,b). \]

Por la igualdad interior \(f(t)=g(t)\) y la desigualdad triangular,

\[ D=|f(a)-g(a)| \le |f(a)-f(t)|+|g(t)-g(a)| <2\varepsilon=2D/3<D, \]

contradicción. Así \(f(a)=g(a)\). Para el extremo \(b\) el mismo argumento utiliza la continuidad en \(b\) y el punto determinado \(t:=b-\tfrac12\min\{\delta_f,\delta_g,b-a\}\in(a,b)\); se obtiene igualmente \(f(b)=g(b)\). En consecuencia los grafos de \(f\) y \(g\) coinciden, y Proposición §0.6.3 — Criterio de igualdad de funciones da su igualdad como funciones. Sólo se emplearon dos testigos de continuidad en cada argumento extremo y un punto construido por fórmula; no se apeló a sucesiones elegidas ni a \(CC(\mathbb R)\). \(\square\)

Alcance. La continuidad es esencial para recuperar también los valores puntuales en los extremos: la fórmula de derivación de la acumulada se ha demostrado en el interior bajo continuidad puntual, no para cualquier integranda discontinua. No hemos probado una regla general de diferenciación de toda función integrable ni una teoría de integración orientada.

Conclusión del capítulo. La acumulada existe para toda integranda Riemann-integrable y es continua incluso si la integranda presenta saltos. Donde la integranda es continua, su derivada interior recupera el valor de ésta; cuando existe una primitiva, Newton–Leibniz expresa toda integral en un intervalo ordenado mediante la diferencia de valores de la primitiva. La integración por partes y la sustitución se derivan de estas identidades, pero requieren comprobar por separado la integrabilidad de sus nuevas integrandas. Normalización, linealidad y traslado del origen completan la estructura. El paso siguiente será el estudio de sucesiones y series de funciones: habrá que distinguir convergencia puntual de convergencia uniforme antes de intercambiar límites con integrales o derivadas.

Reutilización

GFDL-1.3-or-later